微分方程基础知识与解析解

微分方程的基础知识与练习

（一）微分方程基本概念：

首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。

（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。

解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足

x dx

dy 2= （1） 同时还满足以下条件：

1=x 时，2=y （2）

把（1）式两端积分，得

⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）

其中C 是任意常数。

把条件（2）代入（3）式，得

1=C ，

由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：

12+=x y （4）

（2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？

解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：

4.02

2-=dt s d （5） 此外，还满足条件：

0=t 时，20,0==

=dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得：

14.0C t dt

ds v +-== （7） 再积分一次得

2122.0C t C t s ++-= （8）

其中21,C C 都是任意常数。

把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得

0 ,2021==C C

把21,C C 的值代入（7）及（8）式得

,204.0+-=t v （9）

t t s 202.02+-= （10）

在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：

)(504

.020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程

).(5005020502.02m s =⨯+⨯-=

上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。

1．微分方程的概念

一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。

一般地，n 阶微分方程的形式是

()(,,',...,)0,n F x y y y = （11）

其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而

)1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程

01)(=+n y

中，除)(n y 外，其他变量都没有出现。

由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。

例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。

由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。

设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是

0x x =时，0y y =，

或写成 00|y y x x ==

其中0x ，0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：

0x x =时，0y y =，'1y y =

或写成 00|y y x x ==，0'|1x x y y ==

其中0x ，0y 和1y 都是给定的值。上述条件叫做初始条件。

确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。

求微分方程),('y x f y =满足初始条件00|y y x x ==的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作

⎩⎨⎧===.|),,('00

y y y x f y x x （13） 二阶微分方程的初值问题是

00''(,,'),|,'|1x x x x y f x y y y y y y ===⎧⎪⎨==⎪⎩ 3、 例题

例1 验证：函数

kt C kt C x sin cos 21+= （14）

是微分方程

0222=+x k dt

x d （15） 的解。

解 求出所给函数（14）的导数

,cos sin 21kt kC kt kC dt

dx +-= )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt

x d +-=--= 把22dt

x d 及x 的表达式代入方程（15）得 )sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212kt C kt C k +0≡

函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。

用程序来实现：

>> syms k t C1 C2;

>> x=C1*cos(k*t)+C2*sin(k*t);

>> diff(x,t,2)+k^2*x

ans =