现实的偏微分方程模型和基础知识

y)
=
∂ ∂x
∂ ∂y
(x,
y)
∂2f ∂y∂x
(x,
y)
=
∂ ∂y
∂ ∂x
(x,
y)
二、(重) 积分与第一型曲线 (面) 积分的定义
一维情形 首先考虑一根长度为 l 的细的直杆。不妨认为它在取定的坐标轴 x 上占据闭 区间 [0, l]。设其密度为 ρ = ρ(x)，若 ρ ≡ 常数，则此杆的质量就是 m = ρ · l。若 ρ(x) = 常 数，则对区间作任意分割：
到． 人口问题 人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一。一些发展中国家的人口出生率过高，越
来越严重地威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋近于零，甚至变负，造成劳 动力短缺，也是不容忽视的问题。对于我国来说，在集中精力搞好经济建设，努力提高生产力 的同时，能否有效地控制人口的增长，己成为本世纪初直到本世纪中叶使我国按人均国民经济 生产总值达到小康水平，进而跻身中等发达国家行列的关键. 由干我国五六十年代人口政策方 面的失误，不仅造成人口总数增长过快，而且，年龄结构也不合理，使得对人口增长的严格控 制会导致人口老化间题严重. 因此在首先保证人口有限增长的前提下适当控制人口老化，把年 龄结构调整到合适的水平，是一项长期而又艰区的任务。建立数学模型对人口发展过程进行描 述、分析和预测，并进而研究控制人口增长和老化的生育策略，已引起有关专家、官员和社会 各方面的极大关注和兴趣，是数学在社会发展中的重要应用领域. 近年来我国一些从事自然科 学，主要是控制论研究的专家，从我国人口的现状出发，结合当前的人口政策，在人口预测和 控制方面做了许多工作。过去人们讨论过人口的指数增长模型和限滞增长模型 (logistic 模型)， 这些模型只考虑人口总数和总的增民率，不涉及年龄结构，因而建立的是常微分方程。事实 上，在人口预测中人口按年龄分布状况是十分重要的，因为不同年龄人的生育率和死亡率有着 很大的差别。两个国家或地区目前人口总数一样，如果一个国家或地区年青人的比例高于另一 国家或地区，那么二者人口的发展状况将大不一样. 我们可以讨论的模型要考虑人口按年龄的 分布，即除了时间变量外，年龄是另占个自变量，并可用偏微分方程描述人口发展的规律。
也就是说让 y 固定于 y0，然后求一元函数 f (xy0) 在 x0 点的导数，就得到函数 f (x, y)
在 (x0, y0) 点对 x 的偏导数；同理，让 x 固定于 x0，然后求一元函数 f (x0, y) 在 y0 点的导
数，就得到函数
f (x, y)
在
(x0, y0)
点对
y
的偏导数，记为
f (x),
f (2)(x),
或者
d2y dx2
我们用归纳的方式来定义 n 阶导数 f (n)(x)。首先约定:f 0(x) = f (x)。如果 f (n−1)(x) 对 一切 x ∈ I 都有定义，那么由对应关系：
x → f (n−1)(x)
定义了函数 f 的 n−1 阶导函数 f (n−1)(x)。如果导函数 f (n−1)(x) 在 x 点具有导数 (f (n−1)) (x)， 5
f (x0)
=
lim
∆x→0
f (x0+∆x)−f (x0) ∆x
=
lim
∆x→0
∆f (x0) ∆x
=
lim
∆x→0
∆y ∆x
与此相应，关于函数 y = f (x) 在 x0 点的导数，除了采用上面介绍的拉格朗日 (Lagrange) 的记号 f (x0) 外，还常常采用莱布尼兹 (Leibnitz) 的记号
那么我们就把这导数称为是 函数 f 在 x 点的 n 阶导数，记为
f (n)(x),
或者
dny dxn
高阶导数在实际问题中也有广泛的应用。例如在力学中，如果以 x(t) 表示沿直线运动的 质点的坐标，那么一阶导数 x (t) 表示运动的速度，二阶导数 x (x) 就表示质点运动的加速度。 于是，牛顿第二定律的数学表示就应该是
它们是怎么产生的？来自什么样的实际背景问题？如何建立起这些方程？现实中有哪些偏 微分模型？
音乐审美 今天我要介绍给你们的这门学科正是起源于对音乐的欣赏，不管是管弦乐、小提琴独奏，
还是大型的交响乐。可以这样说：对音乐的欣赏与理性分析产生了这门学科，也诞生了科学！ 正是对小提琴弦的研究导致了首个偏微分方程的出现，并最终形成了一个强大的学科。音乐和 科学在同一个地点开始，文明本身也从这里开始，而站在源头的是毕达哥拉斯 (Pythagoras) 神 话式的身影 亚瑟·凯斯特勒 (Arthur Koestler) 用了一个音乐的比喻来描述它;
那么，什么是偏微分方程？从小学开始，我们就遇到过代数方程，比如:
x2 + 3x + 8 == 0
或者
x + y = 5 2x − y = 1
但是如果一个未知函数以及它的导数满足某个等式，这个等式称为 微分方程。如果一个 微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做 常微分方程，也简称 微分方程； 如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程 中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是 偏微分方程。
红绿灯下的交通流 各种类型的汽车一辆接着一辆沿公路飞驶而过，其情景栽像在揣急的江河中奔腾的水流一
样，在这种情况下人们不去分析每辆汽车的运动规律，而是把车队看作连续的流体，称为交通 流或车流。研究每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、速度和密度等变量间的关系，特 别是在出现譬如红绿灯改变，交通事故等干扰的情况下交通流的变化过程。查找资料可知，过
x (t)M = F,
或者
M
d2x dt2
=
F
高阶偏导数的定义
考察二元函数
f (x, y)，这函数的偏导数
∂f ∂x
(x,
y)
和
∂f ∂y
(x,
y)
仍是
(x, y)
的函数。我们又
可以讨论函数
∂f ∂x
(x,
y)
∂f ∂y
(x,
y)
是否可求偏导数的向题。如果函数
∂f ∂x
(x,
y)
和
∂f ∂y
(x,
y)
df (x0) dx
或
dy dx
后一记号提示我们，导数是差商
∆f (x0) ∆x
或
∆y ∆x
的极限。也正是由于这一原因，人们还把导数叫
做微商，记为 dy = f (x)dx。
讨论导数的时候，先要确定一个“基点”x0, 然后考察自变量与函数在这点邻近的变 化 (考察从 x0 点起始的增量)。在许多问题中，一定范围内的每一点都可当作基点来考虑，这 时人们住往直接用记号 x 表示基点 (以这样的记号代替不怎么方便的记号 x0)。对这种情形，
6 世纪的场面唤起了一个期待定调的、每个演奏者只专注于自已的乐器而对别人的抱 怨充耳不闻的管弦乐队的形象。然后是一片戏剧的静场，指挥走进舞合，用他的指挥棒轻 敲了三下，于是，和谐从混乱中浮现。这个艺术大师就是萨摩斯 (Samos) 岛的毕达哥拉 斯 Pythagoras，他对人类思想的影响，和因此对命运的影响，可能比任何他之前加之后的 个人都要伟大。
2
去人们建立交通流的基本方程是偏微分方程，并讨论了在红灯和绿灯相继出现时交通流的变化 过程。
石油开采模型 地下储油层可以视为石油储藏在多孔介质之中，当我们打井采油时需要研究石油在多孔介
质中的流动情况. 为了确定石油的储量和地下油藏参数，如多孔介质对石油的渗透率等，我们 需要知道地下石油的压力变化情况，知道了地下石油的压力变化，可帮助我们决定采油方案。 使采油能够持续高产，但在采油的过程中，我们不可能测量油藏各点的压力。因此，需要建立 相应的数学模型，利用数值模拟技术计算出油藏各处压力的变化情况。这个建立起来的也是偏 微分方程
【毕达哥拉斯简介】 毕达哥拉斯 (Pythagoras,572BC?-497BC?) 古希腊数学家、哲学家。他信奉无论是解说外 在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学! 并最早悟出万事万物背后都有数的法 则在起作用的。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛 (Samos)(今希腊东部小岛)，自幼聪明 好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山 来到巴比伦、印度和埃及（有争议），吸收了阿拉伯文明和印度文明元前 480 年。 金融危机与经济危机
要想准确地研究这个问题，必须涉及到流体运动方程，这也是历史上最早出现的偏微分方 程之一
上面所有的问题都涉及几个重要的名词：波动，扩散，流体运动、守恒律－－这些都是 偏微分方程学科所研究的内容！为了引出偏微分方程，让我们首先复习与提高一下微积分的知 识！
3
微积分理论的提高
一、导数的定义
导数的定义 设函数 f (x) 在 x0 点邻近有定义。如果存在有穷极限
新材料的合成－－从晶体生长到铁磁的研究，建立的分子运动方程都是偏微分方程。 吸烟过程的数学描述
尽管科学家们对于吸烟的危害提出了许多无可辩驳的证据，不少国家的政府和有关部门也 一直致力于减少或禁止吸烟。但是仍有不少人不愿抛弃对香烟的嗜好。香烟制造商既要满足瘾 君子的需要，又要顺应减少吸烟危害的潮流，还要获取丰厚的利润，于是普遍地在香烟 1: 安装 了过滤嘴，过滤嘴的作用到底有多大，与使用的材料和过滤嘴的长度有什么关系。我们可以从 定量的角度回答这些问题，并建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸人的毒物数量与 哪些因素有关，以及它们之间的数量表达式。这个模型居然也是偏微分方程！
4
用增量方式来写导数的定义更显得方便:
f
(x)
=
lim
∆x→0
f (x
+
∆x) ∆x
−
f (x)
对这一情形，如果采取直接的形式，那么导数的定义·就要写成
lim
x1→x
f
(x1) x1
− −
f (x) x
多元函数的偏导数 设二元函数 f (x, y) 在点 (x0, y0) 邻近有定义，如果存在有穷极限
1
在衍生证卷的定价理论中，著名经济学家、诺贝尔奖获得者 Black-Scholes 建立的定价理 论成为华尔街的操盘法律，而 Black-Scholes 公式则是一个偏微分方程：
ut
+
1 2
σ2x2uxx
+
rxux
−
ru
=
0
这里 u 表示衍生证卷的价格函数。 首先我们介绍最典型的双曲型方程－－波动方程，它在研究波的传播及弹性体振动时常会遇
分别对变元
x
和
y
可求偏导数，那么我
Leabharlann Baidu
们就把这样的偏导数称为 函数 f (x, y) 的二阶偏导数，它们共有以下几种偏导数
∂2f ∂x2
(x,
y)
=
∂2f ∂x∂x
(x,
y)
=
∂ ∂x
∂ ∂x
(x,
y)
∂2f ∂y2
(x,
y)
=
∂2f ∂y∂y
(x,
y)
=
∂ ∂y
∂ ∂y
(x,
y)
∂2f ∂x∂y
(x,
lim
x→x0
f (x,
y0) x
− −
f (x0, x0
y0)
那么我们就说 函数 f (x, y) 在 (x0, y0) 点关于变量 x 可导，称为 函数 f (x, y) 在 (x0, y0) 点
对
x
的偏导数，并且把上述极限值记为
∂f ∂x
(x0,
y0),
fx(x0, y0)
或
fx(x0, y0)。
∂f ∂y
(x0,
y0),
fy(x0, y0)
或
fy(x0, y0)。
高阶导数的定义
设函数 f 在开区间 I 的每一点可导，则以下对应关系定义了一个函数:
x → f (x), ∀x ∈ I
这函数称为是函数 f 的导函数，记为 f 。对于导函数 f ，我们又可以讨论它的可导性和导 数。导函数 f 在 x 点的导数 (f ) (x)，称为是 函数 f 在 x 点的二阶导数，记为
lim
x→x0
f (x) x
− −
f (x0) x0
这就是导数的几何意义。 人们习惯于把 x − x0 称为自变量的增量 (改变量)，记为 ∆x。用符号 ∆y = ∆f (x0) =
f (x0 + ∆x) − f (x0) 表示函数 y = f (x) 的相应增量。采用这样的记号，导数的定义又可写成
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∆ : 0 = x0 < x1 < · · · < xK = l
并任意取介点 ξ ∈ [xi−1, xi]，在每个区间 [xi−1, xi] 上，以“常（密度）代变（密度）”，计算 出质量的近似值，然后通过一个极限过程，使得此杆的质量：
lim
x→x0
f (x) x
− −
f (x0) x0
那么我们就说 函数 f (x) 在 x0 点可导 (derivable)，并且把上述极限值称为函数 f (x) 在 x0 点的导数 (derivative)，记为 f (x0)。
几何解释 曲线 y = f (x) 在点 (x0, f (x0)) 处的切线的斜率等于极限