一类时滞泛函微分方程三个正周期解的存在性
一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性
第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023011一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性张 敏,周文学,黎文博(兰州交通大学数理学院,兰州730070)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理研究一致分数阶时滞微分方程边值问题D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0解的存在性与唯一性.在非线性项满足增长性条件和L i p s c h i t z 条件下,分别得到了该边值问题解的存在性与唯一性结果,并举例说明所得结果的适用性.关键词:一致分数阶导数;时滞;边值问题;L e r a y -S c h a u d e r 度理论;B a n a c h 压缩映射原理中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1007-07E x i s t e n c e a n dU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o rB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s o fC o n f o r m a b l eF r ac t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s Z H A N G M i n ,Z HO U W e n x u e ,L IW e n b o(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e rd e g r e et h e o r y a n d B a n a c h c o n t r a c t i o n m a p p i n g p r i n c i p l e ,w e s t u d i e dt h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o n sf o r b o u n d a r y va l u e p r ob l e m s o fc o n f o r m a b l e f r a c t i o n a lde l a y d if f e r e n t i a l e qu a t i o n s D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=0ìîíïïïï,w h e n t h en o n l i n e a r t e r ms a t i s f i e d t h e g r o w t hc o n d i t i o na n d t h eL i ps c h i t z c o n d i t i o n ,w eo b t a i n e d t h e r e s u l t s o f e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f s o l u t i o n f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mr e s p e c t i v e l y ,a n d g a v e a ne x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e o b t a i n e d r e s u l t s .K e y w o r d s :c o n f o r m a b l e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ;d e l a y ;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ;L e r a y -S c h a u d e r d e g r e e t h e o r y ;B a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i pl e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-13.第一作者简介:张 敏(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事分数阶微分方程的研究,E -m a i l :m z h a n g 20222022@126.c o m.通信作者简介:周文学(1976 ),男,汉族,博士,教授,从事非线性分析问题的研究,E -m a i l :w x z h o u 2006@126.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961039;11801243)和兰州交通大学校青年科学基金(批准号:2017012).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230713.1056.001.h t m l .Copyright ©博看网. All Rights Reserved.0 引 言分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分系统理论的重要课题.目前,对分数阶微分方程边值问题的研究已取得了丰富成果,其中最主要的是基于R i e m a n n -L i o u v i l l e 和C a p u t o 分数阶导数的定义[1-9].但这两种导数均不满足经典链式法则,并且这两种导数的某些性质使得分数阶导数的应用很困难.因此,K h a l i l 等[10]提出了一种新的分数阶导数和分数阶积分的定义,称为一致分数阶导数和积分.这种新的分数阶导数的定义可满足经典的分数阶导数不能满足的一些性质,如乘积法则㊁商法则㊁链式法则㊁罗尔定理和中值定理等,并且其在生物物理学㊁电容理论㊁控制理论和实验数据拟合等领域应用广泛[11-13].但对带有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究目前报道较少[14-16].Y a n g 等[17]利用S c h a e f e r 不动点定理和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题cD α0+u (t )=f (t ,u (t ),u ᶄ(t )),u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)={正解的存在性,其中0<t <1,1<αɤ2,f :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ˑℝң[0,+ɕ)是连续函数,c D α0+是α阶C a p u t o 分数阶导数.X u [18]利用B a n a c h 压缩映射原理㊁L e r a y -S c h a u d e r 度理论和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类分数阶微分方程边值问题cD q x (t )=f (t ,x (t )), t ɪ[0,1],x (1)=μʏ1x (s )d s , x ᶄ(0)+x ᶄ(1)={解的存在唯一性,其中1<q <2,f :[0,1]ˑX ңX 是连续函数,c D q 是q 阶C a p u t o 分数阶导数.基于上述研究,本文利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理考虑如下一类一致分数阶时滞微分方程边值问题:D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0(1)解的存在性与唯一性,其中1<βɤ2,τ>0,f :[0,1]ˑℝңℝ是连续函数,D β0+是阶数为β的一致分数阶导数.1 预备知识定义1[10] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶导数定义为D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε, t >0,(2)其中β是大于等于β的最小整数.式(2)右端极限存在,此时称函数f 是β阶可微的.特别地,当βɪ(1,2]时,D βf (t )=l i m εң0f ᶄ(t +εt 2-β)-f ᶄ(t )ε, t >0.(3) 注1 如果函数f 在(0,b )(b >0)上是β阶可微的,并且l i m t ң0+D βf (t )存在,则D βf (0)=l i m t ң0+D βf (t).注2 由一致分数阶导数定义可知,当β=1时,一致分数阶导数定义即为传统的一阶导数定义.引理1[10] 当βɪ(n ,n +1]并且f 在t >0处n +1阶可微时,有D βf (t )=t β⌉-βf(β⌉)(t ).(4) 证明:令k =εt β⌉-β,则ε=t β-β⌉k ,因此由定义1可得D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε=l i m k ң0t β⌉-βf (β⌉-1)(t +k )-f (β⌉-1)(t )k=t β⌉-βf (β⌉)(t ). 定义2[19]假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶积分定义为8001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.I βf (t )=1n!ʏt 0(t -s )n s β-n -1f (s )d s .(5)特别地,当βɪ(1,2]时,I βf (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s )d s .引理2[19] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ连续,并且βɪ(n ,n +1],则有D βI βf (t )=f (t ).(6) 引理3[19]假设f :[0,ɕ)ңℝ是β阶可微函数,并且βɪ(n ,n +1],则有I βD βf (t )=f (t )+a 0+a 1t + +a nt n ,(7)其中a i ɪℝ,i =0,1,2, ,n .引理4 设函数f :[0,1]ˑℝңℝ是连续的,u (t )是边值问题(1)的解,则u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],(8)其中格林函数G (t ,s)为G (t ,s )=(1-s )(2-t )sβ-2,0ɤs ɤt ɤ1,(1-t )(2-s )sβ-2,0ɤt ɤs ɤ1{.(9) 证明:由引理3知,有u (t )=I β0+f (t ,u (t -τ))-a 0-a 1t =ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 0-a 1t ,(10)从而u ᶄ(t )=ʏts β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 1.根据u (0)+u ᶄ(0)=0,有a 0+a 1=0;(11)根据u (1)+u ᶄ(1)=0,有a 0+2a 1-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =0.(12)结合式(11),(12)可得a 0=-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s , a 1=ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s .(13)将式(13)代入式(10)可得u (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -t ʏ1(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏt 0(1-s )(2-t )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ1t(1-t )(2-s )sβ-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s . 引理5(A r z e l a -A s c o l i 定理)[20] 集合P ⊂C ([a ,b ])列紧的充分必要条件为:1)集合P 有界,即存在常数ψ,使得对∀u ɪP ,有u (t )ɤψ(∀t ɪ[a ,b ]);2)集合P 等度连续,即对∀ε>0,始终存在σ=σ(ε)>0,使得对于∀t 1,t 2ɪ[a ,b ],只要t 1-t 2<σ,即有u (t 1)-u (t 2)<ε(∀u ɪP ).2 主要结果设A 为C ([-τ,1],ℝ)按范数 u =m a x t ɪ[-τ,1]u (t )构成的B a n a c h 空间,在A 上定义一个算子Q ,Q u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0]{. 假设条件:(H 1)函数f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),并且φɪC ([-τ,0],ℝ);9001 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(H 2)存在常数α,B >0,使得∀(t ,u )ɪ[0,1]ˑℝ,有f (t ,u )ɤαu +B ;(H 3)存在函数η(t )ɪL 1/2([0,1],ℝ+),使得∀t ɪ[0,1],当任取u ,v ɪℝ时,有f (t ,u )-f (t ,v )ɤη(t )u -v ,其中 η =ʏ10η2(s )d ()s 1/2.为方便,引入记号:Λ1=β+2β(β-1),Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3),Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3),32<βɤ2.定理1 如果条件(H 1)和(H 2)成立,并且αɪ(0,Λ-11),则边值问题(1)至少存在一个解.证明:由函数G (t ,s ),f (s ,u (s -τ))的连续性可知算子Q 是连续的,并且易证Q (A )⊂A .设P 是A 中的一个有界集,则存在常数M >0,使得对任意的u ɪP ,有 u ɤM .下面利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明边值问题(1)正解的存在性,分以下3个步骤.1)证明算子Q (P )是一致有界的.对任意的u ɪP ,有Q u (t)=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t ,s )d s ɤ(αM +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt(t -s )s β-2d []s =(αM +B )β+1β(β-1)(1-t )+1β(β-1)㊃t éëêêùûúúβɤ(αM +B )β+1β(β-1)+1β(β-1éëêêùûúú)=(αM +B )Λ1,因此,算子Q (P )是一致有界的.2)证明算子Q (P )是等度连续的.对任意的u ɪP ,t 1,t 2ɪ[-τ,1]且t 1<t 2:①当0ɤt 1<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)=ʏ10G (t 2,s )f (s ,u (s -τ))d s -ʏ1G (t 1,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s ɤ (αM +B )ʏt 10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏt 2t 1G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏ1t 2G (t 2,s )-G (t 1,s )d []s = (αM +B )ʏt 10{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+[(t 2-s )s β-2-(t 1-s )s β-2]}d s + (αM +B )ʏt 2t 1{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+(t 2-s )s β-2}d s + (αM +B )ʏ1t 2[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]d s =(αM +B )ʏt 10(t 1-t 2)(2-s )s β-2d s +ʏt 10(t 2-t 1)s β-2d s +ʏt 2t 1(t 1-t 2)(2-s )s β-2d [s + ʏt 2t 1(t 2-s )s β-2d s +ʏ1t 2(t 1-t 2)(2-s )s β-2d ]s ɤ(αM +B )(t β2-t β1)-(β+1)(t 2-t 1)β(β-1); ②当-τɤt 1<t 2ɤ0时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤφ(t 2)-φ(t 1);③当-τɤt 1<0<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤQ u (t 2)-Q u (0)+Q u (0)-Q u (t 1)ɤʏ10G (t 2,s )-G (0,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )ʏ10G (t 2,s )d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ0101 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(αM +B )t β2β(β-1)+φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )t β2-t β1β(β-1)+φ(0)-φ(t 1). 在上面3种情形中,当t 1ңt 2时,总有Q u (t 2)-Q u (t 1)ң0,表明Q (P )是等度连续的.故由引理5可知,Q (P )是列紧的,从而算子Q :A ңA 是全连续的.3)利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明问题(1)正解的存在性.定义范数 φ [-τ,0]=m a x t ɪ[-τ,0]φ(s ).假设当γɪ[0,1],u ɪA 时,u =γQ u ,则u (t )=γQ u (t )ɤQ u (t)ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤʏ10G (t ,s )(αu +B )d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(αu +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt 0(t -s )s β-2d []s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(α u +B )Λ1,t ɪ[0,1], φ [-τ,0],t ɪ[-τ,0{],从而 u ɤB Λ11-αΛ1 φìîíïïïɤT .令ω=T +1,B ω={u ɪA : u <ω},则u ʂγQ u ,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].定义一个映射:F γ(u )=u -γQ u ,则F γ(u )=u -γQ u ʂ0,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].因此,由L e r a y -S c h a u d e r 度的同伦不变性,有d e g (F γ,B ω,θ)=d e g (I -γQ ,B ω,θ)=d e g (F 1,B ω,θ)=d e g (F 0,B ω,θ)=d e g (I ,B ω,θ)=1ʂθ.从而根据L e r a y -S c h a u d e r 度的可解性可知,方程F 1(u )=u -Q u =0在B ω上至少存在一个解,进而边值问题(1)至少有一个正解.证毕.定理2 如果条件(H 1)和(H 3)成立,并且 η (Λ2+Λ3)<1,则边值问题(1)存在唯一解.证明:假设s u p t ɪ[0,1]f (t ,0)=ζ<ɕ.定义B δ={u ɪA : u ɤδ}为A 中的有界闭球,并选择δȡζΛ11- η (Λ2+Λ3).下面利用B a n a c h 压缩映射原理证明边值问题(1)解的存在唯一性,分以下两个步骤.1)证明Q (B δ)⊂B δ.对任意的u ɪB δ,有Q u (t)ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s ɤʏt 0(t -s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s ɤ u ʏt(t -s )s β-2η(s )d s +ζʏt(t -s )s β-2d s +u (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s +ζʏ10(1-t )(2-s )s β-2d s ɤ u ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+ζβ(β-1)t β+ u (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d []s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤ1101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η t β-1/2+ζβ(β-1)t β+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η (1-t )+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤδ η (Λ2+Λ3)+ζΛ1,则 Q u ɤδ.表明算子Q 将B δ中的有界子集映为B δ中的有界子集,即Q (B δ)⊂B δ.2)证明算子Q 为压缩映射.对任意的u ,v ɪA :①当t ɪ[0,1]时,有Q u (t )-Qv (t )ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s ɤ u -v ʏt(t -s )s β-2η(s )d s + u -v (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s ɤu -v ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+u -v (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2ɤ1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ ηt β-1/2+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ η (1-t )ɤ η (Λ2+Λ3) u -v ; ②当t ɪ[-τ,0]时,有Q u (t )-Q v (t )=φ(t )-φ(t )=0.由①,②可得Q u -Q v [-τ,1]ɤ η (Λ2+Λ3) u -v [-τ,1]. 因为 η (Λ2+Λ3)<1,所以算子Q 为压缩映射.即由B a n a c h 压缩映射原理可知算子Q 存在唯一的不动点,故边值问题(1)存在唯一解.3 应用实例考虑下列一致分数阶时滞微分方程边值问题:D 7/40+u (t )=e -3t s i n 1/2t 5(2+t )2㊃u (t -τ)1+u (t -τ), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0,u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïïïï0(14)解的存在性与唯一性.证明:在边值问题(14)中,β=74,函数f (t ,u (t ))=e -3t s i n 1/2t 5(2+t)2㊃u 1+u 是连续的,满足条件(H 1);对任意的u ,v ɪℝ,t ɪ[0,1],有f (t ,u (t -τ))-f (t ,v (t -τ))ɤe -3t s i n 1/2t 5(2+t )2u -v ɤe -3t s i n 1/2t ㊃u -v .所以存在η(t )=e -3t s i n 1/2t ɪL 1/2([0,1],ℝ+),满足条件(H 3),且 η =0.1667.又因为Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ1.0328, Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ2.3944.所以 η (Λ2+Λ3)ʈ0.5713<1.因此根据定理2可知,边值问题(14)存在唯一解.2101 吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.参考文献[1] K I Y AM E H RZ ,B A G HA N I H.E x i s t e n c eo fS o l u t i o n so fB V P sf o rF r a c t i o n a lL a n g e v i n E q u a t i o n sI n v o l v i n g C a p u t oF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e s [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dA n a l ys i s ,2021,27(1):47-55.[2] Z O U Y M ,H EGP .O n t h eU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o r aC l a s s o f F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [J ].A p p l i e d M a t h e m a t i c sL e t t e r s ,2017,74:68-73.[3] J O N G K S ,C HO I H C ,R IY H.E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n so faC l a s so f M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s f o r p -L a p l a c i a nF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hS i n g u l a rS o u r c eT e r m s [J ].C o mm u n i c a t i o n s i n N o n l i n e a r S c i e n c e a n dN u m e r i c a l S i m u l a t i o n ,2019,72:272-281.[4] C U IYJ ,MA WJ ,S U N Q ,e t a l .N e w U n i q u e n e s sR e s u l t s f o r B o u n d a r y V a l u e P r o b l e mo f F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n [J ].N o n l i n e a rA n a l y s i s :M o d e l l i n g an dC o n t r o l ,2018,23(1):31-39.[5] L IY H ,Y A N G H J .E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o r N o n l i n e a rF o u r -P o i n tC a p u t oF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l E q u a t i o nw i t h p -L a p l a c i a n [J ].B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s ,2017,2017:75-1-75-15.[6] A HMA DB ,N T O U Y A SSK ,Z HO U Y ,e t a l .AS t u d y o fF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s a n d I n c l u s i o n sw i t h N o n l o c a l E r d él y i -K o b e rT y p eI n t e g r a lB o u n d a r y C o n d i t i o n s [J ].B u l l e t i no ft h eI r a n i a n M a t h e m a t i c a lS o c i e t y ,2018,44(5):1315-1328.[7] X U ET T ,L I U W B ,Z HA N G W.E x i s t e n c eo fS o l u t i o n sf o rS t u r m -L i o u v i l l eB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m so f H i g h e r -O r d e rC o u p l e d F r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sa tR e s o n a n c e [J ].A d v a n c e si n D i f f e r e n c e E q u a t i o n s ,2017,2017:301-1-301-18.[8] L IY H ,Q I A B .E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o r M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m so fC a p u t o F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n [J ].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fD y n a m i c a l S y s t e m s a n dD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,2017,7(2):169-183.[9] S E V I N I K A D I G ÜZ E LR ,A K S O Y Ü,K A R A P I N A R E ,e ta l .O nt h eS o l u t i o no faB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m A s s oc i a t ed w i t ha F r a c t i o n a lD i f fe r e n t i a lE q u a t i o n [J /O L ].M a t h e m a t i c a l M e t h o d si nt h e A p pl i e d S c i e n c e s ,(2020-06-23)[2022-09-13].h t t p s ://d o i .o r g/10.1002/mm a .6652.[10] K HA L I LR ,A lHO R A N I M ,Y O U S E F A ,e ta l .A N e w D e f i n i t i o no fF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e [J ].J o u r n a lo f C o m p u t a t i o n a l a n dA p pl i e d M a t h e m a t i c s ,2014,264:65-70.[11] I Y I O L A OS ,T A S B O Z A N O ,K U R T A ,e t a l .O n t h eA n a l y t i c a l S o l u t i o n s o f t h e S y s t e mo f C o n f o r m a b l eT i m e -F r a c t i o n a lR o b e r t s o nE q u a t i o n sw i t h1-DD i f f u s i o n [J ].C h a o s ,S o l i t o n s&F r a c t a l s ,2017,94:1-7.[12] Z HO U H W ,Y A N GS ,Z HA N GSQ.C o n f o r m a b l eD e r i v a t i v eA p p r o a c ht oA n o m a l o u sD i f f u s i o n [J ].P h y s i c a A :S t a t i s t i c a lM e c h a n i c s a n d I t sA p pl i c a t i o n s ,2018,491:1001-1013.[13] H ESB ,S U N K H ,M E IX Y ,e ta l .N u m e r i c a lA n a l y s i so fa F r a c t i o n a l -O r d e rC h a o t i cS y s t e m B a s e do n C o n f o r m a b l eF r a c t i o n a l -O r d e rD e r i v a t i v e [J ].T h eE u r o p e a nP h y s i c a l J o u r n a l P l u s ,2017,132:36-1-36-11.[14] L IY N ,S U N S R ,Y A N G D W ,e ta l .T h r e e -P o i n t B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s o f F r a c t i o n a lF u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t hD e l a y [J /O L ].B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s ,(2013-02-22)[2022-08-25].h t t ps ://d o i .o r g/10.1186/1687-2770-2013-38.[15] HA N Z L ,L I Y N ,S U I M Z .E x i s t e n c e R e s u l t sf o r B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m so f F r a c t i o n a lF u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hD e l a y [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t i n g,2016,51(1/2):367-381.[16] L IM M ,WA N GJR.F i n i t eT i m eS t a b i l i t y o fF r a c t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [J ].A p pl i e d M a t h e m a t i c s L e t t e r s ,2017,64:170-176.[17] Y A N G X ,W E IZL ,D O N G W.E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n s f o r t h eB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m o fN o n l i n e a r F r ac t i o n a lD i f f e r e n t i a lE qu a t i o n s [J ].C o mm u n i c a t i o n si n N o n l i n e a rS c i e n c ea n d N u m e r i c a lS i m u l a t i o n ,2012,17(1):85-92.[18] X U YF .F r a c t i o n a l B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m sw i t h I n t e g r a l a n dA n t i -p e r i o d i cB o u n d a r y C o n d i t i o n s [J ].B u l l e t i n o f t h eM a l a y s i a n M a t h e m a t i c a l S c i e n c e sS o c i e t y,2016,39(2):571-587.[19] A B D E L J AWA D T.O nC o n f o r m a b l e F r a c t i o n a l C a l c u l u s [J ].J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s ,2015,279:57-66.[20] 许天周.应用泛函分析[M ].北京:科学出版社,2002:67-72.(X U T Z .A p p l i e dF u n c t i o n a lA n a l ys i s [M ].B e i j i n g :S c i e n c eP r e s s ,2002:67-72.)(责任编辑:赵立芹)3101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. 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一类高维时滞微分方程正周期解的存在性
Ｋ ｙ ｗｏ ｄ ｅ ｒ ｓ：ｈｇ ｅ— ｉ ｎ ｉｎ；ｐ ｓｔ ｅｐ ｒ ｄｃｓ ｌｔ ｎ；Ｌ ｒｙ Ｓ ｈ ｕ ｅ ｈ ｒ ａｉｅｐ ｉｃｐｅ ｅａ ｉｈ ｒｄｍｅ ｓ ｏ ｏ ｉｖ ｅｉ ｉ ｏｕｉ ｉ ｏ ｏ ｅａ —ｃ ａ ｄ ｒａ ｅｎ ｔ ｒｎ ｉｌ ；ｄ ｌｙ ｖ
记 ］ 实数 集 ， 为 非 负实数 集．考 虑如 下 ｎ维 时滞微 分 方程 Ｒ为 Ｒ＋
Ｘ （ ）＝Ａ（） （）＋ （ ， （ 一７ ｔ ） ｔ ｔＸ ￡ ， ￡Ｘ解的存在性 ， 其中
Ａ（ ）： ｄａ （ ｌ ｔ ，２ ｔ ， ，， ｔ ） ｔ ｉｇ ａ （ ） ａ （） … ａ （ ）
是 对角 矩 阵 函数 ，对任 意 的 ｉ ，， ，，ａ∈Ｃ ：， ； 对任 意 的 ｔ ：１２ … ｎ （ Ｒ） 且 ∈Ｒ， 有 都
ａ（ ＋Ｔ ＝ａ （） ｔ ） ｔ ；
∈Ｃ Ｒ， ） 对 任意 的 ｔ （ ， ∈曼， 有 都
ｒ ｔ ） ＝ ｒｔ ； （ ＋Ｔ （ ）
ｆ ｔＸ） （， ∈Ｃ（ Ｒ×Ｒ ，Ｒ ） 对 任意 的 ｔ ， ∈Ｒ， Ｘ∈Ｒ ， 有 ｆ ｔ 都 （ ， ， ｔ ，） ）＝ （ ＋ＴＸ ． 文献 ［ ］ １ 应用锥 不 动点定 理 研究 了标 量方 程
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｕｓｎ ｈ ｒ ｙ Ｓｃ ａ ｄ ｒｎ ｎ ｉ ａ ｌｅ ｎ ｔ ｅ ｔ ｅ ａ ｔ ｏ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｉ ｖ ｅ ｉｄｉ ｉ ｇ ｔ ｅ Ｌｅ ａ — ｈ ｕ ｅ ｏ ｌ ｎｅ ｒａｔｒ ａｉ ｖ ｈ ｕ ｈ ｒｐ ｏ ｅ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔ ｅ ｐ ｒｏ ｃ ｉ
ｇ∈Ｃ Ｒ＋ Ｒ＋ ， 对任 意 的 ∈］＋ 均有 ０＜ｚ （ ≤Ｌ＜∞ ； （ ， ）且 Ｒ ， ｕ ≤ｇ ） ／∈Ｃ Ｒ＋ Ｒ＋ ； 任 意 的 ＞０ 均有 （ ， ）对 ，
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告时滞微分方程（Delay Differential Equations，DDE）是一种具有时滞项的微分方程，其解的振动性和正解存在性是研究时滞微分方程的重要问题之一。
本文将介绍几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的研究情况。
1. 时滞线性微分方程时滞线性微分方程是一种常见的时滞微分方程形式。
对于具有时滞项的线性微分方程，可以通过矩阵指数函数的方法得到其正解存在性，并进一步确定其解的振动性。
研究表明，当时滞项小于一定值时，时滞线性微分方程的解为渐近稳定的；当时滞项在一定范围内时，时滞线性微分方程的解会出现振荡；当时滞项超过一定值时，时滞线性微分方程的解将变得不稳定。
2. Michaelis-Menten型时滞微分方程Michaelis-Menten型时滞微分方程是一种具有广泛应用的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Michaelis-Menten型时滞微分方程的解存在且唯一，并且解的振动性是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大。
3. Hopfield型神经网络模型Hopfield型神经网络模型是模拟神经网络的常用模型之一，也是一种具有时滞项的微分方程。
研究表明，在一定条件下，Hopfield型神经网络模型的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于发散。
4. Logistic型时滞微分方程Logistic型时滞微分方程是一种描述种群生长和传染病传播的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Logistic型时滞微分方程的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大或消失。
综上所述，时滞微分方程的解的振动性和正解存在性受时滞项大小和模型参数等因素影响。
研究时滞微分方程解的振动性和正解存在性对于深入理解时滞微分方程模型的特性，有助于应用时滞微分方程模型解决实际问题。
一阶时滞微分方程周期解的存在性
ｔ ｔ Ｉ （ ）＝一 （ （ —ｒ ）ｉ ｓ ｄｅ ， ｈ ｒｆ （ Ｒ ）ａ ｄｒ ０， ｎ ｅ ｓｌｆ ｅ ｘ ｔ ｃ ｆ ｅ ｏ ｉ Ｓ－ － “ ｔ ） ｓ ｔ ｉ ｗ ｅｅ ｅＣ Ｒ ， ｎ ＞ ａ ｄａｎ ｗｒ ｕｔ ｒ ｈ ｉ ｅ ｅｏ ｐ ｒ ｄ Ｏ 厂 ｕ ｄ ｅ ｔ ｅ ｓｎ ｏ ｉ ｃ
Ｖｏ１ ９ Ｎｏ ５ ．１ ．
Ｓ ｐ． ｅ ２０１ ０
ｄ ｉ１ ．９ ９ ｊｉ ｎ １ ７ ｏ：０ ３ ６ ／．ｓ ． ６ ２—８ １ ．０ ０ ０ ． １ ｓ ５ ３ ２ １ ．５ ０ ３
一
阶 时 滞 微 分 方 程 周 期 解 的存 在 性
张 绍康
（ 昭通师范高等专科学校 数学系 ， 云南 昭通 ６７ ０ ） ５ ００
定义 ２ 设 Ｅ是一个 Ｈ ｌｅｔ 间 ， ｃ ， ｉ ｒ空 ｂ 曰ｃ Ｅ ．称 Ａ， 曰是弱 环绕 的 ，如果对 Ｅ上满 足 Ⅱ：ｓｐ ≤ ｎ ｕ，
ｂ＝ｉ Ｉ ０ ｎ 的弱对 弱 连续泛 函 ， 都存在 ｛ ｆ ， “ ｝Ｃ Ｅ及常
数ｃ 得 ｂ 使 ｏ≤ ｃ＜ ∞ ，（ ｃ ，（ ０ ， Ｉ） ｔ ， Ｉ） ｔ ． 引理 １８ 设 Ｅ是 一个可 分 的 Ｈｉ ｅｔ 间且它 ｌ ｌ ｒ空 ｂ
第 １ ９卷 第 ５期 ２１ ０ ０年 ９月
云 南 民族 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊｕｎｌｏ Ｙ ｎａ ｎｖｒｔ ｏ ａ ｏａ ｔｓ Ｎ ｔｒｌＳｉ ｃｓＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｆ ｕ ｎｎ Ｕ ｉｅｓｙ ｆＮ ｔ ｎｌｉ （ ａ ａ ｃ ｎｅ ｄｔ ｎ ｉ ｉ ｉｅ ｕ ｅ ｉ
一类泛函微分方程周期正解的存在性
Existence of Positive Periodic Solutions for a Class of Functional Differential Equations 作者： 杨红燕
作者机构： 忻州师范学院专科部,山西忻州034000
出版物刊名： 忻州师范学院学报
页码： 17-21页
年卷期： 2010年 第5期
主题词： 锥 特征值 全连续算子 周期解
摘要：利用泛函微分方程来规划实际问题,更能准确的反映事物的本质属性。
泛函微分方程的周期解的存在性在许多领域中都有广泛的应用。
大多数学者考虑了不含参数的泛函微分方程,而带有参数的泛函微分方程周期解存在性的相关结果还很少。
文章主要利用全连续算子的特征值理论,得到带有多个参数的多时滞微分方程存在一个周期正解的充分条件,对时滞问题的解决提供了理论基础。
一方面丰富了泛函微分方程理论,另一方面也为生态学中许多问题的实际应用提供了必要的理论基础。
一类时滞模型周期正解的存在性问题
２ ） ｎ） １兰 （ ＝ （ｚ ） 一 （［
和
］
（ ３ ）
（ ４ ）
（） ５
２ ￡＝ｚ￡［（） （ ） （）ｎ￡一∑ｂ ￡ （一 ）］ ｌ） ￡ ｒ ） （
以及 乘 积 型 Ｌ ｇｓｉ ； 程 ［ １ ｏｉ ｃ ｈ ｔ － １］
＝
［ｆ 【 一
ｉ＝ １
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第１ 卷 第３ ９ 期
。 。 年。 月
工 程 数 学 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ ＮＥＥ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＲＩ Ｍ ＣＳ
ｖ １９ 。 。１Ｎ ３ ．
Ａｇ 。 ｕ 。
文 章 编 号 ：０ ５３ ８ （ ０ ２ ０ —０ １０ １ ０ ．０ ５ ２ ０ ） ３０ ２ —５
一。Βιβλιοθήκη 非 线 性 泛 函分 析 中 的一 些 理 论 与 方 法 ， 拓 扑 度 理 论 ［ ， ］ 不 动 点 方 法 ［ 迭 合 度 理 如 １２ ， ，
论 ｌＪ 都 是研 究 周 期 解 的 重要 工 具 ， 已有 不少 结 果 ， 文 ［ ３等 并 见 ４～８ 等 。 文 ［ ］ 用 迭 合 度 理 ］ ７利
］
基金项目 ｏＱ９ １ 墼 日 ２０－ － ． 作者简介： 期： ５５ 蒲志林（９３ １ 年４ ６ 月生）男， ， 博士， 副教授
： 川 省教 育 厅重 点基 金资 助 ． 四
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２ ２
工
程 数 学
学
报
第 １ ９卷
但 是 ， 外 还 有 一 些 模 型 ， 红 血 球 再 生 模 型 ［， ］ 另 如 ６１ ２
散模 型 的 稳 定 性 和一 致 持 久 性 ， 关 于 这 一 模 型 方 程 的 周 期 解 的存 在 性 问 题 ， 未见 有 关 的 而 尚 结 果 。 文 以 非 线 性 锥 映 射 拓 扑 度 为 工 具 ， 先 建 立 了 一 般 模 型 （ ）存 在 正 周 期 解 的 条 件 ， 本 首 ２ 并将 所 得 结 果 应 用 于 Ｎｉｈ ｌ ｎ Ｓｂｏ ｌ ｓ模 型 （ ） 证 明 了 在 周 期 环 境 下 ， ｃ ｏｓｎ Ｓ ｃ ｏｓ ’ ｌ ｉ ｏ ｗｆｅ ８ ， Ｎｉ ｌ ’ ｈ ｏ ｂｏ ｌ ｓ 型 方 程 （ ）存 在 周 期 解 。 ｌｗｆｅ 模 ｉ ８
一类具有脉冲的中立型时滞微分方程正周期解的存在性
１９ ９７年 ， ｉ 利用 Ｍａ ｉ 续定 理 ， 论 了～ 类 具 常 时滞 的周 期 系 数 的 中立 型 泛 函微 分 方 程 ．０ １年 ， Ｌ Ｊ ｗｈｎ连 讨 ２０ Ｆｎ ［ 讨 论 了方程 （ ）并且 对 文献 ［］中公 开 问题 给出 了解答 ．０ ３年 ，ｕ６研 究 了如 下方 程 正周 期解 的 ａｇ５ ］ ２， ３ ２０ Ｌ［ ］
ｚ（ （ｋ ￡ ）一 ｔ）： ｌ（ ｎ １十Ｊ ） ｃ ， ２
即
、
￡：
∈ Ｎ．
‘） ４
收稿日期 ：０ ９—０ ２０ ３—１ ０
基 金项 目： 湖南省教育厅 ２０ 年科技项 目（６ ０ ２ ； ０６ ０ Ｃ ４ ） 湖南工学院 ２ ０ 年科研项 目（ Ｙ ８ ２ ） ０８ Ｈ ０ ０ ６ 作者简 介： 盛洁波 （９ ９ ， ， １ ６ 一） 女 湖南人 ， 讲师 ， 主要研究方 向： 微分方程 ．
பைடு நூலகம்
一
类具有脉冲 的中立型 时滞微分方程正周期解 的存在性
盛 洁波 陈福 来２ ，
（． １湖南工 学院 基础课教学部 ， 湖南 衡阳 ４ １０ ；． ２０ ２ ２ 湘南学 院 数学系 ， 湖南 郴州 ４３０ ） ２ ０ ０
摘 要 ： 一个实际生态系统， 常受到周围环境 变化 以及人类活动的影响 ， 因而在 生态系统建模 中应 该考虑脉冲的存在 ． 现有的研究过 多局限在具有常时滞的周期 系统的中立型泛函微分方程， 对具有 脉 冲的 中立型 时滞微 分方程 模 型研 究较 少． 本文利 用 重合度理 论 ， 究 了一类 具有脉 冲 的 中立型 时 研
—
１］本文利用重合度理论 ， ３． 讨论方程（ ） １ 的正周期解的存在性。
１ 预 备 知 识
一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计
高校应用数学学报2010,25(2):134-140一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计郭志明(广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006)摘要:应用变分方法与无穷维空间Morse理论研究方程˙x=g(x(t−r)),得到上述微分差分方程以4r为周期的非常数周期解存在性的条件,并且给出其个数的下界.因此为研究含有时滞的微分系统周期解的存在性提供了一种新方法.关键词:时滞微分方程;周期解;Morse理论;非共振中图分类号:O176.3;O175.7文献标识码:A文章编号:1000-4424(2010)02-0134-07§1引言考虑一阶时滞微分方程˙x=g(x(t−r)),(1)其中r>0是常数,x∈R,g∈C1(R,R).本文的基本假设是(g)g是奇函数,并且当x→∞时,g′(x)的极限存在,记为g′(∞),其中g′(∞)是有限数.对方程(1)周期解的研究可以追溯到Jones,Nussbaum及Kaplan和Yorke的工作.早在1962年, Jones就应用不动点理论对一个具体的方程周期解存在性给出了一些结果[1].在[2]中,Nuss-baum利用喷射不动点方法研究了方程(1)的周期解,而Kaplan和Yorke在[3]中利用与之耦合的常微分方程方程组,得出了方程(1)的2π周期解的存在性.后来温立志,陈永劭,葛渭高等分别对该方程进行了研究[4-6].1998年,李继彬与何学中首次应用临界点理论研究方程(1)的周期解的存在性,相关文献可参阅[7-8]等.在[7-8]中,作者将方程(1)满足一定对称条件的周期解问题转化为一个相应的Hamilton系统的周期解问题,进而应用临界点理论研究相应Hamilton系统周期解的存在性.但是我们注意到,在一个特定的函数空间上,方程(1)是具有变分结构的微分系统.2005年,郭志明与庾建设[9]对方程(1)的周期解问题在一个特定的函数空间上直接建立变分框架,并应用收稿日期:2008-09-14基金项目:国家自然科学基金(10871053);广州市教育局科技计划项目(62006)郭志明:一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计135伪指标理论得到了向量形式的方程(1)的周期解的多重性.2006年,Fei[10-11]应用指标理论对方程(1)作了更细致的讨论,得到了重要的研究成果.Morse理论是临界点理论的重要组成部分,它在研究具有变分结构的微分系统周期解存在性及其个数估计方面有着非常广泛的应用.而且一般说来,应用Morse理论得到的周期解含有更丰富的信息,如临界点的Morse指标或临界值的估计等.2000年,Abbondandolo在文[12]中介绍了一种新的无穷维空间Morse理论.一般说来,Hilbert空间上的强不定泛函,其临界点的Morse指标为无穷大.对于这类泛函无法直接应用经典的Morse理论,往往需要将所考虑的泛函约化到某个有限维空间上去讨论.Abbondandolo对Hilbert空间的子空间定义了一种相对维数,同时对泛函的临界点定义新的Morse指标,即E+-Morse指标.这样就可以直接在无穷维空间上应用其建立的Morse理论研究临界点的存在性及其个数.需要指出的是,这种相对Morse指标早在1995年与1997年,Fei与Qiu已经作了类似的研究[13-14].本文的目的就是利用变分方法与Abbondandolo介绍的E+-Morse理论来研究方程(1)的非常数4r周期解的存在性及其个数估计.为简单起见,取r=π2.对一般情形可以通过一个时间变换τ=π2r t,将方程变为r=π2的情形.先对方程(1)建立适当的变分框架,将(1)的2π周期解转化为相应泛函的临界点,然后应用Abbondandolo的E+-Morse理论,研究方程(1)的非常数2π周期解的存在性及其个数.定义1.1方程(1)的2π周期解x(t)称为非共振的,如果线性化方程˙v(t+π2)=g′(x(t))v的所有2π周期解组成的空间是由˙x(t)张成的.定义1.2方程(1)称为在无穷远处是非共振的,如果线性方程˙v(t+π2)=g′(∞)v不存在非零的2π周期解.定义1.3记τ(0)=14(g′(0)+1),称τ(0)为方程(1)关于0的旋转数.同理τ(∞)=14(g′(∞)+1)称为方程(1)在无穷远处的旋转数.记n(2π)为方程(1)的2π非常数周期解的个数.定理1.1假设函数g∈C1(R,R)满足条件(g),方程(1)的所有2π周期解是非共振的,并且方程(1)在无穷远处也是非共振的.则方程(1)的2π非常数周期解的个数n(2π)满足：n(2π)≥|[τ(∞)]−[τ(0)]|.(2)其中[τ(∞)],[τ(0)]分别表示τ(∞),τ(0)的最大整数部分.注1由假设(g),g(0)=0.从而x=0是方程(1)的2π周期解.如果方程(1)的所有2π周期解是非共振的,则简单计算可知,对于任意的正整数k,g′(0)=(−1)k(2k−1).类似地,如果方程(1)在无穷远处是非共振的,则对于任意的正整数k,g′(∞)=(−1)k(2k−1).从而可以得到如下推论.推论1.1在定理1.1的假设下,当g′(0)<g′(∞)时,方程(1)至少存在#({k∈Z|g′(0)<4k−1<g′(∞)})个非常数的2π周期解.当g′(∞)<g′(0)时,方程(1)至少存在#({k∈Z|g′(∞)<4k−1<g′(0)})个非常数的2π周期解,其中#(A)表示集合A所含元素的个数,Z表示整数集.注2在定理1.1中,方程(1)的所有2π周期解是非共振的这一假设条件是技术性的,该条件意味着方程(1)的2π周期解对应作用泛函的非退化临界点.应用退化临界点的Morse理论可以避136高校应用数学学报第25卷第2期免这一假设条件[15].§2变分框架与引理L2(R/2πZ,R)表示R上以2π为周期的平方可积函数组成的空间,简记为L22π.H12(R/2πZ,R)表示L2(R/2πZ,R)中12阶导数平方可积的函数组成的空间,简记为H122π.设u(t)∈H12(R/2πZ,R),有Fourier展开式u(t)=1√2πa0+1√π+∞∑k=1(a k cos kt+b k sin kt),其中a0,a k,b k∈R,k=1,2,···,+∞.由H122π的定义,有a20++∞∑k=1(1+k)(a2k+b2k)<+∞.∀u(1),u(2)∈H122π,定义内积为⟨u,u′⟩=a(1)0a(2)0++∞∑k=1(1+k)(a(1)ka(2)k+b(1)kb(2)k).在此内积下,H122π是Hilbert空间.∀u∈H122π,其范数为∥u∥=[a20++∞∑k=1(1+k)(a2k+b2k)]1/2.设E={u∈H122π|u(t+π2)=−u(t−π2),∀t∈R},(3)则E为H122π中闭线性子空间,因而是Hilbert空间.定义E上的泛函B(u)=12∫2π˙u(t+π2)u(t)d t,∀u∈E.B(u)在E上是Frechet可微的,设B′(u)为B在u的Frechet导数,则∀ξ∈E,B′(u)ξ=∫2π˙u(t+π2)ξ(t)d t.定义E上的线性算子L为(Lu,ξ)E=B′(u)ξ=∫2π0˙u(t+π2)ξ(t)d t,∀u,ξ∈E,则L是E上的自共轭线性算子.事实上,∀u,ξ∈E,(Lu,ξ)E=B′(u)ξ=∫2π0˙u(t+π2)ξ(t)d t=−∫2πu(t+π2)˙ξ(t)d t=−∫5π2π2u(t)˙ξ(t−π2)d t=−∫2π0u(t)˙ξ(t−π2)d t=∫2πu(t)˙ξ(t+π2)d t=(u,Lξ)E.考虑定义在E上的泛函Φ(u)=∫2π0[12˙u(t+π2)u(t)−∫u(t)g(s)d s]d t.(4)由关于g的假设条件可知,泛函Φ的临界点对应于方程(1)的2π周期解.这样,我们就把寻求方程(1)的2π周期解转化为讨论(4)的临界点的存在性.下面概括Abbondandolo关于空间相对维数的一些概念及E+-Morse指标的有关结论而不加证明,详细讨论参见[12,16].设E为实的Hilbert空间,E正交分解为E=E+⊕E−,E+与E−均可以是E的无穷维子空间.定义2.1E的两个闭子空间V,V′称为是可公度的(commensurable),如果商投影V′→E/V及V→E/V′都是紧的.郭志明:一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计137可公度性是E 的闭子空间上的等价关系.定义义2.2设V 是E 中与E −可公度的闭子空间.V 的E +维数定义为E +-dim V =dim V ∩E +−codim(V +E +)=dim V ∩E +−dim V ⊥∩E −.由可公度性的定义,上述和式中两个被加项都是有限数.例如,如果Y 是有限维的子空间且Y ∩E −={0},则E +-dim(E −⊕Y )=dim Y ≥0；如果Y 是E −中有限余维的子空间,则E +-dim Y =−codim E −Y ≤0.设F 是定义在E 上二次连续可微的泛函,d 2F (u )表示F 在u 的二阶Frechet 导数,则d 2F (u )可以看作E 上有界线性的自共轭算子.假设u 是F 的临界点,即F ′(u )=0,如果d 2F (u )是可逆的,则称u 为F 的非退化临界点.定义2.3设u 为F 的非退化临界点,并且d 2F (u )的最大负特征子空间V −与E −是可公度的,则u 的E +-Morse 指标(记作E +-m (u ))定义为E +-m (u )=E +-m (u ;F )=E +-dim V −.∀u ∈E ,令u (t )=1√2πa 0+1√π+∞∑k =1(a k cos kt +b k sin kt ).由于u (t +π2)=−u (t −π2),直接计算可得a 0=0,a 2k =b 2k =0,k ∈N .因此u 可以表示为u (t )=+∞∑k =1(a k cos(2k −1)t +b k sin(2k −1)t ),∀t ∈R .令E k =span {cos(2k −1)t,sin(2k −1)t },则E =+∞⊕k =1E k .记E +=+∞⊕k =1E 2k ,E −=+∞⊕k =1E 2k −1,则E =E +⊕E −.考虑定义在E 上的泛函Φ(见(4)).由于g ∈C 1(R ,R ),Φ在E 上是二阶Frechet 可微的,且对于任意的u ∈E ,Φ′(u )ξ=∫2π0[˙u (t +π2)ξ(t )−g (u (t ))ξ(t )]d t,∀ξ∈E ;⟨d 2Φ(u )v,ξ⟩|E =∫2π0[˙v (t +π2)−g ′(u (t ))v (t )]ξ(t )d t,∀v,ξ∈E.定义2.4方程(1)的2π周期解x ∈E 称为在E 中是非共振的,如果线性化方程˙v (t +π)=g ′(x (t ))v 包含在E 中的所有2π周期解组成的空间是由˙x (t )张成的.定义2.5方程(1)称为在无穷远处是E 中非共振的,如果线性方程˙v (t +π2)=g ′(∞)v 在E 中不存在非零的2π周期解.由定理1.1的假设条件,0是泛函Φ在E 上的临界点,并且是非退化的.事实上,若∀ξ∈E ,⟨d 2Φ(0)v,ξ⟩|E =0.我们有˙v (t +π2)−g ′(0)v (t )=0,从而v =0.考虑E 上的有界自共轭算子d 2Φ(∞),d 2Φ(∞)定义为d 2⟨Φ(∞)v,ξ⟩|E =∫2π[˙v (t +r )−g ′(∞)v (t )]ξ(t )d t,∀v,ξ∈E.138高校应用数学学报第25卷第2期若d2Φ(∞)最大负特征子空间为V−∞,则d2Φ(∞)在无穷远处的E+-Morse指标定义为V−∞的E+维数,即E+-m(∞)=E+-dim V−∞.应用[16]中Theorem5.2.1的证明方法,可得如下引理.引理2.1假设函数g∈C1(R,R)满足条件(g),方程(1)的所有2π周期解在E中是非共振的,并且在无穷远处也是E中非共振的.则下面的Morse关系式成立λE+−m(0)+(1+λ)W(λ)=λE+−m(∞)+(1+λ)Q(λ).(5)其中W(λ),Q(λ)是具有非负系数的形式Laurent级数,并且设W(λ)=+∞∑l=−∞w lλl.若w l>0,则方程(1)存在w l个非常数的2π周期解.§3主要结论的证明定理1.1的证明将引理2.1中的Morse关系式改写为λE+−m(0)−λE+−m(∞)=(1+λ)B(λ).(6)设W(λ)=∑j w jλj,Q(λ)=∑jq jλj,B(λ)=∑jb jλj=∑j(q j−w j)λj.由于q j≥0,w j≥0,若b j<0,则w j=q j−b j≥−b j>0.记m(2π)为方程(1)在E中非常数2π周期解的个数.则n(2π)≥m(2π)=∑j w j≥−∑b j<0b j.记B−=−∑b j<0b j.下面我们计算B−.首先计算E+-m(0).令⟨d2Φ(0)v,ξ⟩|E=∫2π[˙v(t+π2)−g′(0)v(t)]ξ(t)d t,∀v,ξ∈E.d2Φ(0)的最大负特征子空间记为V−0.考虑特征值问题:˙v(t+π2)−g′(0)v=λv,v∈E.(7)容易求得,λ(0)k=(−1)k(2k−1)−g′(0),∀k=1,2,···.由于方程(1)的所有2π周期解在E中是非共振的,故∀k=1,2,···,λ(0)k=0.当g′(0)≥0时,λ(0)2k−1<0,k=1,2,···,并且当k≤[τ(0)]<14(g′(0)+1)时,λ(0)2k<0.k>[τ(0)]时,λ(0)2k>0.易知V−0=E−⊕E2⊕E4⊕···⊕E2[τ(0)].因此E+-m(0)=2[τ(0)].当g′(0)<0时,λ(0)2k >0,k=1,2,···,并且当k>−[τ(0)]时,λ(0)2k−1<0.k≤−[τ(0)]时,λ(0)2k−1>0.因此V−0=+∞⊕k=−[τ(0)]+1E2k−1.V−0在E−中的正交补空间为(V−0)⊥|E−=E1⊕E3⊕···⊕E−2[τ(0)]−1.郭志明:一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计139从而E+-m(0)=2[τ(0)].同样,当g′(∞)>0时,E+-m(∞)=2[τ(∞)]；当g′(∞)<0时,E+-m(∞)=2[τ(∞)],其中,τ(∞)=14(g′(∞)+1).现考虑Morse关系式(6).不妨设g′(∞)>g′(0),g′(∞)≤g′(0)的情形可类似讨论.将Morse关系式改写为λ2[τ(0)]−λ2[τ(∞)]1+λ=B(λ).(8)则B(λ)=λ2[τ(0)]2([τ(∞)]−[τ(0)])−1∑i=0(−1)iλi.显然,B(λ)中,λ的奇次幂前的系数为−1,而偶次幂前的系数为+1.因此B(λ)中负系数的和B−为B−=[τ(∞)]−[τ(0)].(9)定理1.1证毕.推论1.1的证明当g′(0)<g′(∞)时,τ(0)<τ(∞),从而[τ(0)]≤[τ(∞)].根据定理1.1,方程(1)至少存在[τ(∞)]−[τ(0)]个2π周期解.不妨设[τ(0)]=j<j+1<···<j+l=[τ(∞)].记A={k∈N|g′(0)<4k−1<g′(∞)}.我们将证明#(A)=l.事实上∀p=1,2,···,l, [τ(0)]<j+p≤[τ(∞)].由于τ(0)与τ(∞)不能取整数,所以τ(0)<j+p<τ(∞).由τ(0)与τ(∞)的定义,g′(0)<4(j+p)−1<g′(∞).这说明,j+p∈A.因此,#(A)≥l.另一方面,∀k∈A,g′(0)<4k−1<g′(∞),即τ(0)<k<τ(∞).从而,[τ(0)]<k≤[τ(∞)].即存在p=1,2,···,l,使得k=l+p.因此,#(A)≤l.当g′(0)>g′(∞)时,可以类似地证明.推论1.1证毕.注3在[3]中,Kaplan与Yorke研究了方程˙x=−f(x(t−1))(10)以4为周期解的存在性.他们假设f是奇函数,并且limx→0f(x)x=α,limx→∞f(x)x=β.则当α<π2<β或β<π2<α时,方程(10)至少存在一个4周期解.作时间变量变换t=2πs,并令y(s)=x(2πs),则方程(10)变为y′(s)=−2πf(y(s−π2)).(11)令g=−2πf.应用推论1.1的结论,我们有推论3.1方程(10)存在m个以4为周期的周期解,其中m=#({k∈Z|α<π2(1−4k)<β}),或m=#({k∈Z|β<π2(1−4k)<α}).显然,推论3.1推广了[3]的结论.参考文献:[1]Jones G J.The existence of periodic solutions of f′(x)=−af(x−1)[1+f(x)][J].J MathAnal Appl,1962,5:435-450.140高校应用数学学报第25卷第2期[2]Nussbaum R D.Periodic solutions of some nonlinear autonomous functional differentialequations(II)[J].J Differential Equations,1973,14:368-394.[3]Kaplan J L,Yorke J A.Ordinary differential equations which yield periodic solution of delayequations[J].J Math Anal Appl,1974,48:314-324.[4]Wen Lizhi,Xia Huaxing.Existence of periodic solutions for differential difference equationswith two time lags[J].Scientia Sinica Ser A,1988,31:777-786.[5]Chen Yongshao.The existence of periodic solutions of the equation˙x(t)=−f(x(t),x(t−1))[J].J Math Anal Appl,1992,163:227-237.[6]葛渭高.微分差分方程x′(t)=f(x(t−1))简单周期解的个数[J].数学年刊A辑,1993,14:472-479.[7]Li Jibin,He Xuezhong.Multiple periodic solutions of differential delay equations created byasymptotically Hamiltonian systems[J].Nonlinear Analysis TMA,1998,31:45-54.[8]Li Jibin,He Xuezhong.Proof and generalization of Kaplan-Yorke’s conjecture on periodicsolution of differential delay equations[J].Science in China Ser A,1999,42:957-964.[9]Guo Zhiming,Yu Jianshe.Multiplicity results for periodic solutions to delay differentialequations via critical point theory[J].J Differential Equations,2005,218:15-35.[10]Fei Guihua.Multiple periodic solutions of differential delay equations via Hamiltonian sys-tems(I)[J].Nonlinear Analysis TMA,2006,65:25-39.[11]Fei Guihua.Multiple periodic solutions of differential delay equations via Hamiltonian sys-tems(II)[J].Nonlinear Analysis TMA,2006,65:40-58.[12]Abbondandolo A.Morse theory for asymptotically linear Hamiltonian systems[J].NonlinearAnalysis TMA,2000,39:997-1049.[13]Fei Guihua.Relative Morse index and its applications to Hamiltonian systems in the presenceof symmetries[J].J Differential Equations,1995,122:302-315.[14]Fei Guihua,Qiu Qingjiu.Periodic solutions asymptotically linear Hamiltonian systems[J].Chin Ann Math Ser B,1997,18:359-372.[15]Benci V.Estimate of the number of periodic solutions via the twist number[J].J DifferentialEquations,1997,133:117-135.[16]Abbondandolo A.Morse theory for Hamiltonian systems[A].Research Notes in MathematicsSeries,425[C].London:Chapman&Hall/CRC,2001.Existence and estimate of the number of nontrivial periodic solutionsfor delay differential equationsGUO Zhi-ming(College of Math.and Info.Sci.,Guangzhou Univ.,Guangzhou510006,China)Abstract:In this paper,by using variational methods and infinite dimensional Morse theory, a sufficient condition is obtained for the existence of multiple nontrivial4r-periodic solutions to the following delay differential equations˙x=g(x(t−r)).A lower bound of the number of periodic solutions is also given.As a consequence of this paper,a new method is introduced for investigating the periodic solutions of delay differential equations.Keywords:delay differential equations;periodic solutions;Morse theory;nonresonanceMR Subject Classification:34K10。
一类三阶泛函微分方程周期解的存在性
Ｉ ＝ ａ｛ Ｉ ， Ｉ ， Ｉ ， Ｉ ｝ Ｉ ｍｘ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ
Ｙ＝｛ ∈ Ｃ Ｒ， ， ｔ ７ ＝ ｔ，Ｖｔ Ｉ （ Ｒ） （ ＋２ｒ （） ∈Ｒ｝ ）
＝Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ
（） ２
（） ３
显然 ， Ｙ均为 Ｂｎｃ 空间。在 Ｘ上定义算子 ： Ｘ， ａａ ｈ
彭向阳教授推荐 收稿 日期：Ｏ７年 ｌ ３ ２Ｏ Ｏ月 ０日
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一
类三阶泛 函微分方程周期解 的存 在性
８ ３
Ｘ＝｛ Ｉ Ｃ （ Ｒ） （ ＋２ｒ ＝ ｔ， ∈Ｒ｝ ∈ Ｒ， ， ｔ ７ （） Ｖｔ ）
定义范数为 ： 定义范数为 ：Ｉ Ｉ
１ 引 言及 引理
考虑三阶泛函微分 方程 ：
’ ｍ
（） ｔ ＋∑０ “ （ ） ６ ｔ ｌ ’ｔ ＋ （ —ｔ） ＋
（ ｔ ） ＝Ｐ ｔ （ 一 ） （ ）
（） １
的２ 周期解的存在性。其 中 ｒ ＝ 。 ０ ａ（ 一１２ ， ｉ ０ １２ …， 为常数 ， （ ＝１ 丌一 。 ｄ ＝ ， ｉ ，）ｂ（ ＝ ，，， ｍ） ｉ ，
ｌ
Ｕ
ｌ ＝ Ｕ
易得 Ｋｒ ＝ ， Ｌ Ｉ ， （）ｔ ０ ｅ Ｒ Ｉ ＝｛ ∈Ｙ ｌ ￡ｄ： ｝ Ｌ ｍ
Ｊ ０
．
因此 是指标为零的 Ｆ ｄｏ ｒ ｈｌ ｅ ｍ算子。令投影算子 Ｐ， Ｑ为
Ｐ： － ｘ－ ￣Ｋｅ ， ｒ ＝ ｙ， ＝
则 Ｉ ｍＰ＝Ｋ ｒ Ｋ ｒ ｅＬ，ｅＱ＝Ｉ 。 ｍＬ
令 ＝Ｌ 毗 ） ， ｎ 易证 是可逆的， Ｉ 且其逆
： ｌ — Ｄ（ ｎＫ ｒ ｈｌ ） ｅＰ
ｙ￡ ￡＋ ＝ ＋￡ ３ ２
一类积分微分方程周期解的存在性
其 中 Ａ（＝ （） 是 上 的 ｎ ｎ （ ） ） ｘ 连续 函 数 矩 阵 ，
） Ｒ上 的 ｎ 连续 函 数 向量 ， Ａ（ ￡ 于 ￡ 是 维 且 ｔ ） ） 关 是
连续 周 期 函数 。利 用 引理 １ ４易得 如 下 引理 ： — 引理 ５５ 设 ｃｔ５是 ｎ ｔ 【 ］ （， ） Ｘｔ 连续 函 数 矩 阵 且 满足 条件 ＜ ＞ Ａ 满 足 条 件 （ ， （ 者 （ ， ） 则方 ４ ， ） ）（ 或 日 （ ， 固
＝
Ｉ ｔ） ｈ ， ｌ ｂ ｔｘ ｙ Ｉ ， － （ｙ － ｏ） － ｌ ｈ ｘ ｔ ） － （ｌ ｌ （
＜＞ 在 ＞ 使得 ７存 常数 争， 对于任 意的ｔＲ有 Ｅ ，
６ｔ （。 ）
对 于方 程（） 作如 下假 设 ： １ 现
收 稿 日期 ：０ ０ １ － １ ２ １ － １ １ 基 金 项 目 ： 徽 省 教 育 厅 自然 科 学 研 究 项 目（Ｊ ００ ４ ５ 安 Ｋ ２ １Ｂ ４ ）
Ｕ ～ ０ ｃ
．
．５ ．
其 中 （ ， ， （ 分别 由＜ ＞，５ ＜ ＞ ｒ （ １ ｆ ） ） ） ｌ ＜ ＞，６ 决定 。
考 虑 周 期 系统 ： ｔ Ａ（ｘ ） （） ２
￡是 Ｔ 连续 的 周期 ｌ ， ） ｔ 维 数 则
ｇ ） ｆ ｃ ， ｆ ｓ ｓ也是连续 的 卜周期函数。 （ ＝ （ｓ ，） ｆ ｔ）（ｄ
近 年 来，对 于 无穷 时滞 泛 函微 分方程 的周 期解
（＋ （ （＋∑ Ｊ（ （ （ （ｉ１，， ｒ ｆ ｆ ） ）） ｆ ｆ ｆ ｆ ＝，…ｌ ） ） ）） ２ ｑ ，
的研 究 也吸 引 了很 多 学者 的极 大 的关注 ， 黄启 昌 ，１ ［ １
一类具有分布时滞的p-Laplacian中立型泛函微分方程周期解的存在性
２ 存 在 常数 ｒ ） Ｉ＞０ ｒ ，２＞０ ｍ ＞０和 ｄ≥ ０， 得 ， 使
（） 。“ ≤ ｇ ／ ≤ ｒ ｌ Ｉ， ／ ＞ｄ ｉ ｒＩｌ （， ） ｕ Ｖ Ｉ ｌ ； ，
（ｉ ｇ Ｈ ＞０ （ ｕ （， ｉ ）ｕ （ ） 或 ｇＩ １ ）＜０ ， １Ｊ ； ） Ｖ Ｉ ＞ｄ １ ，
３ 存 在 常数 ｓ ＞０ 使 得 ） ，
【 （）Ｉ＋ｄ２ 一 ＋ ６］ ） 一 ｔ Ｊ
Ｄ ＝
【’）卢 ｚ ＞ ［二ｔＩ＋ｄ ＜… （ ＋Ｉ ） ’ ｒ卢 。 】 ｍ 。（ Ｊ ． Ｊ
４） 卜歹 条 件 之 一 成 立 ： Ｕ
ｃ ＝・ ｐ， ｉ 一旦 』 ， ｎ
其 ， ｆ． 中 ＝ １
、Ｘ２Ｉ
再将 方程 （ ）改为下 列形式 ２
ｒＡ 。 （）＝ （ｚｔ ）＝ ｌ （） （ｘ ） ｔ （） ｔ
（） ｔ
㈤ ：－ ） （） ｃ（ 一 ） 厂 （ （ ｃ） ）『 ） ｇ０
．
）ｅ ）（ ＋
其 中 ， ＋一 ：１ 得 出 ￡ １ （）： （ （） （ ） 是方程 （ ）的一个 周期 解 ， ．￡ ， ￡ ） ３ 则 。ｔ 是方 程 （ ）的一个 （） ２
ｃ ｎ中立 型泛 函微 分 方程 ｌ ａ
（，（ 一 ￡ ｏ） 十 （ ） ￡＋ （ ｆ ｓ ｍｓ ＝ （ （ ￡ ｃ 一９ （ ｇｆ ＋） （ ） ｅ ） ， ） （ ） ） （ ｄ ）
（ １ ）
的周期 解 的存 在性 问题 ， Ｐ＞ 在 ２的条 件下 ， 用 重 合 度理 论 获 得 了方程 （ ） 少存 在 一 个 周 期解 的充 分 利 １至
从 而推 广 和改进 了文献 ［ ］的相 关结 果． ５
１ 准 备 知 识
一类时滞周期模型正周期解的存在性
一类时滞周期模型正周期解的存在性
刘兴元
【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(18)4
【摘要】研究时滞周期模型x'(t)+a·v(t)x(t)xn(t-τ(t))/θn+xn(t-τ(t))=λ(t)其中m、n是正整数,v(t),λ(t)是正周期函数,周期为ω,τ(t)为非负ω周期函数,获得方程存在
一个正周期解的充分条件,推广改进了已有结果[Saker,
Comput.Math.Appl.2002(44)623-632].并举例说明了定理的应用.
【总页数】4页(P15-18)
【作者】刘兴元
【作者单位】邵阳学院,数学系,湖南,邵阳,422000
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类具有时滞的细胞繁殖模型的正周期解的存在性 [J], 周刚;时宝;盖明久;杨树
杰
2.一类时滞种群竞争模型正周期解的存在性 [J], 刘心歌;唐效兰;唐美兰;刘心笔
3.讨论一类有状态依赖时滞和连续时滞积分微分方程系统正周期解的存在性 [J],
任芳
4.一类带脉冲和时滞的宿主——大寄生物模型正周期解的存在性 [J], 李贞阳;杨必裕;龙瑶
5.一类非自治时滞半比率依赖捕食模型的正周期解的存在性 [J], 刘艳;秦丽华;樊小琳
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一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性
第42卷第2期东北师大学报(自然科学版)Vol.42No.22010年6月Journal of Northeast Normal University (Natural Science Edition )J une 2010[收稿日期] 2009208226[基金项目] 国家自然科学基金资助项目(60775047);湖南省教育科学基金资助项目(060D74).[作者简介] 陈志彬(1965—),男,硕士,副教授,主要从事泛函微分方程研究.[文章编号]100021832(2010)022*******一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性陈志彬1,2,黄立宏2(1.湖南工业大学理学院,湖南株洲412000;2.湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙410082)[摘 要] 运用分析方法,利用Krasnoselskii 不动点理论,对一类中立型泛函微分方程存在周期解进行了定性与定量的研究,获得了这一类泛函微分方程周期解存在性与唯一性的充分条件,推广了相关研究的主要结论.[关键词] 中立型;微分方程;周期解;存在性;唯一性;不动点理论[中图分类号] O 19 [学科代码] 110・51 [文献标志码] A0 引言中立型泛函微分方程在信号传输网络中具有广泛的应用背景,近年来,其周期解的存在性受到数学工作者的高度重视,取得了一系列的成果[128].文献[2]用锥不动点理论,研究了泛函微分方程x ′(t )=-a (t ,x (t ))x (t )+f (t ,x t )(1)周期解的存在性;文献[3]用重合度理论研究了泛函微分方程x ′(t )+ax ′(t -τ)=f (t ,x (t )),(2)在|a |≤1的条件下,存在周期解的问题.研究中立型泛函微分方程周期解的存在性方法,概括起来有:不动点理论、重合度理论和L yap unov 泛函的方法.然而,研究周期解唯一性的工作却较少.本文利用Krasnoselskii 不动点理论及分析的方法,讨论更一般形式的中立型泛函微分方程ddtx (t )+∑n i =1c ix (t -τi)=-a (t )g (x (t ))x (t )+f (t ,x (t -σ(t )))(3)周期解的存在性与唯一性.其中:σ∈C (R ,R );f ∈C ′(R ×R ,R );a ,g ∈C (R ,R +);a ,f ,σ关于t 是T 周期函数,τi >0(i =1,2,…,n )为常量.设函数g ,f 总满足下列条件:(A 1)存在正常数l 1,l 2和L ,使得l 1≤g (x )≤l 2及|f (t ,x 1)-f (t ,x 2)|≤L |x 1-x 2|成立.(A 2)存在非负有界函数ρ(x )∈C (R ,R +)及常数b ∈(0,1),对于任给u i ,v i ∈R (i =1,2),有不等式|u 1g (v 1)-u 2g (v 2)|≤|u 1-u 2|ρ(‖v 1-v 2‖)成立,其中a =1T∫Ta (t )d t ,ω=e Ta,b =∑ni =1|c i |<1.东北师大学报(自然科学版)第42卷(A 3)任意x 1,x 2∈C (R ,R ),有9f (t ,x )9x<0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))>0;或者是9f (t ,x )9x>0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))<0.1 预备知识为了方便,引入如下记号:‖x ‖2=∫T0|x (t )|2d t12,‖x ‖∞=max t ∈[0,T]|x (t )|,‖x ‖0=sup t ∈R|x (t )|,x =x (t )∈C ′(R ,R )|x (t +T )=x (t ),X T (M )=x (t )∈C ′(R ,R )|x (t )∈X ,‖x ‖0≤M .于是,集合X 是以‖x ‖0为范数的Bananch 空间.在函数集X T (M )上,显然有‖x ‖∞=‖x ‖0.引理1[9] 设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),∫T0x (t )d t =0,则如下不等式成立:(1)∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t 12;(2)max t ∈[0,T]|x (t )|≤T 12∫T|x ′(t )|2d t 12.引理2 设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),如果存在正常数d ,对于任意t ∈[0,T ]使得|x (t )|≤d ,则不等式∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t12+T d成立.证明 令X (t )=x (t )-1T∫T0x (t )d t ,由引理1得∫T0|X (t )|2d t12≤T2π∫T|X ′(t )|2d t12,(4)不等式(4)化为∫T0|x (t )|2d t12≤T24π2∫T0|x ′(t )|2d t +1T ∫T 0x (t )d t212≤T 2π∫T0|x ′(t )|2d t 12+1T∫T|x (t )|d t ≤T2π∫T|x ′d t |212+T d.引理3(Krasno selskii 不动点定理) 设K 是Banach 空间X 的有界凸闭集,映射F :K →K 和U :K→K 满足条件:(ⅰ)任意的u ,v ∈K ,有Fu +Uv ∈K;(ⅱ)F 在K 上是全连续的,U 在K 上是压缩的,则F +U 在K 上至少有一个不动点.引理4 设a (t ),p (t )为T 周期函数,对于微分方程x ′(t )=-a (t )x (t )+p (t ),如果∫T0a (τ)d τ>0,则有唯一的T 周期解x (t )=∫t+T texp∫s ta (τ)d τexp ∫Ta (τ)d τ-1p (s )d s.22第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性结论是显然的,略去证明.2 主要结论及证明设u (t )∈X T (M ),对于微分方程dd tx (t )+∑n i =1c iu (t -τi)=-a (t )g (u (t ))x (t )+f (t ,u (t -σ(t ))),(5)如果令y (t )=x (t )+∑ni =1c iu (t -τ1),则方程(5)化为d y (t )d t=-a (t )g (u (t ))y (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -σ(t ))),(6)由引理4知exp∫Ta (τ)g (u (t ))d τ≠1时,方程(6)有唯一的T 周期解y u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.其中W u (s ,t )=exp∫s ta (τ)g (u (τ))d τexp ∫Ta (τ)g (u (τ))d τ-1, 1ωl2-1≤W u (s ,t )≤ωl 2ωl 1-1.于是,方程(5)有唯一的T 周期解x (t )=y u (t )-∑ni =1c iu (t -τi).在X T (M )上定义两个映射U u (t )=-∑ni =1c iu (t -τi),F u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.(7)如果映射U +F 在X T (M )上有不动点x (t ),则x (t )为系统(3)的T 周期解.定理1 对于微分方程(3),在条件(A 2)被满足时,如果条件(A 4)1M‖f ‖0≤1-∑ni =1|c i |ωl 1-1Tωl2-l 2a∑ni =1|c i |成立,则微分方程存在T 周期解.证明 (ⅰ)X T (M )为有界凸闭集.任给x (t ),y (t )∈X T (M )及λ∈(0,1),我们得λx (t +T )+(1-λ)y (t +T )=λx (t )+(1-λ)y (t ),(8)‖λx (t +T )+(1+λ)y (t +T )‖0=‖λx (t )+(1+λ)y (t )‖0≤M ,(9)即X T (M )是凸的.如果函数列{x n (t )}ΑX T (M ),且lim n →0‖x n -x 0‖0=0,根据下列不等式‖x 0‖0≤‖x 0-x n ‖0+‖x n ‖0≤‖x 0-x n ‖0+M ,(10)|x 0(t +T )-x 0(t )|≤|x 0(t +T )-x n (t +T )|+|x n (t )-x 0(t )|+|x n (t +T )-x n (t )|≤2‖x n -x 0‖0,(11)我们可以得到‖x 0‖0≤M ,x 0(t +T )=x 0(t ),即x 0(t )∈X T (M ),于是X T (M )为闭集.其有界性是显然的.所以,综合以上的证明,X T (M )为有界凸闭集.(ⅱ)任意u ,v ∈X T (M ),我们可以证明32东北师大学报(自然科学版)第42卷F u +U v ∈X T (M ).(F u +U v )(t +T )=∫t+T+Tt+TW u (s ,t +T )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t +T -τi )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)=(F u +U v )(t ),(12)对于任意t ∈R ,存在整数n ,使得t =nT +t 1,且t 1∈[0,T ],由于a ,σ和f 都为T 周期函数,结合条件(A 4)可以得到不等式‖F u +U v ‖0M=1Msupt ∈R∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)≤ωl 2M (ωl2-1)sup t ∈[0,T]∫t+T t(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s+1Msupt ∈[0,T]∑ni =1c iv (t -τi)≤Tωl2M (ωl1-1)‖f ‖0+l 2Ma∑n i =1|c i |+∑ni =1|c i |≤1,(13)于是,由(12),(13)两式得F u +U v ∈X T (M ).(ⅲ)U u 是压缩的.因为对于任给u 1,u 2∈X T (M ),有下式成立:|U u 2-U u 1|=∑ni =1c iu 2(t -τi )-∑ni =1c iu 1(t -τ1)≤∑ni =1|c i |‖u 1-u 2‖=b ‖u 1-u 2‖.(14)(ⅳ)映射F u 是全连续的.下面分三步来证明,这里对于任意u ∈X T (M ).首先,F u 是连续的,令m =‖f ‖0+‖a ‖0M ‖ρ‖0∑ni =1|c i |,对于任给的u 1,u 2∈X T (M ),根据条件(A 2)可以得到|F u 1(t )-F u 2(t )|=∫t+T tWu 1(s ,t )(f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c i(g (u 1(s ))u 1(s -τi )-g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s+∫t+Tt(Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t ))(f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c 1g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s≤ωl 2ωl 1-1∫T|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|d s +T aρ(‖u 1-u 2‖∑n i =1|c i |‖u 1-u 2‖+m ∫t+Tt|Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|d s.(15)由于函数W u 和f 连续,于是当‖u 1-u 2‖→0时,一致的有|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|→0,|W u 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|→0.所以,当‖u 1-u 2‖0→0时,有‖F u 1(t )-F u 2(t )‖0→0,即F u 是连续的.其次,易证F X T (M )是一致有界的.最后,我们只要证明F u 是等度连续的即可.对于任意u ∈X T (M ),t ∈[0,T ],得到d F u (t )d t=-a (t )g (u (t ))F u (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -δ(t )))≤‖a ‖0l 2‖F u (t )‖0+M∑ni =1|c i |i+‖f ‖0(16)42第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性一致有界,于是,当|t 1-t 2|→0时,‖F u (t 1)-F u (t 2)‖0→0,即F u (t )是等度连续的.因此,F X T (M )在X 中是列紧集且F 为紧算子,结合F X T (M )在X 中是列紧集且F 为连续紧算子的结论,推得映射F 是全连续的.综合(ⅰ)—(ⅳ),并由引理3知:F +U 在X T (M )上存在不动点,即方程存在T 周期解.定理2 对于微分方程(3),在条件(A 1),(A 3)被满足时,如果条件(A 5)1T1-∑ni =1|c i |>L +1+12π‖ρ‖0‖a ‖0成立,则微分方程至多存在一个T 周期解.证明 设x 1(t ),x 2(t )是微分系统(3)的两个T 周期解,于是有d d t(x i (t )+∑n i =1c ix i(t -τi ))=-a (t )(g (x 1(t ))x i (t )+f (t ,x i (t -σ(t ))),i =1,2.(17)令y (t )=x 1(t )-x 2(t ),由(17)式得d d t(y (t )+∑n i =1c iy (t -τi))=-a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))+f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))).(18)对(18)式两边在[0,T ]上积分,可得∫T[a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))-f (t ,x 1(t -σ(t )))+f (t ,x 2(t -σ(t )))]d t =0.(19)根据(19)式可知,至少存在一点ξ∈[0,T ],使得a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))=0(20)成立.下面分两种情形讨论:(1)当y (ξ)y (ξ-σ(ξ))≠0时,将(18)式乘以y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))得[a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))]y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))=0.(21)由(21)式并结合条件(A 3)有y (ξ)y (ξ-σ(ξ))<0;又因为y (t )在R 上连续,则由介值定理可知,必存在一点η0∈[0,T ]且y (η0)=0.于是,对于任意t ∈[0,T ],则有下式成立:|y (t )|=|∫tη0y ′(s )d s |≤∫T|y ′(s )|d s ≤T ∫T|y ′(s )|2d s12=T ‖y ′‖2,(22)于是有‖y ‖∞=max t ∈[0,T]|y (t )|≤T ‖y ′‖2.根据引理2,并结合(22)式有‖y ‖2≤T2π∫T|y ′(t )|2d t 12+T ‖y ′‖2=1+12πT ‖y ′‖2.(23)由(18)式,并结合(22),(23)式得到‖y ′‖22=∫T|y ′(t )|2d t =-∫Ta (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))y ′(t )d t +∫Ty ′(t )(f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))))d t -∑ni =1c i∫Ty ′(t )y ′(t -τi)d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0∫T0|y (t )|2d t12∫T0|y ′(t )|2d t 12+L ∫T|y ′(t )y (t -σ(t ))|d t +∑ni =1|c i|∫T|y ′(t )y ′(t -τi)|d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0‖y ‖2‖y ′‖2+LT ‖y ′‖2‖y ‖∞+∑ni =1|c i |‖y ′‖22≤1+12π‖ρ‖0‖a ‖0T +L T +∑ni =1|c i |‖y ′‖22.在满足条件(A 5)时,由上不等式可以推得5262东北师大学报(自然科学版)第42卷‖y′‖2=‖y‖2=0.(2)当y(ξ)y(ξ-σ(ξ))=0时,可类似情形(1)的证明,故略去.综合以上的证明,得到x1(t)=x2(t),即方程至多存在一个T周期解.定理证毕.结合定理1和定理2,我们可以得到关于方程(3)存在唯一周期解的结论.推论1 对于微分方程(3),如果条件(A1)—(A5)被满足,则微分方程(3)在X T(M)上存在唯一的T周期解.[参 考 文 献][1] L U S,GE W.On t he existence of periodic solution of neutral functional differential equation[J].Nonlinear Anal,TMA,2003,54:128521360.[2] 彭世国,朱思铭.无穷时滞泛函微分方程的正周期解.[J].数学年刊,2004,25(A):2852292.[3] SELLA E.Periodic solution for some nonlinear differential equations of neutral type[J].Nonlinear Anal,1991,17(2):1392151.[4] CH EN F.Positive periodic solution of neutral Lot ke2Volterra system wit h feedback control[J].Appl Mat h Comput,2005,162:127921302.[5] 宋来敏,周宗福.一类中立型泛函微分方程周期解的存在性[J].大学数学,2006,22(2):16221.[6] 杨喜陶.中立型泛函微分方程的周期解[J].系统科学与数学,2006,26(6):6842692.[7] WAN G QI,DAI BINXIAN G.Three periodic solutions of nonlinear neutral functional differential equations[J].Nonlinear Anal,2008(9):9772[8] 李辉,王艺霏.具有功能性反应的时滞扩散模型的周期解与稳定性[J].东北师大学报:自然科学版,2008,40(2):22229.[9] 郭大钧,孙经先,刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M].济南:山东科技出版社,2006:1282130.Existence and uniqueness of periodic solutions for a classof f unctional neutral differential equationsCH EN Zhi2bin1,2,HUAN G Li2hong2(1.School of Science,Hunan University of Technology,Zhuzhou412000,China;2.College of Mat hematics and Econometrics,Hunan University,Changsha410082,China)Abstract:U sing t he analytical met hod,and utilizing Krasno selskii fixed point t heory,t his paper qualita2 tive and quantitative st udy t he existence of periodic solutions for a class of f unctional neut ral differenti2 al equations,and obtains some sufficient conditions of existence and uniqueness of periodic solution for t his class equations,and p romotes t he literat ure of t he main conclusions.K eyw ords:neut ral;differential equations;periodic solutions;existence;uniqueness;fixed point t heory(责任编辑:陶 理)。
高阶微分方程边值问题3个正解的存在性
高阶微分方程边值问题3个正解的存在性高阶微分方程边值问题3个正解的存在性是非常重要的，也是微分方程研究中一个重要的内容。
以下是3个正解的存在性：
一、准正解存在性：准正解是指对一些高阶微分方程，当该微分方程满足特定条件时，存在唯一解。
二、启发正解存在性：这是一种可以作为准正解存在性的补充方法，即当微分方程不满足准正解的条件时，可以通过启发式方法求解。
三、近似正解存在性：这是一种用来求解高阶微分方程的近似方法，通过简化一定迭代次数之后，得到该微分方程的一个近似解，可以较快地求解微分方程，但精度不如准正解和启发正解。
总之，高阶微分方程边值问题3个正解的存在性有着重要的意义，其中包括准正解存在性、启发正解存在性和近似正解存在性。
三者都可以用来求解高阶微分方程边值问题，而且正确的选择不同的方法，就可能在求解时间方面以及精度方面取得一个很好的结果。
几类具有时滞的泛函微分方程解的存在性
几类具有时滞的泛函微分方程解的存在性几类具有时滞的泛函微分方程解的存在性摘要：时滞型泛函微分方程在许多实际问题中起着重要作用。
本文将介绍几类具有时滞的泛函微分方程以及它们解的存在性。
首先，我们将简要介绍时滞型泛函微分方程的基本概念和数学模型。
然后，我们将讨论三个具体的例子，包括时滞Hopfield神经网络模型、时滞Lotka-Volterra竞争模型和时滞SEIR传染病模型。
对于每个例子，我们将阐述方程模型的建立和解的存在性。
最后，我们将通过对比这几个例子的求解方法，总结几类具有时滞的泛函微分方程解的存在性的一般性质和方法。
关键词：时滞型泛函微分方程；存在性；Hopfield神经网络模型；Lotka-Volterra竞争模型；SEIR传染病模型1.引言时滞型泛函微分方程是一类常见的数学模型，广泛应用于控制理论、生物学、经济学等领域。
它们的解的存在性是研究这些方程的重要问题，具有重要理论价值和实际应用价值。
本文将重点介绍几类具有时滞的泛函微分方程解的存在性。
2.时滞型泛函微分方程的基本概念时滞型泛函微分方程是一类描述当前状态和过去状态之间关系的微分方程。
它的一般形式可以写为：\[x'(t)=f(t,x_t)\]其中，\(x(t)\)是未知函数，\(f(t,x_t)\)是已知函数，表示在时刻\(t\)的状态和过去一段时间的状态之间的关系。
时滞函数\(x_t\)表示过去时间段内的状态变量。
3.时滞Hopfield神经网络模型Hopfield神经网络是一种常见的神经网络模型，广泛应用于模式识别和优化问题。
时滞Hopfield神经网络在传统Hopfield神经网络的基础上加入了时滞项。
我们将介绍时滞Hopfield神经网络模型的建立和解的存在性。
4.时滞Lotka-Volterra竞争模型Lotka-Volterra竞争模型是一种经典的生物学模型，用于描述两个或多个物种之间的竞争关系。
时滞Lotka-Volterra竞争模型通过加入时滞项，考虑了物种竞争的延迟效应。
一类泛函微分方程多个周期正解的存在性
第５ 第期 ２卷 ２
２ ０ 年０ 月 ０８ ４
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类泛 函微分方程 多个周期正解 的存在性木
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摘
要： 本文利用 Ｋｒｓ ｏｅ ｋｉ 映象 不动 点定理讨论 了某类一阶泛函微分方程周期正解的存在性 、非 ａｎ ｓｌ ｉ锥 ｓ
一类一阶泛函微分方程正周期解的存在性
一类一阶泛函微分方程正周期解的存在性ZHU Yan【摘要】本文运用全局分歧定理研究了一阶泛函微分方程u'(t)-a(t)u(t)+λg(t)f(u(t-τ(t)))=0,t∈R正T-周期解的存在性,其中λ>0是参数,a∈C(R,[0,▌)),g∈C(R,[0,▌))且a(≠)0,g(≠)0,τ∈C(R,R),a,g,τ都是T-周期函数,f∈C([0,▌),[0,▌)).本文构造了该方程正T-周期解的全局结构,获得了方程正T-周期解的存在性.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(056)004【总页数】7页(P607-613)【关键词】存在性;全局结构;正周期解;全局分歧理论;泛函微分方程【作者】ZHU Yan【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】O175.81 引言一阶泛函微分方程在生物学、经济学、生态学、计算机应用及人口动力系统等领域有着广泛应用，如动物血红细胞存在模型[1,2]Nicholson’s blowflies 模型[3,4]y′(t)=-a(t)y(t)+b(t)y(t-τ(t))e-β(t)y(t-τ(t))等.因此,关于一阶泛函微分方程正周期解的研究具有重要的现实意义.近年来,许多作者致力于研究一阶泛函微分方程正周期解的存在性,获得了很多有意义的结果[5-16].特别地,Wan等人[5]运用锥上的不动点理论研究了一阶泛函微分方程y′(t)=-a(t)y(t)+g(t,y(t-τ(t)))(1)正周期解的存在性,其中a∈C(R,(0,∞)),τ∈C(R,R),g∈C(R×[0,∞),[0,∞)),且a,τ,g都是ω-周期函数.ω>0是一个常数，获得结果如下:定理A 假设(i)limin fu→0mint∈[0,ω]>1,limsupu→∞maxt∈[0,ω]<1;(ii)当上述两种情况之一成立时,方程(1)至少存在一个正ω-周期解.2008年,Padhi等[6]运用Legget-Williams不动点定理研究了含参数λ的一阶泛函微分方程y′(t)=-a(t)y(t)+λf(t,y(t-τ(t)))(2)正T-周期解的存在性,其中λ>0是一个参数,a∈C(R,(0,∞)),τ∈C(R,[0,∞)),f∈C(R×[0,∞),[0,∞)),a,τ,f都是T-周期函数，T>0是一个常数，获得结果如下:定理B 令f∞=limsupy→∞maxt∈[0,T]<1.假设存在两个常数c1,c2满足0<c1<c2使得(A1)f(t,y)≥2δc2,c2≤y≤δc2,0≤t≤T;(A2)f(t,y)<c1,0≤y≤c1,0≤t≤T成立,那么对于方程(2)至少存在三个非负T-周期解.其中注意到上述文献虽然得到了一阶泛函微分方程正周期解的存在性结果,但由于所使用工具的局限却无法得到关于正周期解的全局结构的信息.2004年,Ma[17]率先对二阶非线性常微分方程Dirichlet问题结点解的全局结构进行了研究.二阶微分算子是对称算子,一阶微分算子则是非对称算子,其解的全局结构的研究较为困难.关于一阶泛函微分方程正周期解的全局结构至今少见研究.本文研究一类一阶泛函微分方程u′(t)-a(t)u(t)+λg(t)f(u(t-τ(t)))=0,t∈R(3)正T-周期解的存在性,其中λ>0是一个参数.运用全局分歧理论,我们构造出一阶泛函微分方程正周期解的全局结构,得到了方程(3)正周期解的存在性结果.本文总假定:(H1)a∈C(R,[0,∞))且a≢0,g∈C(R,[0,∞))且g≢0,τ∈C(R,R),a,g,τ都是T-周期函数; (H2)f∈C([0,∞),[0,∞)),对任意的u>0有f(u)>0.为求方便,记令λ1是线性方程u′(t)-a(t)u(t)+λg(t)u(t-τ(t))=0,t∈R的主特征值.本文主要结果如下:定理1.1 设(H1)和(H2)成立,f0∈(0,∞).则(a)设f∞∈(0,∞),则或者时方程(3)至少存在一个正T-周期解;(b)设f∞=0,则∞)时方程(3)至少存在一个正T-周期解;(c)设f∞=∞,则时方程(3)至少存在一个正T-周期解.定理1.2 设(H1)和(H2)成立,f∞∈(0,∞).则(a)设f0=0,则∞)时方程(3)至少存在一个正T-周期解;(b)设f0=∞,则时方程(3)至少存在一个正T-周期解.定理1.3 设(H1)和(H2)成立.(a)设f0=0且f∞=∞,则对任意λ>0,方程(3)至少存在一个正T-周期解;(b)设f0=∞且f∞=0,则对任意λ>0,方程(3)至少存在一个正T-周期解.推论1.4 假设存在一个常数ι>0使得≥ι,∀u≠0.那么存在λ0>0使得λ>λ0时方程(3)不存在正T-周期解.2 预备知识令X={u∈C(R,R)|u(t)=u(t+T)}.其范数为则(X,‖u‖∞)是一个Banach空间.令E={u|u∈X∩C1[0,T]}，其范数为‖u‖=max{‖u‖∞,‖u′‖∞}.则(E,‖u‖)是一个Banach空间.显然,方程(3)有解u=u(t)当且仅当u是算子方程的解,其中记设P={u∈X|u(t)≥0,u(t)≥σ‖u‖∞,t∈[0,T]}是X中的一个锥.定义算子Aλ:P→X为t∈R.引理2.1 设(H1)和(H2)成立.则Aλ(P)⊂P且Aλ:P→P是全连续算子.证明根据P的定义,对于u∈P,令则由g(t)f(u(t-τ(t)))的周期性易见是常数.对于u∈P以及t∈[0,T],σ‖Aλu‖∞.因此Aλ(P)⊂P.根据Arzel-Ascoli定理[19]易得Aλ:P→P是全连续算子.证毕.引理2.2(Rabinowitz全局分歧定理)[20] 设X是一个Banach空间.考虑如下方程x=μ(Lx+Nx),μ∈R,x∈X(4)假定(H1)算子L:X→X为线性紧算子;(H2)非线性算子N:U(0)⊂X→X全连续,并且→0,x→0;(H3)μ0为L在X中的本征值,其代数重数ϖ(μ0)为奇数,其中若(H1)～(H3)成立，则(μ0,0)是(4)式的一个分歧点.设C(μ0)是(4)式的非平凡解的闭包中包含点(μ0,0)的连通分支,则下列两种情形之一出现:(i)C(μ0)无界;(ii)C(μ0)还连接而是不同于μ0的本征值.设E是复数域C上的一个Banach空间.记L(E)为有界线性算子T:E→E的全体在范数‖T‖=sup{‖Tx‖|‖x‖=1}下所构成的Banach空间,I:E→E为恒同映射.则集合σ(T)={λ∈C|λI-T:E→E存在有界逆}称为T的谱.集合ρ(T)=C\σ(T)称为T的预解集,而r(T)=sup{|λ||λ∈ρ(T)}称为T的谱半径.引理2.3[20] 设X是一个Banach空间.若锥K⊂X且满足K0≠∅,T∈L(X)是一个紧的强正算子,则(a)r(T)>0,r(T)是T的一个具有正特征函数v∈K0的简单特征值,并且T再没有其他特征值;(b)对于任意满足λ≠r(T)的特征值λ,有|λ|<r(T);(c)对任意y>0,当λ>r(T)时,方程λx-Tx=y有唯一解x∈K0;当λ<r(T)时,方程λx-Tx=y在K中无解;(d)对任意y>0,方程r(T)x-Tx=-y在K中无解;(e)若S∈L(X)并且Sx≥Tx于K,则r(S)≥r(T).进一步,若Sx≫Tx对一切x≻0成立,则r(S)>r(T).引理2.4[18] 令E是一个Banach空间,{Cn}是E中的一族闭连通集.假设以下条件成立:(i)存在zn∈Cn,n=1,2,…并且存在z*∈E使得zn→z*;∞,其中rn=sup{‖u‖|x∈Cn};(iii)对于任意是E的一个相对紧集,其中BR={x∈E|‖x‖<R}.那么包含一个无界的连通分支C且z*∈C.考虑线性方程u′(t)-a(t)u(t)+λg(t)u(t-τ(t))=0,t∈R(5)的主特征值.引理2.5 设(H1)成立.那么方程(5)存在一个主特征值λ1,λ1>0并且是简单的,其对应的特征函数φ1(t)在[0,T]中同样为正.证明定义锥P0={u∈X|u(t)≥0,t∈[0,T]}.则P0是一个正规锥并且其内部是非空的.显然,X=P0-P0,即P0是一个X中的完全锥.因为G(t,s)>0,t≤s≤t+T,定义算子L:X→X为则L是一个强正算子,即L(u)∈intP0,u∈P0\{0}.根据引理2.3,谱半径r(L)>0并且在[0,T]存在φ1(t)∈X,φ1(t)>0并且使得Lφ1=(r(L))-1是线性特征值问题的主特征值.证毕.3 主要结论的证明在这一部分,为了运用全局分歧定理我们将f延拓成一个奇函数为现在我们研究辅助方程t∈R(6)设ξ,ζ∈C(R,R)，使得(7)显然,令那么是非减的并且定理1.1的证明我们先考虑从平凡解u≡0处产生的分岐问题-u′(t)+a(t)u(t)=rλf0g(t)u(t-τ(t))+rλg(t)ξ(t-τ(t))(8)上式可以转化为等价的积分方程rλg(s)ξ(u(s-τ(s)))]ds.记u→0时易见MT‖g‖∞‖ξ(u)‖∞.令E*=R×E,S+表示u∈E时正函数的集合,Φ+=R×S+.根据引理2.2和引理2.5,在R×E中存在(8)式的连接和∞的连通分支C+.进一步,很明显,任何形式如(1,u)的(8)式的解都对应着方程(3)的一个解.我们将证明C+穿过超平面{1}×E⊂E*.(a)f∞∈(0,∞).在这种情况下,我们只需要证明C+连接和∞).设(μn,un)∈C+满足μn+‖un‖→∞(9)因为(0,0)是r≡0时(8)式的唯一解,而C+∩({0}×E)=∅,所以当n∈N*时有μn>0.情形这种情况下,我们可证以下分两步证明.第一步,首先证明:存在一个常数S>0使得对于任意n∈N*时有μn⊂(0,S].因为(μn,un)是(8)式的解,注意到-un′(t)+a(t)un(t)=(10)根据(H2)以及f0,f∞∈(0,∞)可知存在一个常数ρ1>0使得≥ρ1>0.令为ρ-un′(t)+a(t)un(t)=的主特征值.我们将(10)式的主特征值与比较,根据引理2.3可得第二步,根据(9)式以及第一步的证明,我们得到‖un‖→∞,n→∞.在方程-un′(t)+a(t)un(t)=μnλf∞g(t)un(t-τ(t))+μnλg(t)ζ(t-τ(t)).上式两边同除以‖un‖,再令因为vn在E中有界,所以存在收敛子列,我们仍将之记作vn,即存在v∈E,‖v‖=1,使得vn→v.进一步,根据条件(H1)以及非减可得从而所以其中因此(11)下证v∈C+.反设v∉C+.v是(11)式的一个非平凡解,并且v在[0,T]上有一些零点.考虑到vn∈E,因而v在[0,T]上是变号的.这与在E中有vn→v以及vn∈C+矛盾.因此v∈C+.进一步可得从而因此C+连接和∞).情形在这种情形下,我们有若(μn,un)∈C+满足(9)式并且∞,则有({1}×E)∩C+≠0.若存在一个常数S>0,使得对于任意n∈N*都有μn⊂(0,S].运用与情形1第一步中类似的证明方法可得∞),n→∞.因此C+连接∞).(b)f∞=0.在这种情形下,我们将证明C+连接和(+∞,+∞).反设sup{λ|(λ,u)∈C+}<∞.那么存在一个序列{(μk,uk)}⊂C+使得‖uk‖→+∞,‖μk‖≤C0,其中C0是依赖k的一些正常数.进一步,对于t∈[0,T],有∞.由{(μk,uk)}⊂C+可得-uk′(t)+a(t)uk(t)=令则‖vk‖=1.那么存在(μ*,v*)⊂(0,C0]×E,‖v*‖=1使得在R×E中有进一步,联系f∞=0有-v*′(t)+a(t)v*(t)=μ*g(t)·0,t∈R.因此,对t∈R有v*≡0.这与‖v*‖=1矛盾.因此sup{λ|(λ,u)∈C+}=∞.(c)f∞=∞.在这种情形下,我们将证明C+连接和(0,∞).其关键在于构造一个函数序列{f[n]}如下:该序列满足∞.我们考虑方程-u′(t)+a(t)u(t)=λg(t)f[n](u(t-τ(t)))=0,t∈R.显然,(f[n])0=f0,(f[n])∞=n.从情形(a)的证明我们知道存在一个无界连通分支C[n],它连接和∞).根据引理2.4,存在一个无界连通分支使得(0,∞)∈C+.定理得证.定理1.2的证明 (a)f0=0.在这种情形下,我们令(λ,u)是(6)式的一个非平凡解.我们将(6)式两边同时除以‖u‖2并记得到-v′(t)+a(t)v(t)=(12)定义函数显然,方程(12)等价于-v′(t)+a(t)v(t)=(13)易知(λ,0)是(13)式的一个平凡解.显然通过定理1.1情形(b)的证明,再进行相反地转化结论得证.(b)f0=∞.在这种情形下,运用与定理1.1情形(a)中相似的方法和定理1.1情形(c)的结论,我们得到对于任意的方程(3)至少存在一个正T-周期解.定理得证.定理1.3的证明(a)f0=0,f∞=∞.我们构造一个函数序列如下该序列满足∞.考虑问题-u′(t)+a(t)u(t)=λg(t)f[n](u(t-τ(t)))=0,t∈R.不难得到∞.由定理1.1 中情形(c)的证明可知存在一个无界连通分支C[n],它连接和(0,∞).根据引理2.4,可知存在一个无界连通分支使得(+∞,0)∈C+,(0,∞)∈C+.(b)f0=∞,f∞=0.在这种情形下,运用与定理1.2情形(a)中相似的方法和定理1.3情形(1)的结论,我们得到对于任意的λ∈(0,∞),方程(3)至少存在一个正T-周期解.定理得证.参考文献:【相关文献】[1] Gopalsamy K,Weng P X.Global attractivity and level crossing in model of Haematopoiesis [J].Bull Inst Math Acad Sinica,1994,22:341.[2] Wan A,Jiang D Q.Existence of positive periodic solutions for functional differential equations [J].Kyushu J Math,2002,56:193.[3] Jose ph W,So H,Yu J S.Global attractivity and uniform persistence in Nicholson’s blowflies [J].Differ Eq Dynam Syst,1994,2:11.[4] Weng P X.Existence and global attractivity of periodic solution of integro-differential equation in population dynamics [J].Acta Appl Math,1996,12:427.[5] Wan A,Jiang D Q,Xu X J.A new existence theory for positive periodic solutions to functional differential equations [J].Comput Math Appl,2004,47:1257.[6] Padhi S,Shilpee S.Multiple periodic solutions for nonlinear first order functional differential equations with applications to population dynamics [J].Appl Math Comput,2008,203:1.[7] Bai D,Xu Y.Periodic solutions of first-order functional differential equations with periodic deviations [J].Comput Math Appl,2007,53:1361.[8] Jin Z,Wang H.A note on positive periodic solutions of delayed differential equations [J].Appl Math Lett,2010,23:581.[9] Wu Y.Existence of positive periodic solutions for a functional differential equation witha parameter [J].Nonlinear Anal-Theor,2008,68:1954.[10] Graef J R,Kong L.Periodic solutions for functional differential equations with sign-changing nonlinearities [J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A,2010,140:597.[11] Kang S,Shi B,Wang G.Existence of maximal and minimal periodic solutions for first-order functional differential equations [J].Appl Math Lett,2010,23:22.[12] Ma R Y,Chen R P,Chen T L.Existence of positive periodic solutions of nonlinear first-order delayed differential equations [J].J Math Anal Appl,2011,384:527.[13] 龙严.非线性二阶Robin问题多正解的存在性 [J].四川大学学报:自然科学版,2017,54:249.[14] 曾德强,石勇国,张瑞梅,等.双输入时滞的网络控制系统的稳定性改进结果 [J].四川大学学报:自然科学版,2018,55:462.[15] 叶芙梅.非线性二阶周期边值问题正解的全局结构 [J].四川大学学报:自然科学版,2018,55:452.[16] 魏丽萍.一类三阶周期边值共振问题解的存在性 [J].四川大学学报:自然科学版,2018,55:260.[17] Ma R Y,Thompson B.Nodal solutions for nonlinear eigenvalue problems [J].Nonlinear Anal-Theor,2004,59:707.[18] Ma R Y,Xu J.Bifurcation from interval and positive solutions for second order periodic boundary value problems [J].Dyn Syst Appl,2010,19:211.[19] 张恭庆,林源渠.泛函分析讲义 [M].北京:北京大学出版社,1987.[20] 徐登州,马如云.线性微分方程的非线性扰动 [M].北京:科学出版社,1994.。
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中图 分 类 号 ： ７ ＼ 文献 标 识 码 ： Ｏ１ ５ Ａ
本 文将讨 论 如下 一阶泛 函微 分方 程
Ｙ （）一 一 ａ（） ￡ ￡ ￡ （ ）＋ ｆ（ ， ｔ ｒ ￡ ） ｔ ｙ（ — （ ）
ｔＥ Ｒ （） ２
周期 正 解 的存 在性 ， 中 口一 ａ ￡， 其 （） ｈ一 （）和 ｒ— ￡ ｒ￡ 是连 续 的 Ｔ一周期 函数 ｆ— ｆ ｔ 是 一个关 于 （） （， ） 第一 变 元为 Ｔ周 期 的非负 连续 函数 ． 我们 假定 Ｔ是 个 固定 的正 数 ， ａ— ａ ￡ （）满足 条件
收 稿 日期 ： ０ ７０ — Ｏ ２ ０ — ２２
基金项 目： 山西 省 高 校 高科 技 研 究 开 发 项 目［ ０ ６ ３４ ］ 山西 大 同 大学 科 学 研 究 基 金 项 目［ ０ ５ ４ － ０１０１ ； ２ ２ ０ Ｋ０ ］
作 者 简 介 ： 淑 瑰 （ ９ ４） 女 ， 西 应 县 人 ， 读 博 士 ， 授 ， 究 方 向 ： 函 微 分 方 程 ． 康 １６ 一 ， 山 在 教 研 泛
一
２ 主 要 结果
由于 方程 （ ）的 Ｔ一 周期 解 的存在 性等 价 于积 １
分方程
丫 （） Ｉ ￡ｓｆ ｓｙ ｓ （）） ｓ ￡ ＝ ， （，（ —ｒｓ）ｄ Ｇ（ ）
Ｊ
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（ ＋ （ １一 ） ）≥
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的 Ｔ一 周期 解 的存在 性 ， 中 其
Ｖｏ１ ２ ． ． ． ３ ＮＯ １
Ａｕ ． ０ ７ ｇ ２ ０
一
类时滞泛 函微 分方程 三个正周期解的存在性
康 淑 瑰
（ 山西大 同大学 数学 与计 算机 科学 学 院 ， 山西大 同 ０ ７ ０ ） ３ ０ ９
摘 要 ： 文 利 用 Ｌ ｇ ｅｔ Ｗ ｉｉ 不 动点 定理 讨 论 了 一 类 时 滞 泛 函 微 分 方 程 三 个 正 周 期 解 的 存 在 性 该 ｅｇ ｔ－ ｌａ ｌｍｓ 关 键 词 ： 函微 分 方 程 泛 正周期解 锥 时滞 不 动 点 定 理
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・
２ ・
山西 大 同 大 学 学 报 （ 自然科 学 版 ）
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（ ｄ ｃ ）
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ｚ Ｙ Ｅ Ｃ， Ｅ ［ ， ］ ， ０ １． 为 了方便 起见 ， 们做 如下 记号 ： 我 ｓ ， ， ）一 ｛ ａ ｚ） ａ并 且 『 ｌ （ ａ６ ｚ Ｅ Ｋ： （ ≥ Ｉ ≤ ｚ『
・
和 ｂ； ） 源自ｚ （）一 ｎ ￡ ｚ（ ）一 ｆ（ ， ｔ ｒ ￡ ） ￡ （） ￡ ｔ ｘ（ — （）
的正周 期 解 的存 在 性 讨 论 ［ １ ２ ． 文 将 讨 论 方 见 ，］ 本 程 （ ）的三 个正 周期解 的存 在 性． １
则 Ａ 在 Ｋ 上 至少有 三个 不动 点．
１ 准 备 知 识
在 以下 的讨论 中， ＝ （ ｌ Ｅ Ｅ，ｌ・ ｌ）是 一 个 １ Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间 ， Ｃｃ Ｅ是一个 锥 ． 定义 在 Ｃ上的 一个 凹 的非负 连续 泛 函 是 指 这样 的一 个 连 续 映 射 ： Ｃ ［ ， 。 ］且满 足 ０＋ 。
・
Ｅ ａ， ６ Ｓ（ ａ， ）时 ， （ ａ ＡＸ）＞ ａ；
（ ）当 ｚ Ｅ Ｋ ２ 时 ，ｌ ｚ ｌ＜ ｄ； ｌ Ａ ｌ （ ）当 ｚ Ｅ ｓ ａ ａ ｆ 且 ［ ３ （ ， ，） １ ｌ ｂ ，（ ） ｌ＞．时 ａ Ａｚ
＞ ａ．
ｚ （ ）＝ ｎ ￡ｚ（ ）一 ｆ（ ， ｔ ｒ ￡ ） ￡ （） ￡ ｔ ｘ（ — （ ） ）
一
ｆ （ ｄ ＞０ Ｔ ， ｎ）
Ｊ０ ．
在两个 方 程 中都 认 为是参 数． 物理 、 化学 、 生物 、 电子 、 济等 领域 的许 多模 型 经 都可 归结 为具有 周期 时滞 的泛 函微 分方 程 ． 个 重 一 要 的问题 是这些 方程 是否 具有 周期 解． 方程 对
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第 ２ ３卷 第 １ 期
２０ ０ ７年 ８月
山 西 大 同 大 学学 报 （ 自然 学 科 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈ ｎ ｔ ｎ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＳ ａ ｘｉ Ｄａ ｏ ｇ Ｕｎｖ ｒ ｉｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ）
Ｙ （）一一 ｎ（） ￡ ￡ ￡ （ ）＋ ｆ（ ， ｔ ｒ ￡ ） ｔ ｙ（ — （ ） ）
和
Ｋ 一 ｛ ｚ Ｅ Ｋ：ｌ ｌ≤ ） ０＜ Ｃ ∞． ｌ ｌ Ｃ， ｚ ＜ 我 们 的 存 在 性 准 则 将 用 到 下 面 的 Ｌ ｇ ｅｔ— ｅ ｇｔ Ｗｉｉｍｓ 动点 定理 ［ ３ ． ｌａ 不 ｌ 见 ］ 定理 Ａ Ｅ： （ ｌ １ 是一 个 Ｂ ｎ ｃ 间 ， Ｅ，ｌ・ｌ ） ａ ａｈ空 Ｋ ｃ Ｅ是一 个锥 ． ＞ ０是一 个 常数 ， 定 存 在一个 Ｃ 假 定义 在 Ｋ 上 的一 个 凹非 负连续 泛 函ａ 对 任意 的 ＹＥ ， Ｋ 都有 ａ ）≤ Ｙ 设 Ａ： 一 Ｋ 一 个 全 连续 算 （ ． Ｋ 是 子 ， 常数 ａ ｂ ｄ， 且 ０ ｄ＜ ａ＜ ｂ Ｃ 有 ，， 并 ＜ ≤ 满足 下列 条件 ： （ ） ｚ Ｅ Ｓ ａ ａ ６ ： （ ） ａ ≠ ， 且 当 ｚ １ ｛ （ ， ，） ａ ｚ ＞ ） 并