福建省光泽县第二中学2021高中数学 2.4.2 等比中项及等比数列的性质(1)

福建省光泽县第二中学2021高中数学 2.4.2 等比中项及等比数列的性质教案 新人
教A 版必修5
●课标要求：灵活应用等比数列的概念及通项公式；深刻明白得等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判定数列是不是成等比数列的方式 ●教学重点
等比中项的明白得与应用 ●教学难点
灵活应用等比数列概念、通项公式、性质解决一些相关问题
●教学设计思路：通过自主探讨、合作交流取得对等比数列的性质的熟悉。

充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰硕多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的爱好。

●教学进程 Ⅰ.课题导入
第一回忆一下上一节课所学要紧内容：
1．等比数列：若是一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么那个数列就叫做等比数列.那个常数叫做等比数列的公比；公比通经常使用字母q 表示（q ≠0），即：
1
-n n
a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q
a a m m
n m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔n
n a a 1+=q （+
∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 Ⅱ.教学新课
一．等比中项：若是在a 与b 中间插入一个数G ，使a , G ，b 成等比数列，那么称那个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a , b 同号）
分析：
若是在a 与b 中间插入一个数G ，使a , G ，b 成等比数列，那么ab G ab G G
b
a G ±=⇒=⇒=2， 反之，假设G 2
=a b ,那么
G
b
a G =，即a , G ,
b 成等比数列。

因此a , G , b 成等比数列⇔G 2
=a b （a ·b ≠0） [范例讲解]
1. 讲义P58例4
证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ， 那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项别离为：
它是一个与n 无关的常数，因此{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列 2. 拓展探讨：
(1)关于例4中的等比数列{n a }与{n b }，数列{
n
n
a b }也必然是等比数列吗？ 探讨：设数列{n a }与{n b }的公比别离为12q q 和，令n n n
a c
b =
，那么111n n n a c b +++=
1
111112
()()n n n n n n n n n n
a c
b a b q
a c a
b q b +++++∴
===，因此，数列{n n a b }也必然是等比数列。

(2)当数列{n a }与{n b }，是项数相同的两个等差数列时，数列{p n a +q n b } (其中p ，q 是常数)也是等差数列吗？（让学生课后讨论） 3．讲义P59的练习4 已知数列{n a }是等比数列，
（1）2537a a a =是不是成立？2
519a a a =成立吗？什么缘故？ （2）2
11(1)n n n a a a n -+=>是不是成立？你据此能取得什么结论？
2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是不是成立？你又能取得什么结论？
结论：（引出下面本课第2个知识点）
二 ．等比数列的性质： 假设m+n=p+k ，那么k p n m a a a a =
分析：
在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？
由概念得：1
1n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a q a a
则22
1-+=⋅n m n m q a a a ， 因此： k p n m a a a a = Ⅲ.课堂练习
讲义P59-60的练习3、5 Ⅳ.课时小结
1．a , G , b 成等比数列⇔G 2
=a b （a ·b ≠0），且G 为a ，b 的等比中项
2．等比数列{n a }中，假设m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅ 3．假设{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，那么{}n n b a ⋅、{n
n
a b }也是等比数列 Ⅴ.课后作业
讲义P60习题2.4A 组的3、5题 ●配套习题： A 组 双基演练 1.
12+和12-的等比中项为： （D ）
A 223-
B ()
223-± C 1 D 1± 2．在等比数列}{n a 中2762=a a 则多少=53a a （A ） A 27 B -27 C 27或-27 D 33
3． 知数列}{n a 是公比1≠q 的等比数列，给出以下六个数列：（1）{}()0≠k ka n （2）{}12-n a （3）{}n n a a -+1（4）{}1+n n a a （5）{}n na （6）{}3
n
a ，其中仍能组成等比数列的个数为（B ）
A 4
B 5
C 6
D 3
4． 在由正数组成的等比数列}{n a 中，假设3654=a a a ， 9821333log log log 3log a
a
a
a
+++的值为：（A ）
A 34
B 4
3
C 2
D 34
3
6．在等比数列}{n a 中，假设9,663==a a ，那么___________9=a （为
2
27） 7．假设b 为a , c 的等差数中项，又是a , c 等比中项，那么数列a ,b , c 的公比为______(为1) 8．在两个数2和32中插入3个数，使它们成等比数列，那么这三个数为____________ (为4，8，16或 –4，8，-16) 9．在等比数列}{n a 中，已知8,7321321==++a a a a a a 求通项公式n a 解：n n n n a q a q --====31
22
1
2
2时；在时当
10．数列}{n a 中（1）假设,8654=a a a ，求97531a a a a a 的值（2）假设0>n a 且252645342=++a a a a a a ，求53a a +的值
解：97531a a a a a =32 53a a +=5
11．依照某高校高二年级环保小组的调查，某地域垃圾的年增加率为b ，2004年生产的垃圾量为a 吨若是垃圾量继续按此规律增加，求该地域2020年的垃圾量是多少？ 解：为()4
1b a +吨
B 组 提高练习
1． 数列}{n a 是公比1≠q 的等比数列，给出以下六个数列：（1）{}()0≠k ka n （2）{}12-n a （3）{}n n a a -+1（4）
{}1+n n a a （5）{}n na （6）{}3n a ，其中仍能组成等比数列的个数为（B ）
A 4
B 5
C 6
D 3 2．
12+和12-的等比中项为： （D ）
A 223-
B ()
223-± C 1 D 1±
3．在等比数列}{n a 中2762=a a 则多少=53a a （A ）
A 27
B -27
C 27或-27
D 33 4． 是一个公比不为1的等比数列，那么是的 （C ）
A 充要条件
B 必要不充分条件
C 充分没必要要条件
D 非充分非必要条件
6．在等比数列}{n a 中，假设23=a ，89=a 则________6=a (4±)
7．假设b 为a , c 的等差数中项，又是a , c 等比中项，那么数列a ,b , c 的公比为______(为1) 8．在两个数2和32中插入3个数，使它们成等比数列，那么这三个数为____________ (为4，8，16或 –4，8，-16)
9．依照某高校高二年级环保小组的调查，某地域垃圾的年增加率为b ，2004年生产的垃圾量为a 吨若是垃圾量继续按此规律增加，求该地域2020年的垃圾量是多少？ 解：为()4
1b a +吨
10．已知等比数列}{n a 中，64642==a a a 求数列的通项公式
解：n
n a )2(-=
11．三个数成等比数列，其和为26，平方和为1092，求这三个数 解：为2，-8，32或32，-8，2。