2018-2019学年江西省南昌二中九年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年江西省南昌二中九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）在下列实数中：﹣5、、2、0，最大的数是（）A．﹣5B．C．2D．02．（3分）澳大利亚昆士兰大学的科学家在海底深处，发现了一种世界上最小的神秘生物，这种比细菌还要小的生物，身体非常小，计算单位要用0.000000001米．将数字0.000000001用科学记数法表示应为（）A．10×10﹣10B．1×10﹣9C．0.1×10﹣8D．1×10﹣103．（3分）如图是由一些相同的小立方体组成的几何体的三视图，小立方体的个数是（）A．7个B．6个C．5个D．4个4．（3分）下列运算正确的是（）A．a3+2a3＝3a6B．2a3﹣a2＝aC．2a2•3a3＝6a6D．2ab6÷（﹣2ab2）＝﹣b45．（3分）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（）A．2B．C．D．16．（3分）关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（）A．开口向上B．当a＝2时，经过坐标原点OC．抛物线与x轴无公共点D．不论a为何值，都过定点二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）计算：﹣1﹣3＝．8．（3分）如图，AB、CD是互相垂直的小路，它们用BE、EF、FC连接，则∠ABE+∠BEF+∠EFC+∠FCD＝度．9．（3分）《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步．现不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，则要走多少步才能追上（两人步长相等）？设善于走路的人走x步可追上，则可列方程为．10．（3分）如图，正方形ABCD中，AE＝BE＝3，BF＝2，平移线段EF，使E，F两点同时落在正方形的边上，则平移的距离为．11．（3分）已知实数a，b满足a2﹣a﹣6＝0，b2﹣b﹣6＝0（a≠b），则a+b＝．12．（3分）△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，∠B＝90°，点D在AB上，BD＝，点P在△ABC的边上，则当AP＝2PD时，PD的长为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）化简：；（2）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D；③过C作CF∥AB交PQ于点F．求证：△AED≌△CFD．14．（6分）解不等式组：．15．（6分）某校举行数学竞赛，对获一等奖的学生奖励数学家的著作《好玩的数学》，对获二等奖的学生奖励创意学生笔记本，若网购《好玩的数学》14元/本，创意学生笔记本12元/本，若《好玩的数学》数量比创意学生笔记本的数量的一半多5本，买两种奖品共用了1020元，购买两种奖品的数量各是多少本？16．（6分）某市中考必须在历史、地理、生物三门学科（分别用L、D、S表示）中随机抽考一门进行升学考试．（1）用列举法写出连续两年抽考的情况；（2）求连续两年抽到相同学科进行升学考试的概率．17．（6分）如图，点A、B、C是4×4网格上的格点，连接点A、B、C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，在AC上找一点M，使S△BCM＝S△ABC；（2）在图2中，在△ABC内部（不含边界）找一点N，使S△BCN＝S△ABC．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB的一条直角边OA在x轴的正半轴上，点B在双曲线y ＝（k≠0）上，且∠BAO＝90°，S△AOB＝2．（1）求k的值及点A的坐标；（2）△OAB沿直线OB平移，当点A恰好在双曲线上时，求平移后点A的对应点A'的坐标．19．（8分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题：收集数据（1）若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有．（只要填写序号即可）①随机抽取两个班级的96名学生；②在全年级学生中随机抽取96名学生；③在全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；④从全年级学生中随机抽取96名男生．整理数据（2）将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下．请根据图表中数据填空：①C类和D类部分的圆心角度数分别为、；②估计全年级A、B类学生大约一共有名．成绩（单位：分）频数频率A类（80～100）0.5B类（60～79）0.25C类（40～59）16D类（0～39）8分析数据（3）学校为了解其它学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：学校平均数（分）极差（分）方差A、B类的频率和第一中学71524320.75第二中学71804970.82你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个合理解释来支持你的观点．20．（8分）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形．若显示屏AO 与键盘BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO，此时点P为最佳视角，点C在OB的延长线上，PC⊥BC，BC＝12cm．（1）当P A＝45cm时，求PC的长；（2）当∠AOC＝120°时，点P在（1）中线段PC长是增大还是减小？请通过计算说明，并求出变化的值（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）．五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AE是弦，OG⊥AE与点G，交⊙O于点D，连结BD交AE于点F，延长AE至点C，连结BC．（1）当BC＝FC时，证明：BC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径r＝5，当tan A＝，求GF的长．22．（9分）如图，已知二次函数L1：y＝ax2+2ax+a﹣2（a＞0）和二次函数L2：y＝﹣a（x﹣2）2+2（a＞0）图象的顶点分别为M、N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边），（1）函数y＝ax2+2ax+a﹣2（a＞0）的顶点坐标为；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，x的取值范围是；（2）当AD＝MN时，求a的值，并判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；（3）当B，C是线段AD的三等分点时，求a的值．六、（本大题1小题，12分）23．（12分）我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做“邻对等四边形”．概念理解（1）下列四边形中属于邻对等四边形的有（只填序号）；①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形；②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形；③顺次连接矩形各边中点所得的四边形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形；性质探究（2）如图1，在邻对等四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，AB＞CD，求证：∠BAC与∠CDB互补；拓展应用（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝2∠B，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4．在BC的延长线上是否存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由．2018-2019学年江西省南昌二中九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．【解答】解：∵﹣5＜0＜2＜，∴﹣5、、2、0，最大的数是．故选：B．2．【解答】解：0.000000001＝1×10﹣9．故选：B．3．【解答】解：俯视图图中有4个正方形，那么最底层有4个正方体，由主视图可得第二层最多有2个正方体，由左视图可得第二层只有1个正方体，所以共有5个正方体，故选：C．4．【解答】解：A、a3+2a3＝3a3，故本选项错误；B、2a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、2a2•3a3＝6a5，故本选项错误；D、2ab6÷（﹣2ab2）＝﹣b4，故本选项正确；故选：D．5．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，∴FB＝AB＝2，BM＝1，则在Rt△BMF中，FM＝，故选：B．6．【解答】解：因为二次函数的二次项系数为1＞0，所以抛物线开口向上，故选项A正确；当x＝2时，y＝x2﹣3x＝x（x﹣3），由于抛物线与x轴交于（0，0）和（3，0），故选项B正确；∵△＝[﹣（a+1）]2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，所以抛物线与x轴总有两个交点，故选项C错误；当x＝1时，y＝1﹣a﹣1+a﹣2＝﹣2，此时抛物线不再含有a，即不论a为何值，都过定点（1，﹣2），故选项D 正确．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．【解答】解：﹣1﹣3＝﹣1+（﹣3）＝﹣（1+3）＝﹣4．故答案为：﹣4．8．【解答】解：过点A作AB的垂线，过点D作CD的垂线，两线相交于点Q，则∠BAQ＝∠CDQ＝90°，∵CD⊥AB，QA⊥AB，∴CD∥QA，∴∠AQD＝180°﹣∠CDQ＝90°，∵七边形ABEFCDQ的内角和为：（7﹣2）•180°＝900°，∴∠ABE+∠BEF+∠EFC+∠FCD＝900°﹣90°×3＝630°．故答案为：630．9．【解答】解：设善于走路的人走x步可追上，则不善于走路的人走了（x﹣100）步，依题意，得：＝．故答案为：＝．10．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝AE+BE＝6，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E′F′是EF平移得到的，∴EF＝E′F′，EF＝E′F′，∴四边形EFF′E′是平行四边形，∴∠EFF′+∠FF′E′＝180°，∴∠DF′E′+∠FF′C+′BFE+∠EFB＝180°，∵∠CFF′+∠CF′F＝90°，∴∠E′F′D+∠EFB＝90°，∵∠BEF+∠EFB＝90°，∴∠BEF＝∠E′F′D，在△BEF与△DF′E′中，，∴△BEF≌△DF′E′（AAS），∴DE′＝BF＝2，∴AE′＝AD﹣DE′＝4，∴EE′＝＝5，∴平移的距离为5；故答案为：5．11．【解答】解：∵a2﹣a﹣6＝0，b2﹣b﹣6＝0（a≠b），∴a、b是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝1；故答案为：1．12．【解答】解：∵∠B＝90°，AC＝8，∠A＝30°，∴BC＝AC＝4，AB＝＝＝4，①当点P在AC边上时，如图1所示：∵∠A＝30°，AP＝2PD，∴PD⊥AB于D，∴PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴＝，即：＝，∴PD＝3；②当点P在BC边上时，如图2所示：∵∠B＝90°，∴PD2﹣BD2＝P A2﹣AB2＝PB2，∴P A2﹣AB2＝PD2﹣BD2，∴（2PD）2﹣（4）2＝PD2﹣（）2，∴PD＝；③当点P在AB边上时，如图3所示：∵AD＝AB﹣BD＝4﹣＝3＝AP+PD，AP＝2DP，∴PD＝，综上所述，PD的值为3或或，故答案为：3或或．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．【解答】（1）解：原式＝＝．（2）证明：由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，，∴△AED≌△CFD（AAS）．14．【解答】解：原不等式组为，解不等式①，得x＜6，解不等式②，得x≥2，∴2≤x＜6．15．【解答】解：设购买《好玩的数学》书x本，创意学生笔记本y本，依题意，得：，解得：．答：购买《好玩的数学》书30本，创意学生笔记本50本．16．【解答】解：（1）方法一：画树形（状）图如下：所有可能的结果：L、L，L、D，L、S；D、L，D、D，D、S；S、L，S、D，S、S；（2）由（1）可知，从历史、地理、生物三门学科中连续两年随机抽考，共有9种不同的情况；其中连续两年抽考相同学科的有3种，分别是L、L，D、D，S、S．∴P（连续两年抽到相同学科）＝；方法二：列表格如下：L D SL L、L D、L S、LD L、D D、D S、DS L、S D、S S、S 所有可能的结果：L、L，L、D，L、S；D、L，D、D，D、S；S、L，S、D，S、S；（2）由（1）可知，从历史、地理、生物三门学科中连续两年随机抽考，共有9种不同的情况；其中连续两年抽考相同学科的有3种，分别是L、L，D、D，S、S．∴P（连续两年抽到相同学科）＝．17．【解答】解：（1）在图1中，点M即为所求；（2）在图2中，点N即为所求．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．【解答】解：（1）∵S△AOB＝2，点B在双曲线上，∴k＝2S△AOB＝2×2＝4，∵△OAB是等腰直角三角形，且∠BAO＝90°，∴∴OA＝AB＝2，∴A（2，0）；（2）∵△OAB沿直线OB平移，∴AA′∥OB，设AA′与y轴交于点E，∴由AB＝2可得OE＝2，∴y＝x﹣2，解方程组得或∴平移后的点A′的坐标为（，﹣1）或（﹣+1，﹣﹣1）．19．【解答】解：（1）抽样方法中比较合理的有②、③，故答案为：②、③；（2）①C类部分的圆心角度数为360°×＝60°，D类部分的圆心角度数为360°×＝30°；②估计全年级A、B类学生大约一共有12×48×（0.5+0.25）＝432名．故答案为：60°，30°，432；（3）第一中学教学效果好，极差、方差小于第二中学，说明第一中学学生两极分化，学生之间的差距较第二中学好．第二中学教学效果好，A、B类的频率和大于第一中学，说明第二中学学生及格率较第一中学学生好．（答案不唯一）．20．【解答】解：（1）当P A＝45 cm时，连接PO，∵D为AO的中点，当PD⊥AO，∴PO＝45 cm．∵BO＝24cm，BC＝12cm，∠C＝90°，∴OC＝OB+BC＝36cm，PC＝＝27cm；（2）当∠AOC＝120°时，过点D作DE⊥OC交BO的延长线于E，过点D作DF⊥PC，垂足为F，∴四边形DECF是矩形，在Rt△DOE中，∵∠AOE＝60°，DO＝AO＝12，∴DE＝DO sin60°＝12×＝6，EO＝DO＝6，∴FC＝DE＝6，DF＝EC＝EO+BO+BC＝6+24+12＝42，在Rt△PDF中，∵∠PDF＝30°，∴PF＝DF tan30°＝42×＝14，∴PC＝PF+FC＝14+6＝20≈34.64＞27．故线段PC长是增大了．五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．【解答】（1）证明：∵OD⊥AE，∴∠ODB+∠GFD＝90°，∵BC＝FC，∴∠BFC＝∠FBC＝∠GFD，∴∠ODB+∠FBC＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD+∠FBC＝90°，∴CB⊥AB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵⊙O半径为5，tan A＝，∴sin A＝，cos A＝，∴在Rt△AOG中，OG＝OA•sin A＝5×＝3，AG＝OA•cos A＝5×＝4＝GE，∴GD＝5﹣3＝2，∵OG⊥AE，∴AG＝GE，∴OG是△ABE的中位线，∴BE＝2OG＝6，BE∥OG，∴∠D＝∠FBE，∠BEF＝∠FGD，∴△FGD∽△FEB，∴＝，∴＝，解得：GF＝1．22．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+a﹣2（a＞0）∴y＝a（x+1）2﹣2，∴顶点坐标为M（﹣1，﹣2）．∵M（﹣1，﹣2），N（2，2），∴当x＞﹣1时，L1的y值随着x的增大而增大，当x＜2时，L2的y值随着x的增大而增大．∴x的取值范围是﹣1＜x＜2．故答案是：（﹣1，﹣2），﹣1＜x＜2．（2）如图1，MN＝＝＝5，当y＝0时，即a（x+1）2﹣2＝0，解得x A＝﹣1﹣，x B＝﹣1+．当y＝0时，即﹣a（x﹣2）2+2＝0，x C＝2﹣，x D＝2+，∴AD＝（2+）﹣（﹣1﹣）＝3+2．当AD＝MN时，即3+2＝5，解得a＝2．此时，四边形AMDN是矩形．（3）当B，C是线段AD的三等分点时，存在以下两种情况：①点C在点B的左边，如图2，BC＝（﹣1+）﹣（2﹣）＝﹣3+2，AC＝BD＝3，即﹣3+2＝3，解得a＝．②点B在点C的左边，如图3，CB＝（2﹣）﹣（﹣1+）＝3﹣2，AB＝CD＝2，即2＝3﹣2，解得a＝．六、（本大题1小题，12分）23．【解答】解：（1）①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，不是邻对等四边形；②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，不是邻对等四边形；③顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，邻边相等，不是邻对等四边形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，满足一组邻角相等且对角线相等，是邻对等四边形；故答案为：④；（2）∵AB＞CD，故可延长CD至E，使CE＝BA，连接BE，如图1，在△ABC与△ECB中，，∴△ABC≌△ECB（SAS）．∴BE＝CA，∠BAC＝∠E．∵AC＝DB，∴BD＝BE．∴∠BDE＝∠E．∴∠CDB+∠BDE＝∠CDB+∠E＝∠BAC+∠CDB＝180°．即∠BAC与∠CDB互补．（3）存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，如图2，在BC延长线上取一点E，使得CE＝4，连接DE，四边形ABED即为邻对等四边形．理由如下：连接AE，BD，∵CE＝C4，∴∠CDE＝∠CED．∵∠BCD＝2∠B＝∠CDE+∠CED，∴∠ABC＝∠CED，∵AC＝BC∴∠ABC＝∠BAC∴∠DCE＝∠ACB∴∠ACE＝∠BCD．在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴BD＝AE，即四边形ABED为邻对等四边形．∵∠CBA＝∠CAB＝∠CDE＝∠CED，∴△ABC∽△DEC．∴，∴DE＝．。