微分方程的基础知识与练习
微分方程基础练习题(简易型)含答案解析
微分方程基础练习题(简易型)含答案解析题目1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x$，其中 $y(0)=1$。
2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，其中 $y(0)=1$。
3. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = -4$。
4. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = \sin x$。
答案解析1. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = x^3+x+c$，其中$c$ 为任意常数。
由 $y(0)=1$ 可求出 $c=1$，所以 $y=x^3+x+1$。
2. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = 0$，得到 $y=Ce^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。
对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，设其特解为 $y=ax+b$，代入方程得到 $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$。
因此通解为 $y=Ce^{-x}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
由 $y(0)=1$ 可得到 $C=\frac{1}{2}$，所以 $y=\frac{1}{2}(2e^{-x}+x+1)$。
3. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = Ce^{2x}+2$，其中$C$ 为任意常数。
4. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = 0$，得到 $y=Ce^{-9x}$，其中 $C$ 为任意常数。
对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y= \sin x$，由于 $\sin x$ 不是指数函数 $e^{kx}$ 的线性组合，所以采用常数变易法，设其特解为 $y=A\sin x + B\cos x$，代入方程得到 $A=-\frac{1}{82}$，$B=\frac{9}{82}$。
因此通解为 $y=Ce^{-9x}-\frac{1}{82}\sin x+\frac{9}{82}\cos x$。
大一微分方程知识点总结
大一微分方程知识点总结微分方程作为数学中的一门重要分支，在大学数学课程中占据着重要地位。
作为大一学生，我们需要掌握基础的微分方程知识，下面对大一微分方程的知识点进行总结。
1.微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数或微分的等式或不等式。
一般分为常微分方程和偏微分方程两大类。
2.微分方程的类型常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程和可降阶的高阶方程等。
高阶常微分方程包括二阶常微分方程、三阶常微分方程等。
3.常见的一阶常微分方程(1) 可分离变量方程当微分方程可写成dy/dx = f(x)·g(y)时，可将式子变形后分离变量进行积分求解。
(2) 齐次方程当微分方程可写成dy/dx = f(y/x)时，可令v = y/x进行变换，将齐次方程转化为可分离变量方程进行求解。
(3) 一阶线性方程当微分方程可写成dy/dx + P(x)y = Q(x)时，可使用积分因子进行求解。
4.常见的二阶常微分方程(1) 齐次线性方程当微分方程可写成d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0时，可以根据特征方程找到其通解。
(2) 非齐次线性方程当微分方程可写成d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)时，可以先求得齐次线性方程的通解，然后通过待定系数法求出非齐次方程的一个特解，从而得到其通解。
5.拉普拉斯变换与微分方程拉普拉斯变换是一种重要的函数变换方法，在求解微分方程中有着广泛应用。
通过将微分方程转化为代数方程，可以更加简便地求解。
6.常见的数值解方法当出现无法直接求解微分方程的情况时，可以利用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
7.简单的应用示例(1) 天平问题假设有两个物体放在天平上，通过建立物体质量和加速度之间的微分方程，可以求解出物体的运动情况。
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中一个重要的分支，研究的是含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的研究对于理解和描述自然界中的各种现象有着重要的意义。
本文将介绍微分方程的基本概念、分类、解法以及一些常见的应用领域。
一、基本概念1. 微分方程的定义：微分方程是一个方程，其中未知函数的某个导数和它本身以及自变量之间存在关系。
2. 微分方程的阶：微分方程中最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
常见的微分方程有一阶、二阶和高阶微分方程。
3. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程中只涉及一个自变量的导数，而偏微分方程涉及多个自变量的导数。
4. 初值问题和边值问题：初值问题是指在给定初始条件下求解微分方程的问题，边值问题是指在给定边界条件下求解微分方程的问题。
二、微分方程的分类1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离到等式的两边，然后进行积分得到解。
2. 齐次微分方程：如果一个微分方程中的所有项都是同一个函数的同一个函数的倍数，可以通过变量替换的方法将其转化为分离变量的形式。
3. 线性微分方程：如果一个微分方程中的未知函数及其导数出现的次数均为1次，并且未知函数的系数只依赖于自变量，可以使用常数变易法或特解法求解。
4. 高阶线性微分方程：高阶线性微分方程可以通过降阶的方法解决。
5. 常系数线性齐次微分方程：常系数线性齐次微分方程可以通过特征方程的求解方法得到解。
6. 变参法：对于一些特殊的微分方程，可以引入适当的参数来构造方程的解。
7. 常见的特殊微分方程：如常微分方程中常见的一阶线性微分方程、二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程、高阶常系数齐次和非齐次线性微分方程等。
三、微分方程的解法1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离，进行积分得到解。
2. 积分因子法：对于某些形式的微分方程，可以通过乘以适当的积分因子来将其转化为恰当方程，然后进行积分得到解。
3. 常数变易法：对于线性微分方程，可以通过假设待求解的解为一个常数的形式，然后带入原方程求解。
大一常微分方程一知识点总结
大一常微分方程一知识点总结本文档旨在总结大一常微分方程一课程中的主要知识点，帮助同学们复和回顾相关内容。
1. 什么是微分方程微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
它通常用于描述自然现象中包含变化速率的问题，如物理、工程和经济等领域。
2. 常见的常微分方程类型常微分方程可以分为以下几类：- 一阶常微分方程：只涉及一阶导数的方程。
常见的一阶方程包括分离变量方程、线性方程和齐次方程等。
- 二阶常微分方程：涉及二阶导数的方程。
常见的二阶方程包括常系数二阶齐次方程和非齐次方程等。
3. 常微分方程的解法常微分方程的解法主要有以下几种：- 分离变量法：将方程的未知函数与其导数分开，将方程变为两个可积的方程，再进行求解。
- 变量替换法：通过合适的变量替换，将原方程转化为可以更容易求解的形式。
- 齐次方程的解法：通过适当的变量替换，使得方程变为可以分离变量的形式，然后利用分离变量法求解。
- 常系数二阶齐次方程的解法：通过对方程进行特征根分析，得到方程的通解。
- 非齐次方程的解法：通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
4. 常微分方程的应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 物理学：常微分方程可以用于描述物理系统的运动规律，如牛顿运动定律、电路中的电流变化等。
- 工程学：常微分方程可以用于描述工程问题中的变化和变化率，如电路中的电压变化、机械系统的振动等。
- 经济学：常微分方程可以用于描述经济系统中的变化和变化率，如经济增长模型、人口增长模型等。
以上是对大一常微分方程一课程的主要知识点的简要总结，希望能够为同学们的学习提供一些帮助和参考。
微分方程及其应用的基础知识
6.2 一阶线性微分方程
6.2.1 一阶线性微分方程
1．定义： 形如
dy P x y Q x (1)
dx
的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连
续函数, Q(x)称为自由项．
特点： 方程中的未知函数y及导数 dy
2．分类
dx
若 Q(x)= 0, 即
dy P x y 0
程． 解 设鱼雷的航行曲线方程为 y = y(x)，
在时刻，鱼雷的坐标为P(x,y)，敌舰
的坐标为Q(1, v0t)． 因为鱼雷始终对准敌舰，所以
y v0t y 1 x
即
v0t y1 x y
又OP 的长度为
x 0
1 y2 dx 2v0t
23
从上面两式消去v0t得：
y1 x y 1
解 设任一时刻t的电流为i．
我们知道，电流在电阻R上产生一个电压降uR = Ri，
di
在电感L上产生的电压降是
uL
L dt
由回路电压定律知道，闭合电路中电动势等于电压降之和，即
亦即
uR uL E
Ri
L
di dt
E0
sin
wt
整理为
di R i E0 sin wt
①
dt L L
18
式①为一阶非齐次线性方程的标准形式，其中
x 1
解 P x 2 ， Q x x 13
x 1
由公式可得
y
e
2 dx x 1
x
1
3
e
2 dx
x1 dx
C
x
12
x
13
x
1
12
dx
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》复习资料1．（变量分离方程）形如()()dyf x y dxϕ=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ϕ分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ϕ≠时，将（1.1）写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得()()dyf x dx c y ϕ=⎰⎰+（1.2），由（1.2）所确定的函数(,)y x c ϕ=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ϕ=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如(dy yg dx x=的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy dux u dx dx=+）；（2）解以上的分离变量方程；（3）变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()()()0dya xb x yc x dx++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dyP x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dyP x y dx=（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dyP x y dx=，得对应齐次方程解()p x y ce dx ⎰=，为任意常数；c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的解，则()c x ()()p x dxy c x e ⎰=()()()()()p ⎰⎰p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()()()p x dx dc dxx Q x e -⎰=)，积分得；()p x dx c ⎰=+ ()()c x Q x e -⎰（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dxp x dxy e Q x e dx -⎰⎰c=+⎰ ． 4．（伯努利方程）形如()()n dyP x y Q x y dx=+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1nz y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx=-+-；（2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原．5．（可解出的方程）形如y (,)dyy f x dx=(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f pp x p x∂∂∂=+∂∂∂（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方程；（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ϕ=，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ϕ=，为任意常数；c（ii ）若求得（5.3）的通解形式为(,)x p c ψ=，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数；c （iii ）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0x p c Φ=(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 6．（可解出x 的方程）形如(,)dyx f y dx=(6.1)的方程，这里假设(,)f y y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（6.1）变为(,)x f y p =（6.2）； （2）将（6.2）两边对y 求导，并以1dx dy p=代入，得1f f pp y p y ∂∂∂=+∂∂∂（6.3），这是关于变量,y p 的一阶微分方程；（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0y p c Φ=(,)(,,)0x f y p y p c =⎧⎨Φ=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 7．（不显含的方程）形如y (,)0dyF x dx=的方程，这里假设(,)F x y '有连续的偏导数． 解法：（1）设dyp dx=，则方程变为； (,)0F x p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F x p =()()x t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t ϕ=，()p t ψ=代入dy ，并两边积分得pdx =()()y t t dt ψϕ'c =+⎰；（4）通解为()()()x t y t t dt ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰c ．8．（不显含x 的方程）形如(,)0dyF y dx=的方程，这里假设(,)F y y '有连续的偏导数．解法：（1）设dyp dx=，则方程变为；(,)0F y p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F y p =()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）；（3）把()y t ϕ=，()p t ψ=代入dy dx p =，并两边积分得()()t x dt c t ϕψ'=+⎰； （4）通解为()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰． 9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()(1)(,,,,)0(1)k n n F x y y y k -=≥ y 及．(1),,k y y -' 解法：令()()k yz x =，则(1)k y z +'=，．代入原方程，得．若能求得，()()n n y z -=k ()(,(),(),,())0n k F x z x z x z x -'= ()z x将()()k yz x =()yf =连续积分次，可得通解．k , 10．（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量()(1)(,,)n k y y y -n x ．解法：设，则()y 222,(dp dy dP d p dP y P y P P dy dx dy dy dy'''''===+ y p '=2,) ，代入原方程得到新函数的()P y (1n -阶方程，求得其解为1()(,,,)n 1P y y C C ϕ-== dy dx，原方程通解为11(,,,)n n dyx C y C C ϕ-=+⎰ ．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对(1)(,,,,)n x y y y -'Φ x 的导数，即(1)(,,,,)0n dx y y y dx-'Φ= ． 解法：类似于全微分方程可降低一阶(1)(,,,,)n x y y y C -'Φ ='，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点：（k 次齐次函数）．()()(,,,,)(,,,,)n k n x ty ty ty t F x y y y '= F zdx解法：可通过变换y e =⎰将其降阶，得新未知函数．因为()z x 2()(1),(),,(,,,)zdxzdxzdxn n y ze y z z e yz z z e -⎰⎰⎰'''''==+=Φ (1)(,,,,)0n f x z z z -'，代入原方程并消去，得新函数的阶方程k z e ⎰dx ()z x (n -1)= ．13．（存在唯一性定理）考虑初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（13.1），其中(,)f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤上连续，并且对满足Lipschitz 条件：即存在，使对所有(,y 0L >12(,)),x y x y R ∈常成立121(,)(,)2f x y f x y L y y -≤-，则初值问题（13.1）在区间0x x -≤h 上的解存在且唯一，这里(,)min(,h a =(,)x y R M Max f x y ∈=bM．初值问题（13.1）等价于积分方程00(,)xx y y f t y =+⎰dt ，构造Picard 逐步逼近函数列}{00001()()()(,())xn nn x x y x x y f ϕϕϕξϕ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰dx ξ 00x x x ≤≤+h ，n ．1,= 2,14．（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(,,)0x y c Φ=(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎨'Φ=⎩消去参数而得到的曲线之中．曲线c (,)0F x y =(,)0F x y =称为（14.1）的c -判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程(,,)0dyF 15.1）的奇解包含在由方程组⎨去参数x y dx =（消(,,)0(,,)0c F x y p F x y p =⎧'=⎩p 而之得到的曲线(,Φ=中，此曲线称为（15.1）的)0x y p -别曲线，这里(,F 判,)x y p 0=是,,x y p 的连续可微函数． 注：p -判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如dy dy y xf dxdx ⎛⎫=+ ⎝⎭⎪（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里． ()0f p ''≠解法：令dy p dx =，得．两边对()y xp f p =+x 求导，并以dyp dx=代入，即得()dp dp p x p f p dx dx '=++，经化简，得[()]0．dpx f p dx '+= 如果0dp dx=，则得到p c =．于是，方程（16.1）的通解为：()y cx f c =+．如果，它与等式()0x f p '+=()y xp f p =+联立，则得到方程（16.1）的以p 为参数的解：()0()x f p y xp f p '+=⎧⎨=+⎩或()0()x f c y xc f c '+==+⎧⎨⎩其中为参数．消去参数c p 便得方程的一个解． 17．（函数向量组线性相关与无关）设12(),(),,()m x t x t x t a t b ≤≤是一组定义在区间[,上的函数列向量，如果存在一组不全为0的常数，使得对所有，有恒等式]a b c 12,,m c c c 1122()()()0m m c x t c x t x t +++ =， 则称12(),(),,()m x t x t x t 在区间[,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[,上线性无关．]a b ]a b 18．（Wronsky 行列式）设有n 个定义在a t 上的向量函数b ≤≤nn 11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()n n n n n x t x t x t x t x t x x t x t x t t x t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢===⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦ ，由这n 个向量函数所构成的行列式111212122212[(),(12()()()()()()),()()()()()n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x x t W t t x t x t x t x t ≡称为这个向量函数所构成的Wronsky 行列式．n 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在a t 上线性相关，则它们的Wronsky 行列式． b ≤≤()0,t W t a b ≡≤≤19．（基解矩阵的计算公式）（1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为A n 12,,,n v v v 12,,,n λλ λ（不必互不相同），那么矩阵是常系数线性微分方程组12tte λλ12(),,,],n tn v v e v λΦ=-∞<< [t e x +∞x Ax '=的一个基解矩阵； （2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）； A （3）矩阵的特征根有重根时（略）．A 20．（常系数齐线性方程）考虑方程111[]0n n n n n d x d xL x a a x dt dt--=+++= （20.1），其中为常数，称（20.1）为阶常系数齐线性方程．12,,n a a a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根12,,,k λλλ ；（2）计算方程（20.1）相应的解：（i ）对每一个实单根k λ，方程有解k teλ；（ii ）对每一个重实根1m >k λ，方程有个解：m 21,,,,k k k tttm e te t e te k tλλλ- λ；（iii ）对每一个重数是1的共轭复数i αβ±，方程有两个解：cos ,sin tte t e ααt ββ； （iv ）对每一个重数是的共轭复数1m >i αβ±，方程有个解：2m 11cos ,cos ,,cos ;sin ,sin ,,sin t t m t ttm te t te t t e t e t te t te tααααααββββββ-- ；（3）根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程）()y py qy f x '''++=二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解结构0y py qy '''++=y Y y =+．设非齐次方程特解()x y Q x e λ=代入原方程 2()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++=（1）若λ不是特征方程的根，，可设20p q λλ++≠()()m Q x Q x =，()xm y Q x e λ=；（2）若λ是特征方程的单根，，2020p q λλ++=p λ+≠，可设()()m Q x xQ x =，()xm y xQ x e λ=； （3）若λ是特征方程的重根，，2020p q λλ++=p λ+=，可设，2()()m Q x x Q x =2()xm y x Q x e λ=． ()k x综上讨论，设y m x e Q x λ=，． 012k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是根是单根是重根。
微分方程的概念与基本解法练习题
微分方程的概念与基本解法练习题对于数学领域而言，微分方程是一类非常重要的数学工具，它用于描述物理、工程学和其他科学领域中的各种变化和变化率。
在本文中，将介绍微分方程的概念，并提供一些基本解法的练习题。
一、微分方程的概念微分方程可以被定义为包含未知函数及其导数的方程。
具体而言，给定一个未知函数y(x)，微分方程将通过y(x)及其导数的函数关系来描述一个过程或现象。
微分方程可以分为几种类型，其中最常见的是常微分方程和偏微分方程。
常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。
二、基本解法练习题下面将提供一些微分方程的基本解法练习题。
请根据题目给出的微分方程，找到其解析解，并进行验证。
1. 题目一：一阶线性微分方程求解以下一阶线性微分方程：(dy/dx) + y/x = x2. 题目二：二阶线性齐次微分方程求解以下二阶线性齐次微分方程：d^2y/dx^2 - 4y = 03. 题目三：二阶线性非齐次微分方程求解以下二阶线性非齐次微分方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = e^(-x)4. 题目四：一阶变量可分离微分方程求解以下一阶变量可分离微分方程：(dy/dx) = y/x5. 题目五：一阶齐次微分方程求解以下一阶齐次微分方程：(dy/dx) = (2x + y) / (x - y)6. 题目六：一阶恰当微分方程求解以下一阶恰当微分方程：x^3y dx - (x^4 + 5xy^2) dy = 0三、解答与验证1. 题目一解答：将微分方程改写为标准形式：(dy/dx) = -y/x + x乘以x并重排，得到：x(dy/dx) + y = x^2该方程为一阶线性微分方程，可以使用积分因子法求解。
2. 题目二解答：特征方程为：r^2 - 4 = 0解得r1 = 2，r2 = -2因此，通解为：y(x) = c1e^(2x) + c2e^(-2x)3. 题目三解答：齐次方程特征方程为：r^2 + 2r + 1 = 0解得r1 = -1，r2 = -1所以，齐次方程的通解为：y_h(x) = c1e^(-x) + c2xe^(-x)对于非齐次方程，可以通过常数变易法求解。
高等数学常微分方程的基础知识和典型例题
高等数学:常微分方程的基础知识和典型例题常微分方程一、一阶微分方程的可解类型（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程1. （05,4分）微分方程xy '+2y =x ln x 满足y (1)=-的解为_________. 2dy 2⎰x dx 2分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为. +y =ln x , 两边乘e =x 得 dx xdx 2y)= x 2ln x .dx111积分得 x 2y=C+⎰x 2ln xdx =C +⎰ln xdx 3=C +x 3ln x -x 3.339111由y (1)=-得C =0⇒y =x ln x -x .939192. （06,4分）微分方程y '=y (1-x )的通解为————. x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得=(-1) dx . 积分得ln y =ln x -x +C 1，即y =e C 1x e -x .y x 因此，原微分方程的通解为 y =Cxe -x , 其中C 为任意常数.（二）奇次方程与伯努利方程1. （97,2,5分）求微分方程(3x +2xy -y ) dx +(x -2xy ) dy =0的通解.222解：所给方程是奇次方程. 令 y =xu , 则dy =xdu +udx . 代入原方程得 3（1+u -u 2）dx +x (1-2u ) du =0.1-2u 3分离变量得 du =-dx ,1+u -u 2x积分得 ln +u -u 2=-3ln x +C 1, 即1+u -u 2=Cx -3. 以u =y C 代入得通解 x 2+xy -y 2=. x x⎧⎪(y dx -xdy =0(x >0), 2.(99,2,7分)求初值问题⎨的解.⎪⎩y x =1=0解：所给方程是齐次方程(因dx , dy 的系数(y 与(-x ) 都是一次齐次函数）. 令dy =xdu +udx , 带入得x (u -x (xdu +udx ) =0, 化简得-xdu =0.dx 分离变量得 x 积分得 lnx -ln(u =C 1, 即 u +=Cx . 以u =y代入原方程通解为=Cx 2. x=0, 得C =1.故所求解为 =x ，或写成y =(x -1). x =12再代入初始条件y（三）全微分方程练习题(94,1,9分）设f (x ) 具有二阶连续导数，f (0)=0, f '(0)=1, 且[xy (x +y)-f (x ) y]dx+[f '(x ) +x 2y]dy=0为一全微分方程，求f (x ) 以及全微分方程的通解解：由全微分方程的条件，有∂∂[xy (x +y ) -f (x ) y ]=[f '(x ) +x 2y ],∂y ∂x即x 2+2xy -f (x ) =f ''(x ) +2xy , 亦即f ''(x ) +f (x ) =x 2.2⎧⎪y ''+y =x因而f (x ) 是初值问题⎨⎪⎩y x =0=0, y 'f (x ) =2cos x +sin x +x 2-2.的解，从而解得=1x =0原方程化为[xy 2+2y -(2cos x +sin x ) y ]dx +(x 2y +2x -2sin x +co s x ) dy =0. 先用凑微分法求左端微分式的原函数：11(y 2dx 2+x 2dy 2) +2(ydx +xdy ) -yd (2sinx -cos x ) -(2sinx -cos x ) dy =0, 221d [x 2y 2+2xy +y (cosx -2sin x )]=0. 21其通解为 x 2y 2+2xy +y (cosx -2sin x ) =C .2（四）由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程4. （98,3分）已知函数y =y (x ) 在任意点x 处的增量∆y =y∆x +α, 当∆x →0时, 21+xα是∆x 的高阶无穷小，y (0)=π，则y (1)等于（）ππ(A )2π.(B ) π.(C ) e 4.(D ) πe 4.分析：由可微定义，得微分方程y '=y. 分离变量得21+xdy dx arctan x'=, 两边同时积分得ln y =arctan x +C , 即y =Ce . 2y 1+x代入初始条件y (0)=π，得C=π，于是y (x ) =πe arctan x ,π由此，y (1)=πe 4. 应选(D )二、二阶微分方程的可降阶类型5. （00,3分）微分方程xy ''+3y '=0的通解为_____分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令y '=P(x ) ，则y ''=P'，方程可化为一阶线性方程C 03xP '+3P =0, 标准形式为P '+P=0，两边乘x 3得(Px 3) '=0.通解为y '=P =3.x x C 2再积分得所求通解为 y =2+C 1.x6. （02,3分）微分方程yy ''+y '2=0满足初始条件y 分析：这是二阶的可降阶微分方程. 令y '=P (y )(以y 为自变量) ，则y ''=代入方程得yP'x =0=1，y1=的特解是_____ x =02dy 'dP dP ==P . dx dx dyx =0dP 2dP+P=0，即y +P =0(或P =0,，但其不满足初始条件y 'dy dy dP dy分离变量得 +=0,P yC积分得ln P +ln y =C '，即P=1对应C 1=0)；y11由x =0时y =1，P =y '=, 得C 1=，于是221y '=P =, 2ydy =dx , 积分得y 2=x +C 2.2y 又由yx =01=）. 2=1得C 2. =1，所求特解为y =三、二阶线性微分方程（一）二阶线性微分方程解的性质与通解结构7. （01,3分）设y =e x (C 1sin x +C 2cos x )(C 1, C 2为任意常数) 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____.分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是r 1，r 2=1±i ，从而得知特征方程为(r -r 1)(r -r 2) =r 2-(r 1+r 2) r +r 1r 2=r 2-2r +2=0. 由此，所求微分方程为y ''-2y '+2y =0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型（只要是二阶），由通解y =e x (C 1sin x +C 2cos x ) 求得y '=e x [(C 1-C 2)sin x +(C 1+C 2)cos x ],y ''=e x (-2C 2s in x +2C 1cos x ), 从这三个式子消去C 1与C 2, 得y ''-2y '+2y =0.（二）求解二阶线性常系数非齐次方程9. （07,4分）二阶常系数非齐次线性微分方程y ''-4y '+3y =2e 2x 的通解为y =_____分析：特征方程λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3) =0的根为λ=1, λ=3.非齐次项e αx , α=2不是特征根，非齐次方程有特解y *=Ae 2x . 代入方程得(4A -8A +3A ) e =2e ⇒A =-2. 因此，通解为y =C 1e x +C 2e 3x -2e 2x . .2x2x10.(10,10分) 求微分方程y ''-3y '+2y =2xe x 的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1︒由相应的特征方程λ2-3λ+2=0, 得特征根λ1=1, λ2=2⇒相应的齐次方程的通解为y =C 1e x +C 2e 2x .2︒非齐次项f (x ) =2xe αx , α=1是单特征根，故设原方程的特解y *=x (ax+b ) e x .代入原方程得 ax 2+(4a +b ) x +2a +2b -3[ax 2+(2a +b ) x +b ]+2(ax 2+bx )=2x , 即-2ax +2a -b =2x , ⇒a =-1, b =-2.3︒原方程的通解为y =C 1e x +C 2e 2x -x (x +2) e x , 其中C 1，C 2为两个任意常数.（三）确定二阶线性常系数非齐次方程特解的类型（04，2, 4分）微分方程y ''+y '=x 2+1+sin x 的特解形式可设为（）(A ) y *=ax 2+bx +c +x (A sin x +B cos x ).(B ) y *=x (ax 2+bx +c +A sin x +B cos x ). (C ) y *=ax 2+bx +c +A sin x .(D ) y *=ax 2+bx +c +A cos x .分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是λ2+1=0, 特征根为λ=±i .由线性方程解的迭加原理，分别考察方程y ''+y =x 2+1 （）与1y ''+y =sin x （2）方程(1)有特解y *=ax 2+bx +c , 方程(2)的非齐次项f (x ) =e αx sin βx =sin x (α=0, β=1，α±i β是特征根), 它有特解y *=x (A sin x +B cos x ).因此原方程有特解 y *=ax 2+bx +c +x (A sin x +Bb cos x ). 应选(A ).(四) 二阶线性变系数方程与欧拉方程d 2y dy 12.(04,4分) 欧拉方程x +4x +2y =0(x >0) 的通解为_______.dx 2dx2分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量x =e t (t =ln x ) ，将它化成常系数的情形：d 2y dy d 2y dy+(4-1) +2y =0, 即+3+2y =0. dx 2dt dt 2dt相应的特征方程λ2+3λ+2=0, 特征根λ1=-1, λ2=-2, 通解为y =C 1e -t +C 2e -2t . 因此，所求原方程的通解为y =C 1C 2+, 其中C 1, C 2为任意常数. x x 2(05,2,12分) 用变量代换x =cos t (0x =0=1, y 'x =0=2的特解.分析：建立y 对t 的导数与y 对x 的导数之间的关系.2dy dy dx dy d 2y d 2y 2dy dy 2d y ==(-sin x ), 2=2sin t -cos t =(1-x ) 2-x . dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为2+y =0, 其通解为y =C 1cos t +C 2sin t .dt回到x 为自变量得y =C 1x +C 由y (0)=C 2=1⇒C 2=1. y '(0)=C 1+因此特解为y =2x +四、高于二阶的线性常系数齐次方程13. （08，4分）在下列微分方程中，以y =C 1e x +C 2cos 2x +C 3sin 2x (C 1,C 2, C 3为任意常数）为通解的是（）(A ) y '''+y ''-4y '-4y =0.(B ) y '''+y ''+4y '+4y =0. (C ) y '''-y ''-4y '+4y =0.(D ）y '''-y ''+4y '-4y =0.x =0=2⇒C 1=2.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：1, ±2i (i =，对应的特征方程是(λ-1)(λ+2i )(λ-2i ) =(λ-1)(λ2+4) =λ3-λ2+4λ-4=0, 因此所求的微分方程是y '''-y ''+4y '-4y =0，选(D ).(00,2,3分) 具有特解y 1=e -x , y 2=2xe -x , y 3=3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是（）(A ) y '''-y ''-y '+y =0.(B ) y '''+y ''-y '-y =0. (C ) y '''-6y ''+11y '-6y =0.(D ) y '''-2y ''-y '+2y =0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r 1=r 2=-1, r 3=1，从而特征方程为(r +1) 2(r -1) =0, 即r 3+r 2-r -1=0, 由此，微分方程为y '''+y ''-y '-y =0. 应选(D).五、求解含变限积分的方程（00,2,8分）函数y =f (x ) 在[0, +∞)上可导，f (0)=1，且满足等式1xf (t ) dt =0，⎰0x +1(1)求导数f '(x ) ；(2)证明：当x ≥0时, 成立不等式e -x ≤f (x ) ≤1. f'(x ) +f (x ) -求解与证明（）首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分：1(x +1) f '(x ) +(x +1) f (x ) -⎰f (t ) dt =0,(x +1) f ''(x ) +(x +2) f '(x ) =0.0x在原方程中令变限x =0得f '(0)+f (0)=0, 由f (0)=1, 得f '(0)=-1.x +2现降阶：令u =f '(x ), 则有u '+u =0，解此一阶线性方程得x +1e -xf '(x ) =u =C u =0x +1e -x由f '(0)=-1, 得C =-1, 于是f '(x ) =-.x +1e -x(2)方法1︒用单调性. 由f '(x ) =--x +1x -x又设φ(x ) =f (x ) -e -x , 则φ'(x ) =f '(x ) +e -x =e ≥0(x ≥0), φ(x ) 单调增，因此φ(x )x +1≥φ(0)=0(x ≥0), 即f (x ) ≥e -x (x ≥0）. 综上所述，当x ≥0时, e -x ≤f (x ) ≤1.方法2︒用积分比较定理. 由牛顿-莱布尼茨公式，有f (x ) -f (0)=⎰f '(t ) dt , f (x ) =1-⎰0xx 0e -t. t +1-t x e x e -t -t由于0≤≤e (t ≥0), 有0≤⎰≤⎰e -t dt =1-e -x (x ≥0).0t +10t +1从而有e -x ≤f (x ) ≤1.六、应用问题（一）按导数的几何应用列方程练习题1. （96,1,7分）设对任意x >0, 曲线y =f (x ) 上点(x , f (x )) 处的切线在y轴上的截距等于1xf (t ) dt , 求f (x ) 的一般表达式. x ⎰0解：曲线y =f (x ) 上点(x , f (x )) 处的切线方程为Y -f (x ) =f '(x )(X -x ).令X =0得y 轴上的截距Y =f (x ) -xf '(x ). 由题意1xf (t ) dt =f (x ) -xf '(x ) ⎰0x（含有未知函数及其导数与积分的方程），为消去积分，两边乘以x , 得⎰xf (t ) dt =xf (x ) -x f '(x )(*)恒等式两边求导，得f (x ) =f (x ) +xf '(x ) -2xf '(x ) -x 2f ''(x ) ，即x f ''(x ) +f '(x ) =0在(*) 式中令x =0得0=0, 自然成立. 故不必再加附加条件. 就是说f (x ) 是微分方程xy ''+y '=0C的通解. 令y '=P (x ), 则y ''=P ', 解xP '+P =0, 得y '=P =1.x再积分得y =f (x ) =C 1ln x +C 2.2. （98, 2,8分）设y =y (x ) 是一向上凸的连续曲线, 其上任意一点(x , y ) 且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y =x +1, 求该曲线的方程，并求函数y =y (x ) 的极值.解：由题设和曲率公式有''=（因曲线y (x ) 向上凸, y ''y ''=-1. 2'1+yP '=-1，1+P 2dP=-dx , 积分得arctan P =-x +C 1. 1+P 2由题意可知y '(0)=1即P (0)=1, 代入可得C 1=y '=P =tan(-x ).4π4，故再积分得 y =ln cos(-x ) +C 241又由题设可知y (0)=1, 代入确定C 2=1+ln 2，故有2π1y =ln cos(-x ) +1+ln 242ππππ3ππ3当-0, 而当x →-或π时,24244444cos(-x ) →0,ln cos(-x ) →-∞，故所求的连续曲线为44π1π3y =ln cos(-x ) +1+ln 2(-4244ππ1π3显然，当x =时,ln co s(-x ) =0, y 取最大值1+ln 2, 显然y 在(-π) ，没有极小值.44244(二) 按定积分几何应用列方程πππ3.(97,2,8分) 设曲线L 的极坐标方程为r =r (θ), M (r , θ) 为L 上任一点, M 0(2,0)为L 上一定点, 若极径OM 0, OM 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上M 0、M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程.解：由已知条件得1θ21θr d θ=θ，⎰⎰0022两边对θ求导, ，得r 2=, 解出r '=±=±d θ.1d ()11由于=-=arccos , 或=⎰dt =t =arccos (r =sec t ) r r 1两边积分，得arccos =±θ+Cr1π1π代入初始条件r (0)=2，得C =arc cos =, ⇒arccos =±θ.23r 31π1即L 的极坐标方程为=cos(±θ) =cos θθ， r 32从而，L 的直角坐标方程为x =2.。
高数微分方程重点习题含答案
填空题（50）1、 曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率等于(1)yx-+,且过点(2,1),则该曲线方程是 .答案：142y x x=-+ 难度等级：2；知识点：一阶线性常微分方程.分析 直接由切线斜率的定义及过定点可得一阶线性微分方程的初值问题111dy y y dx x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭及初始条件(2)1y = ，由通解公式可得142y x x =-+。
2、 一潜水艇在下沉力P (含重力)的作用下向水底下沉，已知水的阻力与下沉速度成正比(比例系数为k ),开始下沉速度为零，则速度与时间的函数关系是 . 答案：()kt me v t k kP P -=- 难度等级：2；知识点：一阶非齐次线性常微分方程. 分析 由牛顿第二定律可得一阶微分方程的初值问题()()dv t m P kv t dt=- 可得一阶线性微分方程的初值问题()()dv t kv t Pdt m m-=+ 及初始条件(0)0v = ，由通解公式可得()ktme v t k kP P-=-。
3、 曲线上任一点的切线斜率恒为该点的横坐标与纵坐标之比，则此曲线的方程是 . 答案：22y x C -=难度等级：2；知识点：一阶线性常微分方程.分析 直接由切线斜率的定义及过定点可得一阶线性微分方程的初值问题dy x dx y= ，即有0ydy xdx -= ，2202y x d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故可得曲线方程为22y x C -=。
4、 满足方程21,(1)1,(1)0x y y y '''==-=的解为 . 答案：ln 2y x x =-+-难度等级：2；知识点：可降阶的二阶常微分方程.分析 将方程变形为2221d y dx x= ，连续积分两次可得通解为12ln y x C x C =-++ ，再代入初始条件可解得121,2C C ==-，故可得解为ln 2y x x =-+-。
5、 当λ等于 时，0y y λ''+=存在满足(0)(1)0y y '==的非零解。
（完整版）常微分方程基本概念习题及解答
（完整版）常微分方程基本概念习题及解答§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+x 2y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明：令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
江苏省专转本高等数学第五章常微分方程核心知识点例题讲解(含答案)
第五章 常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点● 可分离变量的ODE● 一阶线性非齐次常微分方程及推广● 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法 基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e x y =⎰⎰=dx e dy e x y通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得：1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dx y x dy y x )1()1(122+=+-解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。
解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。
方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。
2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。
例5.5．y x y x dx dy +-= 解：xyx ydx dy +-=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112 xdx p p dp p =--+⇒221)1( x dx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212，将xy p =代入即可。
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x=． 三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解： 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=． 解： 解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=； 解： 解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解． 解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为． 答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=． 解： 解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=． 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ． 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=． 解： 解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解： 解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解： 解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。
微分方程的相关基本知识(电路用)
1 x
,得
2 u (21 a)u (1 a1 b)u 0 ,
因为 1 是方程 2 a b 0 的二重根,
2 故有 1 a1 b 0 , 21 a 0 ,
y u( x ) e
P ( x )dx
P ( x )dx
y u( x ) e
P ( x )dx
u( x ) [ P ( x )] e
P ( x ) dx
,
将y和y代入原方程得u( x ) e
Q( x ),
P ( x )dx 积分得 u( x ) Q( x ) e dx C ,
是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为
所以原方程的通解为:
ye
P ( x )dx
P ( x )dx [ Q( x ) e dx C ]
17
dy x2 2 xy 2 xe 满足 y ( 0 ) 1 的特解. 例5 求方程 dx
解 通解为
ye
e
2 x dx
[ 2 x e
x2
2 x dx e dx C ]
当Q( x ) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上方程称为非齐次的.
dy y x2 , 例如 dx
dx x sint t 2 , 线性的; dt
yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
15
一阶线性微分方程的解法
dy P ( x ) y 0. 1. 线性齐次方程 dx dy dy P ( x )dx , P ( x )dx , y y
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述自然现象中涉及到变化的规律及其演化过程。
微分方程广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学、生物学等。
本文将全面介绍微分方程的全部知识点，帮助读者更好地理解和掌握微分方程的理论和应用。
一、微分方程的定义和基本概念微分方程是描述数学模型中变化的规律的方程，其中涉及到未知函数及其导数。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程中只包含一元函数的导数，偏微分方程中包含多元函数的偏导数。
微分方程的解是指能够使方程成立的未知函数，通常表示为y(x)。
微分方程的解可以是一个函数，也可以是一组函数。
二、一阶常微分方程一阶常微分方程是指只含一元函数y及其一阶导数y'的微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为：y'=f(x,y)通过分离变量法、全微分法或者常数变易法等方法可以求得一阶常微分方程的通解和特解。
一阶常微分方程的应用广泛，如在物理学中描述运动的规律，在经济学中描述增长的规律等。
三、高阶常微分方程高阶常微分方程是指含有未知函数y和其多次导数的微分方程。
高阶常微分方程的一般形式为：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)其中y'和y''分别表示y的一阶和二阶导数。
通过特征方程法或常数变易法等方法可以求解高阶常微分方程的通解和特解。
高阶常微分方程的应用也很广泛，如描述物理学中的振动问题、电路分析问题等。
四、偏微分方程偏微分方程是指包含多元函数及其偏导数的微分方程。
偏微分方程的一般形式为：F(x,y,u,u_x,u_y,...,u_{xy},...)=0其中u表示未知函数，u_x和u_y分别表示u对于x和y的偏导数。
偏微分方程的求解方法通常是根据具体问题选择合适的方法，如叠加法、分离变量法、变数分离法等。
五、常用的一些微分方程模型除了上述的常微分方程与偏微分方程之外，微分方程还有一些常用的模型，如：1. 简单利率模型这个模型描述的是在简单利率下的本金增长规律。
常微分方程的基本知识
由n个未知函数构成的一阶微分方程组的一般形式为
dx1 ..., xn ) dt f1 ( t , x1 , x2， dx2 f ( t , x , x ， ， 2 1 2 ..., x n ) dt ............ dxn f ( t , x , x , ..., x ). n 1 2 n dt
总可以引进n-1个新的未知函数，把它化为由n个一 阶微分方程组成的方程组。事实上，
令
dx d2x d n-1 x x1 = x, x2 = , x3 = 2 , ..., xn n1 . dt dt dt
于是方程（1.4）化为下面的一阶方程组：
dx1 dt x2， dx2 x ， 3 dt ............ dx n1 xn dt dxn f ( t , x1 , x2 , ..., xn ). dt
n
(1.6)
其中fi为定义在G (a, b) D, D为R 中的一个区域.
如果引入向量
x1 x2 x= xn ..., xn ) f1 ( t , x1 , x 2， f ( t , x , x ， ..., x ) 1 2 n f (t,x)= 2 f n ( t , x1 , x2 , ..., xn ) dx1 dt dx2 dx dt dt dxn dt
这就组成微分方程组。若设开始时刻t t0 , 两种群个体 的数量分别为x0与y0。
于是要了解此两种种群个体变化的规律，就需要 在条件x |t t0 x0 , y |t t0 y0下求解微分方程组(1.3).
(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章 微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是 .1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、 方程x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、 axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的 解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dx dy=的通解是 ( )A.2x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、 微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. x x e C e C y 321+=C. x x e C e C y 321-+=D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、 微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、 xe y -=''的通解为=y ( )A.x e --B. xe - C. 21C x C ex++- D. 21C x C e x ++--2-13-68、微分方程xe 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x ey B. 3221-=-x ey C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、 微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、 过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y =2-18-73、 设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、 方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、 微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. x x x Ce y -=ln2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B.02)3(2=++xydy dx y e x C. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、 已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y xe y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、 )ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、x yx y xy tan'=-3-15-66、x yx y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、 342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、 22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y ,15|'0==x y3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,2|0==x y ,|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y3-49-100、04'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+3-51-102、x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --=3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y3-56-107、52'3''=+-y y y ,1|0==x y ,2|'0==x y3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、xxe y y y 26'5''=+-四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为L , 且AL <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明 1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律tE dt diLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dt dv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v∴ ⎰--+=+⎰⎰=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v km m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得g k m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程,解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|LL x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为te y 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(pp =, 其中p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(pp =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
微分方程的基础知识
微分方程的基础知识微分方程是数学中重要的一部分，它是研究变化规律的工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将介绍微分方程的基础知识，包括什么是微分方程，微分方程的分类，微分方程的解法等方面。
一、什么是微分方程微分方程是描述自变量和它的导数之间关系的方程。
它是从“微分”的角度出发，描述了一个变量关于自变量的变化率，通常用y表示一个关于x的函数，它的导数用y’(dy/dx)表示。
微分方程一般写成形式为：F(x,y,y',y'',...,y(n))=0其中F(x,y,y',y'',...,y(n))表示关于x、y、y'、y''...、y(n)的一个函数关系式，称之为微分方程。
微分方程可以是一阶、二阶、三阶或更高阶的。
二、微分方程的分类微分方程可以分为几类，根据它们的性质来区分。
1.按照阶数分类微分方程按照阶数可以分为一阶、二阶、三阶或更高阶的微分方程。
一阶微分方程只含有一阶导数，二阶微分方程含有二阶导数，以此类推。
2.按照线性分类微分方程根据它们的系数是否与未知函数y成线性关系可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
3.按照齐次、非齐次分类微分方程如果可被分解成一个关于未知函数y自身的函数，和一个只与自变量x有关的函数，那么它称之为齐次微分方程。
反之，则称之为非齐次微分方程。
三、微分方程的解法1.变量分离法变量分离法是求解一阶微分方程的基本方法。
将微分方程中自变量x和未知函数y分离出来，将所有含y的项移到等式左边，含x的项移到等式右边，然后两边同时积分。
2.二阶线性微分方程的求解二阶线性微分方程具有一定的规律性。
一般有两种求解方法，一种是齐次情况，另一种是非齐次情况。
对于齐次情况（即F(x,y,y’’)=0），首先要对它的形式进行变换，使之变成一个更方便求解的方程。
然后，可以通过代入通解的方式求得解。
对于非齐次情况（即F(x,y,y’,y’’...)≠0），可以通过先求得齐次方程的通解，再求特解的方式求解。
微分方程练习题基础篇答案
微分方程练习题基础篇答案常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解1.dyxy dx= 分离变量 dy xdx y =，22xy Ce =，C 为任意常数2.0xydx = 分离变量dy dx y =，y =C 任意常数3.ln 0xy y y '-= 分离变量1ln dy dx y y x=，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量2211ydy xdx y x=+-，22(1)(1)y x C +-= 25.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11ydy x y dx x+=-，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ，yu x=回代得通解2arctan ln y y x C x x =++7.0xy y '-= 方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x =，代入得dxx= arctan ln u x C =+，yu x=回代得通解arctan ln y y x C x x =++8.ln dy y xy dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令yu x =，(ln 1)du dx u u x=-，1Cx u e +=，1Cx y xe +=9.24dy xy x dx+=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+? 210.2dy y x dx x-=,一阶线性公式法1123(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+?2211.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2222411x xy y x x '+=++一阶线性公式法3214()13y x C x =++ 212.(6)20dyy x y dx-+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+213.3y xy xy '-=，方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx--==-代入方程得3dzxz x dx+=-一阶线性公式法再将z 回代得232113x Ce y -=-41114.(12)33dy y x y dx +=-，方程变形为431111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34,3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dzz x dx-=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121xCe x y=--15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解2312x x y C e C e --=+16.162490y y y '''-+=，特征方程为2162490r r -+=，特征根为1,234r =，通解3412()x y C C x e =+17.0y y '''+=，特征方程为20r r +=，特征根为120,1r r ==-，通解12x y C C e -=+18.450y y y '''-+=，特征方程为2450r r -+=，特征根为122,2ri r i =-=+，通解212(cos sin )x y e C x C x =+219.()0x y dx xdy --=，全微分方程2()0x dx ydx xdy -+=，3()03x d d xy -=，通解33x xy C -= 320.()()0x y dx x y dy ---=，全微分方程3()0x dx ydx xdy ydy -++=，42()042x y d d xy d -+=，通解4242x y xy C -+=2221.()(2)0x y dx xy y dy +++=全微分方程22(2)0x dx y dx xydy ydy +++=，322()032x y d d xy d ++=，通解32232x y xy C ++=22.(cos cos )sin sin 0x y x y y x y '+-+=，全微分方程(cos sin )(cos sin )0x ydy ydx xdy y xdx ++-=，(sin )(cos )0d x y d y x +=，通解 sin cos x y y x C +=2223.(3)(2)x y dx x y x dy C ++-=，22320x dx x ydy ydx xdy ++-=，积分因子21x μ=，方程变为2320ydx xdy dx ydy x -++=，230y d x dy d x +-=，通解23y x y C x+-= 2224.()xdx ydy x y dx +=+，积分因子221x y μ=+，方程变为220xdx ydydx x y+-=+，221[ln()]02d x y dx +-=通解221ln()2x y x C +-= 2225.()0x y y dx xdy ++-=，22()0x y dx ydx xdy ++-=，积分因子221x yμ=+，方程变为220ydx xdy dx x y -+=+，arctan 0x dx d y +=，通解arctan xx C y+= 326.sin x y e x ''=+，可降阶()()n y f x =型，逐次积分得通解3121sin 9x y e x C x C =-++ 227.1y y '''=+，可降阶令()p x y '=，原方程化为21p p '=+可分离变量型，得1tan()y p x C '==+，积分得通解12ln cos()y x C C =-++28.y y x '''=+，可降阶(,)y f x y '''=型，令()p x y '=，原方程化为p p x '-=，一阶线性非齐次公式法得11x y p C e x '==--，积分得通解21212xy C e x x C =--+ 329.y y y ''''=+，可降阶(,)y f y y '''=型，令(),dp p y y y pdy '''==，原方程化为3dpp p p dy=+ 即2[(1)]0dp p p dy -+=，0p =是方程的一个解，由2(1)0dp p dy-+=得1arctan p y C =-即1tan()y p y C '==-，通解为21arcsin x C y e C +=+30.24x y y y xe '''-+=，二阶常系数非齐次()()x m f x e P x λ=型，1λ=是特征方程2210λλ-+=的重根，对应齐次方程的通解为12()xY C C x e =+，设特解为*2()x y x ax b e =+，代入方程得(62)4x x ax b e xe +=，得2,03a b ==，故原方程的特解为*323x y x e =，原方程通解为3122()3xx y C C x e x e =++231.x y a y e ''+=，二阶常系数非齐次()()x m f x e P x λ=型，特征方程220r a +=，特征值为1,2r ai=±，对应齐次方程的通解为12cos sin Y C ax C ax =+，1λ=不是特征根，设原方程特解为*xy Ae =，代入方程得2x x x Ae a Ae e +=，得211A a =+则*21x e y a =+，原方程通解为122cos sin 1xe y C ax C ax a =+++32.cos y y x x ''+=+，对应齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+，设y y x ''+=的一个特解为1y Ax B =+代入此方程得1,0A B ==，故1y x =；设cos y y x ''+=的一个特解为2cos sin y Ex x Dx x =+代入此方程得1 0,2E D ==，故21sin 2y x x =；原方程通解为121cos sin sin 2Y C x C x x x x =+++ 33.69cos x y y y e x '''-+=，特征方程2690r r -+=，特征值为1,23r =，对应齐次方程的通解为3312x x Y C e C xe =+，1i λ=±不是特征根，原方程特解设为*(cos sin )x y e a x b x =+代入方程得34,2525a b ==-，则*34(cos sin )2525x y e x x =-，原方程通解为331234(cos sin )2525x x x Y C e C xe e x x =++- 34.已知3222123,,x x x x xy e xe y e xe y xe =-=-=-是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解，则该方程的通解y =（）答案：3212x x x y C e C e xe =+-，31323,x xy y e y y e -=-=是对应齐次方程两个线性无关的解35.函数212x x xy C e C e xe -=++满足的一个微分方程是（）()23x A y y y xe '''--= ()23x B y y y e '''--= ()23x C y y y xe '''+-= ()23x D y y y e '''+-=解析：特征根为121,2λλ==-，则特征方程为(1)(2)0λλ-+=即220λλ+-=，故对应齐次方程为20y y y '''+-=；*xy xe =为原方程的一个特解，1,λ=为单根，故原方程右端非齐次项应具有()xf x Ce =的形式。
§7-1 微分方程的基本概念习题
§7-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。
( )2.y=(y '')3是二阶微分方程。
( )3.微分方程的通解包含了所有特解。
( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
（ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
（ ） 二、填空题1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。
2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0,y 'x=0=1的曲线是 。
三、选择题1．下列方程中 是常微分方程（A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =xe dx d (C)、22x a ∂∂+22ya ∂∂=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx3.微分方程22dx y d +w 2y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数（A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=323y 的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．22C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x xe C eC y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
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微分方程的基础知识与练习（一）微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。
（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。
解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足x dxdy2= （1） 同时还满足以下条件：1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。
把条件（2）代入（3）式，得1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：12+=x y （4）（2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。
根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：4.022-=dt sd （5） 此外，还满足条件：0=t 时，20,0===dtdsv s （6）(5)式两端积分一次得：14.0C t dtds v +-== （7）再积分一次得2122.0C t C t s ++-= （8）其中21,C C 都是任意常数。
把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得0 ,2021==C C把21,C C 的值代入（7）及（8）式得,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：)(504.020s t ==。
再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程).(5005020502.02m s =⨯+⨯-=上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。
1．微分方程的概念一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。
未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。
我们只研究常微分方程。
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。
例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。
又如，方程()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。
一般地，n 阶微分方程的形式是()(,,',...,)0,n F x y y y = （11）其中F 是个2+n 变量的函数。
这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而)1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。
例如n 阶微分方程01)(=+n y中，除)(n y 外，其他变量都没有出现。
由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。
这个函数就叫做该微分方程的解。
例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。
又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。
由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。
为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。
例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。
设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是0x x =时，0y y =，或写成 00|y y x x ==其中0x ，0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：0x x =时，0y y =，'1y y =或写成 00|y y x x ==，0'|1x x y y == 其中0x ，0y 和1y 都是给定的值。
上述条件叫做初始条件。
确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。
例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。
求微分方程),('y x f y =满足初始条件00|y y x x ==的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作⎩⎨⎧===.|),,('00y y y x f y x x （13）二阶微分方程的初值问题是00''(,,'),|,'|1x x x x y f x y y y y y y ===⎧⎪⎨==⎪⎩ 3、 例题例1 验证：函数kt C kt C x sin cos 21+= （14）是微分方程0222=+x k dtx d （15） 的解。
解 求出所给函数（14）的导数,cos sin 21kt kC kt kC dtdx+-= )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dtx d +-=--= 把22dtxd 及x 的表达式代入方程（15）得 )sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212kt C kt C k +0≡函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。
用程序来实现： >> syms k t C1 C2;>> x=C1*cos(k*t)+C2*sin(k*t); >> diff(x,t,2)+k^2*x ans =k^2*(C1*cos(k*t) + C2*sin(k*t)) - C1*k^2*cos(k*t) - C2*k^2*sin(k*t) >> simple(ans)（二）微分方程的解一、几个会用到的函数： 1、solve 函数：Matlab 中solve 函数主要是用来求解线性方程组的解析解或者精确解。
solve 函数的语法定义主要有以下四种：solve(‘eq ’)solve(‘eq ’, ‘var ’)solve(‘eq1’,’eq2’, …,’ eqn ’)g = solve(‘eq1’, ‘eq2’, …,’ eqn ’, ‘var1’, ‘var2’, …, ‘varn ’) eq 代表字符串形式的方程，var 代表的是变量。
例1：解方程02=++c bx ax程序是：syms a b c x;solve('a*x^2+b*x+c') （ 也可写成solve('a*x^2+b*x+c=0') ）当没有指定变量的时候，matlab 默认求解的是关于x 的解，求解的结果为： ans =-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)d 当指定变量为b 的时候： solve('a*x^2+b*x+c','b')求解的结果为：ans =-(a*x^2 + c)/xs = -(a*x^2 + c)/x例2：对于方程组⎩⎨⎧=-=+5111y x y x 的情况S=solve('x+y=1','x-11*y=5'); S.x S.y>> S=[S.x,S.y](这里或者写成x=S.x y=S.y) 如果解得是一个方程组，而且采用了形如[a,b]=solve(a+b=1, 2a-b=4ab) 的格式，那么，在MATLAB R2014a 中没问题，可以保证输出的a ，b 就等于相应的解，但是在R2012b 等早先版本中不能保证输出的顺序就是你声明变量时的顺序。
所以最好采用g=solve(a+b=1, 2a-b=4ab)这种单输出格式，这样输出的是一个结构体，g.a 和g.b 就是对应的解。
S =[ 4/3, -1/3]一、 微分方程的解析解格式：dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)记号: 在表达微分方程时，用字母D 表示求微分，D2y 、D3y 等表示求高阶微分.任何D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省，默认自变量是t 例如，微分方程022=dxy d 应表达为：D2y=0.例1：求解微分方程22x xe xy dxdy-=+，并加以验证． 求解本问题的Matlab 程序为：syms x y %line1 y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') %line2 diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2) %line3 simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)) %line4 说明：(1) 行line1是用命令定义x,y 为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；(2) 行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1(3) 行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1) (4) 行line4 用 simplify() （simple()）函数对上式进行化简，结果为 0， 表明)(x y y =的确是微分方程的解．例2：先求微分方程0'=-+x e y xy 的通解，再求在初始条件e y 2)1(=下的特解，并画出特解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为： syms x yy=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0', 'x') 结果y =(exp(x)+C1)/x 求特解两个方法1.y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)', 'x') 结果y =(exp(x)+exp(1))/x2. C1= solve('2*exp(1)=exp(1)+C1','C1') 结果C1 =exp(1) y =(exp(x)+exp(-x^2) 结果(exp(x)+exp(1))/xezplot(y)例3：求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++035y x dtdy e y x dtdx t在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为： syms x y ta=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t');x=a.x y=a.y simple(x); simple(y);ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto %坐标刻度选默认值例4 先求微分方程的通解，再求微分方程的特解.⎪⎩⎪⎨⎧===++15)0(',0)0(029422y y y dxdydx y d 程序是：dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')ans =(3*sin(5*x))/exp(2*x)例5 求微分方程组的通解.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=z y x dtdz zy x dt dyz y x dt dx244354332程序是：A=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z','t'); >> x=A.x y=A.y z=A.z 练习：求下列微分方程的解析解（1）b ay y +=' 程序：syms a b y; dsolve('Dy=a*y+b','x') ans =-(b - C2*exp(a*x))/a（2）1)0(',0)0(,)2sin(''==-=y y y x y 程序：>> syms x y;>> dsolve('D2y=sin(2*x)-y','y(0)=0,Dy(0)=1','x') ans =(5*sin(x))/3 - sin(2*x)/3（3）1)0(',1)0(',','==-=+=g f f g g g f f 程序：syms f g x;g=dsolve('Df=f+g ’,’Dg=g-f','Df(0)=1’,’Dg(0)=1','t') g.g =exp(t)*sin(t) g.f =exp(t)*cos(x)（4）求微分方程0sin 2')1(2=-+-x xy y x 的通解． 程序及答案：dsolve('(x^2-1)*Dy+2*x*y-sin(x)=0','x')ans =(-cos(x)+C1)/(x^2-1)（5）求微分方程x e y y y x sin 5'2''=+-的通解．程序及答案：dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*sin(x)','x') ans =exp(x)*sin(2*x)*C2+exp(x)*cos(2*x)*C1+1/3*exp(x)*sin(x)（6）求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++00y x dtdy y x dtdx在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，并画出解函数()y f x =的图形． 程序及答案：[x,y]= dsolve('Dx+x+y=0,Dy+x-y=0','x(0)=1,y(0)=0','t');或 S= dsolve('Dx+x+y=0,Dy+x-y=0','x(0)=1,y(0)=1','t'); x=S.x y=S.y ezplot(x,y)解下列微分方程：二、 微分方程的数值解在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。