【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时 分数指数幂课件 新人教A版必修1
人教版高中数学必修1第2章2.1.1 指数与指数幂的运算(1)教案
第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（一）教学目标分析：知识目标：（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。
过程与方法：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
情感目标：通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
重难点分析：重点：n次根式的性质和化简难点：n次根式的性质及应用互动探究：一、课堂探究：1、问题情境设疑探究一、根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？如果把我国2000年GDP 看成是1个单位，2001年为第一年，那么： 1年后（即2001年），我国的GDP 可望为2000年的(17.3%)+倍；2年后（即2002年），我国的GDP 可望为2000年的2(17.3%)+倍； 3年后（即2003年），我国的GDP 可望为2000年的___________倍； 4年后（即2004年），我国的GDP 可望为2000年的___________倍； ……设x 年后我国的GDP 为2000年的y 倍，那么*(17.3%) 1.073(,20)x x y x N x =+=∈≤即从2000年起，x 年后我国的GDP 为2000年的1.073x 倍。
想一想，正整数幂1.073x 的含义是什么？它具有哪些运算性质。
探究2、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系57301() (2)t P =（*），考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。
高中数学人教A版必修一教案：2.1.1指数与指数幂的运算(三)
2.1.1 指数与指数幂的运算（三）
（一）教学目标
1．知识与技能：
能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.
2．过程与方法：
通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.
们以前的四则运算顺序.
式的互
我们看到（1）小题是单项式 化，以
的乘除运算；（2）小题是乘方形 及分数
式的运算，它们应让如何计算呢？ 指数幂
的求值，
其实，第（1）小题是单项式 提高运
的乘除法，可以用单项式的运算 算能
顺序进行.
力．
第（2）小题是乘方运算，可
先按积的乘方计算，再按幂的乘
方进行计算.
解：（1）原式
(a
1 2
)3
3
3
a2 a 2
1
1
a2 a 2
1
(a 2
1
a2
)(a
a 1
1
a2
1
a2
)
1
1
a2 a 2
a a1 1 8.
【小结】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求
值后代换”两种方法求值.
1
x 1
例 2 化简 2 1
x 1
1
x
1
x3
.
x3 x3 1 x3 1 x3 1
（2） 3 2 2 3 2 2 ； （3） a a a a .
解（1）原式=
3
2 3
103
2
10 5
2
11
2.1.1指数与指数幂的运算(二)
2.1.1指数与指数幕的运算（二）（一）教学目标1 •知识与技能（1）理解分数指数幕的概念；（2）掌握分数指数幕和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幕的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2.过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幕的概念，和指数幕的性质3.情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1.教学重点：（1）分数指数幕的理解；（2）掌握并运用分数指数幕的运算性质；2.教学难点：分数指数幕概念的理解（三）教学方法发现教学法1.经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2•在学生掌握了有理指数幕的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.应用举例例题例1 （P56，例2）求值3 4 1 16 -483；25 2；e?）；（需）4.2 81例2 （P56，例3）用分数指数幕的形式表或卜列各式（a > 0）a3•苗；a2荷；分析：先把根式化为分数指数幕，再由运算性质来运算•解：a3.>/a = a3‘a2=a 2=a2；a2'V a2^ = a2a3=a 3=a3；r—/ 1 口 4 1 2= \a a3=Y a3=（a3）2=a3.课堂练习：P59练习第1，2，3，4题补充练习：Z/-）n 十、4 / 1、2n 十（2）q1.----------------------- 计算：厂乎——的结果；4n8，2.若a3 — 3, a^ =384,1求a3 [（a10）7]2的值.a3学生思考，口答，教师板演、点评.例1解：2 2① 83=（23）33《2=2 3 =22 =4 ；1 1②25—（52）P1=严—;5③（干=（2十=2」心）=32 ；3 316 r 2 4J）④汨弋）4 =（2宀习.3 8例2分析：先把根式化为分数指数幕，再由运算性质来运算.1解：a3.需=a3a23卫上=a 2 = a2；2a2'V a2 = a2‘a32卡8=a 3 = a3；7^^ = Y a a3 =4 1 2=（a3）2= a3.练习答案：2朋亍心1.解：原式=2n亠2 '2通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幕与根式的互化，以及分数指数幕的求值，提高运算能力.备选例题例1计算/ 0 / 3 '(1) 2。
高中数学必修一：2.1.1指数与指数幂的运算
知识探究（二）：方根性质和根式概念
问题1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次
方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立 方根分别是什么数？怎样表示？
问题2:设a为实常数，则关于x的方程x3=a，
x5=a分别有解吗？有几个解？
问题3:一般地，当n为奇数时，实数a的n次
方根存在吗？有几个？
问题4:设a为实常数，则关于x的方程x4=a，
若a=0，则a的n次方根为0； 若a<0，则a的n次方根不存在.
让我们认识一下这个式子:
a 根指数
n
根式
被开方数
探究:
表示nana的n n次方根,等式一定成立吗n ?an a 如果不一定成立,那么等n 于an什么?
a, (当n为奇数)
n
an
|
a
|
a, a a,
a
五、知识总结
整数指数幂
根式
两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)aras ars (a 0, r, s R) (2)(ar )s ars (a 0, r, s R) (3)(ab)r arbr (a 0,b 0, r R)
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规 律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时
间称为“半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内
碳14含量Ｐ与死亡年数t之间的关系：
P
(
1
)
t 5730
.
（*）
当生物死亡了52730 ，2 5730 ，3 5730 ，...年后，
它体内碳14的含量P分别是 1 ，(1 )2 ，(1 )3，... 22 2
高中数学必修1 2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.1指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质.知识点一根式的定义1.n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.n次方根的性质(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n 次方根用符号表示.(2)当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±(a＞0).(3)0的任何次方根都是0，记作＝0.(4)负数没有偶次方根.3.根式的定义式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.4.两个等式(1)()n＝a(n∈N*).(2)＝知识点二分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1).(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a＞0，m，n∈N*, 且n＞1).(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.思考(1)分数指数幂能否理解为个a相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式＝中，为什么必须规定a>0?答(1)不能.不可以理解为个a相乘，事实上，它是根式的一种新写法.(2)①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝＝0，无研究价值.②若a<0，＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.知识点三有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q).知识点四无理数指数幂无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.题型一根式的运算例1求下列各式的值.(1)；(2)；(3)；(4)－，x∈(－3,3).解(1)＝－2.(2)＝＝.(3)＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝反思与感悟 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.2.开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.跟踪训练1化简下列各式.(1)；(2)；(3).解(1)＝－2.(2)＝|－10|＝10.(3)＝|a－b|＝题型二根式与分数指数幂的互化例2将下列根式化成分数指数幂形式.(1)·；(2) ；(3)·；(4)()2·.解(1)·＝a·a＝a.(2)原式＝a·a·a＝a.(3)原式＝a·a＝a.(4)原式＝(a)2·a·b＝a b.反思与感悟在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：＝和＝＝，其中字母a要使式子有意义.跟踪训练2用分数指数幂表示下列各式：(1) ·(a＜0)；(2) (a，b＞0)；(3)(b＜0)；(4)(x≠0).解(1)原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a＜0).(2)原式＝＝＝＝(a，b＞0).(3)原式＝＝(－b)(b＜0).(4)原式＝＝＝x (x≠0).题型三分数指数幂的运算例3(1)计算：0.064－0＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|；(2)化简：÷ (a＞0).解(1)原式＝(0.43)－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.(2)原式＝＝＝a0＝1.反思与感悟指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.跟踪训练3计算或化简：(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；(2).解(1)原式＝(－1)＋－＋1＝＋(500)－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.(2)原式＝＝＝(a－4)＝a－2.题型四条件求值例4已知a＋a＝3，求下列各式的值.(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).解(1)将a＋a＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.(2)对(1)中的式子平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.(3)＝＝a＋a－1＋1＝8.反思与感悟 1.条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.本题若通过＝3(a>0)解出a的值代入求值则非常复杂.解决此类问题的一般步骤是：2.注意运用平方差公式、立方和公式、立方差公式对代数式进行变形，如：(1)a－b＝(a)2－(b)2＝(a＋b)(a－b).(2)a±b＝(a)3±(b)3＝(a±b)(a∓a b＋b).跟踪训练4已知a＋a－1＝5(a>0)，求下列各式的值：(1)a2＋a－2；(2)a－a；(3)a3＋a－3.解(1)方法一由a＋a－1＝5两边平方，得a2＋2aa－1＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23.方法二a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.(2)∵(a－a)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，∴|a－a|＝，∴a－a＝±.(3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－aa－1＋a－2)＝(a＋a－1)(a2＋2aa－1＋a－2－3)＝(a＋a－1)[(a＋a－1)2－3]＝5×(25－3)＝110.因忽略对指数的讨论及被开方数的条件致误例5化简：(1－a)[(a－1)－2·(－a)].错解原式＝(1－a)(a－1)－1·(－a)＝－(－a).正解因为(－a)存在，所以－a≥0，故a－1<0，原式＝(1－a)(1－a)－1(－a)＝(－a).错误原因因题中有(－a)，所以－a≥0，即a≤0，则[(a－1)－2]≠(a－1)－1，错解中忽略了这一条件.跟踪训练5求[(1－)2]－(1＋)－1－1＋213÷47的值.解原式＝－1－(－1)－1＋2－1＝－.1.下列各式正确的是()A.()3＝aB.()4＝－7C.()5＝|a|D.＝a答案 A解析()4＝7，()5＝a，＝|a|.2.＋的值是()A.0B.2(a－b)C.0或2(a－b)D.a－b答案 C解析当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.3.化简(2x>1)的结果是()A.1－2xB.0C.2x－1D.(1－2x)2答案 C解析∵2x>1，∴1－2x<0.∴＝|1－2x|＝2x－1.4.化简的结果是________.答案－5.已知10m＝2,10n＝3，则103m－n＝________.答案解析103m－n＝＝＝＝.1.掌握两个公式：(1)()n＝a(n∈N*)；(2)n为奇数且n∈N*，＝a，n为偶数且n∈N*，＝|a|＝2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.一、选择题1.下列等式一定成立的是()A.a·a＝aB.a·a＝0C.(a m)n＝D.a m÷a n＝a m－n答案 D解析由指数运算的性质可知D正确.2.化简的结果是()A.aB.C.a2D.答案 B解析＝(a·a)＝(a)＝a＝.3.化简(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)的结果为()A.1B.－1C. D.答案 C解析(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)＝(a－a－1)2÷[(a＋a－1)(a－a－1)]＝＝＝.4.若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是()A.x∈RB.x∈R且x≠C.x＞D.x＜答案 D解析∵(1－2x)＝，∴1－2x＞0，得x＜.5.化简(a，b＞0)的结果是()A. B.ab C. D.a2b答案 C解析原式＝[a3b2(ab2)]÷(a1b2ba－)＝＝.6.已知x＋x＝5，则的值为()A.5B.23C.25D.27答案 B解析＝x＋＝x＋x－1＝(x＋x)2－2＝52－2＝23.故选B.二、填空题7.2＋＋－·8＝________.答案2－3解析原式＝＋＋＋1－22＝2－3.8.计算：(π)0＋2－2×(2)＝________.答案解析原式＝1＋×()＝1＋×＝.9.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝_______，(2α)β＝_______. 答案 2解析利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.10.设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________.答案27解析由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3.①由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，所以2y＝x－9.②由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.三、解答题11.计算下列各式的值：(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；(2)7－3－6＋；(3)·÷(a＞0，b＞0).解(1)原式＝[(0.3)3]－＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝.(2)原式＝7×3－3－6＋＝7×3－6×3－6×3＋3＝2×3－2×3×3＝2×3－2×3＝0.(3)原式＝＝＝＝a 0b 0＝1.12.已知a ＝－，b ＝，求÷的值.解 原式＝·＝＝a ＝(－) ＝(－)－2＝.13.(1)已知2x ＋2－x ＝a (常数)，求8x ＋8－x 的值；(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求的值.解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2 ＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2， ∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x ＋4－x －1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a .(2)＝ ＝.①∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108.又∵x ＜y ，∴x －y ＝－6.③将②③代入①，得＝＝－.。
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算精讲精析 新人教A版必修1
课题：2.1.1 指数与指数幂的运算精讲部分学习目标展示（1）掌握根式的概念及根式运算性质；（2）理解分数指数幂的意义； （3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）掌握有理指数幂的含义及其运算性质； 衔接性知识1. 初中整数指数幂的有哪些运算性质？()()m n m n m n mn n n n a a a a a ab a b +⋅===2. 平方根与立方根的概念？如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根例1. 化简：（1（2（3）11－230＋7－210解：（1）||x x x=== （2）63(3)|3|323x x x x x x ≥-⎧=-=+-+=⎨-<-⎩ （3）11－230＋7－210＝6－230＋5＋5－210＋2＝(6－5)＋(5－2)＝6－ 2 例2. 计算（1）（2）； 解：（1）原式 （2）原式= ==.例3．化简下列各式：（1）；（2）. 解：（1）原式=====；（2）原式=.)01.0(41225325.02120-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--5.1213241)91()6449()27()0001.0(---+-+1122141149100⎛⎫⎛⎫=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111.61015=+-=232212323414])21[(])87[()3()1.0(---+-+3121)31()87(31.0---+-+73142778910=+-+313315383327----÷÷a a a a a a 33323323134)21(248a ab a abb b a a ⨯-÷++-321233153832327----÷÷a aa aa a 323732-÷÷aa a 312213732)()(-÷÷a a a 326732326732---÷=÷÷aa a a a 613221a a =+-313131313231313231224)8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷++-.例4．已知11223a a-+=,求下列各式的值:(1)1a a -+ (2)22a a -+ (3)1a a -- 解:(1)将11223a a-+=两边平方得,129a a -++=,即17a a -+=；（2）将17a a -+=两边平方得，22249a a -++=，即2247a a -+=； （3）1222()247245a a a a ---=+-=-=，1a a -∴-=±精练部分A 类试题（普通班用）1．若0xy ≠2=-成立的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0解：∵0xy ≠，∴0x ≠，0y ≠，由2340200x y xy y ⎧>⎪->⎨⎪>⎩得，00x y <⎧⎨<⎩，选C2.1111133********63222112263331111144233342()()()()()()a b ab a b a b a a b b b a b a b a b a +-++---⋅⋅⋅⋅⋅===⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ 3. 计算(1) ；(2)4102310.53471(0.0625)[2()][(2)]+10(2()3300-----⨯⨯---；（3）199920002) ⋅ 解：（1）11241333334733(32)233(3)-=⨯-⨯⨯-⨯⨯+3131313132313132323131323131312424)42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅++++-=a a a a =⋅⋅=3131311111333373332233=⨯-⨯⨯-⨯+1111333373632330=⨯-⨯-⨯+=（2）4102310.53471(0.0625)[2()][(2)]+10(2()3300-----⨯⨯---11424242(0.5)(21)(2)10(310)-=--⨯⨯-+-⨯241610(242=-⨯++-=-（3）199920002)⋅1999(2-⋅-1999=1(2⋅-=2-4.已知12x =，(0a b >>)的值．解：∵1122x ===⎝⎭， 又0a b >>，∴原式=422aba b ===5. 设112a =，1132b =，求11111122221111112222()()()()a b a b a b a b ----+--++-的值： 解：由已知，得32a =，272b = 11111122221111112222()()()()a b a b a b a b ----+--++-=3====-B 类试题（3+3+4）（尖子班用）1. 若0xy ≠2=-成立的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0解：∵0xy ≠，∴0x ≠，0y ≠，由3340200x y xy y ⎧>⎪->⎨⎪>⎩得，00x y <⎧⎨<⎩，选C2. 使324(32)x x ---有意义的x 的取值范围是( )A ．RB ．x ≠1且x ≠3C ．－3<x <1D ．x <－3或x >1解：∵324(32)x x ---=有意义，∴应满足2320x x -->，解得31x -<<，故选C.3. 设x 、y 、z R ∈，且59225x y z ==，则( )A.111z x y =+ B. 211z x y =+ C. 121z x y =+ D. 212z x y=+ 解：设59225xyzt ===，则15xt =，19yt =，1225z t =，∴225xt = 又225925=⨯，∴121yxz t t t =⋅，即121z x y=+，选C 4．已知32a =，35b =，则23a b -=________. 解：22(3)4335a a bb -==5=________.121523113336342125364x y x yx yx y----⋅==⋅=⋅6.a 、b >0)的结果是________.11111331111322663222112263331111144233342()()()()()()a b ab a b a b aa bbba b a b a ba+-++---⋅⋅⋅⋅⋅===⋅=⋅⋅⋅⋅⋅7.化简y=解：y=342213|21||23|4221242x xx x xx x⎧->⎪⎪⎪=++-=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩其图象如图．8. 计算(1) ；(2)4102310.53471(0.0625)[2()][(2)]+10(2()3300-----⨯⨯---；(3)12213116352427+162(8)(4)------⨯+（4）199920002)⋅（5）20.5123110(5)+(1)0.75+(2)1627----÷解：（1）11241333334733(32)233(3)-=⨯-⨯⨯-⨯⨯+1111333373332233=⨯-⨯⨯-⨯+1111333373632330=⨯-⨯-⨯+=（2）4102310.53471(0.0625)[2()][(2)]+10(2()3300-----⨯⨯---11424242(0.5)(21)(2)10(310)-=--⨯⨯-+-⨯241610(242=-⨯++-=-（3）12213116352427+162(8)(4)------⨯+12121323432635524[(11](3)(2)2(2)2(2)=+-+-⨯+⨯1188213=+-+=（4）199920002)⋅1999(2-⋅-1999=1(2⋅-=2-（5）20.5123110(5)+(1)0.75+(2)1627----÷2142332334[()]1()[()]243--=-÷+229441()()433-=-÷+9999416164=-+=9.已知12x =，(0a b >>)的值．解：∵1122x ===⎝⎭， 又0a b >>，∴原式=422aba b ===10. 设112a =，1132b =，求11111122221111112222()()()()a b a b a b a b ----+--++-的值： 解：由已知，得32a =，272b = 11111122221111112222()()()()a b a b a b a b ----+--++-=3-====-。
2.1.1指数与指数幂的运算
n n
2.1.1
指数与指数幂的运算
2．观察以下式子，并总结出规律（a＞0）：
5
a 5 ( a ) a a , a8 ( a 4 ) 2 a 4 a
10
2 5 2
12 4 3 4 3 12 4
10 5
8 2
4
a (a ) a a ,
5
a (a ) a a
2.1.1
指数与指数幂的运算
例1.求值
3
1 64的6次方根
(3) ( 8)
3
2 -32的5方根
(4) ( 10) 2
(5) 5 ( 3)10
(6) 5 2 6 7 4 3
例2：若 9 x 2 6 x 1 3 (1 3x)3 , 则x的取值范围.
例3：求使等式 (a 3)(a 2 9) (3 a) a 3成立的 实数a的取值范围.
(3)(a a )(a a ) [(a a 1)(a a )]
3 3 4
3
3
4
1
(2)( x1 x0 x)( x x )
1 2
1 2
2.1.1
指数与指数幂的运算
1 2 1 2 1 2 1 2
练习：已知x y 12, xy 9且x y, 求
(2)a a
2
x
2
(3)a a
2
2
(4)a a
3 2
3 2
例6 : 已知a 2 x 2 1, 求 例7.化简（a,x>0）
(1) x 2 y 2 x
2 3
a3 x a 3 x a a
高一数学 必修一 2.1 2.1.1 指数与指数幂的运算
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9．已知 a＋a－1＝5，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；
(2)a12－a
1 2
.
解：(1)法一：由 a＋a－1＝5 两边平方得 a2＋2aa－1＋a－2＝25， 即 a2＋a－2＝23.
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法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
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1．化简( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3＝________. 解析：由题意得a－1≥0，即a≥1. ∴原式＝a－1＋|1－a|＋1－a ＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. 答案：a－1
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2．计算下列各式的值： (1) 3 －43； (2) 4 －92； (3) 6 3－π6； (4) 8 x－28.
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[例 3] 计算：
(1)2350＋2－2×214
1 2
－(0.01)0.5；
(2)2790.5＋(0.1)－2＋21207
2 3
－3π
0＋3478.
[思路点拨] (1)(2)直接利用分数指数幂的运算性质求解．
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[精解详析] (1)原式＝1＋14×4912－110012
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2．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ ar·br (a>0，b>0，r∈Q)．
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1．正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的 奇次方根只有一个．
2．根式n a的符号由根指数 n 的奇偶性及被开方数 a 的符号共同确定：①当 n 为偶数时，n a为非负实数；②当 n 为奇数时，n a的符号与 a 的符号一致．
2.1.1 指数与指数幂的运算(2)
指数幂不能随便约分．
自我检测
5 1.
a－2等于(
)
A．a-25
C．a25
答案：A
B．a52 D．－a52
2．[( 2)－1]2 等于( )
A．2
B．1
C．－ 2
1 D.2
答案：D
1
3．计算[(－ 2)2]2的结果是( )
A. 2 zxxkw
C.
2 2
B．－ 2
D．－
2 2
答案：A
4．(2 2)3×(3 3)3 等于( )
变式体验1
• 类型二 利用幂的运算性质化简、求值 • [例2] 计算下列各式：
• [分析] 由题目可获取以下主要信息：①分数指数 幂的概念与性质；②分数指数幂的四则运算．解答 本题时可先算乘方、开方，再算乘除，最后进行加 减运算． zxxkw
• [点评] 进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指 数幂的运算性质，并灵活运用，一般地进行指数幂 运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂， 化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
A．(6 6)3
B．6
C. 6
D．36
答案：A
互动课堂
• 典例导悟 • 类型一 根式与分数指数幂的互化 • [例1] 将下列根式化成分数指数幂的形式：
• [分析] 由题目可获取以下主要信息：本例三个小 题均含有根式．解答本题可将根式化为分数指数幂 形式，根据分数指数幂的运算性质求解．
m [点评] 此类问题应熟练应用a n ＝n am (a>0，m，n∈N*，且 n>1)．当所求根式含有多 重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数 指数幂写出，然后再用性质进行化简．
1．分数指数幂
《必修1》2.1.1指数与指数幂的运算
(
2)(m
1 4
n
3 8
)8
.
题1、计算： 3 2 5 12 3 2 2
n an ？a
a10 (a 0)
4
a12 (a 0)
分数指数幂 例：
思考：根指数不能整除被开方数的指数时还 能写成分数指数幂的形式吗？
分数指数幂
• 我们规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am (a 0, m, n N *, 且 n 1)
• 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意 义相仿，我们规定：
①ar·as =ar+s（a>0,r,s∈Q）； ②(ar)s =ars （a>0,r,s∈Q）； ③(ab)r =ar br （a>0, b>0,r∈Q）；
无理数指数幂：无 理理 数数 ）指 是数 一幂 个确aα（定a的>0实，数α是! 无
52
52
例2、求值：8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
立方根的概念： 如果一个数的立方等于a，那么这个 数就叫做a的立方根。
即：若x3=a，则x叫做a的立方根
立方根的表示：3 a （为任意有理数）
平方根与立方根的比较：
平方根
两个平方根， 正 数 他们互为相反
数
0
0
负数
没有
立方根
一个正的 立方根
0 一个负的 立方根
根式
• 根式的定义：一般地，如果xn=a，那么x叫 做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*。
;
16 81
3 4
2
变式：(8)3 ?
2.1.1 指数与指数幂的运算（二）
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
复习引入
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时，
复习引入
2. 根式的运运算性质： ① 当n为奇数时，
当n为偶数时，
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
2. 根式的运算性质：
出来，只见这个这件怪物儿，一边抽动，一边发出“吐哇”的怪音…………突然间女厨师Ｃ．娅娜小姐快速地念起哼哼唧唧的宇宙语，只见她碳黑色椰壳似的身材中 ，轻飘地喷出四十簇花瓣状的兔魂，随着女厨师Ｃ．娅娜小姐的旋动，花瓣状的兔魂像领带一样在四肢上陶醉地调弄出阵阵光钵……紧接着女厨师Ｃ．娅娜小姐又甩 起浓绿色南瓜一样的胸部，只见她弯曲的脖子中，飘然射出四十道吸管状的玉沫，随着女厨师Ｃ．娅娜小姐的甩动，吸管状的玉沫像口罩一样，朝着壮扭公主憨直贪 玩、有着各种古怪想法的圆脑袋飞劈过来。紧跟着女厨师Ｃ．娅娜小姐也疯耍着法宝像葫芦般的怪影一样朝壮扭公主飞晃过来壮扭公主忽然饱满亮润的脸怪异蜕变扭 曲起来……跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发窜出亮白色的丝丝疑烟……圆圆的极像紫金色铜墩般的脖子射出暗绿色的飘飘余寒！接着把无坚不摧的粗壮手指摆了摆 ，只见七道摇曳的美如钢筋般的绿雾，突然从如同天边小丘一样的鼻子中飞出， 随着一声低沉古 怪的轰响，浅橙色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的凹鸣死人味 在灿烂的空气中萦绕。紧接着饱满亮润的脸怪异蜕变扭曲起来……跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发窜出亮白色的丝丝疑烟……圆圆的极像紫金色铜墩般的脖子射出 暗绿色的飘飘余寒！最后摇起刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指一哼，威猛地从里面流出一道幻影，她抓住幻影奇特地一甩，一样红晶晶、蓝冰冰的法宝¤天虹娃娃笔 →便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边摇晃，一边发出“嘀嘀”的神声。……突然间壮扭公主快速地念起磨磨叽叽的宇宙语，只见她古古怪怪的紫晶色葡萄一样 的海光项链中，快速窜出二十道摆舞着¤天虹娃娃笔→的小妖状的铁饼，随着壮扭公主的转动，小妖状的铁饼像雄狮一样在四肢上陶醉地调弄出阵阵光钵……紧接着 壮扭公主又摇起反戴着白绿相间的牛头公主帽，只见她无坚不摧的粗壮手指中，变态地跳出四十缕耍舞着¤天虹娃娃笔→的金钩状的小星星，随着壮扭公主的摇动， 金钩状的小星星像玩具一样，朝着女厨师Ｃ．娅娜小姐歪斜的紫红色粉条一般的脑袋飞摇过去。紧跟着壮扭公主也疯耍着法宝像葫芦般的怪影一样朝女厨师Ｃ．娅娜 小姐飞旋过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道深灰色的闪光，地面变成了绿宝石色、景物变成了金橙色、天空变成了淡白色、四周发出了绝妙的巨 响……壮扭公主憨直贪玩、有着各种古怪想法的圆脑袋受到震颤，但精神感觉很爽！再看女厨师Ｃ．娅娜小姐矮小的犹如黄瓜似的腿，此时正惨碎成古猿样的粉红色 飞沫，狂速射向远方女厨师Ｃ．娅娜小姐横颤着疯速地跳
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4
B． a－1 D． 1 4 a－1
[答案] B
[解析] 要使原式有意义，则 a－1＞0 . 4 1－a ·
2
①
3 1 － (a － 1) 4 ＝ (a － 1)· (a － 1) 3 ＝ |1 － a|· a－1
－
3 4
＝(a－1)
1 4
＝ a－1.
4
随堂测评
1． 若 a＞0， 且 m， n 为整数， 则下列各式中正确的是( A．a ÷ a ＝a
1 －22＝(－2)3 3 x3y3＝xy4
2 2
)
4 3
(x＞0，y＞0)
1 －b 3
C． a －b
1 ＝a3
3 x y 1 － D. y＝(x) 3
(x≠0，y≠0)
[答案] D
5．若10x＝3,10y＝4，则10x－y＝________.
[答案] 3 4
x 10 3 x－y [解析] 10 ＝10y＝4.
m n
m n
)
B．am· an＝am＋n D．1－an＝a0－n
C．(am)n＝am＋n
[答案] B
2. a－2可化为( A．a
－
5
)
5 B．a2 5 D．－a2
2 5
2 C．a5
[答案] A
4 3．a5
的根式为(
4 4
) B． a5
5
A． a C．
5
4
a5
D．
a4
[答案] A
4．下列各式中正确的是( A． B． 6
规律总结： 在将根式化分数指数幂的形式时，关键
是分清指数中分子、分母的位置．
1
将下列根式与分数指数幂进行互化．
2 (1)a3
；(2)a
－
3 4
3 2 ；(3) a a(a＞0)；(4)x · x (x＞0)．
3
3
[解析]
3 － (2)a 4
2 (1)a3
＝ a2. .
1 · a6 1 ＝a 2
3
6．化简求值：
3 (1)8 5 1 b2 1 )· (a2 2 ×8 5
； (2)3 3 × 3 ×
3
6
2 3 ； (3)(a 3
1 b4
)
3
1 ； (4)(a 2
＋
1 －b2
)．
3 (1)85 2 ×85
3＋2
[分析] 灵活运用有理指数幂的运算性质化简求值．
[解析] ＝8
5
＝81＝8.
●课标展示 1 ．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互 化． 2 ．掌握指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求
值．
●温故知新 旧知再现 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 n 次方根，其中n>1，且n∈N*. 如果xn＝a，那么x叫做a的—
(2)a的n次方根的表示
n R ①当n是奇数时，a的n次方根表示为____ a ，a∈___. n [0，＋∞) . ②当n是偶数时，a的n次方根表示为± ____ a ，a∈________
4．计算
5 ； (1) －52＝____ 25 ； (2)( －52)2＝____ a－2 (3)( a－2) ＋ 2－a ＋ 2－a3＝________.
2 2
3
新知导学 1．分数指数幂
m n
1
n m n m m a ，a－ n ＝_____＝_____ a ，其中 a＞0， (1)意义：a ＝_____
(4) a n
n
n
n
n
a a≥0 ___ |a| ＝ ＝___ －a a<0 ______
(n 为大于 1 的偶数)．
3．正整数幂的运算法则(m，n∈N*，a>0，b>0)．
am＋n ； am· an＝________
m－n am a an ＝________；
amn (am)n＝________ ； ambm ； (ab)m＝________
2 · m3
＝(
2 B．m3 2 D．m9
)
4．已知 A．xy C．x63y
2
－
2 x＞0，y＞0，化简(x3
y
－
3 7
)21＝(
)
x14 B． y9
1 49
2 D．21x3
y
－
3 7
[答案] B
[解析] x14 y9 .
2 原式＝(x3 3 )21(y－7 2 )21＝x3 3 ×21y－7
×21＝x14y－9＝
2
化简下列各式： (1)2 3× 1.5× 12； 3 6
[解析] (1)2 3× 1.5×
3
6
1 12＝2×32
31 ×(2)3 ×(3×22)
1 6
3
3
有条件的求值问题
已知
1 a2
＋a
－
1 2
＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1； (2)a2＋a－2；
[分析] 解答本题可从整体上寻求各式与条件 联系，进而整体代入求值．
m，n∈N*，n＞1.
0 ,0 的 负 分 数 指 数 幂 (2)0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 _____ 没有意义 ． __________
(3)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数
有理数 指数． 推广到了_________
2．有理数指数幂的运算性质 r＋s r s a (1)a s ＝______(a＞0，r，s∈Q)； ars a＞0，r，s，∈Q)； (2)(ar)s＝_____( arbr a＞0，b＞0，r∈Q)． (3)(ab)r＝_____( [归纳总结] 三条运算性质的文字叙述： (1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
的值．
[解析]
①
又∵x＋y＝12，xy＝9， ∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. ∵x<y，∴x－y＝－6 3 将②③式代入①式得
②
③，
●误区警示 易错点一 利用有理数指数幂的运算性质进行运算时，忽
略了底数需大于 0
4
计算：[(－ 2) ]
－2 －
1 2
.
1 (－2)×(－2 )
(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘；
(3)积的乘方等于乘方的积．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的 ______ ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 实数 [知识拓展] 在引入分数指数幂的概念后，指数概念就实 现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展；在引入无理数指数
(3)根式 n 根指数 ， a 叫 做 a 式 子 ______ 叫 做 根 式 ， 这 里 n 叫 做 _________
被开方数 ． _________
2．根式的性质
0 n∈N*，且 n>1)； (1) 0＝___( a n∈N*，且 n>1)； (2)( a)n＝___( a n 为大于 1 的奇数)； (3) an＝___(
应如何化简？ (2)对于根式中含有多重根号的题目应如何处理？
1 1 41 1 1 1 16 2 2 [解析] (1)原式＝1＋4×(9) －(100) ＝1＋6－10＝15.
规律总结：1.幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂；
(2)化根式为分数指数幂；
(3)化小数为分数进行运算． 2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或 保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能 既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
根式与分数指数幂的互化
用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
4 (1) a· a； 3
2 3
3
(2) a a a； 3
(3) a · a ； (4)( a)2· ab3.
[分析] 行化简． 解决本题的关键是理解分数指数幂的意义，先将
根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性质进
[解析]
[错解]
[(－ 2) ]
－2
－
1 2
＝(－ 2)
＝－ 2.
[错因分析]
在利用有理数指数幂的运算性质进行运算时
忽视了底数大于0的条件．
[ 思路分析 ]
在应用有理数指数幂的运算性质进行运算
1 2
时，一定要注意底数必须大于0的数．
[正解]
[(－ 2) ]
－2
－
1 －1 ＝(2) 2 ＝ 2.
易错点二 略了底数需相同
5
利用有理数指数幂的运算性质进行运算时，忽
6 化简： a· －a. 3
3
1 6 a· －a＝a3 · (－a) 1 6 1 ＝－a3
＋
[错解]
1 6
1 ＝－a2
＝ a.
[错因分析]
该解法中在利用有理数指数幂的运算性质进
行运算时，忽视了底数必须相同的条件．
[思路分析]
很显然 －a有意义，则－a≥0，即 a≤0，所
＝
1 4
a3 .
(3) a
3
3
1 a＝a3
11 3 2 3 2 (4)x · x ＝x · x3 ＝x 3
2
2
利用分数指数幂的运算性质化简求值
3 (1) 计 算 ： (2 5
) ＋2
0
－2
1 · (2 4
)
－
1 2
－ － (0.01)0.5 ＝
________.
[分析]
(1)对于指数幂中指数、底数是负数，或是小数的
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