学案与评测理数苏教：第9单元 达标测评卷九

达标测评卷九(圆锥曲线与方程)
班级：____________ 姓名：____________ 成绩：________
时间：120分钟 满分：160分
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上) 1. 椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝4，b ＝1，则椭圆的标准方程为________．
2. 一个动点到两个定点A ，B 的距离的差为定值(等于两个定点A ，B 的距离)，则动点的轨迹为________．
3. 抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．
4. 设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆方程是________．
5. 已知双曲线x 212－y 2
4＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一
个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
6. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)两点，若x 1
＋x 2＝3p ，则PQ ＝________.
7. 已知椭圆x 2100＋y 2
36＝1上一点P 到其左、右焦点F 1，F 2的距离之比为1∶3，则点P
到左、右两条准线的距离分别为________和________．
8. (2010·江西)点A (x 0，y 0)在双曲线x 24－y 2
32＝1的右支上，若点A 到右焦点的距离等于
2x 0，则x 0＝________.
9. 抛物线的顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，而焦点是双曲线的左顶点，则此抛物线方程为________．
10. 已知椭圆E 的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作斜率为2的直线，交椭圆E 于P 点．若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．
11. 过(－
43
3
，1)和(4，－3)两点的双曲线的标准方程为________．
12. (2010·全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直
线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →
，则p ＝________.
13. 与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________． 14. 以F 1(－1,0)、F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (14分)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1的大小．
16. (14分)已知动圆过点F1(－5,0)，且与圆F2：x2＋y2－10x－11＝0相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
17. (14分)已知双曲线两顶点之间的距离是6，渐近线方程为y ＝±3
2x ，求该双曲线的
标准方程．
18. (16分)已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若FA ＝2FB ，求k 的值．
19. (16分)如图，已知圆A ：(x －1)2＋y 2＝4与x 轴负半轴交于B 点，过B 的弦BE 与
y 轴正半轴交于D 点，且2BD ＝DE ，曲线C 是以A ，B 为焦点且过D 点的椭圆．
(1)求椭圆的方程；
(2)点P 在椭圆C 上运动，点Q 在圆A 上运动，求PQ ＋PD 的最大值．
20. (16分)如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，焦点F 在直线m ：y ＝4
3
(x －1)上，直线m 与抛物线相交于A ，B 两点，P 为抛物线上一动点(不同于A ，B )，直线PA ，PB 分别交该抛物线的准线l 于点M ，N .
(1)求抛物线方程；
(2)求证：以MN 为直径的圆C 经过焦点F ，且当P 为抛物线的顶点时，圆C 与直线m 相切．
参考答案
1. x 2
16＋y 2＝1 2. 一条射线 3. y ＝－18 4. x 22＋y 2＝1 5. ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－33，
33 6. 4p 7. 254 754 8. 2 9. y 2＝－12x 10. 5
3
11.
x 24
－y 2
3
＝1 12. 2
13. y 2＝8x (x >0)或y ＝0(x <0) 14.
x 25
＋y 2
4
＝1 15. 由抛物线的定义可知AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，且AA 1，BB 1都平行于x 轴， ∴∠AA 1F ＝∠AFA 1＝∠A 1FO ，∠BB 1F ＝∠BFB 1＝∠B 1FO ， ∴∠A 1FB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝1
2
×180°＝90°.
16. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝36，设动圆圆心为C ，∵动圆过点F 1(－5,0)，∴半径为CF 1，又圆C 与圆F 2相外切，∴CF 2＝CF 1＋6，即CF 2－CF 1＝6<10，由双曲线定义可知点C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，其方程为x 29－y 2
16
＝1(x ≤－3)．
17. 设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线的标准方程为x 24－y 2
9＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，24λ＝6，解得λ＝94，此时双曲线标准方程为x 29－4y 2
81＝1；
当λ<0时，2
－9λ＝6，解得λ＝－1，此时双曲线标准方程为y 29－x 2
4
＝1，
∴所求双曲线的方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 2
4＝1.
18. 抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，
直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点P (－2,0)．
如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N .
由FA ＝2FB ，得AM ＝2BN ，∴点B 为AP 的中点，连接OB ，则OB ＝1
2
AF ，∴OB ＝
BF ，即点B 的横坐标为1，代入抛物线方程得点B 的坐标为(1,22)，
∴k ＝22－01－－2＝223
.
19. (1)设点D (0，y 1)，E (x 2，y 2)，由题意可知2BD ＝DE ，又B (－1,0)，E (x 2，y 2)在圆
A ：(x －1)2＋y 2＝4上，易得点E (2，3)，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫0，33，所以在椭圆中b ＝33，c ＝1， 解得
a 2＝
43，即椭圆方程为3
4
x 2＋3y 2＝1. (2)PQ ＋PD ≤(PA ＋2)＋PD ＝(PA ＋PD )＋2， PA ＋PD ＝
4
33
－PB ＋PD ≤
4
3
3
＋DB ＝2
3，所以P 在DB 延长线与椭圆交点处，Q 在PA 延长线与圆的交点处，得到最大值为2＋2
3.
20. (1)依题意，焦点F (1,0)，抛物线方程为y 2＝4x .
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝4x ，y ＝4
3
x －1得4x 2－17x ＋4＝0，
解得x 1＝4，x 2＝14，∴A (4,4)，B (1
4
，－1)．
设P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 24，t ，则k PA ＝t －4t 24
－4
＝4t ＋4，直线PA ：y －4＝4
t ＋4(x －4)，令x ＝－1，
得y M ＝4t －4t ＋4，即M (－1，4t －4t ＋4)，同理，直线PB ：y ＋1＝4t －1⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －14，令x ＝－1，
得y N ＝－t －4
t －1，即N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－t －4t －1，
∴MF →·NF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－4t －4t ＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t ＋4t －1＝0， ∴MF ⊥NF ，∴以MN 为直径的圆C 经过焦点F .
当P 为抛物线的顶点时，t ＝0，可得MN 中点，即圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，CF →＝⎝
⎛⎭⎪⎫
2，－32，
AB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－154，－5，∴CF →·AB →
＝0，即CF ⊥AB ，
∴圆C 与直线m 相切．。