4.1.1 分数指数幂
课件2：4.1.1 n次方根与分数指数幂
[解]
4 (
(x－1))4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0， ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
名师提醒 有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被 开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当 根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开 方数或被开方的表达式的正负．
题型三 有限制条件的根式化简 典例 3 设 x∈[1,2]，化简(4 x－1)4＋6 x2－4x＋43.
[解]
4 (
x－1)4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0. ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
变式 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件 不变，化简求值．
2．若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是________．
[解析] 要使4 x－2有意义，则需 x－2≥0，即 x≥2. 因此实数 x 的取值范围是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞)
题型二 简单根式的化简与求值 典例 2 化简下列各式： (1) 5 －25；(2) 4 －104； (3) 4 －92；(4) 4 a－b4.
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标 1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 2．正确运用根式运算性质化简、求值． 3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
要点梳理 1．根式的概念 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ，其 中 n>1，且 n∈N*. (1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号
数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
（）
⋅ ； （） · .
解： (1) ⋅ = ⋅ = ；
(2) ⋅ =
⋅ =
= .
巩固练习
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8 8
（1）(2a b )(6a b ) ( 3a b )；（2）(m n ) ；
课堂检测：
3
2
1．将 5 写成根式的形式，正确的是 ( D )
5 3
3 2
3
A. 5
B.
5 C．
D. 53
2
4
2．计算 （－5）4的结果是 ( A )
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
1
3．若 a< ，则化简 （4a－1）2的结果是 ( B )
4
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
⟹幂的乘方，底数不变，指数相乘
⟹积的乘方，等于积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘
5.分数指数幂的运算性质
注意：①法则的逆用： ①+ = > , , ∈
② =
③ =
=
= ；
=
法二：
−
法三：
−
−
4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
4.1.1n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人教A版
思考 6►►► n an表示 an 的 n 次方根，n an＝a 一定成立吗？如果不一定成立，那 么n an等于什么？ 【解析】 不一定成立，当 n 为奇数时，n an＝a； 当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－，a，a≥a0<，0.
内容索引
例 1 求下列各式的值：
(1) 3 －83； 【解析】 3 －83＝－8. (2) －102；
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
内容索引
学习目标 活动方案 检测反馈
内容索引
1. 了解n次方根的概念及其性质. 2. 了解根式的概念及其性质. 3. 理解分数指数幂的定义，把握分式与负整数指数幂、根式与正 分数指索引
此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方部分化为完全平 方的形式，结合根式性质求解．
内容索引
例3中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？ 【解析】 原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|. 因为 x≤－3，所以 x－1≤－4，x＋3≤0， 所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
内容索引
活动五 分数指数幂
思考 7►►► 根据 n 次方根的定义和数的运算，我们知道
5 a10＝5
10
a25＝a2＝a 5
(a>0)，
4 a12＝4
12
a34＝a3＝a 4
(a>0)．
从以上式子中，你能总结出怎样的规律？
【解析】 这表明，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根 指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．
【解析】 由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数 指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂， 即：
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)(6)
- ≤ ,
所以需满足
解得 a∈[-3,3].
+ ≥ ,
答案:(1)-2
(2)[-3,3]
实数指数幂的扩充
复习回顾
1.计算下列各式，并指出它们是哪一类计算
1
2
2
3
1
2
an
1
2
a a
4
1
2
a
n N
2.正整数指数幂：
rs
r
r
a r a
（5）
（ ）= r
b
b
r
(a 0, b 0, r , s Q)
(a 0, b 0, r , s Q)
n N
nZ
a
n
正整数指数幂
整数指数幂
分数指数幂
n Q
有理数指数幂
nR
实数指数幂
根式与分数指数幂的互换(其中字母都为正数)
5
4
3
a a;
3
3
2
3
a 4b 2 a b a
11
6
4
3
b .
Topic. 03
03 课堂小结
课堂小结
无理数指数幂
2. 计算下列各式．
7 0.5
10 2
2
2
37
－
(1) 9 ＋0.1 2＋ 27 3－3π0＋ ；
48
－
1
2 2
－ 2
×（ 2 2） 3
(2) 2
2
2
.
25 1
64 2
37
(1)原式＝ 9 2＋102＋ 27 3－3＋
4.1.1分数指数幂概念
4.1.1 分数指数幂【明确目标】1.理解分数指数幂的概念.2.会对根式、分数指数幂进行互化. 3．培养学生用联系观点看问题. 【自主学习】 1．根式 (1)定义：若（，n>1），则称x 为a 的n 次实数方根．当n=2，n=3时．X 2=4,则x 的平方根是 算术平方根是 x 3=8则x 的立方根是若n 为奇数，用符号 表示a 的n 次方根，这时．若n 为偶数，则要求a ≥0，用符号 表示a 的n 次方根． (2)性质①当n 为任意正整数时，(n a )n =②当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n n a = =.③当a ≠0时， a 0= a -n=3．观察当a ＞0时①51025101052)(a a a a a ==⇒=②31243121234)(a a a a a ==⇒= 2．正数的正分数指数幂的意义n m nm a a = (m ,n ∈N *,且n ＞1)注意：⑴分数指数幂是根式的另一种表示形式；⑵根式与分数指数幂可以进行互化.⑶当n 是奇数时a ∈R ； 当n 是偶数时a ≧0另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定： (1)nm nm aa1=- (a ≠0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 【合作探究】例1用根式的形式表示下列各式： ① ② a 53 ③ a 23-例2用分数指数幂的形式表示下列各式： ①32x ②34a ③531a【拓展训练】 1.填空.① 43)(b a +(式中a ＞0)=②③ a 54_写成根式的形式为 ④ 根式化a a -为分数指数幂为 ⑤ 计算()23π-= ⑥ 若a ∈R 则① a-n=na1 ②a a =33③2a =a ④313a a = ⑤ a 0=1恒成立的有2． 求下列各式的值： ① 832 ②10021_ ③ (-27)-34 ④ 43_)8116(3.解下列方程 ⑴ 151243=-x ⑵ 1634=x4．①(a-b)0=1,(a-b)-1=ba -1恒成立吗？②如何将根式写成分数指数幂的形式？【要点归纳】： 1.(1)若（，n>1），则称x 为a 的n 次实数方根． 若n 为奇数，用符号表示a 的n 次方根，这时．若n 为偶数，则要求a ≥0，用符号表示a 的n 次方根．(2)性质：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a. ②当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ③当a ≠0时， a 0=1 a -n=na 12．正数的正分数指数幂的意义：n m nm a a = (m ,n ∈N *,且n ＞1)3.规定：(1)nm nm aa1=-(a ≠0，m ,n ∈N *,且n ＞1)()=-447()=-557。
4.1.1n次方根与分数指数幂 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
a (为无理数)
p
1
q
a
p
如 : 5 2 ,3
3
a 1
0
实数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈R)：
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
a
n N
n个
其中a是底数，n是指数，an是幂
(0指数幂 ) a 0 1
(负整数指数幂 ) a
( a 0)
n
1
n
a
(a 0,n N )
2、运算性质
(1)a m a n a m n
( 2)( a m ) n a mn
( 3)( a b ) n a n b n
(3). 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
5.有理指数幂的运算性质;
作业： (1)课本P96 , 习题3.4
T 1，2
(2)做完《一线课堂》对应习题
谢谢
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：
4.1.1分数指数幂
明
概念
a
m n
1
n
说
m
有意义，且 a 0 ，
a
明
m、n N且n ＞1
强调演示
巩固知识
典型例题
3 （2） a 5
3 2
例 1 将下列各分数指数幂写成根式的形式
4 （1） a 7
；
； （3） a
．
例 2 将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1） x ； （2） a ； （3）
(2)
3 ； 4
(3)
1
7
a4
；
(4) 4 4.35 ．
习 2．将下列各分数指数幂写成根式的形式：
(1) 4
3 5
；
3 （ 2） 32
；
(3)4) 2 4
．
解决问题
复习引入
如果x2=9，则x= ±3 ；x叫做9的 平方根 .
如果x2=5，则x=
5 ；x叫做5的
平方根 .
如果x3=8，则x= 2 ；x叫做8的 立方根 .
如果x3=-8，则x= -2 ；x叫做-8的立方根 .
2 x a ，那么 x a 叫做 a 的平方根（二次方 如果
归 3 x a ， a a 根） ，其中 叫做 的算术平方根；如果 纳
1． 读出下列各根式，并计算出结果． （1） 3 27 ； （2） 25 ； （3） 2． 填空： （1）12 的 4 次算术根可以表示为 被开方数为 ； ，根指数为 ， ，根指数为 ，
4
81 ；
（4） 3 8 ．
（2）-7 的 5 次方根可以表示为 被开方数为 ；
知识回顾
计 算
3
复习引入
学案2：4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.1n次方根与分数指数幂学习目标：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．学习重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系．学习难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.na n与(na)n的区别与联系．知识导学知识点一根式的定义(1)a的n次方根的定义：一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示①当n是奇数时，a的n次方根表示为na，a∈R；②当n是偶数时，a的n次方根表示为±na，其中－na表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．(3)根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．知识点二根式的性质(1)(na)n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n＞1)．(2)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a(n为奇数，且n＞1)，|a|(n为偶数，且n＞1).知识点三分数指数幂的意义(1)a mn＝na m，a－mn＝1amn＝1na m(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂．知识点四有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝(a>0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a>0，b>0，r∈Q)．新知拓展1.na n与(na)n的区别(1)na n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，na n＝a；当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.2.分数指数幂的理解(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a mn不可理解为mn个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．(2)把根式na m化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5)23＝3(－5)2有意义，但(－5)34＝4(－5)3就没有意义．评价自测1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为32＝9，所以3是9的平方根．()(2)当n∈N*时，(n－16)n都有意义．()(3)(3－π)2＝π－3.()2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)用根式的形式表示下列各式(a>0)：①a 15 ＝________；②a 34＝________； ③a －35 ＝________；④a －23＝________.(2)将下列根式写成分数指数幂的形式(其中a >b >0)． ①5(a －b )7＝________；②4(a 2－b 2)3＝________； ③4a 2b －ab 2＝________；④4(a 2－b 2)2＝________. (3)若n 为偶数时， n(x －1)n ＝x －1，则x 的取值范围为________．核心素养题型一 根式的概念 利用根式的性质化简例1 (1)①16的平方根为________，－27的5次方根为________； ②已知x 7＝6，则x ＝________；③若4x －2有意义，则实数x 的取值范围是________； (2)化简：①n(x －π)n (x <π，n ∈N *)；②4a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 金版点睛1.判断关于n 次方根的结论应关注的两点 (1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号． 2.根式化简求值解题思路解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答.跟踪训练1 (1)下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102 C.210 D ．±102(3)化简下列各式： ①3－27；②(3－9)3；③ (a －b )2.题型二 根式与分数指数幂的互化例2 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( ) A.－4x ＝(－x )14 (x >0)B.x － 15 ＝－5x (x ≠0)C.⎝⎛⎭⎫x y －34 ＝4⎝⎛⎭⎫y x 3(xy >0) D.8y 2＝y 14 金版点睛根式与分数指数幂互化依据(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a m n＝n a m和a － mn ＝1a m n＝ 1n a m ，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.跟踪训练2 用分数指数幂表示下列各式： (1) 3ab 2(ab )3(a >0，b >0)； (2)13x (5x 2)2(x >0)．题型三 多重根式的化简 例3 化简： 3＋22＋ 3－2 2.金版点睛 形如 m ±2n (m >0，n >0)的双重根式，一般是将其转化为(a ±b )2的形式后再化简．由于(a ±b )2＝a ＋b ±2ab ，因此转化的方法就是寻找a ，b ，使得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝m ，ab ＝n ，即a ，b 是方程x 2－mx ＋n ＝0的两个根．如化简2－3，首先化为m －2n 的形式，即4－232，解方程x 2－4x ＋3＝0，得x ＝3或x ＝1，则4－23＝(3－1)2，所以2－3＝4－232＝(3－1)22＝3－12＝6－22. 跟踪训练3 化简： 5＋26－6－42＋7－4 3.随堂水平1.已知x 5＝6，则x 等于( ) A ． 6 B ．56 C ．－56 D ．±56 2.下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4a 4＝a C.22＝2 D.3(－2)3＝23.若64a 2－4a ＋1＝31－2a ，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 4.计算下列各式的值： (1)3－53＝__________；(2)设b <0，则(－b )2＝__________. 5.计算： (e ＋e －1)2－4＋(e －e －1)2＋4(e≈2.7)．参考答案知识导学知识点三 分数指数幂的意义 (2)0 没有意义知识点四 有理数指数幂的运算性质 (1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r 评价自测1.【答案】(1)√ (2)× (3)√2.【答案】(1)①5a ②4a 3 ③15a 3 ④13a2(2)①(a －b ) 75 ②(a 2－b 2) 34 ③(a 2b －ab 2) 14 ④(a 2－b 2) 24(3)x ≥1核心素养题型一 根式的概念 利用根式的性质化简 例1 (1) (1)【答案】①±45－27 ②76 ③[2，＋∞)【解析】①∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27. ②∵x 7＝6，∴x ＝76.③要使4x －2有意义，则需x －2≥0，即x ≥2.因此实数x 的取值范围是[2，＋∞)． (2)解：①∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时， n (x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时， n(x －π)n ＝x －π.综上，n(x －π)n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.②∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|＝1－2a .跟踪训练1 (1)【解析】①16的4次方根应是±2；②416＝2，③④正确． 【答案】B(2)【解析】∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2 的10次方根有两个，且互为相反数， ∴m ＝±102.【答案】D(3)解：①3－27＝3(－3)3＝－3. ②(3－9)3＝－9. ③(a －b )2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )，b －a (a <b ).题型二 根式与分数指数幂的互化 例2 【答案】 C【解析】 对于A ，－4x ＝－x 14 ，所以A 错误；对于B ，x － 15 ＝15x ，所以B 错误；对于C ，⎝⎛⎭⎫x y －34 ＝ 4⎝⎛⎭⎫y x 3(xy >0)，所以C 正确；对于D ，8y 2＝|y | 14 ，所以D 错误． 跟踪训练2题型三 多重根式的化简 例3 解：解法一： 原式＝ (2)2＋22＋1＋(2)2－22＋1＝(2＋1)2＋(2－1)2＝ 2＋1＋2－1＝2 2.解法二：令x ＝3＋22＋3－22，两边平方得x 2＝6＋29－8＝8.因为x >0，所以x ＝2 2. 跟踪训练3 解：原式＝(3＋2)2－(2－2)2＋(2－3)2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2. 随堂水平 1.【答案】B【解析】由根式的定义知，x 5＝6，x ＝56，选B. 2.【答案】C【解析】由于(－3)2＝3，4a 4＝|a |，3(－2)3＝－2，故A ，B ，D 错误. 3.【答案】D【解析】∵64a2－4a＋1＝6(2a－1)2＝6(1－2a)2＝31－2a，∴1－2a≥0，即a≤12.4.【答案】(1)－5(2)－b【解析】(1)3－53＝－353＝－5.(2)∵b<0，∴－b>0，∴(－b)2＝－b.5. 解：原式＝e2＋2＋e－2－4＋e2－2＋e－2＋4＝(e－e－1)2＋(e＋e－1)2＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.。
高数数学必修一《4.1.1n次方根与分数指数幂》教学课件
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
人教版数学必修一4.1.1分数指数幂
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
21Байду номын сангаас
11
15
(1)(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25
a2
(2)
(a 0)
a 3 a2
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 a ( >0, 是
an 1 (a 0) an
am an amn ; (am )n amn
(an )m amn , (ab)n anbn
• 2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
10
8
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 a8 (a4 )2 a4 a 2
12
10
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
1
1
1
1
a2 (1) 1
b2
1
a2 1
b2
1
a2 b2 a2 b2
(2)(a 2 2 a 2 ) (a 2 a 2 )
3、已知x x1 3，求下列各式的值
1
1
(1)x 2 x 2
1
1
(2)x 2 x 2
4、化简 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4的结果是（C）
A.a16 B. a8 C. a4 D. a2
3、n次方根的性质
①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
记作：x n a .
4.1.1 n次方根与分数指数幂-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
= =
=___________________(a>0)
= =
也就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除
时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
思考 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示
为分数指数幂的形式呢？
事实上，任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式，例如：
其中n>1，且n∈N*.
2. n次方根的性质
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是
一个负数. 这时，a的n次方根用符号 表示. 例如，
= , − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.
正的n次方根用 表示，负的n次方根用− 表示. 两者也可以合并成
± (a>0). 例如， = , − = −, ± = ±
【3】 负数没有偶次方
根. 【4】 0的任何次方根都是0.记
作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
3. 根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
①当n为奇数时， =
②当n为偶数时， = =
思考
和
, ≥ ,
−, < ,
有什么区别？
是实数an的n次方根，不受a的正负限制. 但是受n的奇偶限
制. 本质算法是先乘方，再开方. 结果不一定等于a，
数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件(1)
规定了分数指数幂的写法
正分数指数幂
负分数指数幂
m
n
a a (a 0, m, n N *, 且n 1)
a
m
n
m
n
1
a
m
n
1
n
a
m
(a 0, m, n N *, 且n 1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
整数指数幂
有理数指数幂
分数指数幂
有理数指数幂的运算性质
-8的3次方根是-2.
(-2)5=-3
-32的5次方根是-2.
27=128
128的7次方根是2.
奇次方根
(1).正数的奇次方根是一个正数,
(2).负数的奇次方根是一个负数.
a的n次(奇次)方根用符号 a 表示.
n
72=49
(-7)2=49
34=81
(-3)4=81
26=64
(-2)6=64
偶次方根
(正整数指数幂)a n a a a
a
n N
n个
其中a是底数，n是指数，an是幂
(0指数幂 ) a 0 1
(负整数指数幂 ) a
( a 0)
n
1
n
a
(a 0,n N )
2、运算性质
(1)a m a n a m n
( 2)( a m ) n a mn
解:
3
(1) (﹣8)3＝﹣8
(2) (﹣10)2＝|﹣10|
4
(3) (3﹣π)4＝|3﹣π| ＝π﹣3
a﹣b ，a≥b.
(4) (a﹣b) ＝|a﹣b| ＝
4.1.1n次方根与分数指数幂.高中数学人教A版必修一
等于其绝对值.
4.填空 性质(当n>1，n∈N*时)：
(1)(n a)n＝__a___； (2)n an＝a_， __|a_n_|为_，奇n数为，偶数.
温馨提醒 (1) n an是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶限制，但这个式子的 值受 n 的奇偶限制.
4.若 a>0，将
1
A.a2
7
C.a6
a2 表示成分数指数幂，其结果是( C )
a·3 a2
5
B.a6
3
D.a2
解析 由题意得
a2
11 7
＝a2－2－3＝a6.
a·3 a2
5.(多选)下列说法正确的是(CD )
A.4 81的运算结果是±3 B.16 的 4 次方根是 2
C.当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时才有意义
3 a2
解 (1) 1 ＝ 12＝a－23. 3 a2 a3
4
(2)
ab23＝ba3214＝b34a－24＝a－12b34.
2
2 11
(3)a3·3 a2＝a3·a3＝a3＋3＝a 3 .
题型三 有理数指数幂的运算
例3 计算或化简下列各式：
1
(1)(3 2× 3)6－41469－2－4 2×80.25－(－2.015)0；
4.
3.填空 (1)分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：amn＝__n_a_m___ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)
分数 指数 幂
负分数指数幂
1
规定：a－mn ＝__a_mn____＝n
4.1.1n次方根与分数指数幂导学案
4.1.1 n 次方根与分数指数幂导学案1．经历n 次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式性质，提升数学抽象核心素养． 2．了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化．3．理解有理数指数幂的意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．教学重点：根式与有理数指数幂的意义及其运算性质．教学难点：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质．一、复习初中学习的整数指数幂的概念和运算性质1.正整数指数幂的定义:=⋅⋅an a a a 个 ,其中∈n N*. 2.正整数指数幂的运算法则:（1）=⋅nma a (∈n m ,N*); （2）=÷nma a （,,0n m a >≠且∈n m ,N*）; （3）()=nma (∈n m ,N*); （4）()=mab (∈m N*);（5）=⎪⎭⎫⎝⎛mb a （,0≠b ∈m N*）.3.两个规定（1）=0a ）（0≠a . 零的零次幂没有意义. （2）=-na）（0≠a . 零的负整指数幂没有意义.（一）创设情境，引入新知如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c 与S 的关系是？c = =思考：我们对指数幂的认识从整数指数幂，拓展到像 21x 这样的分数形式的指数幂， 什么是分数指数幂？分数指数幂有哪些性质呢？（二）新知探究1．类比归纳，形成n 次方根的定义教学目标◆教学重难点 ◆◆课前准备◆教学过程322a ； 3aa ．跟踪训练2：化简 A.[2，＋∞) B ．[2,4)∪(4，＋∞) C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)2．下列各式正确的是( )A ．3a = B ．47=-C ．5||a =D a =3．324-可化为( )A ．8B ．432 C ．18D ．342。
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
1
3
(y＜0)；
无理数指数幂：
因为12 = 1 < 2，所以1 < 2；
因为1.12 = 1.21 < 2，所以1 < 1.1 < 2；
因为1.112 = 1.2321 < 2，所以1 < 1.1 < 1.11 < 2；
⋯
从而产生了一串逐渐向 2靠近的数：1, 1.1, 1.11, 1.111, ⋯
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
5
3
3
5
4 4 ;
3
5
3
7 7 ;
5
2
3
3
a a ;
7
a a .
2
9
9
7
43的5次方根是
3
5
4 ;
75的3次方根是
a2的3次方根是
a9的7次方根是
5
3
7 ;
2
3
a ;
9
7
a .
结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.
综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
a b
b a, a b.
解题方法（根式求值）
(1)化简
时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后依据根式
的性质进行化简;化简(
意义,则(
)n 时,关键是明确
是否有意义,只要
)n=a.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注
意字母参数的取值范围,即确定
中a的正负,再结合n的
奇偶性给出正确结果.
有
[跟踪训练一]
1. 化简：
n
(1) x－πn (x＜π，n∈N*)；
4.1.1n次方根与分数指数幂(教学课件)—— 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
为什么负数没有偶
次方根？
一般地，如果x a，那
n
么x叫做a的n次方根( nth root )，
其中n 1，且n N
式子 a叫做根式(radical )
n
n 根指数，a 被开方数
例(1)27的立方根是
;16的4次方根是
(2)已知x6=2 019,则x=
____(
_____
> ,
=
____
> , , ∈ ∗ , > )
> .
分数指数幂
规定正数的正分数指数幂的意义是：
=
> , , ∈ ∗ , >
所以，在条件 > , , ∈ ∗ , > 的下，根式都可以写成分数指数
质推广到有理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值。（重点）
● 3. 通过具体的实例，说明n次根式表示为分数指数幂的过程中，保证指数幂的运算性质
仍然成立，说明了其合理性。（难点）
核心素养：
● 1.理解n次方根、根式的概念；理解分数指数幂的意义，培养学生数学抽象的核心素养。
● 2.通过分数指数幂的运算性质的推导，培养学生逻辑推理的核心素养。
第4章 指数函数与对数函数
4.1 指数 - 4.1.1 n次方根与分数指数幂
n次方根
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
x a;
n
x a
n
x a.
n
(当n是奇数)
(当n是偶数,且a＞0)
4.1.1分数指数幂
3
；
（2） 3 2 ；
(3) (8)
3
；
(4) 1.2 4 ．
【合作探究】
【反思总结】你觉得这节课哪里最难懂？ 【作业练习】练习册 77 页
问题 3 计算：
【巩固运用】
1 将下列各分数指数幂写成根式的形式：
4 3
一般地、 如果 x 2 a ，那么 ____________ 叫做 a 的平方根（二次方根） ，其中 a 叫做 a 的
___________；如果 x a ，那么 x a 叫做 a 的_____________（三次方根） ．
（1） a 7 = （3） a
3 2
（2） a 5 =
问题 2; 一般地，如果 x n a (n N+且n ＞ 1） ，那么 x 叫做______________．
（1）当 n 为________时，正数 a 的 n 次方根有两个，分别表示为_______和_______,其中 n a 叫做 __________；零的 n 次方根是_____；负数的 n 次方根没有意义． 例如，81 的 4 次方根有两个,它们分别是 3 和-3,其中 3 叫做 81 的 4 次算术根，即 4 81 3 ． （2）当 n 为_________时，实数 a 的 n 次方根只有一个，记作 n a ． 例如， 32 的 5 次方根仅有一个是-2 ， 即 5 32 2 ． 形如 n a ( n N +且n 1 )的式子叫做_________，其中 n 叫做_______， a 叫做___________ 1． 读出下列各根式，并计算出结果： （1） 3 27 ； 2． 填空： （1）25 的 3 次方根可以表示为 （2）12 的 4 次算术根可以表示为 （ 3 ） -7 的 5 次方根可以表示为 （4）8 的平方根可以表示为 ，其中根指数为 ，其中根指数为 ，其中根指数为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ，被开方数为 ，被开方数为 ，被开方数为 ； ； ； （2） 25 ； （3）
高中数学教师资格证面试教案：4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计
（1）()33-2；（2）()24-3；（3）()883-π； （4）()72272x xy y y x -++-. 【分析】 根据根式运算性质即可得出答案.解：（1）()33-2=-2；（2）()2244-3=3=3；（3）()883-π=|3-π|=π-3；（4）原式=()()722272=x xy y y x x y y x x y y x -++--+-=-+-， 当x ≥y 时，原式=x -y +y -x =0；当x <y 时，原式=y -x +y -x =2（y -x ）.所以原式=()02,.x y y x x y ≥⎧⎨-<⎩，解题技巧：（根式求值） （1）化简时,首先明确根指数n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简()n时,关键是明确是否有意义,只要有意义,则()n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定中a 的正负,再结合n 的奇偶性给出正确结果. 变式训练：若()()2332112a a -=-，则实数a 的取值范围为________.解：()()2332121,1212a a a a -=--=-，因为2112a a -=-，师生共同完成 师生共同总结生独立完成生独立完成生独立完成学生总结通过特殊问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。
感受由特殊到一般的思想方法，发展逻辑推理能力巩固所学知识检查公式的掌握情况培养学生的独立思考能力，总结归纳的能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10
（3）式子(a－b)－4 ＝
问题1：观察
5
12 ， a10 a 2 , 4 a a3
结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？
a 10 a
5
10 5
a 2 , 4 a 12 a
12 3
a4
问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？
a 3 a12 _______ (4) a ______, a ；
5 10
2
4
2 3 3 3 (5) （ 2） ____, ( 3) _____; 2
5 . 4 4 54 ______ (6) ( 4) 2 _____,
一、正整数指数幂
一般地，a n（n N＋）叫做 a 的 n 次幂．
. -2 ；x叫做8的 立方根（三次根式）
一般地，如果 x n a(n N *且n 1), 那么x叫做a的n次方根 .
问题2：如果x n a, 那么x怎样表示？对 a有要求吗？
当n是偶数时，正数a的n次方根用符号± n a 表示. 当n是奇数时，实数a的n次方根用符号 n a表示；
例1.求下列各式的值
（ 1） (8) ;
3 3
(2)
(10)2 ;
(3)
4
(3 )4 ;
3 3
(4)
(a b)2 (a b).
解 ： 1
8 = -8; 2 2 10 | 10 | =10; 4 4 3 3 | 3 | 3; 2 | a b | a b a b . 4 a b
第四章 指数函数与对数函数
4.1实数指数幂
4.1.1 分数指数幂
授课教师：游彦
如果x2=9，则x= 如果x2=5，则x= 如果x3=8，则x= 如果x3=-8，则x=
±3；x叫做9的 平方根（二次根式） .
5 ± ； x叫做5的 平方根（二次根式） .
2 ；x叫做8的
立方根（三次根式） .
零的n次方根是零。
（1）求81的4次方根和-32的5次方根
4
81 3
5
32 2
4 81 3
（2）用根式表示12的4次算术根，并指出其中的 根指数与被开方数.
根指数
4
12
被开方数
当n是偶数时，正数a的n次方根用符号± n a 表示. 当n是奇数时，实数a的n次方根用符号 n a表示；
4
5
(2) 2;
2 2 2
⑵ （ 3 ） [ ( 3) ] 9 9;
(3) （ 2 3 ） | 2 3 | 3 2;
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 ） 3 2.
2
如：
3
a 2 a 是否可行？
2 3
分数指数幂的意义:
根指数
a
a
m n
=
1 a
m n
n
a
n
m
被开方数的指数
（m、n∈N*,n>1）
a
m n
?
m n
m n
1 am
a 1
0
当a 有意义，a 0, m, n N , n 1
例题分析
例1 将下列各分数指数幂写成根式的形式：
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①
④ ).
①
③
5 5
4 5
16 2
5
5
② ( 3) 3
( 3) 3
10
④ ( 3) 3
⑤
4
( 3) 3
4
【2】求下列各式的值.
⑴ 32;
5
⑵ （ 3）;
4
⑶ （ 2 3）;
2
⑷ 5 2 6.
5
解: ⑴ 5 32
零的n次方根是零。
形如 n a 的式子叫做a的n次根式， 其中，n叫做根指数，a叫做被开方数。
4 5 32 ______ 2 ； (1) 3 64 ______,
2 2 (2) 4 ______, 4 ______;
6 ； 5 3 (3)( 4 3)4 ______,( 6)5 ______
(1) a
4 7
(2)a
3 5
(3)a
3 2
例2 将下列根式写成分数指数幂等形式：
(1) x
3 2
(2) a
3
4
(3)
1
5
a3
a ?
3
a ?
1 2
a
?
练习
1、求值：
2、用分数指数幂的形式表示下列各式：
a
3
a ；a
2
3
a
2
；
a
3
a
1.平方根，立方根，n次根式； 2.分数指数幂的意义； 3.分数指数幂与根式的互化。
8
a n a a a 指数（nN＋）
底数 规定： a 1＝ a ．
二、零指数幂 a 0 ＝ 1（a ≠ 0 ）
9
练习2
（1）8 0 ＝
；
；
（2）(－0.8 ) 0 ＝
（3）式子 ( a－b ) 0 ＝1 是否恒成立？为什么？
三、负整数指数幂 a－1 ＝ 1 （ a ≠ 0） a a－n ＝ 1n （a ≠ 0，n N＋ ) a 练习3 （1）8－2 ＝ （2）0.2－3 ＝ ； ； 1 是否恒成立？为什么？ 4 (a－b)