高中数学人教A版选修2-1高二新课标理科数学期末考试卷.docx

绥化市第九中学2010届高二新课标理科数学期末考试卷
（满分150分，时间120分钟）命题人：卢 军
一、选择题：（每小题5分）
1、已知p 、q 为两个命题，则“p q ∨是假命题”是“p ⌝为真命题”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
2、抛物线2
2y x =-的焦点坐标是（）A ．1
(,0)2
-
B ．（-1，0）
C ．（10,4-
）D ．（0，1
8
-） 3、下列说法错误的是（）
A ．如果命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，那么命题q 一定是真命题
B ．命题“若a=0, 则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”
C ．若命题2
2
:,10,:,10p x R x x p x R x x ∃∈-+<⌝∀∈-+≥则 D ．“1
sin 2
θ=
”是“30θ=”的充分必要条件 4、在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为（）A ．
1010
B ．
15
C ．
310
10
D ．
35
5、若222x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
则目标函数2z x y =+的取值范围是( )
A ．[2，6]
B ．[2，5]
C ．[3，6]
D ．[3，5]
6．双曲线19
42
2=-x y 的渐近线方程是 （ ） A ．x y 23±
=B ．x y 49±=C ．x y 32±= D ．x y 9
4±= 7、已知1F 、2F 的椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，且
1260F MF ︒∠=则椭圆的离心率为（ C ）A ．
1
2
B ．32
C ．33
D ．22
8. 点P 在双曲线上，21,F F 为焦点，且21PF PF ⊥，213PF PF =则其离心率为（ ） A. 103 B. 102 C.
10 D.
2
10 9 设圆C 的圆心与双曲线22
21(0)2
x y a a -=>的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，
若直线:30l x y -=被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
10. 若直线2+=kx y 与双曲线62
2=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是
（ ） A ．（315,315-
） B ．（3
15
,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--） 11. 若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1,2，－3k )，B (－2,1,0)，C (4,0，－2k )，则k 的值为( ) A.10 B ．－10 C ．2 5
D ．±10
12. 已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →
取得最小值时，点Q 的坐标为 ( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34
C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73
D. ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，43，83 二、填空题：（每小题5分）13. 在△ABC 中，a =25，b =10, ∠A=0
60，则cos B = ____ 14. 命题“2
,10x R x ∃∈+<”的否定是 ．
15. 若直线2=-y x 与抛物线x y 42
=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______ 16. ①“若2
010x y x R x x +=∀∈++≥，，均有，则,x y 互为相反数”的逆命题；
②在平面内，F 1、F 2是定点，126F F =，动点M 满足12||4MF MF -=，则点M 的轨迹是双曲线。

③“在ABC ∆中，“︒=∠60B ”是“C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列”的充要条件.
④“若53<<-m 则方程
13
52
2=++-m y m x 是椭圆”。

⑤在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则
OE =111244
a b c ++
⑥椭圆
19
252
2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为5。

其中真命题的 序号是 .
绥化市第九中学2010届高二新课标理科数学期末考试卷答题卡
二、填空题：（每小题5分） 13. ____14. _____15. ____16. _____
三、解答题：
17. （14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2
3
，且经过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B. （1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围。

18. （12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，
5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．
（1）求n a 及n S ；（2）令b n = n
2n a （n ∈N *），求数列{}n b 的前n 项和n T ．
19.（14分）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF 且BE ＜CF,∠BCF=2
π
，AD=3，EF=2.
（Ⅰ）求证： AE ∥平面DCF ； （Ⅱ）设(0)AB BE λλ=>，当λ为何值时，二面角A —EF —C 的大小为3
π。

A
B
C
D
E
F
19题
20. （15分）已知椭圆的两个焦点12(3,0),(3,0)F F -，且椭圆短轴的两个端点与2F 构成
正三角形． （I ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，若在x 轴上存在定点E （m ，0），使QE PE ⋅恒为定值，求m 的值．
21（15分）如图，已知四棱锥P ABCD
-的底面为直角梯形，//
AB DC，
⊥
=
∠PA
DAB,
90 底面ABCD，且
1
2
PA AD DC
===，1
AB=，M是PB的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。

第21题
绥化市第九中学2010届高二新课标理科数学期末考试卷答案
一、选择题：ADDCA CCDAD DD
二、填空题：13. 225
14. 2
,10R x ∀∈+≥15. 4,2（）16. 1（）（3）（5）（6） 三、解答题：
17. 解：（Ⅰ）
31,22c b a a =∴=， 依题意设椭圆方程为：22221,4x y b b
+=把点()4,1代入，得2
5b = ∴ 椭圆方程为
22
1.205
x y += （Ⅱ）把y x m =+代入椭圆方程得：22
584200x mx m ++-=， 由△0,>可得5 5.m -<< 18、⑴设等差数列{}n a ，公差为d ∵37a =，5726a a +=
∴11
27 21026a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13a =，2d =
∵()()
111 , 2
n n n n a a a a n d S +=+-=
∴()2 1 , 2n n a n S n n =+=+
n n 123n 234n+1123n n+12n+1n+1(2)122(2n 1)2(211)2(221)2(231)2(2n 1)(1)22(211)2(221)2(231)2(2n 1)
(2)
(1)(2)-2(211)+2222-2(2n 1)
2-2-6+2-2(2n 11-2
n n n n n n b a T T T T ==+∴=⨯++⨯++⨯++++=⨯++⨯++⨯++++∴-=⨯+++
++∴=⨯+由（）知：得：（）n+2n+1n+1
n+1)=2-2-2(2n 1)=-2+1-2)22-1)22
n n T n +∴=+（（
19、、解：由条件：3,2,1,,AD EF CF BF BE m AB m λ==⇒=+==设
1,,,,,(0,,0)(0,0,0),(3,0,0),(3,,0),(3,0,),(0,0,1)(1)(1,0,0),(0,,)0,,//.(2)(0,1,0)C CB CD CF x y z D m C B A m E m F m DCF n AE m m n AE n AE AE CDF AE DCF EFC n AEF λλλ+==-⋅=⇒⊥⊄∴=以为原点为轴建立坐标系,则平面的一个法向量又面面平面的法向量设平面的一个法2222122212(,,),(0,,),(3,0,1)
0,(,3,3)30
||331
cos
,32||||34343
23,23n x y z AE m m FE n AE my mz x n n FE x z n n n n A EF C λλλλλπ
λλλπ
λ==-=-⎧⋅=-+=⎪∴==⎨⋅=-=⎪⎩⋅∴=
==
⋅++=
∴=--向量令则即解得当时二面角的大小为
20、解：（I ）由题意知 c =3 ，48a =，（2分）∴2a = ， b =1
∴椭圆的方程为22
4
y x +=1 （II ）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为()1-=x k y
()⎪⎩
⎪⎨⎧-==+114
22
x k y y x 消去y 得 ()0448142
222=-+-+k x k x k
设()()2211,,,y x Q y x P
则由韦达定理得1
4822
21+=+k k x x
1
4442221+-=k k x x
则()
()1122,,PE m x y QE m x y =--=--
∴()()2121y y x m x m QE PE +--=⋅=()2121212
y y x x x x m m +++-
=()()()2212121211m m x x x x k x x -+++--
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-++-++-1148144414441482222
222222
k k k k k k k k k m m =
()()
1
44
1842
222
+-++-k m k m m
要使上式为定值须22481441m m m -+=-，解得 178m = ∴QE
PE ⋅为定值64
33
21、证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图21-1建立空间直角坐标系，则各点坐标
为
1
(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2
A B C D P M .
（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故
由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD . （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
.
510
|
|||,cos ,2,5||,2||=⋅⋅>=<=⋅==PB AC PB
AC PB AC PB AC PB AC 所以故
（Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=
..2
1
,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC
要使14
,00,.25AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得
),5
2
,1,51(),52,1,51(,.
0),5
2
,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ
21-1
ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为
所求二面角的平面角.
30304||,||,.555
2
cos(,).3||||2
3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN =
==-∴==-⋅-
故所求的二面角的余弦值为。