高等数学微分方程的基本概念教学
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高等数学教学教案§7-1--微分方程的基本概念-§7-2--可分离变量的微分方程
例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
例4求微分方程 的通解
例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律
解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1)y2xy是y1dy2xdx
(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx
(3)(x2y2)dxxydy=0不是
(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)
(5)y10xy是10ydy10xdx
(6) 不是
第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
导数：derivative；微分：differential calculus；微分方程：differential equation；阶：order；
常微分方程：ordinary differential equation；偏微分方程：partial differential equation；
教 学 基 本 内 容
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
例4求微分方程 的通解
例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律
解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1)y2xy是y1dy2xdx
(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx
(3)(x2y2)dxxydy=0不是
(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)
(5)y10xy是10ydy10xdx
(6) 不是
第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
导数：derivative；微分：differential calculus；微分方程：differential equation；阶：order；
常微分方程：ordinary differential equation；偏微分方程：partial differential equation；
教 学 基 本 内 容
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程
高等数学(第三版)课件：常微分方程的基本概念
y 1 (e2x e2x ). 4
y' |xx0 y'0 , 或 y'(x0 ) y'0 , 其中x0 , y0 , y'0都是已知值. 一般地，对于n阶微分方程需给出n个初值条件：
y(x0 ) y0，y'(x0 ) y'0 ,，y(n1) (x0 ) y0(n1) .
4.微分方程的解的几何意义 微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通
(11)
的特解.
解 将函数y C1e2x C2e2x分别求一阶及二阶导数， 得 y' 2C1e2x 2C2e2x，
y" 4C1e2x 4C2e2x，
把它们代入微分方程(10)的左端，得
y" 4 y 4C1e2x 4C2e2x 4C1e2x 4C2e2x 0
所以函数y C1e2x C2e2x是所给微分方程(10)的解. 又因这个解中含有两个独立的任意常数，任意常数
微分方程的基本概念
一、引例 二、微分方程的一般概念
一、引例
例1 一曲线通过点 (1,2),且该曲线上任意点P(x,y)处的切
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为y y(x).由导数的几何意义得
dy 3x2 , d(1,2)，故y y(x)应满足条件：
解 设物体在时刻t所经过的路程为s s(t), 根据牛顿 第二定律可知，作用在物体上的外力mg(重力) 应等于物体的质量m 与加 速度的乘积，于是得
m d2s mg，即 d2s g
(5)
dt 2
dt 2
其中g是重力加速度.
将上式改写为
d dt
ds dt
g，
因此可得
高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
高等数学第十一章课件.ppt
这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量 将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两 端 积 分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ； 则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解．
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解， y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解，则Y y 是 y py qy f (x) 的通解．
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
高等数学(上) 第3版教学课件6-3 一阶线性微分方程
;
例1.求微分方程′ + ∙ = − 的通解
解法1： ∵ = ,
Q = −
代入非齐次的通解公式得
= − − +
= − − +
∙
只写一个原函数
例1. 求微分方程 ′ + 2 = 0的通解
解：这是一阶线性齐次微分方程
() = sec 2
代入通解公式得, =
通解
= −
− 2
齐次方程 ′ + =
的解 = −
《高等数学》
第三节 一阶线性微分方程
基础课教学部
第三节 一阶线性微分方程
一、引入
二、基本概念
三、齐次方程的解法
四、经典实例
五、非齐次方程的解法
一、引入
实际问题中，事物总是不断的运动变化.
空气流动
气温变化
植物生长
？直接得出函数结构非常困难.
! 建立函数、导数、微分之间的等式（微分方程）
二.基本概念
设 = ()−
是非齐次的通解
把C换成
C(x)！
怎么求解
呢?
常数变易法
令 = () −
′ = ′ −
,
则
− () −
,
代入方程 y′ + = ()中整理
′ −
= −
(න
+ )
其中为任意常数，3个积分均只写一个原函数
高等数学中的微分方程简介
高等数学中的微分方程简介微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等各个领域。
它描述了变量之间的关系，并通过求解方程来研究这些关系的性质和行为。
在高等数学中，微分方程是一个重要的研究内容，本文将对微分方程的基本概念、分类以及求解方法进行简要介绍。
一、微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，\(y\)是未知函数，\(y'\)表示\(y\)的一阶导数，\(y''\)表示二阶导数，\(y^{(n)}\)表示\(y\)的\(n\)阶导数。
方程中的\(F\)是已知函数，它是\(x\)、\(y\)及其导数的函数。
二、微分方程的分类微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
1. 常微分方程常微分方程中只涉及一个自变量，如\(y'=f(x)\)、\(y''+y=0\)等。
常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
- 一阶常微分方程：形如\(y'=f(x,y)\)的方程，其中\(f\)是已知函数。
- 高阶常微分方程：涉及到\(n\)阶导数的方程，如\(y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=0\)。
2. 偏微分方程偏微分方程中涉及多个自变量，如\(u_{xx}+u_{yy}=0\)、\(u_t=ku_{xx}\)等。
偏微分方程的求解相对复杂，一般需要借助数值计算方法。
三、微分方程的求解方法求解微分方程是微分方程学的核心内容，常见的求解方法有以下几种。
1. 变量分离法变量分离法适用于一阶常微分方程，通过将方程中的变量分离并进行积分求解。
例如，对于方程\(y'=f(x)g(y)\)，可以将方程改写为\(\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\)，然后对两边同时积分得到解。
第十一章 微分方程【高等数学】
第十一章 微分方程一、内容分析及教学建议微分方程是本门课程的三个组成部分之一，是微积分的具体应用。
实际上微分方程问题， 早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，可以说是与微积分同时发展起来的。
在二十世纪前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学；而现在，几乎在自然科学、工程技术，甚至于生物、医学、经济学领域的各个部门都会出现，它已成为研究科学技术、解决实际问题不可缺少的有力工具。
（一） 微分方程的概念从实例引入微分方程的主要概念，要着重指出通解中常数个数与阶数的关系，并且要注意：① 通解中所含任意常数的个数不是形式上，而是实质上的；② 微分方程解中并非只有通解和特解，还存在既非通解又非特解的解。
例如：函数221ln ln x c x c y +=是微分方程02='+''y x y x 的解，x c x c c x c x c y ln ln )2(ln ln 21221=+=+=,)2(21c c c +=∴ 此解不是通解，也不是特解。
(二) 一阶微分方程的解法1、一阶微分方程类型较多，教学中应让学生能掌握正确判断方程的类型，按方程所属类型采用适当的方法求解； 如322y x y dx dy -=，改写为221y x ydx dy -=-（关于x 的一阶线性微分方程等）； 2、一阶微分方程中分离变量法是最基本的，要有足够的训练，让学生牢固掌握，必要时让学生复习不定积分的基本内容；3、可通过齐次方程的求解，引入一般的变量代换解法，要求学生了解其思想，对于具体代换，只介绍简单的代换，如y x u +=，xy u =即可；4、关于一阶线性微分方程，一定要交待常数变易法的想法及步骤，导出通解公式后，指出其通解结构，为以后高阶线性微分方程奠定基础；5、对于全微分方程求解，涉及到“曲线积分”内容，通常有三种解法（见“曲线积分”一章注解），关于积分因子，主要取决于微分的熟练，但教学中要求不高；6、关于贝努利方程，注意：ny x Q y x P y )()(=+'，这里n 可放宽到任意实数仍成立。
大学课件高等数学微分方程
rx
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
大学课件高等数学下学期10-1微分方程的基本概念
一、问题的引入 二、微分方程的定义与分类 三、微分方程的解与初值问题 四、例题 五、小结（主要内容、重点、难点）
一、问题的引入
引例1 已知一条曲线通过原点，且在该曲线上 任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方， 求该曲线方程。
解 该所求曲线为 f (x) ，根据导数的几何意义及 本题所设，可知未知函数满足
x( y)2 2 yy x 0 是非线性微分方程。
三、微分方程的解与初值问题
1．微分方程的解 定义4：代入微分方程能使方程成为恒等式的
函数称之为微分方程的解。 确切地说，对于给定的微分方程 F[x, y, y,, y(n) ] 0，
如果函数 y (x) 在区间I上有n阶连续导数，且
满足微分方程
xy xyy y xy
再对 x 求导，得 yy xy2 xyy 2 y xy，
即 (xy x) y xy2 yy 2 y 0，
因此， y ln(xy) 是所给微分方程的解。
例3 求积分曲线族 y Cx C2（C是任意常数） 所满足的微分方程。
解 ： 积分曲线族两边求导数，得 y C
例 dy x2 dx
是一阶微分方程；
d 2s dt 2
0.4
是二阶微分方程。
分类Ⅲ：线性与非线性微分方程
y P(x) y Q(x) 是一阶线性微分方程；
y P(x) y Q(x) y f (x) 是二阶线性微分方程； （特点：除 f (x) 外，其他各项关于y, y, y, 均 为 一次。）
课堂练习题解答：
1.解 设所求曲线方程为 y f (x) ，则该曲线在 点 P(x, y) 处的法线方程为：
Y－y 1 ( X x); f (x)
令Y＝0， 得X＝x f (x) f (x)，即 X x yy；
一、问题的引入
引例1 已知一条曲线通过原点，且在该曲线上 任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方， 求该曲线方程。
解 该所求曲线为 f (x) ，根据导数的几何意义及 本题所设，可知未知函数满足
x( y)2 2 yy x 0 是非线性微分方程。
三、微分方程的解与初值问题
1．微分方程的解 定义4：代入微分方程能使方程成为恒等式的
函数称之为微分方程的解。 确切地说，对于给定的微分方程 F[x, y, y,, y(n) ] 0，
如果函数 y (x) 在区间I上有n阶连续导数，且
满足微分方程
xy xyy y xy
再对 x 求导，得 yy xy2 xyy 2 y xy，
即 (xy x) y xy2 yy 2 y 0，
因此， y ln(xy) 是所给微分方程的解。
例3 求积分曲线族 y Cx C2（C是任意常数） 所满足的微分方程。
解 ： 积分曲线族两边求导数，得 y C
例 dy x2 dx
是一阶微分方程；
d 2s dt 2
0.4
是二阶微分方程。
分类Ⅲ：线性与非线性微分方程
y P(x) y Q(x) 是一阶线性微分方程；
y P(x) y Q(x) y f (x) 是二阶线性微分方程； （特点：除 f (x) 外，其他各项关于y, y, y, 均 为 一次。）
课堂练习题解答：
1.解 设所求曲线方程为 y f (x) ，则该曲线在 点 P(x, y) 处的法线方程为：
Y－y 1 ( X x); f (x)
令Y＝0， 得X＝x f (x) f (x)，即 X x yy；
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(3)
将(3)式代入(2)式，得C = 0，所以
y 1 x3 3
为所求的曲线方程．
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5
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例2 一物体由静止开始从高处自由下落，已知物体 下落时的重力加速度是g ，求物体下落的位置与时间 之间的函数关系。
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 ,
xdy + ydx = 0
都是一阶微分方程；
d2s dt 2
g,
y ''
2 y '
y
3x2
1
都是二阶微分方程.
y(4) 4 y ' 4 y xex 是四阶微分方程；…等等．
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
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方程 y '' y 0 是二阶的，所以
y C1 sin x C2 cos x 是该微分方程的通解.
代入初始条件
y( ) 1, y( ) 1
4
4
得
2
2
2 C1 2 C2 1
2 2 C2
2 2 C1 1
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17
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题
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18
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
本章讨论的一阶微分方程 y f ( x, y)，f(x,y)表示
如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数， 并且在方程中出现偏导数
如
2u 2u 2u x2 y2 z2 0
就是偏微分方程；
本章我们只介绍常微分方程。
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12
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.
解 设物体的质量为m,由于下落过程中只受重力作用, 故物体所受之力为
F = mg，
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6
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
又根据牛顿第二定律， F = ma
及加速度
d2s a dt 2
,所以
d2s m dt 2 mg,
19
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例3 验证 y C1 cos x C2 sin x 是微分方程 y y 0 的
通解．并求此方程满足初始条件
y(
)
1,
y( ) 1
的特解。
4
4
解
y ' C1 sin x C2 cos x
y'' C1 cos x C2 sin x
把y和y″代入微分方程左端得
y xy2 0, xdy ydx 0 y 2 y y 3x2 1
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或 微分)之间的关系式.
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.
x,y的关系式），它的定解条件通常是x=x0时，y=y0
或写成
y x x0
二阶微分方程的定解条件通常是x = x0时，y = y0、
y′ = y′0或写成 y ' x x0 y '0 或 y x x0 y0
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例 y y, y y 0,
第一节 微分方程的基本概念
通解 y ce x ; 通解 y c1 sin x c2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件: 确定任意常数取固定值的条件.
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶的高阶微分方程 第四节 二阶线性微分方程解的结构 第五节 二阶常系数线性齐次微分方程
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
分类2:按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、 二阶和高阶微分方程
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0,
y f ( x, y);
高阶(n)微分方程
F ( x, y, y,, y(n) ) 0, y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
即
d2s
dt 2 g
(5)
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
现在来求s与t之间的函数关系，对(5)式
两端积分得
ds dt
gt
C1
(6)
再两端积分，得
s
1 2
gt 2
C1
C2
(7)
这里C1，C2都是任意的常数．
如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就 称为常微分方程。
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 , 都是常微分方程；
y(4) 4 y ' 4 y xex
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
C都是任意常数）所表示的函数族是相同的，
因此y = C1x + C2x + 1中的C1，C2是不独立的；
而
s
1 2
gt
2
C1
C2
中的任意常数C1，C2是
不能合并的，即C1，C2是相互独立的．
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第六章 常微分方程
独立的任意常数的个数=微分方程的阶数 含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使 得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意 常数相互独立．
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例如y = C1x + C2x + 1 与 y = Cx+1 (C1,C2，
y' x2
(1)
两边积分，得
y 1 x3 C
(2)
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
上式表示的是曲线上任意一点的切线的斜率为x2的所 有曲线．但要求的是过点(0,0)的曲线，即
x = 0时， y = 0
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第六章 常微分方程
所以 C1 2,C2 0
故
y 2 cos x
是该微分方程的特解.
第一节 微分方程的基本概念
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第六章 常微分方程
内容小结
第一节 微分方程的基本概念
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶；微分方程的解； 通解，初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
追求人生的美好! 我们的共同目标!
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第一节 微分方程的基本概念
本节主要内容:
一.问题引入 二.微分方程的定义 三.求微分方程的解
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
在力学、物理学及工程技术等领域中为了 对客观事物运动的规律性进行研究，往往需 要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性 质，常常只能得到待求函数的导数或微分的 关系式，这种关系式在数学上称之为微分方 程。
y'' y C1 cos x C2 sin x C1 cos x C2 sin x 0
又 y C1 cos x C2 sin x
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
中含有两个独立的常数，而
(9)
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这就是初速度为0的物体垂直下落时距离