5.2 多元函数微分学及其应用

°
= E），
例1
E 为开集
⇔ E ∩∂E =∅ .
°
证明： 证明：先证E 为开集 ⇒ E ∩∂E =∅ . 由 E 为开集，则 再证 由 而
E=E ,
从而
E ∩∂E = E ∩∂E =∅.
°
E ∩∂E =∅ ⇒
° c
E 为开集
E ∩∂E =∅且E ∩extE =∅
E = ( ∂E ∪extE) ,
。
P 0
平面上的方邻域 方邻域为 方邻域
U(P ,δ ) = { (x, y) 0
思考：如何表示去心方邻域？
}
2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P)⊂ E , 则称 P 为 E 的内点 内点； 内点 所有内点组成的集合为E 的内部 内部，记为 E° 或 int E 内部 • 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ∅ , 则称 P 为 E 的外点 ; 外点 所有外点组成的集合为E 的外部 外部，记为 ext E 外部
的距离 距离记作 距离 规定为
Rn 中 点x = (x1, x2,⋯, xn )与零元 O 的距离为 的
x=
n
2 x1
2 + x2
2 +⋯+ xn
作 R 中 变 x 与 元 a 满 x −a →0 记 x →a. 的 元 定 足
邻域为 Rn中点 a 的 δ 邻域
矢量x 矢量x的p范数定义为
xp=
(∑ x )
多元函数微分法
一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意: 善于类比, 注意 善于类比 区别异同
多元函数的基本概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
一、 区域
1. 邻域 点集 例如, 例如,在平面上, δ邻域. PP < δ 称为点 P0 的δ邻域. 0
圆邻域) }(圆邻域)
例如, 例如, 二元函数 z = 1− x − y
2
2 2
2
z
定义域为 圆域 { (x, y) x + y ≤1} 图形为中心在原点的上半球面.
o
x
z
1 y
又 , z = sin(xy) , (x, y) ∈R 如
的图形一般为空间曲面 Σ . 空间曲面
2
说明: 说明 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ∈ D
U( P , δ ) = {(x, y) 0
U( P ,δ ) = {(x, y, z ) 0
在空间中,
}
(球邻域) 球邻域)
说明： 说明：若不需要强调邻域半径δ ,也可写成 U( P ). 0 点 P0 的去心邻域 去心邻域记为 去心邻域
0 < PP < δ 0
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
P→P 0
lim f (P) = A
0 ， ∀ε > 0,∃δ > 0, 当 < PP <δ 时 0 有 f (P) − A <ε
1 例4. 设 f (x, y) = (x + y )sin 2 2 x +y 求证：lim f (x, y) = 0.
2 2
(x + y ≠ 0)
2 2
x→0 y→0
从而
E ⊆ E , 显然 E ⊆ E, 则 E = E ,
°
°
°
即E 为开集.
例2 在平面上 ♣ { (x, y) x + y > 0 } ♣ { (x, y) 1 < x2 + y2 < 4 } ♣ { (x, y) x + y ≥ 0} ♣ { (x, y) 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 } 闭区域 开区域
的连续域.
y
x− y >0 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4 x > y2
o
2 2
x
练习 证明
在全平面连续. 证: 又 为初等函数 , 故连续.
0≤
xy x2 + y2
由夹逼准则得
= f (0,0)
故函数在全平面连续 .
内容小结
1. 区域 • 邻域 : U(P ,δ ) , U(P ,δ ) 0 0 • 区域 • Rn 空 间 2. 多元函数概念 n 元函数 u = f (P) = f (x1, x2 ,⋯, xn ) 连通的开集
E
E
• 若对点 P 的任一 任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 任一 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 边界点 • E 的边界点的全体称为 E 的边界 记作∂E ; 边界, 边界 ∂ 集合 E的边界的符号包括 bd(E)、fr(E) 和 ∂E 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(最值定理)
(3) 对任意
∃ Q∈D，
(介值定理)
xy +1−1 . 例8.求 lim x→0 xy
y→0
解: 原式
1 1 = lim = x→0 xy +1 +1 2
y→0
例9. 求函数 f (x, y) = 解:
2
arcsin(3 − x − y )
2 2
3 − x2 − y2 ≤1
x − y2
P∈D ⊂ Rn
常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数
3. 多元函数的极限 lim f (P) = A 0 ， ∀ε > 0,∃δ > 0, 当 < PP <δ 时 0 P→P 0 有 f (P) − A <ε 4. 多元函数的连续性 1) 函数 f (P) 在P 连 续 0 有界定理 ; 最值定理 ;
不同. 不同
lim lim f (x, y) 为先对 y 后对 x 的二次极限
如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. 两种二次极限不一定同时存在，即便都 存在，也未必相等.因此，不能随便交换 二次极限的顺序.
例7 (1)
y limlim = 0, x→0 y→0 x
x
y
三元函数 u = arcsin( x2 + y2 + z2 ) 定义域为 单位闭球
例3. 设
解: 令
求
y2 u = , v = xy x 2 y2 y 2 = 2 +y f ( , x y) = x x
三、多元函数的极限
定义2. 定义 设 n 元函数 f (P), P∈D ⊂ Rn , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 ε , 总存在正数δ , 对一 切 P∈D ∩U(P ,δ ) , 都有 0 记作
y
o
y
x
o 1 2x
y
y
o
x
o 1 2x
♣ 整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域； ♣ 点集 { (x, y) x >1 是开集 } 是开集， 但非区域 .
y
−1o 1 x
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P∈D 与某定点 A 的距离 AP≤ K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 无 有界域 界域 .
(2) 聚点 若对任意给定的δ , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 聚点. 称 P 是 E 的聚点 聚点 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 ，记为 Ed 或 E ' 导集
E
(3) 开区域及闭区域 •若点集 E 的点都是内点（即 E 则称 E 为开集 开集； 开集 • 若点集 E ⊃∂E , 则称 E 为闭集 闭集； 闭集 • 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 则称 D 是连通的 ; 连通的 • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域 区域 • 开区域连同它的边界一起称为闭区域 闭区域. 闭区域 。 D 。
P→P 0
则称 A 为函数
lim f (P) = A (也称为 n 重极限)
2 2
当 n =2 时, 记 ρ = PP = (x − x0 ) + ( y − y0 ) 0 二元函数的极限可写作：
lim f (x, y) = lim f (x, y) = A
ρ →0
x→x0 y→y0
多元函数的极限
(2)
不存在 .
x− y limlim = 1, x→0 y→0 x + y
−1,
(3)
x→0 y→0
lim lim f (x, y) = 0,
但它在(0,0)点二重极限不存在 . (4)
1 1 lim y sin 不存在; lim xsin y 不存在， y→0 x→0 x 故二次极限都不存在 ；但二重极限存在.
p i
1
p
当p=2时为常用的欧拉范数， p=2时为常用的欧拉范数， 一般p还可取1 一般p还可取1和∞。
常见的范数有：
x 1 = ∑ xi ,
i=1
2 1 2 2
n
x = {x1, x2 ,⋯xn}
2 n
x 2 = x + x +⋯+ x , x = {x1, x2 ,⋯xn}
x ∞ = m { xi } , x = {x1, x2 ,⋯xn} ax
故二重极限 lim f (x, y) 与累次极限（二次极限） 累次极限（ 累次极限 二次极限）
x→x0 y→y0
x→x0 y→y0
lim lim f (x, y)
之间没有必然的蕴含关系
四、 多元函数的连续性 定义3 定义 . 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚 P ∈D, 点0 如果存在
3. n 维空间 n 元有序数组 记作 Rn ,即 的全体称为 n 维空间 维空间,
Rn = R× R×⋯× R
n 维空间中的每一个元素 一个点, 点 当所有坐标 O. 称为该点的第 k 个坐标 . 坐标 称该元素为 Rn中的零元, 记作 称为空间中的
Rn 中 点x = (x1, x2 ,⋯, xn ) 与 y = ( y1, y2 ,⋯, yn ) 的 点
P→P 0
lim f (P) = f (P ) 0
2) 闭域上的多元连续函数的性质: 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
二、多元函数的概念
引例: 引例: • 圆柱体的体积 • 定量理想气体的压强
r
h
• 三角形面积的海伦公式
Байду номын сангаас
b
a
c
定义1. 定义1. (二元函数的定义)
定义域
设D是平面点集,若对于D中的每一个点P(x,y),变 量z按照一定的法则,总有确定的值和它对应,则称
z是x,y的二元函数
因变量 的范围为值域 自变量
xy 例5. 讨论函数 f (x, y) = 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x +y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
k kx2 lim f (x, y) = lim 2 2 2 = x→0 x→0 x + k x 1+ k 2 y=kx→0
P→P 0
lim f (P) = f (P ) 0
不连续, 点 0 连续, 不连续 则称 n 元函数 f (P) 在 P 连续 否则称为不连续 此时 称为间断点 . 间断点 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 连续.
xy , 2 2 x + y ≠0 2 2 f (x, y) = x + y 2 2 0 , x + y =0 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
y→0
y=x −x→0
所以极限不存在.
−1, 2 3−α = lim(x − x ) = 0 , x→0 ∞,
α >3
• 二重极限 lim f (x, y) 与累次极限（二次极限） 累次极限（ 累次极限 二次极限）
x→x0 y→y0
x→x0 y→y0 x→x0 y→y0
lim lim f (x, y)
又如, 又如, 函数
例如, 例如, 函数
在圆周 x2 + y2 =1上间断. 结论: 结论 一切多元初等函数在定义区域内连续.
闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理： 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 上连续,
(有界性定理)
(2) f (P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
要证
证:
<ε
∴ ∀ε > 0, ∃δ = ε ,当0 < ρ = x2 + y2 <δ 时 总有 ,
≤ x2 + y2
故
x→0 y→0
lim f (x, y) = 0
, • 若当点 P(x, y)以不同方式趋于 P (x0 , y0 ) 时 函数 0
则可以断定函数极限 趋于不同值或有的极限不存在， 不存在 .
k 值不同极限不同 !
故 f (x, y)在 (0,0) 点极限不存在 .
ln(1+ xy) 例6. lim x 是否存在？ x→0 x+ y
y→0
解： 用ln(1+ x y) ~ x y , 取 y = xα − x 利
ln(1+ xy) x2 y lim x = lim x→0 x→0 x+ y x+ y α