离散同余

2014年3月31日星期一 9时3分22秒 裘国永 12
定义7.2 由于模m同余关系是一个等价关系，若将Z 中同余的数归为一类，不同余的数归为不同的类，则 将Z分为m个类，称为模m的剩余类或同余类 (Residue class)。 若用[r](或r mod m)表示r所属的模m的剩余 类，则[r]={i|i≡r(mod m)∧i∈Z}。 定理7.8 设m＞0，[0]、[1]、…、[m-1]是模m的 剩余类，则
(1) 每个整数包含在某一剩余类[r]中，0≤r≤m-1。
(2) 两个整数a、b属于同一剩余类，当且仅当
a≡b(mod m)。
2014年3月31日星期一 9时3分22秒 裘国永
13Байду номын сангаас
证明 (1) 因为对任一整数a，有a=mq+r，0≤r≤m1，于是a≡r(mod m)，所以a∈[r]。 (2) 若a、b属于同一剩余类[r]，则a=q1m+r， b=q2m+r，m|(a-b)，所以a≡b(mod m)。反之， 若a≡b(mod m)，由剩余类的定义知a、b属于同一
(4) f(a)≡f(b)(mod m)，f(x)为任一整系数多项
式。 (1) 因为a≡b(mod m)，c≡d(mod m)， 证明 所 以 m|(a-b) ， m|(c-d) ， 于 是 m|((ab)x+(c-d)y) ， 即 m|((ax+cy)-(bx+dy)) ， 故ax+cy≡bx+dy(mod m)。
2014年3月31日星期一 9时3分22秒
裘国永
5
定理7.2 同余关系是等价关系，即 (1) 自反性 a≡a(mod m)。 (3) 传递性 若a≡b(mod m)， b≡c(mod m)， 则a≡c(mod m)。
(2) 对称性 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
2014年3月31日星期一 9时3分22秒
2014年3月31日星期一 9时3分22秒
裘国永
8
定理7.4 设a、b、c、d为整数，m为正整数，则： (2) 若a≡b(mod m)，则(a，m)=(b，m)。
(3) a≡b(mod mi)(1≤i≤n) 同 时 成 立 ， 当 且 仅 当 a≡b(mod [m1，m2，…，mn])
(1) 若 a≡b(mod m) ，且 d|m ，则 a≡b(mod d) 。
所得余数相同，称a和b对模m同余(congruent to
the integer b modulo)，记作a≡b(mod m)，
并称该式为同余式；否则，称a和b对模m不同余，记
作a
b(mod m)。
对于给定的 b 和 m ，与 b 模 m 同余的所有数为：
b+km，其中k=0，±1，±2，…。
2014年3月31日星期一 9时3分22秒
2014年3月31日星期一 9时3分22秒 裘国永 7
(2) 因为a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，所以 m|(a-b)，m|(c-d)，于是m|((a-b)c+(c-d)b)， 即m|(ac-bd)，故ac≡bd(mod m)。
(3) 因为a≡b(mod m)，则存在整数q使得a-b＝mq 。于是an-bn＝(b+mq)n-bn=(bn+bn1(mq)1+…+b1(mq)n-1+(mq)n)-bn=mp，其中p 是一整数。所以an≡bn(mod m)。 (4) 由(1)和(3)可证。
mn的公倍数，故[m1，m2，…，mn]|(a-b)，即
a≡b(mod [m1，m2，…，mn])。
一般说来，在模不变的条件下，同余式两边不能 相约。例如，6· 3≡6· 8(mod 10)，但3 8(mod 10)。
2014年3月31日星期一 9时3分22秒 裘国永 11
定理 7.5
若 ac≡bc(mod m) ，且 (c ， m)=d ，则
第7章 同余
Congruence
2014年3月31日星期一 9时3分22秒
裘国永
1
本章内容及教学要点 • 7.1 同余及其性质 • 教学内容：同余，同余式，同余类
2014年3月31日星期一 9时3分22秒
裘国永
2
7.1 同余及其性质
2014年3月31日星期一 9时3分22秒
裘国永
3
定义7.1
给定正整数m，若用m去除两个整数a和b
a≡b(mod m/d)。
证明 由(c，m)=d得(c/d，m/d)=1。由ac≡bc (mod m)得m|(ac-bc)，于是(m/d)|(a-b) (c/d)。又(c/d，m/d)=1，从而(m/d)|(a-b) 。故a≡b(mod m/d)。 例7.1 求3406写成十进制数时的个位数。
解 因为32≡-1(mod 10)，34≡1(mod 10)， 所以3404≡1(mod 10)。因此，3406≡3404· 32 ≡9(mod 10)。所以个位数为9。
2014年3月31日星期一 9时3分22秒
裘国永
9
证明
(1) 由a≡b(mod m)得m|(a-b)，再由
d|m，可得d|(a-b)，所以a≡b(mod d)。
(2)
令(a，m)=d1，(b，m)=d2。由(a，
m)=d1，则d1|a，d1|m。又因为a≡b(mod m)
，所以m|(a-b)。由d1|m和m|(a-b)，得d1|(ab)。再由d1|a和d1|(a-b)，得d1|b。从而，d1是 m与b的公因数，所以有d1≤d2。同理可得d2≤d1。 于是，d1=d2，即(a，m)=(b，m)。
2014年3月31日星期一 9时3分22秒 裘国永 10
(3) 若a≡b(mod [m1，m2，…，mn])，因为 mi｜[m1，m2，…，mn]，则由(1)可得 a≡b(mod mi)(1≤i≤n)。
反之，若a≡b(mod
mi)(1≤i≤n)，则有
mi|(a-b)(1≤i≤n)，所以a-b是m1、m2、…、
裘国永
6
定 理 7.3 设 a 、 b 、 c 、 d 为 整 数 ， m 为 正 整 数 ， 若
a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则：
(1) ax+cy≡bx+dy(mod m)，x、y为任意整数， 即同余式可以相加； (2) ac≡bd(mod m)，即同余式可以相乘； (3) an≡bn(mod m)，n＞0；
裘国永
4
定理7.1 a≡b(mod m)当且仅当m|(a-b)。 证明 若 a≡b(mod m) ， 则 有 a=q1m+r ， b=q2m+r，0≤r＜m。于是有a-b=(q1-q2)m， 所 以 m|(a-b) 。 反 之 ， 令 a=q1m+r1 ， b=q2m+r2 ，其中 0≤r1 ＜ m ， 0≤r2 ＜ m ，则 r1r2=(a-b)-(q1-q2)m 。 由 题 设 m|(a-b) ， 从 而 m|(r1-r2) 。又因为 |r1-r2| ＜ m ，故 r1=r2 ，于是 a≡b(mod m)。
剩余类。
2014年3月31日星期一 9时3分22秒
裘国永
14
Assignments（作业）
PP138：1，2
2014年3月31日星期一 9时3分22秒
裘国永
15