高数 微分方程
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程的知识点主要包括：
1. 微分方程的基本概念：微分方程是包含导数或微分的方程，一般形式为
f(x, y', ..., y^{(n)}) = 0。
微分方程的阶数是指微分方程中所含导数或微分的最高阶数。
微分方程的解是指使微分方程成立的函数，不含任意常数的解称为特解，若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为通解。
2. 高阶微分方程：高阶微分方程是阶数大于一的微分方程。
例如，二阶常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + py' + q = 0 (p, q为常数)的方程。
3. 齐次方程：齐次方程是一种特殊的微分方程，可以通过变量代换化为另一种形式的一阶微分方程。
一阶齐次方程的形式为dydx=φ(yx)，或者可化为这种形式的方程。
4. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次幂的方程，形式为 dydx+P(x)y=Q(x)。
如果Q(x)=0，则方程为齐次的，反之为非齐次的。
以上内容仅供参考，建议查阅高数教材或咨询专业人士以获取更准确的信息。
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
大一高数微分方程总结
大一高数微分方程总结在大学高数中，微分方程是一个重要的领域，其中涉及到许多不同类型的方程，如一阶线性微分方程、二阶线性微分方程、非齐次线性微分方程等等。
以下是一些常见的微分方程及其解法的总结:1. 一阶线性微分方程:y" = kx + b其通解为:y = C1e^(kx + b) + C2e^(-kx + b)其中 C1 和 C2 是常数。
2. 二阶线性微分方程:y"" = ky + f(x)其通解为:y = C1e^(kx) + C2e^(-kx) + ∫[C3e^(kx) + C4e^(-kx)]f(x)dx 其中 C1、C2、C3 和 C4 是常数，∫表示求和积分。
3. 非齐次线性微分方程:y" = ky + f(x)其中 f(x) 不是常数，而是关于 x 的函数。
其通解为:y = C1e^(kx) + C2e^(-kx) + ∫[C3e^(kx) + C4e^(-kx)]f(x)dx 其中 C1、C2、C3 和 C4 是常数，∫表示求和积分。
4. 齐次线性微分方程:y" = ky其通解为:y = Ce^(kx)其中 C 是常数。
5. 分离变量法:对于某些类型的微分方程，可以使用分离变量法来求解。
例如: y" = kyy = e^(kx) + C1sin(kx) + C2cos(kx)其中 C1 和 C2 是常数。
6. 凑微分法:凑微分法可以用来求解某些类型的微分方程，例如:y" = 3y^2 + 2xyy = Ce^(2x) + Dx(e^(2x) - 1)其中 C 和 D 是常数。
以上是一些常见的微分方程及其解法的总结。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的解法。
高数-全微分方程
)
ydx − xdy x = d arc tan 又 2 2 y x + y 1 , 取积分因子 µ ( x , y ) = 2 2 x + y
ydx − xdy dx + =0 2 2 x + y
则方程化为: 则方程化为
两边积分的方程的通解为: 两边积分的方程的通解为
H
y M A
O
• • •
T
θ
ρg s x
设A 到M 弧段长为 ， 弧段长为s， 绳索的线密度为ρ， 则该段绳索的重量为ρgs 绳索的线密度为 ， 则该段绳索的重量为 。 绳索在点A 处的张力沿水平方向向左，其大小设为H； 绳索在点 处的张力沿水平方向向左，其大小设为 ； 在点M 处的张力沿绳索斜向上, 并在M 点与绳索相切, 在点 处的张力沿绳索斜向上 并在 点与绳索相切 设其倾角为θ、大小为 设其倾角为 、大小为T 。
6
熟记一些简单常用的二元函数的全微分， 熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如
dx ± dy = d ( x ± y ) ydx &# y y − ydx + xdy y = d x2 x ydx − xdy x = d ln xy y ydx − xdy x = d arc tan 2 2 y x + y ydx − xdy 1 x − y = d ln 2 2 2 x + y x − y
x5 + 3 2 2 1 x y − xy 3 + y 3 = C . 2 3
2
注: 当条件
∂P ∂Q ≠ 不能满足时， 可引入积分因子 ∂y ∂x 不能满足时， 可引入积分因子
高数微分方程总结
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
解 （１） 由题设可得：
2 p( x)2x 0,
2 x3
p( x)( 1 ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
f
(x)
3 x3
.
（２） 原方程为 y 1 y 3 .
x
x3
显见 y1 1, y2 x2 是原方程对应的齐次方 程 的两个线性无关的特解 ，
又 y* 1 是原方程的一个特解， x
dt 2
即 x g x g , 99
x(0) 0, x(0) 0.
10m
o x
解此方程得
x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
2
整个链条滑过钉子 ,即 x 8,
代入上式得
t 3 ln(9 80). (秒) g
最好的，不一定是最合适的；最合适的，才是真正最好的。 最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 快乐的人帮助别人，积极人的肯定自己。——王修强 对于每一个不利条件，都会存在与之相对应的有利条件。 人必须有自信，这是成功的秘密。 人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 这世间最可依赖的不是别人，而是你自己。不要指望他人，一定要坚强自立。 懂得感恩，感谢帮助你的每一个人。 不要因为小小的争执，远离了你至亲的好友，也不要因为小小的怨恨，忘记了别人的大恩。
《高数》第6章
把 x t t 0 1, x t t 0 3 代入 x t c1 cos t c2 sin t 和
x t c1 sin t c2 cos t 得 c1 1, c2 3 ．故所求的解为： x t cos t 3sin t
得到通解
G ( y ) F ( x) c 1 其中G(y)与F(x)分别是 与f(x)的一个原函数， c是 g ( y) 任意常数，式(2)就是方程(1)的隐式通解. 第 三 步 ， 在 第 一 步 中 ， 用 g(y) 除 方 程 的 两 边 ， 而 g(y)=0 是 不 能 做 除 数 的 ， 所 以 对 g(y)=0 要 单 独 考 虑．由g(y)=0解出的y是常数，它显然满足原方程， 是原方程的特解，这种特解可能包含在所求出的通解 中，也可能不包含在所求出的通解中（此时要把它单 独列出）． 例1 分方程 y 2 xy 的通解．
例3(推广普通话问题) 在某地区推广普通话，该地 区的需要推普的人数为N，设t时刻已掌握普通话的 人数为p(t)，推普的速度与已推普的人数和还未推普 的人数之积成正比，比例常数为k＞0于是得到 dp kp ( N p ) dt
此方程称为logisitic方程，在生物学，经济学等学科 领域有着广泛应用． 定义1 含有未知函数的导数(或微分)的方程叫微分方 程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方 程．如 (1) y x dp kp ( N p ) (2) dt
y P ( x ) y Q ( x ) 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)为Q(x)的已 知函数．当Q(x)不恒为0时，方程(5) 称为一阶线性非 齐次微分方程.当 Q( x) 0时，方程(5)变成 y P ( x ) y 0 该方程称为一阶线性齐次微分方程． 显然，一阶线性齐次微分方程是可分离变量的方 程．一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： 第一步，先求解其对应的齐次方程： y P ( x ) y 0
高数上——微分方程的基本概念
y 2xdx 即 y x2 C, 求得C 1,
所求曲线方程为 y x2 1 .
例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
四、小结
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
(t 2 x)dt xdx 0,
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之.
对于未知函数y及其导数都是一次的
分类3: 线性与非线性微分方程.
y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0; y xy, y 2 y 3 y e x ,
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx
3
y2z, dzcoskt ,
d2 dt
x
2
k
2C1
cos
kt
k
2C2
sin
kt ,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程
,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
高数微分方程
高数微分方程高数微分方程是高等数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然现象或数学模型的一类方程，同时也被广泛应用于物理、化学、生物、经济等领域。
本文将从定义、分类、解法及应用等多个方面深入探讨高数微分方程这一课题。
一、定义微分方程是一类用导数描述的方程，通常表示为y'=f(x,y)（一阶）或y''=f(x,y,y')（二阶）等形式。
其中x为自变量，y为因变量。
微分方程分为一阶和高阶两种，解析式解不容易求出，通常需要借助某些数学工具来解决。
二、分类微分方程分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程中，只含有一个自变量，其导数只包含一阶或高阶导数，方程中未出现偏导数。
常微分方程又分为：1）可以直接通过初值求解的常微分方程。
y' = f(x, y)，y(x0) = y0这种常微分方程称作初值问题，因为y(x0) = y0称作初值。
2）可以直接通过边值求解的常微分方程。
y'' = f(x, y)，y(a) = α, y(b) = β这种常微分方程称作边值问题，因为y(a) = α,y(b) = β称作边值。
偏微分方程中，含有两个或两个以上自变量的导数关系方程，方程中出现偏导数, 通常用来描述空间或时间上的变化过程。
三、解法常微分方程的求解方法分为以下三种：1）分离变量法对于方程y=f(x)+g(y), 其中f(x)仅是自变量x的函数，g(y)仅是因变量y的函数。
这种形式的方程，我们可以采用分离变量法来求解。
具体来说，就是将方程两边联合，然后分离出x和y的部分，将其进行积分，最后得到通解。
实际上，分离变量法就是一种利用变量分离来求解微分方程的方法。
2）齐次微分方程法对于方程y'=f(x,y), 其中f(x,y)是x,y的线性组合，若对于任意实数a,b,都有f(ax,by)=f(x,y)两边等式成立，则称其为齐次微分方程。
此时，我们可以引入新的变量z=y/x，将原方程化为z'=f(z)-x/z，这是一个齐次微分方程。
高数微分方程PPT
应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。
高数微分方程总结(一)
高数微分方程总结(一)前言高等数学（高数）是大学数学的重要基础课程之一，微分方程则是高等数学中的一大难点。
本文将对高数微分方程进行总结，希望能够对学习高数微分方程的同学提供一些帮助和指导。
正文什么是微分方程•微分方程是描述函数变化率的方程。
•包含未知函数、函数的导数及自变量的关系。
微分方程的分类1.常微分方程：–只包含有限个未知函数及其导数的方程。
–常微分方程的阶数为未知函数导数的最高阶数。
2.偏微分方程：–包含多个未知函数及其偏导数的方程。
–偏微分方程的阶数为未知函数偏导数的最高阶数。
微分方程的解法1.可分离变量法：–将未知函数与自变量的各项分离，在两边同时积分得到解。
2.齐次方程法：–换元化为可分离变量方程。
3.一阶线性方程：–使用积分因子法进行求解。
4.变量分离法：–将微分方程转化为关于不同变量的可分离变量方程。
5.常数变易法：–猜测一个常数解，进行代入验证，得到通解。
6.特征方程法：–对常数系数线性齐次微分方程，使用特征方程法求解。
微分方程应用领域•物理学：描述物理系统的运动规律。
•工程学：分析工程问题中的变化过程。
•经济学：研究经济发展、增长和波动等问题。
•生物学：描述生物体内的各种动态过程。
结尾通过对高数微分方程的总结，我们了解了微分方程的定义、分类以及常见的解法。
微分方程在许多学科领域都有广泛的应用，对于深入研究这些学科具有重要意义。
希望本文对正在学习高数微分方程的同学们有所帮助，加油！继续常见的微分方程类型•一阶线性常微分方程•一阶非线性常微分方程•一阶高阶常微分方程•二阶常系数齐次线性微分方程•二阶常系数非齐次线性微分方程•高阶齐次线性微分方程•高阶非齐次线性微分方程•可降阶的高阶微分方程微分方程的应用示例1.挂钟摆动的微分方程：–使用二阶常系数齐次线性微分方程描述，可求得钟摆的运动规律。
2.放射性衰变的微分方程：–使用一阶非线性常微分方程描述，可得到放射性物质的衰变速率。
3.电路中的无源电报方程：–使用二阶常系数非齐次线性微分方程描述，可分析电路中电流和电压的变化。
高数课件第七章微分方程第二节可分离变量微分方程
h h r
1m
流量系数
孔口截面面积 重力加速度
O hdh
即 设在
dV k S 2 g h d t
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0 ),
对应下降体积 d V r 2 dh
h h r
1m
π
O hdh
h
t 0
14 π 10 3 3 5 2 t (1 h h 2 ) 7 7 15k S 2 g
1
则得容 以k 0.62, S 104 m2 , g 9.8 m s 2 代入上式， 器内水面高度 h 与时间 t 的关系:
5 10 3 3 t 1.068 10 (1 h 2 h 2 ) (s) 7 7 可见水流完所需时间为 t 1.068 104 (s)
y x 1 1
2
例4. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
tan u x C
所求通解: tan( x y 1) x C ( C 为任意常数 )
练习:
解法 1 分离变量 即
e y e x C ( ex C ) e y 1 0 ( C < 0 ) u 1 eu
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t mg k m 代入上式后化简, 得特解 v (1 e ) k
例8. 有高 1 m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积 开始时容器内盛满了水, 求水
高数微分方程
由题设条件
(λ > 0衰变系数 )
ln M = − λ t + ln C ,
− λt
dM = −λdt M
dM ∫ M = ∫ − λdt ,
即M = Ce − λt ,
衰变规律
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代入 M
t =0
= M 0 得 M 0 = Ce 0 = C ,
湘潭大学数学与计算科学学院
∴ M = M 0e
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三、可化为可分离变量的微分方程
1. 微分方程 dy = f (ax + by ) dx
(a,b是常数 )
作 量 换 = ax + by,两 对 求导 得 变 代 z 端 x 导， ，
dz dy =a+b , dx dx dy dz dz 因 = f ( z ), 所以 = a + bf ( z ), 或 = dx。 a + bf ( z ) dx dx dz 两端分别积分， 两端分别积分，得 x = ∫ a + bf (z) + C。
第二节
§4.2.1
一阶微分方程
解的存在性与唯一性定理
湘潭大学数学与计算科学学院
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1
定理
对于微分方程
dy = f ( x, y) dx
和初始条件
如果 f ( x , y )在矩形区域 D : x − x0 ≤ a , y − y0 ≤ b 内连续， 内连续，而且对于 y适合 Lipschitz 条件 f ( x , y1 ) − f ( x , y2 ) ≤ L y1 − y2 ,
1 y − − y′ x tan ∠OMN = y 1− xy′ 1 tan ∠NMR = y′
高数常系数非齐次线性微分方程
边值问题具有唯一性、存在性和稳定性等重 要性质。在适当的条件下，边值问题的解是 存在且唯一的，同时解对边界条件的微小变 化具有稳定性。
边值问题的求解方法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
分离变量法
对于某些具有特殊形式 的常系数非齐次线性微 分方程，可以通过分离 变量的方法将其转化为 可解的常微分方程或偏 微分方程进行求解。
积分变换法
利用积分变换（如傅里 叶变换、拉普拉斯变换 等）将边值问题转化为 等价的积分方程或常微 分方程进行求解。这种 方法适用于具有特定性
质的边值问题。
有限差分法
将边值问题的定义域离 散化，构造差分方程近 似代替微分方程，从而 将边值问题转化为线性 代数方程组进行求解。 这种方法适用于求解复 杂区域上的边值问题。
02
常系数非齐次线性微分方程的基本解
法
分离变量法
分离变量法的基本思想
将非齐次线性微分方程中的未知函数和自变量进行分离， 使得方程两边分别只含有未知函数和自变量的函数，然后 通过积分求解。
分离变量法的适用条件
适用于一阶常系数非齐次线性微分方程，且方程中的非齐 次项可以表示为自变量的函数与未知函数的乘积。
数值解法的应用举例
要点一
物理学中的应用
在物理学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述物体的运动规律， 如振动、波动等现象。通过数值解法 ，可以对这些现象进行模拟和预测。
要点二
工程学中的应用
在工程学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述系统的动态特性， 如控制系统的稳定性、电路的响应等 。通过数值解法，可以对这些系统的 性能进行分析和优化。
常数变易法的求解步骤
先设出与原方程对应的齐次方程的通解，然后将通解中的常数替换为新的未知函数，代入原方程求解得 到新未知函数的方程，最后解出新未知函数并代回通解得到原方程的解。
高数第十二章 微分方程
可分离 变量的 微分方程
内容小结
1.通解不一定是方程的全部解 例如, 方程
( x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件(初始条件)定常数 .
28
3. 解微分方程应用题的方法和步骤
d2x 程 2 k 2 x 0的解. 当 k≠0 时,求满足初始条 dt dx 0的特解. 件 x t 0 A, dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC 2 cos kt , dt d2x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt d2x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt 13
y '' f ( x , y , y ') y | y , y ' | y ' x x 0 x x 0 0 0
几何意义:求过定点 ( x0 , y0 ) 且在定点的切线的斜 率为定值 y '0 的积分曲线.
12
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分方
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例 3)
3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例4 )
积分
y 2 xdx 即 y x 2 C ,
将 x 1时, y 2代入上式， 求得C 1,
故所求曲线方程为 y x 2 1 .
3
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
《高数全微分方程》课件
参数方程法
总结词
参数方程法是通过引入参数，将全微分 方程转化为参数微分方程，然后求解参 数的微分，最后得到原全微分方程的解 。
VS
详细描述
参数方程法的步骤包括引入参数、将全微 分方程转化为参数微分方程、求解参数的 微分、将参数的解代回原方程，最后得到 原全微分方程的解。这种方法适用于具有 参数形式的全微分方程，能够简化求解过 程。
变量分离法
总结词
变量分离法是将全微分方程转化为可分离变量的微分方程，然后分别求解每个变量的微分，最后得到 原全微分方程的解。
详细描述
变量分离法的步骤包括将全微分方程转化为可分离变量的微分方程、分别求解每个变量的微分、将各 个变量的解代回原方程，最后得到原全微分方程的解。这种方法适用于具有可分离变量形式的全微分 方程，能够简化求解过程。
总结词
全微分方程描述了曲线的斜率在各个方向上的变化情 况。
详细描述
全微分方程可以表示曲线上任意一点的切线斜率的变 化情况，即该点处曲线在各个方向上的弯曲程度。通 过求解全微分方程，可以了解曲线的弯曲程度，从而 更好地理解曲线的几何特性。
曲线的弯曲程度与全微分方程
总结词
全微分方程描述了曲线的弯曲程度在各个方向上的变 化情况。
二阶全微分方程实例
总结词
二阶全微分方程是描述物理现象和工程问题的重要工具，具有丰富的数学性质和实际应 用价值。
详细描述
二阶全微分方程的一般形式为 d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中 f(x, y, z) 是关于 x、y 和 z 的函数。通过求解二阶全微分方程，可以找到满足特定边界条件的解，从而解决实际
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大一高数微分方程知识点
大一高数微分方程知识点微分方程是数学中重要的分支，它是研究自然现象、工程问题以及物理学和生物学等领域中的变化规律的重要工具。
在大一的高数课程中，微分方程也是一个重要的内容。
下面我将介绍大一高数微分方程的一些基本知识点。
一、微分方程的基本概念微分方程是由未知函数及其导数构成的方程。
通常表示为dy/dx=f(x)。
其中dy/dx表示函数y对自变量x的导数，f(x)表示已知函数。
二、常微分方程和偏微分方程在微分方程中，常微分方程和偏微分方程是两个重要的分类。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程则涉及多个自变量。
三、一阶微分方程及其求解方法一阶微分方程是微分方程中最简单的一种形式，表示为dy/dx=f(x, y)。
常见的一阶微分方程求解方法包括：分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
1. 分离变量法：将变量分离后进行积分求解。
例如，对于dy/dx=2x，可以将方程改写为dy=2xdx，再进行积分。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(y/x)的方程，可以利用变量代换的方法将其转化为分离变量的形式。
3. 一阶线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，可以利用积分因子的方法进行求解。
四、二阶微分方程及其求解方法二阶微分方程是一阶微分方程的推广，表示为d²y/dx²=f(x, y, dy/dx)。
常见的二阶微分方程求解方法包括：特征方程法、常系数线性齐次微分方程法、常系数线性非齐次微分方程法等。
1. 特征方程法：对于形如d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0的方程，通过求解其特征方程可以得到方程的通解。
2. 常系数线性齐次微分方程法：对于形如d²y/dx²+pdy/dx+qy=0的齐次方程，通过特征方程法求解可以得到通解。
3. 常系数线性非齐次微分方程法：对于形如d²y/dx²+pdy/dx+qy=f(x)的非齐次方程，可以利用常数变易法求解。
高数 第三节 高阶微分方程
线性无关. 线性无关 则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关 例如， 在(−∞ , +∞ )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关 线性相关; 线性相关 又如， 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关 线性无关.
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则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
1 y1 = 2 ( y1 + y2) = eα x cos β x 1 y2 = 2i ( y1 − y2) = eα x sin β x
因此原方程的通解为
y = eα x (C cos β x +C2 sin β x) 1
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2
y
x =0
=1, y′
x =0
=3
代入方程得
(1+ x )p′ = 2xp
2
分离变量
2
积分得 ln p = ln(1+ x ) + ln C , 1 利用 y′
= 3, 得C = 3,于是有 y′ = 3(1+ x2 ) x =0 1
3
两端再积分得 y = x +3x +C2 利用 y
x =0
, =1, 得C2 =1 因此所求特解为
第三节 高阶微分方程
一、 y
(n)
第六章
= f (x) 型的微分方程
二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数线性齐次微分方程
一、1、y(n) = f (x) 型的微分方程 、
令 z=y
(n−1)
,
因此
z = ∫ f (x)dx + C 1
高数下册第七章微分方程一、二、三节
通过适当的变量代换，将伯努利方程化为可分离变量或一阶线性微分方程进行求解。例如，当 $n > 0$ 时，可作变换 $z = y^{1-n}$，将方程化为关于 $z$ 的一阶线性微分方程。
03 二阶常系数线性微分方程 求解
二阶常系数齐次线性微分方程通解结构
方程形式
$y'' + py' + qy = 0$，其中$p, q$为常数。
注意事项
在求解共振情况下的特解时，需要 注意避免与齐次方程的通解形式重 复，否则会导致求解错误。
应用举例：弹簧振子模型分析
01
02
03
04
弹簧振子模型
弹簧振子是一个经典的 物理模型，其运动方程 可以表示为二阶常系数 线性微分方程。
求解方法
通过求解弹簧振子的运 动方程，可以得到其运 动规律，如振幅、周期
、频率等。
应用场景
弹簧振子模型在机械振 动、电磁振荡等领域有 广泛的应用，是工程技 术和科学研究中不可或
缺的重要工具。
注意事项
在分析弹簧振子模型时 ，需要注意选择合适的 坐标系和初始条件，以 确保求解结果的正确性 和有效性。同时，还需 要考虑阻尼、外力等因 素对振子运动的影响。
04 高阶微分方程及降阶法简 介
缺x型降阶法
对于形如$y''=f(y,y')$的方程，同样令$y'=p$，则$y''=frac{dp}{dy}p'$，将原方程化为关于 p的一阶微分方程。注意此时自变量为y。
y*型降阶法
对于形如$y''=f(y',y/x)$的方程，令$y'=p$，则$y''=pfrac{dp}{dy}$，将原方程化为关于p 的一阶微分方程。注意此时自变量为y/x。
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思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0
(4) 2 y dx ( y3 x) dy 0
(5) ( y ln x 2) y dx x dy
提示:
y 1dy dx
f (x) f (x) cos x
则有
f (0) 0
利用公式可求出
f (x) 1 (cos x sin x ex ) 2
2. 设有微分方程 y y f (x), 其中
2, 0 x 1 f (x) 0 , x 1
试求此方程满足初始条件
的连续解.
解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得
dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)yn dy
dz
(1
n)
P(
x)
z
dx (1
n)
Q(x)
dx
(线性方程)
dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
例6. 求方程
的通解.
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a ln x dx x
其通解为
z
e
1 x
dx
(a
e
1 dx
x(
3
x
2e
1 dx
x dx
C
)
3x2 x( C)
2
由 y x1 1，代入得
C 1 2
y 3x3 1 x 22
例4.求(2x y2 )dy ydx 0的解.
解 : dx 2 x y dy y
通解
:
x
e
2dy
y(
ye
2 y
dy
dy
C
)
1 y2 (
y3dy C )
ln
x)
e
1 x
dx
dx
C
x C a ( ln x)2
将 z y1代入, 得原方2程通解:
内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
y e P(x)dx Q(x) e P(x)dx dx C
2. 伯努利方程
令 u y1n , 化为线性方程求解.
x2
x2
x2
x2
e 2 (2 xe 2 dx C ) e 2 (2e 2 C )
x2
Ce 2 2
x2
f (0) 0 C 2 f ( x) 2e 2 2
二、伯努利 ( Bernoulli )方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
yn d y P(x)y1n Q(x)
1 y2
(1 4
y4
C
)
y2 4
Cy2
例5.设f ( x)连续,满足方程
x
tf (t)dt
x2
f ( x),求f ( x).
0
分析：等式两Biblioteka 对x求导解 : xf ( x) 2x f ( x)
即 f ( x) xf ( x) 2x （一阶线性方程）
f ( x) e xdx(2 xe xdxdx C )
e 2 xdx ( xe x2e 2 xdxdx C )
e x2 ( xdx C )
ex2 (1 x2 C) 2
例2. 求 dy 1 y ex 的解. dx x x
解 : 令P 1 x
ex Q
x
y
e
1 dx x
(
e
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
1 x
(
e
xdx
C)
1 (ex C) x
y
x
可分离 变量方程
dy y ln y
齐次方程
dx x x
dy 1 y x2 线性方程
dx 2x
2
dx 1 x y2
dy 2y
2
线性方程
dy 2 y sin x y2 dx x x
伯努利 方程
备用题
1. 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
令 u xt
提示:
x
f (x) sin x 0 f (u)d u
故通解为
y C e P(x)dx
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x)d x , 则
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
即
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxeC P(x)dx
第四节
第十二章
一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
Q(
x)
e
P(
x)
d
x
dx
C
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
例1.求y 2x y xex2的通解.
解 : 令P 2x Q xex2
通解 : y e P( x)dx ( Q( x)e P( x)dxdx C )
例3.求 xy y x 的解. ln x
解 : y 1 y 1
x ln x
y
e
1 dx
x(
1
e
1 x
dx
dx
C
)
ln x
eln x ( 1 eln xdx C ) ln x
x
(
x
1 ln
dx x
C
)
x(lnln x C)
ex
: 求y
1 x
y
3x2
,
y
|x1
1的特解.
解
:
y
y y 2, 0 x 1 y x0 0
y e dx 2e dx dx C1
ex ( 2 ex C1) 2 C1ex
利用 y x 0 0 得 C1 2
故有
y 2 2ex (0 x 1)
2) 再解定解问题
y y 0 , x 1 y x 1 y(1) 2 2e1
此齐次线性方程的通解为 y C2ex (x 1)
利用衔接条件得 C2 2(e 1)
因此有
y 2(e 1) ex (x 1)
3) 原问题的解为
y
2(1ex ), 2(e 1) ex
0 ,
x
x 1
1