时滞泛函微分方程的某些稳定性定理
脉冲随机微分系统的均方指数稳定性分析
脉冲随机微分系统的均方指数稳定性分析陈涵;杨树杰;牟朝霞【摘要】In this paper, the mean square exponential stability analysis of impulsive stochastic functional differential sys-tems with delays was concerned. On the basis of the Lyapunov-Razumikhin method and stochastic analysis techniques, some general criteria were established for mean square exponential stability.%研究了脉冲随机时滞微分泛函方程的均方指数稳定性问题。
利用Lyapunov-Razumikhin型方法及随机分析的一些技巧，建立了一类脉冲随机泛函微分方程的均方指数稳定性定理。
【期刊名称】《海军航空工程学院学报》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P296-300)【关键词】脉冲随机微分方程;均方指数稳定;Lyapunov-Krasovskii函数【作者】陈涵;杨树杰;牟朝霞【作者单位】海军航空工程学院研究生管理大队，山东烟台264001;海军航空工程学院基础部，山东烟台264001;海军航空工程学院军事教育与训练系，山东烟台264001【正文语种】中文【中图分类】O175.21近年来，脉冲泛函微分系统（IFDSs）的稳定性的问题吸引着越来越多的学者在理论和实际应用方面的研究[1-3]，特别是在针对IFDS指数稳定性方面的研究，并且建立了一些相应的稳定性理论。
但随机扰动在现实系统中也是不可避免的，随机模型在自然科学和工程领域的许多分支中正扮演着重要的角色。
近几年，脉冲随机微分系统（ISDSs）稳定性分析和脉冲随机泛函微分系统的镇定性问题引起了学者们的广泛兴趣[4-14]。
时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析
时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析时滞微分方程是一类具有历史信息的微分方程，在许多实际问题中都有广泛的应用。
由于它们具有与常微分方程不同的特性，因此对它们的稳定性和分岔现象的研究具有重要意义。
本文将介绍时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析。
首先，我们来看一般形式的时滞微分方程：$$\frac{dx}{dt} = f(x(t),x(t-\tau)),$$其中$x(t)$表示未知函数，$f(x(t),x(t-\tau))$表示给定的函数。
这种方程中的时滞项$x(t-\tau)$表示历史信息，它反映了系统过去的状态对当前状态的影响。
因此，时滞微分方程的稳定性与时延参数$\tau$密切相关。
稳定性是研究时滞微分方程解的一个重要问题。
通常，我们关注的是解在$t\rightarrow \infty$时的行为。
当方程的解趋于有限值或周期解时，我们称之为稳定解。
反之，如果解在$t\rightarrow \infty$时发散或趋向于无穷大，我们称之为不稳定解。
稳定性的判断方法主要有两种：线性稳定性和非线性稳定性。
线性稳定性是通过线性化时滞微分方程来判断原方程解的稳定性。
首先，我们要找到系统的平衡点$x^*$，即满足$f(x^*,x^*-\tau)=0$的点。
然后，我们将方程在$x^*$附近展开成泰勒级数，保留一阶项，即$$\frac{dx}{dt} = f(x^*,x^*-\tau) +\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*}(x-x^*),$$其中$\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*}$表示$f$对$x$的偏导数在$x=x^*$处的值。
线性稳定性的判断依据是线性化方程的特征值。
如果所有特征值的实部都小于零，则认为解是稳定的。
反之，如果存在特征值的实部大于零，则解是不稳定的。
非线性稳定性是通过对解的特性方程进行分析来判断的。
特性方程的形式为$$\lambda + \frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*} = 0.$$我们将其写成复数形式$\lambda = \alpha + i\omega$，其中$\alpha$表示实部，$\omega$表示虚部。
微分方程稳定性
带有时滞的动力系统的运动稳定性分五部分内容，第一部分是Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形式；第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计；第三部分讨论解的存在唯一性；第四部分探讨解的表达式；第五部分给出Фрид定理。
以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。
直接法的基本定理一、Понтрягин定理要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数，所指的滞后型与中立型系统分别为1()()ni ij j ij j j x a x t b x t τ=⎡⎤=+-⎣⎦∑，1()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=⎡⎤=+-+-⎣⎦∑，1,2,,i n =0τ>， 这时，相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=， 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。
对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程110n n n P P λλ-+++=。
在常微分方程解的稳定性理论中，关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。
如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ，则欲是平衡态的位置稳定，其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。
但是，现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=，0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程，可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起，这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时，系统1()()ni ij j ij j j x a x t b x t τ=⎡⎤=+-⎣⎦∑，1()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=⎡⎤=+-+-⎣⎦∑，1,2,,i n =0τ>的零解是渐进稳定的。
无穷时滞泛函微分方程的稳定性
０ （ ， ） 。ｄ ＋ （ｆ 一， ≤ ￡ ≤ （） （ （ ｌ）５ ）Ｉ ｄ ） ＋ （ （ 一５ 』 一 （Ｉ （ ）Ｉ ｄ ｄ ） ｆ 一 ｔ ） Ｉ “ ｝ ｕ ｓ ．‘ ） 定义 ５ 称连续 泛 函 Ｕ ［ ． ＊） Ｂ 一 ［ ， 关 于方 程 （ ） ： ｔ ， ＸＣ ０ ＊） １是初 始渐 小 的 ， 存 在 若
２
辽 宁 大学 学 报
自 然科学版
２０ 年 ０２
０ 使 得 由［。 ． ∈Ｃ ｆ 。 ＇ ， ≥ｔ ， Ｂ ， ≥ｆ ＋７ 可推 出 ｌ （ ；。 ］ ｆ ， ｌ ）ｌ ≤ｙ， 称它 一致 渐 近稳 定 ． 则
步 有 ｌ （）＝＊ ， 记 ∈ ｉ ａ ｒ ｔ 则
关键 词 ： 函微 分方 程 ； 泛 一致 渐 近 稳定 ．
中 图 分 类 号 ： ７ １ ０１５ 文献标 识码 ： Ａ
文［ ］ ２ 的定理 ２ 作为应用 是方便 的 ， ， 但从理 论 的角度来 看 ， 显得不 够精 简概 括 ； ［ ］ 文 １ 的定理 ５ 又存 在对 某些 Ｌａｕｏ 泛 函构造失 效 的缺 陷 如 文 ［ ］ ， ｉ ｎｖ ｐ ２ 研究 Ｖ ｈｒ ｏｅ ｍ积 分微 分 方 程 的 Ｌａｕｏ ｉｐｎｖ泛 函构 造 ， ［ ］ 定 理 ５就 失 效 了 ． 文定 理 扬 其 所 长 ， 克 服 了如 上 两 方 文 １的 本 又
无 穷 时 滞 泛 函微 分 方 程 的 稳 定 性
谢 作 诗
（ 宁大学 研 究生 部 ，辽 宁 沈 阳 １０ ３ ） 辽 １０ ６
摘
要： 改进 了文 ］ 于 无穷 时 滞泛 函微分 方程 零 解 一致 渐近 稳 定 的定理 ５ 所得 结 果 包 １关 ，
不确定时滞系统的时滞相关稳定性
不确定时滞系统的时滞相关稳定性作者：刘金丽来源：《中国科技博览》2018年第08期[摘要]在各种工程系统中经常遇到时间延迟，时间延迟通常是系统不稳定的主要原因。
因此，时间延迟制度的稳定问题自年初以来一直受到重视。
更复杂的，通常具有非线性特性，导致了一些具有非线性扰动的时滞系统。
在这种系统的研究中有许多成就，但在以前的研究中，大多数稳定性与时间延迟无关，给出的判别条件主要是延迟的独立稳定性的条件。
由于这些条件要求确定任何非负延迟，保守性较大，为了降低结果的保守性，有必要讨论系统的稳定性和延迟相关的稳定性问题，并找出延迟依赖性系统的稳定性标准。
[关键词]不确定；时滞系统；时滞相关稳定性中图分类号：S454 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）08-0013-01一、含有时滞的离散切换系统稳定性（一）离散切换时滞线性正系统的简介切换时滞正系统是带有时滞的切换正系统，是正系统中的一分支。
时滞现象在切换系统中应用的现象十分普遍。
例如，机械传动系统，网络控制系统等。
在工程领域，时滞的存在也是系统不稳定的一个棘手原因。
因此，切换时滞系统更加复杂，对切换时滞系统的稳定性研究也成了研究的热点。
根据时滞的类型可以分为：单时滞、多时滞；确定时滞、不确定时滞（随机时滞）等。
时滞切换系统稳定又可以分为两类：时滞独立稳定、时滞依赖稳定。
（二）稳定判据考虑切换时滞系统：其中状态向量；切换信号，其中；取系统参数值为：其中调节参数；假设：在系统中，存在，常数，使得，，成立。
引理1：在假设条件下，考虑离散切换时滞正系统。
假设存在维向量且，使得：对于一切，成立。
引理2：考虑正系统。
假设存在一个向量，满足：根据定理1：在假设的条件下，如果存在一个维向量并且使得成立，则正系统是恒稳定的。
显然，系统（2.1）为切换时滞正系统。
根据定理1[13]：如果存在一个向量，使得系统成立，则系统是恒稳定的。
要使该系统稳定，的取值范围为。
微分方程稳定性理论简介
.
(13)
q det A
将特征根记作1, 2，则
1,
2
1 2
( p
p2 4q ).
(14)
8
方程(9)的一般解具有形式 c1e1t c2e2t (1 2 )
或 c1e1t c2te1t (1 2 ),
c1, c2为任意常数.
(注意：课本p199是否误为 c1e1t c2te1t (1 2 )
)
9
均 衡 时 2均P为点0不(按负;0,而为照数0)当零稳或是.定均不1,性有稳的2定负有定平实一义衡部个(点时8为).式P正0在(可0数条,知或0件，)有是(当1正稳1)下实定1, 部平12,
按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则：
若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0，则平衡点不稳定.
到1913年的军事预算，表中第5行(x1 + y1)是(x1 + y1) 的年增加量，最后一行是相应的年平均值.
1909 1910 1911 1912 1913
法俄x1 德奥匈y1
115.3 83.9
119.4 85.4
127.8 87.1
145.0 93.7
166.7 122.3
x1 + y1
199.2 204.8 214.9 238.7 289.0
12
军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 /letter/ 加入日期 2005-5-24 9:02:37 点击次数： 3
防卫厅消息来源声称过去一年以来，航空自卫 队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次 数明显增多。它们大半是侦察机。在海上，中国海 军的最新型俄式“现代”导弹驱逐舰的活动也比较 频繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的“现代”级 导弹驱逐舰经常航行在东海海域，目前中国出现的 频率超过了俄罗斯海军。
时滞微分方程
1众所周知,微分方程的振动理论是微分方程理论的一个重要分支,在稳定性研究领域里面,振动性的研究是一个非常活跃的方向。
近几十年来,在微分方程各个领域理论的发展的同时,无论是对线性到非线性时滞微分方程的研究,还是对一阶到n阶以及到无穷阶时滞微分方程的讨论,都取得了巨大的进展。
研究的方向也是广泛开阔的,如函微分方程、差分微分方程、分数阶微分方程等等。
时滞微分方程主要用于描述依赖当前和过去历史状态的动力系统，因此它在物理、信息、化学、工程、经济以及生物数学等领域都有重要应用．由于时滞微分方程在实际生活中的广泛应用，对时滞微分方程的稳定性理论的研究就显得非常重要，并且也是非常有意义的．至今已经有很多学者在这方面取得了很好的研究成果，[1．30】中有很多的介绍．’对时滞微分方程的稳定性理论的研究的转折点可以追溯到1892年，这一年俄国数学力学专家Lyapunov发表了一篇名为“运动稳定性的一般问题"的论文，该论文给出了研究稳定性的一种很有效的方法．这种方法后来被称为Lyapunov直接法，也称为Lyapunov第二方法，它至今仍是研究时滞微分方程解的稳定性的主要方法．这种方法可以在没有得到方程具体解的情况下，就确定方程解的稳定性．Lyapunov直接法的关键是构造L yapunov泛函．目前许多学者在研究时滞微分方程解的稳定性时，都是通过构造Lyapunov泛函的方法，并得到了很多很好的研究结果，如[31．50]．但是，如何构造合适、有效的L yapunov泛函来研究解的稳定性，仍然是一个很有吸引力和挑战性的课题．2 在实际工程系统中，时滞现象是普遍存在的．时滞产生的原因有很多，如：系统变量的测量过程需要一定时间、系统中设备的物理性质(大惯性环节)因数也会导致滞后、物质或信号的传递(传输过程)亦需要一定的时间，缓慢的化学反应过程等都会使系统产生时滞．时滞的存在对系统的控制无论在理论方面还是在工程实践方面都造成了很大的困难．通常情况下时滞将使系统的性能变坏，甚至使系统失去稳定性，从研究的角度来说，时滞的存在给系统的稳定性分析和控制器的设计带来了很大的困难．因此，对时滞微分方程的稳定性的研究无论在理论上还是在应用上都具有非常重要的意义．开展这方面的研究，一方面将丰富和发展时滞微分方程的理论，另一方面也为一些问题的实际应用提供了必要的理论基础．目前，关于时滞微分方程的研究成果也很多．稳定性理论是时滞微分方程理论中的重要部分．在稳定性理论发展进程中最伟大的事件乃是俄国数学力学专家李雅普诺夫在1892年完成的博士论文“运动稳定性的一般问题"，从而建立了稳定性理沦研究的框架．稳定性理论和方法不断地在发展，尤其是20世纪30年代以来，由于科学技术的日新月异，特别是自动控制、空间技术、大系统理论、生物数学等的出现，使稳定性理论发展更快，新的课题、方法不断涌现．50．60年代初期，数学家们围绕李雅普诺夫第二方法中的李雅普诺夫函数的结构，建立了一致稳定、等度渐近稳定、指数渐近稳定等各种稳定性概念，丰富了稳定性理论的研究内容．随着时间的推移，众多学者为稳定性理论的研究奠定了雄厚的基础，使其形成了一套比较完善的理论．例jtN[171、『191等都涉及到了稳定性方面的研究．至今，研究时滞微分方程解的稳定性的有效方法，仍是Lyapunov直接法(即Lyapunov第二方法)．其主要优点在于，不需要预先知道解的情况，就可确定其解的稳定性．在过去的四十多年里，已有很多学者利用构造Lyapunov泛函的方法，研究了时滞微分方程解的稳定性，得到了许多不错的结果．但是，如何构造合适、有效的Lyapunov泛函?这是一个难题，没有学者给出一个明确的方法．这样的难题在高阶常微分方程中一样存在，例如【17】．显然，对于高阶时滞微分方程构造L yapunov泛函将是更加地困难．从上世纪五、六十年代到本世纪初掀起了研究微分系统稳定性及有界性的热潮，并有许多研究成果．在微分系统稳定性及有界性研究成果得出的过程中，巴尔巴辛公式功不可没．自从巴尔巴辛给出了刀阶线性微分系统y函数构造的公式以后，许多学者通过“类比法"构造y函数研究了大量二至五阶非线性微分系统的稳定性和有界性．常微分方程是在人类生产实践中产生的．历史上，它的雏形的出现甚至比微积分还要早，伽利略研究自由落体运动，纳泊尔发明对数，笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等．在十九世纪早期，柯西给微积分注入了严格性的要素，同时也为微分方程的理论奠定了基石．Sturm的工作提出了对解进行定性研究的最初思想．Poincare的著名论文“微分方程所定义的曲线”和Liapunov的博士论文“运动稳定性的一般问题”共同奠定了定性理论的研究基础．微分方程的过去和现在都对力学、天文、物理、化学、生物等各种技术科学(核能、火箭、人造卫星、自动控制、无线电子技术等)及若干社会科学(如入口问题、经济预测、运输调度问题等)提供有用的工具．早先研究都假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而和过去的历史无关．但是，事实告诉我们，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于过去的的状态．在这种情况下，微分方程就不能精确地描述客观事物了，代之而起的就是微分差分方程特别是时滞微分方程．现实世界中大量的自然现象可以用常微分方程来描述，用常微分方程来描述事物的现象是出于事物的发展的趋向只与当前的状态有关，而不明显地依赖过去的状态，然而在我们所研究的各种自然现象中，客观事物的变化发展规律是复杂多样的，诸多情形不仅需要考虑事物的当前的状态，而且需要考虑事物过去的历史，也就是说，当前的现状和过去的历史同时对事物的发展起作用．严格地说，在动力学系统中时滞通常是不可避免的，即使以非常快的速度(例如光速)传递的信息也不例外，从这个意义上来说，常微分方程只是动力系统的一种近似描述．如果略去滞量并不改变系统的解的性态，这时，用常微分方程去描述动力系统已够精确，而不必顾及系统中的时滞因素，如果略去滞量便达不到必要的精度，甚至导致错误，或者不考虑滞量便无法建立所需的数学模型，则需要另寻办法建立一系列新的概念和方法去直接研究系统的解的种种性态．所以，用来描述自然现象的更为合理的模型应该是与事物过去的历史即时滞有一定的关联的．因此，用时滞微分方程来刻画事物的变化发展规律更能精确地描述事物的本质．近几十年来，对时滞微分方程的动力学行为的研究引起了人们极大的兴趣1771年，Condorcet在讨论1750年由Euler提出的一个古典几何学问题时，导出了历史上第一个泛函微分方程，此后一个世纪中，许多著名的数学家，如Bernoulli，Laplace，Poisson以及Babbege等都提出过类似的方程，鉴于这类方程的复杂性，一直作为历史数学悬案搁置下来，上世纪七十年代以来，随着类似甚至更为复杂的这类方程在生物学、物理学、控制理论和工程系统中不断涌现，这才促使人们对此类方程的研究自然科学与社会科学中的许多学科提出了大量的时滞动力学问题．如核物理学、电路信号系统、生态系统、化工循环系统、遗传问题、流行病学，动物与植物的循环系统及各种社会科学问题如商业销售问题、财富分布理论、资本主义经济周期性危机、运输调度问题、工业生产管理等，各种工程系统中出现时滞现象更为普遍，特别是自动控制系统的时滞动力学系统数目更为庞大．这些学科的发展迫切需要时滞动力学的理论基础．=0，0<x<1，t>0，ρ(x)ωtt x，t+EI xωxx x，txxω0，t=ωx0，t=ωxx1，t=0，t>0，EI xωxx x1，t=u t，t>0，y t=ωt1，t，ωx，0=ω0x，ωt x，0=ω1x，0<x<1.（ω0时滞微分方程主要用于描述依赖当前和过去历史状态的动力系统，因此它在物理、信息、化学、工程、经济以及生物数学等领域都有重要应用．由于时滞微分方程在实际生活中的广泛应用，对时滞微分方程的稳定性理论的研究就显得非常重要。
一类具有时滞的金融系统的稳定性
一类具有时滞的金融系统的稳定性陈红兵【摘要】首先建立了一类具有时滞的金融模型,该模型以累计利润额为关键因素,接着以τ为参考元素研究了该模型的稳定性及Hopf分叉.发现当τ变化时,该系统的稳定性会发生变化,该模型会在某一确定值处出现Hopf分叉.最后用中心流形定理和规范型方法研究分叉周期解的稳定性.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2014(031)001【总页数】5页(P106-110)【关键词】时滞;Hopf分叉;金融系统【作者】陈红兵【作者单位】天水师范学院数统学院甘肃天水 741001【正文语种】中文【中图分类】O175.171 引言金融稳定是经济可持续发展的基础和前提，亚洲金融危机后，金融稳定和安全问题引起了全世界的广泛关注和重视．金融机构和金融市场构成巨大的金融系统，金融系统是一个开放的复杂系统，是人造系统．参考文献［1－3］，金融系统和生态系统有很多相似之处，运用生态系统的相关理论可以研究金融系统的相关问题．2 模型在参考文献［3］中，给出了n个金融种群的确定性模型为其中xi分别表示金融种群i的累积利润额，f（x1，x2，…，xn）表示线性或非线性函数．本文引用参考文献［3］，同样以金融种群的累计利润额为关键元素，考虑三个金融种群的非线性关系．所以建立模型其中x（t），y（t），z（t）分别表示三种金融种群的累积利润额，其中金融种群x和y为并购关系，y和z为并购关系，种群x和z也为并购关系．参数a1＞0，b2＞0，c1＞0分别表示x对y，y对z和z对x的并购系数，a2＞0表示由于z对x的并购造成x的累积利润额的减少率，b1＞0表示由于x对y的并购造成y的累计利润额的减少率，c2＞0表示由于y对z的并购造成z的累计利润额的减少率，c3＞0表示种群z受到自生资金数量的制约系数．τ表示金融种群盈利的时间滞后．3 稳定性及Hopf分叉本文只考虑金融营运正常的情况，即累积利润额大于零定理1 若满足初值条件（2），则系统（1）的解是正解．令若假设（H1）和（H2）成立．则系统（1）的正平衡点为E＊（x＊，y＊，z＊），其中系统（1）在正平衡点E＊的特征方程为其中定理2 若假设（H3）成立，则系统（1）的正平衡点E＊是一致渐进稳定的．证明当τ＝0时，系统（1）的特征方程为显而易见A ＞0，B ＞0，C ＞0，所以由Routh－Hurwize定理得结论成立．引理1 对如下多项式［4］其中τi＞0（i＝1，2，…，m）和pji ＞0（i＝1，2，…，m，j＝1，2，…，n）都为常数，当（τ1，τ2，…，τm）变化时，P（λ，e－λτ1，…，e－λτm ）在右半平面上的零点重数之和当且仅当有零根出现在虚轴上或穿过虚轴时才发生变化．定理3 假设系统（1）满足条件（H1）和（H2），则方程（3）至少有一个实根，并且在τ＝τ0时，系统（1）的正平横点E＊出现Hopf分叉．证明令λ＝i w，带入特征方程（3），分离实部和虚部得下面分两种情况讨论：（ⅰ）当cos wτ＝0时，1）wτ＝＋2kπ（其中k＝0，±1，±2，…），代入方程（4）计算得2）wτ＝＋（2k＋1）π，其中k＝0，±1，±2，… ，代入方程（5）计算得方程（5）和（6）都至少存在一个实根，记方程（5）和（6）的实根分别为，则分别得（ⅱ）当cos wτ≠0时，计算方程（4）得得其中A1＝－A2，A2＝2A2 B－2AC－B2，A3＝－C2，A4＝－BC2．令θ＝w2，则方程（7）变为显而易见A4＜0，所以方程（7）至少存在一个正根．不妨设方程（7）的根为θi（i＝1，2，3，4），则相应的方程（3）有4个正根，分别为wi＝所以可得，其中i＝1，2，3，4，j＝0，1，2，…．令τ1＝综合（1）和（2）得，τ0＝在方程（2．2）两端对λ求关于τ的导数，则可得因为signRe＝signRe，所以计算signRe，经计算得signRe＞0．4 分叉方向与分叉周期解由文献［5］Hassard方法，令u1＝x－x＊，u2＝y－y＊，u3＝z－z＊，τ＝τ0＋μ，t→tτ．则系统（1）可化为C＝C（［－1，0］，R3）上的时滞泛函微分方程其中u（t）＝（u1（t），u2（t），u3（t））T∈R3 ，Lμ：C →R3，F：R×C→R3则由Riesz定理得，存在有界变差函数η（θ，μ）使得其中η（θ，μ）：C→R3，θ∈［－1，0］．定义算子A（μ），A＊（μ），R（μ）为其中φ∈C（［－1，0］，R3）．则系统（9）可化成算子方程其中 u（t）＝（u1（t），u2（t），u3（t））T，ut（θ）＝u（t＋θ），θ∈［－1，0］，μ＝τ－τ0．由定理3知，当μ＝0时，系统（9）可能产生Hopf分岔．令其中ψ ∈C1（［0，1］，R3＊），η（θ）＝η（θ，0）．设q（θ）＝为A（0）的关于的特征向量，q＊（θ）＝D（1，α＊，β＊）为A ＊（0）的关于－i的特征向量，则A（0）q（θ）＝，A＊（0）q＊（θ）＝－i w0τ0q＊（θ），则由A（0）和η（θ，μ）的定义可得从上式可得q（0）＝（1，α，β）T和q＊（0）＝D（1，α＊，β＊），其中由式（12）可得令则有＜q＊，q＞＝1，＜q＊＞＝0成立．当μ＝0时，下面计算中心流行算子C1（0），定义由中心流行定理可得当W 是实数时ut也是实数，因此下面只考虑ut为实数的情况，因为其中则由式（13）可得又因为q（θ）＝（1，α，β（其中θ＝0或θ＝1），所以可得因为所以可得下面计算（θ）和（θ）．则可得由式（17）可得所以有即由A的定义和式（18）可得由式（21），（22），（23）可得则可求得E1，同理可得E2．令定理4 系统（1）的分岔方向由μ2确定，μ2＞0（μ2＜0），Hopf分岔是上临界（下临界）的，即当τ＞τ0（τ＜τ0）存在相应的Hopf周期解；分岔周期解的稳定性由β2确定，当β2＜0（β2＞0）分岔周期解稳定（不稳定）；分岔周期解的周期由T2确定，当T2＞0（T2＜0）周期增加（减少）．5 结论若模型满足假设条件时，则当τ∈［0，τ0），正平衡点一致渐近稳定，而τ＞τ0不稳定，并且在τ＝τ0附近出现分叉．若β2＜0，则Hopf分岔周期解稳定．周期解趋于一个稳定的极限环．τ表示的是时间滞后，即累计利润额产生的盈利越早越有利于整个系统的稳定．参考文献［1］Chant Joha．Financial stability as a policy goal［R］．Canada：Bank of Canada Technical Report No．95，2003，9，3－4．［2］Crockett，Andrew．The theoey and practice of financial stability ［M］．United Kingdom：Conville and Caius College Cambridge，1997．［3］刘淄，王顺庆．浸润稳定性与生态稳定性［J］．生物数学学报，2009，26（4），657－664．［4］S RUAN，J WEI．On the zeros of transcendental functions with applications to stability of delay di erential equations with two delays ［J］．Dyn．Contin．Discrete Impuls．Syst．Ser．A Math．Anal，2003，10：863－874．［5］B HASSARD，D KAZARINO，Y WAN．Theory and appl－ications of hopf bifurcation［M］．Cambridge：Cambridge University Press，1981．［6］李立华，张强．基于混沌理论的金融系统稳定性研究［J］．经济数学，2010，27（4）：67－72．。
脉冲泛函微分方程稳定性的新准则
满足 Ｊ ， ） ０ ｚ ）＝ ｌ ｚ（） （ ０ 三 ； （ ｉ ａ ｒ ．
一
设 （ Ｒ是 一个 区 间 ， Ｃ（ Ｒ ）一 ｛ Ｊ一 ｌ 二 ＝ Ｐ Ｊ， Ｘ： Ｘ除 ｔ ｔ Ｊ外 处处 连续 ， ） ｚ 砖）一 ｌ — ∈ （ 和 （ ｉ ｍｘ（） ￡
脉 冲微 分 方程是 研究 状态 突然 变化 的发 展 过 程 的 重 要 的数 学 工 具 引， 生物 学 、 在 物理 学 、 工程 技 术 和 经 济学等 领域 有着广 泛 的应用 ． 目前 ， 脉 冲微分 方 程理论 的研 究 已 吸引 了国 内外一 大批 专家 学者 的注意 ． 对
０ ｔ ０＜ ≤ ＾
“ ） （ ， ｔ ≥ ｏ ，
其 中 Ｃ， ≥ ０ 常数 ． 么 是 那
（ ≤ＣＩ （＋ ｅｐ Ｉｐｓ ｓ， ｏ ） Ｉ １ ）ｘ （ （ ｄ） ） ≥ｔ ．
＜ｔ ｔ ｋ￣ “ ｏ
Ｊｎｅ ｅ ｓｎ不等 式 － 。 设 Ｇ 在 ［ 连 续 并 下 凸 ， Ｐ在 ［ ６ ， Ｘ， 口，］上 可 积 且 口≤ ｚ ｓ （）≤ 卢 （）≥ ０ ， ｓ ，
致 渐近稳定 的新 准则 ， 改进 了已有文献 中的相应结果 ．
关 键 词 ： 冲 泛 函微 分 方 程 ； 定 性 ； ｉ ｕ ｏ 方 法 ； ｅ ｓｎ不 等 式 脉 稳 Ｌａ ｎ ｖ ｐ Ｊ ｎｅ 中 图分 类号 ：Ｏ １５ ７ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ － ７ ５ ２ Ｏ ） ６ Ｏ Ｏ 一 ４ ０ １ ８ ３ （Ｏ ８Ｏ 一 ７ ３ Ｏ
文献 ［ ７ ３— ］成功 地将 Ｌａ ｕ ｏ — ａｕ ｋ ｉ ｉｐ ｎ ｖ Ｒ ｚ ｍｉｈｎ方法 应用 于方 程 （ ） 获 得 了若 干稳 定 性 定理 ． 文 利 用 １， 本 Ｌａ ｕ ｏ Ｒ ｚ ｍｉｈｎ泛 函方法 和 Ｊ ｎ ｅ ｉｐ ｎ ｖ— ａｕ ｋ ｉ ｅ ｓｎ不等 式 ， 过 改进 Ｌ ａ ｕ ｏ 泛 函 Ｖ（， 的下 界 ， 去掉 函数 的 通 ｉｐ ｎ ｖ ｔ ） 并 有界性 要求 ， 到 了方程 （ ）的新 的稳 定性 准则 ， 得 １ 改进 了已有 的结果 ． 于方 程 （ ）的假 设 和文 中 出现 的 有 关 １
有限时滞差分方程基于两种测度的稳定性分析
中 图 分 类 号 ： ５ ． ｏ １７ ７ 文 献 标识 码 ： Ａ
Ｓｔ ｉｉｙ Ａｎ ｙ ｉ ｎ Ｔｅ ｍｓ ｏｆＴｗｏ Ｍ ｅａ ｕ ｅｓ ｆ ｒ ａｂ ｌ ａｌ ｓ ｓ ｉ ｒ ｔ ｓ ｒ ｏ
１ 预 备 知 识
首 先 给 出一些 记 号 和定 义 ， Ｒ 记 为 ｋ维 欧几 里
不 必要 的 ． 文运 用 文献 ［ ］ 本 ４ 中关 于泛 函微 分 方程 的
收 稿 日期 ： ０ １０ — ２ ２ ０ — ７１
得 空 间 ， 为非 负 整 数 全 体 ， 为 非 负 实 数 全 体 ， ｚ Ｒ Ｃ一｛ ｛ ， ， １ ０ 一 Ｒ ｝ 定义 ： 一ｒ … 一 ， ｝ ； ｌ ｌ ｌ ｌ— ｍａ ｌ ｓ Ｉ ｘ ）
ｓ ａ ｌｔ ｔ ｂｉｉｙ．
Ｋｅ ｒ ｓ：ｆ ｉｅ ｄ ｌ ｙ ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｑ ａ ｉ ｎ ；Ｌｉｐ ｎ ｖ ｆ ｎ ｔ ｎ ｌ ； （ ０ ｈ）ａ ｙ ｐ ｏ ｉ ｔ ｂ ｌ ｙ； （ ０ ｈ） ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｔ ｅ ａ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｎ ａ ｕ ｏ ｕ ｃｉ ａｓ ＾ ， ｏ ｓ ｍ ｔ ｔｃ ｓ ａ ｉ ｔ ｉ ＾ ，
准则 ． 这 里 ， 在 只须 要 求泛 函关 于时 滞差 分 方 程 的差 分 在 一 区 间 序 列 上 负 定 ． 外 ， 验 证 渐 近 稳 定 性 另 在
时， 只须 要 求泛 函在一 区间 序列 上 有一 上 界．
方 法 ： 藉 助 于 Ｌａｕ ｏ ① ｉ ｎ ｖ泛 函 ； 运 用 Ｌａ ｕ ｏ ｐ ② ｉｐ ｎ ｖ
2013时滞微分方程基本概念与解的基本性质
x(t)=f(t,x(t),x(t-r1(t), ,x(t-rm(t))). (4)
其中f:R Dm+1 Rn , 0 ri (t) r(i 1, 2, , m).
如何给出方程（4）的初值问题？什么叫做方程（4） 满足初值问题的解？与常微分方程中的定义 是否相不同？
1.2 微分差分方程的概念及分类
1.2.1. 微分差分方程定义
一般的，如果一个方程具有如下的形式 x(t)=f(t,x(t),x(t-r1),x(t-r2), x(t-rn )) (1) 其中ri为常数，则此方程叫做微分差分方程 （Differential Difference Equation,简写 为DDE）,ri叫做偏差.
3).如果方程具有如下形式：
x(t)=f(t,x(t),x(t-r1), x(t-rn ),x(t-1),
,x(t- m )).
(3)
其中ri 0(i 1, 2, , n),i 0(i 1, 2,
, m).则称此方程为中立型的微分差分方 程（Neutral Differential Difference Equation,简写为NDDE）。
首先给定一初始时刻t0 R，若函数x(t)在[t0,b) 上是方程（4）的解，就必须要求x(t)在[t0 ,b)上有 定义且满足方程（4）,但（4）中含有x(t-ri(t)) (i=1,2, , m),
当t0 r t t0时,t-ri(t)有可能落在区间 [t0 r,t0 ]之上，但是x(t)在[t0 r,t0 ]上是没有 定义的，它等于多少，有待我们预先给定。
恒等于(t)，在[t0 , b]上满足方程（4）。
1.3.2 求解法——分步法求解
多时滞的某类二阶泛函微分方程的稳定性
第３ 卷 第５ ４ 期
东华大学学报 （ 自然科学版）
Ｖ １３ ， ｏ ５ ｏ． ４ Ｎ ．
２０ 年 １ ０８ ｏ月
Ｊ ０ＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｄ ０ＮＧＨＵＡ ＵＮＩ ＲＳＴＹ（ ＶＥ Ｉ ＮＡＴ Ａｌ Ｓ Ｅ Ｅ ＵＲ ＣＩ ＮＣ ）
Ｏ ｔ ０８ ｃ ．２ ０
文章编号 ： ６１ ０４ （０８０ — ６０ ０ １７ — ４４２０ ）５ ０４ — ７
ｉ ｅｆ ｌ ｆ ｈ ｓ ｓ ｉｌｇ ｎ ｙ ｅｎ ｔ ｓａ ｄ ， ｎ ｎｔ ｅｄｏ ｙ ｉ ．ｂｏｏ ｙ ａ ｄ ｃｂ ｒ ｅｉ ｎ Ｓ ｏ ．Ｔｈ ｔｂｌ ｆ ｅｔｉ ｉｄｏ ｅｏ ｄｏ ｄｒｆｎ ｔ ｎ ｌ ｈ ｉ ｐ ｃ ｃ Ｏ ｅｓａ ｉｔ ｏ ｃｒａ ｋｎ ｆｓｃ ｎ ｒ ｅ ｕ ｃｉ ａ ｉ ｙ ａ ｎ ｏ
Ｋｅ ｒ ｓ ｅ ｏ ｄ ｏ ｄ ｒｆ ｎ ｔ ｎ ｌ ｉ ｅｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉｎ ；Ｌ ａ ｕ ｏ ｎ ｔｏ ｙｗｏ ｄ ：ｓ ｃ ｎ ｒ ｅ ｕ ｃｉ ａ ｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔ ｓ ｉｐ ｎ ｖＦｕ ｃｉｎ；ｓａ ｉｔ ｏ ｄ ｆ ａｅ ｏ ｔｂｌ ｙ ｉ
二阶变系数线性方程 尘 ｆ－ｐ ｔ ｃｔ＋ｑｆ ｚ ￡ ＝ ０ （ ｑ （） （） （） （）： 在很多问题上都有着实用价值 ， ）－ Ｊ ： 因此钱学森和宋 健ｎ曾提出一个任务： 要给出严格而简便的准则来判断该系统的稳定性． 张学铭 已经详细总结了各种充 分条件， 可以通过变换推出该方程的稳定性理论．
ｄｆ ｒｎ ｉ ｑ ａｉｎ ｔ ｌ－ ｅａ ｓｄｍ ａｓ＆ ｉｅｅ ｔ ｌ ｕ ｔ ｓ ｗｉ ｍｕｔ ｄ ｌｙ ｉ ｉ ｓｅ ｆ ａｅ ｏ ｈ ｉ ｈ ｅｐ ｏ ｅｔｒｔａ ｓ ｍ ｉ ｈ ｅ ｏ ｄ Ｌａ ｎ ｖ ｔ ｅ ｈ ｌ ｆｖ ｃｏ ｒｎ ｆｎ ｔ ｎ ｔｅ ｓｃ ｎ ｉ ｕ ｏ ｏ ｏ ｐ
泛函微分方程解的指数渐近稳定性与有界性
泛 函微 分 方程 解 的指 数 渐 近 稳 定性 与有 界 性
迪 申加
（ 警 学 院 基 础部 数 学 教研 室 ， 坊 ０ ｆ ０ 武 廊 ６００ ｉ
： 摘
要 ： 本 文 研 究 了具 有 有 限 时 滞 中立 型 泛 雨 微 分 方 程 解 的 有 界 性 问题 ． 到 了 方 程 解 的指 数 渐 近 稳 得
映 人 的 连 续 函 数 所 组 成 的 空 间 ， 且 对 于 ∈ｃ， 范 数 为 ｌ ｌ ｓ ｍ ０ ， 中 １ 是 醍 并 其 — Ｉ （） 其 ｕ ｐ ．【 中 的
．
范数． 没对 每一 ＞０ 都存 在 （ ） ， 假 ， ＞０ 使得 当 ∈（ 时 ．
）≤ １ （， ｉ （） ∈ （ ∞ ， 。 ） ｎ． ＋ 。 ． 这里 ｃ 一｛ ∈Ｃ：ｌ 。 ｎ 又 Ｄ ＝ ０ －ｇ ￣ ， ≤ ｌ Ｉ ｅ ） （ ） ｇ盘 ×（ ｌ 为 连 续 的 ， 于 为 线 性 的 ， ｃ 一 关 即
１ 准 备 工 作
考虑 具有 有限 时浠 中立 型泛 函微 分 方程
ｄＤｘ ，
… （） １
其 中 ， ） （ 一 （一 ．∈（ 。 ．ｊ 这里 ｆ： ×ｃ ｆ ） 。 ０ ． — 为连 续 的 ， Ｃ一（ ｒ Ｏ ． ） 示 将 区间 ［ ｒ ０ ［ ．］ Ｊ 表 ，］
（ ） Ｖ（， ） ｂ 竹， 一Ｖ（． ）≤６・｛Ｉ 一 Ｉ Ｉ 一 ｝ 伫． ＋ ２Ｉ ，
这 里 Ｅ蠢， 。 １ ２ ＥＣ， 定 义 ｌ中 的 常 数 ． 张， （ 一 ，） ６是
证 对 任何 Ｅ ．
∈Ｃ． 我们 定 义 Ｌａ ｕ ｏ ｉ ｎ ｖ泛 函 ｐ
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第 １ 第 ３期 ８卷
２０ ０ ２年 ６月
一类四阶时滞微分方程的渐进稳定性
．Ｏ ｌ ＲＮ ＡＬ Ｆ ＡＮ Ｇ ＳＵ ｌＮ ＶＥＲＳＩ Ｙ｛ ｔ ｒ ￣Ｓ ｉ ｎ ｅ Ｅ ｔｏ １ Ｊ Ｏ ＪＩ ｊ Ｊ Ｔ Ｎａｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｄｉｉｎ）
Ｉ第３卷 ｒ １
第５ 期１ Ｌ ｏ３ ｌ １１ ５ Ｖ ．
一 ＿
／ｌ
ｖ ｒａ ｌ ｅａ ａ ｉ ｂｅ ｄ ｌｙ
在微 分方 程理论 和应 用领 域 中 ， 稳定 性 是 非 常
’ｔ （）＋ｅ ｔｘ ， ｔ （）＋ ｔ ） ｔ （， （） （ ）＋ ｔ （） （）＋
重 要 的ｆ题 ． 近 儿 年米 ， 用 ｌ ａ ｕ ｏ ｎ Ｊ 最 利 ， ｐ ｎｖ直接 法 得 ／ ｔｘ 一７ ）＋ （ ， ｔ ） ｙ ，（ ． ） ｇｔ （ —ｒ ）＋ｈ ｘ ￡ ） ０ （ （ 一ｒ ）＝ 到 了 ｝多 四阶非线 性时滞 微分 方程解 的稳定性 币 有 乍 ¨ 界性 的极好 结果． 是 ， 于 四阶时滞微 分方程 解的 但 对
（＂ ｕ ￣ｆ Ｓ ｉ ｃ ，Ｊ ｎ ｓ ｎｖ ｒ ｔ ， ｈ ｎｉ ｇ Ｊ ｎ ｓ ０ ，Ｃ ｉａ ｜ ｃ ｈｌ】 ｃ ｎ ｅ ｉ ｇｕ Ｕ ｉ ｓ ｙ Ｚ ｅ ｊ ｎ ， ｉ ｇ ｕ２ ａ ｆ ｅ ａ ｅｉ ａ ａ ｌ １ ２ ３ ｈ ） ｎ
Ａｂｓｒ ｃ ： Ｂｙ ａ ａｏ ｙ ｔ Ｌ ａ ｕ ｏ ｆ ｎ ｔｏ ｔａ ｔ ｎ ｌ ｇ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ ｕ ｃｉｎ， ｗｈ ｔ ｅ ｒ ｎ ｔａ ａ ｐ ｏ ｒａ ｅ ｙ ｐｕ ｏ ｕ ｃ ｉｎ ａ ｂ ｅ ｈ ｒｏ ｏ ｎ ｐ ｒ ｐ ｉｔ Ｌ ａ ｎ ｖ ｆ ｎ ｔ ｃ ｎ ｅ ｏ ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｄ ｉ ｈ ｅ ｏ ｔ ｅ ｓｕ ｙ ｏ ｈ ｔｂ ｌｔ ｆｎ ｎ ｉ ｅ ｒｔ ｅ ｄ ｌ ｙ ｓ ｓｅ ． Ａ ｌ ｓ ｆｔｕ ｔ ｏ ｄ ｒ ｏ ｓｒ ｃｅ ｓ ｔｅ ｋ ｙ ｔ ｈ ｔ ｄ ｆｔ ｅ ｓａ ｉｉ ｏ ｏ ｌｎ ａ ｉ — ｅａ ｙ ｔｍ ｙ ｍ ｃａ ｓｏ ｒｈ— ｒ ｅ ｂ ｄｆ ｅ ｉ ｌｅ ａ ｉｎ ｉ ｔ ｄｉｄ Ｂｙ ｃ ｎ ｔｕ ｔｎ ｕ ｃｅ ｔｃ ｎ ｉｉｎ ｆｔ ｅ ａ ｙ ｔ ｔ ｔｂｉ ｔ ｆｚ ｒ Ｏ ｉ￣ｒｎｔ ｑｕ ｔｏ ｓｓｕ ｅ ． ｔ ａ ｏ ｓｒ ｃｉ ｇ ｓ ｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔｏ ｓｏ ｈ ｓ ｍｐ ｏ ｉ ｓａ ｌ ｙｏ ｅ ｏ Ｓ — ｉ ｃ ｉ ｌ ｔ ｎ ｏ ｑ ａｉ ｎ，ｔ ｅ ａ ｅ ｕ ｔ ｒｔｒａｏ ｈ ｓ ｍｐｔｔ ｔｂ ｌｔ ｆｚ ｒ ｏｕｔ ｎ ｏ ｑ ａｉｎ ｉ ｂ ａｎ ｄ． ｕｉ ｆｅ ｕ ｔ ｏ ｏ ｈ ｄ ｑ ａｅ ｃ ｉ ｉ ｆｔ ｅａ ｙ ｅ ｏ ｉ ｓａ ｉｉｙｏ ｅ ｏ ｓ ｌ ｉ ｆｅ ｕ ｔ ｓｏ ｔｉ ｅ ｃ ｏ ｏ Ｋｅ ｏ ｄ ｙ ｗ ｒ ｓ： ｄ ｌ ｙ ｉ ｅ ｅ ｉ ｌ ｑ ａ ｉｎ； ｆ ｕ ｔ ｏ ｄ ｒ ｄ ｌ ｙ； ａ ｙ ｔ ｔ ｓａ ｉｉ ｅａ ｄｆ ｒｎｔ ｅ ｕ ｔ ｆ ａ ｏ ｏ ｒｈ—ｒ ｅ ｅａ ｓ ｍｐ ｏ ｉ ｔｂ ｌｔ ｃ ｙ； ｌａ ｎｏ ｆ ｎ ｔ ｎ； ｙ ｐｕ ｖ ｕ ｃｉ ｏ
微分方程中的稳定性与周期解
微分方程中的稳定性与周期解微分方程是数学中的重要概念，它描述了变量与其变化率之间的关系。
在微分方程中，稳定性和周期解是两个重要的性质，它们对于了解系统的行为和性质具有重要的意义。
稳定性是指系统在给定条件下是否趋于平衡态。
在微分方程中，一个平衡态是指系统的变量不再变化的状态。
稳定性分为两种情况：稳定和不稳定。
当系统的变量在平衡态附近有小的扰动后会趋于平衡态，则称为稳定。
当系统的变量在平衡态附近有小的扰动后会远离平衡态，则称为不稳定。
稳定性分析可以通过线性稳定性理论来进行。
线性稳定性理论是通过线性近似来描述非线性的系统。
如果线性近似的系统是稳定的，那么原系统也有可能是稳定的。
线性稳定性理论可以通过计算系统的雅可比矩阵来进行。
雅可比矩阵是系统的变量对变量变化率的偏导数构成的矩阵。
当雅可比矩阵的所有特征值的实部都小于零时，系统是稳定的；当存在一个特征值的实部大于零时，系统是不稳定的。
周期解是指系统在一定条件下呈现周期性变化的解。
周期解可以通过解微分方程得到。
对于一个给定的微分方程，可以通过求解得到解的形式。
如果解表现出周期性变化，那么就可以称为周期解。
周期解的存在与系统的非线性动力学有关，而线性系统往往不存在周期解。
稳定性与周期解在微分方程的研究中有着广泛的应用。
通过稳定性分析可以判断系统的行为和性质，从而对系统的稳定性进行评估和预测。
周期解的存在可以揭示系统的周期性行为和振荡现象，对于研究周期性现象和系统的动力学行为具有重要的意义。
总结起来，微分方程中的稳定性与周期解是微分方程研究中的两个重要概念。
稳定性可以通过线性稳定性理论进行分析，可以通过计算雅可比矩阵的特征值来判断系统的稳定性。
周期解可以通过解微分方程得到，揭示了系统的周期性行为和动力学性质。
稳定性和周期解的研究对于了解系统的行为和性质，以及评估和预测系统的稳定性有着重要的意义。
2013第一章时滞微分方程基本概念与解的基本性质解析
2).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为超前型的微分差分方程（Advanced Differential Difference Equation,简写为ADDE） 或时超微分方程，各个ri均为超前量或超量。
3).如果方程具有如下形式： x(t)=f(t,x(t),x(t-r1 ), x(t-rn ), x(t- 1 ), ,x(t- m )). (3)
1.4.2 中立型泛函微分方程的概念（省略） 1.4.3 超前型泛函微分方程的概念（省略）
1.5 解的存在唯一性、延展性和连续依赖性
考虑滞后型泛函方程 x(t)=f(t,xt ), t t0 （1） xt0( ) ( ), [ r , 0], n 其中f为R C R 的连续泛函.
1.2.3
微分差分方程分类
关于DDE的分类，现在还没有一套完整的 方法，一般只作如下的分类：
1).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为滞后型的微分差分方程（Retarded Differential Difference Equation,简写为RDDE） 或时滞微分方程，各个ri均为滞后量或滞量。
2. x(t ) ax(t r ) () （常数）t [t0 r , t0 ] x(t ) C
例2 考虑下列方程 x(t ) x(t 1) 2 x(t 1) (8) x(t ) 1, x(t ) 0, t [0,1]
作业: 计算[n-1,n]上的解的表达式，为正整数. 思考题: 区间段取法有何要求?
r 0 n n
如果 t0 R, A 0, x C ([t0 r , t0 A], R n )，则 对任一 t [t0 r , t0 A], 我们定义 xt : xt ( ) x(t ), [r ,0].因此，xt C.
微分方程稳定性理论简介
第五节 微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()dxf x dt= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程()0f x = （2）的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。
判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。
将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：0'()()dxf x x x dt=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。
0x 也是（4）的平衡点。
关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。
若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是0'()0()f x t x t ce x =+ （5）其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)dx t f x x dtdx t g x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （6）右端不显含t ，代数方程组1212(,)0(,)0f x x g x x =⎧⎨=⎩ （7） 的实根0012(,)x x 称为方程（6）的平衡点。
记为00012(,)P x x如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足101lim ()t x t x →∞= 202lim ()t x t x →∞= （8） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐近稳定）。
具多时滞的微分方程的稳定性
ｂ（ 十∑ ｃ （ ｘｔ ） ｊｔ ｘ）
Ｊ １ 一
≤２６ （＋∑ ｃ．（ 一（＋∑Ｃ ∑ ｊＴ ￡ ６ ）。） ｇ ｊ ）
＋
２ 主要结 果
∑
定理 １ 中立 型 线 性 微 分 方 程 （ ）若 满 足 下 述 ： １ 条件
（ １ Ｈ ）ｂ≤ ０ ｃ ≤ ０ Ｊ一 １ ２ … ， ，ｊ ， ，， ｌ ｌ ＇
１ ３
／，
６
－２ ｄ ｌ＇ ） ｆｉ（ ｓ ｔ ｒ Ｘ
， １ ： Ｊｒ Ｊ “
∑ｃ ， （ 有界。 ｊ ＞０ ａ 故ｚ￡ ）
＝Ｉ
＋
＋
、，
一
∑
ｆ
ｒ ｔ（ｄ ｆ２）ｄ ｘ ｓ
（ ３ ）
又 由方程 （ ） １ 可得
则 有
＋
（ ｌ Ｉ ）≤∑ ｌ ｌ —ｒ ｌ （ Ｉ ｚ （ ／ —ｂｚ ～ ａＩ ） １ ） ｚ
；
≤一（＋∑ＣＭ（ ６ ｊ ） ）
故 ｚ （）也 有 界 ， 以方 程 （）的 零 解 渐 近 ￡ 所 １ 稳定 。
、ｌ，
≤ ￣ ／ ）≤ ￣ Ｏ （ ／ （ ）
Ｖ （ ≤２６ ） （＋∑ ）。） ６ ，（ 一（＋∑ Ｃ ∑ ７ Ｃ ｊ ）
Ｊ ＝１ Ｊ １ ＝ ｉ 一１
’
一
｝ ｉ （） 。 ｒ） ａ ｆ（ ｆ ＋ｘ （一 ｉ）
＋（ ６ ＋∑Ｃ∑ＣＸ ｔ Ｘ（ｄ） ｊ ｊ ２） ） （（＋ ） ２ ｓ ｓ
Ｊ １ 一 Ｊ １ 一 ‘
一
（一 ｚ） ∑ ＿ ） ｒ （ ） （ 一ｍ ＿ ＋ 声 ） ） （ －
ｉ ＝１ ｉ １ 一
（＋∑ （一∑ ｌ。＋∑ Ｃｚ（ ６ ２ ｌ ａ ｊ 。） ） ￡