C3投资组合理论

华侨大学管理学院研究生课程专题
Portfolio Management: Theory & Practice
一、投资组合的思想
1、传统投资组合的思想——Native Diversification
（1）不要把所有的鸡蛋都放在一个篮子里面，否则“倾巢无完卵”。

（2）组合中资产数量越多，分散风险越大。

2、现代投资组合的思想——Optimal Portfolio
（1）最优投资比例：组合的风险与组合中资产的收益之间的关系有关。

在一定条件下，存在一组使得组合风险最小的投资比例。

（2）最优组合规模：随着组合中资产种数增加，组合的风险下降，但是组合管理的成本提高。

当组合中资产的种数达到一定数量
后，风险无法继续下降。

（3）贡献者(Pioneers)：
托宾：1981年诺贝尔经济学奖。

哈佛博士，耶鲁教授。

主要贡献：流动性偏好、托宾比率分析、分离定理。

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马科伟斯：1990年诺贝尔经济学奖。

曾在兰德工作。

主要贡献：投资组合优化计算、有效疆界。

夏普：1990年诺贝尔经济学奖。

曾在兰德工作。

UCLA博士，
华盛顿大学、斯丹福大学教授。

主要贡献：CAPM。

林特勒：美国哈佛大学教授。

主要贡献：CAPM。

（4）代表作（Classic Papers）：
Harry Markowitz,“Portfolio Selection,”,JOF,1952.
William Sharp,“Capital Asset Pricing: A Theory of Market Equilibrium Under Condition of Risk,”JOF, 1964.
John Lintner,“The Valuation of Risk Assets & Selection of Risky Investments in Stock Portfolio & Capital
Budget,”RE&S, 1965.
James Tobin,“Liquidity Preference as Behavior toward Risk,”RES,1958.
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二、投资组合理论的意义
1、理论价值
（1）提供解决投资最优组合选择的科学理论和方法；
（2）为资产定价模型（CAPM）提供重要的理论基础。

2、应用价值
（1）资产组合管理（如基金管理）的“圣经”；
（2）基金管理立法的依据：规定基金的持股比例；
《证券投资基金管理暂行办法》（1997，11）
《关于加强证券投资基金监管有关问题通知》
三、投资组合原理与假设
1、组合的收益和风险
（1）组合收益和风险的计算公式
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投资组合的收益：
k
Ｅ（Ｒ）＝∑ＣjＥ(Ｒj)
j=1
投资组合的方差（风险）：(j,j'=1,2,…,k; j≠j')
k k k
Ｖar（Ｒ）＝∑Ｃ2jσ2(Ｒj)＋ΣΣＣjＣj'σ(ＲjＲj')
j=1 j=1 j'=1
其中：Ｃj是第j个证券的投资比例，且∑Ｃj＝１；
Ｅ(Ｒj)是第j种证券的平均收益；
σ2(Ｒj)是第j种证券的收益的方差；
σ(ＲjＲj‘)是第j个证券的收益与第j’个证券的收益的协方差，σ(ＲjＲj‘) ＝Ｅ{[Ｒij－Ｅ(Ｒj)][Ｒij'－Ｅ(Ｒj')]}
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（2）影响组合收益和风险的数量因素
（a）影响组合收益：各种证券的平均收益、投资比例；
（b）影响组合风险：各种证券自身的风险、投资比例、协方差。

（3）从协方差σ(ＲjＲj')到相关系数ρjj’——计算组合风险的新公式
σ(ＲjＲj')
ρjj'＝────────
σ(Ｒj)σ(Ｒj')
Ｅ{[Ｒij－Ｅ(Ｒj)][Ｒij'－Ｅ(Ｒj')]}
＝───────────────────
σ(Ｒj)σ(Ｒj')
差的加权
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2、适度组合规模原理——寻求“最优”的组合规模
设一个Ｋ元投资组合，每个证券的投资比例相等，即Ｃj＝1 / K，则
k k k
Ｖar(Ｒ)＝∑(1/K)2σ2(Ｒj)＋∑∑(1/K)(1/K)σ(ＲjＲj') (j＝1,2,…,k) j=1 j=1 j'=1
再设此Ｋ元投资组合中，其中一个证券具有最大风险(方差)Ｖ，则
上式第1项：
k k k ＶＫＶ
∑(1/K)2σ2(Ｒj)≤∑(1/K)2Ｖ＝(1/K)2 ∑Ｖ＝──＝─
j=1 j=1j=1Ｋ2 Ｋ
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显然，当组合规模无限大时，Lim [V/K]＝0
k→∞
k
所以lim∑(1/K)2σ2(Ｒj)＝0
k→∞j=1
上式第2项：
k k　＿
∑∑(1/K)2σ(ＲjＲj')＝(1/K)2[K(K－1)σ(ＲjＲj')] j=1 j'=1　
＿＿
＝(K/K)2σ(ＲjＲj')－K(1/K)2σ(ＲjＲj')＿
其中：σ(ＲjＲj')是投资组合的平均协方差。

当Ｋ→∞，
＿＿＿Lim[(K/K)2σ(ＲjＲj')－K(1/K)2σ(ＲjＲj')]＝σ(ＲjＲj') k→∞
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结论：当Ｋ→∞，组合的风险逼近于组合中各证券的收益之间的协方差的平均值。

4、适度组合规模的实证研究
（1）Evans & Archer(JOF,1968)的研究：适度组合规模≈16。

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（2）Wagner & Lau( FAJ,1971)的研究：
（a）适度组合规模≈15，超过15并不能显著降低组合风险；
简单组合的收益和风险（１９６０.６－１９７０.５）────────────────────────────────Ｋ月收益的均方差组合与市场相关系数组合的平均月收益────────────────────────────────
1 0.70 0.54 0.0110
2 0.50 0.6
3 0.0084
3 0.48 0.75 0.0102
4 0.46 0.77 0.0096
5 0.4
6 0.79 0.0101
10 0.42 0.85 0.0096
15 0.40 0.88 0.0107
20 0.39 0.90 0.0109
────────────────────────────────
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（b）证券等级越高（低风险），组合风险越低，收益越低；
反之，证券等级越低（高风险），组合风险越高，收益越高。

不同等级证券组合的收益和风险（Ｋ＝２０）────────────────────────────────
等级系统风险系数（β）组合的均方差组合的平均月收益
────────────────────────────────A+ 0.74 0.039 0.67
A 0.80 0.042 0.69
A-0.89 0.045 0.78
B+ 0.87 0.045 1.04
B 1.23 0.063 1.05
B- 1.23 0.063 1.03────────────────────────────────
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（4）Johnson & Shanno( JFE, 1974)的研究:
投资比例确定方法不同，对组合收益有显著影响，但对风险的影响不显著。

组合中投资比例确定方法对组合收益与风险的影响比较——————————————————————————————————————————
等权分配二次规划分配
组合规模季平均收益VAP 组合规模季平均收益VAP ——————————————————————————————————————————
3 1.99 0.0240 N.A. N.A. N.A.
5 1.82 0.0160 N.A. N.A. N.A.
7 2.21 0.0146 2.58 4.10 0.0150
9 1.89 0.0134 3.06 3.72 0.0133
11 1.99 0.0128 3.40 3.78 0.0115
13 1.95 0.0130 3.57 3.68 0.0137
15 2.32 0.0125 4.19 4.31 0.0117
17 2.04 0.0127 4.43 4.40 0.0125 ——————————————————————————————————————————
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（5）Bruo H. Solnik(1974) 的研究:
（a）各国资本市场的投资组合降低风险的程度存在显著差异；
（b）跨国资本市场的投资组合能够有效地降低风险。

各国资本市场投资组合风险降低的比较
—————————————————————
市场风险降低程度
—————————————————————
美国27%
英国24.5%
法国32.7%
西德43.8%
意大利38%
比利时19%
荷兰24.1%
瑞典44%
国际11%
—————————————————————
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（7）吴世农、冉孟顺、肖珉、
李雅丽（1999）的研究：
（a）在中国，组合降低风
险的程度与上市公司的规模
有一定关系。

在同样的组合
规模，大、中等规模的公司
的组合降低风险的程度高于
小规模公司的组合。

（b）在中国，组合降低风
险的程度与上市公司的EPS
有一定关系。

在同样的组合
规模，EPS高的公司的组合
降低风险的程度高于EPS低
的公司的组合。

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（c）风险调整
后的收益显示：
小公司的收益大
于中、大公司；
EPS高的公司的
收益低于EPS低
的公司。

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（8）许年行、吴世农（2003）的研究：
（a）深市股票投资组合的适度规模为17种股票，沪市为22种,深沪整体市场为21种，其相应可降低总风险的比例深市为34.57%，沪市为41.81%，深沪整体市场为42.61%。

（b) 深市股票组合的系统性风险高于沪市的系统性风险，但深市组合的收益率却小于沪市组合的收益率。

深市股票组合并没有表现出”高风险、高收益“特征，而沪市组合在承担较低风险的情况下却能得到较高收益。

（c) 跨行业股票组合并不能更有效的降低组合的非系统性风险，但在同等的组合规模，跨行业股票组合能获得比简单随机等权组合更高更稳定的收益。

（d) 市场的变动趋势对组合的总风险和系统性风险有影响。

当股市处于上升阶段，总风险最高，系统性风险也最高；盘整时组合的总风险最低，系统性风险也最低；下跌时组合的总风险和系统性风险居两者之间。

(e) 股票投资组合的组合风险存在显著的BM（权益帐面市值比）效应、SIZE（流通市值）效
应、EP（每股净收益与股价比）效应、DP（每股股利与股价比）效应；组合收益存在显著的BM 效应、SIZE效应、DP效应、CFP（每股现金流与股价比）效应。

(f) 组合风险的分组效应与检验期的长度有关，随着检验期的变长（1年变到2年），各种分
组效应逐步退化并最终消失；组合收益的分组效应与检验期的长度没有明显关系，随着检验期的变长，分组效应并未消失，而是表现出很强的稳定性。

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五、马克伟斯投资组合分析
1、马克伟斯组合——最优投资组合理论假设：
(1)在即定风险下收益最高或在即定收益下风险最低的投资组合(二阶随机占优)
(2)组合收益分布和协方差已知
(3)投资者偏好可用均值方差模型描述
2、马克伟斯组合的主要特点：
（1）不是随机地选择证券，而是选择收益之间的相关系数小于＋１的证券构成投资组合，从而有效地降低组合的风险。

（2）通过改变投资比例，建立一系列投资组合。

这些投资组合的收益和风险不同，从而可使不同类型的投资者根据其对收益－风险偏好程度不同选择其认为是“最佳的投资组合”。

（3）对比简单组合，在同一水平的收益率，它能更有效地降低风险。

换言之，马克伟斯组合能不以降低收益水平为代价地降低风险。

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4、马克伟斯二元投资组合分析
（1）风险最小的二元投资组合
当ｋ＝２时，ＣX＋ＣY＝１，则ＣY＝(１－ＣX)
)＝Ｃ2xσ2(Ｒx)＋(1－Ｃx)2σ2(Ｒy)
Ｖar(Ｒ
p
＋２Ｃx(１－Ｃx)ρxyσ(Ｒx)σ(Ｒy)
)求导，并令求导结果等于零，即
对Ｖar(Ｒ
p
[dＶar(Ｒ
)/dＣx]＝2Ｃxσ2(Ｒx)－2σ2(Ｒy)＋2Ｃxσ2(Ｒy)
p
＋2ρxyσ(Ｒx)σ(Ｒy)－4Ｃxρxyσ(Ｒx)σ(Ｒy)＝０
σ2(Ｒy)－ρxyσ(Ｒx)σ(Ｒy)
Ｃ*x＝────────────────────
σ2(Ｒx)＋σ2(Ｒy)－２ρxyσ(Ｒx)σ(Ｒy)
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（2）影响最优投资比例的因素——ρxy
（a）当ρxy= +1 时
σ2(Ｒy)-σ(Ｒx)σ(Ｒy)
Ｃ*x＝──────────────────
σ2(Ｒx)＋σ2(Ｒy)-２σ(Ｒx)σ(Ｒy)（b）当ρxy= -1 时
σ2(Ｒy)+σ(Ｒx)σ(Ｒy)
Ｃ*x＝──────────────────
σ2(Ｒx)＋σ2(Ｒy)+２σ(Ｒx)σ(Ｒy)（c）当ρxy= 0 时
Ｃ*x＝σ2(Ｒy)/[σ2(Ｒx)＋σ2(Ｒy)]
4、应用：马克伟斯二元投资组合
设A和B二种证券的收益分别为14%和8%；风险分别为6%和3%。

求当二种证券的收益之间的相关系数为+1、-1、0、+0.3和-0.3情况下组合收益与风险之间的关系（图形或函数表示）、最优投资比例及其收益和风险？在何种情况下，存在使得风险为零的组合？
（1）当ρxy= +1
（a）E(Ｒ
p
)= 14Xa + 8(1-Xa)= 8 + 6Xa
σ(Ｒ
p
)= 6Xa + 3(1-Xa)= 3 + 3Xa
Xa= (1/ 3)σ(Ｒ
p
)-1
E(Ｒ
p )= 8 + 2σ(Ｒ
p
)-6 = 2 + 2 σ(Ｒ
p
) ---线性关系
9 -(6)(3)
（b）Xa*= --------------= -100%
9 + 36 -36
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（c）当Xa= -100%时，组合风险（标准差）=0。

这意味着只有“卖空”X证券（允许Xa<0 ）才能获得“零风险的投资组合”，其收益和风险是：
E(Ｒ
p )= 8+ 6Xa = 8 + 6（-1）= 2σ(Ｒ
p
)= 0
（2）当ρxy= -1
（a）E(Ｒp)= 14Xa + 8(1-Xa)= 8 + 6Xa
　σ(Ｒp)= 6Xa -3(1-Xa)= 9Xa -3
Xa= (1/ 9)σ(Ｒp)-(1/3)
E(Ｒp)= 8+6[(1/9)　(Ｒp)-(1/3)]=6+(2/3)　(Ｒp)
9 + (6)(3)
（b）Xa* = --------------= 1/3
9 + 36 + 36
（c）当Xa= 33.33%时，组合风险（标准差）=0。

这意味着
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将1/3的资金投资于X证券，可以获得“零风险的投资组合”，其收益和风险是：
E(Ｒ
p )= 8+ 6Xa = 8 + 6（1/3）= 10σ(Ｒ
p
)= 0
（3）当ρxy= 0
（a）E(Ｒ
p
)= 14Xa + 8(1-Xa)= 8 + 6Xa
σ(Ｒ
p
)=[36X2a + 9(1-Xa)2 ]1/2
显然，E(Ｒ
p )与σ(Ｒ
p
)之间是非线性关系
（b）Xa*= 9/（9+36）=1/4
（c）当Xa= 25%时，组合风险（标准差）最小。

这意味不存在“零风险的投资组合”，但存在“风险最小的投资组合”，其
收益和风险是：
E(Ｒ
p
)=8 + 6Xa=8+6（1/4）= 9.5
σ(Ｒ
p )=[36X2a -9(1-Xa)2 ]1/2=[36(1/16)-9(9/16)]1/2=2.65 Portfolio Management: Theory & Practice
（4）当ρxy= + 0.3
（a）E(Ｒ
p
)= 14Xa + 8(1-Xa)= 8 + 6Xa
σ(Ｒ
p
)=[36X2a + 9(1-Xa)2 +2Xa(1-Xa)0.3(3)(6)]1/2
=[ 34.2X2a -7.2Xa+ 9 ]1/2
显然，E(Ｒ
p )与σ(Ｒ
p
)之间是非线性关系
9 -(6)(3)(0.3)
（b）Xa*= -----------------------= 10.53%
9 + 36 -2(3)(6)(0.3)
（c）当Xa= 10.53%时，组合风险（标准差）最小。

这意味不存在“零风险的投资组合”，但存在“风险最小的投资组合”，其收益和风险是：
E(Ｒ
p
)= 8 + 6Xa=8+6（10.53%）= 8.63
σ(Ｒ
p )==[34.2(10.53%)2-7.2(10.53%)+ 9]1/2 = 2.94 Portfolio Management: Theory & Practice
（5）当ρxy= -0.3
（a）E(Ｒ
p
)= 14Xa + 8(1-Xa)= 8 + 6Xa
σ(Ｒ
p
)=[36X2a + 9(1-Xa)2 -2Xa(1-Xa)0.3(3)(6)]1/2
=[ 55.8X2a -28.8Xa+ 9 ]1/2
显然，E(Ｒ
p )与σ(Ｒ
p
)之间是非线性关系9 + (6)(3)(0.3)
（b）Xa*= -------------------------= 25.8%
9 + 36 + 2(3)(6)(0.3)
（c）当Xa= 10.53%时，组合风险（标准差）最小。

这意味不存在“零风险的投资组合”，但存在“风险最小的投资组合”，
其收益和风险是：
E(Ｒ
p
)= 8 + 6Xa = 8 + 6（25.8%）= 9.55
σ(Ｒ
p )==[55.8(25.8%)2-28.8(25.8%)+ 9]1/2 = 2.3 Portfolio Management: Theory & Practice
/]
/)([/1)
(22~~2−−C D C A r E C r p p σ两基金分离定理：前沿边界可由任意两个前沿证券组合生成－
行为组合理论
行为组合理论：非理性的认知和行为偏差，经验规则、景况依赖、投资理念
框架效应:决策不仅考虑预期效用，也会考虑行为环境和
框架方式，贫富地位或观念习性
非贝叶斯法则预期：代表性认知，小数法则偏差
损失规避：对于损失的敏感高于收益，偏好于财富增量而非总量，负期望的风险寻求，偏好不确定性的损失
决策参考点决定风险态度：以自身的处境判断行为，更重视预期与结果的差距而非结果本身
生物演化投资组合理论：稳定的演化投资策略是将财富在各资产上按相对红利进行常数比例分配，优于行为金融投资组合策略。

Hens, Schenk, Stalder
Capital Market：Theory & Methodology (WZF/HQU)
六、市场指数模型（Market Model，William Sharp ，1963）
1、市场模型的作用
（1）减少计算马克伟斯投资组合的工作量；
（2）描述单个资产收益与市场收益之间呈简单线性关系；
（3）为建立CAPM理论奠立前期工作。

2、市场模型及其依据
（1）模型
Ｒi＝αi＋βiＲm＋εi 单指数模型
其中：Ｒi是第i 种证券的收益率；αi和βi模型的参数；
Ｒm是证券市场的收益率；εi是随机误差，且
Ｅ(εi)＝0，Ｖar(εi)＝σ2(εi)，Ｃov(εi,εj)＝0；i≠j。

Capital Market：Theory & Methodology (WZF/HQU)
对上式求数学期望值和方差得：
Ｅ（Ｒi）＝Ｅ（αi＋βiＲm＋εi）
＝αi＋βiＲm
Ｖar（Ｒi）＝Ｖar（αi＋βiＲm＋εi）
＝（βi）2Ｖar（Ｒm）＋Ｖar（εi）
总变动＝系统性变动＋非系统性变动
总风险＝不可化解风险＋可化解风险
（2）依据：共同因素（Common Factor）和线性相关（Linear Correlation）（a）证券市场上各种资产的收益呈现明显的、稳定的相关关系，说明了各种资产的收益变动，在很大程度上，都共同受宏观经济因素或受证券市场变动的影响。

这种影响因素，称为“共同因素”。

（b）这种共同因素可以定义为“证券市场收益”，通常用“综合指数涨跌幅（%）”来表示，如“标准普尔500指数”、“纽约股市综合指数”、“上海股市综合指数”等，它是共同因素的典型表现形式。

3、模型的特征与含义
（1）特征
（a）β
i
=Ｃov(R i,R m)/Ｖar（Ｒm）
αi= E（R i）-βi×E（Ｒm）
（b）非系统性风险/总风险= 1-相关可决系数R2
系统性风险/总风险= 相关可决系数R2
R2 = β2
i
Ｖar（Ｒm）/Ｖar（Ｒi）
（c）β
p = a β
a
+ b β
b
E（R
p ）= a E（R
a
）+ b E（R
b
）（ a + b = 100% ）Capital Market：Theory & Methodology (WZF/HQU)
Capital Market：Theory & Methodology (WZF/HQU)
（2）含义
（a）个股收益受市场收益影响，二者为“简单线性关系”；
（b）总风险可以分解为系统性风险和非系统性风险，在组合投资时，非系统性风险随着组合规模的增加而减少，甚至“消失”，所以，“非系统性风险”是“可化解风险”；
（c）市场收益解释个股收益变化的能力等于个股系统性风险占总风险的比重；
（d）个股收益变动与市场收益变动的差异越大，系统性风险越小，反之越大。

4、模型的估算和应用
（1）模型的估算——最小二乘法（MLS Method）
（2）模型的应用——Kaiser Aluminum & Chemical Co.。