2021学年新教材高中数学4.4对数函数4.4.3不同函数增长的差异精品练习含解析人教A版必修一

4.4.3 不同函数增长的差异
必备知识基础练
知识点一 几类函数模型增长的比较
1.下列函数中，增长速度最快的是( )
A ．y ＝2 019x
B ．y ＝x 2 019
C ．y ＝log 2 019x
D ．y ＝2 019x
2．下列四种说法中，正确的是( )
A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B ．对任意的x ＞0，x n
＞log a x
C ．对任意的x ＞0，a x
＞log a x
D ．不一定存在x 0，当x ＞x 0时，总有a x ＞x n
＞log a x
3．当2<x <4时，2x ，x 2
，log 2x 的大小关系是( )
A ．2x ＞x 2＞log 2x
B ．x 2＞2x
＞log 2x
C ．2x ＞log 2x ＞x 2
D ．x 2＞log 2x ＞2x
4．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y 1 2 26 101 226 401 626 901
y 2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y 3 2 10 20 30 40 50 60 y 4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x 呈指数函数变化的变量是________．
知识点二 函数模型的选择问题
5.以固定的速度向如下图所示的瓶子中注水，则水深h 与时间t 的函数关系是( )
6．有一组数据如下表：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v
1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A ．v ＝log 2t
B ．v ＝log 12
t
C ．v ＝
t 2
－1
2
D ．v ＝2t －2 7．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y 万公顷关于年数x 的函数关系式大致可以是( )
A．y＝0.2x B．y＝1
10
(x2＋2x)
C．y＝2x
10
D．y＝0.2＋log16x
关键能力综合练
一、选择题
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y 年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
3．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
4．向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
5．(易错题)下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝1
100
e x B．y＝100ln x
C．y＝x10 D．y＝100·2x
6．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，下列选项中正确的是( ) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
二、填空题
7．近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．
8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．
9．函数y＝2x－x2的图象大致是________．(填序号)
三、解答题
10．(探究题)函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图．
(1)指出曲线C1，C2分别对应图中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
学科素养升级练
1．(多选题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法正确的是( )
A．前三年产量增长的速度越来越快
B．前三年产量增长的速度越来越慢
C．第三年后这种产品停止生产
D．第三年后产量保持不变
2．(情境命题—生活情境)如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用)．由于目前本条路线在亏损，公司有关人员提出了两条建议：
建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法中正确的是( )
A．①反映了建议(2)，③反映了建议(1)
B．①反映了建议(1)，③反映了建议(2)
C．②反映了建议(1)，④反映了建议(2)
D．④反映了建议(1)，②反映了建议(2)
3．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·q x＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？
4．4.3 不同函数增长的差异
必备知识基础练
1．解析：比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
答案：A
2．解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．对于D，
当a ＞1，n ＞0时，一定存在x 0，使得当x ＞x 0时，总有a x ＞x n
＞log a x ，但若去掉限制条件“a ＞1，n ＞0”，则结论不成立．故选D.
答案：D
3．解析：解法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x
在区
间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2>2x
>log 2x .
解法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x ＝3，经检验易知选B.
答案：B
4．解析：从表格观察函数值y 1，y 2，y 3，y 4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．
答案：y 2
5．解析：水深h 的增长速度越来越快． 答案：B
6．解析：从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.
答案：C
7．解析：对于A ，x ＝1,2时，符合题意，x ＝3时，y ＝0.6，与0.76相差0.16；对于B ，x ＝1时，y ＝0.3；x ＝2时，y ＝0.8；x ＝3时，y ＝1.5，相差较大，不符合题意；对于C ，x ＝1,2时，符合题意，x ＝3时，y ＝0.8，与0.76相差0.04，与A 比较，符合题意；对于D ，x ＝1时，y ＝0.2；x ＝2时，y ＝0.45；x ＝3时，y ≈0.6<0.7，相差较大，不符合题意．
答案：C 关键能力综合练
1．解析：D 增长速度不变，A ，C 增长速度越来越快，只有B 符合题意． 答案：B
2．解析：设该林区的森林原有蓄积量为a ，
由题意，ax ＝a (1＋0.104)y
，故y ＝log 1.104x (x ≥1)， ∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象． 答案：D
3．解析：由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数模型． 答案：A 4.
解析：取OH 的中点(如右图)E 作h 轴的垂线，由图知当水深h 达到容量一半时，体积V 大于一半，易知B 符合题意．
答案：B
5．解析：通过函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a >1)，y ＝kx (k >0)的图象观察可得y ＝a x
的增长速度大于y ＝kx 的增长速度，y ＝kx 的增长速度大于y ＝log a x 的增长速度，∴A，D 最快．又
∵y ＝1100e x 中底数e>2.∴y ＝1100e x 的增长速度大于y ＝100×2x
，∴选A.
答案：A
6．解析：画出函数的图象，如图所示，当x ∈(4，＋∞)，指数函数的图象位于二次函数图象上方，二次函数图象位于对数函数图象上方，故g (x )>f (x )>h (x )．
答案：B
7．解析：1年后的价格为180＋180·x ＝180(1＋x )(万元)，2年后的价格为180(1＋x )
＋180(1＋x )·x ＝180(1＋x )(1＋x )＝180(1＋x )2
(万元)，由此可推得10年后的价格为180(1
＋x )10
万元．
答案：y ＝180(1＋x )10
8．解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e 2
k ，解得k ＝2ln 2，y (5)＝
e (2ln 2)·5
＝e 10ln 2＝210
＝1 024(个)．
答案：2ln 2 1 024
9．解析：在同一平面直角坐标系中作出y ＝2x ，y ＝x 2
的图象(图略)．易知在区间(0，
＋∞)上，当x ∈(0,2)时，2x >x 2，即此时y >0；当x ∈(2,4)时，2x <x 2
，即y <0；当x ∈(4，＋
∞)时，2x >x 2，即y >0.当x ＝－1时，f (－1)＝2－1
－1<0，据此可知只有选项①中的图象符合条件．
答案：①
10．解析：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1， C 2对应的函数为f (x )＝lg x .
(2)当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞f (x )； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜f (x )； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞f (x )．
学科素养升级练
1．解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x a
(0<a <1)．反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以BC 正确．
答案：BC
2．解析：建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y ，车票价格不变，即平行于原图象．故①反映了建议(1)；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议(2)．故答案为B.
答案：B
3．解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ·12
＋b ·1＋c ＝52，a ·22
＋b ·2＋c ＝54，
a ·32＋
b ·3＋
c ＝58，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＋
c ＝52，4a ＋2b ＋c ＝54，9a ＋3b ＋c ＝58，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝－1，
c ＝52，
所以甲：y 1＝x 2
－x ＋52，
又⎩⎪⎨⎪⎧
p ·q 1
＋r ＝52，①p ·q 2
＋r ＝54，②p ·q 3＋r ＝58，③
②－①，得p ·q 2
－p ·q 1
＝2，④
③－②，得p ·q 3－p ·q 2
＝4，⑤ ⑤÷④，得q ＝2.
将q ＝2代入④式，得p ＝1.
将q ＝2，p ＝1代入①式，得r ＝50，
所以乙：y 2＝2x
＋50.
计算当x ＝4时，y 1＝64，y 2＝66； 当x ＝5时，y 1＝72，y 2＝82； 当x ＝6时，y 1＝82，y 2＝114. 可见，乙选择的模型较好.。