黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二6月月考数学(理)试题Word版
哈尔滨市第六中学2017-2018学年度下学期6月月考高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．若集合{}| A x y x R ==∈，Z 为整数集，则集合A Z ⋂中所有元素之和为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 2. 若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．()1,0- C ．()1,+∞ D ．(),1-∞- 3．已知ξ服从正态分布2(1,),N a R σ∈，则“()0.5P a ξ>=”是“关于x 的二项式321()ax x +的展开式的常数项为3”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件4．若函数2()2f x x lnx =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 （ ）A. 13(,)22-B. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. [)1,2D. 3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 5．哈六中消防演练期间，安排6位学生志愿者到4个安全出口提供服务，要求甲、乙两个安全出口各安排一个同学，剩下两个安全出口各安排两个同学，其中的小李同学和小王同学不在一起，不同的安排方案共有（ ）A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种6．设函数()sin cos f x x x x =+的图象在点(,())t f t 处切线的斜率为()g t ，则函数()y g t =的图象一部分可以是( )A B C D 7．已知{}222(,)A x y x y π=+≤， B 是曲线sin y x =与x 轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为（ ）A ．22π B ．24π C ．32π D ．34π8．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是 A.⎰cadx x f )( B. ⎰cadx x f )(C.⎰⎰+c bbadx x f dx x f )()( D. ⎰⎰-bac bdx x f dx x f )()(9．设随机变量ε的分布列为)1()(+==k k ck P ε（k =1，2，3且c 为常数），则)5.25.0(<<εP =( ) A.98 B. 76C.87D. 6510.已知曲线x x y 33-=和直线x y =所围成图形的面积是m ,则5)(m x +的展开式中3x 项的系数为（ ）A. 480B. 160C. 1280D.64011.哈六中高二学年的A,B,C,D,E 五位同学准备从四门选修课中各选一门，若已知每门选修课至少有一人选修的前提下，则A,B 不选修同一门课的概率（ ） A.1211 B. 101 C. 109 D. 121 12.已知函数,3)(2xme x x f --=若0)(=x f 有三个不等实根，则实数m 的取值范围（ ）A )6,2(3e e - B. )6,(3e -∞ C. )2,0(e D. )6,0(3e 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下． 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 ．14．甲乙两人进行跳棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分.若其中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率为53，乙在每局中获胜的概率为52，且各局胜负相互独立.则没下满5局甲就获胜的概率_______15．已知点(,)P a b 在函数2e y x =（其中 2.71e =， e 为自然对数的底数）的图象上，且1,1a b >>，则lnb a 的最大值为__________．16.定义在Ｒ上的连续函数()f x 满足2()()f x f x x +-=，且0x <时，'()f x x <恒成立，则不等式1()(1)2f x f x x --≥-的解集为________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.为推动哈六中乒乓球运动的发展，哈六中求是杯乒乓球比赛允许不同学年的运动员之间组队参加.现有来自高一学年的运动员3名，其中种子选手2名；高二学年的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个学年”求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.18．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{ 1x cos y sin ϕϕ==+（ϕ为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线2C 的极坐标方程为θα=，其中02πα<<.（1）求1C 的极坐标方程；（2）若2C 与1C 交于不同两点A ， B ，且OA OB >，求11OB OA-的最大值.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是边长4PB PD PC ===，点E 为PA 中点，AC 与BD 交于点O .（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B PA D --的余弦值.20. 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：（1）根据已知条件完成上面的2×2列联表并据此资料，你是否有95%的可靠性认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望()E X 和方差()D X ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．已知圆M ： ()22116x y ++=与定点()1,0N ， P 为圆M 上的动点，点Q 在线段MP上，且满足QP QN =. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）设曲线C 与x 轴正半轴交点为A ，不经过点A 的直线l 与曲线C 相交于不同两点D ，E ，若0AD AE ⋅=.证明：直线l 过定点.22. 已知函数()(0)f x alnx ax a =-≠ (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()(1)10f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立,求实数a 的取值范围;(3)求证:),2(2)1)(2(!ln *N n n n n n ∈≥-+<。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二下学期期中考试数学试题一、单选题 1．函数21ln 2y x x =-的单调减区间是( ) A ．(0,1) B ．(0,1)(,1)⋃-∞- C ．(,1)-∞ D ．(,)-∞+∞【答案】A【分析】求出导函数，令导函数小于零可得答案. 【详解】设()21ln 2f x x x =-，定义域为()0,∞+，则()1f x x x '=-令()1001f x x x x'=-<⇒<<， 故选：A.2．在数列{}n a 中，1112,1n na a a +=-=-，则2022a 的值为（ ） A ．2- B ．13C ．12D ．32【答案】B【分析】根据递推公式，计算数列的前4项，得出数列的周期，进而求得结果. 【详解】在数列{}n a 中，1112,1n na a a +=-=-，211131122a a =-=-=-，321211133a a =-=-=，4311132a a =-=-=-，所以数列{}n a 的周期为3，20223674=⨯，所以2022313a a ==，故选：B. 3．函数()ln xf x x=的最大值为（ ） A ．1 B ．eC ．1eD ．2e【答案】C【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值； 【详解】解：因为()ln x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=， 令()0f x '>可得0e x <<，令()0f x '<可得e x >， 所以()f x 在(0,e)上单调递增，在()e,+∞上单调递减， ∴函数ln ()xf x x=在e x =处取得极大值，即最大值，所以()()max 1e e f x f ==．故选：C ．4．已知曲线()e xf x =在点()()0,0P f 处的切线也是曲线()()lng x ax =的一条切线，则实数a 的值为（ ） A ．e 3B ．e 2C ．eD ． 2e【答案】D【分析】求出函数的导函数，即可求出()f x 在点P 处的切线方程，再设1y x =+与()y g x =的切点为(,)m n ，即可得到方程，解得m 、n ，再代入计算可得；【详解】解：因为()e x f x =，所以()01f =，()e xf x '=，所以()01f '=，所以切线的方程为1y x =+， 又()ln()g x ax =，所以1()g x x'=， 设切线1y x =+与()y g x =的切点为(,)m n ， 可得切线的斜率为11m=，即1m =， 1112n m =+=+=，可得切点为(1,2)，所以2ln a =，解得2e a =． 故选：D ．5．某人用本金5万元买了某银行的理财产品，该产品按复利计息(把前一期的利息和本金加在一起作为下一期的本金)约定每期利率为5%，已知若存期为m ，本息和为5.5万元，若存期为n ，本息和为5.8万元，则存期为m n +时，本息和为（ ）(单位：万元) A ．11.3 B ．6.52 C ．6.38 D ．6.3【答案】C【解析】按照复利计算公式，以及指数运算公式，求解. 【详解】由已知得：5 1.05 5.5⨯=m ，5 1.05 5.8⨯=n ，故 5.5 5.85 1.05 6.385+⨯⨯==m n. 故选：C .6．数列{}n a 满足()21*1233333n n na a a a n N -++++=∈，则12310a a a a 等于（ ） A ．5513⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10113⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9113⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6613⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据题意得到22123113333n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到13n n a =，（2n ≥），再验证113a =满足13n n a =，得到13n n a =()*n N ∈，进而可求出结果.【详解】因为数列{}n a 满足()21*1233333n n na a a a n N -++++=∈， 22123113333n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1113333n n n n a --=-=，则13n n a =，（2n ≥）， 又113a =满足13n n a =，所以13n n a =()*n N ∈，因此5510(110)123 (110)231201323a a a a +------⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：A7．若2x =-是函数21()(1)x-f x x ax e =+-的极值点，则()f x 的极大值为（ ） A ．1- B ．35e -C ．32e --D ．1【答案】B【分析】求出导函数，由极值点2-求得参数a ，再确定函数的极大值点，得极大值． 【详解】由题意21()[(2)1]x f x x a x a e -'=+++-，∴3(2)(4241)0f a a e -'-=--+-=，解得1a =-，即21()(2)x f x x x e -'=+-1(1)(2)x x x e -=-+，2x <-或1x >时，()0f x '>，()f x 在(,2)-∞-和(1,)+∞上递增， 21x -<<时，()0f x '<，()f x 递减，∴2x =-时，()f x 取得极大值3(2)5f e --=． 故选：B ．【点睛】本题考查用导数求函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键． 8．已知()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数.若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，且()13f =，则不等式()12e x f x -->的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞【答案】B【分析】依题意原等价于不等式1()21e x f x -->，构造函数1()2()e x f x g x --=，利用导数说明函数的单调性，即可得到()()1g x g >，从而得解； 【详解】解：不等式1()2e x f x -->，等价于不等式1()21e x f x -->，构造函数1()2()e x f x g x --=，则1()(()2)()e x f x f x g x -'--'=， 若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-， 则()0g x '>，()g x 在R 上单调递增， 又()0(1)211e f g -==， 故1()21e x f x -->即()()1g x g >， 故不等式的解集是(1,)+∞， 故选：B ． 二、多选题9．已知函数()e e cos2-=--x xf x x ，若()()12f x f x >，则（ ）A ．12e 1x x ->B ．3312x x >C ．12ln ln x x >D ．1122x x x x >【答案】ABD【分析】先求导，利用基本不等式求出()22sin 20f x x ≥+>'，从而得到()f x 单调递增，得到12x x >，根据函数单调性得到ABD 选项，C 选项可以举出反例. 【详解】()f x 定义域为R ，()e +e 2sin 22sin 222sin 2x x f x x x x -=+'≥=+， 当且仅当e e =x x -即0x =时，等号成立，此时()22sin02f x ='+=， 所以()22sin 20f x x ≥+>'恒成立，所以()f x 单调递增， 因为()()12f x f x >， 所以12x x >，因为e x y =单调递增，所以120e e 1x x ->=，A 正确；因为3y x =单调递增，所以3312x x >，B 正确；12x x >，但1x 与2x 大小不确定，例如121,1x x ==-， 此时满足12x x >，但1x =2x ，此时12ln ln x x =，C 错误；因为22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，画出函数图像，如下图：可知22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩单调递增，所以1122x x x x >，D 正确.故选：ABD10．已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220231a a a ⋅⋅⋅<，1220241a a a ⋅⋅⋅>，则（ ）A ．20241a >B ．当2022n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小C ．当1012n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小D ．存在1012n <，使得12n n n a a a ++=【答案】AC【分析】由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断，即可解出.【详解】对A ，∵10a >，1q >，∴0n a >，又12202301a a a <⋅⋅⋅<，1220241a a a ⋅⋅⋅>， ∴202412202311a a a a >>⋅⋅⋅，故A 正确；对B ，C ，由等比数列的性质，21202322022101210121012a a a a a a a ==⋅⋅⋅==，故202312202310121a a a a ⋅⋅⋅=<，10121a <，22202432023101310131013a a a a a a a ==⋅⋅⋅==，∴20232342024101311a a a a a a ⋅⋅⋅=>，∵1220231a a a ⋅⋅⋅<，10a >，1q >，∴11a <，111a >， ∴10131a >，故当1012n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小，B 错误，C 正确； 对D ，当1012n <时，10121n a a <<，故112n n n n a a a a +++<<，故D 错误. 故选：AC ．11．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，*0(N )n a n ≠∈，*13()1N n n n a a S n +=-∈，则下列结论正确的是（ ）A ．22a =B ．数列{}n a 为等差数列C ．422n n n a a a +++=D ．20300S =【答案】ACD【分析】根据给定条件探求出数列{}n a 的特性，再逐项分析、计算判断作答. 【详解】*N n ∈，131n n n a a S +=-，当2n ≥时，1131n n n a a S --=-，两式相减得：11()3n n n n a a a a +--=，而0n a ≠，则113n n a a +--=，当1n =时，111231312a a S a =-=-=，则22a =，A 正确；因3134a a =+=，211a a -=，322a a -=，即3221a a a a -≠-，数列{}n a 不是等差数列，B 不正确；因*N n ∈，23n n a a +-=，则423n n a a ++-=，即有422n n n n a a a a +++-=-，422n n n a a a +++=成立，C 正确；由C 选项的判断信息知，数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，3为公差的等差数列， 数列{}n a 的偶数项是以22a =为首项，3为公差的等差数列， 131924200122()()(1045303)(10453)0a a a a a a a S a =+++++++=+⨯+⨯=+，D 正确.故选：ACD【点睛】易错点睛：等差数列定义是判断数列是等差数列的重要依据，但易漏掉定义中的“从第2项起”与“同一个常数”的条件.12．已知函数()322f x x ax x =--，下列命题正确的是（ ）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则12a =B ．若1x =是函数()f x 的极值点，则()f x 在[]0,2x ∈上的最小值为32-C ．若()f x 在()1,2上单调递减，则52a ≥D ．若()2ln x x f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，则1a ≥-【答案】ABC【分析】对于A ，由()01f '=可求出a 的值，对于B ，由选项A ，可求得()f x ，然后利用导数可求出()f x 在[]0,2x ∈上的最小值，对于C ，由题意可得()0f x '≤，可求出a 的范围，对于D ，将问题转化为2ln a x x x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，构造函数2()ln h x x x x=--，再利用导数求出其最大值即可 【详解】对于A ，由()322f x x ax x =--，得()2322f x x ax '=--，因为1x =是函数()f x 的极值点，所以(1)3220f a '=--=，得12a =，经检验1x =是函数()f x 的极小值点，所以A 正确，对于B ，由选项A ，可知()32122f x x x x =--，则()232f x x x '=--，由()0f x '>，得23x <-或1x >，由()0f x '<，得213x -<<，所以()f x 在2(,)3-∞-和(1,)+∞递增，在2(,1)3-上递减，所以当[]0,2x ∈时，1x =时，()f x 取得最小值()1311222f =--=-，所以B 正确，对于C ，因为()f x 在()1,2上单调递减，所以()0f x '≤，即()23220f x x ax '=--≤，得312a x x ≥-在()1,2上恒成立，令31()((1,2))2g x x x x=-∈，则231()02g x x '=+>，所以()g x 在()1,2单调递增，所以(1)()(2)g g x g <<，即15()22g x <<，所以52a ≥，所以C 正确，对于D ，由()2ln x x f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，得232ln 2x x x ax x ≥-- 在[]1,2x ∈上恒成立，即2ln a x x x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，令2()ln h x x x x=--，[]1,2x ∈，则222122()10x x h x x x x -+'=-+=>，所以()h x []1,2x ∈上单调递增，所以max ()(2)2ln 211ln 2h x h ==--=-，所以1ln 2a ≥-，所以D 错误，故选：ABC 三、填空题13．已知函数()()()0ln 212cos f x f x x x '=+-+，则()0f '=______________. 【答案】2【分析】求出()f x '，令0x =，即可解出．【详解】因为()()()0ln 212cos f x f x x x '=+-+，所以()()202sin 21f x f x x ''=⨯--+，令0x =，()()0022f f ''=⨯-，解得：()02f '=． 故答案为：2．14．在数列{}n a 中，若111,12nn naa a a +==+，则n a =________.【答案】121n - 【分析】通过取倒数的方法，证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求得1na ，进而求得n a .【详解】取倒数得:1112n na a +=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，所以112(1)21n n n a =+-=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 15．若函数()()2*sin2n f n n n N π=∈，且()()1n a f n f n =++，则1232022a a a a +++⋅⋅⋅+=______________. 【答案】4048-【分析】由()()2*sin2n f n n n N π=∈，可得(2)f k 与(21)f k -表达式，又()()1n a f n f n =++，得到212,k k a a -，可得：212(1)8-+=-⋅k k k a a k ，即可解出原式.【详解】2*2()sin(),(1)1,(2)0,(3)3,(4)0,,2π=∈∴===-=⋯n n n n f f f f f N 可得2*(2)4sin 0,,π==∈f k k k k N2(21)(21)(21)sin2π--=-k f k k 21(21)(1)-=--k k . 又()(1),=++n a f n f n ∴2121(21)(2)(21)(1)--=-+=--k k a f k f k k ，22(2)(21)(21)(1)=++=+-k k a f k f k k .∴212212(21)(1)(21)(1)(1)8--+=--++-=-⋅k k kk k a a k k k .则[]123202281234100910101011a a a a ++++=⨯-+-++⋯-+-=4048-故答案为：4048-16．已知函数()||e =-xf x ax x ，()0,x ∈+∞，当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为______________. 【答案】e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由题可知，当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即可解出.【详解】因为当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，所以()()2e x g x xf x ax ==-在()0,x ∈+∞上是增函数，所以()e 20xg x ax =-≥'在()0,x ∈+∞上恒成立，即e2x a x≤在()0,x ∈+∞上恒成立，令e ()2xh x x =，所以()2e 1()2x x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，所以当1x =时，()h x 取得最小值，最小值为e 2，所以实数a 的取值范围为e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.四、解答题 17．已知函数32113f xx ax 在2x =-处有极值. (1)求实数a 的值及函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值.【答案】(1)1a =-，函数()f x 的增区间为(),2-∞-、()0,∞+，减区间为()2,0- (2)最小值1，最大值73【分析】（1）由已知可得出()20f '-=，求出a 的值，然后利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分析函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，可求得函数()f x 的最大值和最小值. 【详解】(1)解：因为32113f xx ax ，该函数的定义域为R ，且()22f x x ax '=-， 由已知可得()2440f a '-=+=，解得1a =-，则()3211f x x x =++，()22f x x x '=+，由()0f x '=可得2x =-或0x =，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为(),2-∞-、()0,∞+，减区间为()2,0-.(2)解：当[]1,1x ∈-时，函数()f x 在[]1,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增， 因为()513f -=，()713f =，则()()max 713f x f ==，()()min 01f x f ==. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-. (1)证明：数列{}1n a +为等比数列；(2)令()()2211n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析 (2)1614499n n n T ++=⋅- 【分析】（1）由题意得()1121n n S a n ++=-+ ，2n n S a n =-，两式相减化简可得()1121n n a a ++=+，即{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，从而可证得结论，（2）由（1）得()214nn b n =+⋅，然后利用错位相减法可求出n T【详解】(1)证明：当1n =时，1121S a =-，得11a =， 由题意得()1121n n S a n ++=-+ ，2n n S a n =- 相减得：121n n a a +=+，()1121n n a a ++=+， 由11a =，得112a +=所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列所以12nn a +=(2)由（1）得，21n n a =-，所以222141n nn a =-=-所以()214nn b n =+⋅所以()23345474214nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅()()23143454214214n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅相减()()2313122444214n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-+⋅()()211141446112221441433n n n n n -++-+=+⋅-+⋅=--∴1614499n n n T ++=⋅- 19．已知数列{}n a 满足13a =，112n n n a a ---=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n n a b a a +-=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：21153n S ≤<. 【答案】(1)21nn a =+；(2)证明见解析.【分析】（1）利用累加法求数列的通项公式；（2）裂项相消法求和，再由不等式性质及数列的单调性可得结论.【详解】(1)112n n n a a ---=，212a a ∴-=2322a a -=⋯112n n n a a ---=∴12221n n n n a a a -=-⇒=+.(2)()()1121121212121n n n n n n b ++==-++++ 12231111111111212121212121321n n n n S ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵11021n +>+，∴13n S <， ∵{}n S 单调递增，1215n S S ∴≥=, 即21153n S ≤<. 20．已知函数()()()221ln f x ax a x a x=-+-∈R . (1)讨论函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()()222ln 10f x a x x+++-=在区间2e,2e ⎡⎤⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)2211l e,2e n 2a --⎛⎤∈- ⎥⎝⎦【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，通分、化简为()()()212ax x f x x --'=，再对a分类讨论，分别求出函数的单调区间，即可得解； （2）依题意参变分离可得1ln xa x-=在2e,2e ⎡⎤⎣⎦上有两个不等实根，即直线y a =与1ln x y x-=有两个交点，令()1ln xh x x -=，2e e ,2x ⎡⎤∈⎣⎦，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的值域，即可得解.【详解】(1)解：()()221ln f x ax a x x=-+-定义域为()0+∞，， 所以()()()()222221212212ax a x ax x a f x a x x x x -++--+'=-+== 当0a =时，()22x f x x -+'=，当02x <<时()0f x '>，当2x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减； 当0a ≠时，()0f x '=有两根分别为12x =，21x a= 当0a >时：令12a >，解得102a <<，当02x <<或1x a>时()0f x '>，当12x a <<时()0f x '<，所以()f x 在()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.令12a <，解得12a >，当10x a<<或2x >时()0f x '>，当12x a <<时()0f x '<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，当02x <<时()0f x '>，当2x >时()0f x '<， 所以()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减；当12a =时()()211220x x f x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 综上所述：当0a ≤时：()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减的区间是()2,+∞当102a <<，()f x 的单调递增区间是()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，单调递减的区间是12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当12a >，()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，单调递减的区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭当12a =时：()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无减区间(2)解：()()222ln 1ln 10f x a x ax x x+++-=+-=. 则1ln x a x -=在2e,2e ⎡⎤⎣⎦上有两个不等实根，即直线y a =与1ln xy x -=有两个交点. 令()1ln x h x x -=，2e e ,2x ⎡⎤∈⎣⎦，()2ln 2x h x x -'=， 令()0h x '=，解得2e x =，当2e e x <<时()0h x '<，22e 2e x <<时()0h x '>，所以()h x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，在22e 2,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增. 所以()h x 在2e x =处取得极小值即最小值，即()()22min e e 1h x h ==-， 又()221ln 2e 2e2h --=，()e 0h =，所以()2,0e1h x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以2211l e,2e n 2a --⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 21．已知函数()ln af x x x=+，()R a ∈.(1)若函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为3，求实数a 的值； (2)若不等式()2xf x <在()1,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)2e a = (2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据函数()f x 的导数()2x af x x -'=，分别讨论1,13,3a a a ≤<<≥时，函数()f x 的单调性，即可确定函数()f x 在区间[]1,e 上的最值点，列式即可解出； （2）根据分离参数可知，不等式()2xf x <在()1,x ∈+∞上恒成立，等价于21ln 2a x x x<-在()1,+∞上恒成立，利用导数求出函数()21ln 2g x x x x =-在()1,x ∈+∞上的最小值，即可得到实数a 的取值范围. 【详解】(1)因为()ln a f x x x =+，()0,x ∈+∞，()2x a f x x-'=， 所以当1a ≤时，则()f x 在[]1,e 上单调递增，()f x 的最小值为()13f a ==不符合，舍去；当1e a <<时，则()f x 在[]1,a 上单调递减，在[],e a 上单调递增，在()f x 的最小值为()1ln 3f a a =+=，则2e a =不符合，舍去；当e a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递减，()f x 的最小值为()e 13eaf =+=，则2e a =． (2)ln 2a x x x +<在()1,+∞上恒成立，即21ln 2a x x x <-在()1,+∞上恒成立， 设()21ln 2g x x x x =-，()1,x ∈+∞，()ln 1g x x x =--'，设()()ln 1g x x x h x =-'=-，()11h x x'=-在()1,+∞上恒为正，则()g x '在()1,+∞上单调递增，()()10g x g ''>=，则()g x 在()1,+∞上单调递增，()()112g x g >=.所以12a ≤，即实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22．已知数列{}n a 满足12a =，122n n a a n ++=+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()1312n n na a nb λ+=+-⋅⋅，若数列{}n b 对*n N ∈是单调递增数列，求实数λ的取值范围.【答案】(1)()()1,,n n n a n n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 (2)90λ-<<【分析】（1）由题意可得22n n a a +-=，则{}n a 奇数项是首项为2，公差为2的等差数列，偶数项是首项为2，公差为2的等差数列，从而可求出其通项公式，（2）由于{}n b 是递增数列，所以1n n b b +>，然后分n 为奇数和n 为偶数，分别代入计算即可【详解】(1)由题意得，122124222n n n n n n a a n a a a a n +++++=+⎧⇒-=⎨+=+⎩， ∵12a =，∴22a ={}n a 奇数项是首项为2，公差为2的等差数列偶数项是首项为2，公差为2的等差数列 n 为奇数时，121212n n a n +⎛⎫=+-⋅=+⎪⎝⎭ n 为偶数时，2122n n a n ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭∴()()1,,n n n a n n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 (2)∵{}n b 是递增数列，∴1n n b b +>n 为奇数时，1132n n n b λ++=-⋅，31132n n n b λ+++=+⋅∴31113232n n n n λλ+++++⋅>-⋅，∴1342n λ+⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∵1342n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递减， ∴1n =时，有最大值9- ∴9λ>-n 为偶数时，232n n n b λ+=+⋅，22132n n n b λ+++=-⋅∴2223232n n n n λλ+++-⋅>+⋅，∴520n λ⋅<，0λ< 综上90λ-<<。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二10月月考数学(理)试题 Word版无答案
2017-2018学年高二学年上学期阶段性测试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间90分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知双曲线的中心为原点，离心率5=e ，且它的一个焦点与抛物线y x 582-=的焦点重合，则此双曲线方程为（ ）A ．141622=-x yB ． 116422=-x yC ．141622=-y xD ．116422=-y x 2．设命题p ：02,200n n N n >∈∃，则p ⌝为( )A ．n n N n 2,2≤∉∀B ．02,200nn N n ≤∈∃C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．02,200n n N n ≤∉∃ 3．过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点， 则AB =（ ）A ．．6 D ．4．“0>>n m ”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知命题p ：若5x y +≠，则2x ≠或3y ≠；命题q ：若a b <，则22am bm <，下列选项中是真命题的为 （ ）A ．p q ∧⌝B ．p ⌝C ．p q ∧D ．p q ⌝∨6. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）所示，则该几何体的侧视图为 （ ）7. 设原命题：若,2≥+b a ，则b a ,中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题8．若“01x ≤≤”是“()()[]02≤+--a x a x ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A.0][1,)-∞+∞（，B. [1,0]-C. (1,0)-D. (,1)(0,)-∞-+∞9．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的 左顶点为,A 若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（ ）A ．19B ．14C ．13D ．1210．如图：一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A.8(3π+B.8(3π+C.(4π+D.(8π+ 11．设1(,0)F c -，2(,0)F c 是椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）与双曲线2C 的公共焦点，它们在第一象限交于点M ，离心率分别为1e 和2e ，线段的垂直平分线过2F ，则2112e e e e -的值为 （ ）A ．B ．C ．D ．侧视→ 图 1 正视图 侧视图A ．．．3 D ．212．直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,P Q 两点，由,P Q 分别向准线引垂线,PR QS ，垂足分别为,R S ，如果,PF a QF b ==，M 为RS 中点，则MF 为（ ）A ．a b +B ．2a b + C ．ab 第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．给定命题4:>x p ，2|1:|>-x q ，则p ⌝是q ⌝的____________条件（备注：从充要，充分不必要，必要不充分中选择其一作答）14．已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若21MF F ∠为钝角，则0x 的取值范围是15．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>,12,F F 为左、右焦点，1212,,,A A B B 分别是其左、右、下、上顶点，直线12B F 交直线22B A 于P 点，若P 点在以12B A 为直径的圆周上，则椭圆离心率是16．过x y 42=的焦点F 作两条弦AB 和CD ，且x AB ⊥轴，||2||AB CD =，则弦CD 所在直线的方程是三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分8分）已知条件p ：不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集，条件q :不等式2290x x a -+<的解集. 若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.18. （本小题满分8分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，且b a 22=. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数m ，使得直线0:=+-m y x l 与椭圆交于B A ,两点，且线段AB 的中点在圆522=+y x 上，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，直线220x y -+=交抛物线C 于A B 、两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q 。
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，那么¬p是（）A．B．C．∃x∈R，x2+x+1≤0 D．2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）在命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0 个4．（5分）下面几何体的轴截面（过旋转轴的截面）是圆面的是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台5．（5分）下列命题正确的个数是（）①梯形的四个顶点在同一平面内②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）已知一个三棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．27．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为BC、C1C的中点，那么异面直线MN与AC所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）短道速滑队组织6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，（¬q）∧r是真命题，则选拔赛的结果为（）A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名10．（5分）若“0≤x≤1”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]∪[1，+∞）B．[﹣1，0]C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）11．（5分）如图所示，点F是抛物线y2=4x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=4x 及圆（x﹣1）2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围（）A．（4，6） B．[4，6]C．（2，4） D．[2，4]12．（5分）过双曲线﹣=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，+1） C．（+1，）D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．（5分）已知两个球的表面积之比为4：25，则这两个球的半径之比为．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．15．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=．16．（5分）给出以下说法：①不共面的四点中，任意三点不共线；②有三个不同公共点的两个平面重合；③没有公共点的两条直线是异面直线；④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．右面是它的正视图和侧视图（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积．18．（12分）在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．19．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C 的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．20．（12分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．21．（12分）设椭圆的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若直线交椭圆M于A，B两点，P（1，t）（t＞0）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．22．（12分）如图，已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），双曲线=1的两条渐近线为l1，l2．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（Ⅰ）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最大值．2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，那么¬p是（）A．B．C．∃x∈R，x2+x+1≤0 D．【解答】解：根据全称命题命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，那么¬p是的否定为特称命题，即：￢p为∃x∈R，x2+x+1≤0．故选：C．2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选：D．3．（5分）在命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0 个【解答】解：命题“若m＞﹣n，则m2＞n2”是假命题，所以它的逆否命题也是假命题；逆命题是“若m2＞n2，则m＞﹣n”，是假命题，所以否命题也是假命题；即它的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题有3个．故选：C．4．（5分）下面几何体的轴截面（过旋转轴的截面）是圆面的是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台【解答】解：圆柱的轴截面是矩形面，圆锥的轴截面是三角形面，球的轴截面是圆面，圆台的轴截面是等腰梯形面．故选：C．5．（5分）下列命题正确的个数是（）①梯形的四个顶点在同一平面内②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①梯形的四个顶点在同一平面内，正确；②三条平行直线必共面不正确，如三棱柱的三条侧棱；③有三个公共点的两个平面必重合不正确，若三个公共点共线；④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面，正确．故选：B．6．（5分）已知一个三棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形，∴三棱锥的底面积为=，∵三棱锥的高为3，∴三棱锥的体积为：=，故选：A．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥P﹣A1B1A的左视图中，B1、A1、A的射影分别是C1、D1、D．故选：D．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为BC、C1C的中点，那么异面直线MN与AC所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图所示，连接BC1．则MN∥BC1．连接A1C1，A1B．则AC∥A1C1，∴∠BC1A1或其补角是异面直线MN与AC所成的角．∵△A1BC1是等边三角形．∴∠A 1C1B=60°．∴异面直线MN与AC所成的角是60°．故选：C．9．（5分）短道速滑队组织6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，（¬q）∧r是真命题，则选拔赛的结果为（）A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名【解答】解：记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，①（¬q）∧r是真命题，r为真命题，说明丙为第三名，q为假命题说明乙不为第二名，②若p∨q是真命题，p∧q是假命题，说明p真q假，说明甲为第一名．故选：D．10．（5分）若“0≤x≤1”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]∪[1，+∞）B．[﹣1，0]C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【解答】解：由（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0得a≤x≤a+2，要使“0≤x≤1”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的充分不必要条件，则，即，∴﹣1≤a≤0，故选：B．11．（5分）如图所示，点F是抛物线y2=4x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=4x 及圆（x﹣1）2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围（）A．（4，6） B．[4，6]C．（2，4） D．[2，4]【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣1，焦点F（1，0），由抛物线定义可得|AF|=x A+1，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+1+（x B﹣x A）+2=3+x B，由抛物线y2=4x及圆（x﹣1）2+y2=4可得交点的横坐标为1，∴x B∈（1，3），∴3+x B∈（4，6），故选：A．12．（5分）过双曲线﹣=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，+1） C．（+1，）D．（，）【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线斜率的范围为：2＜＜3，∵===，∴＜e＜，∴双曲线离心率的取值范围为（，）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．（5分）已知两个球的表面积之比为4：25，则这两个球的半径之比为2：5．【解答】解：由题意可得：设大球与小球两个球的半径分别为R，r，所以两个球的表面积分别为：S1=4πR 2，S2=4πr2，因为两个球的表面积之比为4：25，⇒，⇒，故答案为：2：5．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为5π．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上部分为圆锥，底面半径为1，高为，下部分是半径为1的半球．则该几何体的表面积为=5π．故答案为：5π．15．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=4．【解答】解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），==c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，∴4c2=+﹣（a1﹣a2）（a1+a2），化为+，化为=4．故答案为：4．16．（5分）给出以下说法：①不共面的四点中，任意三点不共线；②有三个不同公共点的两个平面重合；③没有公共点的两条直线是异面直线；④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．其中正确结论的序号是①⑤．【解答】解：在①中，不共面的四点中，任意三点不共线是正确命题，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面，故①正确；在②中，有三个不同公共点的两个平面重合或相交，故②错误；在③中，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故③错误；在④中，分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面，故④错误；在⑤中，一条直线和两条异面直线都相交，则由两条相交线能确定一个平面得它们可以确定两个平面，故⑤正确．故答案为：①⑤．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．右面是它的正视图和侧视图（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积．【解答】解：（1）由题意按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图如下图：（2）所求多面体的表面积：S=S矩形+++++=+=122（cm2）．18．（12分）在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．19．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C 的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．20．（12分）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F 1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．【解答】解：（1）由圆锥曲线C：（α为参数）化为，可得F2（1，0），∴直线AF2的直角坐标方程为：，化为y=．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．∵直线AF2的斜率为，∴直线l的斜率为．∴直线l的方程为：，代入椭圆的方程可得：=12，化为=0，t1+t2=，∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=．21．（12分）设椭圆的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若直线交椭圆M于A，B两点，P（1，t）（t＞0）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，由2a=4，b2=a2﹣c2，得a=2，故椭圆的方程为；（2）联立方程，得，由△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0得﹣2，根据韦达定理，有，，所以AB=|x1﹣x2|=将P点坐标代入椭圆方程，解得P（1，），又因为点P到直线AB的距离为d=，所以S△====PAB当且仅当m=±2时等号成立．所以△PAB面积的最大值为22．（12分）如图，已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），双曲线=1的两条渐近线为l1，l2．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（Ⅰ）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为y=．因为两渐近线的夹角为60°且，所以∠POF=30°．所以．所以a=．因为c=2，所以a2+b2=4，所以a=，b=1．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）因为l⊥l1，所以直线l的方程为y=，其中c=．…（5分）直线l2的方程为y=，联立直线l与l2的方程，解得点P（）．…（6分）设=λ，则=．…（7分）因为点F（c，0），设点A（x0，y0），则有（x0﹣c，y0）=λ（，）．解得，y0=．…（8分）因为点A（x0，y0）在椭圆上，所以+=1．即（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．等式两边同除以a4，得（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2，e∈（0，1），所以=﹣（2﹣e2+）+3≤=3﹣2=（）2．…（10分）所以当2﹣e2=，即e=时，λ取得最大值．故的最大值为．…（12分）。
黑龙江省哈尔滨市第六中学20172018学年高一上学期期中考试英语试题含Word版含解析
哈尔滨市第六中学2017-2018学年度上学期期中考试高一英语试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部份。
共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第一卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2. 选择题必需利用2B铅笔填涂；非选择题必需利用0.5毫米黑色笔迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3. 请依照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4. 维持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准利用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一部份听力（共20小题，每小题0.5分，满分10分）第一节听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项当选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1 What time is it now?A. 11:15B. 10:30C. 10:152 What has the woman got?A. MilkB. An appleC. Juice3 Which film will the speaker see?A. Fast LifeB. Summer RockC. American Story4 What does the woman mean?A. She is not invited.B. She doesn’t feel well.C. She’ll get a present for Mrs. Lee.5 What does the woman offer to do for the man?A. Call another hotel.B. Change his room.C. Book a double room.第二节听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项当选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
2017-2018年黑龙江省哈尔滨六中高二第一学期数学期末试卷(理科)及 解析
A．
B．
C．
D． ）
10． （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（
A．
B．
C．
D． ，
11． （5 分） 三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为 2 的球面上， 且 AB=BC=CA=2 平面 PAB⊥平面 ABC，则三棱锥 P﹣ABC 的体积的最大值为（ A．4 B．3 ﹣ C．4 D．3 ）
12． （5 分）F1，F2 分别是双曲线
=1 的左、右焦点，A 是其右顶点，过 F2 • =0，
作 x 轴的垂线与双曲线的一个交点为 P，G 是△PF1F2 的重心，若 则双曲线的离心率是（ A．2 B． ） C．3 D．
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二、填空题 13． （3 分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级 有 40 名．现用分层抽样的方法从这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高二 年级的学生中抽取了 8 名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数 为 ． 的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点 ． =1（b＞0）的一条渐近线与圆 x2+（y﹣2）2=1 至多 ．
公司所获利润 y （百万元） 1
（1）求 y 关于 x 的回归直线方程； （2）若该公司的科研投入从 2011 年开始连续 10 年每一年都比上一年增加 10 万元，预测 2017 年该公司可获得的利润约为多少万元？
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（注：线性回归直线方程系数公式 =
=
，
=
． ）
18． 某城市 100 户居民的月平均用电量 （单位： 度） ， 以[160， 180） ， [180， 200） ， [200，220） ，[220，240） ，[240，260） ，[260，280） ，[280，300）分组的频 率分布直方图如图．
黑龙江省哈尔滨市人教版高一数学上册期中考试卷
哈尔滨市第六中学2016—2017学年度上学期期中考试高一数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设全集，集合，则＝（）2AC5}|x??{x?NA2}?x?N|x{U?U A．? B．{2} C．{2,5} D．5)[2,0x??x,?,若，则实数等于（．设函数2）a?f(x)4?a)f(?20x,x??A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或23．若函数的值域是，则函数的值域是（）[1,3]3)x???f(x)2f(?F(x)1y A．[－5，－1] B．[－2,0] C．[－6，－2] D．[1,3] 4．若函数的最小值为，则实数的取值范围是（）A．(1,3) B．(1,3] C．[3，＋2a]ax)?x?6x?8,x?[1,f()(af∞) D．(3，＋∞)5．下列函数中，满足“任意且，”0)]??f(xx(x?)[f(xf(x)?x,x(0,??))x?x22211112的是（）1 D．C．A．B．x2)?f(xxx)??f(1)??ln(xfxf(x)?|?1|(x)x x14?）的图象（6．函数?x)f(x2A．关于原点对称B．关于直线y＝x 对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称1的最大值是（7．函数）?)f(x)x(1?1?x4534A．B．C．D．3445111），则（．设8 0.5c,?ba?0.4,?0.5334 A．B．．CD．babc????abc?c?aa?c?b9．已知函数（且），当时，，则在R上（）x2?a?f(x)2x?a?a?01)xf(x)?1(f :]来源[A．是增函数B．是减函数C．当时是增函数，当时是减函数2xx?2?D．当时是减函数，当时是增函数2xx?2?10．函数的单调递减区间是（）3333????????－∞，，＋∞－1，，2)?xln(4?3xxf()?4A．C．B．D．???????? 2222????????11．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（）2a0x?2)?4(a?2)x??2(aR?xA．(－∞，2] B．[－2,2] C．(－2,2]D．(－∞，－2)12．若函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数x)blogf(x)?(x??abxg()?a的大致图象是（）分．205分，共4二、填空题：本大题共小题，每小题2x?3, x?0?是奇函数，则＝________. ．如果函数13?x)(f)xg(?g(x), x?0?1的定义域是________．14．函数)??ln(1f(x)x?11 ?，则的取值范围是________．15．已知幂函数，若a x?f(x))af(10?2f(a?1)?2 ________．16．直线与曲线有四个交点，则的取值范围是2aa?xy?x|?|1y? 70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤．三、解答题：本大题共6小题，共分）（本小题满分17．1011???．（1）计算100??lg25lg2??4??112?2?a1?a?的值．，且（2）设，求3?a?a0a?22 ?1?1a?a12分）（本小题满分18．:]来源[若集合，且，求实数的取值范围．22A?Ba0}ax6?0},B?{|x??x?|A?{xxx??19．（本小题满分12分）已知二次函数的最小值为2)b?R?1,xR,(a,?f(x)axbx??0??1)f(（1）求的解析式，并写出单调区间；)xf(（2）在区间上恒成立，求的取值范围．k3,1][?k(fx?x?)20．（本小题满分12分）函数在区间上的最大值记为．21x)??x??4f(x)g()?1](t?Rt[t,t（1）求的解析式；)g(t（2）求的最大值．)g(t21．（本小题满分12分）已知函数，且．)(x)??(1?x)ff(?xloglogf(x)?(x?1)?t22（1）求函数的解析式；)xf(a?b，其中2）证明：．（1?b???1?a?1,1)b?f()?f()f(a1?ab22．分）（本小题满分12a，且（）已知．xx?)(fxaa(?)?1??a0a21a?（1）判断的奇偶性并用定义证明；)(xf（2）判断的单调性并有合理说明；)(fx （3）当时，恒成立，求的取值范围．b1,1]?[x?bf()x?高一数学答案1 B2 B3 A4B5 C6 D7 D8 B9A10D11C12 D13、2x＋3 14 、(－∞，1)∪(2，＋∞) 15、(3,5)5 16、1<a< 411111???17（1）＝lg÷＝2÷＝－20 ……5分100lg?lg25?2??10100104??11 ?11－－＝＋a7.）将（2＋2＝9两边平方得a＋a即a3?a?a2222－a＋a＋147＋112222－－－将a＋a＝7两边平方有a＋a＋2＝49，得a＋a＝47，∴＝1－1a＋1＋7a＋＝6. ……5分18解：A＝{－3,2}．……2分2＋x＋a＝0，对于x1①当Δ＝1－4a<0，即a>时，B＝，成立；……3分?AB?411??－，不成立；……3a＝时，B＝分1②当Δ＝－4a＝0，即??AB?24??1③当Δ＝1－4a>0，即a<时，若成立，则B＝{－3,2}，∴a＝－3×2＝－A?B46. ……3分1???6＝－或aa> 分综上，a的取值范围为a……1. ???4???b2x ＝(fx)1，b＝2.∴＝，且－＝由题意有f(－1)a－b＋1＝0＝－1，∴a19解：(1)a2＋2x＋1，……4分单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)． (2)分(2)f(x)>x＋k在区间[－3，1]上恒成立，22＋x＋1，x∈[－＝xg上恒成立．，－在1>x转化为x＋＋k[31]设()x3，1]，……4 分．133分……2∴g(x)＝.∴??)?kg(min442，x＝2的位置关系进行讨论：①当t＋1<2，20解：(1)对区间[tt＋1](t ∈R)与对称轴2 t；＋2t＋2t，＋1]上递增，此时g(t)＝f(t＋1)＝－即t<1时，函数f(x)在区间[t上先增后减，在区间[t，t＋1]1≤≤2≤t＋1，即t≤2时，函数f(x)②当t3；＝f(2)＝此时g(t)＝－t)＝f()在区间[t，t＋1]上递减，此时g(t)时，函数③当t>2f(x21.t－＋4t2，，t<1＋2t＋2－t???，t≤23，1≤分综上，g(t)＝ (7)??2>2.－tt＋4t－1，分……5(t)的最大值是3. (2) 分段求最大值得g，x)x)＝－f(21解：(1)由于f(－，x)]tlog(1－)＋x＝－[log(x＋1)＋即log(－x＋1)＋tlog(122220，＋x)]＝[log(1－x)＋log(1)所以log(1－x)＋log(1＋x＋t22220.(*))]＝log(1＋xt)[log(1－x)＋所以(1＋22 1，，即t＝－(*)在定义域内恒成立，必须有1＋t＝0欲使分……6(1－x)．＋故f(x)＝log(x1)－log22x＋1＋)(a)＝log，所以flog＝(x＋1)－log(1－x＜(2)证明：因为－1＜x1时，f(x)222x1－b1＋1＋a b?ab?a1?为因logf(b)＝＝log＋，又log22ba－1－12b?ab??a1b?a?1b?aba?1?ab?ab1?=，gfo)(?llog22ba?b?a?1?abab1??1ab1?ba＋??分. ……6所以f(a)＋f(b)＝f ??ab＋1??．a x－a(－x)＝解：(1)因为函数的定义域为R，所以关于原点对称．又因为f(2221a－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．－a……4分2xxxx－－为增－a为减函数，从而y＝－1>0，y＝aa为增函数，y＝a时，(2)当a>1a函数，所以f(x)为增函数，2xxxx－－为减－y＝＝ay为减函数，＝aaa为增函数，从而当0<a<1时，a －1<0，y函数，所以f(x)为增函数．故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．……4分(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数，所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，21－aaa1－－a)＝·＝－1，所以要使f(x(－＝f所以(x)f(1)＝a)≥b在[－1,1]22min a1aa－－1上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1]．……4分。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
哈尔滨市第六中学2017-2018学年度下学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 复数等于（）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】分析：直接由复数的除法运算得到结果即可.详解：故答案为：D.点睛：本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2. 设集合小于7的正整数，，，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先用列举法写出U，B，根据交集、补集的意义直接求解即可．详解：U={1，2，3，4，5，6}，对于B，解+1≤0可得2＜x≤5，又由x∈N，则B={3，4，5}C U B={1，2，6}，A={1，2，5}则A∩（C U B）={1，2}，故选：C．点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合元素的性质，及集合的运算，是简单的基础题，注意集合的运算顺序：先求补，再求交．3. 设命题P：且，则是（）A. 且B. 或C. 且D. 或【答案】D【解析】试题分析：命题的否定既要否定条件，又要否定结论，故选D考点：命题的否定4. 已知函数，则不等式的解集为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于，当x＞0时，3+log2x≤5，即log2x≤2=log24，解得0＜x≤4，当x≤0时，x2﹣x﹣1≤5，即（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0，∴不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，4]，故选：B．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.5. 若实数满足，则关于的函数图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．详解：∵，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选：B．点睛：本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．一般给出函数表达式求函数图像的问题，可以从函数的定义域入手，值域入手，检验式子和图像是否一致，也可以考查函数的对称性和特殊点.6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意可先判断出在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f （x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围详解：∵在（0，+∞）上单调递增又∵f（x）是定义在R上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增∴f（x）在R上单调递增∵f（2﹣a2）＞f（a）∴2﹣a2＞a解不等式可得，﹣2＜a＜1故选：C．点睛：本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题.偶函数，比较函数值大小时，比较的是距离对称轴的，离轴越远函数值越大或者越小.7. 现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A. 288种B. 144种C. 72种D. 36种【答案】B【解析】试题分析：从4题种选一道作为不被选中的题有4种，从4位教师中选2位，这两位是选同样题目的有种，被选中两次的题目有3种方案，剩下的两位教师分别选走剩下的2题，共种.考点：排列组合.8. 已知（）是函数的一个零点，若，，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析：在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=的图象，由图可得结论．详解：令f（x）=lnx﹣=0，从而有lnx=，此方程的解即为函数f（x）的零点，在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=的图象，由图可得f（a）＜0，f（b）＞0，故选：D．点睛：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，构造两个函数的交点问题求解，对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个不是常函数，注意让不是常函数的式子尽量简单一些。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题
B．
D．
则豆子落入正方形外地概率为（ B
（
．执行右面地程序框图
方程为
三，解答题（本题共
（
,
频率/组距
0.06
频率/组距
（1标记在正方体相应地顶点处名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],右图是按上述分组方式得到地频率分布直方图地一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组地人数为
名男生地身高地中位数以颗种子浸泡后地发芽数
依据3
如图
4
求证：直线恒过定点
高二文科数学结果
1-5 CCBDB 6-10 BADCD 11-12 CC
13.20
14.
15.0.4
16.
17.（1）。
（2）
18. (1)点F,G,H地位置如图所示．
19.（1）0.06 （2）144
20.（1）0.1 （2）
21.（1）略 (2)
22.(1) (2)略。
人教A版2019届高中数学选修2-1专题特色训练01：解密命题充分必要性之含参问题_含答案
专题01 解密命题充分必要性之含参问题一、选择题1．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】若“01x ≤≤”是“()(20x a x a ⎡⎤--+<⎣⎦）”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A . ][01,)-∞⋃+∞（，B . []1,0-C . ()1,0-D . ()(),10,-∞-⋃+∞【答案】C点睛：设,p q 对应的集合分别为,A B ，则有以下结论： （1）若p q 是的充分条件，则A B ⊆； （2）若p q 是的充分不必要条件，则A B ；（3）若p q 是的充要条件，则A B =。
根据所给的命题间的充分必要性求参数的取值范围时，要学会根据以上结论将问题转化成集合间的包含关系去处理。
2．【上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三期中】若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，分别是1x 、2x ，则“12122{1x x x x +>>”是“两根均大于1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要.【答案】B【解析】若121,1x x >>，则12122{ 1x x x x +>>，但是1214,2x x ==,满足12122{ 1x x x x +>>，但不满足121,1x x >>。
所以是必要不充分条件。
选B . 【点睛】若p q ⇒，则p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件，若存一个0p ，使p 成立，但q 不成立，则p 不是q 的充分条件，q 也不是p 的必要条件。
3．【山东省菏泽第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （ ）A .B .C .D .【答案】B【解析】由题意可得q :x <-1或x >2,由是的充分不必要条件，得，选B .4．【江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中2018届高三上学期第一次月考】“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A . m >B . m >0C . 0<m <1D . m >1【答案】B5．【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】函数()2log ,0{ 2,0xx x f x a x >=-+≤有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）A .112a << B . 102a << C . 0a < D . 0a ≤或1a > 【答案】C【解析】∵当0x ＞ 时， 1x = 是函数f x （） 的一个零点； 故当0x ≤ 时， 20x a -+＜ 恒成立；即2x a ＜ 恒成立，故0a ＜； 故选C ．6．【山东省淄博市淄川中学2018届高三上学期第一次月考】已知m ∈R ，“函数y =2x+m ﹣1有零点”是“函数y =log m x 在（0，+∞）上为减函数”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数y =2x+m ﹣1有零点，则： 12x m =-存在实数解，即函数12xy =-与函数y m =有交点，据此可得： 1m <，函数y =log m x 在（0，+∞）上为减函数，则01m <<,据此可得：“函数y =2x+m ﹣1有零点”是“函数y =log m x 在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件. 本题选择B 选项.7．【福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习】“1a =- ”是“函数()f x x a =+ 在[)3,+∞ 上单调增函数”的 ( )．A . 充分非必要条件.B . 必要非充分条件.C . 充要条件.D . 既非充分也非必要条件.【答案】A点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 8．【广西钦州市2018届高三上学期第一次质量检测】若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）A .B .C .D .【答案】D 【解析】∵函数 的图象不过第三象限，∴m ﹣≥﹣1，解得m ≥﹣．∵“m ＞a ”是“函数 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，3∴a ＜﹣．则实数a 的取值范围是．故选：D ． 点睛： 函数的图象不过第三象限，可得：m ﹣≥﹣1，解得m 范围．由“m ＞a ”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，即可得出．9．【贵州省遵义市第四中学2018届高三上学期第一次月考】“1a ≤”是“函数()241f x x ax =-+在区间[)4,+∞上为增函数”的( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件【答案】A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据二次函数的单调性求出a 的取值范围是解决本题的关键． 二、填空题10．【山东省邹平双语学校二区2017-2018学年高二上学期第一次月考】从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出恰当的一种填空：“a =0”是“函数f （x ）=x 2+ax （x ∈R ）为偶函数”的_____． 【答案】充要条件【解析】当0a =时，函数()2f x x =是偶函数，反过来函数f （x ）=x 2+ax （x ∈R ）为偶函数，则()()()222f x x ax x ax f x x ax -=--=-==+ ，则0ax =对x R ∈恒成立，只需0a =，则“a =0”是“函数f （x ）=x 2+ax （x ∈R ）为偶函数”的充要条件.11．【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二上学期第一次学情调研】“0m >”是方程2x x m +-=有实根的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既非充分也非必要”) 【答案】充分不必要【解析】由方程20x x m +-=有实根，得：0≥，即14m 0+≥，解得： 1m 4≥-“0m >”显然能推得“1m 4≥-”，但“1m 4≥-”推不出“0m >”∴“0m >”是方程20x x m +-=有实根的充分不必要条件12．【江苏省常州市横林高级中学2017~2018学年第一学期月考】若()f x 是R 上的增函数，且()()14,22f f -=-=，设(){}|13P x f x t =++<， (){}|4Q x f x =<-，若“x P ∈”是“x Q ∈的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________． 【答案】()3,+∞13．【甘肃省武威市第六中学2018届高三上学期第二次阶段性过关考】设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a ≠， q ：实数x 满足2260{ 280x x x x --≤+->，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________； 【答案】(]1,2【解析】P 为真时， 22{|430},A x x ax a =-+<当a >0时， {},3A a a =；当a <0时， {}3,A a a =.Q 为真时， {}2260{|{ }2,3280x x B x x x --≤==+->.因为p 是q 的必要不充分条件，则A B ⊇≠，所以当a >0时，有2{33a a≤<，解得12a <≤；当a <0时，显然A B ⋂=∅，不合题意. 综上所述：实数a 的取值范围是(]1,2.14．【江苏省连云港市2016-2017学年高二下学期期末】已知“()()23x t x t ->-”是“2340x x +-<”成立的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是_________. 【答案】(][),71,-∞-⋃+∞ 【解析】记()(){}()(){}2330{|P x x t x t x x t x t x x t =--=---=<或3}x t >+{}()(){}{}2|340|410|41Q x x x x x x x x =+-<=+-<=-<<， p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P ≠⊂，所以34t +≤或1t ≥，解得7t ≤-或1t ≥，所以m 的取值范围是(][),71,-∞-⋃+∞.三、解答题15．【山东省邹平双语学校二区2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知命题p ：x ∈A ，且A ={x |a ﹣1＜x ＜a +1}，命题q ：x ∈B ，且B ={x |x 2﹣4x +3≥0} （Ⅰ）若A ∩B =∅，A ∪B =R ，求实数a 的值； （Ⅱ）若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解析】试题分析：首先化简集合B ，根据A ∩B =∅，A ∪B =R ，说明集合A 为集合B 在R 下的补集，根据要求列出方程求出a ,第二步从集合的包含关系解决充要条件问题，p 是q 的充分条件说明集合A 是集合B 的子集，根据要求列出不等式组，解出a 的范围.16．【山东省菏泽第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知224:8200,:1p x x q x m --≤≤-. （1）若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.【答案】（1）⎡⎣（2）][(),33,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：首先分别求出命题p 与q 所表示的范围，再根据小推大原则转化为集合与集合间的子集关系，其中（2）利用互为逆否命题，可转化为p 是q 的充分不必要条件，再求m 的范围。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题理201808280321
哈尔滨市第六中学 2017-2018学年度下学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间 120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共 60分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的3i11．复数等于（ ）13i iA.3i B.2i C.2iD.032． 设 集 合 U小 于 7的 正 整 数， A1,2,5，， 则B x1 0, xN2 xA(C B ) U为（）A ．1,2,5B ．1,5C ．1,2D ．2,53．设命题 P ：nN , f (n ) N 且 f (n ) n ，则 p 是（ ）A.n N , f (n ) N 且 f (n ) nB.n N , f (n ) N 或 f (n ) nC.且n 0 N , f (n 0 ) Nf (n )nD., ( 0 ) 或nN f nNf (n ) n3 log x , x(x )4. 已知函数 ，则不等式 的解集为 ( )f2f (x ) 5x1, x2xA ．1,1B ．2,4C ．,2 0,4D ．,20,41 5.若实数 x , y 满足 x1ln 0 ，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是( )y- 1 -A. B. C. D.6．已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x0时， f (x ) 2x 1，若 f (2 a 2 ) f (a ) ，则实数 a 的取值范围是（ ）A ． (,1)(2,) B ． (1,2) C ． (2,1) D ．(,2) (1,)7．现有 4名教师参加说课比赛，共有 4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道 题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这 4位教师选中的情况有( )A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种28．已知（）是函数的一个零点，若(1, x ) ， b，x x1 ( ) 0f xlnxa(x ,)x 1则( )A. f (a ) 0 ， f (b )0 B. f (a ) 0 ， f (b )0 C. f (a )0， f (b )D. f (a )0， f (b )9．已知函数 f (x ) 是(,) 上的偶函数，若对于 x 0 ，都有 f (x 2） f (x ) ，且当x [0, 2)f xx ）f (2018) f (2019)时，，则的值为（）( ) log (12A.2B.1 C.1D.210．如右图，设抛物线 yx 2 1的顶点为 A ，与 x 轴正半轴的交点为 B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为 M ，随机往 M 内投一点 P ，则点 P 落在AOB内的概率是() 3 4 2 A.B.C.D.4535 611． 已 知 f (x ) 是 定 义 在(0,) 上 的 函 数 ， 对 任 意 两 个 不 相 等 的 正 数， 都 有x1,x2- 2 -f(sin)x f(x)x f(x)f(2)f(log3)0.262112a,b,c，记，则（）x x2log30.221sin6A．c b a B．c a b C．b a c D．b c af(m2m)12．已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f'(x)f(x)0，则与的大f(1)m m12e小关系是（）f()f m)m m2f(m2m)(m2A．> B．< C．= D．不确定f(1)f(1)f(1)m m1m m1m m1222e e e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13. 函数f(x)x2ln x在点1,1处的切线方程为.14．已知f(x)为奇函数，g(x)f(x)6,g(1)3，则f(1)__________.5122x x15．在的二项展开式中, 的系数为.5x16．对于函数y f(x)，若在其定义域内存在x，使得x f x成立，则称x为函数f(x)0(0)100的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是___________.①f(x)2x22；②f(x)sin x,x[0,2]；1③，；④；⑤f(x)x x(0,)f(x)e x f(x)2l n xx三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点M(2,4)，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22c os.（1）写出直线l的参数方程(为常数)和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A,B两点，且MA MB40,求倾斜角的值.18. （本小题满分12分）- 3 -已知函数22x x f x kx lnx( )24（1）若 k1,求函数 f (x ) 的单调减区间；（2）若 f (x ) 的极小值大于 0，求实数 k 的取值范围.19．（本小题满分 12分）2015年 12月 10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡 献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾 标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高 度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为 x , y , z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标x y z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若4 ，则长势为一级；若 23，则长势为二级；若 0 1，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了 10块青蒿人工种植地，得到如下结果： 种植地编号A 1AA 32A4A5x , y , z0,1, 01, 2,12,1,12, 2, 20,1,1种植地编号A6A7A8A 9A10x , y , z1,1, 22,1, 22, 0,12, 2,10, 2,1（1）在这 10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标 z 相同的概率； （2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量 X m n ，求 X 的分布列及其数学期望.- 4 -20. （本小题满分 12分）在 三 棱 锥 PABC 中 ， 平 面 PAB 平 面 ABC ， AB 6, BC 2 3, AC 2 6 ，D 、EAB , BCAD 2DB ,CE 2EB , PD AC分别为线段上的点，且.(1)求证: PD平面 ABC;(2)若直线 PA 与平面 ABC 所成角为 ,求平面 PAC 与平面 PDE 所成的4锐二面角的大小.21. （本小题满分 12分）x2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 O : x2y24 ，椭圆 C :21， Ay4为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于 B 、C 两点，直线 AB 与圆 O 的 另一交点为 P ，直线 PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中 ( 6 ,0) ．设直D 5Py线 AB , AC 的斜率分别为 1, 2 ．k kB（1）求 的值；k k1 2DOA x（2）记直线 PQ , BC 的斜率分别为 k ,k ，是否存在常数 ，使得PQBCQCkk？若存在，求值；若不存在，说明理由.PQBC21．（本小题满分12分）已知 f (x )x (lnx k 1)(k R )（1）若对于任意x e ,e 2，都有 f (x ) 4lnx 成立，求 k 的取值范围；（2）若 x 1x 2 ，且 f xf x ，证明： x x e 2( )( )k121 2- 5 -。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
哈尔滨市第六中学2017-2018学年度下学期期末考试高二理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合}2|||{≤=x x M ，集合},03|{2Z x x x x N ∈≥+=，则)(N C M Z ⋂等于（ ） A.}20|{≤<x x B.}02|{<≤-x x C.}2,1{ D.}1,2{--2.设函数⎩⎨⎧≤+>=-0,140,log )(2x x x x f x，则)3log ()2(2-+f f 的值为（ ）A.9B.10C. 11D. 12 3.已知)2(+x f 是偶函数，且函数)(x f 在),2[+∞上是单调递增，则（ ）A.)0()3(f f >B.)1()3(f f >C.)1()0(f f <D.)1()4(f f > 4．设2.03=a ，3log 4=b ，)1(log 25.0+=m c ，则（ ）A.c b a <<B.c a b <<C.a b c << D ．b c a <<5. 若ax x x g --=2)(在区间),3(+∞上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.3≤a B.32≤<a C.2>a D ．2<a6．由直线x y e x y 2,,0===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为( )A.2ln 23+B.3C.322-e D.e 7． 有下列四个：:1p 若幂函数m kx x f =)(过)9,3(，则2=mk ;:2p 函数x e x f =)(的反函数为x x g ln )(=; :3p “1,1>>b a ”是“)1,0()(≠>-=a a b a x f x ”的图象不过第二象限的必要不充分条件; :4p “q p ∨”为假是“q p ∧”为假的充分不必要条件。
其中正确的是（ ）A.321,,p p pB.421,,p p pC.431,,p p pD.432,,p p p8．若⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=1,21,2)21()(x a x x a x f x 对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，那么a 的范围是（ ）A ．)1,21(B ．)1,43[C ．]43,21(D ．]43,0(9．已知函数xxP x f -⋅-=22)(，则下列结论正确的是 （ ）A ．1=P ，)(x f 为奇函数且为R 上的减函数B ．1-=P ，)(x f 为偶函数且为R 上的减函数C ．1=P ，)(x f 为奇函数且为R 上的增函数D ．1-=P ，)(x f 为偶函数且为R 上的增函数10. 若函数)(x f 的零点与82ln )(-+=x x x g 的零点之差的绝对值不超过5.0， 则)(x f 可以是（ ） A.)25ln()(-=x x f B.2)4()(-=x x f C. 1)(2-=-x ex f D. 63)(-=x x f11．若函数)(),(x g x f 分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足2)()(x a a x g x f x x +-=+-（1,0≠>a a ），若a g =)2(，则=)1(f （ ） A.2 B.415 C. 417 D. 23 12.已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ，若x a x f )1(|)(|-≥在]1,1[-∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A.),0[]1(+∞--∞B.]0,1[-C.]1,0[D.)0,1[- 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知)(x f 的定义域为]4,0[，则1)2(-x x f 的定义域为_________ 14．设定义在R 上的函数)(x f 满足10)2()(=+⋅x f x f .若2)1(=f ，则=)2015(f _______ 15．已知函数12)(+=x xx f ，函数)0(22)(>+-=a a ax x g ，若存在]1,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =成立，则实数a 的取值范围是_________16.已知函数⎩⎨⎧>-≤<=3,)4(30|,log |)(23x x x x x f ，若方程m x f =)(有四个不同的实数根,由小到大依次为4321,,,x x x x ，则43214x x x x +++的取值范围是_______三、解答题（本大题共6个小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知函数|12|)(-=x x f （1）解关于x 的不等式3)(≥x f ；（2）若方程ax x x f =-+|2|)(在),1[+∞上有解，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2PEDCBA（1）估计该班同学中，参加排球兴趣小组的同学的比例；（2）请根据数据画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断参加“篮球小组”或“排球小组”与性别是否有关？（3）请根据题中数据，判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）已知函数x ae x x f -+-=1)(（R a ∈）（1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）当1=a 时，若直线1:-=kx y l 与曲线)(x f y =在]21,2[--上有两个公共点，求k 的取值范围.20.(本小题满分12分)如图，底面为菱形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，︒=∠60ABD ，E 为PC 上一动点，AC PA = （1）求证AE BD ⊥；（2）当⊥AE 平面PBD 时，求CEPE的值；（3）在（2）的条件下，求AD 与平面PBD 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos y x （α为参数），M 是1C 上的动点，N 点满足2=，N 点的轨迹为曲线2C .（1）求曲线2C 的方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程是2=ρ，正三角形的顶点都在3C 上，且C B A ,,依逆时针排列，点A 的极坐标为)6,2(π，设P 是2C 上任意一点，求222||||||PC PB PA ++的取值范围.22.（本小题满分12分）已知x ax xe x f x-+=2)(，22e a ≤（1）当21-=a 时，求函数()f x 的单调区间； （2）若对0≥x 时,恒有x x f x f ≥-)()('成立,求实数a 的取值范围.高二理科数学参考答案1---5 DCDAB 6---10 BBCCA11---12 DC 13.]2,1(;14.5;15.]2,21[;16.)13,12[17解（1）23|12|3)(≥⇒≥-⇒≥x x x f 或1-≤x ------------4分；（2）⎩⎨⎧<≤+≥-=-+-=-+21,12,33|2||12||2|)(x x x x x x x x f ------------------5分当2≥x 时，xa ax x 3333-=⇒=-，)3,23[∈a -----------------------7分 当21<≤x 时，xa ax x 111+=⇒=+，]2,23(∈a -----------------------9分 综上，)3,23[∈a --------------10分（数形结合也可）18.解（1）比例734218=-------------------4分； （2）如图，有关--------------------------------8分 (3)2k 841.3582.4110504>≈=--------------------所以有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关--12分 ，19.解（1）xae x f --=1)(/,e a ae f =⇒=-=-01)1(1/-----------4分（1）111)(+=⇒-=+-=--xe a kx ae x xf xx，---------5分， 1)(+=-x e x g x ，,)1()(2/xe x x g x -+-=-----------------6分 1,0)1()(2/-==+-=-x x e x x g x ,列表（略）————————————8分，21221)21(,21)2(,1)1(e g e g e g -=--=--=---------------------9分 )1,21[e e k --∈————————————————————————12分20.解（1）菱形ABCD BD AC ⊥⇒⊥PA 面ABCD BD PA ⊥⇒又A AC PA = ,所以⊥BD 面PAC ，又⊂AE 面PAC ，所以AE BD ⊥————————4分 （2）连接AC 交BD 于点O ，以O 为圆心，OB OA ,分别为y x ,轴，建立如图所示空间坐标系 设2=AB ，则)0,0,3(),0,0,3(-C A ，)0,1,0(B ，)0,1,0(-D ，)32,0,3(P ，设0>=λPCPE)3232,0,323(λλ--E ，⊥AE 平面PBD ，0=⋅PD AE ，则32=λ，2=CEPE———8分 （3）因为⊥AE 平面PBD ，所以AE 是平面PBD 的一个法向量，取)1,0,2(-=A设AD 与平面PBD 所成角为θ，则515||||sin =⋅=AE AD θ——————————12分 21.解（1）曲线2C 的方程位⎩⎨⎧==ααsin 4cos 2y x （α为参数）----------4分（2）4222=+⇒=y x ρ-------------------5分C B A ,,三点的直角坐标分别为)2,0(),1,3(),1,3(--C B A ————————7分设)sin 4,cos 2(ααP ，24sin36||||||2222+=++αPC PB PA ------------10分]1,0[sin 2∈α，]60,24[||||||222∈++PC PB PA -------------12分21. (本小题满分12分) （1）12)1()('-++=ax e x x f x当21-=a 时，)1)(1()1()1()('-+=+-+=xx e x x e x x f ——————————2分 当0>x 或1-<x 时，0)('>x f 当01<<-x 时，0)('<x f单调增区间为),0(),1,(+∞--∞，单调减区间为)0,1(-————————————————5分 （2）设12)()()(2'-+-=-=ax ax e x f x f x g x)(22)('x u a ax e x g x =+-=a e x u x 2)('-=————————————————————————-6分0≥x 时, 1≥x e ,(1)当12≤a ，即21≤a 时，0)('≥x u ，a ax e x g x 22)('+-=在),0[+∞上是单调递增的，a x g 21)('+≥， （i ）21021)('-≥⇒≥+≥a a x g ，)(x g 在),0[+∞上是单调递增，)0()(g x g ≥恒成立， 2121≤≤-a（ii ）21021)('-<⇒<+≥a a x g ，存在),0(0+∞∈x ，0)('0=x g ，),0(0x x ∈，)(x g 递减，0)0()(=<g x g 与)0()(g x g ≥矛盾舍（2）当12>a ，即2212e a ≤<时，0)('=x u ，a x 2ln =a ax e x g x 22)('+-=的最小值为0)2ln 2(22ln 24)2(ln '≥-=-=a a a a a a g)(x g 在),0[+∞上是单调递增，)0()(g x g ≥恒成立，2212e a ≤<，综上2212e a ≤≤-。
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哈尔滨市第六中学2017-2018学年度上学期期中考试
高二理科数学试卷
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1. 已知命题:p x R ∀∈,2
10x x ++>，那么p ⌝是（ ） A. 20,10x R x x ∃∈++> B. 20,10x R x x ∀∈++≤ C. 20,10x R x x ∃∈++≤ D.20,10x R x x ∀∈++<
2. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率e = ( )
A. y =
B. y =
C.
x y 22
±= D. y x =±
3. 在命题“若m n >-，则2
2
m n >”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0 个 4. 下列几何体中轴截面是圆面的是（ ）
A. 圆柱
B. 圆锥
C. 球
D. 圆台 5.下列命题正确的个数是（ ）
①梯形的四个顶点在同一平面内 ②三条平行直线必共面
③有三个公共点的两个平面必重合 ④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面
D 1
D
C B
A A 1
B 1
C 1 M
N
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4 个 6.已知一个三棱柱高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱柱的体积为（ ） A.
B. C.
1
3
D.
7. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥11P A B A -的侧视图是（ ）
8. 在正方体1111ABCD A B C
D -中，M 和N 分别为BC 、1C C 的中点，
那么异面直线MN 与AC 所
成角的大小为（ ） A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
9.短道速滑队组织6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p q ∨是真命题，
p q ∧是假命题，()q r ⌝∧ 是真命题，则选拔赛的结果为（ ）
A. 甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名
B. 甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名
C. 甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名
D.
甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
10.若“01x ≤≤”是“[]((2)0x a x a --+<）”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 0][1,)-∞+∞（，
B. [1,0]-
C. (1,0)-
D. (,1)(0,)-∞-+∞
11. 如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、分别在抛物线
24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，
则FAB ∆的周长的取值范围（ ）
A. (4,6)
B. []4,6
C. (2,4)
D. []2,4
12. 过双曲线22
221x y a b
-=右焦点F 作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两
支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
(11)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13.已知两个球的表面积之比为4:25，则这两个球的半径之比为
14. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 15. 已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且3
21π
=
∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则
=+22
213
1e e ． 16． 给出以下说法：
①不共面的四点中，任意三点不共线； ②有三个不同公共点的两个平面重合； ③没有公共点的两条直线是异面直线； ④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；
⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面． 其中正确结论的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤
17．（本小题满分10分）
如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．右面是它的正视图和侧视图（单位：cm ）
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积。
正视图 侧视图 18．（本小题满分12分）
在极坐标系中，曲线:2cos (0)C a a ρθ=>，3
:cos()3
2
l π
ρθ-=
，C 与l 有且仅有一个公共点． （1）求a ；
（2）O 为极点，,A B 为C 上的两点，且3
AOB π
∠=
，求OA OB +的最大值．
19. （本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕ
ϕϕ=+⎧⎨
=⎩
为参数）
．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；
E D
A B
C
F
G
B '
C '
D '
（2）直线l
的极坐标方程是(sin )ρθθ=射线:3
OM π
θ=
与圆C 的交点为O 、
P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
20.（本小题满分12分） 已知圆锥曲线C
:2cos x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α
为参数）和定点A ,12,F F 是此圆锥曲线C 的左、
右焦点
（1）以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程；
（2）经过1F 且与直线2AF
垂直的直线交此圆锥曲线C 于,M N 两点，求11MF NF -的值. 21.（本小题满分12分）
设椭圆22
22:1(0)y x M a b a b
+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，且椭圆
的长轴长为4.
（1）求椭圆M 的标准方程； （2）
若直线y m =+交椭圆M 于,A B 两点，(1,)(0)P t t >为椭圆M 上一点，
求PAB ∆面积的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆C 方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线()222210x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别
为12,l l .过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设直线l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为,A B
（1）若1l 与2l 所成的锐角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程； （2）求
FA AP
的最大值.
高二理科数学答案
一、选择1-5 CACCB 6-10 DDCDB 11-12 AB
二、填空13. 2:5 14. 15. 4 16. ①⑤
三、解答题
17. （1）
-------------（5分）
（2）所求多面体的体积-------------（10分）18.（1）曲线是以为圆心，以为半径的圆；的直线坐标方程为。
由直线与圆
相切可得，解得。
-------------（6分）
（2）不妨设的极角为，的极角为，则
，
当时，取得最大值．-------------（12分）
19.（1）圆的普通方程是，又，圆的极坐标方程是--（6分）
（2）设为点的极坐标，这有解得，为点的极坐标，则有
解得，又由于所以，所以的长为2 ------------（12分）
20. （1）即-------------（5分）
（2）将直线的参数方程代入曲线，，------（12分）
21.（1）双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，又，故椭圆的方程为-（4分）
（2）联立方程，得，由得，
根据韦达定理，有，所以
将点坐标代入椭圆方程，解得，又因为点到直线的距离为，所以
当且仅当时等号成立。
所以-------------（12分）
22.（1）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为
因为渐近线的夹角为且，所以，所以
所以.因为，所以，所以.所以椭圆方程为--------（4分）
（2）因为，所以直线的方程为，其中.因为直线的方程为，联立直线
与的方程解得点设,则.因为，设，
则有解得，
因为点在椭圆上，所以，
即，等式两边同除以得
所以
所以当，即时取得最大值，故的最大值-------------（12分。