微积分函数的连续性

lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点x 0处不连续.
微积分
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
微积分
例2
讨论函数
f (x)
x

x

2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
微积分
例3 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2 sin x cos( x x )
2
2
cos( x x) 1, 则 y 2 sin x .
2
2
对任意的, 当 0时, 有 sin ,
f (x)
f ( x0 )
那末就称函数 f ( x)在点 x 0 连续.
" "定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
微积分
设：
x : x0 x, Vx @x x0
y : f (x0 ) f (x), Vy @f (x) f (x0 )
xx0
f
(x)

f
( lim xx0
x)

f (x0 ).
微积分
例1
试证函数
f
(
x)


x
sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义2知
(3)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
微积分
1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
微积分
2.7 函数的连续性
微积分
函数连续性的定义
函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述：
当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变； 连续函数的图形可以一笔画成,不断开.
微积分
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ),
但lim f ( x) A f ( x ), 或 f ( x)在点 x 处无定
x x0
0
0
义则称点x0为函数 f ( x)的可去间断点.
例6 讨论函数
2 x, 0 x 1,
f
(
x
)

1,
x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
故 y 2 sin x x , 当x 0时, y 0. 2
即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
微积分
二、函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 : (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
微积分
3.单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
y f ( x) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x) f ( x0 ).
微积分
定义 2
设函数
f
(
x
)
在U
(
x 0
)
内有定义,如果
函数
f
(
x)当x

x 0
时的极限存在,且等于它在
点 x 0 处的函数值 f ( x0 ),即
lim
x x0
例5
讨论函数
f
(
x)

x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
微积分
2.可去间断点如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
在U

(
x 0
)
内有定义,如
果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
数的增量y 也趋向于零,即 lim y 0 或 x 0
lim [
x 0
f
(
x0
x)
f ( x0 )] 0,那末就称函数
f ( x)在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x) 的连续点.
设 x x x, 0
x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
微积分
2.连续的定义
定义 1
设函数
f
(
x
)
定义1： limVy 0 Vx0
定义2：
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
定义3 : 0, 0,当|x x0| 时,|f (x) f (x0 )|<
都称为f (x)在0处连续。
微积分
注意
f [x]在x0处连续意味着极限运算与函数运算可以交换顺序。
ie
lim