山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷数学理2 Word版含答案
山东省青岛市2014届高三第二次模拟考试数学(理科)试题(有答案)
高三自评试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 1231. R ()AB =A ．{|x 10}x -<≤ 2. 为虚数单位，则a b += A ．4-3. 数列A ．5B ．1-C ．0D ．14. 函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则()4f π的值为A B ．0 C ．1 D5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =A ．2-B ．1-C ．0D ．16.值是A ．0 7. 设n 中x A ．4 8. 且a >A ．(9. 10. 方程(f A. 4个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线214y x =的焦点坐标为 ；； 已知||2, |4a b =，以, a b ，则a 和b 的夹角在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中位男生.如果2位男（Ⅰ）求函数(3)1y f x =-+的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知ABC ∆中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A 满足()26A f π-=7a =，sin sin B C +=ABC ∆的面积．17．（本小题满分12分）某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了18名学生作为志愿者，参加相关的活 动事宜．学生来源人数如下表：学院 外语学院生命科学学院化工学院艺术学院人数4 6 3 518．⊥AE 19．2n 20．OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；A（Ⅲ）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值. 21．（本小题满分14分）已知函数32()(R)f x x x x =-+∈，()g x 满足()(R,>0)ag x a x x'=∈，且()g e a =，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）已知1()()x h x ef x -=，求()h x 在(1,(1))h 处的切线方程；（Ⅱ）若存在[1,]x e ∈，使得()g x ≥2(2)x a x -++成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数(),1()(),1f x x F x g x x <⎧=⎨≥⎩，O 为坐标原点，若对于()y F x =在1x ≤-时的图象上的任一点P ，在曲线()y F x =(R)x ∈上总存在一点Q ，使得0OP OQ ⋅<，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．高三自评试题数学（理科）参考答案及评分标准11.16. 解：（Ⅰ）sin 2= y f ∴=y f ∴= 由2k πy f ∴=∵02A π<<，∴3A π=．由正弦定理得：sin sin sin b cB C A a++=，即1472b c +=⨯，∴13b c += ……………………………………………………9分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：22()22cos a b c bc bc A =+--，即491693bc =-，∴40bc = ………………………………………………………11分∴11sin 4022ABC S bc A ∆==⨯=…………………………………………12分 17．解: (Ⅰ)则()P A (Ⅱ) ξ(P η=(P η=(P η=所以η 所以9156217()135153153519E η=⨯+⨯+⨯=. ……………………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：(Ⅰ)连结BD 和AC 交于O ，连结OF ， …………………………………………1分ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，BE OF //∴，…………………………………………………………………………………3分BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面ACF ．…………………………………………………………………………4分(Ⅱ)AE ∴AE∴CD DE ∴以D 则E AE AE 22CD =，(0,22,0)C ∴由为正方形可得：(2,2DB DA DC =+=设平面的法向量为111(,n x y =(0,22,BE =--(1,0,0)FE =由1100n BE n FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111220y z x -⇒=1(0,1,n ∴= ……………………………………………………………………………8分设平面BCF 的法向量为2222(,,)n x y z =，(2,0,2)BC =--，(1,CF =-由222222220000x z n BC x n CF ⎧--=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩，令21y =，则2x =，2z =-2(22,1,n ∴=- ……………………………………………………………………10分设二面角C BF E --的平面角的大小为θ，则1212||||n n ⋅=-是以a =21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++1111()[1()]322231121122n n n --=+=--- ………………………………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动 圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切||PF ⎧∴⎨⎩ ∴圆心a∴=故圆心 （II由216x x ⎧⎪⎨⎪⎩||OQ ∴由216x x =⎧⎪⎨⎪⎩1212224249,716716m y y y y m m ∴+=-=-++ ∴||MN ==21|y y =-=千教网（ ） 千万份课件，学案，试题全部免费下载千教网（ ） 打造全国最全最大的教育资源免费下载基地2256(1)716m m +==+………………………………8分 ∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++ ∴ （到直线:MN 令S 7t t +≥ ∴ （Ⅰ）h (1)0h ∴=，(1)1h '=-∴()h x 在(1,(1))h 处的切线方程为：(1)y x =--，即1y x =-+………………………4分 （Ⅱ）()(R,>0)a g x a x x'=∈，()ln g x a x c ∴=+ ()ln 0g e a e c a c a c ∴=+=+=⇒=，从而()ln g x a x =……………………………5分千教网（ ） 千万份课件，学案，试题全部免费下载千教网（ ） 打造全国最全最大的教育资源免费下载基地由()g x ≥2(2)x a x -++得：2(ln )2x x a x x -≤-． 由于[1,]x e ∈时，ln 1x x ≤≤，且等号不能同时成立，所以ln x x <，ln 0x x ->． 从而22ln x x a x x -≤-，为满足题意，必须2max 2()ln x x a x x-≤-． ………………………………6分 设()t x x ∈从而(t '所以(t x PQ t ≤-2OP OQ t at ⋅=--由于0OP OQ ⋅<，所以 当t =- 当t <-令()(1)ln()t t t ϕ=--(1)t <-，则2()[(1)ln()]t t t t ϕ'=-- 1t <-，10, ln()0t t t ∴-<-<，()0t ϕ'∴>，从而1()(1)ln()t t t ϕ=--在(,1)-∞-上为增函数，由于t →-∞时，1()0(1)ln()t t t ϕ=→--，()0t ϕ∴>，0a ∴≤千教网（ ） 千万份课件，学案，试题全部免费下载千教网（ ） 打造全国最全最大的教育资源免费下载基地 综上可知，a 的取值范围是(,0] ．……………………………………………………14分。
山东省东营市2014届高三第二次模拟数学(理)试题(有答案)
保密★启用前 试卷类型：A教学质量检测 理科数学注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间为120分钟， 满分150分．2.把选择题选出的答案标号涂在答题卡上．3.第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答，否则不予评分．第Ⅰ卷 选择题（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案填写在答题卷相应位置． 1．已知集合{}{}R x y y N x x x M x∈==≥=,2,2，则MN = ( )A ．）（1,0B ．]1,0[C ．)1,0[D ．]1,0(2．“实数1a =”是“复数(1)ai i +（,a R i ∈的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分条件又不必要条件 3．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于 （ ）A ．142B ．45C ．56D ．674．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A ．48cm 3 B ．98cm 3 C ．88cm 3 D ．78cm 35．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-6．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减．则ω的取值范围是 （ ）A ．15[,]24B ． 13[,]24C ． 1(0,]2D ．(0,2]7．函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以是 ( )x D ．3()()()22f x x x x ππ=--8小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为 （ ） A ． 480 B ． 481 C ． 482 D ． 4839． 偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ,且在]1,0[∈x 时，2)(x x f =，则关于x 的方程xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=101)(在]3,2[-上的根的个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线bxy a=对称，则该双曲线的离心率为 （ ） A B C D ．2第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为x 4万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则=x ___ ____ 吨．12．设8280128()x a a a x a x a x -=++++，若685-=+a a ，则实数a 的值为 ．13．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-0306k y x x y x ，且y x z 42+=的最小值为6，则常数k = ．14．已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．15．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围． 17．（本小题满分12分）在对某渔业产品的质量调研中，从甲，乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）． 下表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量15≥毫克时为优质品．（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲，乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ．21006542098874286438210乙地甲地18．（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点． （Ⅰ）求证：BD ⊥FG ；（Ⅱ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由． （Ⅲ）当二面角B —PC —D 的大小为32π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值．19．（本小题满分12分）设数列{}n a 为等差数列，且145=a ，720a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，123b =且132(2,)n n S S n n N -=+≥∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式; （Ⅱ）若,1,2,3,n n n c a b n =⋅=,n T 为数列{}n c 的前n 项和，n T m <对*n N ∈恒成立，求m 的最小值．20．（本小题满分13分）如图，已知椭圆134:22=+y x C ，直线l 的方程为4=x ，过右焦点F 的直线'l 与椭圆交于异于左顶点A 的Q P ,两点，直线AP ，AQ 交直线l 分别于点M ，N ． （Ⅰ）当29=⋅AQ AP 时，求此时直线'l 的方程； （Ⅱ）试问M ，N 两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（本小题满分14分）设函数ax xxx f -=ln )(． （Ⅰ）若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（Ⅱ）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围．教学质量检测 理科数学参考答案一．选择题：DADBD ACCCB 二．填空题：11．20； 12．21； 13．－3； 14．43π； 15．21三．解答题：16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-=-A A B A 6cos 6cos 22cos 2cos ππ 得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭……………………………………………………………3分 化简得23sin =B ………………………………………………………………………………………………5分 故323ππ或=B ．………………………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）因为b a ≤，所以3B π=，……………………………………………………………………………７分由正弦定理2sin sin sin 2a c bA C B====，得C c A a sin 2,sin 2==， 故A A A A C A c a cos 23sin 2332sin sin 2sin sin 221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-π6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ……９分因为b a ≤，所以323ππ<≤A ，266πππ<-≤A ，……………………………………………………10分 所以⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3,236sin 321πA c a ． ……………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）甲厂抽取的样品中优等品有7件，优等品率为710，……………………………………2分 乙厂抽取的样品中优等品有8件，优等品率为84105=．…………………………………………………4分 （Ⅱ）ξ的取值为1，2，3．………………………………………………………………………………6分12823101(1)15C C P C ξ⋅===，21823107(2)15C C P C ξ⋅===，157)3(3100238=⋅==C C C P ξ……………………9分所以ξ的分布列为…………………………………………………………………………………………………………………10分 故的数学期望为17712123.1515155E ξ=⨯+⨯+⨯=（） …………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：方法一：（Ⅰ）∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD ，AC 交于点E∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD ， ∴BD ⊥平面APC ………………………………………………………2分 ∵FG ⊂平面PAC ，∴BD ⊥FG ……………………………………………………………………3分 （Ⅱ）当G 为EC 中点，即AG=34AC 时，FG ∥平面PBD ，……………………………………………4分 连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG ∥PE ，………………………………………………5分 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，故FG ∥平面PBD ．……………………………………………6分 （Ⅲ）作BH ⊥PC 于H ，连接DH ，∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，∴PB=PD ，又∵BC=DC ，PC=PC ，∴△PCB ≌△PCD ，∴DH ⊥PC ，且DH=BH ，∴∠BHD 是二面角B －PC －D 的平面角．即,32π=∠BHD ………………………………………………………………………………………7分 ∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角 …………………………………8分连结EH ，则PC EH BHE BD EH ⊥=∠⊥,3,π，tan BEBHE EH∴∠==而BE EC =，,33sin ,3==∠∴=∴EC EH PCA EH EC …………………………………………10分,22tan =∠∴PCA ……………………………………………………………………………………11分 ∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22………………………………………………………12分 方法二：（Ⅰ）以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0）D （0，1，0），P （0，0，a ）（a>0）,)20)(0,,(),2,21,21(),0,21,21(<<m m m G a F E …………1分∵11(1,1,0),(,,)222a BD FG m m =-=---，110022BD FG m m ⎛⎫⎛⎫⋅=--+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………2分∴BD ⊥FG ………………………………………………………………………………3分（Ⅱ）要使FG//平面PBD ，只需FG//EP ，而11,,22EP a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由FG EP λ=，可得：11222m a a λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12λ=-，34m =，…………………………………………………………………………………5分 33,,044G ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，34AG AC =，故当34AG AC =时，FG//平面PBD ………………………6分（Ⅲ）设平面PBC 的一个法向量为(),,u x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BC u PC u ，而)0,1,0(),,1,1(=-=BC a PC ⎩⎨⎧==-+∴0y az y x ，取1z =，得)1,0,(a u =，……………………8分 同理可得平面PDC 的一个法向量)1,,0(a v =，设v u ,所成的角为θ，则,21|32cos||cos |==πθ 即,21111,21||||22=+⋅+∴=a a v u v u 1=∴a …………………………………………10分∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角，2221tan ===∠∴AC PA PCA ∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22…………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 数列{}n a 为等差数列，公差751() 3 2d a a ==－，易得21=a ， 所以 13-=n a n ……………………………………………………………………………………1分 由132n n S S -=+，得32n n n S S b =-+，即22n n b S =－， 所以21222()b b b =-+，又123b =，所以229b =，2113b b = ………………………………………2分由132n n S S -=+， 当3n ≥时,得1232n n S S --=+,两式相减得：1123()n n n n S S S S ----=-，即13n n b b -=，所以)3≥…………………4分 ，所以{}n b 是以……………5分6分 8分9分11分∵n T m <对n N +∈恒成立，∴2≥m ∴m 的最小值是2………………………………12分20． （本小题满分13分）解：（Ⅰ）①当直线PQ 的斜率不存在时，由)0,1(F 可知PQ 方程为1=x代入椭圆134:22=+y x C 得)23,1(),23,1(-Q P 又)0,2(-A ),23,3(),23,3(-==∴274AP AQ ⋅=不满足……………………………………2分 ②当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 方程为)0)(1(≠-=k x k y代入椭圆134:22=+y x C 得01248)43(2222=-+-+k x k x k …………………………3分 设),(),,(2211y x Q y x P 得2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+…………………………4分 222121221221439)1()1)(1(k k x x x x k x x k y y +-=++--=--=2943274)(2)2)(2(222121212121=+=++++=+++=⋅k k y y x x x x y y x x AQ AP26±=∴k 故直线'l 的方程； ()126-±=x y ………………………………………………6分 （Ⅱ）AP 的方程为11(2)2y y x x =++与l 的方程：4x =联立 得：116(4,)2y M x + 同理得226(4,)2y N x +…………………………………………………8分 12121212126636222()4M N y y y y y y x x x x x x ∴⋅=⋅=+++++ ①k 不存在时，3336()22912(11)4M N y y ⋅⋅-⋅==-+++………………………………………………9分 ②k 存在时，2222223243494121643434M N k k y y k kk k-+⋅==--++++………………………………………12分 M ，N 两点的纵坐标之积为定值9- …………………………………………13分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知得x ＞0，x ≠1．因f (x )在(1)+∞，上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1)+∞，上恒成立． ………………1分所以当(1)x ∈+∞，时，max ()0f x '≤． 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x xx -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-，………………………………2分 故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1()4f x a '=-． 所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ……………………………………………4分（Ⅱ）命题“若存在212,[,],x x e e ∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于“当2[,]x e e ∈时，有()min max ()f x f x a '+≤”． …………………………………………………5分 由（Ⅰ），当2[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有min 1()4f x ≤”． ………………………………………………6分①当14a ≥时，由（1），()f x 在2[,]e e 上为减函数，则min ()f x =2221()24e f e ae =-≤，故21124a e -≥． ……………………………………………8分②当a <14时，由于'2111()()ln 24f x a x =--+-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（ⅰ）0a -≥，即0a ≤，'()0f x ≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是，min 1()()4f x f e e ae e ==-≥>，矛盾．……………………………………………10分 （ⅱ）0a -<，即104a <<，由'()f x 的单调性和值域知， 存在唯一20(,)x e e ∈，使'()0f x =，且满足：当0(,)x e x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数；当20(,)x x e ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数；所以，0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ==-≤，20(,)x e e ∈…………………………………………12分 所以，2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾．………………………13分 综上，得21124a e≥-………………………………………………………………………………14分。
最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-山东卷
最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-山东卷解析：C对于f(x)=ax，当a1时，f(x)在R上是增函数。
对于g(x)=(2-a)x，当2-a>0时，g(x)在R上是增函数；当2-a<0时，g(x)在R上是减函数。
所以当a>2时，f(x)是减函数，g(x)是增函数，两者同时成立，为充分必要条件。
答案选C。
4在平面直角坐标系内，点A(0,0)，点B(3,4)，点C(4,3)，则△ABC的面积为A5B6C7D8解析：BABC的面积可以用向量叉积求解，设向量BA=(3,-4)，向量CA=(4,-3)，则ABC的面积为1/2|BA×CA|=1/2|3×(-3)-4×4|=6.答案选B。
5已知集合A={x|x2-2x-3<0}，则A的取值范围是A(-∞,1)∪(3,∞)B(-∞,1)∪(3,∞)C(-∞,-1)∪(3,∞)D(-∞,-1)∪(1,3)∪(3,∞)解析：Dx2-2x-3=(x-3)(x+1)<0，解得x∈(-∞,-1)∪(3,∞)。
答案选D。
6已知函数f(x)=x3-3x2+5x-1，则f(x)的单调递减区间为A(-∞,1)B(1,2)C(2,+∞)D(1,+∞)解析：Af'(x)=3x2-6x+5，判别式△=6-4×3×5=-560的解不存在，f(x)在R上单调递减。
答案选A。
7已知集合A={x|x2+px+q>0}，其中p,q∈R，若A中至少有一个元素，则下列说法正确的是A p2-4q≤0B p2-4q>0C p2+4q≤0D p2+4q>0解析：B当A中至少有一个元素时，x2+px+q>0，即判别式△=p2-4q0.答案选B。
8已知函数f(x)=x2-2ax+a2+3a-1，若对于任意实数x，都有f(x)≥0，则a的取值范围是A(-∞,-2]∪[1,2]B(-∞,-2]∪[2,+∞)C[-1,2]D(-∞,-1]∪[2,+∞)解析：Bf(x)=x2-2ax+a2+3a-1=(x-a)2+(3a-1)，当a≥2或a≤-2时，(3a-1)≤0，所以f(x)≤0，不符合条件。
数学_2014年山东省某校高考数学二模试卷(理科)_(含答案)
2014年山东省某校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1. 已知集合A ＝{x ∈R||x|≤2}，B ＝{x ∈R|x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A (−∞, 2] B [1, 2] C [−2, 2] D [−2, 1]2. 函数f(x)是R 上的增函数且f(a)+f(b)>f(−a)+f(−b)则（ ） A a >b >0 B a −b >0 C a +b >0 D a >0，b >03. 过点(1, 0)且与直线x −2y −2=0平行的直线方程是( )A x −2y −1=0B x −2y +1=0C 2x +y −2=0D x +2y −1=04. 阅读如图所示的程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）A S <8B S <9C S <10D S <115. 样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A √65 B 65C √2D 26. 设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)⋅f(x +2)=13，若f(1)=2，则f(99)=( ) A 13 B 2 C 132D 2137. 由0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字且个位上的数字不能为1的3位数共有（ ）A 28个B 36个C 39个D 42个8. 实数x ，y 满足{y ≥1y ≤2x −1x +y ≤b ，如果目标函数z =x −y 的最小值为−2，则实数b 的值为（ ）A 0B 6C 7D 89. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且角A =60∘，若S △ABC =15√34，且5sinB =3sinC ，则ABC 的周长等于（ ）A 8+√19B 14C 10+3√5D 1810. 设互不相等的平面向量组a i (i =1, 2, 3,…)，满足①|a i |=1；②a i ⋅a i+1=0．若T m =a 1+a 2+...+a m (m ≥2)，则|T m |的取值集合为（ ）A {0, √2}B {1, √3}C {1, √2, √3}D {0, 1, √2}二、填空题：把答案填在答题卷中的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）． 11. 双曲线x 24−y 2m =1的焦距为4√2，则m =________． 12. 二项式(ax 2√x)5的展开式中常数项为160，则a 的值为________．13. 已知√2+23=2√23，√3+38=3√38，√4+415=4√415…，照此规律，第五个等式为________．14. 某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD(AB>AD)的周长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时长方形ABCD的面积为________．二、请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分。
2014年高考数学山东卷(理科)答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 i a -与2i b +互为共轭复数，所以2a =，1b =，所以()()22i 2i 34i a b +=+=+. 2. 解析 {}{}1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{}2,0,214x B y y x y y==∈=剟，所以{}{}{}131413A B x x y y x x =-<<=<剟 .评注 本题考查绝对值不等式的解法，指数函数的性质以及集合的运算.本题的易错点是绝对值不等式的求解.3. 解析 要使函数()f x 有意义，需使()22log 10x ->，即()22log 1x >，所以2log 1x >或2log 1x <-.解之得2x >或102x <<.故()f x 的定义域为()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.4. 解析 因为“方程30x ax b ++=至少有一个实根”等价于“方程30x ax b ++=的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程30x ax b ++=没有实根. x y a a <5 解析 因为x ya a <，01a <<，所以x y >，所以33x y >.6. 解析 由34,y x y x=⎧⎨=⎩得0x =或2x =或2x =-（舍）.所以()232402142404S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.评注 本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.7. 解析 由题图可知，第一组和第二组的频率之和为()0.240.1610.40+⨯=，故该实验共选取的志愿者有20500.40=人.所以第三组共有500.3618⨯=人，其中有疗效的人数 为18612-=.8. 解析 ()1,2,3,2.x x f x x x -⎧=⎨-<⎩…如图，作出()y f x =的图像，其中()2,1A ，则12OA k =. 要使方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则函数()f x 与()g x 的图像有两个不同的交点，由图可知，112k <<. 评注 本题考查方程的根与函数图像间的关系，考查学生利用数形结合思想分析问题、解决问题的能力.9. 解析 作出不等式组10,230x y x y --⎧⎨--⎩……表示的平面区域（如图中的阴影部分）.由于0a >，0b >，所以目标函数z ax by =+在点A ()2,1处取得最小值，即2a b +=解法一：())2222222520444a b a aa +=+=-+=-+…，即22a b +的最小值为4.2a b +=2=，即22a b +的最小值为4.评注 本题考查线性规划与最值问题、考查学生运算求解能力以及数形结合和转化与化归思)想的应用能力.10. 解析 设椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e 和2e ，则1e =2e =.因为12e e ⋅==414b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以b a =.故双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=，即0x =. 11. 解析 1x =，014302n x =→-+=→=，212423103n x =→-⨯+=-<→=， 22343304n x =→-⨯+=→=，2344430n =→-⨯+>→输出3n =.12. 解析 由tan AB AC A ⋅=，π6A =，得ππcos tan 66AB AC =，即πtan26π3cos6AB AC ==，所以11211sin 22326ABCS AB AC A =⋅=⨯⨯=△.13. 解析 如图，设1ABD S S =△，2PAB S S =，E 到平面ABD 的距离为1h ，C 到平面PAB 的距离为2h ，则212S S =，212h h =，11113V S h =，22213V S h =，所以11122214V S h V S h ==.评注 本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化，找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系，从而造成题目无法求解或求解错误.EDCAP14. 解析 ()626123166C C rrrr r rr r b T axab x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1233r -=，则3r =.所以3336C 20a b =，即1ab =.所以2222a b ab +=…，即22a b +的最小值为2.评注 本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用.考查学生推理理论证及运算求解能力.15. 解析 函数()g x =2为半径的圆在x 轴上及其上方的部分.由题意可知，对任意0x I ∈，都有()()()0002h x g x f x +=，即()()00,x f x 是点()()0,x h x 和点()()0,x g x 的中点，又()()h x g x >恒成立，所以直线()3f x x b =+与半圆()g x =0b >.即0,2,b >⎧>解之得b >所以实数b 的取值范围为()+∞.评注 本题考查新定义问题以及直线与圆的位置关系的应用.本题的易错点有两处：①不能正确理解“对称函数”的定义，造成题目无法求解；②忽视()()h x g x >的隐含条件：直线()3f x x b =+与半圆相离，且直线()3f x x b =+在y 轴上的截距0b >.16. 解析 （I ）由题意知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b .因为()y fx =的图像经过点π12⎛ ⎝，2π,23⎛⎫-⎪⎝⎭，所以ππsin cos ,664π4π2sin cos ,33m n m n =+⎨⎪-=+⎪⎩即1,212,2m n ⎨⎪-=-⎪⎩解得m =1n =.（II ）由（I ）知()π2cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由题意知()()π2sin 226g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.设()y g x =的图像上符合题意的最高点为()0,2x ，由题意知2011x +=，所以00x =，即到点()0,3的距离为1的最高点为()0,2.将其代入()y g x =得πsin 216ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，所以π6ϕ=.因此()π2sin 22cos22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.由2ππ22πk xk -剟，k ∈Z ，得πππ2k x k -剟，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .17. 解析 （I ）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC ，又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =.连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为11//CD C D ，11=CD C D ，可得11//C D MA ，11C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11AA DD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD .（II ）解法一：连接AC ，MC ，由（I ）知//CD AM 且CD AM =，所以四边形AMCD 为平行四边形.可得BC AD MC ==，由题意60ABC DAB ∠=∠=，所以MBC △为正三角形，因此22AB =BC =，CA CB ⊥.以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角MAA 1C 1D 1DB 1CB坐标系C xyz -.所以)0,0A，()0,1,0B，(1D ，因此1,02M ⎫⎪⎪⎝⎭，所以112MD ⎛=- ⎝，111,02D C MB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面11C D M 的法向量(),,x y z =n ， 由1110,0,D C MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,y y -=+-=可得平面11C D M的一个法向量()=n .又(1CD =为平面ABCD 的一个法向量.因此111cos ,CD n CD CD ⋅==n n. 所以平面11C D M 和平面ABCD .解法二：由（I ）知平面11C D M平面ABCD AB =，过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接1D N .由1CD ⊥平面ABCD ，可得1D N AB ⊥，因此1D NC ∠为二角面1C AB C --的平面角.在RtBNC △中，BC =1，60NBC ∠=，可得CN =所以1ND=.在1Rt DCN △中，11CN cos D NC D N ∠==. 所以平面11C D M 和平面ABCD. B 118. 解析 （I ）记1A 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分” ()0,1,3i =，则()312P A =，()113P A =，()01111236P A =--=；记i B 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分” ()0,1,3i =，则()315P B =，()135P B =，()01311555P B =--=.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意，30100103D A B A B A B A B =+++，由事件的独立性和互斥性，()()()()()()3010010330100103P D P A B A B A B A B P A B P A B P A B P A B =+++=+++= ()()()()()()()()30100103P A P B P A P B P A P B P A P B +++=1111131132535656510⨯+⨯+⨯+⨯= 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310. （II ）由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥，得()()0011106530P P A B ξ===⨯=， ()()()()1001100111131135656P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=，()()111312355P P A B ξ===⨯=，()()()()30033003111123255615P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=，()()()()311331131311114253530P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=，()()3311162510P P A B ξ===⨯=.可得随机变量ξ的分布列为：MNA 1B 1C 1D 1C BDA所以数学期望111211191012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解析 （I ）因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意得()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-. （II ）()()()()()1111441111121212121n n n n n n n n b a a n n n n ---+⎛⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭.当n 为偶数时，11111111211335232121212121n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当为奇数时，111111112211335232121212121n n T n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以22,212,21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数，为偶数.()121121n n n T n -⎛⎫++- ⎪= ⎪+⎝⎭或. 评注 本题考查等差数列的通项公式，前n 项和公式和数列的求和，分类讨论的思想和运算求解能力、逻辑推理能力.20. 解析 （I ）函数()y f x =的定义域为()0,+∞.()()()()2423232e 2e 2e 21e 2e x x x x x x kx k x x x x f x k x xx x x x -----⎛⎫'=--+=-= ⎪⎝⎭ 由0k …可得e 0x kx ->，所以当()0,2x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增. 所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞.（II ）.由（I ）知，当0k …时，函数()f x 在()0,2内单调递减，故()f x 在()0,2内不存在极值点；当0k >时，设函数()e x g x kx =-，[)0,x ∈+∞.因为()ln e e e x x k g x k '=-=-，当01k <…时，当()0,2x ∈时，()e 0x g x k '=->，()y g x =单调递增， 故()f x 在()0,2内不存在两个极值点；当1k >时，得()0,ln x k ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递减，()ln ,x k ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =的最小值为()()ln 1ln g k k k =-.函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，当且仅当()()()00,ln 0,20,0ln 2.g g k g k ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩解得2e e 2k <<. 综上所述，函数()f x 在()0,2内存在两个极值点时，k 的取值范围为2e e,2⎛⎫⎪⎝⎭.评注 本题考查了导数在研究函数的单调性和极致问题的应用，考查了分类讨论思想的运用以及学生的逻辑推理能力和运算求解能力，难度较大，在解决问题（II ）时极易发生分类讨论不全面或运算求解的错误.21. 解析 （I ）由题意知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设()(),00D t t >，则2,04p t FD +⎛⎫⎪⎝⎭.因为FA FD =，由抛物线的定义知322p pt +=-，解得3t p =+或3t =-（舍去）.由234p t +=解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.（II ）(i)由（I ）知()1,0F ，设()00,A x y ()000x y ≠，()(),00D D D x x >，因为FA FD =，则011D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，故()02,0D x +.故直线AB 的斜率02AB y k =-. 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02y y x b =-+，代入抛物线方程 得200880b y y y y +-=，由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-.设(),E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =，当204y ≠时，000022002044444E AB E y y y y y k y x x y y +-==-=---，可得直线AB 的方程为()0002044y y y x x y -=--， 由2004y x =，整理可得()020414y y x y =--，直线AE 恒过点()1,0F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点()1,0F .（ii ）由(i)知直线AE 过焦点()1,0F ，所以()000011112AE AF FE x x x x ⎛⎫=+=+++=++ ⎪⎝⎭.设直线AE 的方程为1x my =+，因为点()00,A x y 在直线AE 上，故001x m y -=，设()11,B x y ，直线AB 的方程为()0002y y y x x -=--，由于00y ≠，可得0022x y x y =-++，代入抛物线方程得2008840y y x y +--=.所以 0108y y y +=-，可求得101000844y y x x y x =--=++，所以点B 到直线AE 的距离为414x d ⎫+===. 则ABE △的面积001142162S =x x ⎫⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭…，当且仅当001x x =，即01x =时等号成立.所以ABE △的面积的最小值为16.评注 本题考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及解析几何中的定点问题、最值问题和结论探究性问题.本题综合性较强、难度较大，很好地考查了考生的逻辑思维能力和运算求解能力.本题的易错点时定点的确定.。
山东省日照市2014二模数学理含答案
2014年高三校际联合检测理 科 数 学2014.5本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式： 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径。
第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}{}{}{}12345672346=1451,5U M N ==，，，，，，，，，，，，，，则等于 A. M N ⋃ B. M N ⋂C. ()U C M N ⋂D. U M C N ⋂2.如果复数()2,12bib R i i-∈+为虚数单位的实部和虚部互为相反数，那么b 等于A.B. 23C. 23- D. 23. 设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若()222tan a c b B +-=，则角B 的值为A.6π B.3π C.566ππ或D.233ππ或5.已知不等式21x ->的解集与不等式20x ax b ++>的解集相同，则,a b 的值为 A.1,3a b ==B.3,1a b ==C.4,3a b =-=D. 3,4a b ==-6.已知函数()()1ln 1f x y f x x x ==--，则的图象大致为7.已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于A.12B.2C.2D.18. 三棱锥S A B C -及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为A.B.C.D. 9. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.17 B.16 C.15D.1410.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]222,0f x f x x +=-∈-，当时，()12xf x ⎛=- ⎝⎭，若在区间()2,6-内，函数()()()log 2,0,1a y f x x a a =-+>≠恰有1个零点，则实数a 的取值范围是A. ()1,4B.()4,+∞C. ()1,14,4⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭D. ()()0,11,4⋃第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在()201的展开式中，系数为有理数的项共有___________项.12.阅读如图所示的程序框图，若输入5i =，则输出的k 值为____________. 13.在Rt ABC ∆中，,,126C B CA ππ∠=∠==，则2A C A B-=____________. 14.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =___________. 15.已知有限集{}()123,,,,2,n A a a a a n n N =⋅⋅⋅≥∈.如果A 中元素()11,2,3,,a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②{}1212,,,a a R a a ∈若且是“复活集”，则124a a >； ③{}*1212,,,a a N a a ∈若则不可能是“复活集”；④若*i a R ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是___________.（填上你认为所有正确的结论序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间； （II ）已知ABC ∆的内角分别是A ，B ，C ，若()41,cos 5f A B ==，求sinC 的值.17.（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d ≠，等比数列{}n b 满足11225,,.a b a b a b=== （I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n c 对任意*n N ∈均有12112n n nc c c a b b b +++⋅⋅⋅+=，求数列{}n c 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=CB=a ，60ABC ∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE=a . （I ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（II ）求二面角B —EF —D 的平面角的余弦值.“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，吃光盘子中的食物，得到从中央到民众的支持，为了解某地响应“光盘行动”的实际情况，某校几位同学组成研究性学习小组，从某社区[]25,55岁的人群中随机抽取n 人进行了一次调查，得到如下统计表：（I ）求a ，b 的值，并估计本社区[]25,55岁的人群中“光盘族”所占比例；（II ）从年龄段在[)[)35,404045与，的“光盘族”中，采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队.（i ）已知选取2人中1人来自[)3540，中的前提下，求另一人来自年龄段[)4045，中的概率；（ii ）求2名领队的年龄之和的期望值（每个年龄段以中间值计算）.20.（本小题满分13分）已知定点()01:1F l y =-，和直线，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E.（I ）求曲线E 的方程；（II ）若点A 的坐标为()()12,1:1,0l y kx k R k =+∈≠，直线，与曲线E 相交于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线l 于点S ，T .试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.已知()axe f x x=，其中e 为自然对数的底数.（I ）若()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；（II ）当12a =时，求函数()[](),10f x m m m +>在上的最小值； （III）求证：1172nii e i =<⋅∑.2014届高三二轮模拟考试理科数学参考答案及评分标准2014-5说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。
2014山东高考数学模拟题 2
2014山东高考数学模拟题（理科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共7页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知1m m R i∈-，复数在复平面内对应的点在直线0x y -=上，则实数m 的值是A.1-B.0C.1D.22．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是A ．1B ．0C ．－1D ．1或－13.下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（ ）A.Y=ln x1 B.Y=3x C.Y=x2 D.Y=COSX4.已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,给出下列命题:①α∥β⇒l ⊥m ;②α⊥β⇒l ∥m ;③l ∥m ⇒α⊥β;④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的命题是( ).A .①②③B .②③④C .②④D .①③5. 已知4sin()5απ+=-，且α是第二象限的角，那么tan()4πα+等于 A ．17- B ．17C ．7D ．7-6．设变量,x y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（ ）A ．3[1,]2 B ．1[,1]2 C ．[1,2] D ．1[,2]27.在y=2x ,y=log 2x,y=x 2,y=cos2x,这四个函数中，当0<x 1<x 2<1时，使)2(21x x f +>2)()(f 21x x f +恒成立的函数的个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 38.．二项式(1x－x 3x )n 展开式中含有x 4项，则n 的可能取值是（ ）A ．5B ．6C ．3D ．7 9. 从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（ ） A ．210 B ．420C ．630D ．84010.函数f(x)满足条件f(x)=-f(6-x)和f(x)=f(2-x).若f(a)=f(2014),a [5,9),且f(x)在[5,9)上单调，则a 的值是 （ ）A. 6B.5C. 7D. 8 二．填空题（每小题5分，共25分）11．下图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为1212A A A ，，…，．图2-2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是 ． 12.曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积是__________。
济南市高中2014届毕业班第二次高考模拟检测数学(理)(附答案)
绝密★启用前2014年高考针对性训练（山东卷）（又名：济南市高中2014届毕业班第二次高考模拟检测）数 学（理科）注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题题（第1题~第10题）、非选择题（第11题~第21题）两部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的学校、姓名、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．（具体说明见答题卡要求）考试结束后，交回答题纸． 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、设集合}023{2=+-=x x x A ，则满足}2,1,0{=⋃B A 的集合B 的个数是A ．1B ．3C ．4D ．62、如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是，，则=+21z zA ．1B ． 5C ．2D ．33、12cos log 12sin log 22ππ+的值为A ．-2B ．-1C ．12D ．14、已知平面向量a ，b 1=2=，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角为A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π5、一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为A ．96B ．136C ．152D ．1926、如图，在△AB C 中，AB =1，AC =3，D 是BC 的中点，则=∙A ．3B ．4C ．5D ．不确定7、函数f (x )=cos(πx)x 2的图像大致是8、执行右图的程序框图，输出的S 的值为A ．0B ．52C ．1D ． 39、设曲线y =2x -x 2与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落入区域}2),{(22＜y x D y x +∈的概率是A ．π-1πB ．ππ+1C ．23D ．3410、已知定义域为R 的函数f (x )=a +2bx +3sin x +bx cos x 2+cos x(a,b ∈R)有 最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则3a -2b =A ．7B ．8C ．9D ．10第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知关于关于x 的不等式12＞-+-x a x 的解集为全体实数R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12、已知(1+ax )(1+x )6的展开式中x 2的系数为3，则a = ▲ ．13、设x 0是方程10-x =lg x 的解，且x 0∈(k ,k +1)(k ∈Z)，则k = ▲ ．14、设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+--≤8201223y x y x x y ，则x y 的最大值是 ▲ ． 15、过双曲线x 2a 2 - y 2b 2 =1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (-c ，0)，作倾斜角为π6的直线EF 交该双曲 线右支于点P ，O 为坐标原点，若)(21+=且0=∙，则该双曲线的 离心率为 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 对应的边分别是a,b,c ，且a =43，b =32，∠A =2∠B ． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求c 的值．17．（本小题满分12分）甲地区有10名人大代表，其中有4名女性；乙地区有5名人大代表，其中有3名女性，现采用分层抽样法从甲、乙两地区共抽取3名代表进行座谈．（Ⅰ）求从甲、乙两地区各抽取的代表数；（Ⅱ）求从甲组抽取的代表中至少有1名女性的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名代表中女性数，求ξ的分布列及数学期望．18．（本小题满分12分）在四面体A-BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，∠DBC =30°，AD =2，BD =22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ =3QC ．（Ⅰ）求证：PQ //平面BCD ；（Ⅱ）求二面角C-MN-D 的大小．19．（本小题满分12分）已知数列{b n }满足b n+1 = 12b n + 14，且b 1=72，T n 为{b n }的前n 项和． （Ⅰ）求证：数列{b n -12}是等比数列，并求出{b n }的的通项公式； （Ⅱ）如果对任意n ∈N *，不等式2T n +3·22-n -10k≤n 2+4n +5恒成立，求实数k 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知曲线C 上任意一点P 到点F (0，1)的距离比它到直线l ：y =-2的距离小1，一个圆的圆心为A (0,4)，过点A 的直线与曲线C 交于D,E 两点．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）当线段DE 长度最短时，曲线C 过D 点的切线与圆A 相切的弦长为855，求此时圆A 的方程．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )=e x - x - 1，g (x )=x 2e ax ．（Ⅰ）求f (x )的最小值；（Ⅱ）求g (x)的单调区间；（Ⅲ）当a =1时，对于在(0,1)中的任一个常数m ，是否存在正数x 0使得f (x 0)＞m 2g (x)成立？如果存在，求出符合条件的一个x 0；否则请说明理由．济南市高中2014届毕业班第二次高考模拟检测数学（理科）试题参考答案及评分标准2014.5一、选择题1．C 2．B 3．A 4．D 5．C6．B 7．A 8．B 9．A 10．C二、填空题11．),3()1,(+∞⋃-∞ 12．-2 13．9 14．2 15．1+ 3三、解答题16．（本小题满分12分）（Ⅰ）因为a =43，b =32，∠A =2∠B 所以在△ABC 中，由正弦定理得43sin2B = 32sin B. .....................3分 所以2sin B cos B sin B = 263.故cos B =63. .....................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得（Ⅰ）cos B =63，所以sin B =B 2cos 1-=33. 又因为∠A =2∠B ，所以cos A =2cos 2B - 1= 13. ............8分 所以sin A =A 2cos 1-= 223. 在△ABC 中，sin C =sin(A +B )=sinAcosB+cosAsinB=539. ...........10分 所以25sin sin ==AC a c . ..............12分17．（本小题满分12分）（Ⅰ）应在甲地区抽去2人，乙地区抽取1人...................................2分（Ⅱ）32210242101416=+=C C C C C P ；所以从甲组抽取的代表中至少有1名女性的概率为23. ............5分 （Ⅲ）依据题意得ξ可取0、1、2、3.由152)0(255101226===C C C C P ξ. ........6分 7531)1(152********===C C C C C P ξ. ......7分 7528)1(152101224===C C C C P ξ； 756)3(152101324===C C C C P ξ .......9分。
2014年山东省济宁市高考数学二模试卷(理科)
2014年山东省济宁市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.复数z为纯虚数，若（2-i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A.-B.2C.-2D.【答案】D【解析】解：由（2-i）z=a+i，得：，∵z为纯虚数，∴，解得：a=．故选：D．把等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，由实部等于0且虚部不等于0求解实数a的值．本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知集合A={x∈R||x-1|≤2}，B={x∈R|x2≤4}，则A∩B=（）A.（-1，2）B.[-1，2]C.（0，2]D.[-2，3]【答案】B【解析】解：由A中的不等式解得：-2≤x-1≤2，即-1≤x≤3，即A=[-1，3]，由B中的不等式解得：-2≤x≤2，即B=[-2，2]，则A∩B=[-1，2]．故选：B．求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．x、y之间的一组数据如下表：，则当x=6时，y的预测值为（）A.8.46B.6.8C.6.3D.5.76【答案】C【解析】解：∵==2，==4.5，2+3.6=4.5，解得：=0.45，∴=0.45x+3.6，当x=6时，=6.3，故选：C．根据已知中的数据，求出数据样本中心点的坐标，代入求出回归直线方程，进而将x=6代入可得答案．本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个中档题，这种题目解题的关键是求出回归直线方程，数字的运算不要出错．4.设变量x、y满足约束条件：，则目标函数z=5x+3y的最大值为（）A.18B.17C.27D.【答案】C【解析】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=5x+3y得y=-，平移直线y=-，则由图象可知当直线y=-经过点B时直线y=-的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（3，4），此时M=z=5×3+3×4=27，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．5.已知函数f（x）=cos（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则“φ=-”是“g（x）为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：函数f（x）=cos（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数g（x）的图象，∴g（x）=cos（2x++φ），当φ=-时，g（x）=cos2x是偶函数，但是g（x）为偶函数，φ=kπ-，k∈Z．∴“φ=-”是“g（x）为偶函数”的充分不必要条件．故选：A．求出平移后的函数的解析式，然后判断函数的奇偶性，即可得到结果．本题考查函数的图象变换，函数的解析式的求法以及函数的奇偶性的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.16B.32C.48D.144【答案】C【解析】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中BC=2，AD=6，AB=6，SA⊥平面ABCD，SA=6，∴几何体的体积V=××6×6=48．故选：C．几何体为四棱锥，结合直观图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键．7.函数f（x）=1-x+lgx的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：定义域为（0，+∞），=，∴当x∈（0，lge），时f （x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（lge，+∞）时，f （x）＞0，f（x）单调递增，当x=lge时，f（x）取得极大值也是最大值，f（lge）=1-lge+lg（ge）=＞0，∴f（x）的图象为A．故选；A．利用函数的单调性，和极大值，就能判断函数的图象．考查函数的单调性，极值和最值．属于基础题．8.向量=（1，2），=（1，-λ），在区间[-5，5]上随机取一个数λ，使向量2+与-的夹角为锐角的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵=（1，2），=（1，-λ），∴2+=（3，4-λ），-=（0，2+λ），若2+与-的夹角为锐角，则（2+）•（-）＞0，即（4-λ）（2+λ）＞0，解得-2＜λ＜4，则向量2+与-的夹角为锐角的概率为=，故选：D根据向量数量积的应用，求出向量2+与-的夹角为锐角的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，利用向量数量积的应用求出向量2+与-的夹角为锐角的等价条件，是解决本题的关键．9.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，且双曲线的一条渐近线被圆（x-3）2+y2=8截得的弦长为4，则此双曲线的渐近线方程为（）A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x【答案】B解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0），∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，∴c=3，∵双曲线的一条渐近线被圆（x-3）2+y2=8截得的弦长为4，∴圆心到渐近线的距离为2，设渐近线方程为bx+ay=0，则=2，∴b=2，∴a=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：B．求出抛物线的焦点坐标，可得c=3，利用双曲线的一条渐近线被圆（x-3）2+y2=8截得的弦长为4，可得圆心到渐近线的距离为2，从而可求a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．10.已知函数y=f（x）的定义域为（-π，π），且函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，当x∈（0，π）时，f（x）=-f （）sinx-πlnx（其中f （x）是f（x）的导函数）．若a=f（π0.2），b=f（logπ3），c=f（log9），则a，b，c的大小关系式（）A.b＞a＞cB.a＞b＞cC.c＞b＞aD.b＞c＞a【答案】A【解析】解：由x∈（0，π）时，f（x）=-f （）sinx-πlnx，∴f（x）=-f （）cosx-，∴=-2，∴f（x）=2sinx-πlnx，∴当x∈（0，π）时，f （x）=2cosx-，≤x＜π，2cosx＜0；0＜x＜，2cosx＜2，＞2，则有f （x）＜0．则f（x）在x∈（0，π）上为减函数．又函数y=f（x-1）的图象关于直线x=-1对称，则函数y=f（x）为偶函数，∵log9＜-3而1＜π0.3＜2，0＜logπ3＜1．∴f（logπ3＞f（π0.2）＞f（log9）∴b＞a＞c．由题意可知函数为偶函数，把给出的函数解析式求导后求出的值，代入导函数解析式判断导函数的符号，得到原函数的单调性，由单调性得答案．本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，考查了函数的奇偶性的性质，解答的关键在于判断函数在（0，π）上的单调性，是中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.设随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（1＜X＜2）=p，则P（X＜0）= ______ ．【答案】-p【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∴P（X＜0）=P（X＞2）=-P（1＜X＜2）=-p．故答案为：-p．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到小于0的概率和大于2的概率是相等的，根据概率的性质得到结果．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．12.阅读如图所示的程序图，运行相应的程序，输出的结果s= ______【答案】16【解析】解：由已知中的程序框图：当n=1时，S=1，a=3，满足继续循环的条件，n=2；当n=2时，S=4，a=5，满足继续循环的条件，n=3；当n=3时，S=9，a=7，满足继续循环的条件，n=4；当n=4时，S=16，a=9，不满足继续循环的条件故输出的s值为16，故答案为：16由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案；本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．13.若函数y=e-x在点（0，1）处的切线为l，则由曲线y=e-x，直线x=1，切线l所围成封闭图形的面积为______ ．【答案】-【解析】解：∵y=e-x，∴y y=-e-x，则在（0，1）处的切线斜率k=-1，则切线方程为y-1=-（x-0）=-x，即y=-x+1，则阴影部分的面积S==--=-e-x|=1-=-，故答案为：-利用导数的几何意义，求出切线方程，利用积分的几何意义，即可求出封闭区域的面积．本题主要考查导数的几何意义以及积分的几何意义，要求熟练掌握函数的导数公式和积分公式．14.设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2，则+的最大值为______ ．【答案】3【解析】解：∵a＞1，b＞1，a x=b y=3，∴xlga=ylgb=lg3，∴====3，当且仅当a=b=3时取等号．∴+的最大值为3．故答案为：3．利用对数的换底公式、对数的运算法则、基本不等式的性质即可得出．本题考查了对数的换底公式、对数的运算法则、基本不等式的性质，属于基础题．15.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f （x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一结论判断下列命题：①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；②函数f（x）=x3-3x2-3x+5的对称中心也是函数y=tan x的一个对称中心；③存在三次函数h（x）方程h （x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0））为函数y=h （x）的对称中心；④若函数g（x）=x3-x2-，则g（）+g（）+g（）+…+g（）=-1006.5其中正确命题的序号为______ （把所有正确命题的序号都填上）．【答案】②③④【解析】解：任何三次函数都有且只有一个对称中心，故①不正确；∵f（x）=x3-3x2-3x+5，∴f （x）=3x2-6x-3，∴f″（x）=6x-6，令f″（x）=6x-6=0，解得x=1，f（1）=0，∴f（x）=x3-3x2-3x+5的对称中心是（1，0），当x=1时，（，0）是函数y=tan x的一个对称中心，故②正确，∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，∴存在三次函数f （x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，故③正确．∵g（x）=x3-x2-，∴g （x）=x2-x，g''（x）=2x-1，令g''（x）=2x-1=0，解得x=，g（）==，∴函数g（x）=x3-x2-的对称中心是（，）∴g（x）+g（1-x）=-1，∴g（）+g（）+g（）+…+g（）=-1006.5，故④正确．所以正确命题的序号为②③④故答案为：②③④．①③利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；②根据新定义求出对称中心，而y=tan x的对称中心是（，），继而判断；④求得函数g（x）=x3-x2-的对称中心（，），g（x）+g（1-x）=-1，继而求出值．本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知向量=（-，2cosx），=（cos2x+sin2x，cosx），记函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调减区间；（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（）=1，b=3，c=2，求sin A的值．【答案】解：（I）f（x）=•=-（cos2x+sin2x）+2cos2x=-（cos2x+sin2x）+cos2x+1=cos2x-sin2x+1=cos（2x+）+1∴f（x）的最小正周期为π令2kπ＜2x+＜2kπ+π，k∈z，解得kπ-＜x＜kπ+，k∈z∴f（x）的单调减区间为（kπ-，kπ+），k∈z（II）由f（）=1，得cos（B+）+1=1．即cos（B+）=0，又B是三角形的内角，故B=由正弦定理得得sin C=，又b＞c，故C是锐角∴cos C==∴sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C=【解析】（I）先求出f（x）的解析式，再由周期公式及复合三角函数的性质求单调区间；（II）由f（）=1求出B，再由正弦定理求出sin C，再由sin A=sin（B+C）结合和角公式即可求出sin A的值．本题考查正弦定理的应用以及三角恒等变换公式，三角函数的周期公式及单调区间的求法，综合性较强，属于高考中常见的题型17.袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球．（1）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出1个红球2个黑球的概率；（2）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（1）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为，取出黑球的概率为，设事件A=“取出1个红球2个黑球”，则P（A）==；（2）ξ的取值有四个：3、4、5、6，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，P（ξ=6）==．分布列为：…（10分）从而得分ξ的数学期望Eξ=3×+4×+5×+6×=．【解析】（1）确定每次试验取出红球、黑球的概率，利用独立重复试验的概率公式，即可求取出1个红球2个黑球的概率；（2）确定ξ的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望．本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，正确求概率是关键．18.如图1，在R t△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．（1）求证：AE⊥平面BCD；（2）求二面角A-DC-B的余弦值；（3）已知点M在线段AF上，且EM∥平面ADC，求的值．【答案】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD，∴AE⊥平面BCD．（2）解：由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1，∴AE=，BC=2，BF=，则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，），F（，，），C（，，），，，，，，，由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为，，，设平面ADC的一个法向量，，，则，取x=1，得，，，∴cos＜，＞=-∴二面角A-DC-B的余弦值为．（3）设，其中λ∈[0，1]，∵，，，∴，，，∴，，，由，得，解得，，∴在线段AF上存在点M使EM∥平面ADC，且．【解析】（1）由平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AE⊥BD于E，能证明AE⊥平面BCD．（2）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．（3）设，利用向量法能求出在线段AF上存在点M使EM∥平面ADC，且．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.已知数列{b n}满足S n+b n=，其中S n为数列{b n}的前n项和．（1）求证：数列{b n-}是等比数列，并求数列{b n}的通项公式；（2）如果对任意n∈N*，不等式≥2n-7恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：（1）∵S n+b n=，∴S n+1+b n+1=，两式相减得b n+1=b n+，即b n+1-=（b n-），∵S1+b1=，即b1=，∴数列{b n-}是首项为b1-=3，公比q=的等比数列，∴b n-=3×，即b n=3×+．则数列{b n}的通项公式b n=3×+；（2）∵b n=3×+；∴S n=3×（1++…+）+=+=6（1-）+；∵不等式≥2n-7，化简得k，设c n=，则c n+1-c n==，当n≥5时，c n+1≤c n，c n为单调递减数列，当1≤n＜5时，c n+1＞c n，c n为单调递增数列，＜，∴当n=5时，c n取得最大值，即要使不等式≥2n-7恒成立，则实数k的取值范围是k≥．【解析】（1）求证：数列{b n-}是等比数列，并求数列{b n}的通项公式；（2）求出S n的表达式，将不等式恒成立，转化为最值问题即可得到结论．本题主要考查等差数列的判断，以及不等式恒成立的证明，综合考查学生的运算性质．20.已知函数f（x）=+lnx（a∈R）．（1）求f（x）的最小值；（2）当a=2时，求证：ln（n+1）+2＞nln（2e）（n∈N*）．【答案】解：（1）∵f （x）=，x＞0，①a≤0时，f （x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增，∴f（x）无最值，②a＞0时，令f （x）＞0，解得：x＞a，令f x）＜0，解得：0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，∴f（x）min=f（a）=lna+1，综上，a≤0时，f（x）无最值，a＞0时，f（x）min=f（a）=lna+1，（2）a=2时，由（1）得f（x）≥ln2+1，即+lnx≥ln2+1，从而lnx≥ln2+1-=ln（2e）-（*），∴分别令x=，…，代入（*）得下列n个不等式，ln＞ln（2e）-=ln（2e）-2×，ln＞ln（2e）-=ln（2e）-2×，…，ln＞ln（2e）-（2×），将所述n个不等式相加得：ln++ln+…+ln＞nln（2e）-2（+2×+…+2×），∴ln（n+1）＞nln（2e）-2（++…+），即ln（n+1）+2＞nln（2e）．【解析】（1）先求出f （x）=，x＞0，再讨论①a≤0时，②a＞0时的情况，从而求出函数的最小值；（2）a=2时，由（1）得f（x）≥ln2+1，从而lnx≥ln2+1-=ln（2e）-（*），分别令x=，…，代入（*）得下列n个不等式，得ln++ln+…+ln＞nln（2e）-2（+2×+…+2×），进而证明ln（n+1）+2＞nln（2e）．本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．21.如图所示的曲线C由曲线C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和曲线C2：x2+y2=a2（y＜0）组成，已知曲线C1过点（，），离心率为，点A，B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点．（1）求曲线C1和C2的方程；（2）若点Q是曲线C2上的任意一点，求△QAB面积的最大值及点Q的坐标；（3）若点F为曲线C1的右焦点，直线l；y=kx+m与曲线C1相切于点M，且与直线x=交于点N，过点P做MN，垂足为H，求证|FH|2=|MH|+|HN|．【答案】（1）解：由已知得，①又e=，∴，即a2=4b2，②由①②得a2=4，b2=1，∴曲线C1的方程为=1．（y≥0）．曲线C2的方程为x2+y2=4（y＜0）．（2）解：由（1）知A（-2，0），B（0，1），∴AB所在直线为x-2y+2=0，由题意知当曲线C2在点Q上的切线与直线AB平行时，△QAB面积最大，设此时切线方程为x-2y+t=0，t＜0，由直线与圆相切得：，∴t=-2或t=2（舍）此时△QAB的高为：h==2+，（S△QAB）max===，由，得x=，y=-，∴Q（，），∴△QAB面积的最大值为，此时点Q坐标为（，）．（3）证明：由题意得F（，0），N（，），设M（x0，y0），由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，又直线l与曲线C1相切于M，∴△=（8km）2-4（1+4k2）（4m2-4）=0，即m2=4k2+1，，，∴M（-，），∴，，，，=（-）×+==，又m2=4k2+1，∴=0，∴=0，∴△MFN为直角三角形，在R t△MFN中，FH⊥MN，∴|FH|2=|MH|+|HN|．【解析】（1）由已知得，e=由此能求出曲线C1的方程和曲线C2的方程．（2）由（1）知AB所在直线为x-2y+2=0，由题意知当曲线C2在点Q上的切线与直线AB平行时，△QAB面积最大，由此能求出△QAB面积的最大值及点Q的坐标．（3）设M（x0，y0），由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由直线l与曲线C1相切于M，得m2=4k2+1，由此利用向量知识结合已知条件能证明|FH|2=|MH|+|HN|．本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最大值的相应的点的坐标的求法，考查等式的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。
山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷数学文2 Word版含答案
绝密★启用前 试卷类型：A山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷（二）文科数学满分150分 考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|4120},{|2}A x R x x B x R x =∈--<=∈<，则()R A C B = （ ）A ．{|6}x x <B ．{|22}x x -<<C ．{|2}x x >-D ．{|26}x x ≤<2．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题:p x R ∃∈，使s i n x =命题:q x R ∀∈，都有210.x x ++>给出下列结论： ① 命题“q p ∧”是真命题 ② 命题“)(q p ⌝∧”是假命题③ 命题“q p ∨⌝)(”是真命题； ④ 命题“)()(q p ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是（ ）A ．② ④B ．② ③C ．③ ④D ．① ② ③4．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF（ ）A ．1122AB AD + B ．AD AB 2121-- C ．AD AB 2121+- D ．1122AB AD-5．设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．6B ． 4C ．3D ．26．角α的终边经过点A ()a ，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ） A ．12-B ．12C．-D图 2俯视图侧视图正视图7．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．16 B ．13C ．23D ．18．在平面直角坐标系内，若曲线C ：04542222=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．()2,-∞- B ．()1,-∞- C ．()+∞,1D ．()+∞,29．函数()sin()f x x =+ωϕ（其中2π<ϕ）的图象如图所示，为了得到()sin g x x =ω的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度10．椭圆2221(1)x y a a +=>上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 的张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．B ．C ．1(0,]2D ．1[,1)2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设函数33,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2f f -= ．12．已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则____________． 13．给出两个函数性质：性质1：(2)f x +是偶函数；性质2：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，上述两个函数性质都具有的所有函数的序号是 ． 14．从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的机会相等），则2名都是女同学的概率等于_________．15．设a ，b ，c 为单位向量，a ，b 的夹角为600，则（a + b + c ）·c 的最大值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=3b ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．1A如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，1AB AA ==（Ⅰ）证明：A 1BD // 平面CD 1B 1； （Ⅱ）求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：（I）为进行某项研究，从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆．（i）若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；（ii）若从（i）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路1的概率．（II）假设汽车前12天出发．为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B应如何选择各自的路径．在平面直角坐标系上，设不等式组)()3(20*∈⎪⎩⎪⎨⎧--≤≥>N n x n y y x 表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为n a ．（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若n n n a b b +=+21，131-=b ．求证：数列}96{++n b n 是等比数列，并求出数列}{n b 的通项公式．已知椭圆D ：)10(1222<<=+b by x 的左焦点为F ，其左、右顶点为A 、C ，椭圆与y轴正半轴的交点为B ，FBC ∆的外接圆的圆心P ),(n m 在直线0=+y x 上．（Ⅰ）求椭圆D 的方程； （Ⅱ）已知直线2:-=xl ，N 是椭圆D 上的动点，l NM ⊥，垂足为M ，是否存在点N ，使得FMN ∆为等腰三角形？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．已知a ∈R ，函数()f x =23x -3（a +1）2x +6ax ．（Ⅰ）若a =1，求曲线()y f x =在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）若|a |>1，求()f x 在闭区间[0，|2a|]上的最小值．文科数学（二）一、选择题二、填空题：11. 12- 12. —3 13． ② 14．515．13+ 三、解答题16、解：(Ⅰ)由已知得到:2sin sin A B B =,且(0,)sin 0sin 2B B A π∈∴≠∴=且(0,)23A A ππ∈∴=;(Ⅱ)由(1)知1cos 2A =,由已知得到: 222128362()3366433623b c bc b c bc bc bc =+-⨯⇒+-=⇒-=⇒=,所以12823ABCS=⨯⨯= 17、证明：(Ⅰ) 设111O D B 线段的中点为.11111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和 . 的对应线段是棱柱和同理，111111D C B A ABCD O A AO -为平行四边形四边形且且11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ⇒=⇒∴1111111111//,.//B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒ .(证毕)(Ⅱ) 的高是三棱柱面ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111 . 在正方形ABCD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在 11)2(2121111111=⋅⋅=⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱. 所以,1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱. 18．解：（Ⅰ）（i ）公路1抽取20622040⨯=+辆汽车,公路2抽取40642040⨯=+辆汽车．2分（ii ）通过公路1的两辆汽车分别用12,A A 表示，通过公路2的4辆汽车分别用1234,,,B B B B 表示，任意抽取2辆汽车共有15种可能的结果：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，41(,)B B ，23(,)B B ，24(,)B B ，34(,)B B ，…4分其中至少有1辆经过公路1的有9种，所以至少有1辆经过1号公路的概率35．………6分（Ⅱ）频率分布表，如下：设12,C C 分别表示汽车A 在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；12,D D 分别表示汽车B 在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．1()0.20.40.6P C =+= , 2()0.10.40.5P C =+= ∴ 汽车A 应选择公路1． 10分 1()0.20.40.20.8P D =++= , 2()0.10.40.40.9P D =++=,∴ 汽车B 应选择公路2．…………………………12分19、解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧--≤≥>)3(200x n y y x 得30≤<x ，……1分所以平面区域为n D 内的整点为点（3,0）或在直线12x x ==和上． …2分 直线)3(2--=x n y 与直线12x x ==和交点纵坐标分别为n y n y 2421==和n D 内在直线12x x ==和上的整点个数分别为4n+1和2n+1, ……4分 3611214+=++++=∴n n n a n ……………5分（2）由n n n a b b +=+21得3621++=+n b b n n ……6分16(1)92(69)n n b n b n +∴+++=++ …………………9分 16192b +⨯+= …………………………10分 {69}n b n ∴++是以2为首项，公比为2的等比数列………………11分 692n n b n ∴++= …12分269n n b n ∴=-- …13分20.解：（Ⅰ）由题意知，圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，设F 的坐标为)0)(0,(>-c c ，则FC 的垂直平分线方程为21cx-=………① 因为BC 的中点坐标为)2,21(b， BC 的斜率为b - 所以BC 的垂直平分线的方程为)21(12-=-x b b y …②联立①②解得：21c x -=，b c b y 22-=，即21cm -=，b c b n 22-=，因为P ),(n m 在直线0=+y x 上。
2014山东省青岛市高三二模考试理科数学试题及答案
2014山东省青岛市高三二模考试理科数学试题及答案2014年山东省青岛市高三二模考试数学（理科）本次考试分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1.考生在答卷前，务必使用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改动，使用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试题卷上。
3.第Ⅱ卷必须使用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={y| -1≤y1}，则A∩B=？A。
{x| -1≤x≤1} B。
{x| 1≤x<2} C。
{x| -1<x≤0} D。
{x|1<x<2}2.已知1-bi=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=？A。
-4 B。
4 C。
-10 D。
103.数列{an}为等差数列，a1，a2，a3为等比数列，a5=1，则a10=？A。
5 B。
-1 C。
1 D。
24.函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，0<φ<π，4π/11<ωx<6π/11）的图像如下图所示，则f(π/6)的值为？插入图片]A。
2 B。
4/3 C。
1 D。
35.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线A。
-2 B。
-1 C。
1 D。
26.如图是一个算法的流程图。
若输入x的值为2，则输出y的值为？插入图片]A。
-3 B。
-2 C。
-1 D。
07.设n=∫2π1(4sinx+cosx)dx，则二项式展开式(x-y)n中x的系数为？A。
山东省2014届高三4月模拟考试数学(理)试题含答案
理 科 数 学（根据2014年山东省最新考试说明命制）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持答题卡上面清洁，不折叠，不破损.第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数1i z i=-（i 是虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.设集合{}{}260,2x M x x x N y y M N =+-<==⋂=，则A. ()0,2B. [)0,2C. ()0,3D. [)0,33.已知某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场 中的得分如图1所示，则该样本的方差为A.25B.24C.18D.164.执行如图2所示的程序框图，输出的Z 值为A.3B.4C.5D.65.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 已知cos cos sin ,a B b A c C +=222b c a B +-==，则 A. 6π B. 3π C. 2π D. 23π 6.设命题:p 平面=l m l m αββ⋂⊥⊥平面，若，则；命题:q 函数cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是 A.p 为真B. q ⌝为假C. ∨p q 为假D. p q ∧为真 7.函数()cos x f x e x =的部分图象是8.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图3所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为 A. 163π B. 283π C. 643π D. 24π9.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()4,3，则此双曲线的方程为 A. 22134x y -= B. 22143x y -= C. 221916x y -= D. 221169x y -= 10.已知函数()2,01,0kx x f x nx x +≤⎧=⎨>⎩()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是 A. 2k ≤- B. 21k -≤<-C. 10k -<<D. 2k ≤第II 卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.二项式()62ax +的展开式的第二项的系数为12，则22a x dx -=⎰ . 12.若存在实数x 使13x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .13.数列{}n a 的前n 项和为()11,1,21n n n S a a S n N *+==+∈，则n a = . 14.设变量x ，y 满足约束条件220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，若目标函数y z x =的最大值为a ，最小值为b ，则a —b 的值为 .15.矩形ABCD 中，若()()3,1,2,,AD AB AC k =-=- 则= .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本题满分12分）如图4，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,32a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.将角α的始边按逆时针方向旋转6π，交单位圆于点B ，记()()1122,,,A x y B x y.（1）若1214x x =求； （2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C 、D ，记.1122,B O D S A O C S S ∆∆=的面积为的面积为若S ，求角α的值.17.（本题满分12分）四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形，平面1ABCD PA=PB=AB=AD BAD=602PAB ︒⊥∠平面，，，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：PBD EF ⊥平面；（2）求二面角D —PA —B 的余弦值.18.（本小题满分12分）已知在等比数列{}213121, 1.n a a a a a =+-=中，（1）若数列{}n b 满足()32123n n b b b b a n N n*+++⋅⋅⋅+=∈，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S .19.（本题满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0~10，分为五个级别，0~2畅通；2~4基本畅通；4~6轻度拥堵；6~8中度拥堵；8~10严重拥堵.晚高峰时段，从某市交通指挥中心随机选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示.（1）这20个路段为中度拥堵的有多少个？（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望.20.（本题满分13分）已知12,F F 分别为椭圆()2212210y x C a b a b+=>>：的上下焦点，其1F 是抛物线22:4C x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15.3MF =（1）试求椭圆1C 的方程；（2）与圆()2211x y ++=相切的直线()():0l y k x t t =+≠交椭圆于A ，B 两点，若椭圆上一点P 满足,OA OB OP λλ+= 求实数的取值范围.21.（本题满分13分）已知函数()()(),.ln x g x f x g x ax x==- （1）求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()1+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（3）若()()21212,,x x e e f x f x a '⎡⎤∃∈≤+⎣⎦，使成立，求实数a 的取值范围.。
2014年山东省实验中学高考数学二模试卷(理科)
2014年山东省实验中学高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁R B）=（）A.{x|x≥1}B.{x|x＞1}C.{x|1＜x≤2}D.{x|1≤x≤2}【答案】D【解析】解：根据题意，B={x|x＜1}，则∁R B={x|x≥1}，又由集合A={x|0≤x≤2}，则A∩（∁R B）={x|1≤x≤2}，故选D．根据题意，由集合B结合补集的含义，可得集合∁R B，进而交集的含义，计算可得A∩（∁R B），即可得答案．本题考查集合的交集、补集的运算，解题的关键是理解集合的补集、交集的含义．2.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A.①②③B.②③④C.①③D.②④【答案】C【解析】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．3.给出的图象中可能为函数f（x）=x4+ax3+cx2+bx+d（a，b，c，d∈R）的图象是（）A.①③B.①②C.③④D.②④【答案】A【解析】解：∵f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）∴f'（x）=4x3+3ax2+2bx+c此函数相应方程的根可能有三个或两个或一个，若方程可能的根有一个，如a，b，c都为0时，f'（x）=0的根只有一个，故函数值先负后正，故函数的图象是先减后增，符合条件的只有①若方程可能的根有两个，函数有两个极值点，函数图象必是先减后增再减型，与题意不符，若方程的根有三个，则函数有三个极值点，函数的单调性是先减后增再减再增型，考察②③④得③符合条件综上讨论知，①③中的图象可能是函数的图象，故选：A．确定函数的图象，可由函数单调性的可能情况确定函数图象的形状，故可求出函数的导数，通过函数的导数研究函数的单调性，从而推测出函数图象的大致形状得出可能的图象是那几个，从而得到答案．本题考查函数的图象，解题的关键是推测出函数图象的性质，由这些性质得出函数的图象的特征从而选出可能的图象的序号，本题借助导数研究函数的单调性与极值，比较抽象，有一定的难度．4.已知圆C1：（x+1）2+（y-1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为（）A.（x+2）2+（y-2）2=1B.（x-2）2+（y+2）2=1C.（x+2）2+（y+2）2=1D.（x-2）2+（y-2）2=1【答案】B【解析】解：圆C1：（x+1）2+（y-1）2=1的圆心坐标（-1，1），关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为（2，-2）所求的圆C2的方程为：（x-2）2+（y+2）2=1故选B求出圆C1：（x+1）2+（y-1）2=1的圆心坐标，关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程．本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键．5.已知函数y=f（x）满足：①y=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数．若x1＜0，x2＞0，且x1+x2＜-2，则f（-x1）与f（-x2）的大小关系是（）A.f（-x1）＞f（-x2）B.f（-x1）＜f（-x2）C.f（-x1）=f（-x2）D.f（-x1）与f（-x2）的大小关系不能确定【答案】A【解析】解：由y=f（x+1）是偶函数且把y=f（x+1）的图象向右平移1个单位可得函数y=f（x）得图象所以函数y=f（x）得图象关于x=1对称，即f（2+x）=f（-x）因为x1＜0，x2＞0，且x1+x2＜-2所以2＜2+x2＜-x1因为函数在[1，+∞）上为增函数所以f（2+x2）＜f（-x1）即f（-x2）＜f（-x1）故选A．由y=f（x+1）是偶函数可得函数y=f（x）得图象，从而可得函数y=f（x）得图象关于x=1对称，即f（2+x）=f（-x），结合x1＜0，x2＞0，且x1+x2＜-2可得2＜2+x2＜-x1，由函数在[1，+∞）上为增函数可求本题主要考查了函数的奇偶性、函数图象的平移、函数的对称性、函数的单调性等函数知识得综合应用，解题得关键是要能灵活应用函数的知识进行解题．6.已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若，则的取值范围是（）A.，B.，C.，D.（1，2）【答案】B【解析】解：∵点P是△GBC内一点，则λ+μ＜1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1，当P和G重合时，λ+μ最小，此时，==×（）=，∴λ=μ=，λ+μ=．故＜λ+μ＜1，故选：B．由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；当P和G重合时，λ+μ最小，此时，=，λ=μ=，λ+μ=．本题考查三角形的重心的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．7.已知点M（a，b）在由不等式组确定的平面区域内，则点N（a+b，a-b）所在平面区域的面积是（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】解：令s=x+y，t=x-y，则P（x+y，x-y）为P（s，t）由s=x+y，t=x-y可得2x=s+t，2y=s-t因为x，y是正数，且x+y≤2有在直角坐标系上画出P（s，t）s横坐标，t纵坐标，即可得知面积为4故选C将点的坐标设出，据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件，画出可行域，求出图象的面积．求出点满足的约束条件，画出不等式组表示的平面区域，求出图象的面积，属于基础题．8.已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，∠F1PF2=，则e等于（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|PF1|=m，|PF2|=n，且不妨设m＞n，由m+n=2a1，m-n=2a2得m=a1+a2，n=a1-a2．又∠，∴，∴，即，解得，故选：C．利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF1|，|PF2|，结合∠F1PF2=，利用余弦定理，建立方程，即可求出e．本题考查椭圆、双曲线的定义与性质，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9.设α，β为锐角，那么“sin2α+sin2β=sin（α+β）”是“α+β=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若α+β＞，即α＞-β，则sinα＞sin（-β）=cosβ，则sin2α＞cos2β，则sin2α+sin2β＞cos2β+sin2β=1≠sin（α+β），若α+β＜，即α＜-β，则cosα＞cos（-β）=sinβ，同理cosβ＞sinα，则sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ＞sin2α+sin2β，综上，“sin2α+sin2β=sin（α+β）”时必有“α+β=”，即“sin2α+sin2β=sin（α+β）”是“α+β=”充分条件；当“α+β=”时，“sin2α+sin2β=sin（α+β）”显然成立，故“sin2α+sin2β=sin（α+β）”是“α+β=”必要条件；故α，β为锐角时，那么“sin2α+sin2β=sin（α+β）”是“α+β=”的充要条件；故选：C先利用反证法证明“sin2α+sin2β=sin（α+β）”⇒“α+β=”成立，再证明“sin2α+sin2β=sin（α+β）”⇐“α+β=”成立，进而根据充要条件的定义，得到答案．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．10.已知函数，＞，，若关于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有六个不同的实根，则a的取值范围是（）A.（2，8]B.（2，9]C.（8，9]D.（8，9）【答案】C【解析】解：令t =x 2+2x =（x +1）2-1，则t ≥-1， 函数f （t ）=， ＞，．由题意可得，函数f （t ）的图象与直线y =a 有3个不同的交点，且每个t 值有2个x 值与之对应，如图所示： 由于当t =-1时，f （t ）=8，此时，t =-1对应的x 值只有一个x =-1，不满足条件，故a 的取值范围是 （8，9]， 故选C ．令t =x 2+2x ，则t ≥-1，f （t ）=， ＞，．由题意可得，函数f （t ）的图象与直线y =a 有3个不同的交点，且每个t 值有2个x 值与之对应，数形结合可得a 的取值范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.阅读程序框图，则输出的数据S 为 ______ ．【答案】 4【解析】解：由程序框图知：第一次循环S=-4，i =1； 第二次循环S=4，i =2； 第三次循环S=-4，i =3． …S 值的变化周期为2，又跳出循环的i 值为2014，∴输出的S=4． 故答案为：4．根据框图的流程，依次计算程序运行的结果，发现S 值的变化周期，再根据跳出循环的i 值，确定输出的S 值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程发现S 值的周期是关键．12.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为______m3．【答案】6+π【解析】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1则V圆锥=•π•3=πV长方体=1×2×3=6则V=6+π故答案为：6+π由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键．13.已知对于任意的x∈R，不等式|x-3|+|x-a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（8，+∞）∪（-∞，-2）【解析】解：∵|x-3|+|x-a|≥|（x-3）-（x-a）|=|a-3|，即|x-3|+|x-a|的最小值为|a-3|，∴|a-3|＞5，∴a-3＞5，或a-3＜-5，解得a＞8，或a＜-2，故答案为：（8，+∞）∪（-∞，-2）．根据绝对值不等式的性质求得|x-3|+|x-a|的最小值为|a-3|，由|a-3|＞5，求得a的范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．14.如图，用四种不同颜色给三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点涂色，要求四种颜色全都用上，每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法的种数为______ （用数字作答）．【答案】216【解析】解：根据题意，四种颜色全都用上，每个点涂一种颜色，第一步，为A、B、C三点涂色共有A43种；第二步，在A1、B1、C1中选一个涂第4种颜色，有3种情况；第三步，为剩下的两点涂色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色涂．故为B1、C1共有3种涂法，即剩下的两个点有3种情况，则共有A43×3×3=216种方法．故答案为：216．根据题意，分3步进行，第一步，为A、B、C三点涂色，由排列数公式可得其情况数目，第二步，在A1、B1、C1中选一个涂第4种颜色，第三步，为剩下的两个点涂色，分类讨论可得其情况数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．本题考查了分类计数原理与分步计数原理的运用，排列、组合在计数中的应用，合理分类，恰当分步是解决本题的关键．15.设S为非空数集，若∀x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题①实数集是封闭集；②全体虚数组成的集合是封闭集；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则一定有0∈S；⑤若S，T为封闭集，且满足S⊆U⊆T，则集合U也是封闭集，其中真命题是______ ．【答案】①④【解析】解：∵若∀x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，∴实数集是封闭集，若S为封闭集，则一定有0∈S，全体虚数组成的集合不是封闭集，当两个共轭复数相乘时，得到一个实数，封闭集不一定是无限集，故③不正确，若S，T为封闭集，且满足S⊆U⊆T，则集合U不一定是封闭集综上可知①④正确，故答案为：①④实数集是封闭集，若S为封闭集，则一定有0∈S，全体虚数组成的集合不是封闭集，当两个共轭复数相乘时，得到一个实数，封闭集不一定是无限集，若S，T为封闭集，且满足S⊆U⊆T，则集合U不一定是封闭集．本题考查康托的集合论，本题解题的关键是正确理解封闭集的意义，能够辨别一个集合是不是封闭集．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知△ABC的面积为1，且满足0＜•≤2，设和的夹角为θ（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数f（θ）=2sin2（+θ）-cos（2θ+）的最大值及取得最大值时的θ值．解：（Ⅰ）设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵△ABC的面积为1，且满足＜，设和的夹角为θ，∴bcsinθ=1，即bc=，0＜bccosθ≤2，∴0＜≤2，即tanθ≥1，∵θ∈（0，π），∴θ∈[，）；（Ⅱ）f（θ）=[1-cos（+2θ）]-[cos2θ-sin2θ]=1+sin2θ-cos2θ+sin2θ=sin（2θ-）+1，∵θ∈[，），2θ-∈[，）∴当θ=时，f（θ）max=+1．【解析】（Ⅰ）设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，且设和的夹角为θ，利用三角形的面积公式表示出面积，令面积为1列出关系式bcsinθ=1，表示出bc，且得到bccosθ的范围，将表示出的bc代入求出的范围中，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后求出tanθ的范围，由θ∈（0，π），利用正切函数的图象与性质即可求出θ的范围；（Ⅱ）将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由第一问求出的θ的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出函数的最大值及取得最大值时的θ值．此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，以及平面向量的数量积运算，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正切函数的图象与性质，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．17.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A-A1D-B的大小．【答案】解：法一：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面∴AO⊥平面BCC1B1，连接B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD．（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG为二面A-A1D-B的平面角，在△AA1D中，由等面积法可求得AF=，又∵AG==，∴sin∠AFG=，所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin．法二：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC、∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点O1，以0为原点，，，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），∴，，，，，，，，∵，，∴⊥，⊥，∴AB1⊥平面A1BD．（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为=（x，y，z），，，，，，．∵⊥，⊥，∴∵∴令z=1得=（-，0，1）为平面A1AD的一个法向量．由（Ⅰ）知AB1⊥A1BD．∴为平面A1BD的法向量．cos＜，＞===-．∴二面角A-A1D-B的大小为arccos．【解析】法一：（Ⅰ）先证明直线AB1垂直平面A1BD内的两条相交直线BD、A1B，即可证明AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，说明∠AFG为二面A-A1B-B的平面角，然后求二面角A-A1D-B的大小．法二：取BC中点O，连接AO，以0为原点，，，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，，即可证明AB1⊥平面A1BD．求出平面A1AD的法向量为=（x，y，z），为平面A1BD的法向量，然后求二者的数量积，求二面角A-A1D-B的大小．本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．18.盒中装有5个乒乓球用作比赛，其中2个是旧球，另外3个是新球，新球使用后即成为了旧球．（Ⅰ）每次比赛从盒中随机抽取1个球使用，使用后放回盒中，求第2次比赛结束后盒内剩余的新球数为2个的概率P；（Ⅱ）每次比赛从盒中随机抽取2个球使用，使用后放回盒中，设第2次比赛结束后盒内剩余的新球数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）P==．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X=3）==，P（X=2）==，P（X=1）==，P（X=0）==，∴随机变量X有分布列为：∴EX==．【解析】（Ⅰ）利用相互独立事件的概率乘法公式能求出第三产业次比赛结束后盒内剩余的新球数为2个的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（X=3），P（X=2），P （X=1），P（X=0），由此能求出随机变量X有分布列和EX．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．19.已知数列{a n}（n∈N•）的前n项和为S n，数列{}是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=•（-2）（n∈N•），对任意的正整数k，将集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d x，求数列{d k}的通项公式．（3）对（Ⅱ）中的d k，求集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数．【答案】解：（1）由条件得，即，∴．（2）由（1）可知∴，，，由2b2k-1=b2k+b2k+1及b2k＜b2k-1＜b2k+1得b2k，b2k-1，b2k+1依次成递增的等差数列，所以，满足为常数，所以数列{d k}为等比数列．（3）①当k为奇数时，同样，可得，所以，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为=；②当k为偶数时，同理可得集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为【解析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用（1）得出b n，从而得出b2k，b2k-1，b2k+1依次成递增的等差数列，求出d k=b2k+1-b2k-1，利用等比数列的定义即可判断出结论；（3）对k分奇数、偶数讨论，利用二项式定理展开，即可得出集合元素的个数．熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的定义、二项式定理、分类讨论的思想方法是解题的关键．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个左、右焦点分别是F1（-，0），F2（，0），且经过点A（，）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C上两点M，N使+=λ，λ∈（0，2），求△OMN面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个左、右焦点分别是F1（-，0），F2（，0），且经过点A（，），∴，解得a2=3，b2=1，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组，消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=．+=λ，λ∈（0，2），∴x11+x2=，y1+y2=λ，得k MN=-，m=λ，于是x1+x2=，x1x2=，∴|MN|===．又∵λ＞0，原点O到直线MN的距离为d=，∴S△OMN=|MN|d==．当m=，即时，等号成立，S△OMN的最大值为．【解析】（Ⅰ）由已和条件推导出，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出△OMN面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．21.已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）-x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x∈（0，e]时，证明：＞．【答案】解：（1）在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax-1，有得，得（2）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，（舍去），②当＜＜时，g（x）在，上单调递减，在，上单调递增∴，a=e2，满足条件．③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（3）令F（x）=e2x-lnx，由（2）知，F（x）min=3．令，，当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增∴＜∴＞，即＞（x+1）lnx．【解析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（3）令F（x）=e2x-lnx结合（2）中知F（x）的最小值为3，再令并求导，再由导函数在0＜x≤e大于等于0可判断出函数ϕ（x）在（0，e]上单调递增，从而可求得最大值也为3，即有＞成立，即＞成立．本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．。
2014年山东省潍坊市高考数学二模试卷(理科)
2014年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若复数z满足（1+i）•z=i，则z的虚部为（）A.-B.-C.D.【答案】D【解析】解：∵（1+i）•z=i，∴z===，∴z的虚部为，故选：D．由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2.设集合A={x||2x-1|≤3}，B={x|y=lg（x-1）}，则A∩B=（）A.（1，2）B.[1，2]C.（1，2]D.[1，2）【答案】C【解析】解：由A中不等式得：-3≤2x-1≤3，解得：-1≤x≤2，即A=[-1，2]，由B中y=lg（x-1），得到x-1＞0，即x＞1，∴B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]．故选：C．求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.下列结论正确的是（）A.若向量∥，则存在唯一的实数λ使=λB.已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0’’C.“若θ=，则cosθ=”的否命题为“若θ≠，则cosθ≠”D.若命题p：∃x∈R，x2-x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2-x+1＞0【答案】C【解析】解：若向量∥，≠，则存在唯一的实数λ使=λ，故A不正确；已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0，且向量，不共线”，故不正确；条件否定，结论否定，可知C正确；若命题p：∃x∈R，x2-x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2-x+1≤0，故D不正确．故选：C．根据向量共线定理判断A，向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0，且向量，不共线”，可判断B，条件否定，结论否定，可判断C；命题p：∃x∈R，x2-x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2-x+1≤0，可判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．4.已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x-sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=-cosx，当-＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（-，）上单调递减，故排除C．故选：A．先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（-，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．5.已知α，β表示平面，m，n表示直线，m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n；③∀n⊂α，m∥n；④∃n⊂α，m⊥n，则上述结论中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】解：由α，β表示平面，m，n表示直线，m⊥β，α⊥β，知：①∀n⊂α，则n∥β或n⊂β或n与β相交，故①错误；②∀n⊂β，由直线与平面垂直的性质，知m⊥n，故②正确；③∀n⊂α，则m与n相交、平行或异面，故③错误；④由m⊥β，α⊥β知，在平面α中至少有一条直线与m垂直，∴∃n⊂α，m⊥n，故④正确．故选：B．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．6.已知函数f（x）=x2+x，执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框中的条件应是（）A.n≤30B.n≤31C.n≤32D.n≤33【答案】B【解析】∴解：∵函数f（x）=x2+x，∴f（n）=n（n+1），由程序框图知：算法的功能是求S=++…+=1-的值，∵输出的结果是，∴跳出循环的n值为32，∴判断框内的条件应填：n＜32或n≤31．故选：B．算法的功能是求S=++…+的值，根据输出的结果判断跳出循环的n值，从而确定判断框内应填的条件．本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．7.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2过F2垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若△MF1N为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2+【答案】A【解析】解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，x=c时，y=±，∵△MF1N为正三角形，∴2c=×，∴a=b，∴c=b，∴e==．故选：A．求出双曲线C的两渐近线方程，利用△MF1N为正三角形，建立三角形，即可求出该双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A.πB.πC.4πD.16π【答案】D【解析】解：由三视图知：几何体为圆锥，圆锥的高为1，底面半径为，设外接球的半径为R，如图：则（R-1）2+3=R2⇒R=2．∴外接球的表面积S=4π×22=16π．故选：D．几何体为圆锥，根据三视图判断圆锥的高与底面半径，设外接球的半径为R，结合图形求得R，代入球的表面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，结合图形的求得外接球的半径是解答本题的关键．9.在区间[-3，3]上任取两数x，y，使x2-y-1＜0成立的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可得，区间[-3，3]上任取两数x，y，区域为边长为6的正方形，面积为36，x2-y-1＜0的区域是图中阴影区域以外的部分，其面积S==，∴在区间[-3，3]上任取两数x，y，使x2-y-1＜0成立的概率为=．故选：A．该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题．10.已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x满足f（x+1）=-f（x），当-1≤x＜1时，f（x）=x3．函数g（x）=，＞，＜若函数h（x）=f（x）-g（x）在[-6，+∞）上有6个零点，则实数a的取值范围是（）A.（0，）∪（7，+∞）B.[，）∪（7，9]C.[，1）∪（1，9]D.（，]∪[7，9）【答案】B【解析】解：∵对任意的x满足f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函数f（x）是以2为最小正周期的函数，画出函数f（x）、g（x）在[-6，+∞）的图象，由图象可知：在y轴的左侧有2个交点，只要在左侧有4个交点即可．则＜即有＞或＜＜＜或＜，故7＜a≤9或≤a＜．故选：B．f（x）=x3．函数g（x）=[-6，+∞）上有6个零点，即函数f（x）与g（x）的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=g（x）的图象，由此求得a的取值范围．本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知，是夹角为60°的两个单位向量，若向量=3+2，则||= ______ ．【答案】【解析】解：∵=1，=°=．∴=+4+12=9+4+12×=19．∴=故答案为：．利用数量积的运算和性质即可得出．本题考查了数量积的运算和性质，属于基础题．12.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法种数共有______ ．（用数字作答）【答案】6【解析】解：当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有=4，当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有=2，则不同的涂法种数共有4+2=6种．故答案为：6．根据涂红色两个相邻的小正方形的位置进行分类，利用分类计数原理即可解得．本题主要考查了分类计数原理，本题的关键是根据涂红色两个相邻的小正方形位置进行分类．13.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）（m＞0），若P到焦点F的距离为4，则以P为圆心且与抛物线C的准线相切的圆的标准方程为______ ．【答案】（x-2）2+（y-4）2=16【解析】解：由题意结合抛物线的定义可得P到准线的距离为4，∴2-（-）=4，求得p=4，∴抛物线C：y2=8x．点P（2，m）代入抛物线C：y2=8x，结合m＞0，可得m=4．再根据题意可得圆的半径为4，故所求的圆的标准方程为（x-2）2+（y-4）2=16，故答案为：（x-2）2+（y-4）2=16．根据题意可得2-（-）=4，求得p=4，可得抛物线C：y2=8x．把点P（2，m）代入抛物线的方程，求得m的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．本题主要考查抛物线的定义和标准方程的应用，求圆的标准方程的方法，求出m的值，是解题的关键，属于中档题．14.曲线y=xsinx在点A（，），B（-，））处的切线分别为l1，l2，设l1，l2及直线x-2y+2=0围成的区域为D（包括边界）．设点P（x，y）是区域D内任意一点，则x+2y 的最大值为______ ．【答案】6【解析】解：∵y=xsinx，∴y′=sinx+xcosx，x=，y′=1；x=-，y′=-1，∴l1：y-=x-，即y=x；l2：y-=-（x-），即y=-x，l1，l2及直线x-2y+2=0围成的区域为D（包括边界），如图所示，交点坐标分别为（0，0）、（2，2）、（-，），∴在（2，2）处，x+2y的最大值为6．故答案为：6．求出函数的切线方程，作出对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可得到结论．本题主要考查导数的几何意义的应用，以及线性规划的有关知识，利用数形结合是解决本题的关键．15.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ（0°＜θ＜45°）的C处，且cosθ=，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为______ 海里/小时．【答案】4【解析】解：∵cosθ=，∴sin=，由题意得∠BAC=45°-θ，即cos∠BAC=cos（45°-θ）=，∵AB=20，AC=10，∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB•AC cos∠BAC，即BC2=（20）2+102-2×20×10×=800+100-560=340，即BC=，设船速为x，则=2，∴x=4（海里/小时），故答案为：4根据余弦定理求出BC的长度即可得到结论．本题主要考查解三角形的应用，根据条件求出cos∠BAC，以及利用余弦定理求出BC的长度是解决本题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f（x）=A sin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为．（Ⅰ）若f（α+）=，0＜α＜π，求sinα；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）-k是在[0，π]上有零点，求实数k的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）依题意，A=2，T==，∴ω=3，∴f（x）=2sin（3x+）…2分又f（α+）=2sin[3（+）+]=2sin（2α+）=2cos2α=，∴cos2α=…4分∴sin2α==，又0＜α＜π，∴sinα=…6分（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）=2sin[3（x-）+]=2sin（3x-）的图象，…8分则函数y=g（x）-k=2sin（3x-）-k，∵x∈[0，π]，∴3x-∈[-，]，∴-≤2sin（3x-）≤2…11分∵函数y=g（x）-k在[0，π]上有零点，∴y=g（x）与y=k在[0，π]上有交点，∴实数k的取值范围是[-，2]…12分【解析】（Ⅰ）利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象性质可求得A=2，T=，解得ω=3，于是可得函数y=f（x）的解析式，从而可由f（α+）=，0＜α＜π，求得sinα；（Ⅱ）利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，可求得g（x）=2sin（3x-），利用正弦函数的单调性与最值可求得x∈[0，π]时该函数的值域，利用y=g（x）与y=k在[0，π]上有交点，即可求得实数k的取值范围．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象性质与图象变换，考查正弦函数的单调性与最值，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC=，BB1=2，AC1与A1C交于一点P，延长B1B到D，使得BD=AB，连接DC，DA，得到如图所示几何体．（Ⅰ）若AB=1，求证：BP∥平面ACD，（Ⅱ）若直线CA1与平面BCC1B1所成的角为30°，求二面角D-AC-C1的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：取AC的中点E，连接PE，DE…1分则PE，∵BD=AB=1，BB1=2，∴BD=BB1=CC1，又∵BD∥CC1，∴BD CC1，∴PE BD，∴四边形DBPE为平行四边形，∴BP∥DE， (3)分∵BP⊄面ACD，DE⊂面ACD，…4分∴BP∥平面ACD，…5分（Ⅱ）解：由题意知，AB⊥BC，AB⊥BB1，∴AB⊥面BC1，∴A1B1⊥面BC1连接B1C，则∠A1CB1为直线CA1与平面BCC1B1所成的角，则∠A1CB1=30°，…6分在R t△A1B1C中，B1C=，tan A1CB1．∴A1B1=…7分以B为原点，分别以BC，BB1，AA1为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，），C（，0，0），D（0，-，0），∴=（，0，-），=（0，-，-），…8分设面ACD的法向量为=（x，y，z），则即，取z=1，则=（1，-1，1）…9分在平面ABC内取面AC1的一个法向量=（x，0，z），则=x-z=0，取x=1，则z=1，∴=（1，0，1）…10分∴cos＜，＞==，…11分由图知二面角D-AC-C1为钝角，二面角D-AC-C1的余弦值为-…12分【解析】（Ⅰ）取AC的中点E，连接PE，DE，证明四边形DBPE为平行四边形，从而BP∥平面ACD；（Ⅱ）轴建立空间直角坐标系，用向量法解决．空间直角坐标系本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，解题的关键是正确建立坐标系，属于中档题．18.某超市制定“五一”期间促销方案，当天一次性购物消费额满1000元的顾客可参加“摸球抽奖赢代金券”活动，规则如下：①每位参与抽奖的顾客从一个装有2个红球和4个白球的箱子中逐次随机摸球，一次只摸出一个球；②若摸出白球，将其放回箱中，并再次摸球；若摸出红球则不放回，工作人员往箱中补放一白球后，再次摸球；③如果连续两次摸出白球或两个红球全被摸出，则停止摸球．停止摸球后根据摸出的红球个数领取代金券，代金券数额Y与摸出的红球个数x满足如下关系：Y=144+72x（单位：元）．（Ⅰ）求一位参与抽奖顾客恰好摸球三次即停止摸球的概率；（Ⅱ）求随机变量Y的分布列与期望．【答案】解：（Ⅰ）恰好摸球三次即停止摸球包含三种情况：①红白红；②白红红；③红白白，∴所求事件的概率为：p==．（Ⅱ）x的可能取值为0，1，2，对应随机变量Y的可能取值为144，216，288，则P（Y=144）=，P（Y=216）=，P（Y=288）=1-=，∴Y的分布列为：【解析】（Ⅰ）恰好摸球三次即停止摸球包含三种情况：①红白红；②白红红；③红白白，由此能求出一位参与抽奖顾客恰好摸球三次即停止摸球的概率．（Ⅱ）x的可能取值为0，1，2，对应随机变量Y的可能取值为144，216，288，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y的分布列与期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19.已知等差数列{a n}，a1+a3+a5=42，a4+a6+a8=69；等比数列{b n}，b1=2，log2（b1b2b3）=6．（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n-b n，求数列{|c n|}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3+a5=3a3=42，∴a3=14，a4+a6+a8=3a6=69，∴a6=23，∴d==3．a n=a3+（n-3）d=14+（n-3）•3=3n+5．设等比数列{b n}的公比为q，由log2（b1b2b3）=6，得b1b2b3=26，即，∴b2=4，则q==2，∴．（Ⅱ）c n=a n-b n=（3n+5）-2n，c n+1-c n=[3（n+1）+5]-2n+1-（3n+5）+2n=3-2n，当n=1时，c2-c1=1＞0，c2＞c1，当n≥2时，3-2n＜0，c n+1＜c n，又c1=6，c2=7，c3=6，c4=1，c5=-12，…∴{c n}的前4项为正，从第5项开始往后各项为负，设数列{c n}的前n项和为S n，S n=（a1-b1）+（a2-b2）+…+（a n-b n）=（a1+a2+…+a n）-（b1+b2+…+b n）=（2n+1-2），∴当n≤4时，T n=|c1|+|c2|+…+|c n|=c1+c2+…+c n=S n=+2；当n≥5时，T n=c1+c2+c3+c4-（c5+c6+…+c n）=S4-（S n-S4）=2S4-S n∴，，．【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的性质及已知可分别求得a3=14，a6=23，进而可求d，由通项公式可得a n；设等比数列{b n}的公比为q，由log2（b1b2b3）=6，得b1b2b3=26，由等比数列的性质可得b2=4，则q==2，由通项公式可得b n；（Ⅱ）易求c n=a n-b n=（3n+5）-2n，由c n+1-c n=[3（n+1）+5]-2n+1-（3n+5）+2n=3-2n 的符号可判断{c n}的前4项为正，从第5项开始往后各项为负，设数列{c n}的前n项和为S n，利用等差、等比数列的求和公式可求S n=（a1-b1）+（a2-b2）+…+（a n-b n）=（a1+a2+…+a n）-（b1+b2+…+b n），然后分n≤4，n≥5两种情况讨论可求T n．本题考查等差、等比数列的通项公式、求和公式，考查分类讨论思想，考查学生的运算求解能力，属中档题．20.如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，点P为上顶点，圆O：x2+y2=b2将椭圆C的长轴三等分，直线l：y=mx-（m≠0）与椭圆C交于A、B两点，PA、PB与圆O交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证△APB为直角三角形；（Ⅲ）设直线MN的斜率为n，求证：为定值．【答案】（Ⅰ）解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，∴2b=2，解得b=1，∵圆O将椭圆的长轴三等分，∴2b=，∴a=3b=3，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由，消去y得（1+9m2）x2-，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，又P（0，1），∴，，===（1+m2）•-==0∴PA⊥PB，∴△PAB为直角三角形．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知PA⊥PB，由题意知PA，PB的斜率存在且不为0，设直线PA的斜率为k，k＞0，则PA：y=kx+1，由，得或，∴，，又直线l过点（0，-），则m==，由，得，或，∴M（，），又∵PM⊥PN，∴MN为⊙O的直径，∴MN过原点，∴n=，又∵m≠0，∴k2-1≠0，∴n≠0，∴=，∴为定值．【解析】（Ⅰ）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，解得b=1，由圆O将椭圆的长轴三等分，得a=3b=3，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由，得（1+9m2）x2-，由此推导出，从而能证明△PAB为直角三角形．（Ⅲ）设直线PA的斜率为k，k＞0，则PA：y=kx+1，由，得，，又直线l过点（0，-），则m=，由，得M（，），MN过原点，n=，由此能证明为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形为直角三角形的证明，考查两数比值为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=a x+x2-xlna（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）a＞l，证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（-x）；（Ⅲ）若对任意x1，x2，x1≠x2，且当f（x1）=f（x2）时，有x1+x2＜0，求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=a x•lna+2x-lna，令g（x）=f′（x），∴g′（x）=a x（lna）2+2＞0，∴g（x）是（-∞，+∞）上的增函数，∵g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞g（0）=0，此时f′（x）＞0，x＜0时，g（x）＜g（0）=0，此时f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．（Ⅱ）设h（x）=f（x）-f（-x）=a x-a-x-2xlna，∴h′（x）=（a x+a-x）lna-2lna，∵a＞1，故lna＞0，∴h′（x）≥2-2lna=2lna-2lna=0，∴h（x）在（0，+∞）单调递增；∴h（x）＞h（0）=0，即x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（-x）．（Ⅲ）由于x1≠x2，且f（x1）=fx2），由（Ⅰ）知x1，x2异号，不妨设x1＜0，x2＞0，则x1，-x2∈（-∞，0），由（Ⅱ）知：当a＞1时，f（x1）=f（x2）＞f（-x2），∵x∈（-∞，0）时，f（x）单调递减，故x1＜-x2，∴x1+x2＜0，即a＞1适合题意；当0＜a＜1时，lna＜0，由（Ⅱ）h（x）=a x-a-x-2xlnah′（x）=（a x+a-x）lna-2lna≤2lna-2lna=0，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜f（-x），故f（x1）=f（x2）＜f（-x2），∵x∈（-∞，0）时，f（x）单调递减，x1＞-x2，x1+x2＞0，即0＜a＜1不合题意，综上：a＞1．【解析】（Ⅰ）通过对函数求导确定单调区间，（Ⅱ）设出新函数，通过对新函数求导找到单调区间，确定最小值，从而问题得解，（Ⅲ）对a进行讨论，由前两问综合得出．本题考察了导数的综合应用，函数的单调性，分类讨论思想，是一道综合题．。
山东省济宁市2014届高三第二次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
2014年山东省济宁市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数z为纯虚数，若（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣B．2C．﹣2 D．
2．已知集合A={x∈R||x﹣1|≤2}，B={x∈R|x 2
≤4}，则A∩B=（）
A．（﹣1，2）B．[﹣1，2] C．（0，2] D．[﹣2，3]
3．已知具有线性相关的两个变量x、y之间的一组数据如下表：
且回归方程=x+3.6，则当x=6时，y的预测值为（）
A．8.46 B． 6.8 C． 6.3 D． 5.76
4．设变量x、y满足约束条件：，则目标函数z=5x+3y的最大值为（）A．18 B 、17 C． 27 D．
5．已知函数f（x）=cos（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则“φ=﹣”是“g（x）为偶函数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A． 16 B． 32C． 48 D． 144
7．函数f（x）=1﹣x+lgx的图象大致是（）。
数学_2014年山东省烟台市高考数学二模试卷(理科)_(含答案)
2014年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1. 已知集合A={x||x−2|>2}，B={x|x∈N}，则(∁U A)∩B=()A {1, 2, 3}B {0, 1, 2, 3}C {0, 1, 2, 3, 4}D {1, 2, 3, 4}2. 若复数z满足(2+i)z=5（其中i为虚数单位），则z的共轭复数z¯对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ∼N(110, 102)，若P(100≤ξ≤110)=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A 10B 9C 8D 74. 已知a，b∈R，ab≠0，则“a>0，b>0”是“a+b2≥√ab”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5. 定义[a1a2a3a4]=a1a4−a2a3，若f(x)=[sin(π−x)√3cos(π+x)1]，则f(x)的图象向右平移π3个单位得到的函数解析式为（）A y=2sin(x−2π3) B y=2sin(x+π3) C y=2cosx D y=2sinx6. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A 2π3 B 4π3C 8π3D 16π37. 已知圆C的方程为x2+y2−2x=0，若以直线y=kx−2上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A −1B 0C 1D 28. 函数f(x)=sinxln(x+2)的图象可能是（）A B C D9. 若在曲线f(x, y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x, y)=0的“自公切线”．下列方程： ①y =e x −l ； ②y =x 2−|x|； ③|x|+l =√4−y 2 ④y =|x|+2|x|对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ） A ①② B ②③ C ②④ D ③④10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)左、右焦点分别为F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，若双曲线右支上存在点P 使得a sin∠PF 1F 2=csin∠PF 2F 1，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A (0, √2−1)B (√2−1, 1)C (1, √2+1)D (√2+1, +∞)二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在答题卡相应位置．11. 如图方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为l5，乙组数据的平均数为16.8，则x +y 的值为________．12. 直线y =x 与抛物线y =2x −x 2所围成封闭图形的面积为________．13.已知数列{a n }中a 1=1，a n+1=a n +n ，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第8项，则判断框内的条件是________．14. 已知关于x 的二项式(√x √x 3)n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．15. 已知函数f(x)=e x −e −x ，实数x ，y 满足f(x 2−2x)+f(2y −y 2)≥0，若点M(1, 2)，N(x, y)，则当1≤x ≤4时，OM →⋅ON →的最大值为________（其中O 为坐标原点）三、解答题．本大题共6个小题，共75分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．16. 己知函数f(x)=√3sinxcosx +sin 2x +12(x ∈R)（1）当x ∈[−π12, 5π12]时，求函数f(x)的最小值和最大值；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c =√3，f(C)=2，若向量m →=(1, a)与向量n →=(2, b)共线，求a ，b 的值．17. 第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京召开．为了做好两会期间的接待服务工作，中国人民大学学生实践活动中心从7名学生会干部（其中男生4人，女生3人）中选3人参加两会的志愿者服务活动． （1）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望： （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．18. 已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 4−S 1=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{a n }为递增数列，b n =1log 2a n ⋅log 2a n+2，T n =b 1+b 2+...+b n ，问是否存在最小正整数n 使得T n >12成立？若存在，试确定n 的值，不存在说明理由．19. 在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD // EF ，EF // BC ．BC =2AD =4，EF =3，AE =BE =2，G 为BC 的中点． （1）求证：AB // 平面DEG ； （2）求证：BD ⊥EG ；（3）求二面角C −DF −E 的正弦值．20.已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点F(1, 0)，C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M(4, 0)的直线l 与抛物线C 2分别相交于A ，B 两点． （1）如图所示，若AM →=14MB →，求直线l 的方程；（2）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．21. 已知函数f(x)=lnx+12ax2−(a+1)x(a∈R)．（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）当a>0时，若f(x)在区间[1, e]上的最小值为−2，求a的值；（3）若对任意x1，x2∈(0, +∞)，x1<x2，且f(x1)+x1<f(x2)+x2恒成立，求a的取值范围．2014年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. A3. B4. C5. D6. C7. A8. A9. C10. C11. 1312. 1613. n≤7？14. 215. 1216. 解：（1）∵ 函数f(x)=√3sinxcosx+sin2x+12(x∈R)∴ f(x)=√32sin2x+1−cos2x2+12=√32sin2x−12cos2x+1=sin(2x−π6)+1，∵ −π12≤x≤5π12，∴ −π3≤2x−π6≤2π3，∴ −√32≤sin(2z−π6)≤1，从而1−√32≤sin(2x−π6)+1≤2，则f(x)的最小值是1−√32，最大值是2； （2）∵ f(C)=sin(2C −π6)+1=2，则sin(2C −π6)=1， ∵ 0<C <π，∴ −π6<2C −π6<11π6，∴ 2C −π6=π2，解得C =π3．∵ 向量m →=(1, a)与向量n →=(2, b)共线， ∴ b −2a =0， 即b =2a ①由余弦定理得，c 2=a 2+b 2−2abcos π3， 即a 2+b 2−ab =3 ② 由①②解得a =1，b =2．17. 解：(1)ξ得可能取值为 0，1，2，3 由题意P(ξ=0)=C 43C 73=435，P(ξ=1)=C 42C 31C 73=1835， P(ξ=2)=C 41C 32C 73=1235，P(ξ=3)=C 40C 33C 73=135…∴ ξ的分布列、期望分别为：Eξ=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97 …（2）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C男生甲被选中的种数为C 62=15，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C 51=5 … ∴ P(C)=515=13．∴ 在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为13． … 18. 解：（1）设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， 依题意，有2(a 3+2)=a 2+a 4， 由S 4−S 1=28可得a 2+a 3+a 4=28 得a 3=8∴ a 2+a 4=20 …∴ {a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8 解之得{q =2a 1=2或{q =12a 1=32 …所以a n =2n 或a n =(12)n−6 … （2）∵ 数列a n 单调递增，∴ q =2，a 1=2∴ a n =2n b n =1log 22n ⋅log22n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2)…∴ T n =12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n −1n+2 =12(32−1n+1−1n+2)=34−2n+32n 2+6n+4．…假设存在，则有34−2n+32n 2+6n+4>12，整理得：n 2−n −4>0 解得n >1+√172或n <1−√172（不合题意舍去） …又∵ n 为正整数，∴ n 的最小值为3．…19. （1）证明：∵ AD // EF ，EF // BC ，∴ AD // BC ，∵ BC =2AD ，G 为BC 的中点，∴ AD // BG ，且AD =BG ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB // DG因为AB 不在平面DEG 中，DG 在平面DEG 内，∴ AB // 平面DEG ． （2）证明：∵ EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴ EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，∵ AE ⊥EB ，∴ EB 、EF 、EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB 、EF 、EA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 由已知得：A(0, 0, 2)，B(2, 0, 0)，C(2, 4, 0)，D(0, 2, 2)，F(0, 3, 0)，G(2, 2, 0)． ∵ EG →=(2,2,0)，BD →=(−2,2,2)，∴ BD →⋅EG →=−2×2+2×2+2×0=0 ∴ BD ⊥EG ．（3）解：由已知得EB →=(2,0,0)是平面EFDA 的法向量，设平面DCF 的法向量为n →=(x,y,z)∵ FD →=(0,−1,2)，FC →=(2,1,0)，∴ {−y +2z =02x +y =0，令z =1，得x =−1，y =2，即n →=(−1,2,1)．设二面角C −DF −E 的大小为θ， 则cosθ=|n →||EB →|˙=−√66，∴ sinθ=√306∴ 二面角C −DF −E 的正弦值为√306． 20. 解：（1）由题意，抛物线C 2的焦点F(1, 0)，则p =2．所以方程为：y 2=4x ．…设直线方程为x =my +4，并设A(y 124, y 1)，B(y 224, y 2)，因为AM →=14MB →，所以y 1=−14y 2联立{x =my +4y 2=4x ，可得y 2−4my −16=0，有y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−16，因为y 1=−14y 2，所以解得：y 1=−2，y 2=8，m =32， 所以直线方程为：2x −3y −8=0 … （2）求得对称点P(81+m 2, −8m 1+m 2)，…代入抛物线中可得：m =±1，直线l 方程为x =±y +4，考 虑到对称性不妨取x =y +4，椭圆设为x 2λ+y 2λ−1=1(λ>1)联立直线和椭圆并消元整理(2λ−1)y 2+8(λ−1)y +λ2+17λ−16=0，… 因为椭圆与直线有交点，所以△=64(λ−1)2+4(λ−1)(λ−16)(2λ−1)≥0， 解得λ≥172…即a 2≥172，所以a ≥√342所以长轴长的最小值为√34． …21. 解：（1）当a =1时，f(x)=lnx +12x 2−2x ，f′(x)=1x +x −2． ∵ f′(1)=0，f(1)=−32． ∴ 切线方程是y =−32．（2）函数f(x)=lnx +12ax 2−(a +1)x(a ∈R)的定义域是(0, +∞)．当a >0时，f′(x)=1x +ax −(a +1)=ax 2−(a+1)x+1x=(x−1)(ax−1)x．令f′(x)=0，解得x =1或x =1a ．当0<1a ≤1，即a ≥1时，f(x)在[1, e]上单调递增，∴ f(x)在[1, e]上的最小值是f(1)=−12a −1=−2，解得a =2；当1<1a <e 时，f(x)在[1, e]上的最小值是f(1a )，∴ −lna −12a −1=−2，即lna +12a =1． 令ℎ(a)=lna +12a ，ℎ′(a)=1a −12a 2=2a−12a 2=0，可得a ∈(1e ，12)函数ℎ(a)单调递减，a ∈(12，1)函数ℎ(a)单调递增．而ℎ(1e)=−1+e2<1，不合题意．当1a≥e 时，f(x)在[1, e]上单调递减，∴ f(x)在[1, e]上的最小值是f(e)=1+12ae 2−(a +1)e =−2，解得a =6−2e2e−e 2<0，不合题意．综上可得：a =2．（3）设g(x)=f(x)+x ，则g(x)=lnx +12ax 2−ax ，∵ 对任意x 1，x 2∈(0, +∞)，x 1<x 2，且f(x 1)+x 1<f(x 2)+x 2恒成立， ∴ 只要g(x)在(0, +∞)上单调递增即可． 而g′(x)=ax −a +1x =ax 2−ax+1x．当a =0时，g ′(x)=1x >0，此时g(x)在(0, +∞)上单调递增；当a ≠0时，只需g′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，只要ax 2−ax +1≥0， 则需要{a >0△=a 2−4a ≤0，解得0<a ≤4．综上a 的取值范围是：0≤a ≤4．。
数学_2014年山东省德州市高考数学二模试卷(理科)_(含答案)
2014年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上． 1. 若复数z 满足(z +2)i =5+5i （i 为虚数单位），则z 为（ ） A 3+5i B 3−5i C −3+5i D −3−5i2. 设集合A ={x|y =lg(x −2)}，B ={y|y =2x−1, x ∈A}，则∁R A ∪B( ) A (2, +∞) B [2, +∞) C ⌀ D R3. 下列命题错误的是（ ）A 命题“若x 2−3x +2=0，则x =1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2−3x +2≠0”B 若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题 C 命题p ：存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1<0，则¬p ：任意x ∈R ，都有x 2+x +1≥0 D “x >2”是“x 2−3x +2>0”的充分不必要条件 4. 已知y ＝f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0, +∞)上单调递增，则满足f(m)<f(1)的实数m 的范围是（ ）A −1<m <0B 0<m <1C −1<m <1D −1≤m ≤15.如图是函数y =Asin(ωx +φ)(A <0, ω>0, |φ|≤π2)图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y =sinx(x ∈R)的图象上所有的点（ ） A 向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B 向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6. 已知e 1→、e 2→是两个单位向量，若向量a →=e 1→−2e 2→，b →=3e 1→+4e 2→，且a →⋅b →=−6，则向量e 1→与e 2→的夹角是（ ） A π6B π4C π3D π27. 函数f(x)=(x −1)sinx ，x ∈[−π, π]的图象为（ ）A B C D8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为（ ）（注：“a =2”，即为“a ←2”或为“a :=2”．）A 2B 13 C −12 D −3 9. 过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，向量OA →+OB→与向量α→=(−3, 1)共线，则该椭圆的离心率为（ ） A √33 B √63 C √34 D √23 10. 若函数f(x)满足f(x)+1=1f(x+1)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=x ，若在区间(−1, 1]上，方程f(x)−mx −2m =0有两个实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A 0<m ≤13B 0<m <13C 13<m ≤l D 13<m <1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知变量x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥1x ≤2，则z =2x −y 的最大值为________．12. 已知a =∫(202x 2−x)dx ，则(32ax √x)4的展开式中x 的系数为________． 13. 一个几何体的三视图如图所示，其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是________．14. 以下四个命题中：①为了解600名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为30；②直线y =kx 与圆(x −cosθ)2+(y −sinθ)2=1恒有公共点；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(2, σ2)(σ>0)．若ξ在(−∞, 1)内取值的概率为0.15，则ξ在(2, 3)内取值的概率为0.7；④若双曲线x 24−y 2=k 的渐近线方程为y =±12x ，则k =1． 其中正确命题的序号是________．15. 对任意实数a ，b ，定义F(a, b)=12(a +b −|a −b|)，如果函数f(x)=ln(e 2x)，g(x)=3−x ，那么G(x)=F （f(x)，g(x)）的最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 如图在△ABC 中，已知∠A =π3，BC =4√3，D 为AB 上一点．（1）若CD =2，S △BDC =2√3，求BD 长； （2）若AC =AD ，求△BCD 周长的最大值．17. 如图，DA ⊥平面ABC ，DA // PC ，∠ACB =90∘，AC =AD =BC =1，PC =2，E 为PB 的中点． (I)求证：DE // 平面ABC ；(II)求二面角E −CD −B 的余弦值．18. 某公司招聘工作人员，有甲、乙两组题目，现有A 、B 、C 、D 四人参加招聘，其中A 、B 两人独自参加甲组测试，C 、D 两人独自参加乙组测试；已知A 、B 两人各自通过的概率均为23，C 、D 两人各自通过的概率均为14．（1）求参加甲组测试通过的人数多于参加乙组测试通过人数的概率； （2）记甲乙两组测试通过的总人数为X ，求X 的分布列和期望． 19. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a na n +1．(I)求{a n }的通项公式；(II)证明：对一切正整数n ，有a11+a 22+a 33+...+a n n<74．20. 已知函数f(x)=alnx −x 2+(2−a)x(a >0)．（1）当a =2时，求曲线y =f(x)在线x =1处的切线方程； （2）若函数f(x)的最大值是12，求a 的值；（3）令g(x)=f(x)+2(a−1)x，若y=g(x)在区间(0, 2)上不单调，求a的取值范围．21. 已知点P(4, a)(a>0)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，P点到抛物线C的焦点F的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）已知圆E:x2+y2=2x，过圆心E作直线l与圆E和抛物线C自上而下依次交于A、B、C、D，如果|AB|+|CD|=2|BC|，求直线l的方程；（3）过点Q(4, 2)的任一直线（不过P点）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线y= x+4交于点M，记直线PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3，问是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．2014年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. D3. B4. C5. A6. C7. A8. D9. B10. A11. 512. 15013. 8√3+4√33π14. ②15. 216. ．解：（1）∵ S△BDC=12BC⋅CD⋅sin∠BCD=2√3，∴ sin∠BCD=12∴ ∠BCD=π6∵ 在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2−2BD⋅CD⋅cos∠BCD=4+48−2×2×4√3×√32=28，∴ BD=2√7．（2）∵ AC=AD，∠A=π3，∴ △ACD为正三角形，在△BCD中，由正弦定理得DCsinB =BDsin(π3−B)=BCsin∠BDC=8∴ DC =8sinB ，BD =8sin(π3−B)，∴ △BCD 周长为BD +DC +BC =4√3+8sinB +8sin(π3−B)=8sin(B +π3)+4√3，∵ ∠BDC =2π3，∴ 0<∠B <π3，∴ π3<∠B +π3<2π3，∴ 当∠B +π3=π2，即∠B =π6时，△BDC 周长取得最大值，最大值为8+4√3． 17. 解：(1)取BC 的中点F ，连结EF ， 则EF // PC // DA ，且EF =12PC =DA =1，则四边形ADEF 是平行四边形， 即DE // AF ，∵ DE ⊄平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴ DE // 平面ABC ；(2)∵ DA ⊥平面ABC ，DA // PC ， ∴ PC ⊥平面ABC ，∵ ∠ACB =90∘，AC =AD =BC =1，PC =2，∴ 分别以DA ，CB ，CP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间坐标系如图， 则A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，D(1, 0, 1)，P(0, 0, 2)， 则E(0, 12, 1)，则D 1M →=(1, 0, −1)，MB 1→=(1, 2, 1)，设n →=(x, y, z)是平面ECD 的法向量， CD →=(1,0,1)，CE →=(0,12,1)， 则{CE →⋅n →=y2+z =0˙，令z =1，则x =−1，y =−2，则n →=(−1, −2, 1)， 设m →=(x, y, z)是平面BCD 的法向量，∵ CD →=(1,0,1)，CB →=(0,1,0)， ∴ {CB →⋅m →=y =0˙，令z =1，则x =−1，则m →=(−1, 0, 1)， ∴ cos <m →，n →>=√6×√2=√33． 易知二面角E −CD −B 为锐角， 故二面角E −CD −B 的余弦值为√33．18. 解：（1）设参加甲组测试通过的人数多于参加乙组测试通过人数为事件A ，则 P(A)=23×13×2×(34)2+(23)2×[(34)2+2×14×34]=23；（2）X 可取0，1，2，3，4，则 P(X =0)=(13)2×(34)2=116；P(X =1)=2×23×13×(34)2+(13)2×2×14×34=724；P(X =2)=(23)2×(34)2+(13)2×(14)2+4×13×23×14×34=61144；P(X =3)=(23)2×14×34×2+23×13×2×(14)2=736； P(X =4)=(23)2×(14)2=136， X 的分布列EX =1×724+2×61144+3×736+4×136=116．19. 解：(1)∵ a n+1=a na n +1，a 1=1，∴ a n ≠0，∴ 1a n+1=1a n+1，∴1a n+1−1a n=1，∴ {1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴ 1a n=1a 1+(n −1)×1=1+n −1=n ，∴ a n =1n ．(II)证明：由(I)知a nn =1n 2，n ∈N ∗，a 11+a 22+⋯+a nn=1+122+132+⋯+1n 2 <1+14+12×3+⋯+1(n −1)×n=1+14+12−13+⋯+1n −1−1n=74−1n <74． ∴ a11+a 22+a 33+...+a n n<74．20. 解：（1）当a =2时，f(x)=2lnx −x 2． ∴ f ′(x)=2x −2x ，则f′(1)=0．又f(1)=−1，∴ 曲线y =f(x)在线x =1处的切线方程为y =−1； （2）∵ f(x)=alnx −x 2+(2−a)x(a >0)， 函数定义域为(0, +∞)， ∴ f ′(x)=ax−2x +(2−a)=−2x 2+(2−a)x+ax=−(2x+a)(x−1)x．令f′(x)=0，得x 1=−a2，x 2=1． ∵ a >0， ∴ x 1=−a2（舍）．当x ∈(0, 1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数； x ∈(1, +∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数．且f(x)在(0, +∞)上只有一个极大值，即为最大值． ∴ f(x)max =f(1)=−1+2−a =12，解得a =12；（3）g(x)=f(x)+2(a −1)x=alnx −x 2+(2−a)x +2ax −2x =alnx −x 2+ax ， g ′(x)=ax −2x +a ．∵ g(x)在区间(0, 2)上不单调，∴ g′(x)=0在(0, 2)上存在实数解且无重根． 由g′(x)=0，得2x 2−ax −a =0， 令ℎ(x)=2x 2−ax −a ，x ∈(0, 2)． ∵ a >0，∴ ℎ(0)=−a <0，若g′(x)=0在(0, 2)上存在实数解且无重根，则ℎ(x)=0在(0, 2)上存在实数解且无重根． ∴ ℎ(2)>0， 即8−3a >0，a <83．又a >0， ∴ 0<a <83．∴ a 的取值范围是(0,83)．21. 解：（1）点P(4, a)(a >0)在抛物线C:y 2=2px(p >0)上， P 点到抛物线C 的焦点F 的距离为5， ∴ 4+p2=5，∴ p =2，∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x ．（2）圆E ：(x −1)2+y 2=1，设l 的方程为x =my +1， 联立{y 2=4xx =my +1，得y 2−4my −4=0，∴ {△=16m +16>0y 1+y 2=4m y 1⋅y 2=−4，∴ |AB|+|CD|=|AD|−|BC|，∴ |AD|=3|BC|=6， 即√1+m 2|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√m 2+1， ∴ 4(m 2+1)=6，∴ m =±√22， ∴ l 的方程√2x −y −√2=0或√2x +y −√2=0．（3）∵ 直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为y −2=k(x −4)， 由{y −2=k(x −4)y 2=4x ，得ky 2−4y +8−16k =0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1+y 2=4k ，y 1y 2=8−16k k，∴ k 1=y 1−4x 1−4=y 1−4y 124−4=4y 1+4，∴ k 2=4y2+4，k 1+k 2=4y 1+4+4y 2+4=4(y 1+y 2)+32y 1y 2+4(y 1+y 2)+16=4×4k +328−16k k +4×4k +16=32k +168−16k +16+16k =4k+23，由{y −2=k(x −4)y =x +4，得x M =4k+2k−1，y M =8k−2k−1，∴ k3=8k−2k−1−44k+2k−1−4=2k+13，∴ k1+k2=2k3．∴ 存在实数λ，使得k1+k2=λk3，且λ=2．。
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绝密★启用前 试卷类型：A山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷（二）理科数学满分150分 考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k knn =-=-第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合1{|()2}2xA x =≥和2{|lg(1)}B y y x ==+，则=B A C U )(（ ） A ．{|1x x ≤-或0}x ≥ B ．{(,)|1,0}x y x y ≤-≥C ．{|0}x x ≥D ．{|1}x x >- 2．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．,p p 24D ．,p p 343．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知数列{}111,n n n a a a a n +==+中,，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是 （ ）A ．8?n ≤B ．9?n ≤C ．10?n ≤D ．11?n ≤5．已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 （ ）A ．4πB ．2πC ．43πD ．π6．已知实数y x ,满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x 则y x z 42+=的最大值为（ ）A ．20B ．24C ．16D ．127．函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为（ ）A ．（-1，1）B ．（-1，+∞）C ．（-∞，-l ）D ．（-∞，+∞）8．若函数cos 2y x =与函数sin()y x ϕ=+在[0,]2π上的单调性相同，则ϕ的一个值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π9．222:π=+y x O 圆内的正弦曲线y=sinx 与x 轴围成的区域记为D ，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域D 内的概率是 （ ）A ．24πB ．34πC ．22πD ．32π10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，x x f 21)(=，则满足21)(-=x f 的x 的值是 （ ）A ．2()Z n n ∈B ．21()Z n n -∈C ．41()Z n n +∈D ．41()Z n n -∈第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．方程1313313x x-+=-的实数解为_________________; 12．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，)1(31≥=+n s a n n ，则6a =________.13．已知抛物线28y x =的焦点与双曲线2221x y a-=的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为______________; 14．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________. 15．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①1;y x x =-②1;y x x =+③,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中满足“倒负”变换的函数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. （Ⅰ）求cos A 的值;（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC方向上的投影.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率;（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（结论不要求证明）在如图1所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且12AB A D BC CD a ====，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，使平面DAE ⊥平面ABCE ，连结,DB DC ，得到如图2所示的几何体D ABCE -，在图2中解答以下问题： （Ⅰ）设F 为AB 中点，求证：DF AC ⊥； （Ⅱ）求二面角A BD C --的正弦值．设n S 是数列{}n a （*N n ∈）的前n 项和，已知41=a ，n n n S a 31+=+，设nn n S b 3-=． （Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log 22+-=nn n b nb c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．已知函数xxx g kx x f ln )(,)(==。
（Ⅰ）求函数xxx g ln )(=的单调区间； （Ⅱ）若不等式)()(x g x f ≥在区间),0(+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．已知椭圆D ：)10(1222<<=+b by x 的左焦点为F ，其左、右顶点为A 、C ，椭圆与y轴正半轴的交点为B ，FBC ∆的外接圆的圆心P ),(n m 在直线0=+y x 上．（Ⅰ）求椭圆D 的方程； （Ⅱ）已知直线2:-=x l ，N 是椭圆D 上的动点，l NM ⊥，垂足为M ，是否存在点N ，使得FMN ∆为等腰三角形？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．理科数学（二）一、选择题： CCABA ABDBD二、填空题：11．3log 4x = 12．3×44 13 14．10- 15．①③ 三、解答题： 16．解：()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC 方向上的投影为cos 2BA B =17．解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”( i =1,2,,13).根据题意, 1()13i P A =,且()i j A A i j =∅≠ .(I)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则58B A A = ,所以58582()()()()13P B P A A P A P A ==+= .(II)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)=413,P(X=2)=P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)= P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)= 413, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 513, 所以X 的分布列为:012544131313X P故X 的期望5441201213131313EX =⨯+⨯+⨯=. (III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.18．证明： （Ⅰ）取AE 中点H ，连结HF ，连结EB ，因为DAE ∆为等边三角形，所以DH AE ⊥ ，因为平面DAE ⊥平面ABCE ， 所以DH ⊥平面ABCE ，AC ⊂平面ABCE ，所以AC DH ⊥，因为ABCE 为平行四边形，CE BC a ==，所以,ABCE 为菱形，AC BE ⊥， 因为H F 、分别为AE 、AB 中点，所以//HF BE ， 所以AC HF ⊥；因为HF ⊂平面DHF ，DH ⊂平面DHF ，且HF DH H = ， 所以AC ⊥平面DHF ，又DF ⊂平面DHF ，所以DF AC ⊥。
（Ⅱ）连结,BH EB 由题意得三角形ABE 为等边三角形，所以，BH AE ⊥，由（Ⅰ）知DH ⊥底面ABCE ，以H 为原点，分别以,,HA HB HD 所在直线为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系，如图所示：则(,0,0),,0),),(,0)2a A B D C a -，所以，(0,)BD a = ，(,0,0)BC a =- ，设面DCB 的法向量为(,,)m x y z = ，则00ax -=⎧⎪⎨=⎪⎩，不妨设(0,1,1)m = ，设面DAB 的法向量(,,)n x y z '''=，又(,0,)22a DA a =- ，则0x y z ⎧''=⎪⎨''-=⎪⎩，取(1,33n = ，所以cos ,5||||m n m n m n ∙<>==∙，所以二面角A BD C --19．解： （Ⅰ）因为n n n S a 31+=+,所以n n n n S S S 31+=-+，即n nn S S 321+=+，则)3(23323111n n n n n n n S S S -=-+=-+++，所以n n b b 21=+，又133111=-=-=a S b ，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列。