最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)
最新九年级数学上册全册导学案人教版含答案名师优秀教案
最新九年级数学上册全册导学案人教版含答案名师优秀教案一、绪论数学是一门抽象而又实用的学科,它在现代社会中扮演着不可或缺的角色。
作为九年级学生,我们即将接触到数学上册的内容,本导学案旨在帮助同学们了解全册的内容安排,为学习做好准备。
二、知识回顾在开始新的学习之前,我们需要回顾一下九年级数学上学期的知识,以便更好地理解新的内容。
1. 整式与分式在九年级上学期,我们学习了整式与分式的基本概念、运算法则以及同类项和合并同类项的方法。
这些概念在本册的学习中会经常出现,建议同学们再次复习并掌握。
2. 一元一次方程与不等式九年级上学期,我们学习了一元一次方程与不等式的解法,包括等式的加减消元法、代入法等,以及不等式的图解法和解集表示法。
这些知识将在本册的学习中得到延伸与应用,需要同学们熟练掌握。
3. 数与式的应用在上学期,我们学习了数与式的应用,包括线性函数与应用、三角形的面积等。
这些内容在本册中也会涉及到,需要同学们掌握并能够灵活运用。
三、本册内容安排本册的内容安排如下:1. 第一章:有理数2. 第二章:代数式3. 第三章:方程与不等式4. 第四章:平面直角坐标系5. 第五章:数与式的应用6. 第六章:平面图形的变换7. 第七章:统计四、学习方法指导为了更好地学习数学,我们需要掌握一些学习方法。
以下是几点指导:1. 独立思考与解决问题数学是一门注重逻辑推理和解决问题的学科,我们要培养独立思考和解决问题的能力。
在学习过程中遇到难题时,可以先独立思考,尝试寻找解决方法,如果仍然困难,可以寻求帮助。
2. 多做习题与总结数学需要不断的练习与巩固,所以请同学们多做习题,并总结出解题的方法和技巧。
对于一些难点和易错点,可以做一些专项练习,以加深理解。
3. 合理时间规划与集中精力数学的学习需要一定的时间和精力,同学们需要合理规划学习时间,并保证学习时的安静与集中。
避免分散注意力,提高学习效果。
五、答案与教案获取本册的答案和教案可以通过多种渠道获取。
2020年人教版九年级数学上册全册精品导学案(含答案)
第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)2__场.列方程__x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x2-2x-14=x2-2x+35;(4)2(x+1)2=3(x+1);(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x =-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;(3)2x2-3x-1=0; (4)1x2-2x=0;(5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,解得a=-3 4.3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为__2x两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=2x2=2.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p 或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=1 2.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x +1)2=7; (2)y 2+2y +1=24;(3)9n 2-24n +16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113. 点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p(p ≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值. 解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5;(3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0;(5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25;(7)x 2+2x +1=4.解:(1)x1=1+2,x2=1-2;(2)x1=2+5,x2=2-5;(3)x1=-1,x2=1 3;(4)x1=16,x2=-16;(5)x1=92,x2=-92;(6)x1=0,x2=-10;(7)x1=1,x2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程.2.理解“降次”思想.3.理解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x -a)2=b 的过程.(2分钟)1.填空:(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2; (2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2; (3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p2__)2.2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m ,则长为__(x +6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到__x 2+6x -16=0__.探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x 2+6x =16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b2)2的形式,得__x 2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x +3)2=25__,开平方,得__x +3=±5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__, 解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0; (3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52;(3)x 1=-72,x 2=-12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤: (1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0; (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2; (2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2;(3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2. 2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0; (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x 2+6x =-5,配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4, 由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5. (2)移项,得2x 2+6x =-2,二次项系数化为1,得x 2+3x =-1, 配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54,由此可得x +32=±52,即x 1=52-32,x 2=-52-32.(3)去括号,整理得x 2+4x -1=0, 移项得x 2+4x =1, 配方得(x +2)2=5,x +2=±5,即x 1=5-2,x 2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x 的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,即x2-14x+24=0,(x-7)2=25,x-7=±5,∴x1=12,x2=2,x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x的方程:(1)2x2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0;(3)x2-12x-1=0 ; (4)2x2+2=5.解:(1)x1=1+5,x2=1-5;(2)x1=2+2,x2=2-2;(3)x1=14+174,x2=14-174;(4)x1=62,x2=-62.2.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.∴(xy)z=[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟) 用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0. 解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.(2)x=-b±b2-4ac2a叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x2-3x=0;(2)3x2-23x+1=0;(3)4x2+x+1=0.解:(1)x1=0,x2=32;有两个不相等的实数根;(2)x1=x2=33;有两个相等的实数根;(3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.当m为何值时,方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m<14;(2)m=14;(3)m >14.3. 已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.利用判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x2-3x-32=0; (2)16x2-24x+9=0;(3)x2-42x+9=0 ; (4)3x2+10x=2x2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根. 2.用公式法解下列方程:(1)x 2+x -12=0 ; (2)x 2-2x -14=0;(3)x 2+4x +8=2x +11; (4)x(x -4)=2-8x ; (5)x 2+2x =0 ; (6)x 2+25x +10=0. 解:(1)x 1=3,x 2=-4; (2)x 1=2+32,x 2=2-32; (3)x 1=1,x 2=-3;(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6; (5)x 1=0,x 2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b 2-4ac ≥0的前提下,把a ,b ,c 的值代入x =-b±b 2-4ac 2a (b 2-4ac ≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①? 分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得: x(10-4.9x)=0,于是得x =0或10-4.9x =0, ② ∴x 1=__0__,x 2≈2.04.上述解中,x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面,而x 1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s 时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m .点拨精讲: (1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b =0,那么a =0或b =0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x -1)=0,那么__x +1=0或__x -1=0__,即__x =-1__或__x =1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 1.说出下列方程的根:(1)x(x -8)=0; (2)(3x +1)(2x -5)=0. 解:(1)x 1=0,x 2=8; (2)x 1=-13,x 2=52.2.用因式分解法解下列方程: (1)x 2-4x =0; (2)4x 2-49=0; (3)5x 2-20x +20=0.解:(1)x 1=0,x 2=4; (2)x 1=72,x 2=-72;(3)x 1=x 2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2;(3)(x+5)2=3x+15.解:(1)x1=0,x2=4 5;(2)x1=23,x2=-12;(3)x1=-5,x2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x2-144=0;(2)(2x-1)2=(3-x)2;(3)5x2-2x-14=x2-2x+34;(4)3x2-12x=-12.解:(1)x1=6,x2=-6;(2)x1=43,x2=-2;(3)x1=12,x2=-12;(4)x1=x2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0;(5)(x-4)2=(5-2x)2.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=23;(3)x1=x2=1;(4)x1=112,x2=-112;(5)x1=3,x2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2=π(x+5)2.解得x1=5+52,x2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x1+x2=-ba,x1x2=ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)自学1:完成下表:问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. 答:x1+x2=-p,x1x2=q.自学2:完成下表:问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1; (2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2.解:(1)x1+x2=6,x1x2=-15;(2)x1+x2=-73,x1x2=-3;(3)x1+x2=54,x1x2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a,b,c.2.已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.解:另一根为32,k=3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x=-3代入方程先求k,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β;(2)α2+β2;(3)α-β.解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x2-3x=15; (2)5x2-1=4x2;(3)x2-3x+2=10; (4)4x2-144=0.解:(1)x1+x2=3,x1x2=-15;(2)x1+x2=0,x1x2=-1;(3)x1+x2=3,x1x2=-8;(4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是( C ) A .7x 2-12x +5=0 B .6x 2-13x -5=0 C .4x 2+21x +5=0 D .x 2+15x -8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a ,b ,c.2.当且仅当b 2-4ac ≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x 1+x 2=-b a (比前面有负号),x 1x 2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x+1)(x+1)__人患了流感.则列方程:__(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%) 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,。
XXXX最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)
XXXX最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)第21章单变量二次方程21.1单变量二次方程1。
理解一元二次方程的概念,应用一元二次方程的概念解决一些简单的问题。
2.掌握一元二次方程AX2+BX+C = 0(α≠0)的一般形式及相关概念。
3.进行一元二次方程的简单试解;理解方程解的概念。
要点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索。
难点:从实际问题中列出一元二次方程;准确理解二次和系数、一阶和系数和二次方程的常数项。
1。
自学指导。
(10分钟)问题1:如图所示,有一块长方形的铁皮,长100厘米,宽50厘米,四角各有一个相同的方形切口。
然后把突出的部分折叠起来,做成一个没有盖子的方形盒子。
如果没有盖子的方形盒子的底部面积是3600平方厘米,从铁片的每个角上切下哪个正方形?分析:如果切割正方形的边长为x cm,则盒子底部的长度为(100-2x) cm _ _,宽度为(50-2x) cm _ _。
方程式_ _ (100-2x) ((50-2x) = 3600 _ _,被简化和排序。
获取_ _ x2-75x+350 = 0 _ _。
①问题2:要组织一场排球邀请赛,每两个参赛队之间应进行一场比赛。
根据场地和时间条件,日程安排为7天,每天4场比赛。
组织者应该邀请多少队参加比赛?分析:所有比赛的比赛次数为_ _ 4× 7 = 28 _ _。
将邀请x个团队参加竞赛。
每支队伍都必须与其他_ (x-1)支队伍竞争,每支队伍一场比赛,因此比赛总数为x (x-1) x (x-1)场比赛。
方程式_ _ = 28 _ _。
经过简化,我们得到x2-x-56 = 0 _ _。
②22问:方程①中的未知数有多少②(1)?__1 _ _。
(2)它们的最高次数是多少?__2次__ .归纳:方程①(2)有一个共同的特点,即这些方程的两边都是_ _代数表达式_ _,并且只包含_ _一_ _个未知(一元)。
未知数最多的是方程_ _ 2 _。
人教版九年级数学上册全册导学案
第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)2__场.列方程__x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x2-2x-14=x2-2x+35;(4)2(x+1)2=3(x+1);(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x =-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;(3)2x2-3x-1=0; (4)1x2-2x=0;(5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,解得a=-3 4.3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为__2x两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=2x2=2.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p 或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=1 2.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x+1)2=7; (2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x的方程x2+(a2+1)x-3=0的一个根是1,求a的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)用直接开平方法解下列方程:(1)3(x-1)2-6=0 ; (2)x2-4x+4=5;(3)9x2+6x+1=4; (4)36x2-1=0;(5)4x2=81; (6)(x+5)2=25;(7)x2+2x+1=4.解:(1)x1=1+2,x2=1-2;(2)x1=2+5,x2=2-5;(3)x1=-1,x2=1 3;(4)x1=16,x2=-16;(5)x1=92,x2=-92;(6)x1=0,x2=-10;(7)x1=1,x2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程.2.理解“降次”思想.3.理解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程.(2分钟)1.填空:(1)x2-8x+__16__=(x-__4__)2;(2)9x2+12x+__4__=(3x+__2__)2;(3)x2+px+__(p2)2__=(x+__p2__)2.2.若4x2-mx+9是一个完全平方式,那么m的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m,则长为__(x+6)__m,根据矩形面积为16 m2,得到方程__x(x+6)=16__,整理得到__x2+6x-16=0__.探究:怎样解方程x2+6x-16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=4,可以发现方程x2+6x+9=4的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x2+6x=16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x2+bx+(b2)2的形式,得__x2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x+3)2=25__,开平方,得__x +3=±5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__,解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0;(3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52; (3)x 1=-72,x 2=-12. 归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2;(2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2; (3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x2+6x+5=0; (2)2x2+6x+2=0;(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x2+6x=-5,配方得x2+6x+32=-5+32,(x+3)2=4,由此可得x+3=±2,即x1=-1,x2=-5.(2)移项,得2x2+6x=-2,二次项系数化为1,得x2+3x=-1,配方得x2+3x+(32)2=(x+32)2=54,由此可得x+32=±52,即x1=52-32,x2=-52-32.(3)去括号,整理得x2+4x-1=0,移项得x2+4x=1,配方得(x+2)2=5,x+2=±5,即x1=5-2,x2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,即x2-14x+24=0,(x-7)2=25,x-7=±5,∴x1=12,x2=2,x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x的方程:(1)2x2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0;(3)x2-12x-1=0 ; (4)2x2+2=5.解:(1)x1=1+5,x2=1-5;(2)x1=2+2,x2=2-2;(3)x1=14+174,x2=14-174;(4)x1=62,x2=-62.2.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.∴(xy)z=[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.(2)x=-b±b2-4ac2a叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x2-3x=0;(2)3x2-23x+1=0;(3)4x2+x+1=0.解:(1)x1=0,x2=32;有两个不相等的实数根;(2)x1=x2=33;有两个相等的实数根;(3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.当m为何值时,方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m<14;(2)m=14;(3)m >14.3. 已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.利用判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x2-3x-32=0; (2)16x2-24x+9=0;(3)x2-42x+9=0 ; (4)3x2+10x=2x2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:(1)x2+x-12=0 ; (2)x2-2x-14=0;(3)x2+4x+8=2x+11; (4)x(x-4)=2-8x;(5)x2+2x=0 ; (6)x2+25x+10=0.解:(1)x1=3,x2=-4;(2)x1=2+32,x2=2-32;(3)x1=1,x2=-3;(4)x1=-2+6,x2=-2-6;(5)x1=0,x2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x1=0,x2=8;(2)x1=-13,x2=52.2.用因式分解法解下列方程:(1)x2-4x=0; (2)4x2-49=0;(3)5x2-20x+20=0.解:(1)x1=0,x2=4; (2)x1=72,x2=-72;(3)x1=x2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2;(3)(x+5)2=3x+15.解:(1)x1=0,x2=4 5;(2)x1=23,x2=-12;(3)x1=-5,x2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x2-144=0;(2)(2x-1)2=(3-x)2;(3)5x2-2x-14=x2-2x+34;(4)3x2-12x=-12.解:(1)x1=6,x2=-6;(2)x1=43,x2=-2;(3)x1=12,x2=-12;(4)x1=x2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0;(5)(x-4)2=(5-2x)2.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=23;(3)x1=x2=1;(4)x1=112,x2=-112;(5)x1=3,x2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2=π(x+5)2.解得x1=5+52,x2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x1+x2=-ba,x1x2=ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)自学1:完成下表:方程x1x2x1+x2x1x2 x2-5x+6=2 3 5 6x2+3x-10=02 -5 -3 -10 问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.答:x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q.自学2:完成下表:问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律.答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a. 自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a . x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0;(3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1;(2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52; (3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0;(3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15;(2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3; (3)x 1+x 2=54,x 1x 2=14. 点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a ,b ,c.2.已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值.解:另一根为32,k =3. 点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值. (1)1α+1β; (2)α2+β2; (3)α-β. 解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x2-3x=15; (2)5x2-1=4x2;(3)x2-3x+2=10; (4)4x2-144=0.解:(1)x1+x2=3,x1x2=-15;(2)x1+x2=0,x1x2=-1;(3)x1+x2=3,x1x2=-8;(4)x1+x2=0,x1x2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是(C)A.7x2-12x+5=0 B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0 D.x2+15x-8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a,b,c.2.当且仅当b2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x1+x2=-ba(比前面有负号),x1x2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x+1)__人患了流感.则列方程:__(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%) 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,解得x1=-2(不符,舍去),x2=0.125=12.5%.答:所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg,2013年平均每公顷产8460 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为x,则有7200(1+x)2=8460,解得x1=0.08,x2=-2.08(舍).即年平均增长率为8%.答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲:传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1. 列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检。
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人教版九年级数学上册全册导学案第22章 二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程(一)复习引入:(1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
(2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
(二)提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式?3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么?4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么?5、如何确定一个二次根式有无意义?(三)自主学习自学课本第2页例前的内容,完成下面的问题:1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么?43,16-,34,5-,)0(3≥a a ,12+x2、计算 :(1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2)31( 根据计算结果,你能得出结论:,其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。
3、当a 为正数时指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。
所以,在二次根式中,字母a 必须满足 ,才有意义。
(三)合作探究 1、学生自学课本第2页例题后,模仿例题的解答过程合作完成练习 :x 取何值时,下列各二次根式有意义?①43-x 223x + ③ 2、(133a a --a 的值为___________.(2)若在实数范围内有意义,则x 为( )。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数(四)展示反馈 (学生归纳总结)1.非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a 必须是非负数。
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第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题:情景:要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1:列方程解应用题的一般步骤是什么?(导出审题的关键是寻找等量关系)问题2:你能画出示意图表示这个问题吗?(用线段AB表示雕像的高度,雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图,把这个问题转化为数学问题)问题3:能反映问题的等量关系的是哪一句话?(根据题意导出关系式BC2=2AC)问题4:设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程,并化简.这个方程是一元一次方程吗?它有什么特点?这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.(板书课题)2.学习目标:(1)会设未知数,列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.(3)能熟练地把一元二次方程化成一般形式,并准确地指出各项系数.3.学习重、难点:重点:一元二次方程的一般形式及相关概念.难点:寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第1页到第2页的问题1、问题2.(2)自学时间:5分钟.(3)自学方法:先寻找问题中的等量关系,再根据等量关系列出方程.(4)自学参考提纲:①问题1中,要制作一个无盖的方盒,四角都要剪去一个相同的正方形,我们设正方形边长为x cm,则盒底的宽为(50-2x) cm,盒底的长为(100-2x) cm,根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600,你能把它整理为课本上的方程②吗?试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中,本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛,则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少?你是怎样算出来的?本题的等量关系是什么?你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗?试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:观察了解学生是否会寻找等量关系,是否会化简方程.②差异指导:简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别,对不会寻找等量关系的学生给予辅导,说明化简方程的基本要求.(2)生助生:同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化:(1)总结寻找等量关系的策略,简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.(2)练习:根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πm2,求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm,面积为9cm2,求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25,求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导:(1)自学内容:教材第3页的内容.(2)自学时间:5分钟.(3)自学方法:观察方程①②③,从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.(4)自学参考提纲:①结合一元一次方程的定义,请对一元二次方程进行定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0),为什么要规定a≠0?因为a=0时,未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项,二次项系数,一次项,一次项系数,常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项:x2二次项系数:1 一次项:2x 一次项系数:2常数项:-4方程②x2-75x+350=0 二次项:x2二次项系数:1 一次项:-75x 一次项系数:-75 常数项:350方程③x2-x=56 二次项:x2二次项系数:1 一次项:-x 一次项系数:-1常数项:-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题,说说把一元二次方程化为一般形式,要经过哪些变形?去括号,移项,合并同类项.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时,是否注意了符号.②差异指导:提醒学生一元二次方程的每一项(系数)都应包括它前面的符号.(2)生助生:生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结:确定一元二次方程各项的系数时,若方程不是一般形式,要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式,通常习惯把二次项系数化为正数,且各项系数均为整数且互质,在指出各项系数时,一定要带上各项前面的符号.(2)练习:①将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数,一次项系数及常数项:5x2-1=4x;4x2=81;解:原式化为5x2-4x-1=0解:原式化为4x2-81=0二次项系数:5一次项系数:-4常数项:-1二次项系数:4一次项系数:0常数项:-81 4x(x+2)=25;(3x-2)(x+1)=8x-3.解:原式化为4x2+8x-25=0解:原式化为3x2-7x+1=0二次项系数:4一次项系数:8常数项:-25二次项系数:3一次项系数:-7常数项:1②若方程(m-1)x2+x=1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标):这节课你学到了哪些知识?还有什么困惑?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生参与学习的情况,回答问题,小组互动情况以及存在的问题等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)注重知识的前后联系,在温故而知新的过程中孕育新知,按照由特殊到一般的规律,降低学生理解的难度.(2)教师创设情境,给出实例,学生积极主动探究,教师引导与启发、点拨与设疑相结合,师生互动,体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度,让学生产生困惑,避免今后犯类似错误,增加课堂练习,巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程,要让学生大胆猜测,经过思考、讨论、分析的过程,让学生在交流中体会成功.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是(C)A. 3,5B. 3,0C. 3,-5D. 5,02.(10分)下列哪些数是方程x2+x-12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3, 4.解:-4,33.(20分)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)3x2+1=6x;(2)4x2=81-5x;解:原式化为3x2-6x+1=0 解:原式化为4x2+5x-81=0二次项系数:3 二次项系数:4一次项系数:-6 一次项系数:5常数项:1 常数项:-81(3)x(x+5)=5x-10; (4)(3x-2)(x+1)=x(2x-1).解:原式化为x2+10=0 解:原式化为x2+2x-2=0二次项系数:1 二次项系数:1一次项系数:0 一次项系数:2常数项:10 常数项:-24.(30分)根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少?解:设长方形的长为x cm,则宽为(x-1)cm,根据题意,得x(x-1)=132,整理,得x2-x-132=0.(2)有一根1m长的铁丝,怎样用它围一个面积为0.06m2的平方的长方形?解:设长方形的长为x m,则宽为(0.5-x)m.根据题意,得x(0.5-x)=0.06,整理,得50x2-25x+3=0.(3)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会?解:设有x人参加了这次聚会,根据题意,得x(x-1)=10整理,得x2-x-20=0二、综合应用(20分)5.(20分)在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为x cm,则x满足的方程是(B)A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸(10分)6.(10分)如果2是方程x2-c=0的一个根,求常数c及方程的另一个根.解:将2代入原方程中,得22-c=0,得c=4.将c=4代入原方程,得x2-4=0.解得x=±2.即方程的另一个根为-2.21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法一、导学1.导入课题:情景:一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,求盒子的棱长.问题1:本题的等量关系是什么?问题2:设正方体的棱长为x dm,请列出方程并化简.问题3:根据平方根的意义解方程x2=25.由此导入并板书课题直接开平方法.2.学习目标:(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及a x2+c=0的一元二次方程.(2)能运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.(3)体会“降次”的数学思想.3.学习重、难点:重点:运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.难点:降次的数学思想.4.自学指导:(1)自学内容:教材第5页到第6页“练习”之前的内容.(2)自学时间:10分钟.(3)自学方法:完成探究提纲.(4)探究提纲:①根据平方根的意义,解方程:x2=36;2x2-4=0;3x2-4=8.x=±6,x2=2,x2=4,x1=6,x2= -6. x=±2,x2=±2,x1=,x2= -. x1=2,x2= -2.②当p>0时,方程x2=p有两个不等的实数根x1= -x2=.当p=0时,方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0.当p<0时,方程x2=p无实数根.③探究方程(x+3)2=5的根:因为(x+3)2=5,所以x+3是5的平方根,所以x+3等于5或-5.即x+3=,或x+3= -.解x+3=,得x1=-3;解x+3=-,得x2= --3.于是,方程(x+3)2=5的根为x1=-3, x2= --3.解方程(x+3)2=5的过程实质上是把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程,再解两个一元一次方程即得原方程的解.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生:(1)明了学情:看学生能否顺利解决所给问题,注意书写格式方面存在的问题.(2)差异指导:注意帮助学困生复习平方根等知识,紧扣平方根讨论p的符号与方程的解的个数的关系.2.生助生:同桌之间互相批改,相互讨论改正错误.四、强化1.教师示范:解方程x2+4x+4=1.分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.解:由已知,得:(x+2)2=1直接开平方,得:x+2=±1即x+2=1或x+2=-1所以,方程的两根为x1= -1,x2= -3.2.练习:解下列方程:3.上面的方程都能化成x2=p或(m x+n)2=p(p≥0)的形式,那么可由“降次”得到x=±或m x+n=±p≥0)求解.4.以师生对话的形式讨论(m x+n)2=p的解的个数问题.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标):你会解哪些形式的一元二次方程?怎样解?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生的学习态度、方法、积极性及存在的不足之处等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本课时通过创设问题情景,激发学生探究新知的欲望.(2)本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.(3)教师引导学生自主、合作、探究、验证,培养学生分析问题、解决问题的能力.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是(D)A. x-6= -4B. x-6=4C. x+6=4D. x+6= -42.(10分)方程3x2+9=0的根为(D)A. 3B. -3C. ±3D. 无实数根3.(10分)若8x2-16=0,则x的值是±2.4.(10分)已知方程2(x-3)2=72,那么这个一元二次方程的两根是x1=9,x2= -3.5.(40分)解下列方程:(1) 4x2=81;(2) (x+6)2-9=0;解:由已知,得:x2=,解:由已知,得:(x+6)2=9,直接开平方,得x=±,直接开平方,得x+6=±3,所以方程的两根为x1=,x2= -. 所以方程的两根为x1= -3, x2= -9.(3) x2+2x+1=4;(4) 9x2+6x+1=4.解:由已知,得:(x+1)2=4,解:由已知,得:(3x+1)2=4,直接开平方,得x+1=±2,直接开平方,得3x+1=±2,所以方程的两根为x1=1, x2= -3. 所以方程的两根为x1= -1, x2=.二、综合应用(10分)6.(10分)如果x=3是一元二次方程a x2=c的一个根,则方程的另一根是(B)A. 3B. -3C. 0D. 1三、拓展延伸(10分)7.(10分)解关于x的方程(x+m)2=n.解:①当n>0时,此时方程两边直接开方.得x+m=±,方程的两根为x1=-m,x2= --m.②当n=0时,此时(x+m)2=0,直接开方得x+m=0,方程的两根为x1=x2= -m.③当n<0时,因为对任意实数x,都有(x+m)2≥0,所以方程无实数根.21.2.1配方法第2课时配方法一、新课导入1.导入课题:情景:请把方程(x+3)2=5化成一般形式,并由一名学生口答.问题:(追问)那么你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的形式吗?由此导入课题.(板书课题)2.学习目标:(1)知道用配方法解一元二次方程的一般步骤,会用配方法解一元二次方程.(2)通过配方进一步体会“降次”的转化思想.3.学习重、难点:重点:用配方法解一元二次方程.难点:配方的方法.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第6页“探究”到第7页例1上面的部分.(2)自学时间:6分钟.(3)自学方法:完成下面的探究提纲,如果觉得有困难就先完成②,③,再完成①.(4)探究提纲:①解方程x2+6x+4=0.移项:把常数项移到方程的右边,得x2+6x= -4;配方:两边都加9,使得左边配成x2+2b x+b2的形式,得x2+6x+9=;变形:把左边写成完全平方形式,得(x+3)2=5;降次:运用平方根的定义把方程转化为两个一元一次方程,得x+3=±;求解:解两个一元一次方程,得x1=-3, x2= --3.②回忆完全平方公式填空:a2+2ab+b2=(a+b )2,x2+6x+9=(x+3)2.③为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数?因为两边加9,式子左边可以恰好凑成完全平方式.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:了解学生配方时的难点和易错点.②差异指导:根据具体情况指导学生配方.(2)生助生:小组内相互交流研讨,订正错误.4.强化:(1)配方的依据和步骤.(2)试一试:对下列各式进行配方:1.自学指导:(1)自学内容:教材第7页到第9页的例1.(2)自学时间:10分钟.(3)自学方法:认真阅读分析和解答过程,注意把方程转化为你能解的形式.(4)自学参考提纲:①仿照方程x2+6x+4=0的解法解方程(1),然后对照课本纠错.②方程(2)、(3)中是怎样化二次项系数为1的?方程两边同除以原二次项的系数③方程(3)没有实数根的依据是什么?实数的平方是非负数.④用配方法解一元二次方程时,移项时要注意些什么?移项时需注意改变符号.⑤请小结用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项,二次项系数化为1;②左边配成完全平方式;③左边写成完全平方形式;④降次;⑤解一次方程.⑥解方程(x+n)2=p.①当p>0时,则x+n=±,方程的两个根为x1=-n, x2= --n.②当p=0时,则(x+n)2=0,开平方得x+n=0,方程的两个根为x1=x2= -n.③当p<0时,则方程(x+n)2= p无实数根.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:主要了解学生解方程配方时是否存在困难,计算是否错误,书写格式是否规范.②差异指导:针对学生在学习中出现的问题予以指导.(2)生助生:生生互动,交流研讨.4.强化:(1)用配方法解一元二次方程的一般步骤.(2)用配方法解方程:三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标):你会用配方法解一元二次方程吗?本节课你学习了哪些知识?2教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生的学习参与情况、小组交流协作状况、学习效果及不足等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本节课,重在让学生自主参与,进而获得成功的体验,在数学方法上,仍突出数学研究中转化的思想,激发学生产生合理的认知冲突,激发兴趣,建立自信心.(2)在练习内容上,有所改进,加强了核心知识的理解与巩固,提高了自己解决问题的能力,感受数学创造的乐趣,提高教学效果.(3)用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法,后面的求根公式是在配方法的基础上推出的,配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切,用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固,又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法,因此配方法是一种基本的数学解题方法.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)用配方法解方程-x2+6x+7=0时,配方后得的方程为(B)A. (x+3)2=16B. (x-3)2=16C. (x+3)2=2D. (x-3)2=22.(20分)填空.(1) 4x2+4x+1=(2x+1)2(2) x2-x+=(x-)23.(40分)用配方法解下列方程.(1)x2+10x+9=0;(2)4x2-12x-7=0;解:移项,x2+10x=-9, 解:移项,4x2-12x=7,配方,x2+10x+25=16, 系数化为1,x2-3x=,(x+5)2=16, 配方,x2-3x+=4,x+5=±4, ( x-2=4,方程的两个根为x1=-1,x2= -9. x-=±2,方程的两个根为x1=72,x2= -12.(3) x2+4x-9=2x-11; (4) x(x+4)=8x+12解:移项,x2+2x= -2, 解:化简移项,x2-4x=12,配方,x2+2x+1= -1, 配方,x2-4x+4=16,(x+1)2= -1, (x-2)2=16,方程没有实数根. x-2=±4,方程的两个根为x1=6,x2= -2.二、综合应用(10分)4.(10分)用配方法解方程4x2-x-9=0.三、拓展延伸(20分)5.(20分) 当a为何值时,多项式a2+2a+18有最小值?并求出这个最小值. 解:对原式进行配方,则原式=(a+1)2+17∵(a+1)2≥0,∴当a= -1时,原式有最小值为17.21.2.2公式法——根的判别式及求根公式一、新课导入1.导入课题:(1)用配方法解一元二次方程的步骤是什么?(2)你能用配方法解一般形式的一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)吗?我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.2.学习目标:(1)知道一元二次方程根的判别式,能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.(2)会用公式法解一元二次方程.3.学习重、难点:重点:用求根公式解一元二次方程.难点:计算时的符号处理.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第9页到11页例2之前的内容.(2)自学时间:15分钟.(3)自学方法:认真阅读书上的内容,并动手推导出求根公式.(4)自学参考提纲:②Δ=b2-4ac叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式.当b2-4ac>0时,方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不等的实数根;当b2-4ac=0时,方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程a x2+b x+c=0(a≠0)无实数根.注意:上述的叙述,反过来也成立.③当Δ≥0时,一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式,这个式子叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的求根公式.④不解方程,利用判别式判断下列方程的根的情况.x2+5x+6=0;9x2+12x+4=0;Δ=b2-4ac=52-4×1×6=1>0 Δ=b2-4ac=122-4×9×4=0方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.2x2+4x-3=2x-4;x(x+4)=8x+12.方程化为2x2+2x+1=0 方程化为x2-4x-12=0Δ=b2-4ac=22-4×2×1=-4<0 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×(-12)=64>0方程无实数根. 方程有两个不等的实数根.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:了解学生配方的过程以及配方后是否讨论.②差异指导:指导学生配方变形;指导学生对b2-4ac的符号进行讨论.(2)生助生:小组内相互交流、研讨.4.强化:(1)公式的推导,判别式定义解读;(2)练习:不解方程,利用判别式判断下列方程的根的情况.1.自学指导:(1)自学内容:教材第11页到第12页的例2.(2)自学时间:8分钟.(3)自学方法:阅读解答过程,注意解题步骤和格式.(4)自学参考提纲:①先独立运用公式法解所给方程,然后对照课本找错误、分析错因.x2-4x-7=0;2x2-22x+1=0;5x2-3x=x+1;x2+17=8x.x1=2+x1=x2=x1=1 无实数根x2=2-x2= -②说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤,有哪些易错点?先将方程化为一般形式,确定a,b,c的值;计算判别式Δ=b2-4ac的值,判断方程是否有解;若Δ≥0,利用求根公式计算方程的根,若Δ<0,方程无实数根.计算Δ时,注意a,b,c符号的问题.③解答本章引言中的问题.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:看学生能否从例2的学习中总结出用公式法解方程的一般步骤及注意事项.②差异指导:注意强调运用公式法解方程的前提条件.(2)生助生:同桌之间互相找错,分析错因.4.强化:(1)用公式法解一元二次方程的一般解题步骤及注意事项.(2)解下列方程:三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标):这节课你学到了哪些知识?有何收获或不足?你知道一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式与其根的个数有什么关系吗?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生的学习态度、积极性、学习效果、方法及不足之处等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本课时容量较大,难度较大,计算的要求较高,因此教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开,问题设计、课堂学习有利于学生强化运算能力、掌握基本技能,也有利于教师发现教学中存在的问题.(2)在教学设计中,引导学生自主探究一元二次方程的求根公式,在师生讨论中发现求根公式,并学会利用公式法解一元二次方程.(3)整个课堂都以学生动手训练为主,让学生积极介入探究活动,体验到成功的喜悦.(4)公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法,它使解一元二次方程更加简便,在公式的运用中,涉及到根的判别式,使公式法解一元二次方程得到延续和深化.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则b2-4ac满足的条件是(B)A. b2-4ac=0B. b2-4ac>0C. b2-4ac<0D. b2-4ac≥02.(10分)已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0.下列说法正确的是(B)A. ①②都有实数解B. ①无实数解,②有实数解C. ①有实数解,②无实数解D. ①②都无实数解3.(10分)利用求根公式求5x2+=6x的根时,a,b,c的值分别是(C)A. 5,,6B. 5,6,C. 5,-6,D. 5,-6,-4.(20分)不解方程,利用判别式判断下列方程的根的情况:(1)x2-3x-32=0;(2) 16x2-24x+9=0;方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.(3)x2-42x+9=0;(4)3x2+10=2x2+8x.解:Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×9= -4<0, 解:方程化为x2-8x+10=0方程无实数根. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0方程有两个不等的实数根.5.(30分)用公式法解下列方程:二、综合应用(10分)6.(10分)解方程x2=3x+2时,有一位同学解答如下:请你分析以上解答有无错误,如有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.解:有错误,方程化为标准形式x2-3x-2=0, ∴a=1,b= -3,c= -2, b2-4ac=17.三、拓展延伸(10分)7.(10分)无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗?给出你的答案并说明理由.解:方程化简为x2-5x+6-p2=0.∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,∴Δ>0.∴无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.21.2.3 因式分解法一、新课导入1.导入课题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么经过x s后物体离地面的高度(单位:m)为:10x-4.9x2.问题1:你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?问题2:设物体经过x s落回地面,请说说你列出的方程.问题3:你能用配方法或公式法解这个方程吗?是否还有更简单的方法呢?(板书课题)2.学习目标:(1)会用因式分解法解一元二次方程.(2)能选用合适的方法解一元二次方程.3.学习重、难点:重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:选择合适的方法解一元二次方程.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第12页到第13页的内容.(2)自学时间:5分钟.(3)自学方法:可先解答②,再解答①.(4)自学参考提纲:①解方程10x-4.9x2=0.分解因式:左边提公因式,得x(10-4.9x)=0,降次:把方程化为两个一次方程,得x=0或10-4.9x=0,求解:解这两个一次方程,得x1=0, x2=.②将一个多项式进行因式分解,通常有哪几种方法?提公因式法,公式法,十字相乘法用因式分解法解一元二次方程的依据是:如果ab=0,则a=0或u.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤:移项,合并同类项,因式分解,写出一元二次方程的根.④解下列方程:(x-2)·(x-3)=0;4x2-11x=0.x1=2, x2=3 x1=0, x2=2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据,是否掌握用因式分解法解方程的步骤.②差异指导:根据学情进行个别或分类指导.(2)生助生:小组内互相交流、研讨.4.强化:(1)用因式分解法解方程的一般步骤:第一步,把方程变形为x2+p x+q=0的形式;第二步,把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式;第三步,把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式;第四步,解两个一次方程,求出方程的根.(2)点两名学生板演第④题,并点评.1.自学指导:(1)自学内容:教材第14页例3及“归纳”.(2)自学时间:5分钟.(3)自学方法:先独立作业,然后小组互相改正.(4)自学参考提纲:①方程x(x-2)+x-2=0左边可用提公因式法进行因式分解,分解为(x+1)(x-2).②方程5x2-2x-=x2-2x+左右两边都有含未知数的项,无法因式分解,因此,可先将其化为一般形式4x2-1=0,再用平方差公式法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.④解下列方程:2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握.②差异指导:指导学生观察题目特点,选用适当的方法分解因式.(2)生助生:同桌之间互相改错、分析错因.4.强化:(1)点6名学生板演自学参考提纲第④题,并点评.(2)说说运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.1.自学指导:(1)自学内容:选择合适的方法解一元二次方程.(2)自学时间:15分钟.(3)自学方法:完成探究提纲.(4)探究提纲:①直接开平方法适用于哪种形式的方程?x2=p;配方法适用于哪种形式的方程?(m x+n)2=p;公式法适用于哪种形式的方程?a x2+b x+c=0(a≠0);因式分解法适用于哪种形式的方程?x2-(m+n)x+mn=0.②前面这些解法各有什么优缺点?③解一元二次方程的基本思想是什么?④选择适当的方法解下列方程:。
人教版九年级数学上册全册导学案
第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)2__场.列方程__x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x2-2x-14=x2-2x+35;(4)2(x+1)2=3(x+1);(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x =-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;(3)2x2-3x-1=0; (4)1x2-2x=0;(5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,解得a=-3 4.3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为__2x两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=2x2=2.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p 或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=1 2.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x+1)2=7; (2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x的方程x2+(a2+1)x-3=0的一个根是1,求a的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)用直接开平方法解下列方程:(1)3(x-1)2-6=0 ; (2)x2-4x+4=5;(3)9x2+6x+1=4; (4)36x2-1=0;(5)4x2=81; (6)(x+5)2=25;(7)x2+2x+1=4.解:(1)x1=1+2,x2=1-2;(2)x1=2+5,x2=2-5;(3)x1=-1,x2=1 3;(4)x1=16,x2=-16;(5)x1=92,x2=-92;(6)x1=0,x2=-10;(7)x1=1,x2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程.2.理解“降次”思想.3.理解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程.(2分钟)1.填空:(1)x2-8x+__16__=(x-__4__)2;(2)9x2+12x+__4__=(3x+__2__)2;(3)x2+px+__(p2)2__=(x+__p2__)2.2.若4x2-mx+9是一个完全平方式,那么m的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m,则长为__(x+6)__m,根据矩形面积为16 m2,得到方程__x(x+6)=16__,整理得到__x2+6x-16=0__.探究:怎样解方程x2+6x-16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=4,可以发现方程x2+6x+9=4的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x2+6x=16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x2+bx+(b2)2的形式,得__x2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x+3)2=25__,开平方,得__x+3=±5__,(降次)即__x+3=5__或__x+3=-5__,解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0;(3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52; (3)x 1=-72,x 2=-12. 归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2;(2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2; (3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0;(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x2+6x=-5,配方得x2+6x+32=-5+32,(x+3)2=4,由此可得x+3=±2,即x1=-1,x2=-5.(2)移项,得2x2+6x=-2,二次项系数化为1,得x2+3x=-1,配方得x2+3x+(32)2=(x+32)2=54,由此可得x+32=±52,即x1=52-32,x2=-52-32.(3)去括号,整理得x2+4x-1=0,移项得x2+4x=1,配方得(x+2)2=5,x+2=±5,即x1=5-2,x2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,即x2-14x+24=0,(x-7)2=25,x-7=±5,∴x1=12,x2=2,x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x的方程:(1)2x2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0;(3)x2-12x-1=0 ; (4)2x2+2=5.解:(1)x1=1+5,x2=1-5;(2)x1=2+2,x2=2-2;(3)x1=14+174,x2=14-174;(4)x1=62,x2=-62.2.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.∴(xy)z=[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.(2)x=-b±b2-4ac2a叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x2-3x=0;(2)3x2-23x+1=0;(3)4x2+x+1=0.解:(1)x1=0,x2=32;有两个不相等的实数根;(2)x1=x2=33;有两个相等的实数根;(3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.当m为何值时,方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m<14;(2)m=14;(3)m >14.3. 已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.利用判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x2-3x-32=0; (2)16x2-24x+9=0;(3)x2-42x+9=0 ; (4)3x2+10x=2x2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:(1)x2+x-12=0 ; (2)x2-2x-14=0;(3)x2+4x+8=2x+11; (4)x(x-4)=2-8x;(5)x2+2x=0 ; (6)x2+25x+10=0.解:(1)x1=3,x2=-4;(2)x1=2+32,x2=2-32;(3)x1=1,x2=-3;(4)x1=-2+6,x2=-2-6;(5)x1=0,x2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x1=0,x2=8;(2)x1=-13,x2=52.2.用因式分解法解下列方程:(1)x2-4x=0; (2)4x2-49=0;(3)5x2-20x+20=0.解:(1)x1=0,x2=4; (2)x1=72,x2=-72;(3)x1=x2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2;(3)(x+5)2=3x+15.解:(1)x1=0,x2=4 5;(2)x1=23,x2=-12;(3)x1=-5,x2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x2-144=0;(2)(2x-1)2=(3-x)2;(3)5x2-2x-14=x2-2x+34;(4)3x2-12x=-12.解:(1)x1=6,x2=-6;(2)x1=43,x2=-2;(3)x1=12,x2=-12;(4)x1=x2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0;(5)(x-4)2=(5-2x)2.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=23;(3)x1=x2=1;(4)x1=112,x2=-112;(5)x1=3,x2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2=π(x+5)2.解得x1=5+52,x2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x1+x2=-ba,x1x2=ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)自学1:完成下表:问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. 答:x1+x2=-p,x1x2=q.自学2:完成下表:问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1; (2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0;(3)5x-1=4x2.解:(1)x1+x2=6,x1x2=-15;(2)x1+x2=-73,x1x2=-3;(3)x1+x2=54,x1x2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a,b,c.2.已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.解:另一根为32,k=3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x=-3代入方程先求k,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β;(2)α2+β2;(3)α-β.解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x2-3x=15; (2)5x2-1=4x2;(3)x2-3x+2=10; (4)4x2-144=0.解:(1)x1+x2=3,x1x2=-15;(2)x1+x2=0,x1x2=-1;(3)x1+x2=3,x1x2=-8;(4)x1+x2=0,x1x2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是(C)A.7x2-12x+5=0 B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0 D.x2+15x-8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a,b,c.2.当且仅当b2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x1+x2=-ba(比前面有负号),x1x2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x+1)__人患了流感.则列方程:__(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%) 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,。
【人教版】九年级数学上册全册导学案
第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)2场.列方程__x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x 2-2x -14=x 2-2x +35;(4)2(x +1)2=3(x +1);(5)x 2-2x =x 2+1; (6)ax 2+bx +c =0. 解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x -1)=5(x +2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 解:去括号,得3x 2-3x =5x +10.移项,合并同类项,得3x 2-8x -10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x 的方程(m 2-8m +17)x 2+2mx +1=0,无论m 取何值,该方程都是一元二次方程. 证明:m 2-8m +17=(m -4)2+1, ∵(m -4)2≥0,∴(m -4)2+1>0,即(m -4)2+1≠0.∴无论m 取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m 取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m 2-8m +17≠0即可. 2.下面哪些数是方程2x 2+10x +12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x =-2或x =-3是一元二次方程2x 2+10x +12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x 2=0; (2)2(x 2-1)=3y ; (3)2x 2-3x -1=0; (4)1x 2-2x=0;(5)(x +3)2=(x -3)2; (6)9x 2=5-4x. 解:(1)是;(2)不是;(3)是; (4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根,求a 的值. 解:∵x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根, ∴4a +8-5=0, 解得a =-34.3.根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ; (2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x 2=25,4x 2-25=0;(2)x(x -2)=100,x 2-2x -100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),特别强调a ≠0. 3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x +m)2=n(n ≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x 2=n(n ≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x +m)2=n(n ≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm ,则一个正方体的表面积为__6x 2__dm 2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程: __10×6x 2=1500__, 由此可得__x 2=25__,根据平方根的意义,得x =__±5__, 即x 1=__5__,x 2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm . 探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x -1)2=5及方程x 2+6x +9=4? 方程(2x -1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为__2x -1=±5__,即将方程变为__2x -1=5和__2x -1=-5__两个一元一次方程,从而得到方程(2x -1)2=5的两个解为x 1=__1+52,x 2=__1-52__. 在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x 2+6x +9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x +__3__)2=4,进行降次,得到 __x +3=±2__ ,方程的根为x 1= __-1__,x 2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)的形式,那么可得x =±p 或mx +n =±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y 2=8; (2)2(x -8)2=50; (3)(2x -1)2+4=0; (4)4x 2-4x +1=0.解:(1)2y 2=8, (2)2(x -8)2=50, y 2=4, (x -8)2=25, y =±2, x -8=±5,∴y 1=2,y 2=-2; x -8=5或x -8=-5, ∴x 1=13,x 2=3;(3)(2x -1)2+4=0, (4)4x 2-4x +1=0, (2x -1)2=-4<0, (2x -1)2=0, ∴原方程无解; 2x -1=0, ∴x 1=x 2=12.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 1.用直接开平方法解下列方程: (1)(3x +1)2=7; (2)y 2+2y +1=24; (3)9n 2-24n +16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p(p ≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5; (3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0; (5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25; (7)x 2+2x +1=4.解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2; (2)x 1=2+5,x 2=2-5; (3)x 1=-1,x 2=13;(4)x 1=16,x 2=-16;(5)x 1=92,x 2=-92;(6)x 1=0,x 2=-10;(7)x 1=1,x 2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程. 2.理解“降次”思想.3.理解x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)中,为什么p ≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1 配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x -a)2=b 的过程.(2分钟)1.填空:(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2; (2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2; (3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p2__)2.2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m ,则长为__(x +6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到__x 2+6x -16=0__.探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x 2+6x =16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b2)2的形式,得__x 2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x +3)2=25__,开平方,得__x +3=±5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__,解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0; (3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52;(3)x 1=-72,x 2=-12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2; (2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2;(3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0; (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x 2+6x =-5,配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4, 由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5. (2)移项,得2x 2+6x =-2,二次项系数化为1,得x 2+3x =-1, 配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54,由此可得x +32=±52,即x 1=52-32,x 2=-52-32.(3)去括号,整理得x 2+4x -1=0, 移项得x 2+4x =1, 配方得(x +2)2=5,x +2=±5,即x 1=5-2,x 2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x 的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8 m ,CB =6 m ,点P ,Q 同时由A ,B 两点出发分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速移动,它们的速度都是1 m /s ,几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半?解:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.根据题意可列方程: 12(8-x)(6-x)=12×12×8×6, 即x 2-14x +24=0, (x -7)2=25, x -7=±5,∴x 1=12,x 2=2,x 1=12,x 2=2都是原方程的根,但x 1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.点拨精讲:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.根据已知条件列出等式. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.用配方法解下列关于x 的方程:(1)2x 2-4x -8=0; (2)x 2-4x +2=0; (3)x 2-12x -1=0 ; (4)2x 2+2=5.解:(1)x 1=1+5,x 2=1-5; (2)x 1=2+2,x 2=2-2; (3)x 1=14+174,x 2=14-174;(4)x 1=62,x 2=-62. 2.如果x 2-4x +y 2+6y +z +2+13=0,求(xy)z 的值.解:由已知方程得x 2-4x +4+y 2+6y +9+z +2=0,即(x -2)2+(y +3)2+z +2=0,∴x =2,y =-3,z =-2.∴(xy)z =[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤. 2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用. 难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x 2+3x +2=0; (2)2x 2-3x +5=0. 解:(1)x 1=-2,x 2=-1; (2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根? 问题:已知ax 2+bx +c =0(a ≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0,当b 2-4ac ≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b±b 2-4ac2a就得到方程的根,当b 2-4ac <0时,方程没有实数根.(2)x =-b±b 2-4ac 2a叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b 2-4ac. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论? (1)2x 2-3x =0; (2)3x 2-23x +1=0; (3)4x 2+x +1=0.解:(1)x 1=0,x 2=32;有两个不相等的实数根;(2)x 1=x 2=33;有两个相等的实数根; (3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 1.方程x 2-4x +4=0的根的情况是( B ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .有一个实数根 D .没有实数根2.当m 为何值时,方程(m +1)x 2-(2m -3)x +m +1=0,(1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?解:(1)m <14; (2)m =14; (3)m >14.3. 已知x 2+2x =m -1没有实数根,求证:x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.证明:∵x 2+2x -m +1=0没有实数根, ∴4-4(1-m)<0,∴m <0.对于方程x 2+mx =1-2m ,即x 2+mx +2m -1=0, Δ=m 2-8m +4,∵m <0,∴Δ>0,∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.利用判别式判定下列方程的根的情况: (1)2x 2-3x -32=0; (2)16x 2-24x +9=0;(3)x 2-42x +9=0 ; (4)3x 2+10x =2x 2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根; (3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根. 2.用公式法解下列方程:(1)x 2+x -12=0 ; (2)x 2-2x -14=0;(3)x 2+4x +8=2x +11; (4)x(x -4)=2-8x ; (5)x 2+2x =0 ; (6)x 2+25x +10=0. 解:(1)x 1=3,x 2=-4; (2)x 1=2+32,x 2=2-32; (3)x 1=1,x 2=-3;(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6;(5)x 1=0,x 2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b 2-4ac ≥0的前提下,把a ,b ,c 的值代入x =-b±b 2-4ac 2a(b 2-4ac ≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a ,b ,c 的值,再算.出b 2-4ac 的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3 因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am +bm +cm =(__a +b +c__)m ; (2)a 2-b 2=__(a +b)(a -b)__; (3)a 2±2ab +b 2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m /s 的速度竖直上抛,那么经过x s 物体离地的高度(单位:m )为10x -4.9x 2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s )设物体经过x s 落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x -4.9x 2=0, ① 思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①? 分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得: x(10-4.9x)=0,于是得x =0或10-4.9x =0, ② ∴x 1=__0__,x 2≈2.04.上述解中,x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面,而x 1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s 时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m .点拨精讲: (1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b =0,那么a =0或b =0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x -1)=0,那么__x +1=0或__x -1=0__,即__x =-1__或__x =1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 1.说出下列方程的根:(1)x(x -8)=0; (2)(3x +1)(2x -5)=0. 解:(1)x 1=0,x 2=8; (2)x 1=-13,x 2=52.2.用因式分解法解下列方程: (1)x 2-4x =0; (2)4x 2-49=0;(3)5x 2-20x +20=0.解:(1)x 1=0,x 2=4; (2)x 1=72,x 2=-72;(3)x 1=x 2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 1.用因式分解法解下列方程:(1)5x 2-4x =0; (2)3x(2x +1)=4x +2; (3)(x +5)2=3x +15. 解:(1)x 1=0,x 2=45;(2)x 1=23,x 2=-12;(3)x 1=-5,x 2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式. 2.用因式分解法解下列方程: (1)4x 2-144=0;(2)(2x -1)2=(3-x)2;(3)5x 2-2x -14=x 2-2x +34;(4)3x 2-12x =-12.解:(1)x 1=6,x 2=-6; (2)x 1=43,x 2=-2;(3)x 1=12,x 2=-12;(4)x 1=x 2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.用因式分解法解下列方程: (1)x 2+x =0; (2)x 2-23x =0; (3)3x 2-6x =-3; (4)4x 2-121=0; (5)(x -4)2=(5-2x)2. 解:(1)x 1=0,x 2=-1; (2)x 1=0,x 2=23; (3)x 1=x 2=1; (4)x 1=112,x 2=-112;(5)x 1=3,x 2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径. 解:设小圆形场地的半径为x m . 则可列方程2πx 2=π(x +5)2.解得x 1=5+52,x 2=5-52(舍去). 答:小圆形场地的半径为(5+52) m .学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab =0得 a =0或b =0,即“二次降为一次”. 2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟) 自学1:完成下表:方程 x 1 x 2 x 1+x 2 x 1x 2 x 2-5x +6=0 2 3 5 6 x 2+3x -10=02-5-3-10问题:你发现什么规律? ①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项. ②x 2+px +q =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q. 自学2:完成下表:方程 x 1 x 2 x 1+x 2 x 1x 2 2x 2-3x -2=0 2 -12 32 -1 3x 2-4x +1=01314313问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立) 请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比. ②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理) ax 2+bx +c =0的两根x 1=__-b +b 2-4ac 2a __,x 2=__-b -b 2-4ac 2a__.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1; (2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0; (3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3;(3)x 1+x 2=54,x 1x 2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a ,b ,c.2.已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值. 解:另一根为32,k =3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β; (2)α2+β2; (3)α-β. 解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x 2-3x =15; (2)5x 2-1=4x 2; (3)x 2-3x +2=10; (4)4x 2-144=0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=0,x 1x 2=-1; (3)x 1+x 2=3,x 1x 2=-8; (4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是( C ) A .7x 2-12x +5=0 B .6x 2-13x -5=0 C .4x 2+21x +5=0 D .x 2+15x -8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a ,b ,c.2.当且仅当b 2-4ac ≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x 1+x 2=-b a (比前面有负号),x 1x 2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解. 2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题. 难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x +1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x +1)__人患了流感.则列方程:__(x +1)2=121__,解得__x =10或x =-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%) 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,解得x1=-2(不符,舍去),x2=0.125=12.5%.答:所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg,2013年平均每公顷产8460 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.。
人教版九年级数学上册全册导学案
第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)2__场.列方程__x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x2-2x-14=x2-2x+35;(4)2(x+1)2=3(x+1);(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x =-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;(3)2x2-3x-1=0; (4)1x2-2x=0;(5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,解得a=-3 4.3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为__2x两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=2x2=2.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p 或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=1 2.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x+1)2=7; (2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x的方程x2+(a2+1)x-3=0的一个根是1,求a的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)用直接开平方法解下列方程:(1)3(x-1)2-6=0 ; (2)x2-4x+4=5;(3)9x2+6x+1=4; (4)36x2-1=0;(5)4x2=81; (6)(x+5)2=25;(7)x2+2x+1=4.解:(1)x1=1+2,x2=1-2;(2)x1=2+5,x2=2-5;(3)x1=-1,x2=1 3;(4)x1=16,x2=-16;(5)x1=92,x2=-92;(6)x1=0,x2=-10;(7)x1=1,x2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程.2.理解“降次”思想.3.理解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程.(2分钟)1.填空:(1)x2-8x+__16__=(x-__4__)2;(2)9x2+12x+__4__=(3x+__2__)2;(3)x2+px+__(p2)2__=(x+__p2__)2.2.若4x2-mx+9是一个完全平方式,那么m的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m,则长为__(x+6)__m,根据矩形面积为16 m2,得到方程__x(x+6)=16__,整理得到__x2+6x-16=0__.探究:怎样解方程x2+6x-16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=4,可以发现方程x2+6x+9=4的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x2+6x=16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x2+bx+(b2)2的形式,得__x2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x+3)2=25__,开平方,得__x+3=±5__,(降次)即__x+3=5__或__x+3=-5__,解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0;(3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52; (3)x 1=-72,x 2=-12. 归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2;(2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2; (3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0;(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x2+6x=-5,配方得x2+6x+32=-5+32,(x+3)2=4,由此可得x+3=±2,即x1=-1,x2=-5.(2)移项,得2x2+6x=-2,二次项系数化为1,得x2+3x=-1,配方得x2+3x+(32)2=(x+32)2=54,由此可得x+32=±52,即x1=52-32,x2=-52-32.(3)去括号,整理得x2+4x-1=0,移项得x2+4x=1,配方得(x+2)2=5,x+2=±5,即x1=5-2,x2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,即x2-14x+24=0,(x-7)2=25,x-7=±5,∴x1=12,x2=2,x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x的方程:(1)2x2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0;(3)x2-12x-1=0 ; (4)2x2+2=5.解:(1)x1=1+5,x2=1-5;(2)x1=2+2,x2=2-2;(3)x1=14+174,x2=14-174;(4)x1=62,x2=-62.2.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.∴(xy)z=[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.(2)x=-b±b2-4ac2a叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x2-3x=0;(2)3x2-23x+1=0;(3)4x2+x+1=0.解:(1)x1=0,x2=32;有两个不相等的实数根;(2)x1=x2=33;有两个相等的实数根;(3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.当m为何值时,方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m<14;(2)m=14;(3)m >14.3. 已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.利用判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x2-3x-32=0; (2)16x2-24x+9=0;(3)x2-42x+9=0 ; (4)3x2+10x=2x2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:(1)x2+x-12=0 ; (2)x2-2x-14=0;(3)x2+4x+8=2x+11; (4)x(x-4)=2-8x;(5)x2+2x=0 ; (6)x2+25x+10=0.解:(1)x1=3,x2=-4;(2)x1=2+32,x2=2-32;(3)x1=1,x2=-3;(4)x1=-2+6,x2=-2-6;(5)x1=0,x2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x1=0,x2=8;(2)x1=-13,x2=52.2.用因式分解法解下列方程:(1)x2-4x=0; (2)4x2-49=0;(3)5x2-20x+20=0.解:(1)x1=0,x2=4; (2)x1=72,x2=-72;(3)x1=x2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2;(3)(x+5)2=3x+15.解:(1)x1=0,x2=4 5;(2)x1=23,x2=-12;(3)x1=-5,x2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x2-144=0;(2)(2x-1)2=(3-x)2;(3)5x2-2x-14=x2-2x+34;(4)3x2-12x=-12.解:(1)x1=6,x2=-6;(2)x1=43,x2=-2;(3)x1=12,x2=-12;(4)x1=x2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0;(5)(x-4)2=(5-2x)2.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=23;(3)x1=x2=1;(4)x1=112,x2=-112;(5)x1=3,x2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2=π(x+5)2.解得x1=5+52,x2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x1+x2=-ba,x1x2=ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)自学1:完成下表:问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. 答:x1+x2=-p,x1x2=q.自学2:完成下表:问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1; (2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0;(3)5x-1=4x2.解:(1)x1+x2=6,x1x2=-15;(2)x1+x2=-73,x1x2=-3;(3)x1+x2=54,x1x2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a,b,c.2.已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.解:另一根为32,k=3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x=-3代入方程先求k,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β;(2)α2+β2;(3)α-β.解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x2-3x=15; (2)5x2-1=4x2;(3)x2-3x+2=10; (4)4x2-144=0.解:(1)x1+x2=3,x1x2=-15;(2)x1+x2=0,x1x2=-1;(3)x1+x2=3,x1x2=-8;(4)x1+x2=0,x1x2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是(C)A.7x2-12x+5=0 B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0 D.x2+15x-8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a,b,c.2.当且仅当b2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x1+x2=-ba(比前面有负号),x1x2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x+1)__人患了流感.则列方程:__(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%) 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,。
最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)
最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1.了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式a某2+b某+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为某cm,则盒底的长为__(100-2某)cm__,宽为__(50-2某)cm__.列方程__(100-2某)·(50-2某)=3600__,化简整理,得__某2-75某+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__437=28__.设应邀请某个队参赛,每个队要与其他__(某-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共某(某-1)某(某-1)__场.列方程__=28__,化简整理,得__某2-某-56=0__.②22探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于某的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:a某2+b某+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__a某2__是二次项,__a__是二次项系数,__b某__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)某3-2某2+5=0;(2)某2=1;13(3)5某2-2某-=某2-2某+;45(4)2(某+1)2=3(某+1);(5)某2-2某=某2+1;(6)a某2+b某+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3某(某-1)=5(某+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3某2-3某=5某+10.移项,合并同类项,得3某2-8某-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于某的方程(m2-8m+17)某2+2m某+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.2.下面哪些数是方程2某2+10某+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以某=-2或某=-3是一元二次方程2某2+10某+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-某2=0;(2)2(某2-1)=3y;12(3)2某2-3某-1=0;(4)2-=0;某某(5)(某+3)2=(某-3)2;(6)9某2=5-4某.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若某=2是方程a某2+4某-5=0的一个根,求a的值.解:∵某=2是方程a某2+4某-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,3解得a=-.43.根据下列问题,列出关于某的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长某;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长某.解:(1)4某2=25,4某2-25=0;(2)某(某-2)=100,某2-2某-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式a某2+b某+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2.渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(某+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如某2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(某+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为某dm,则一个正方体的表面积为__6某2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__1036某2=1500__,由此可得__某2=25__,根据平方根的意义,得某=__±5__,即某1=__5__,某2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2某-1)2=5及方程某2+6某+9=4方程(2某-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为__2某-1=±5__,即将方程变为__2某-1=5和__2某-1=-5__两个一元一1+51-5次方程,从而得到方程(2某-1)2=5的两个解为某1=__,某2=____.22在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程某2+6某+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(某+__3__)2=4,进行降次,得到__某+3=±2__,方程的根为某1=__-1__,某2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成某2=p(p≥0)或(m某+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得某=±p或m某+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(某-8)2=50;(3)(2某-1)2+4=0;(4)4某2-4某+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(某-8)2=50,y2=4,(某-8)2=25,y=±2,某-8=±5,∴y1=2,y2=-2;某-8=5或某-8=-5,∴某1=13,某2=3;(3)(2某-1)2+4=0,(4)4某2-4某+1=0,(2某-1)2=-4<0,(2某-1)2=0,∴原方程无解;2某-1=0,1∴某1=某2=.2点拨精讲:观察以上各个方程能否化成某2=p(p≥0)或(m某+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3某+1)2=7;(2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式a某2+b某+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?-b+b2-4ac问题:已知a某+b某+c=0(a≠0),试推导它的两个根某1=,某2=2a2-b-b2-4ac.2a分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程a某2+b某+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式a某2+b某+c=0,当b2-4ac≥0时,-b±b2-4ac将a,b,c代入式子某=就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数2a根.-b±b2-4ac(2)某=叫做一元二次方程a某2+b某+c=0(a≠0)的求根公式.2a(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b2-4ac叫做方程a某2+b某+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2某2-3某=0;(2)3某2-23某+1=0;(3)4某2+某+1=0.3解:(1)某1=0,某2=;有两个不相等的实数根;2(2)某1=某2=3;有两个相等的实数根;3(3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程某2-4某+4=0的根的情况是(B)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.当m为何值时,方程(m+1)某2-(2m-3)某+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?111解:(1)m<;(2)m=;(3)m>.4443.已知某2+2某=m-1没有实数根,求证:某2+m某=1-2m必有两个不相等的实数根.证明:∵某2+2某-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程某2+m某=1-2m,即某2+m某+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴某2+m某=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.利用判别式判定下列方程的根的情况:3(1)2某2-3某-=0;(2)16某2-24某+9=0;2(3)某2-42某+9=0;(4)3某2+10某=2某2+8某.解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:(1)某2+某-12=0;(2)某2-2某-=0;4(3)某2+4某+8=2某+11;(4)某(某-4)=2-8某;(5)某2+2某=0;(6)某2+25某+10=0.解:(1)某1=3,某2=-4;(2)某1=2+32-3,某2=;22(3)某1=1,某2=-3;(4)某1=-2+6,某2=-2-6;(5)某1=0,某2=-2;(6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程a某2+b某+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把-b±b2-4ac2a,b,c的值代入某=(b-4ac≥0)中,可求得方程的两个根;2a(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定出b2-4ac的值、.a,b,c的值,再算.最后代入求根公式求解..3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/的速度竖直上抛,那么经过某物体离地的高度(单位:m)为10某-4.9某2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01)设物体经过某落回地面,这时它离地面的高度为0,即10某-4.9某2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:某(10-4.9某)=0,于是得某=0或10-4.9某=0,②∴某1=__0__,某2≈2.04.上述解中,某2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面,而某1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0时物体被抛出,此刻物体的高度是0m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(某+1)(某-1)=0,那么__某+1=0或__某-1=0__,即__某=-1__或__某=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)某(某-8)=0;(2)(3某+1)(2某-5)=0.15解:(1)某1=0,某2=8;(2)某1=-,某2=.322.用因式分解法解下列方程:(1)某2-4某=0;(2)4某2-49=0;(3)5某2-20某+20=0.77解:(1)某1=0,某2=4;(2)某1=,某2=-;22(3)某1=某2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5某2-4某=0;(2)3某(2某+1)=4某+2;(3)(某+5)2=3某+15.4解:(1)某1=0,某2=;521(2)某1=,某2=-;32(3)某1=-5,某2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4某2-144=0;(2)(2某-1)2=(3-某)2;13(3)5某2-2某-=某2-2某+;44(4)3某2-12某=-12.解:(1)某1=6,某2=-6;4(2)某1=,某2=-2;311(3)某1=,某2=-;22(4)某1=某2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)某2+某=0;(2)某2-23某=0;(3)3某2-6某=-3;(4)4某2-121=0;(5)(某-4)2=(5-2某)2.解:(1)某1=0,某2=-1;(2)某1=0,某2=23;(3)某1=某2=1;1111(4)某1=,某2=-;22(5)某1=3,某2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为某m.则可列方程2π某2=π(某+5)2.解得某1=5+52,某2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52)m.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4一元二次方程的根与系数的关系bc1.理解并掌握根与系数的关系:某1+某2=-,某1某2=.aa2.会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)自学1:完成下表:方程某2-5某+6=0某2+3某-10=0问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;某122某23-5某1+某25-3某1某26-10答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②某2+p某+q=0的两根某1,某2用式子表示你发现的规律.答:某1+某2=-p,某1某2=q.自学2:完成下表:方程2某2-3某-2=03某2-4某+1=0某1213某21-21某1+某23243某1某2-113问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②a某2+b某+c=0的两根某1,某2用式子表示你发现的规律.bc答:某1+某2=-,某1某2=.aa自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)-b+b2-4ac-b-b2-4aca某+b某+c=0的两根某1=____,某2=____.2a2a2bc某1+某2=-,某1某2=.aa二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)某2-3某-1=0;(2)2某2+3某-5=0;1(3)某2-2某=0.3解:(1)某1+某2=3,某1某2=-1;(2)某1+某2=-,某1某2=-;22(3)某1+某2=6,某1某2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)某2-6某-15=0;(2)3某2+7某-9=0;(3)5某-1=4某2.解:(1)某1+某2=6,某1某2=-15;7(2)某1+某2=-,某1某2=-3;351(3)某1+某2=,某1某2=.44点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a,b,c.2.已知方程2某2+k某-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.3解:另一根为,k=3.2点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将某=-3代入方程先求k,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程某2-3某-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.11(1)+;(2)α2+β2;(3)α-β.αβ3解:(1)-;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)某2-3某=15;(2)5某2-1=4某2;(3)某2-3某+2=10;(4)4某2-144=0.解:(1)某1+某2=3,某1某2=-15;(2)某1+某2=0,某1某2=-1;(3)某1+某2=3,某1某2=-8;(4)某1+某2=0,某1某2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是(C)A.7某2-12某+5=0B.6某2-13某-5=0C.4某2+21某+5=0D.某2+15某-8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a,b,c.2.当且仅当b2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.bc3.要注意比的符号:某1+某2=-(比前面有负号),某1某2=(比前面没有负号).aa学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了某个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__某__人,第一轮后共有__(某+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__某__人,第二轮后共有__(某+1)(某+1)__人患了流感.则列方程:__(某+1)2=121__,解得__某=10或某=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__某__,则十位数字为__(6-某)__,则原两位数为__10(6-某)+某,新两位数为__10某+(6-某)__.依题意可列方程:[10(6-某)+某][10某+(6-某)]=1008__,解得某1=__2__,某2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有某名学生,根据题意,列出方程为()A.某(某+1)=2550B.某(某-1)=2550C.2某(某+1)=2550D.某(某-1)=255032分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(某-1)张相片,全班共送出某(某-1)张相片,可列方程为某(某-1)=2550.故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出某个小分支,则有1+某+某2=91,即某2+某-90=0,解得某1=9,某2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为某,则列方程为:__某2+(某+4)2=10(某+4)+某-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2.对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1.会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±某)n=b,其中a是原有量,某为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为某,则一年后甲种药品成本为__5000(1-某)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-某)2__元.依题意,得__5000(1-某)2=3000__.解得__某1≈0.23,某2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为某,则11月份的营业额为__5000(1+某)__元,12月份的营业额为__5000(1+某)(1+某)__元,即__5000(1+某)2__元.由此就可列方程:__5000(1+某)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为某,则一月(或一年)后产量为a(1+某);二月(或二年)后产量为a(1+某)2;n月(或n年)后产量为a(1+某)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+某)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)分析:设这种存款方式的年利率为某,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000某·80%;第二次存,本金就变为1000+2000某·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为某,则1000+2000某·80%+(1000+2000某·80%)某·80%=1320,整理,得1280某2+800某+1600某=320,即8某2+15某-2=0,解得某1=-2(不符,舍去),某2=0.125=12.5%.答:所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2022年平均每公顷产7200kg,2022年平均每公顷产8460kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为某,则有7200(1+某)2=8460,解得某1=0.08,某2=-2.08(舍).即年平均增长率为8%.答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲:传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.若平均增长(降低)率为某,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±某)n=b(常见n=2).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(3)1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.2.列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.难点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.一、自学指导.(10分钟)问题:如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?(精确到0.1cm)分析:封面的长宽之比是27∶21=__9∶7,中央的长方形的长宽之比也应是__9∶7__,若设中央的长方形的长和宽分别是__9a_cm__和__7a_cm__,由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是__(27-9a)∶(21-7a)=9∶7__.。
人教版九年级数学上册全册导学案
第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)2__场.列方程__x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x2-2x-14=x2-2x+35;(4)2(x+1)2=3(x+1);(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x =-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;(3)2x2-3x-1=0; (4)1x2-2x=0;(5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,解得a=-3 4.3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为__2x两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=2x2=2.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p 或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=1 2.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x+1)2=7; (2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x的方程x2+(a2+1)x-3=0的一个根是1,求a的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)用直接开平方法解下列方程:(1)3(x-1)2-6=0 ; (2)x2-4x+4=5;(3)9x2+6x+1=4; (4)36x2-1=0;(5)4x2=81; (6)(x+5)2=25;(7)x2+2x+1=4.解:(1)x1=1+2,x2=1-2;(2)x1=2+5,x2=2-5;(3)x1=-1,x2=1 3;(4)x1=16,x2=-16;(5)x1=92,x2=-92;(6)x1=0,x2=-10;(7)x1=1,x2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程.2.理解“降次”思想.3.理解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程.(2分钟)1.填空:(1)x2-8x+__16__=(x-__4__)2;(2)9x2+12x+__4__=(3x+__2__)2;(3)x2+px+__(p2)2__=(x+__p2__)2.2.若4x2-mx+9是一个完全平方式,那么m的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m,则长为__(x+6)__m,根据矩形面积为16 m2,得到方程__x(x+6)=16__,整理得到__x2+6x-16=0__.探究:怎样解方程x2+6x-16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=4,可以发现方程x2+6x+9=4的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x2+6x=16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x2+bx+(b2)2的形式,得__x2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x+3)2=25__,开平方,得__x+3=±5__,(降次)即__x+3=5__或__x+3=-5__,解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0;(3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52; (3)x 1=-72,x 2=-12. 归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2;(2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2; (3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0;(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x2+6x=-5,配方得x2+6x+32=-5+32,(x+3)2=4,由此可得x+3=±2,即x1=-1,x2=-5.(2)移项,得2x2+6x=-2,二次项系数化为1,得x2+3x=-1,配方得x2+3x+(32)2=(x+32)2=54,由此可得x+32=±52,即x1=52-32,x2=-52-32.(3)去括号,整理得x2+4x-1=0,移项得x2+4x=1,配方得(x+2)2=5,x+2=±5,即x1=5-2,x2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,即x2-14x+24=0,(x-7)2=25,x-7=±5,∴x1=12,x2=2,x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x的方程:(1)2x2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0;(3)x2-12x-1=0 ; (4)2x2+2=5.解:(1)x1=1+5,x2=1-5;(2)x1=2+2,x2=2-2;(3)x1=14+174,x2=14-174;(4)x1=62,x2=-62.2.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.∴(xy)z=[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.(2)x=-b±b2-4ac2a叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x2-3x=0;(2)3x2-23x+1=0;(3)4x2+x+1=0.解:(1)x1=0,x2=32;有两个不相等的实数根;(2)x1=x2=33;有两个相等的实数根;(3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.当m为何值时,方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m<14;(2)m=14;(3)m >14.3. 已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.利用判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x2-3x-32=0; (2)16x2-24x+9=0;(3)x2-42x+9=0 ; (4)3x2+10x=2x2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:(1)x2+x-12=0 ; (2)x2-2x-14=0;(3)x2+4x+8=2x+11; (4)x(x-4)=2-8x;(5)x2+2x=0 ; (6)x2+25x+10=0.解:(1)x1=3,x2=-4;(2)x1=2+32,x2=2-32;(3)x1=1,x2=-3;(4)x1=-2+6,x2=-2-6;(5)x1=0,x2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x1=0,x2=8;(2)x1=-13,x2=52.2.用因式分解法解下列方程:(1)x2-4x=0; (2)4x2-49=0;(3)5x2-20x+20=0.解:(1)x1=0,x2=4; (2)x1=72,x2=-72;(3)x1=x2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2;(3)(x+5)2=3x+15.解:(1)x1=0,x2=4 5;(2)x1=23,x2=-12;(3)x1=-5,x2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x2-144=0;(2)(2x-1)2=(3-x)2;(3)5x2-2x-14=x2-2x+34;(4)3x2-12x=-12.解:(1)x1=6,x2=-6;(2)x1=43,x2=-2;(3)x1=12,x2=-12;(4)x1=x2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0;(5)(x-4)2=(5-2x)2.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=23;(3)x1=x2=1;(4)x1=112,x2=-112;(5)x1=3,x2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2=π(x+5)2.解得x1=5+52,x2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x1+x2=-ba,x1x2=ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)自学1:完成下表:问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. 答:x1+x2=-p,x1x2=q.自学2:完成下表:问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1; (2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0;(3)5x-1=4x2.解:(1)x1+x2=6,x1x2=-15;(2)x1+x2=-73,x1x2=-3;(3)x1+x2=54,x1x2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a,b,c.2.已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.解:另一根为32,k=3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x=-3代入方程先求k,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β;(2)α2+β2;(3)α-β.解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x2-3x=15; (2)5x2-1=4x2;(3)x2-3x+2=10; (4)4x2-144=0.解:(1)x1+x2=3,x1x2=-15;(2)x1+x2=0,x1x2=-1;(3)x1+x2=3,x1x2=-8;(4)x1+x2=0,x1x2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是(C)A.7x2-12x+5=0 B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0 D.x2+15x-8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a,b,c.2.当且仅当b2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x1+x2=-ba(比前面有负号),x1x2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x+1)__人患了流感.则列方程:__(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%) 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,。
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a b (c 为斜边,b 为直角边) ,所以 0<cosA<1。因为 sinA= ,cosA= ,所 c c
a b a2 b2 a2 b2 c2 2 1。 以 sin 2 A+cos 2 A= ( ) 2 ( ) 2 2 2 c c c c c2 c
§24.6.2 图形的变换与坐标 【一显身手】 1、(1)A(2,2) ,B(0,4) ,C(4,1) , (2)A(3,1) ,B(1,3) ,C(5,0) , (3)A(1,0) ,B(-1,2) ,C(3,-1) 2、y=-x+1;y=-x-1;y=x-1;y=x-1 A 1 (-2,3),B 1 (-7,4),C 1 (-8,5);A 2 (8,3),B 2 (13,4),C 2 (14,5) 对称轴:x=3 图形的相似单元自我检测 一、D B C D C C B A A C A 二、19:13;14、30M;15、2400;16、28;17、4 ㎝;18、42、
4 5 ; 3 3
2.令一个三角形三边分别是 4、5、x;另一三角形 y、4、5 然后,令他们 相似。根据对应边成比例,求得 x=25/4;y=16/5,检验能构成三角形,故符 合条件。 §24.3.3 相似三角形的性质 【一显身手】 1、BC=20、 =18、 =30;2、54;3、8,10;4、D;
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钟。 D、合作交流 同桌之间讨论 “在一个直角三角形中, 30 所对的直角边等于斜边的一半” , 的不同证明方法。 E、展示反馈 同桌之间互相提问 30 ,45 ,60 的三角函数值,达到不出错误为止;由 一名同学展示“在一个直角三角形中,30 所对的直角边等于斜边的一半” 的证明过程。 F、精讲点拨 (1)对于特殊角的三角函数值,可结合下图中的数据和各函数的定义来加 以计算,从而记住结果:
人教版九年级数学上册全册导学案
第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索. 难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟) 问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为__(100-2x)cm __,宽为__(50-2x)cm __.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x 2-75x +350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他__(x -1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x (x -1)2__场.列方程__x (x -1)2=28__,化简整理,得__x 2-x -56=0__.② 探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__. (2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax 2+bx +c =0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax 2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟) 1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x 3-2x 2+5=0; (2)x 2=1;(3)5x 2-2x -14=x 2-2x +35;(4)2(x +1)2=3(x +1);(5)x 2-2x =x 2+1; (6)ax 2+bx +c =0. 解:(2)(3)(4). 点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x -1)=5(x +2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x 2-3x =5x +10.移项,合并同类项,得3x 2-8x -10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x 的方程(m 2-8m +17)x 2+2mx +1=0,无论m 取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m 2-8m +17=(m -4)2+1,∵(m -4)2≥0,∴(m -4)2+1>0,即(m -4)2+1≠0.∴无论m 取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m 取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m 2-8m +17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x 2+10x +12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x =-2或x =-3是一元二次方程2x 2+10x +12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x 2=0; (2)2(x 2-1)=3y ;(3)2x 2-3x -1=0; (4)1x 2-2x=0;(5)(x +3)2=(x -3)2;(6)9x 2=5-4x. 解:(1)是;(2)不是;(3)是; (4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根,求a 的值.解:∵x=2是方程ax 2+4x -5=0的一个根, ∴4a+8-5=0, 解得a =-34.3.根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为两个一元.一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为22在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到 __x+3=±2__ ,方程的根为x1= __-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y 2=4, (x -8)2=25, y =±2, x -8=±5,∴y 1=2,y 2=-2; x -8=5或x -8=-5, ∴x 1=13,x 2=3;(3)(2x -1)2+4=0, (4)4x 2-4x +1=0,(2x -1)2=-4<0, (2x -1)2=0, ∴原方程无解; 2x -1=0, ∴x 1=x 2=12.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x 2=p(p≥0)或(mx +n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x +1)2=7; (2)y 2+2y +1=24;(3)9n 2-24n +16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p (p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值. 解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5;(3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0;(5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25;(7)x 2+2x +1=4.解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2; (2)x 1=2+5,x 2=2-5;(3)x 1=-1,x 2=13;(4)x 1=16,x 2=-16;(5)x 1=92,x 2=-92;(6)x 1=0,x 2=-10;(7)x 1=1,x 2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.用直接开平方法解一元二次方程. 2.理解“降次”思想.3.理解x 2=p(p≥0)或(mx +n)2=p(p≥0)中,为什么p ≥0? 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21. 配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x -a)2=b 的过程. (2分钟) 1.填空:(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2;(2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2; (3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p 2__)2.2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m ,则长为__(x +6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到__x 2+6x -16=0__.探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x 2+6x =16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b 2)2的形式,得__x 2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x +3)2=25__,开平方,得__x +3=±5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__,解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0;(3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52;(3)x 1=-72,x 2=-12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2;(2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2;(3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0;(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x 2+6x =-5,配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4, 由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5.(2)移项,得2x 2+6x =-2,二次项系数化为1,得x 2+3x =-1, 配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54,由此可得x +32=±52,即x 1=52-32,x 2=-52-32. (3)去括号,整理得x 2+4x -1=0,移项得x 2+4x =1,配方得(x +2)2=5,x +2=±5,即x 1=5-2,x 2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x 的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8 m ,CB =6 m ,点P ,Q 同时由A ,B 两点出发分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速移动,它们的速度都是1 m /s ,几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半?解:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6, 即x 2-14x +24=0,(x -7)2=25, x -7=±5,∴x 1=12,x 2=2,x 1=12,x 2=2都是原方程的根,但x 1=12不合题意,舍去. 答:2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.点拨精讲:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.用配方法解下列关于x 的方程:(1)2x 2-4x -8=0; (2)x 2-4x +2=0;(3)x 2-12x -1=0 ; (4)2x 2+2=5.解:(1)x 1=1+5,x 2=1-5; (2)x 1=2+2,x 2=2-2; (3)x 1=14+174,x 2=14-174;(4)x 1=62,x 2=-62. 2.如果x 2-4x +y 2+6y +z +2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x 2-4x +4+y 2+6y +9+z +2=0,即(x -2)2+(y +3)2+z +2=0,∴x =2,y =-3,z =-2.∴(xy)z =[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.用配方法解一元二次方程的步骤. 2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21. 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用. 难点:一元二次方程求根公式的推导. (2分钟)用配方法解方程:(1)x 2+3x +2=0; (2)2x 2-3x +5=0. 解:(1)x 1=-2,x 2=-1; (2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax 2+bx +c =0(a≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac2a,x 2=-b -b 2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0,当b 2-4ac≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b ±b 2-4ac 2a 就得到方程的根,当b 2-4ac <0时,方程没有实数根.(2)x =-b ±b 2-4ac 2a叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b 2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x 2-3x =0; (2)3x 2-23x +1=0;(3)4x 2+x +1=0.解:(1)x 1=0,x 2=32;有两个不相等的实数根;(2)x 1=x 2=33;有两个相等的实数根; (3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x 2-4x +4=0的根的情况是( B ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .有一个实数根 D .没有实数根2.当m 为何值时,方程(m +1)x 2-(2m -3)x +m +1=0, (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?解:(1)m <14; (2)m =14; (3)m >14.3. 已知x 2+2x =m -1没有实数根,求证:x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.证明:∵x 2+2x -m +1=0没有实数根, ∴4-4(1-m)<0,∴m <0.对于方程x 2+mx =1-2m ,即x 2+mx +2m -1=0,Δ=m 2-8m +4,∵m <0,∴Δ>0, ∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.利用判别式判定下列方程的根的情况: (1)2x 2-3x -32=0; (2)16x 2-24x +9=0;(3)x 2-42x +9=0 ; (4)3x 2+10x =2x 2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根; (3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根. 2.用公式法解下列方程:(1)x 2+x -12=0 ; (2)x 2-2x -14=0;(3)x 2+4x +8=2x +11; (4)x(x -4)=2-8x ; (5)x 2+2x =0 ; (6)x 2+25x +10=0. 解:(1)x 1=3,x 2=-4; (2)x 1=2+32,x 2=2-32; (3)x 1=1,x 2=-3;(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6;(5)x 1=0,x 2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b 2-4ac≥0的前提下,把a ,b ,c 的值代入x =-b ±b 2-4ac 2a(b 2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a ,b ,c 的值,再算.出b 2-4ac 的值、最后代.入求根公式求解. 3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21. 因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想. (2分钟)将下列各题因式分解:(1)am +bm +cm =(__a +b +c__)m ;(2)a 2-b 2=__(a +b)(a -b)__;(3)a 2±2ab +b 2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m /s 的速度竖直上抛,那么经过x s 物体离地的高度(单位:m )为10x -.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到设物体经过x s 落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x -=0, ① 思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①? 分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得: x(10-=0,于是得x =0或10-=0, ② ∴x 1=__0__,x 2≈. 上述解中,x 2≈表示物体约在 s 时落回地面,而x 1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s 时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m .点拨精讲: (1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a =0或b =0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x -1)=0,那么__x +1=0或__x -1=0__,即__x =-1__或__x =1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 1.说出下列方程的根:(1)x(x -8)=0; (2)(3x +1)(2x -5)=0.解:(1)x 1=0,x 2=8; (2)x 1=-13,x 2=52.2.用因式分解法解下列方程:(1)x 2-4x =0; (2)4x 2-49=0;(3)5x 2-20x +20=0.解:(1)x 1=0,x 2=4; (2)x 1=72,x 2=-72;(3)x 1=x 2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x 2-4x =0; (2)3x(2x +1)=4x +2;(3)(x +5)2=3x +15. 解:(1)x 1=0,x 2=45;(2)x 1=23,x 2=-12;(3)x 1=-5,x 2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x 2-144=0;(2)(2x -1)2=(3-x)2;(3)5x 2-2x -14=x 2-2x +34;(4)3x 2-12x =-12.解:(1)x 1=6,x 2=-6; (2)x 1=43,x 2=-2;(3)x 1=12,x 2=-12;(4)x 1=x 2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.用因式分解法解下列方程: (1)x 2+x =0; (2)x 2-23x =0;(3)3x 2-6x =-3; (4)4x 2-121=0;(5)(x -4)2=(5-2x)2. 解:(1)x 1=0,x 2=-1; (2)x 1=0,x 2=23; (3)x 1=x 2=1; (4)x 1=112,x 2=-112;(5)x 1=3,x 2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m .则可列方程2πx 2=π(x +5)2.解得x 1=5+52,x 2=5-52(舍去). 答:小圆形场地的半径为(5+52) m . 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab =0得 a =0或b =0,即“二次降为一次”. 2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21. 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用. 难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项. ②x 2+px +q =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q. 自学2:完成下表:问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立) 请完善规律:①用语言叙述发现的规律; 答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律.答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0.解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1; (2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0;(3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3;(3)x 1+x 2=54,x 1x 2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a ,b ,c.2.已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值. 解:另一根为32,k =3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β; (2)α2+β2; (3)α-β. 解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x 2-3x =15; (2)5x 2-1=4x 2;(3)x 2-3x +2=10; (4)4x 2-144=0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=0,x 1x 2=-1; (3)x 1+x 2=3,x 1x 2=-8; (4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是( C ) A .7x 2-12x +5=0 B .6x 2-13x -5=0 C .4x 2+21x +5=0 D .x 2+15x -8=0 点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a ,b ,c.2.当且仅当b 2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x 1+x 2=-b a (比前面有负号),x 1x 2=ca (比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题. 难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x +1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x +1)__人患了流感.则列方程:__(x +1)2=121__,解得__x =10或x =-12(舍)__, 即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x ,新两位数为__10x +(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x +(6-x)]=1008__,解得 x 1=__2__,x 2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为( )A .x(x +1)=2550B .x(x -1)=2550C .2x(x +1)=2550D .x(x -1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x -1)张相片,全班共送出x (x -1)张相片,可列方程为x (x -1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是( C )A.2和4 B.6和8 C.4和6 D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈,x2≈.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈,y2≈(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,解得x1=-2(不符,舍去),x2==%.答:所求的年利率是%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg,2013年平均每公顷产8460 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为x,。
人教版九年级上册数学全册导学案
人教版九年级上册数学全册导学案《21.1一元二次方程》导学案 NO :01班级_______姓名_______小组_______评价_______一、学习目标1、认识一元二次方程及根的概念;2、掌握一元二次方程的一般形式,并会将任何一个一元二次方程化成一般形式。
二、自主学习1、一元二次方程的概念(1)阅读教材引例,在练习本上自己按题意列出方程并整理,写出最后的方程 是 ;说一说这个方程是 元 次方程。
(2)用类似的方法研究问题1、问题2,经整理后的两个方程分别是 ; ;它们都是 元 次方程。
(3)归纳总结:含有 个未知数,且未知数的最高次数为 的整式方程叫做一 元二次方程。
说一说一元二次方程有哪些特点?(与同学认真交流)2、一元二次方程的一般形式阅读教材:一元二次方程的一般形式 (抄写三遍)。
说一说哪 一项是二次项?系数是多少?有什么要求?哪一项是一次项?一次项系数是多 少?哪一项是常数项?(与同学认真交流课堂展示)3、一元二次方程的根阅读教材,说一说什么叫一元二次方程的根?它有什么特点?(与同学认真交流。
)自学检测:1、若关于x 的方程023)1(=---x x m n是一元二次方程,则m ≠ _,n =______;2、方程1)12)(3(-=+-x x x 写成一般式是 ;二次项是 ____; 一次项系数是 。
三、合作探究1、下列方程中,是一元二次方程的有①2x=-2 ②32=x ③2y 2-3y+1=0④x -3y=4⑤11=-x x⑥5x 2=x 2、根不为x =-2的方程是( )A 、022=+x xB 、5x+10=0C 、0232=+-x xD 、083=+x3、如果ax 2-x -12=0是x 的一元二次方程,则a 的取值范围是如果(m -3)011=++-x xm 是x 的一元二次方程,则m 的取值是_________4、将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和 常数项。
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第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1.了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.2.掌握一元二次方程的一般形式ax3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?cm分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2-75x+350=0__.①2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x 问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__437=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)x(x-1)=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②2__场.列方程__2探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:2+bx+c=0(a≠0).ax2__是二次项,__a__是二次项系数,这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?3-2x2+5=0;(2)x2=1;(1)x2-2x-1=x2-2x+3(3)5x;452=3(x+1);(4)2(x1)2-2x=x2+1;(6)ax2+bx+c=0.(5)x解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一1.求证:关于x的方程(m元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0 即可.2+10x+12=0的根?2.下面哪些数是方程2x-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 1.判断下列方程是否为一元二次方程.2=0;(2)2(x2-1)=3y;(1)1-x2-3x-1=0;(4)1 (3)2x2-x 2x=0;2=(x-3)2;(6)9x2=5-4x.(5)(x+3)解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2+4x-5=0的一个根,求a的值.2.若x=2是方程ax解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,解得a=-34 .3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;2,面积是100,求长方形的长x.(2)一个长方形的长比宽多解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.困惑.(2分钟)学生总结本堂课的收获与1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2+bx+c=0(a≠0),特别a≠0.强调2.一元二次方程的一般形式ax3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.)学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2.渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500dm?正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗2__dm2,根据一桶油漆可刷的设正方体的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为__6x面积列出方程:2=1500__,__1036x由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.值,所以正方体的棱长为__5__dm.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9 =4?方程(2x-1) 2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为__2x-1=±5__,即将方程变为__2x-1=5和__2x-1=-5__两个一元一1+51-5次方程,从而得到方程(2x-1)1=__,x2=__2=5的两个解为x__.22在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程归纳能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p.),教师巡视.(6分钟:学生自主完成,小组内展示,点评二、自学检测解下列方程:2=8;(2)2(x-8)2=50;(1)2y2+4=0;(4)4x2-4x+1=0.(3)(2x-1)解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(3)(2x-1)(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=1 . 2点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:2=7;(2)y2+2y+1=24;(1)(3x+1)2-24n+16=11.(3)9n-1±74±11解:(1);(2)-1±26;(3).33点拨精讲:运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2+(a2+1)x-3=0的一个根是1,求a的值.2.已知关于x的方程x解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)用直接开平方法解下列方程:2-6=0;(2)x2-4x+4=5;(1)3(x-1)2+6x+1=4;(4)36x2-1=0;(3)9x2=81;(6)(x+5)2=25;(5)4x2+2x+1=4.(7)x解:(1)x1=1+2,x2=1-2;(2)x1=2+5,x2=2-5;1(3)x1=-1,x2=3;(4)x1=16,x2=-16;(5)x1=92,x2=-92;(6)x1=0,x2=-10;(7)x1=1,x2=-3.困惑.(2分钟)学生总结本堂课的收获与1.用直接开平方法解一元二次方程.2.理解“降次”思想.2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?3.理解x)部分.(10分钟学习至此,请使用本课时对应训练21.2.1配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程.(2分钟)1.填空:2-8x+__16__=(x-__4__)2;(1)x2+12x+__4__=(3x+__2__)2;(2)9x2+px+__(pp(3)x)__)222-mx+9是一个完全平方式,那么m的值是__±12__.2.若4x一、自学指导.(10分钟)2,场地的长和宽分别是多问题6m,并且面积为16m1:要使一块矩形场地的长比宽多少米?2,得到方程__x(x+6)设场地的宽为xm,则长为__(x+6)__m,根据矩形面积为16m=16__,整理得到__x2+6x-16=0__.探究:怎样解方程x2+6x-16=0?过的方程x对比这个方程与前面讨论2+6x+9=4,可以发现方程x2+6x+9=4的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x2+6x=16,62__,使左边配成x2+bx+(b两边都加上__9__即__(2的形式,得))222__x__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得2=25__,__(x+3)开平方,得__x+3=±5__,(降次)即__x+3=5__或__x+3=-5__,解一次方程,得x1=__2__,x2=__-8__.:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是归纳为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.2:解下列方程:问题22-1=5;(2)4(x -1)-9=0;(1)3x 2+16x +16=9.(3)4x 解:(1)x =±2;(2)x 1=-1 2 ,x 2= 5 2 ;(3)x 1=-7 2 ,x 2=-1 2. 归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:2+bx +c =0;(1)把方程化为一般形式ax(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两 个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空:2+6x +__9__=(x +__3__)2;(1)x(2)x2-x +__1 12;4__=(x -__2__)2+4x +__1__=(2x +__1__)2.(3)4x 2.解下列方程:2+6x +5=0;(2)2x 2+6x +2=0;(1)x(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0. 解:(1)移项,得x2+6x =-5, 配方得x2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4, 由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5.2+6x =-2,(2)移项,得2x二次项系数化为1,得x2+3x =-1, 配方得x 2+3x +(32=(x +32=5)),224由此可得x + 3 2 =±5 ,即x 1= 2 5 - 2 3 2,x 2=- 5 -2 3 2 .2+4x -1=0,(3)去括号,整理得x2移项得x +4x =1,配方得(x +2)2=5,x+2=±5,即x1=5-2,x2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=1313836,22即x2-14x+24=0,2=25,(x-7)x-7=±5,∴x1=12,x2=2,x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x的方程:2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0;(1)2x12(3)x-2x-1=0;(4)2x 2+2=5.解:(1)x1=1+5,x2=1-5;(2)x1=2+2,x2=2-2;14 (3)x1=+171,x2=-4417;4(4)x1=6,x2=-262.2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.2.如果x解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.∴(xy) z=[23(-3)] -2 1 =.36学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2公式法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.(1)x解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2-4ac,x2=2a-b-b2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax-b±b2-4ac将a,b,c代入式子x=就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.2a(2)x =-b±b2-4ac2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.2a(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__ 没有__实根.2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母(5)一般地,式子b2-4ac.Δ表示,即Δ=b二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?2-3x=0;(2)3x2-23x+1=0;(1)2x2+x+1=0.(3)4x3解:(1)x1=0,x2=;有两个不相等的实数根;2(2)x1=x2=3;有两个相等的实数根;3(3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0 时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)2-4x+4=0的根的情况是(B)1.方程xA.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.当m为何值时,方程(m+1)x 2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m<14;(2)m=11;(3)m>.442+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.3.已知x证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,Δ=m∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.利用判别式判定下列方程的根的情况:2-3x-3=0;(2)16x (1)2x2 2-24x+9=0;2-42x+9=0;(4)3x2+10x=2x2+8x.(3)x解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:2+x-12=0;(2)x2-2x-1(1)x4 2+4x+8=2x+11;(4)x(x-4)=2-8x;(3)x2+2x=0;(6)x2+25x+10=0.(5)x解:(1)x1=3,x2=-4;(2)x1=2+3,x2=22-3;2(3)x1=1,x2=-3;(4)x1=-2+6,x2=-2-6;(5)x1=0,x2=-2;(6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c 确定的;2-4ac≥0的前提下,把,可先把方程化为一般形式,然后在b(2)在解一元二次方程时-b±b2-4ac2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根;x=(ba,b,c的值代入2a(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.困惑.(2分钟)学生总结本堂课的收获与1.求根公式的推导过程.2-4ac的值、2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.)学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟21.2.3因式分解法1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;2-b2=__(a+b)(a-b)__;(2)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.(3)a一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么经过x2s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过xs落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0s时物体被抛出,此刻物体的高度是0m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分,从而实现降次,解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x+1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)二、自学检测1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x1=0,x2=8;(2)x1=-15,x2=2. 32.用因式分解法解下列方程:2-4x=0;(2)4x2-49=0;(1)x2-20x+20=0.(3)5x7解:(1)x1=0,x2=4;(2)x1=,x2=-2 72 ;(3)x1=x2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2;(1)5x2=3x+15.(3)(x5)4解:(1)x1=0,x2=5;2(2)x1=,x2=-3 12 ;(3)x1=-5,x2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:2-144=0;(1)4x2=(3-x)2;(2)(2x-1)=x;(3)5x442-12x=-12.(4)3x解:(1)x1=6,x2=-6;4,x2=-2;(2)x1=31(3)x1=,x2=-2 12 ;(4)x1=x2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.用因式分解法解下列方程:2+x=0;(2)x2-23x=0;(1)x22-6x=-3;(4)4x-121=0;(3)3x2=(5-2x)2.(5)(x4)解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=23;(3)x1=x2=1;112,x2=-(4)x1=11 2 ;(5)x1=3,x2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π(x+5)2.解得x1=5+52,x2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52)m.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1.理解并掌握根与系数的关系:x1+x2=-b c,x1x2=. aa2.会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)自学1:完成下表:方程x1x2x1+x2x1x22-5x+6=02356x2+3x-10=02-5-3-10x问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. 答:x1+x2=-p,x1x2=q.自学2:完成下表:方程x1x2x1+x2x1x22-3x-2=02-12x2 32-12-4x+1=013x3 14313问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax1,x2用式子表示你发现的规律.2+bx+c=0的两根x答:x1+x2=-b c,x1x2=a. a自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)-b+b-b-b2-4ac2-4ac 2+bx+c=0的两根x1=____,x2=__ax__.2a2ax1+x2=-b c,x1x2=. aa二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.2-3x-1=0;(2)2x2+3x-5=0;(1)x12-2x=0.(3)3x解:(1)x1+x2=3,x1x2=-1;(2)x1+x2=-32,x1x2=-52;(3)x1+x2=6,x1x2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.2-6x-15=0;(2)3x2+7x-9=0;(1)x2(3)5x-1=4x.解:(1)x1+x2=6,x1x2=-15;(2)x1+x2=-73,x1x2=-3;5(3)x1+x2=,x1x2=4 14 .点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a,b,c.2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.2.已知方程2x解:另一根为3,k=3.2点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x=-3代入方程先求k,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.3.已知α,β是方程x1 (1)+α122;(2)α;(3)α-β.+ββ解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:2-3x=15;(2)5x2-1=4x2;(1)x2-3x+2=10;(4)4x2-144=0.(3)x解:(1)x1+x2=3,x1x2=-15;(2)x1+x2=0,x1x2=-1;(3)x1+x2=3,x1x2=-8;(4)x1+x2=0,x1x2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是(C)2-12x+5=0B.6x2-13x-5=0A.7xC.4x 2+21x+5=0D.x2+15x-8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a,b,c.2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.2.当且仅当b3.要注意比的符号:x1+x2=-ba(比前面有负号),x1x2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x+1)(x+1)__ 人患了流感.则列方程:2=121__,__(x+1)解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)] =1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=255032分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550.故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2.对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1.会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.义,检验所得结果是否合理.2.能根据问题的实际意和关键.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低) 率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000 元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的,乙种药品成本的年平均下降额较大.年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,2__元.两年后甲种药品成本为__5000(1-x)依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.),教师巡视.(8分钟二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,212月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)__元.由此就可列方程:__5000(1+x) 2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);2二月(或二年)后产量为a(1+x);n;n月(或n年)后产量为a(1+x)如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x) n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320 元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,解得x1=-2(不符,舍去),x2=0.125=12.5%.答:所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200kg,2013年平均每公顷产8460kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为x,则有7200(1+x)2=8460,解得x1=0.08,x2=-2.08(舍).即年平均增长率为8%.答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲:传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(3)1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.2.列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.难点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.。
新教材全练答案九上
新教材全练答案九上【篇一:最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)】xt>21.1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-__.列方程,化简整理,得2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__437=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共场.列方程28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?.(2)它们最高次数分别是几次?.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程. 1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2是二次项,是二次项系数,是一次项,是一次项系数,是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0; (2)x2=1;13(3)5x2-2x-x2-2x+; 45(4)2(x+1)2=3(x+1);(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x -10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+10,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;12(3)2x2-3x-1=0; (4)=0; xx(5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,3 解得a=-. 43.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:2=1500__,由此可得__x2=25__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm. 探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=x2=.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=p或mx+n=p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8; (2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4, (x-8)2=25,∴y1=2,y2=-2; x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-40,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,1 ∴x1=x2=. 2点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x+1)2=7; (2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.【篇二:新人教版九年级圆测试题及答案全】、选择题(每题3分,共30分)2.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为() a 1∶2∶3b 1∶2∶ c ∶∶1d 3∶2∶13.在直角坐标系中,以o(0,0)为圆心,以5为半径画圆,则点a(?3,4)的位置在() a⊙o内b⊙o上 c ⊙o外d 不能确定7.已知两圆的圆心距d= 3 cm,两圆的半径分别为方程x?5x?3?0的两根,则两圆的位置2关系是() a 相交 b相离 c 相切 d 内含8.四边形中,有内切圆的是() a 平行四边形b 菱形 c 矩形 d 以上答案都不对9.如图,以等腰三角形的腰为直径作圆,交底边于d,连结ad,那么()a?∠cadcb.10.下面命题中,是真命题的有()①平分弦的直径垂直于弦;②如果两个三角形的周长之比为3∶2,则其面积之比为3∶4;③圆的半径垂直于这个圆的切线;④在同一圆中,等弧所对的圆心角相等;⑤过三点有且只有一个圆。
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第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)2__场.列方程__x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x2-2x-14=x2-2x+35;(4)2(x+1)2=3(x+1);(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x =-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;(3)2x2-3x-1=0; (4)1x2-2x=0;(5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,解得a=-3 4.3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为__2x两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=2x2=2.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p 或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=1 2.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x+1)2=7; (2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x的方程x2+(a2+1)x-3=0的一个根是1,求a的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)用直接开平方法解下列方程:(1)3(x-1)2-6=0 ; (2)x2-4x+4=5;(3)9x2+6x+1=4; (4)36x2-1=0;(5)4x2=81; (6)(x+5)2=25;(7)x2+2x+1=4.解:(1)x1=1+2,x2=1-2;(2)x1=2+5,x2=2-5;(3)x1=-1,x2=1 3;(4)x1=16,x2=-16;(5)x1=92,x2=-92;(6)x1=0,x2=-10;(7)x1=1,x2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程.2.理解“降次”思想.3.理解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程.(2分钟)1.填空:(1)x2-8x+__16__=(x-__4__)2;(2)9x2+12x+__4__=(3x+__2__)2;(3)x2+px+__(p2)2__=(x+__p2__)2.2.若4x2-mx+9是一个完全平方式,那么m的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m,则长为__(x+6)__m,根据矩形面积为16 m2,得到方程__x(x+6)=16__,整理得到__x2+6x-16=0__.探究:怎样解方程x2+6x-16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=4,可以发现方程x2+6x+9=4的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x2+6x=16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x2+bx+(b2)2的形式,得__x2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x+3)2=25__,开平方,得__x+3=±5__,(降次)即__x+3=5__或__x+3=-5__,解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0;(3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52; (3)x 1=-72,x 2=-12. 归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2;(2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2; (3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0;(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x2+6x=-5,配方得x2+6x+32=-5+32,(x+3)2=4,由此可得x+3=±2,即x1=-1,x2=-5.(2)移项,得2x2+6x=-2,二次项系数化为1,得x2+3x=-1,配方得x2+3x+(32)2=(x+32)2=54,由此可得x+32=±52,即x1=52-32,x2=-52-32.(3)去括号,整理得x2+4x-1=0,移项得x2+4x=1,配方得(x+2)2=5,x+2=±5,即x1=5-2,x2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,即x2-14x+24=0,(x-7)2=25,x-7=±5,∴x1=12,x2=2,x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x的方程:(1)2x2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0;(3)x2-12x-1=0 ; (4)2x2+2=5.解:(1)x1=1+5,x2=1-5;(2)x1=2+2,x2=2-2;(3)x1=14+174,x2=14-174;(4)x1=62,x2=-62.2.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.∴(xy)z=[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.(2)x=-b±b2-4ac2a叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x2-3x=0;(2)3x2-23x+1=0;(3)4x2+x+1=0.解:(1)x1=0,x2=32;有两个不相等的实数根;(2)x1=x2=33;有两个相等的实数根;(3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.当m为何值时,方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m<14;(2)m=14;(3)m >14.3. 已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.利用判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x2-3x-32=0; (2)16x2-24x+9=0;(3)x2-42x+9=0 ; (4)3x2+10x=2x2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:(1)x2+x-12=0 ; (2)x2-2x-14=0;(3)x2+4x+8=2x+11; (4)x(x-4)=2-8x;(5)x2+2x=0 ; (6)x2+25x+10=0.解:(1)x1=3,x2=-4;(2)x1=2+32,x2=2-32;(3)x1=1,x2=-3;(4)x1=-2+6,x2=-2-6;(5)x1=0,x2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x1=0,x2=8;(2)x1=-13,x2=52.2.用因式分解法解下列方程:(1)x2-4x=0; (2)4x2-49=0;(3)5x2-20x+20=0.解:(1)x1=0,x2=4; (2)x1=72,x2=-72;(3)x1=x2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2;(3)(x+5)2=3x+15.解:(1)x1=0,x2=4 5;(2)x1=23,x2=-12;(3)x1=-5,x2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x2-144=0;(2)(2x-1)2=(3-x)2;(3)5x2-2x-14=x2-2x+34;(4)3x2-12x=-12.解:(1)x1=6,x2=-6;(2)x1=43,x2=-2;(3)x1=12,x2=-12;(4)x1=x2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0;(5)(x-4)2=(5-2x)2.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=23;(3)x1=x2=1;(4)x1=112,x2=-112;(5)x1=3,x2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2=π(x+5)2.解得x1=5+52,x2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x1+x2=-ba,x1x2=ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)自学1:完成下表:问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. 答:x1+x2=-p,x1x2=q.自学2:完成下表:问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1; (2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0;(3)5x-1=4x2.解:(1)x1+x2=6,x1x2=-15;(2)x1+x2=-73,x1x2=-3;(3)x1+x2=54,x1x2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a,b,c.2.已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.解:另一根为32,k=3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x=-3代入方程先求k,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β;(2)α2+β2;(3)α-β.解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x2-3x=15; (2)5x2-1=4x2;(3)x2-3x+2=10; (4)4x2-144=0.解:(1)x1+x2=3,x1x2=-15;(2)x1+x2=0,x1x2=-1;(3)x1+x2=3,x1x2=-8;(4)x1+x2=0,x1x2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是(C)A.7x2-12x+5=0 B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0 D.x2+15x-8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a,b,c.2.当且仅当b2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x1+x2=-ba(比前面有负号),x1x2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x+1)__人患了流感.则列方程:__(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%) 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,。
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第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题. 2.掌握一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索. 难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟) 问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为__(100-2x)cm __,宽为__(50-2x)cm __.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x 2-75x +350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他__(x -1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x (x -1)2__场.列方程__x (x -1)2=28__,化简整理,得__x 2-x -56=0__.② 探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__. (2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式: ax 2+bx +c =0(a ≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax 2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a ≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程? (1)x 3-2x 2+5=0; (2)x 2=1; (3)5x 2-2x -14=x 2-2x +35;(4)2(x +1)2=3(x +1);(5)x 2-2x =x 2+1; (6)ax 2+bx +c =0. 解:(2)(3)(4). 点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程. 2.将方程3x(x -1)=5(x +2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x 2-3x =5x +10.移项,合并同类项,得3x 2-8x -10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x 的方程(m 2-8m +17)x 2+2mx +1=0,无论m 取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m 2-8m +17=(m -4)2+1, ∵(m -4)2≥0,∴(m -4)2+1>0,即(m -4)2+1≠0.∴无论m 取何值,该方程都是一元二次方程. 点拨精讲:要证明无论m 取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m 2-8m +17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x 2+10x +12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x =-2或x =-3是一元二次方程2x 2+10x +12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x 2=0; (2)2(x 2-1)=3y ; (3)2x 2-3x -1=0; (4)1x 2-2x=0;(5)(x +3)2=(x -3)2; (6)9x 2=5-4x. 解:(1)是;(2)不是;(3)是; (4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根,求a 的值. 解:∵x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根, ∴4a +8-5=0, 解得a =-34.3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=2x2=2.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y 2=8; (2)2(x -8)2=50; (3)(2x -1)2+4=0; (4)4x 2-4x +1=0.解:(1)2y 2=8, (2)2(x -8)2=50, y 2=4, (x -8)2=25, y =±2, x -8=±5,∴y 1=2,y 2=-2; x -8=5或x -8=-5, ∴x 1=13,x 2=3;(3)(2x -1)2+4=0, (4)4x 2-4x +1=0, (2x -1)2=-4<0, (2x -1)2=0, ∴原方程无解; 2x -1=0, ∴x 1=x 2=12.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程: (1)(3x +1)2=7; (2)y 2+2y +1=24; (3)9n 2-24n +16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p(p ≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5; (3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0; (5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25; (7)x 2+2x +1=4.解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2; (2)x 1=2+5,x 2=2-5; (3)x 1=-1,x 2=13;(4)x 1=16,x 2=-16;(5)x 1=92,x 2=-92;(6)x 1=0,x 2=-10;(7)x 1=1,x 2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程. 2.理解“降次”思想.3.理解x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)中,为什么p ≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1 配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x -a)2=b 的过程.(2分钟)1.填空:(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2; (2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2; (3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p2__)2.2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m ,则长为__(x +6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到__x 2+6x -16=0__.探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x 2+6x =16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b2)2的形式,得__x 2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x +3)2=25__,开平方,得__x +3=±5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__,解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0; (3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52;(3)x 1=-72,x 2=-12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2; (2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2;(3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0; (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x 2+6x =-5,配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4, 由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5. (2)移项,得2x 2+6x =-2,二次项系数化为1,得x 2+3x =-1, 配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54,由此可得x +32=±52,即x 1=52-32,x 2=-52-32. (3)去括号,整理得x 2+4x -1=0, 移项得x 2+4x =1, 配方得(x +2)2=5,x +2=±5,即x 1=5-2,x 2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x 的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8 m ,CB =6 m ,点P ,Q 同时由A ,B 两点出发分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速移动,它们的速度都是1 m /s ,几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半?解:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.根据题意可列方程: 12(8-x)(6-x)=12×12×8×6, 即x 2-14x +24=0, (x -7)2=25, x -7=±5,∴x 1=12,x 2=2,x 1=12,x 2=2都是原方程的根,但x 1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半. 点拨精讲:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.用配方法解下列关于x 的方程:(1)2x 2-4x -8=0; (2)x 2-4x +2=0; (3)x 2-12x -1=0 ; (4)2x 2+2=5.解:(1)x 1=1+5,x 2=1-5; (2)x 1=2+2,x 2=2-2; (3)x 1=14+174,x 2=14-174;(4)x 1=62,x 2=-62. 2.如果x 2-4x +y 2+6y +z +2+13=0,求(xy)z 的值.解:由已知方程得x 2-4x +4+y 2+6y +9+z +2=0,即(x -2)2+(y +3)2+z +2=0,∴x =2,y =-3,z =-2.∴(xy)z =[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤. 2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用. 难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x 2+3x +2=0; (2)2x 2-3x +5=0. 解:(1)x 1=-2,x 2=-1; (2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax 2+bx +c =0(a ≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac2a,x 2=-b -b 2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0,当b 2-4ac ≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b±b 2-4ac2a就得到方程的根,当b 2-4ac <0时,方程没有实数根.(2)x =-b±b 2-4ac 2a叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b 2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x 2-3x =0; (2)3x 2-23x +1=0; (3)4x 2+x +1=0.解:(1)x 1=0,x 2=32;有两个不相等的实数根;(2)x 1=x 2=33;有两个相等的实数根; (3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x 2-4x +4=0的根的情况是( B ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .有一个实数根 D .没有实数根2.当m 为何值时,方程(m +1)x 2-(2m -3)x +m +1=0, (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?解:(1)m <14; (2)m =14; (3)m >14.3. 已知x 2+2x =m -1没有实数根,求证:x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.证明:∵x 2+2x -m +1=0没有实数根, ∴4-4(1-m)<0,∴m <0.对于方程x 2+mx =1-2m ,即x 2+mx +2m -1=0, Δ=m 2-8m +4,∵m <0,∴Δ>0,∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.利用判别式判定下列方程的根的情况: (1)2x 2-3x -32=0; (2)16x 2-24x +9=0;(3)x 2-42x +9=0 ; (4)3x 2+10x =2x 2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根; (3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根. 2.用公式法解下列方程:(1)x 2+x -12=0 ; (2)x 2-2x -14=0;(3)x 2+4x +8=2x +11; (4)x(x -4)=2-8x ; (5)x 2+2x =0 ; (6)x 2+25x +10=0. 解:(1)x 1=3,x 2=-4; (2)x 1=2+32,x 2=2-32; (3)x 1=1,x 2=-3;(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6;(5)x 1=0,x 2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b 2-4ac ≥0的前提下,把a ,b ,c 的值代入x =-b±b 2-4ac 2a(b 2-4ac ≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x+1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x 1=0,x 2=8; (2)x 1=-13,x 2=52.2.用因式分解法解下列方程: (1)x 2-4x =0; (2)4x 2-49=0;(3)5x 2-20x +20=0.解:(1)x 1=0,x 2=4; (2)x 1=72,x 2=-72;(3)x 1=x 2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x 2-4x =0; (2)3x(2x +1)=4x +2; (3)(x +5)2=3x +15. 解:(1)x 1=0,x 2=45;(2)x 1=23,x 2=-12;(3)x 1=-5,x 2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x 2-144=0;(2)(2x -1)2=(3-x)2; (3)5x 2-2x -14=x 2-2x +34;(4)3x 2-12x =-12.解:(1)x 1=6,x 2=-6; (2)x 1=43,x 2=-2;(3)x 1=12,x 2=-12;(4)x 1=x 2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.用因式分解法解下列方程: (1)x 2+x =0; (2)x 2-23x =0; (3)3x 2-6x =-3; (4)4x 2-121=0; (5)(x -4)2=(5-2x)2. 解:(1)x 1=0,x 2=-1; (2)x 1=0,x 2=23; (3)x 1=x 2=1; (4)x 1=112,x 2=-112;(5)x 1=3,x 2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m . 则可列方程2πx 2=π(x +5)2.解得x 1=5+52,x 2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m .学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab =0得 a =0或b =0,即“二次降为一次”. 2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟) 自学1:完成下表:问题:你发现什么规律? ①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项. ②x 2+px +q =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q.问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立) 请完善规律:①用语言叙述发现的规律; 答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律.答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1; (2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0; (3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3;(3)x 1+x 2=54,x 1x 2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a ,b ,c.2.已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值. 解:另一根为32,k =3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β; (2)α2+β2; (3)α-β. 解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x 2-3x =15; (2)5x 2-1=4x 2; (3)x 2-3x +2=10; (4)4x 2-144=0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=0,x 1x 2=-1; (3)x 1+x 2=3,x 1x 2=-8; (4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是( C ) A .7x 2-12x +5=0 B .6x 2-13x -5=0 C .4x 2+21x +5=0 D .x 2+15x -8=0 点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值. 1.先化成一般形式,再确定a ,b ,c.2.当且仅当b 2-4ac ≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x 1+x 2=-b a (比前面有负号),x 1x 2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题. 难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x +1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x +1)__人患了流感.则列方程:__(x +1)2=121__,解得__x =10或x =-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,解得x1=-2(不符,舍去),x2=0.125=12.5%.答:所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg,2013年平均每公顷产8460 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为x,则有7200(1+x)2=8460,解得x1=0.08,x2=-2.08(舍).即年平均增长率为8%.答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲:传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1. 列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2. 若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(3)1. 能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.难点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.。
【人教版】九年级数学上册全册导学案
第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题. 2.掌握一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索. 难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟) 问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为__(100-2x)cm __,宽为__(50-2x)cm __.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x 2-75x +350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他__(x -1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x (x -1)2__场.列方程__x (x -1)2=28__,化简整理,得__x 2-x -56=0__.② 探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__. (2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式: ax 2+bx +c =0(a ≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax 2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a ≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程? (1)x 3-2x 2+5=0; (2)x 2=1; (3)5x 2-2x -14=x 2-2x +35;(4)2(x +1)2=3(x +1);(5)x 2-2x =x 2+1; (6)ax 2+bx +c =0. 解:(2)(3)(4). 点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程. 2.将方程3x(x -1)=5(x +2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x 2-3x =5x +10.移项,合并同类项,得3x 2-8x -10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x 的方程(m 2-8m +17)x 2+2mx +1=0,无论m 取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m 2-8m +17=(m -4)2+1, ∵(m -4)2≥0,∴(m -4)2+1>0,即(m -4)2+1≠0.∴无论m 取何值,该方程都是一元二次方程. 点拨精讲:要证明无论m 取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m 2-8m +17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x 2+10x +12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x =-2或x =-3是一元二次方程2x 2+10x +12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x 2=0; (2)2(x 2-1)=3y ; (3)2x 2-3x -1=0; (4)1x 2-2x=0;(5)(x +3)2=(x -3)2; (6)9x 2=5-4x. 解:(1)是;(2)不是;(3)是; (4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根,求a 的值. 解:∵x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根, ∴4a +8-5=0, 解得a =-34.3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=2x2=2.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y 2=8; (2)2(x -8)2=50; (3)(2x -1)2+4=0; (4)4x 2-4x +1=0.解:(1)2y 2=8, (2)2(x -8)2=50, y 2=4, (x -8)2=25, y =±2, x -8=±5,∴y 1=2,y 2=-2; x -8=5或x -8=-5, ∴x 1=13,x 2=3;(3)(2x -1)2+4=0, (4)4x 2-4x +1=0, (2x -1)2=-4<0, (2x -1)2=0, ∴原方程无解; 2x -1=0, ∴x 1=x 2=12.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程: (1)(3x +1)2=7; (2)y 2+2y +1=24; (3)9n 2-24n +16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p(p ≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5; (3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0; (5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25; (7)x 2+2x +1=4.解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2; (2)x 1=2+5,x 2=2-5; (3)x 1=-1,x 2=13;(4)x 1=16,x 2=-16;(5)x 1=92,x 2=-92;(6)x 1=0,x 2=-10;(7)x 1=1,x 2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程. 2.理解“降次”思想.3.理解x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)中,为什么p ≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1 配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x -a)2=b 的过程.(2分钟)1.填空:(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2; (2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2; (3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p2__)2.2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m ,则长为__(x +6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到__x 2+6x -16=0__.探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x 2+6x =16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b2)2的形式,得__x 2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x +3)2=25__,开平方,得__x +3=±5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__,解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0; (3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52;(3)x 1=-72,x 2=-12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2; (2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2;(3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0; (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x 2+6x =-5,配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4, 由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5. (2)移项,得2x 2+6x =-2,二次项系数化为1,得x 2+3x =-1, 配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54,由此可得x +32=±52,即x 1=52-32,x 2=-52-32. (3)去括号,整理得x 2+4x -1=0, 移项得x 2+4x =1, 配方得(x +2)2=5,x +2=±5,即x 1=5-2,x 2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x 的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8 m ,CB =6 m ,点P ,Q 同时由A ,B 两点出发分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速移动,它们的速度都是1 m /s ,几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半?解:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.根据题意可列方程: 12(8-x)(6-x)=12×12×8×6, 即x 2-14x +24=0, (x -7)2=25, x -7=±5,∴x 1=12,x 2=2,x 1=12,x 2=2都是原方程的根,但x 1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半. 点拨精讲:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.用配方法解下列关于x 的方程:(1)2x 2-4x -8=0; (2)x 2-4x +2=0; (3)x 2-12x -1=0 ; (4)2x 2+2=5.解:(1)x 1=1+5,x 2=1-5; (2)x 1=2+2,x 2=2-2; (3)x 1=14+174,x 2=14-174;(4)x 1=62,x 2=-62. 2.如果x 2-4x +y 2+6y +z +2+13=0,求(xy)z 的值.解:由已知方程得x 2-4x +4+y 2+6y +9+z +2=0,即(x -2)2+(y +3)2+z +2=0,∴x =2,y =-3,z =-2.∴(xy)z =[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤. 2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用. 难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x 2+3x +2=0; (2)2x 2-3x +5=0. 解:(1)x 1=-2,x 2=-1; (2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax 2+bx +c =0(a ≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac2a,x 2=-b -b 2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0,当b 2-4ac ≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b±b 2-4ac2a就得到方程的根,当b 2-4ac <0时,方程没有实数根.(2)x =-b±b 2-4ac 2a叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b 2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x 2-3x =0; (2)3x 2-23x +1=0; (3)4x 2+x +1=0.解:(1)x 1=0,x 2=32;有两个不相等的实数根;(2)x 1=x 2=33;有两个相等的实数根; (3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x 2-4x +4=0的根的情况是( B ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .有一个实数根 D .没有实数根2.当m 为何值时,方程(m +1)x 2-(2m -3)x +m +1=0, (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?解:(1)m <14; (2)m =14; (3)m >14.3. 已知x 2+2x =m -1没有实数根,求证:x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.证明:∵x 2+2x -m +1=0没有实数根, ∴4-4(1-m)<0,∴m <0.对于方程x 2+mx =1-2m ,即x 2+mx +2m -1=0, Δ=m 2-8m +4,∵m <0,∴Δ>0,∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.利用判别式判定下列方程的根的情况: (1)2x 2-3x -32=0; (2)16x 2-24x +9=0;(3)x 2-42x +9=0 ; (4)3x 2+10x =2x 2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根; (3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根. 2.用公式法解下列方程:(1)x 2+x -12=0 ; (2)x 2-2x -14=0;(3)x 2+4x +8=2x +11; (4)x(x -4)=2-8x ; (5)x 2+2x =0 ; (6)x 2+25x +10=0. 解:(1)x 1=3,x 2=-4; (2)x 1=2+32,x 2=2-32; (3)x 1=1,x 2=-3;(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6;(5)x 1=0,x 2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b 2-4ac ≥0的前提下,把a ,b ,c 的值代入x =-b±b 2-4ac 2a(b 2-4ac ≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x+1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x 1=0,x 2=8; (2)x 1=-13,x 2=52.2.用因式分解法解下列方程: (1)x 2-4x =0; (2)4x 2-49=0;(3)5x 2-20x +20=0.解:(1)x 1=0,x 2=4; (2)x 1=72,x 2=-72;(3)x 1=x 2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x 2-4x =0; (2)3x(2x +1)=4x +2; (3)(x +5)2=3x +15. 解:(1)x 1=0,x 2=45;(2)x 1=23,x 2=-12;(3)x 1=-5,x 2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x 2-144=0;(2)(2x -1)2=(3-x)2; (3)5x 2-2x -14=x 2-2x +34;(4)3x 2-12x =-12.解:(1)x 1=6,x 2=-6; (2)x 1=43,x 2=-2;(3)x 1=12,x 2=-12;(4)x 1=x 2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.用因式分解法解下列方程: (1)x 2+x =0; (2)x 2-23x =0; (3)3x 2-6x =-3; (4)4x 2-121=0; (5)(x -4)2=(5-2x)2. 解:(1)x 1=0,x 2=-1; (2)x 1=0,x 2=23; (3)x 1=x 2=1; (4)x 1=112,x 2=-112;(5)x 1=3,x 2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m . 则可列方程2πx 2=π(x +5)2.解得x 1=5+52,x 2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m .学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab =0得 a =0或b =0,即“二次降为一次”. 2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟) 自学1:完成下表:问题:你发现什么规律? ①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项. ②x 2+px +q =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q.问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立) 请完善规律:①用语言叙述发现的规律; 答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律.答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1; (2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0; (3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3;(3)x 1+x 2=54,x 1x 2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a ,b ,c.2.已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值. 解:另一根为32,k =3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β; (2)α2+β2; (3)α-β. 解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x 2-3x =15; (2)5x 2-1=4x 2; (3)x 2-3x +2=10; (4)4x 2-144=0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=0,x 1x 2=-1; (3)x 1+x 2=3,x 1x 2=-8; (4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是( C ) A .7x 2-12x +5=0 B .6x 2-13x -5=0 C .4x 2+21x +5=0 D .x 2+15x -8=0 点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值. 1.先化成一般形式,再确定a ,b ,c.2.当且仅当b 2-4ac ≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x 1+x 2=-b a (比前面有负号),x 1x 2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题. 难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x +1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x +1)__人患了流感.则列方程:__(x +1)2=121__,解得__x =10或x =-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,解得x1=-2(不符,舍去),x2=0.125=12.5%.答:所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg,2013年平均每公顷产8460 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为x,则有7200(1+x)2=8460,解得x1=0.08,x2=-2.08(舍).即年平均增长率为8%.答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲:传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1. 列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2. 若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(3)1. 能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.难点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.。
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第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为设应邀请x个队参赛,个队各赛1场,所以全部比赛共x (x -1)2__场.列方程__x (x -1)2=28__,化简整理,得__x 2-x -56=0__.② 探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax 2+bx +c =0(a ≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax 2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a ≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x 3-2x 2+5=0; (2)x 2=1;(3)5x 2-2x -14=x 2-2x +35; (4)2(x +1)2=3(x +1);(5)x 2-2x =x 2+1; (6)ax 2+bx +c =0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x -1)=5(x +2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x 2-3x =5x +10.移项,合并同类项,得3x 2-8x -10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;(3)2x 2-3x -1=0; (4)1x 2-2x=0; (5)(x +3)2=(x -3)2; (6)9x 2=5-4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根,求a 的值.解:∵x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根,∴4a +8-5=0,解得a =-34. 3.根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x 2=25,4x 2-25=0;(2)x(x -2)=100,x 2-2x -100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),特别强调a ≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=2x2=2.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=1 2.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x +1)2=7; (2)y 2+2y +1=24;(3)9n 2-24n +16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113. 点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p(p ≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5;(3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0;(5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25;(7)x 2+2x +1=4. 解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2; (2)x 1=2+5,x 2=2-5;(3)x 1=-1,x 2=13;(4)x1=16,x2=-16;(5)x1=92,x2=-92;(6)x1=0,x2=-10;(7)x1=1,x2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.用直接开平方法解一元二次方程.2.理解“降次”思想.3.理解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程.(2分钟)1.填空:(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2; (2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2; (3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p2__)2.2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x 2+6x =16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b2)2的形式,得__x 2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x +3)2=25__,开平方,得__x +3=±5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__, 解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0; (3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52;(3)x 1=-72,x 2=-12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤: (1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0; (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2; (2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2;(3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2. 2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0; (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0. 解:(1)移项,得x 2+6x =-5,配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4, 由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5. (2)移项,得2x 2+6x =-2,二次项系数化为1,得x 2+3x =-1, 配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54,由此可得x +32=±52,即x 1=52-32,x 2=-52-32. (3)去括号,整理得x 2+4x -1=0, 移项得x 2+4x =1, 配方得(x +2)2=5,x +2=±5,即x 1=5-2,x 2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x 的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,即x2-14x+24=0,(x-7)2=25,x-7=±5,∴x1=12,x2=2,x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x的方程:(1)2x2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0;(3)x2-12x-1=0 ; (4)2x2+2=5.解:(1)x1=1+5,x2=1-5;(2)x1=2+2,x2=2-2;(3)x1=14+174,x2=14-174;(4)x1=62,x2=-62.2.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.∴(xy)z=[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟) 用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax 2+bx +c =0(a ≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac 2a,x 2=-b -b 2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0,当b 2-4ac ≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b±b 2-4ac2a 就得到方程的根,当b 2-4ac <0时,方程没有实数根.(2)x =-b±b 2-4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b 2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x 2-3x =0; (2)3x 2-23x +1=0; (3)4x 2+x +1=0.解:(1)x 1=0,x 2=32;有两个不相等的实数根;(2)x 1=x 2=33;有两个相等的实数根; (3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x 2-4x +4=0的根的情况是( B ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .有一个实数根 D .没有实数根2.当m 为何值时,方程(m +1)x 2-(2m -3)x +m +1=0, (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?解:(1)m <14; (2)m =14;3. 已知x 2+2x =m -1没有实数根,求证:x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根. 证明:∵x 2+2x -m +1=0没有实数根, ∴4-4(1-m)<0,∴m <0.对于方程x 2+mx =1-2m ,即x 2+mx +2m -1=0, Δ=m 2-8m +4,∵m <0,∴Δ>0, ∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.利用判别式判定下列方程的根的情况: (1)2x 2-3x -32=0; (2)16x 2-24x +9=0;(3)x 2-42x +9=0 ; (4)3x 2+10x =2x 2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根; (3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根. 2.用公式法解下列方程:(1)x 2+x -12=0 ; (2)x 2-2x -14=0;(3)x 2+4x +8=2x +11; (4)x(x -4)=2-8x ; (5)x 2+2x =0 ; (6)x 2+25x +10=0. 解:(1)x 1=3,x 2=-4; (2)x 1=2+32,x 2=2-32; (3)x 1=1,x 2=-3;(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6; (5)x 1=0,x 2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b 2-4ac ≥0的前提下,把a ,b ,c 的值代入x =-b±b 2-4ac 2a(b 2-4ac ≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x+1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x1=0,x2=8;(2)x1=-13,x2=52.2.用因式分解法解下列方程:(1)x2-4x=0; (2)4x2-49=0;(3)5x2-20x+20=0.解:(1)x1=0,x2=4; (2)x1=72,x2=-72;(3)x1=x2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2;(3)(x+5)2=3x+15.解:(1)x1=0,x2=4 5;(2)x1=23,x2=-12;(3)x1=-5,x2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x2-144=0;(2)(2x-1)2=(3-x)2;(3)5x2-2x-14=x2-2x+34;(4)3x2-12x=-12.解:(1)x1=6,x2=-6;(2)x1=43,x2=-2;(3)x1=12,x2=-12;(4)x1=x2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0;(5)(x-4)2=(5-2x)2.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=23;(3)x1=x2=1;(4)x1=112,x2=-112;(5)x1=3,x2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2=π(x+5)2.解得x1=5+52,x2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用. 难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)自学1:完成下表:问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.答:x1+x2=-p,x1x2=q.自学2:完成下表:问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律.答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a. 自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a. x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0;(3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1;(2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52; (3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0;(3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15;(2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3; (3)x 1+x 2=54,x 1x 2=14. 点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a ,b ,c.2.已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值.解:另一根为32,k =3. 点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β; (2)α2+β2; (3)α-β. 解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x 2-3x =15; (2)5x 2-1=4x 2;(3)x 2-3x +2=10; (4)4x 2-144=0.解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-15;(2)x 1+x 2=0,x 1x 2=-1;(3)x 1+x 2=3,x 1x 2=-8;(4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是( C )A .7x 2-12x +5=0B .6x 2-13x -5=0C .4x 2+21x +5=0D .x 2+15x -8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a ,b ,c.2.当且仅当b 2-4ac ≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x 1+x 2=-b a (比前面有负号),x 1x 2=c a(比前面没有负号). 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x+1)(x+1)__人患了流感.则列方程:__(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为() A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟) 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,解得x1=-2(不符,舍去),x2=0.125=12.5%.答:所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg,2013年平均每公顷产8460 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为x,则有7200(1+x)2=8460,解得x1=0.08,x2=-2.08(舍).即年平均增长率为8%.答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.。