2013第一章时滞微分方程基本概念与解的基本性质

3).如果方程具有如下形式：
x(t)=f(t,x(t),x(t-r1), x(t-rn ),x(t-1),
,x(t- m )).
(3)
其中ri 0(i 1, 2, , n),i 0(i 1, 2,
, m).则称此方程为中立型的微分差分方 程（Neutral Differential Difference Equation,简写为NDDE）。
恒等于(t)，在[t0 , b]上满足方程（4）。
1.3.2 求解法——分步法求解
对滞后型微分方程 x(t) f (t, x(t), x(t r)), (5)
设给定初始条件为（t）,t [t0 r,t0]，又设函数f 和
对于自己的变元为连续。
当t0 t t0 r时，由于x(t r) (t r),故求方程(5)
对于给定的 (t0,) D，我们说 x(t,t0,)是满足方程(10) 及其初始条件 (t0,)的解，是指存在 A 0，使得 x(t,t0,) 是方程(10)在 [t0, r,t0 A)上的解，且 xt0 (t0,) 。我们 亦可说 x(t,t0,)是方程(10)的过点 (t0,)的解。
x(t)

t,t
[1,
0]
(7)
解: (1)当0 t 1时，方程(7)化为x1(t)=-(t-1),
解得x1
(t
)


1 2
(t

1)
2

c1.
由(0)=0知,c1
1; 2
(2)当1 t 2时，方程(7)化为
x2(t)=
1 2
(t

2)2
-
1 2
,解得
x2
(t)

1 3!
例如：给定x(t) (t),t0 r t t0,那么 (t)（t0 r t t0）就是方程（4）的一个 初值，我们称之为初始函数，t0与(t)合起
来构成方程（4）的一个初始条件。
所谓方程（4）满足初值(t)
（t0 r t t0）的解，是指这样的函数 x(t):[t0 r,b] D,它在[t0 r,t0]上
另一方面，我们必须看到C空间是无穷维的，它不具 备Rn空间那么多的良好性质，例如Rn空间中的有界闭集 与紧集是等价的，但C 空间中却不是这样，因此，常微 分方程中的许多性质在泛函微分方程中是没有的。迄今 为止，泛函微分方程的理论是不够完备的。
(2)无界滞量的RFDE的概念（省略）
(3)无穷延滞量的RFDE的概念
第一章 时滞微分方程解的基本理论
1.1 引言 1.2 微分差分方程基本概念与分类 1.3 时滞微分方程的初值问题及解法 1.4 泛函微分方程的概念和分类 1.5 解的存在唯一性、延展性和连续依赖性
1.6 稳定性基本概念
在这一章里，我们将介绍具有有界滞量的 RFDE的解的基本理论，如存在性、唯一性、连续 依赖性、延展性以及对初值的可微性等。为此， 我们主要介绍解的存在性、唯一性、延展性和连 续依赖性.
首先给定一初始时刻t0 R，若函数x(t)在[t0,b) 上是方程（4）的解，就必须要求x(t)在[t0 ,b)上有 定义且满足方程（4）,但（4）中含有x(t-ri(t)) (i=1,2, , m),
当t0 r t t0时,t-ri(t)有可能落在区间 [t0 r,t0 ]之上，但是x(t)在[t0 r,t0 ]上是没有 定义的，它等于多少，有待我们预先给定。
1.3 时滞微分方程的初值问题及解法
下面介绍滞后型和中立型的微分差分方程 的初值问题。至于超前型的初值问题， 至今尚未有一个公认的提法。
设R=(-,+),R+ [0, ), D为Rn中的一个 开集。
1.3.1 滞后型微分差分方程的初值问题
在这里我们假设方程的滞后量都是t的 函数，下面分四种情形进行考察。
在区间[t0 r,t0]上满足初始条件的解，可转化为下面 的常微分方程满足初值的解：

x1 x1
(t) f (t, x1(t),
(t0) (t0).
1
(t

r
)),
(6)
假设(6)的解在区间[t0,t0 r]上存在，记为x 1(t), 那末当t0 r t t0 2r时，有x(t r) 1(t r)。
问题的解：

xn xn
(t) (t0

f (t nr)
, xn (t),n n (t0
(t r nr).
)),
其中n (t)是方程(5)的初值问题在
区间[t0 （n 1）r,t0 (n 1)r]上的解。
分步法求解举例
例1
x(t) x(t 1)

方程(10)是一种相当广泛的方程，它包含了 常微分方程组x(t) f (t, x(t))。因为 当r 0时，C空间成为Rn空间，xt成为x(t), f (t, xt )实际上是f (t, x(t))了。
从形式来看，这种泛函微分方程x(t) f (t, xt )与 常微分方程x(t) f (t, x(t))是很类似的，其区别只是 前者的f 定义在R C空间，而后者的f 定义在R Rn空间。 因此，常微分方程中的许多理论都可平移到泛函微分 方程中来。
1.2.2 线性微分差分方程
n
形如x(t)= ai(t)x(t-ri) g(t) (2) i=1
称为线性微分差分方程.
特别地 当 g(t) 0时,方程（2）称为线性齐次的; 当g(t) 0时，方程（2）称为线性非齐次的.
1.2.3 微分差分方程分类
关于DDE的分类，现在还没有一套完整的 方法，一般只作如下的分类：
xt ( ) x(t ), [r,0].因此，xt C.
设D RC, f : D Rn为给定的函数，则关系式
x(t) f (t, xt )
(10)
称为具有有界滞量的滞后性泛函微分方程。其中x(t)
表示x(t)对t的右导数。
如果存在t0 R, A 0,以及 x C([t0 , r, t0 A), Rn ), (t, xt ) D， 并且x(t)在区间[t0 , t0 A)上满足 方程(10)，则称函数x是方程(10)的 一个解。
x2(t)=
3 2
(t

2)
2
-5(t-2)+2(t-3),
x1(1)=x2(1)解得
x2(t)=
3 2
t
3
-18t2
+61t-72
(3)当2 t 4时，方程(9)化为
1.4 泛函微分方程的概念和分类
1.4.1 滞后性泛函微分方程的概念
下面我们分别对三种RFDE的定义给予介绍。
(1)有界滞量的RFDE的概念
于是方程(5)的初值问题在区间[t0 r,t0 2r] 化为下面的常微分方程的初值问题：
x2(t) f (t, x2(t),1(t r)),

x2
(t0

r)

1
(t0

r
).
这样逐步地做下去，便可将方程(5)的 初值问题在区间[t0 nr,t0 (n 1)r]上 的解转化为求下面常微分方程的初值
设C([a,b], Rn )表示将区间[a,b]映射入Rn中的连续函数 所组成的并具有一致收敛拓扑的Banach空间。对给定的r 0,
我们将空间C([r,0], Rn )简记为C，对任一 C，其范数定义 为 sup ( ) ,其中 是Rn中的范数。
r 0
如果 t0 R, A 0, x C([t0 r,t0 A], Rn)，则 对任一 t [t0 r,t0 A],我们定义 xt :
(t

2)3

1 2
t

c2 .
由x1(1)=
1 2
知,c2

1
1; 3!
这就保证了x1(1)=x2(1)?
x2
(t)

1 3!
(t

2)3

1 2
t

1

1. 3!
作业:
写出当n-1 t n时，方程(7)的解xn表达式.
练习
x(t) x(t 1) 1.x(t) 1,t [1, 0]
下面给出方程(11)的初值问题:
如果对给定的(t0,) ,存在A>0及函数
x:(-,t0 +A) Rn , (t, xt ) ,使得x(t)在
[t0,t0 +A)上满足方程(11)且xt0 0.则称 x是满足初始条件(t0 , )的解，计为x(t,t0 , ).
1.4.2 中立型泛函微分方程的概念（省略）
例3 在[0,4]上求下面多时滞系统的解
x(t) x(t 1) 2x(t 2)

x(t) t,t [2, 0]
(9)
解: 先考虑0 t 1时方程(9)的解
此时x1(t)=(t-1)+2(t-2)
由(0)=0知,x1(t)

3 2
t2

5t;
(2)当1 t 2时，方程(9)化为
对(t0,) R C,定义 C([t0 -r,),Rn )
如下：
t0 ,(t0 t) (0), t t0.
设x为方程（1）过(t0 , )的解。如果 x(t0 t) (t0 t) y(t),t r,
则由预备定理2知y满足积分方程
(i) 有界滞量方程的初值问题 设方程为
x(t)=f(t,x(t),x(t-r1(t), ,x(t-rm(t))). (4)
其中f:R Dm+1 Rn , 0 ri (t) r(i 1, 2, , m).
如何给出方程（4）的初值问题？什么叫做方程（4） 满足初值问题的解？与常微分方程中的定义 是否相不同？
设B是由(-,0]映入Rn的函数所组成 的某一种函数空间。
若t0 R,x:(-,t0 +A] Rn,A为某一正数， 则对 每一个t [t0,t0 +A],定义xt为
xi ( ) x(t ),取遍(-,0]上的一切值。
设 R B,f: Rn为给定的函数， 则关系式 x(t)=f(t,xt ) (11) 称为无穷延滞的泛函微分方程。x(t)表 示x(t)对t的右导数。
1).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为滞后型的微分差分方程（Retarded Differential Difference Equation,简写为RDDE） 或时滞微分方程，各个ri均为滞后量或滞量。
2).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为超前型的微分差分方程（Advanced Differential Difference Equation,简写为ADDE） 或时超微分方程，各个ri均为超前量或超量。
y(t)

t
0 f (t0 s,t0 s ys )ds, t 0,(２)
y0 0
反之，若y为方程(2)的解，则x便是方
程(1)过(t0 , )的解，因此，求方程(1)的
解等价于找到函数y C([-r,a],Rn ),使得 y(t)满足方程(2)。 如果V R C,我们用C(V,Rn )表示所有 函数f:V Rn所组成的集合，又用 C0 (V , Rn )表示所有将V映入Rn的有界连续 函数所组成的集合。
1.2 微分差分方程的概念及分类
1.2.1. 微分差分方程定义
一般的，如果一个方程具有如下的形式 x(t)=f(t,x(t),x(t-r1),x(t-r2), x(t-rn )) (1) 其中ri为常数，则此方程叫做微分差分方程 （Differential Difference Equation,简写 为DDE）,ri叫做偏差.
1.4.3 超前型泛函微分方程的概念（省略）
1.5 解的存在唯一性、延展性和连续依赖性
考虑滞后型泛函方程
x(t)=f(t,xt), t t0
xt0( ) ( ), [r, 0],
（1）
其中f为R C Rn的连续泛函.
注意： 初值亦可写成下面等价形式
x(t) (t),t [t0 r,t0 ].
()
2.

x(t) ax(t r)

x百度文库t
)

C（常数）t
[t0

r
,
t0
]
()
例2 考虑下列方程
x(t) x(t 1) 2x(t 1)

x(t)

1,
x(t)

0,
t
[0,1]
(8)
作业: 计算[n-1,n]上的解的表达式，为正整数.
思考题: 区间段取法有何要求?