2019届全国卷Ⅰ高考压轴卷 数学文科

2019届高三全国卷Ⅰ高考压轴卷
数学文科（一）
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合A
B ＝（ ）
A ．{}1,2
B ．{}|01x x ≤≤
C ．(){}
1,2
D ．∅
2． 已知复数z 满足(2)3i z i -=+，则||(z = )
A
B ．5
C D ．10
3．下列函数中，与函数
的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）
A. B. C. D.
4．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课
间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间
不少于10分钟的概率为（ ）
A.
51 B. 103 C. 52 D. 5
4 5．函数(
)23sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ）
A. 4π
B. 2π
C. π
D.
2
π
6．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log a
b 的大小关系为（ ） A. 1log log b a b a
a b a b >>> B. 1log log a b b a
b a b a >>>
C. 1log log b a b a
a a
b b >>> D. 1log log a b b a
a b a b >>>
7． 若实数x ，y 满足条件10
262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩…………
，则2z x y =-的最大值为( )
A ．10
B ．6
C ．4
D ．2-
8． 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，四点1(4,2)P ，2(2,0)P ，3(4,3)P -，4(4,3)P 中恰有
三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( ) A
B ．
52
C
D ．
72
9． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ）
A. B. 5
C.
D. 6
11． ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32
()55
AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( )
A
B
C
D
12． 在四面体ABCD 中，1AB BC CD DA ====
，AC =
，BD =面积(S = ) A ．4π
B ．83
π
C ．43
π
D ．2π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．数列{}n a 中，148,2a a ==且满足.212(*)n n n a a a n N ++=-∈，数列{}n a 的通项公式 14． 已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为 ．
15．在ABC ∆
中，角
的对边分别为
，A
a
B b B c cos cos cos 与
是-
的等差中项且，ABC ∆的面积为34，则
的值为__________．
16．已知抛物线x y C 4:=的焦点是，直线交抛物线于
两点，分别从
两
点向直线
作垂线，垂足是
，则四边形
的周长为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
在右图所示的四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°， ∠BCD ＝150°，∠BAC ＝60°，AC ＝2，AB ＝3＋1．
A
B
C
D
（Ⅰ）求BC ；
（Ⅱ）求△ACD 的面积． （18）（本小题满分12分）
二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：
（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝n
i ＝1∑x i y i －nx
-y -n i ＝1
∑x 2i －nx
-2，a ˆ＝y -－b ˆx -．）
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？ （19）（本小题满分12分）
在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 为等边三角形，底面ABCD 等腰梯形，满足AB ∥CD ，AD ＝DC ＝ 1
2AB ＝2，且平面P AD ⊥平
面ABCD ．
（Ⅰ）证明：BD ⊥平面P AD ； （Ⅱ）求点C 到平面PBD 的距离． （20）（本小题满分12分）
已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长（P 到切点的距离）．记动点P 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；
（Ⅱ）点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，问是否存在常数λ，使得|AC |·|BC |＝λ|QC |2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 21.（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝ln (mx )－x ＋1，g (x )＝(x －1)e x －mx ，m ＞0． （Ⅰ）若f (x )的最大值为0，求m 的值；
（Ⅱ）求证：g (x )仅有一个极值点x 0，且 1
2
ln (m ＋1)＜x 0＜m ．
请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作
P
答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，M (－2，0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B (ρ，θ＋ π
3
)，|BM |＝1． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求|OA |2＋|MA |2的取值范围．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，ad ＝bc ． （Ⅰ）证明：a ＋d ＞b ＋c ；
（Ⅱ）比较a a b b c d d c 与a b b a c c d d 的大小．
KS5U2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C
【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨
=⎩，解得1
2x y =⎧⎨=⎩
，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝
(){}1,2．故选C ．
2． 【答案】C
【解析】：(2)3i z i -=+，3213i
z i i
+∴=-=+，||z ∴=．故选：C ． 3．【答案】D 【解析】函数
即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：
为非奇非偶函数，
排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，但不是上
的增函数，排除 ；为奇函数，且是上的增函数，故选D.
4．【答案】A
【解析】由题意知第二节课的上课时间为 ，该学生到达教室的时间总长度为
分钟，其中在 进入教室时，听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分
钟，故所求的概率5
1
5010= ，故选A. 5．【答案】C
【解析】 因为(
)21cos23
3sin cos sin222
x f x x x x x -=+=+
3sin2cos2222262x x x π⎛
⎫=
-+=-+
⎪⎝⎭
， 所以其最小正周期为222
T w ππ
π===，故选C. 6．【答案】D
【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.
01a <<,所以
1
1a >,1log 0a b <.综上： 1log log a b b a
a b a b >>>. 7．【答案】B ．
【解析】：先根据实数x ，y 满足条件10
262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩…
………
画出可行域如图，
做出基准线02x y =-，
由图知，当直线2z x y =-过点(3,0)A 时，z 最大值为：6．故选：B ．
8． 【答案】C
【解析】：根据双曲线的性质可得3(4,3)P -，4(4,3)P 中在双曲线上， 则1(4,2)P 一定不在双曲线上，则2(2,0)P 在双曲线上，
2a ∴=，
22
1691
a b -=，解得23b =，222
7c a b ∴=+=，c ∴，c e a ∴==故选：C ． 9． 【答案】B
【解析】：模拟程序的运行，可得： 1
1,313
i S lg lg ===->-，否；
131
3,51355
i S lg lg lg lg ==+==->-，否；
151
5,71577i S lg lg lg lg ==+==->-，否；
171
7,91799
i S lg
lg lg lg ==+==->-，否； 191
9,11191111
i S lg lg lg lg ==+==-<-，
是，输出9i =， 故选：B ． 10．【答案】C
【解析】 由三视图可知，该几何体是四棱锥P ABCD -，如图所示， 其中侧棱PD ⊥平面,2,3,4ABCD AD CD PD ===，
则5,PA PC PB ======,
，故选C ． 11． 【答案】B ．
【解析】ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC =， 510cos 25A ∴⨯⨯=，1
cos 2
A =
，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，
5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，
(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C ，，
设点P 为(,)x y ，05x 剟
，0y 剟
32
55
AP AB AC λ=
-，
(x ∴，3
)(55
y =，20)(55λ-，(32λ=-，)-，
∴32
x y λ
=-⎧⎪⎨
=-⎪⎩
，
3)y x ∴=-，①
直线BC 的方程为5x =，②， 联立①②，得5
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
此时||AP 最大，
||AP ∴ 故选：B ．
12． 【答案】D 【解析】：如下图所示，
1AB BC CD DA ====，
BD =由勾股定理可得222AB AD BD +=，222BC CD BD +=，
所以，90BAD BCD ∠=∠=︒，设BD 的中点为点O ，则122
OA OB OC OD BD =====
，
则点O 为四面体ABCD 的外接球球心，且该球的半径为2
R =
因此，四面体ABCD 的表面积为22
442S R πππ==⨯=．故选：D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】=102n a n -
【解析】 由题意，211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 为等差数列.设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，得82(1)102n a n n =--=-. 14．【答案】17a -<<． 【解析】：
()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，
∴不等式(3)f a f -<（4）等价为(|3|)f a f -<（4），
即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，
即实数a 的取值范围是17a -<<，故答案为：17a -<< 15．【答案】54.
【解析】由A a B b B c cos cos cos 与是-
的等差中项，得A a
B b B c cos cos cos 2+
=- . 由正弦定理，得A A B B B C cos sin cos sin cos sin 2+=-,A B B A B C cos cos )
sin(cos sin 2⋅+=
- ，由C B A sin )sin(=+ 所以21cos -=A ,32π=A . 由34sin 2
1
==∆A bc S ABC ，得16=bc . 由余弦定理，
得16)(cos 22
222-+=-+=c b A bc c b a ，即54=+c b ，故答案为54．
16．【答案】.
【解析】由题知，
，准线
的方程是
.
设
，由
，消
去，
得 . 因为直
线 经过焦
点，所
以 . 由抛物线上的点的几何特征知
，因
为直线
的倾斜角是 ，所以 ，所以四边形 的周长
是
，故答案为
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）在S △ACD ＝1
【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－
A
B
C
D
2AB ·AC cos ∠BAC ＝6， 所以BC ＝6．
（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，则sin ∠ABC ＝22 ，
又0°＜∠ABC ＜120°，所以∠ABC ＝45°，从而有∠ACB ＝75°，
由∠BCD ＝150°，得∠ACD ＝75°，又∠DAC ＝30° ，所以△ACD 为等腰三角形， 即AD ＝AC ＝ 2，故S △ACD ＝1．
（18）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）^y ＝－1.45x ＋18.7（Ⅱ）x ＝3
【解析】（Ⅰ）由已知：x -＝6，y -＝10，5
i ＝1
∑x i y i ＝242，5
i ＝1
∑x 2i
＝220， ^b ＝n
i ＝1∑x i y i －nx
-y -n i ＝1
∑x 2i －nx
-2＝－1.45，a ˆ＝y -－^bx
-＝18.7；
所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2)
＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5 ＝－0.05(x －3)2＋1.95，
所以预测当x ＝3时，销售利润z 取得最大值．
（19）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
3
2
【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，取AB 中点E ，连结DE ，则 DE ∥BC ，且DE ＝BC ．
故DE ＝ 1
2
AB ，即点D 在以AB 为直径的圆上，所以BD ⊥AD ．
因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BD 平面ABCD ， 所以BD ⊥平面P AD ．
（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD．
由（Ⅰ）可知△ABD和△PBD都是直角三角形，
所以BD＝AB2－AD2＝23，于是
S△PBD＝1
2PD•BD＝23，S△BCD＝
1
2BC•CD•sin120°＝3，
易得PO＝3，
设C到平面PBD的距离为h，
由V P-BCD＝V C-PBD得1
3S△PBD
•h＝
1
3S△BCD
•PO，
解得h＝
3 2．
（20）（本小题满分12分）
【答案】（1）y2＝6x （Ⅱ）λ＝4 3
【解析】（Ⅰ）由已知得圆心为C(2，0),半径r＝3．设P(x，y)，依题意可得
| x＋1 |＝(x－2)2＋y2－3，整理得y2＝6x．
故曲线E的方程为．
（Ⅱ）设直线AB的方程为my＝x－2，
则直线CQ的方程为y=－m(x－2)，可得Q(－1，3m)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将my＝x－2代入y2＝6x并整理得y2－6my－12＝0，那么y1y2＝－12，…8分
则|AC|·|BC|＝(1＋m2) | y1y2 |＝12(1＋m2)，|QC|2＝9(1＋m2)．即|AC|·|BC|＝4
3|QC|
2，所以
λ＝4 3．
21.（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）m＝1（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）由m＞0得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝1
x－1＝
1－x
x，当x＝1时，f'(x)＝0；
当0＜x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减．
故当x＝1时，f(x)取得最大值0，
则f(1)＝0，即ln m＝0，
故m＝1．
（Ⅱ）g'(x)＝x e x－m，令h(x)＝x e x－m，
则h'(x)＝(x＋1)e x，当x＝－1时，h'(x)＝0；
当x＜－1时，h'(x)＜0，h(x)单调递减；
当x＞－1时，h'(x)＞0，h(x)单调递增．
故当x＝－1时，h(x)取得最小值h(－1)＝－e－1－m＜0．
当x＜－1时，h(x)＜0，h(x)无零点，
注意到h(m)＝m e m－m＞0，则h(x)仅有一个零点x0，且在(－1，m)内．
由（Ⅰ）知ln x≤x－1，又m＞0，则1
2ln(m＋1)∈(0，
1
2m)．
而h(1
2ln(m＋1))＝h(ln m＋1)
＝m＋1ln m＋1－m＜m＋1(m＋1－1)－m
＝1－m＋1＜0，则x0＞1
2ln(m＋1)，
故h(x)仅有一个零点x0，且1
2ln(m＋1)＜x0＜m．
即g(x)仅有一个极值点x0，且1
2ln(m＋1)＜x0＜m．
22.（本小题满分10分）
【答案】（Ⅰ）(x＋1)2＋(y－3)2＝1（Ⅱ）[10－43，10＋43]．【解析】（Ⅰ）设A(x，y)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以x B＝ρcos(θ＋π
3)＝
1
2x－
3
2y；y B＝ρsin(θ＋
π
3)＝
3
2x＋
1
2y，
故B(1
2x－
3
2y，
3
2x＋
1
2y)．
由|BM|2＝1得(1
2x－
3
2y＋2)
2
＋(
3
2x＋
1
2y)
2
＝1，
整理得曲线C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1．
（Ⅱ）圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋cos α，y ＝3＋sin α
（α为参数），则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10， 所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2， 由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2，
故a ＋d ＞b ＋c ．
（Ⅱ）a a b b c d d c a b b a c c d d ＝( a b )a －b ( c d )d －c ＝( a b )a －b ( d c
)c －d ， 由（Ⅰ）得a －b ＞c －d ，又
a b ＞1，所以( a b )a －b ＞( a b )c －d ，
即( a b )a －b ( d c )c －d ＞( a b )c －d ( d c )c －d ＝(ad bc
)c －d ＝1， 故a a b b c d d c ＞a b b a c c d d ．。