【人教版】高中数学必修4《两角和与差的正弦(2)随堂练习(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
人教新课标版数学高一必修4限时练两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)限时练周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1323 C.723 D.163．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A ．－13 B.13C ．－3D ．3 4．若tan 28°tan 32°＝m ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3m B.3(1－m ) C.3(m －1) D.3(m ＋1)5．已知tan α＝lg 10a ，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1 B.110 C ．1或110D ．1或10 6．已知tan α和tan ⎝⎛⎭⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝ab7．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则∠B 等于( )A ．30°B ．45°C ．120°D ．60°二、填空题8.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝________. 9．已知sin 2α＝35(π2＜2α＜π)，tan(α－β)＝12， 则tan(α＋β)＝________.10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝__________.11．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________. 三、解答题12．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12， (1)求tan α的值；(2)求sin(α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos(α＋β)的值．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．答案精析1．A2．C [tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝35－141＋35×14＝723.] 3．B [a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2 ＝13.] 4．B [由公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°) ＝3(1－m )．]5．C [∵α＋β＝π4， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1， tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg 10a ＋lg 1a ＝1－lg 10a lg 1a， 1＝1－lg 10a lg 1a， ∴lg 10a lg 1a＝0. lg 10a ＝0或lg 1a＝0. 得a ＝110或a ＝1.] 6．C [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－b a， tan αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝c a .tan ⎣⎡⎦⎤α＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α1－tan αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－b a 1－c a＝1，得c ＝a ＋b .] 7．D [由公式变形得：tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B ) ＝tan(180°－C )(1－tan A tan B )＝－tan C (1－tan A tan B )＝－tan C ＋tan A tan B tan C .∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C＝tan A tan B tan C ＝3 3.∵tan 2B ＝tan A tan C ，∴tan 3B ＝3 3.∴tan B ＝3，B ＝60°.] 8. 3解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.9．－2解析 ∵sin 2α＝35，π2＜2α＜π， ∴tan 2α＝－34. tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan(α－β)1＋tan 2αtan(α－β)＝－34－121＋⎝⎛⎭⎫－34×12＝－5458＝－2. 10.17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6.∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13， tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12， tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )＝tan ∠CAD －tan ∠BAD 1＋tan ∠CAD tan ∠BAD＝12－131＋12×13＝17. 11．1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 12．解 (1)∵tan(π4＋α)＝2，∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2， ∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. (2)原式＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin(β－α)cos(β－α) ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 13．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7， tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β ＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角， ∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
高中数学人教版必修四学案：第3章 3.1 3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含答案
3.1.2 两角和与差的正弦学习目标：1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)[自主预习·探新知]1．两角和与差的正弦公式(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(2)Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.2．辅助角公式siny＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θθ思考：根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？[提示]对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．()(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()[解析](1)√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确． [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为( ) A.12 B.22C.32D ．以上都不对A [原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.] 3．函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4πC [y ＝sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴函数的最小正周期为T ＝2π.]4．已知α为锐角，sin α＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45，则sin(α＋β)＝________.【导学号：79402116】[解析] ∵α为锐角，且sin α＝35， ∴cos α＝45.又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cos β＝－45， ∴cos β＝45，sin β＝－35.∴sin(α＋β)＝35×45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝0.[答案] 0[合 作 探 究·攻 重 难]利用公式化简求值(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12D.32(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值． [思路探究] (1)化简求值应注意公式的逆用．(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值． [解析] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12. [答案] C(2)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1. (3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)· cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ；(2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).【导学号：79402117】[解] (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0. (2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.给值(式)求值设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值．[思路探究] 应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．[解析] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin β＝－32，所以cos β＝12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝32×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝32.母题探究：1.(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．[解] sin(α－β)＋cos(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝32×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝34－34－14－34＝－1.2．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？ [解] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32. 因为β为第三象限，所以cos β＝－12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34＋34＝0. [规律方法] (1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.,提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值.辅助角公式的应用[探究问题]1．函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈Z)的最大值为2对吗？为什么？ [提示] 不对．因为sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22 cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 所以函数的最大值为 2.2．函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？ [提示] 因为y ＝3sin x ＋4cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫35sin x ＋45cos x ， 令cos φ＝35，sin φ＝45，则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)， 所以函数y 的最大值为5. 3．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式？[提示] a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫aa 2＋b 2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝b a 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定)．设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到． [思路探究] 辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并．[解] (1)f (x )＝sin x ＋sin x cos π3＋cos x sin π3＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1时，f (x )min ＝－3，此时x ＋π6＝3π2＋2k π(k ∈Z)，所以x ＝4π3＋2k π(k ∈Z)． 所以f (x )的最小值为－3，x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4π3＋2k π，k ∈Z. (2)将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得y ＝3sin x 的图象；然后将y ＝3sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象.[当 堂 达 标·固 双 基]1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于( )【导学号：79402118】A.12 B ．－12 C.32D ．－32D [原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D.] 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－7210B.7210C ．－210 D.210A [∵cos α＝－45，α为第三象限角，∴sin α＝－35，由两角和的正弦公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.]3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B [f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 故选B.]4．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________. [解析] 原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝ sin(25°＋35°)＝sin 60°＝32. [答案] 325．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.。
2016-2017学年高一数学4学案：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 含答案
3。
1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)明目标、知重点1。
能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2。
能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明。
3。
熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．1．两角和与差的正切公式（1)T（α＋β)：tan（α＋β）＝错误!.（2)T(α－β)：tan（α－β)＝错误!。
2．两角和与差的正切公式的变形（1）T(α＋β）的变形：tan α＋tan β＝tan（α＋β)（1－tan αtan β）．tan α＋tan β＋tan αtan βtan（α＋β)＝tan(α＋β)．tan αtan β＝1－错误!。
（2）T(α－β）的变形：tan α－tan β＝tan（α－β)(1＋tan αtan β）．tan α－tan β－tan αtan βtan（α－β)＝tan（α－β)．tan αtan β＝错误!－1.［情境导学］某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C 处．小山的高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度．解设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，则sin α＝错误!。
在Rt△ABD中,tan(45°＋α)＝错误!tan α，于是x＝错误!－30.如何能由sin α＝错误!求得tan（45°＋α）的值呢？或者说能不能用sin α把tan(45°＋α)表示出来呢？虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题．我们有必要得到两角和与差的正切公式．探究点一两角和与差的正切公式的推导思考1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝错误!,从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β）,tan(α－β）的公式吗？试一试．答当cos（α＋β)≠0时，tan（α＋β)＝错误!＝错误!。
高中数学必修4单元配套练习试题3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及参考答案解析
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式姓名:___________班级:______________________1.下列式子恒成立的是( )A.sin(α+β)＝sin α+sin βB.cos(α−β)＝cos αcos β+sin αsin βC.sin(α−β)＝cos αcos β−sin αsin βD.cos(α+β)＝cos αsin β−sin αcos β11︒tan 19︒+tan 11︒∙tan 19︒的值是( )3C.0D.13.ππcos sin sin sin63αααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝( )A.12B.12-4.计算1+tan151tan15︒-︒的值为( )D.25.已知角αβ，均为锐角,且cosα＝35,tan(α−β)＝−13,tanβ＝( ) A.13B.913C.139D.36.设α为锐角,若π3cos()65α+=,则πsin()12α-=( )A.10B.10-C.45D.45-7.若()()11sin,sin23αβαβ+=-=,则tantanαβ为( )A.5B.−1C.6D.168.若πtan3tan7α=,则πsin()75πcos()14αα-=-( )1C.31D.419.设θ为第二象限角,若π1tan 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin θcos θ＝______ . 10.计算:sin 47sin 17cos 30cos 17︒-︒︒︒＝_______.αβ45αβ453π2π2αβ<+<ππ2αβ<-<12.已知552cos ,53cos ==βα,且βα,为锐角. 求:(1))sin(βα-的值;(2))2tan(βα+的值.13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α、β它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点.已知A 、B 的横坐标分别为10 求:(1) tan(α＋β)的值;(2) 2αβ+的值.14.(1)已知2tan()5αβ+=,π1tan()44β-=,求cos sin cos sin αααα+-的值;(2)已知,αβ均为锐角,且cos()αβ+=sin()10αβ-=,求2β.参考答案1.B【解析】根据两角和与差的正弦公式、余弦公式可得cos(α−β)＝cos αcos β+ sin αsin β,故选B.考点:两角和与差的余弦,两角和与差的正弦. 2.D【解析】因为tan 30︒＝tan(11︒+19︒)＝tan11tan191tan11tan19︒+︒-︒︒(tan 11︒+tan 19°)＝1−tan 11°tan 19°. 原式＝11︒+tan 19︒)+tan 11︒∙tan 19︒ ＝1−tan 11°•tan 19°+tan 11°•tan 19°＝1,故选D.考点:两角和与差的正切. 3.A【解析】ππcos sin sin sin 63αααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππcos sin sin cos 632αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππsin cos cos sin 66αααα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1sin sin 662αα⎡⎤⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故选A. 考点:两角和与差的正弦. 4.B 【解析】1+tan151tan15︒-︒＝tan45+tan151tan45tan15︒︒-︒︒＝tan(45°+15°)故选B.考点:两角和与差的正切. 5.D【解析】∵角α,β均为锐角,且cos α＝35,∴sin α＝45, tan α＝43,又tan(α−β)＝tan tan 1+tan tan αβαβ-＝4tan 341+tan 3ββ-＝−13, ∴tan β＝3,故选D. 考点:两角和与差的正切. 6.A【解析】因为α为锐角,所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,因为π3cos()65α+=,所以π4sin()65α+=,故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ43cos sin 6425510α⎛⎫⎫+=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.考点:同角三角函数基本关系式,两角和的正弦公式. 7.A【解析】由()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=两式联立可得:51tan sin cos ,cos sin ,51212tan ααβαββ==∴=.故选A.考点:两角和与差的正弦公式. 8.B【解析】πππππsin()sin cos cos sin sin cos cos sin777775ππππcos()cos sin 14727αααααααα---==⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππππsin cos cos sin tan tan 2tan17777=ππππ2sin cos cos sin tan tan 4tan7777αααααα--===++,故选B. 考点:正、余弦差角公式.9.5-【解析】∵θ为第二象限角,π1tan 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＞0,∴π3θ+为第三象限角, 由πsin 13π2cos 3θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,sin π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜0,cos π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜0,22ππsin cos 133θθ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得sin π3θ⎛⎫+⎪⎝⎭＝5-, 则sin θθ＝2sin π3θ⎛⎫+⎪⎝⎭＝5-. 考点:两角和与差的正弦,两角和与差的正切. 10.12【解析】sin 47sin 17cos 30sin 3017sin 17cos 30cos 17cos 17︒-︒︒︒+︒-︒︒=︒︒（）＝sin 30cos 17cos 30sin 17sin 17cos 30sin 30cos 17cos 17cos 17︒︒+︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝sin 30°＝12. 考点:两角和的正弦. 11.0【解析】cos(α+β)＝45, cos(α−β)＝−45,3π2π2αβ<+<,ππ2αβ<-<, ∴sin (α+β)＝−35,sin(α−β)＝35,∴sin 2β＝sin[α+β−(α−β)]＝sin(α+β)cos(α−β)−cos(α+β)∙sin(α−β)＝3()5-×4()5-−45×35＝0.考点:两角和与差的正弦.4138- 【解析】(1)∵552cos ,53cos ==βα,且βα,为锐角,∴55sin ,54sin ==βα, ∴55555355254sin cos cos sin )sin(=⨯-⨯=-=-βαβαβα. (2)由(1)可得41tan ,tan 32αβ==, ∴41tan tan 1132tan()411tan tan 2132αβαβαβ+++===--⨯,∴[]411tan tan()4132tan(2)tan ()4111tan tan()38132ααβαβααβααβ++++=++===--+-⨯. 考点:两角和与差的正弦、正切. 13.(1)－3 (2)3π4【解析】(1)由已知条件及三角函数的定义可知cos α＝10,cos β＝5. 因为α为锐角,故sin α＞0,从而sin α10=,同理可得sin β因此tan α＝7,tan β＝12.所以tan(α＋β)＝17 t an tan 211tan tan 172αβαβ++=--⨯＝－3. (2) tan(2αβ+)＝tan[(α＋β)＋β]＝()1321132-+--⨯＝－1. 又0＜α＜π2,0＜β＜π2,故0＜2αβ+＜3π2.从而由tan(2αβ+)＝－1,得2αβ+＝3π4.考点:两角和的正切.14.(1)322(2)π4【解析】(1)πtan tanππcos sin 4tan[()()]tan()π44cos sin 1tan tan 4ααααββαααα+++--=+==--, 21πtan()tan()π3544tan[()()]π214221tan()tan()1454αββαββαββ-+--+--===++-+⨯. 所以cos sin 3.cos sin 22αααα+=- (2)∵,αβ均为锐角,∴0παβ<+<,ππ22αβ-<-<,∴sin()αβ+=,cos()αβ-==∴cos 2cos[()()]βαβαβ=+--== ∵β为锐角,∴02πβ<<,∴π24β=. 考点:两角和与差的正弦、余弦和正切.。
高中数学人教版必修四学案：第三单元 3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含答案
3.1.2 两角和与差的正弦学习目标1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数的性质.知识点一两角和与差的正弦思考1如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？思考2怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？梳理两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”.知识点二辅助角公式思考1a sin x＋b cos x化简的步骤有哪些？思考2在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？梳理辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)＝a2＋b2cos(x－θ).其中cos φ＝________，sin φ＝________，sin θ＝aa2＋b2，cos θ＝ba2＋b2，φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定.类型一给角求值例1(1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°).(2)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°＝________.反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x ).类型二 给值求值(角)例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β).反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.跟踪训练2 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α的值.类型三辅助角公式例3将下列各式写成A sin(ωx＋φ)的形式.(1)3sin x－cos x；(2)24sin(π4－x)＋64cos(π4－x).反思与感悟辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2·sin(x＋φ)可以把含sin x、cos x的一次式化为A sin(ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tan φ＝ba确定.研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数的性质都要用到该公式.跟踪训练3已知函数f(x)＝3cos 2x－sin 2x，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期与值域；(2)求f(x)的单调递增区间.1.计算2cos π12＋6sin π12的值是( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.22 2.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A.－32B.32C.－12D.123.计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________.4.化简：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.5.化简：sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋3x ·sin ⎝⎛⎭⎫π4＋3x .1.公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C α－β――→诱导公式S α＋β――→以－β代换βS α－β.(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C (α－β)，C (α＋β)，S (α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意.2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，1＝2cos 60°，1＝2sin 30°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.答案精析问题导学知识点一思考1 sin(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α－β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β＝sin αcos β＋cos αsin β .思考2 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.梳理 sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β知识点二思考1 (1)提常数，提出a 2＋b 2得到a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x . (2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝a a 2＋b 2，sin θ＝b a 2＋b 2(或sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2)．一般θ为特殊角⎝⎛⎭⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2·(sin θsin x ＋cos θcos x ))．(3)化简、逆用公式得a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(或a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －θ))． 思考2 θ所在的象限由a 和b 的符号确定．梳理 a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 题型探究例1 (1)解 原式＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )－cos(x ＋27°)·sin(x －18°)＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )＋cos(x ＋27°)sin(18°－x )＝sin[(x ＋27°)＋(18°－x )]＝sin 45°＝22. (2)12跟踪训练1 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )] ＝sin 90°＝1.例2 解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213， sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－3365. 跟踪训练2 α＝π4例3 解 (1)3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2(cos π6sin x －sin π6cos x )＝2sin(x －π6)． (2)原式＝22[12sin(π4－x )＋ 32cos(π4－x )]＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )] ＝22cos(π4－x －π6)＝22cos(π12－x ) ＝22sin(x ＋5π12)． 跟踪训练3 解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]． (2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2， k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 当堂训练1．B 2.D 3.124.cos α 5．解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4－3x －⎝⎛⎭⎫π3－3x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π3＝sin π4cos π3－cos π4sin π3＝22×12－22×32＝2－64.。
【基础练习】《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(数学人教版必修4)(20200722180401)
7．【答案】 A
8．【答案】 C
9. 【答案】 C
10．【答案】 A
5
1
解析： tan A＋ tan B＝ 3， tan A· tan B＝ 3，
5
5
∴tan( A＋ B) ＝ 2，∴ tan C＝－ tan( A＋ B) ＝－ 2，
∴ C 为钝角．
11．【答案】 A
解析：原式＝ tan 10 ° tan 20 °＋ 3tan 20 °＋ 3 tan 10 °
《两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式》
基础练习
成都二十中 谢波老师
1．计算 sin 43 c°os 13 －°cos 43 s°in 13 的°结果等于 ( )
1
3
2
3
A. 2
B. 3
C. 2
D. 2
2． sin 245 s°in 125 ＋°sin 155 s°in 35 的°值是 ( )
3
1
1
3 ＝ 3(tan 10 °＋ tan 20 °＋ 3 tan 10 ° tan 20 ° )
＝ 3tan 30 °＝ 1. 12．【答案】 B
解析： tan( A＋ B) ＝－ tan C＝－ tan 120 °＝ 3，
23
tan A＋ tan B
3
1
∴tan( A＋ B) ＝ 1－ tan Atan B＝ 3 ，即 1－ tan Atan B＝ 3，解得 tan A· tan B＝3.
π xcos 4 － cos xsin
π 4＝
π 2sin x－ 4 .
A ．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
11．化简 tan 10 ta°n 20 ＋°tan 20 ta°n 60 ＋°tan 60 ta°n 10 的°值等于 ( )
高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习 · 练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知tanα、tanβ是方程x 2+3√3x +4=0的两个根，且−π2<α<π2，−π2<β<π2，则角α+β的大小为．A.π6B.−2π3C.π6或−5π6D.−π3或2π32．已知sin2α=35(π2<2α<π)，tan(α−β)=12，则tan(α+β)等于 A.−2B.−1C. −211D. 2113．若tan α=3，tanβ=43，则tan(α−β)等于 A.−3B. −13C.3D. 134．tan20º+tan40º+√3tan20ºtan40º的值是____________．5．在△ABC 中，若tanA: tanB: tanC=1:2:3，则A=_______________.6．已知tan(α−β)=12，tanβ=−17，且α，β∈(0，π)，求2α−β的值．7．(2013·广东培正中学检测)已知sin(α+β)=23,sin(α-β)=15,求tanαtanβ的值.8．已知α,β均为锐角，且tanβ=cosα−sinαcosα+sinα，求tan(α+β)的值. 能力提升1．已知sin(α+β)=23,sin(α−β)=34，则tanαtanβ= .2．已知tanα，tanβ是方程6x2−5x+1=0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2．求：tan(α+β)及α+β的值．3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)【基础过关】 1．B【解析】本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简求值．考查了基础知识的运用. 由题意，知tanα+tanβ=−3√3，tanα⋅tanβ=4>0，∴tanα<0，tanβ<0． 又∵−π2<α<π2，−π2<β<π2，∴−π2<α<0，−π2<β<0，−π<α+β<0．又∵tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=√3，∴α+β=−2π3．选B. 2．A 【解析】33sin 22,tan 2,524πααπα⎛⎫=<<∴=- ⎪⎝⎭()tan 2tan ()ααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()tan()tan 3,1tan()tan 4αβαβαβαβ++-==--+-又()1tan ,tan() 2.2αβαβ-=∴+=-故选A. 3．D 4．√3【解析】tan60º=(tan20º+tan40º)/(1-tan20ºtan40º)= √3,则tan20º+tan40º=√3−√3tan20ºtan40º， 所以tan20º+tan40º+√3tan20ºtan40º=√3 5．π4【解析】本题考查和角公式，诱导公式.令tanA=x (x ≠0),可得tanB=2x ，tanC=3x ；所以−tanA =tan (B +C )=tanB+tanC 1−tanBtanC ，带入可得−x =2x+3x 1−2x×3x ，解得x =1；所以tanA =1，即A =π4.6．解：∵tan(α−β)=12，∴tan2(α−β)=2tan(α−β)1−tan 2(α−β)=43．又∵2α−β=2(α−β)+β，且tanβ=−17， ∴tan(2α−β)=tan2(α−β)+tanβ1−tan2(α−β)tanβ=1，∵α，β∈(0，π)且tanβ=−17<0，tanα=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=13∈(0，1)，∴0<α<π4，π2<β<π，∴0<2α<π2，−π<−β<−π2，∴−π<2α−β<0．而在(−π，0)内使正切值为1的角只有一个，即−3π4，∴2α−β=−3π4．【解析】本题主要考查了两角和公式的正切函数．解题的关键是通过α和β的范围确定2α−β的值。
人教a版必修4学案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)(含答案)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)自主学习知识梳理1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝__________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝__________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________. tan α·tan β＝__________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝__________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________________. tan αtan β＝__________________.自主探究根据同角三角函数关系式完成公式T (α＋β)、T (α－β)的推导过程． ∵sin(α＋β)＝__________________. cos(α＋β)＝__________________.∴tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝____________＝_________________________________.∵tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]∴tan(α－β)＝________________＝________________.对点讲练知识点一 化简求值例1 求下列各式的值． (1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.回顾归纳 公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．变式训练1 求下列各式的值．(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.知识点二 给值求角例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.回顾归纳 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．变式训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.知识点三 三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．回顾归纳 三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．变式训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路.课时作业一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°二、填空题6．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.7．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．三、解答题9．求下列各式的值． (1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 16 579 68 10 100/6=18*37+154+16*33-2 666 5123.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1自主探究sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan βtan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β) tan α－tan β1＋tan αtan β对点讲练例1 解 (1)原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.(2)∵tan 60°＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝ 3.∴tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°) ∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40° ＝ 3.变式训练1 解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°·tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°·tan 84°＝tan 120°＝－ 3. 例2 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1 ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π.∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.变式训练2 解 由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33tan α·tan β＝4∴tan α、tan β均为负．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵tan α<0，tan β<0，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3.例3 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33，∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．变式训练3 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 课时作业1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1.]6．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 7．－32解析 ∵tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.8.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.10．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。
新人教版高中数学两角和与差的正弦(2)随堂练习必修四
最新中小学试题试卷教案资料两角和与差的正弦（2）1．[2014·昆明模拟]若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋4π)＝ 2．sin 27cos 63cos 27sin 63︒︒+︒︒=3．βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，βsin ＝4．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα125sin 的是5．0000sin 47sin17cos30cos17-=6．将函数()sin 2f x x x =的图象向左平移m 个单位（0m >），(,0)2π是所得函数的图象的一个对称中心，则m 的最小值为7．已知函数)32sin(3)(1π-=x x f ，)32sin(4)(2π+=x x f ，则函数=)(x f )()(21x f x f +的振幅为8．已知α∈(0，π)，cos α=－45，则sin(α－π3)=_____．9．（本小题满分13分）已知函数π()sin sin()3f x x x =-+.（1）求4π()3f 的值；（2）求()f x 的单调递增区间.最新中小学试题试卷教案资料参考答案1．－10【解析】由题意知，cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得，sin(α＋4π)＝sin αcos 4π＋cos αsin 4π＝(－35)×2＋(－45)×2＝2．1【解析】试题分析：根据两角和的公式，sin 27cos 63cos 27sin 63︒︒+︒︒=()190sin 6327sin 000==+考点：两角和的正弦公式3．5665． 【解析】试题分析：由βα,都是锐角，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cos α和sin()αβ+的值，然后把所求式子的角β变为()αβα+-，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值． 试题解析：βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=- ∴12cos 13α=，3sin()5αβ+=． ∴()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦＝sin()αβ+cos α()cos αβ-+sin α＝31245()513513⨯--⨯＝5665． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、两角和与差的余弦函数．4．1027 【解析】试题分析：由πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得，1o s s i n s i n 322ααα++，即3o s s i n 2αα+=)cos αα=，可得4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为。
[精品]新人教A版必修四高中数学同步习题3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2和答案
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________. (2)T(α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝___________________________________________________________ _.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝____________.tan α²tan β＝___________________________________________________________ ___.(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tanαtanβ＝___________________________________________________________ ___.一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43B ．－43C ．－7D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．无法确定5．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan10°D.3tan20°6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.537.1＋tan75°1－tan75°＝________. 8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________． 9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin α＋βcos α－β ＝________.10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．能力提升13．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求证：tan A ＝2tan B ； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan α＋β(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan α－β－1 作业设计 1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ²tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan10°tan20°＋3tan20°＋3tan10° ＝3(tan10°＋tan20°＋33tan10°tan20°)＝3tan30°＝1.]6．B [tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝3，即2331－tan A tan B ＝3，解得tan A ²tan B ＝13.]7．－ 3 8.23解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．－32解析 sin α＋β cos α－β ＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋ －3 ＝－32. 10．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， 得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )． ∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝3，又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝π3.又3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ， ∴tan A ＋tan B ＝－33(1－tan A tan B )，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝5π6，又∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＝2π3，B ＝C ＝π6.∴△ABC 为等腰三角形．12．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α²tan β＝7＋121－7³12＝－3. 13．解 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β ＋tan β1－tan α－β tan β＝13>0. 而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)．∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π.∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． ∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan α－β1－tan αtan α－β＝1，∴2α－β＝－3π4.14．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2，所以tan A ＝2tan B .(2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34.将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得，2tan 2B －4tan B －1＝0. 解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62.∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD .则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6.由AB＝3，得CD＝2＋ 6.∴AB边上的高等于2＋ 6.。
【人教版】高中数学必修4《两角和与差的正切(2)随堂练习(含答案)
两角和与差的正切（2）1．已知tan ,tan αβ是方程22370x x +-=的两个实数根，则tan()αβ+的值为 . 2．已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+的值为_________。
3．在锐角三角形ABC 中，31sin ,tan(),cos 53A A B C =-=-则的值 4．=-+015tan 115tan 1 ； 5．若31tan =x ，则=-x x x x 22cos 2sin cos sin _________________。
6．tan13tan 47tan13tan 47)++=o o o o7． 已知11tan ,tan()23ααβ=-=- ，,αβ 均为锐角，则β 等于 .8．tan 70tan 5070tan 50︒+︒︒︒的值为9．已知54A B π+=,且,()2A B k k Z ππ≠+∈，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.10．已知α、β∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，sin α＝45，tan (α－β)＝－13，求cos β的值．参考答案1．13-【解析】 试题分析：依题意可得3tan tan 27tan tan 2αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以3tan tan 12tan()71tan tan 312αβαβαβ-++===--+. 考点：1.二次方程根与系数的关系；2.两角和与差的三角函数.2．322【解析】 试题分析：根据题意，2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则21tan()tan()3544tan()tan[()()]2144221tan()tan()1454παββππααββπαββ-+--+=+--===++-+⨯ 故可知答案为322 考点：两角和差的正切公式点评：主要是考查了两角和差的正切公式的运用，属于基础题。
3310 【解析】 试题分析：因为是在锐角三角形ABC 中，343sin ,cos tan 5543tan 1133104tan()tan ,cos cos()3392501tan 4A A AB A B BC A B B =∴=∴=--=-=∴==-+=+则Q 故可知答案为310250考点：两角和差的公式运用点评：解决的关键是根据两角差的正切公式，以及内角和定理和诱导公式得到，属于基础题。
人教A版数学必修四：第三章 三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦和正切公式 分层训练 进阶冲关试卷含答案
分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.已知cos x=,则cos 2x= ( D )A.-B.C.-D.2.已知α∈,tan=,那么sin 2α+cos2α的值为( A )A.-B.C.-D.3.已知α为锐角,且7sin α=2cos2α,则sin= ( A )A. B.C. D.4.sin 20°cos10°-cos 160°sin10°=( D )A.-B.C.-D.5.(2018·贵阳高一检测)已知sin+sin α=,则sin的值是( D )A.-B.C.D.-6.如果tan θ=2,那么1+sin θcos θ= ( B )A. B. C. D.7.计算cos cos=.8.的值是2.9.若θ∈(0,π),且sin 2θ=-,则cos θ-sin θ=-.10.tan 20°+tan40°+tan 20°tan40°=.11.已知tan α=,tanβ=,且α,β均为锐角,求α+2β的值.【解析】tan 2β==,tan(α+2β)==1.因为α,β均为锐角,且tan α=<1,tan β=<1,所以α,β∈,所以α+2β∈,所以α+2β=.12.已知cos α-sin α=,且π<α<,求的值. 【解析】因为cos α-sin α=,所以1-2sin αcos α=,2sin αcos α=.又因为α∈,所以sin α+cos α=-=-,所以====-.B组提升练(建议用时20分钟)13.已知sin 2α=,则cos2= ( A )A. B. C. D.14.若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为 ( D )A. B.- C. D.-15.已知α是第二象限角,且sin(π-α)=,则sin 2α的值为-.16.已知0<α<,0<β<,tan(α+β)=2tanα,4tan=1-tan2,则α+β=.17.已知0<α<,sin α=.(1)求的值.(2)求tan的值.【解析】(1)由0<α<,sin α=,得cos α=,所以===20.(2)因为tan α==,所以tan===.18.已知cos=,x∈.(1)求sin x的值.(2)求sin的值.【解析】(1)因为x∈,所以x-∈.sin= =,sin x=sin=sin cos+cos sin =×+×=.(2)因为x∈,所以cos x=-=- =-,sin 2x =2sin xcos x=-,cos 2x=2cos2x-1=-.所以sin=sin 2xcos +cos 2xsin=-.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( B )A.-B.-C.D.20.已知向量a=(3sin α,cosα),b=(2sinα,5sinα-4cos α),α∈,且a⊥b.(1)求tan α的值.(2)求cos的值.【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,由于cos α≠0, 所以6tan2α+5tan α-4=0,解得tan α=-或tan α=.因为α∈,所以tan α<0,所以tan α=-.(2)因为α∈,所以∈.由tan α=-,求得tan =-或tan =2(舍去).所以sin =,cos =-,所以cos=cos cos -sin sin=-×-×=-.关闭Word文档返回原板块。
2020高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 Word版含答案
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)1．两角和与差的正切公式 (1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形： tan α＋tan β＝____________________________________________________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________. tan α·tan β＝______________________________________________________________.(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________. tan αtan β＝______________________________________________________________.一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10° D.3tan 20° 6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.537.1＋tan 75°1－tan 75°＝________. 8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________． 9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin α＋βcos α－β＝________.10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．能力提升13．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan α＋β(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan α－β－1作业设计1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3tan 30°＝1.]6．B [tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan 120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝3，即2331－tan A tan B ＝3，解得tanA ·tanB ＝13.]7．－ 3 8.23解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．－32解析 sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝313＝－32. 10．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， 得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )．∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝3，又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝π3.又3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ， ∴tan A ＋tan B ＝－33(1－tan A tan B )，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝5π6，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝2π3，B ＝C ＝π6.∴△ABC 为等腰三角形．12．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.13．解 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13>0.而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)．∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π.∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan α－β1－tan αtan α－β＝1，∴2α－β＝－3π4.。
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两角和与差的正弦（2）
1．[2014·昆明模拟]若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋4
π
)＝ 2．sin 27cos 63cos 27sin 63︒︒+︒︒=
3．βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4
cos 5
αβ+=-，βsin ＝
4．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭⎪⎭
⎫
⎝⎛∈3,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα125sin 的是
5．000
sin 47sin17cos30cos17
-=
6．将函数()sin 2f x x x =的图象向左平移m 个单位（0m >），(,0
)2
π
是所得函
数的图象的一个对称中心，则m 的最小值为 7．已知函数
)3
2sin(3)(1π-=x x f ，)32sin(4)(2π
+=x x f ，则函数=)(x f )()(21x f x f +的振幅为
8．已知α∈(0，π)，cos α=－45，则sin(α－π
3
)=_____． 9．（本小题满分13分）已知函数π
()sin sin()3
f x x x =-+.
（1）求4π
()3
f 的值；
（2）求()f x 的单调递增区间.
参考答案
1．－
10
【解析】由题意知，cos α＝－
45，α是第三象限的角，所以sin α＝－3
5
，由两角和的正
弦公式可得，sin(α＋
4π)＝sin αcos 4π＋cos αsin 4π＝(－35)×2＋(－45)×2
＝
2．1 【解析】 试题
分析：根据两角和的公式，
sin 27cos 63cos 27sin 63︒︒+︒︒=()
190sin 6327sin 000==+
考点：两角和的正弦公式 3．
56
65
． 【解析】
试题分析：由βα,都是锐角，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cos α和sin()αβ+的值，然后把所求式子的角β变为()αβα+-，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值． 试题解析：
βα,都是锐角，且5sin 13α=
，()4
cos 5
αβ+=- ∴12cos 13α=
，3
sin()5
αβ+=． ∴()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦＝sin
()
αβ+cos α
()cos αβ-+sin α＝
31245()513513⨯--⨯＝56
65
． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、两角和与差的余弦函数． 4．
10
2
7 【解析】
试题分析：由πcos sin 6αα⎛⎫-
+= ⎪
⎝
⎭得，1o s s i n s i n 322ααα++，即
3
o s s i n 2αα+=)
cos αα=，可得4sin 65πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，因为
⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛∈3,0πα，故
,
662
π
ππ
α⎛⎫
+
∈ ⎪⎝
⎭
，
所以
3cos 65πα⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭，
5sin sin sin cos cos sin
12646464ππππππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
43525210
=⨯+⨯=
． 考点：三角恒等变换． 5．
2
1 【解析】 试题分析：
sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30
cos17cos17
-+-=
sin17cos30cos17sin 30sin17cos30cos17sin 301
sin 30cos17cos172
+-=
===
考点：1.两角和的正弦公式；2.特殊角函数值. 6．
6
π
【解析】
试题分析：()sin 222sin(2)3
f x x x x π
==-，
向左平移m 个单位得到()2sin[2()]2sin(22)33
g x x m x m ππ
=+-
=+-， 所以2()2sin(22)2sin(2)02233g m m ππππ
=⨯+-=+
=， ∴22,3m k k Z ππ+=∈，∵0m >，∴m 的最小值为6
π
，故选B . 考点：1.两角和与差的正弦公式；2.函数图像的对称中心. 7．13 【解析】 试题分析:
=)(x f )()(21x f x f +=3sin(2)3
x π-+4sin(2)3
x π
+
=3sin 2cos
3cos 2sin
4sin 2cos
4cos 2sin
3
3
3
3x x x x π
π
π
π
-++=
7sin 22,2x x
= 考点：本小题考查两角和与差的正弦公式以及辅助角公式，和sin()y A x ωϕ=+的性质.
点评：高考中对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中，需要利用这些公式，先把解析式化为sin()y A x ωϕ=+的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.
8【解析】解：因为α∈(0，π)，cos α=－
4
5
，所以说α为钝角，则sin α=3/5,则
sin(α－
π3)=sin αcos π3-cos αsin π3= 9．（1）0;（2）π5π
[2π,2π]()66
k k k -+∈Z 【解析】 试题分析：（1）将
43π代入()f x 解析式直接计算.（2）先用两角和差公式将sin 3x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开,再用化一公式将其化简,将()f x 化简为()sin A x ωφ+的形式.将整体角代入正弦的单
调增区间ππ
[2π,2π]()22
k k k -+∈Z 计算可得()f x 的单调增区间. 试题解析：解：（1）4π4π4ππ
()sin
sin()03333
f =-+=. 3分
（2）π
()sin sin()3
f x x x =-+
ππ
sin (sin cos cos sin )33
x x x =-+ 5分
11π
sin (sin )sin sin()223
x x x x x x =-+==-. 9分
函数sin y x =的单调递增区间为ππ
[2π,2π]()22
k k k -+∈Z ， 由πππ
2π2π()232k x k k -
-+∈Z ≤≤， 11分 得π5π
2π2π()66
k x k k -+
∈Z ≤≤. 所以 ()f x 的单调递增区间为π5π
[2π,2π]()66
k k k -+
∈Z . 13分 考点：1三角函数的化简;2三角函数的单调性.。