2018年高中数学必修2综合必刷题：第28课时圆与圆的位置关系Word版含解析
高中数学必修二 圆与圆的位置关系 答案解析版
4.2.2 圆与圆的位置关系（时间90分钟，满分120分）一、选择题（每小题5分，共50分）1.圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切【解析】圆C1的圆心是C1(-2,2),半径r1=1,圆C2的圆心是C2(2,5),半径r2=4,则圆心距|C1C2|=5.因为|C1C2|=r1+r2,所以两圆外切.【答案】D2.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离【解析】由已知,得C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,-2),r2=3,则d=|C1C2|=2,所以d=|r1-r2|.故两圆内切.【答案】C3.已知圆A与圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为（）A.6 cm或14 cmB.10 cmC.14 cmD.无解【解析】令圆A、圆B的半径分别为r1,r2,当两圆外切时,r1+r2=10,所以r2=10-r1=10-4=6;当两圆内切时,|r1-r2|=10,即|4-r2|=10,r2=14或r2=-6(舍),即圆B的半径为6 cm或14 cm.【答案】A4.已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C.【答案】C5.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.4【解析】两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(2,-5),则两圆的圆心距d又半径分别为r1=1,r2=4,则d>r1+r2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程为（）A.(x-4)2+(y+3)2=16B.(x+4)2+(y-3)2=36C.(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D.(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=36【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0).因为圆C与圆O相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.外离B.外切C.相交D.内切【解析】圆心距d =两圆半径的和为2+1=3, 两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C8.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（ ）A .2±B .2C .-2D .4±【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a ,又公共弦长为,所以=解得2a =±. 【答案】A9.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m 的最大值为（ ）A .7B .6C .5D .4【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B★10.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（ ）A.⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛ ⎝⎭⎝⎭UD.⎛ ⎝⎭【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a <<,所以a <<a << 【答案】C二、填空题（每小题5分，共20分）11.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=012.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m= .【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45=,解得m=81.【答案】8113.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为 .【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB的距离d == 故公共弦AB的长为AB ===14.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是 .【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切三、解答题（15-17每小题12分，18题14分，共50分）15.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,半径为2的圆的方程. 【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以222291422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得32a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以圆心C的坐标为3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,所求圆的方程为22342x y ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.16.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=. ① 若两圆外切,123=+=. ② 由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,211=-=. ③ 由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.17.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1. 设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2=, 化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥). ★（附加题）18.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r . 因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=, ①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。
2018版高中数学人教B版必修二学案第二单元 2.3.4 圆与圆的位置关系 Word版含答案
．圆与圆的位置关系
学习目标.理解圆与圆的位置关系的种类.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定
方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．
知识点两圆的位置关系
思考圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？
思考已知两圆：＋＋＋＋＝和：＋＋＋＋＝，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？
梳理圆与圆位置关系的判定
()几何法：若两圆的半径分别为、，两圆心连线的长为，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含
图示
与、的关
系
()代数法：设两圆的一般方程为
：＋＋＋＋＝(＋－＞)，
：＋＋＋＋＝(＋－＞)，
联立方程，得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数组组组
两圆的公共点个数
两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含
类型一两圆的位置关系
例
已知圆：＋－＝(＞)截直线＋＝所得线段的长度是，则圆与圆：(－)＋(－)＝的位置关系是() ．内切．相交．外切．外离
反思与感悟判断圆与圆的位置关系的一般步骤
()将两圆的方程化为标准形式(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)．
()分别求出两圆的圆心坐标和半径，.
()求两圆的圆心距.
()比较与－，＋的大小关系．
()根据大小关系确定位置关系．
跟踪训练已知圆：＋－＋＋＝和圆：＋－＋＋＝，则这两个圆的公切线的条数为() ．或．．．
例当为何值时，两圆：＋－＋＋－＝和：＋＋－＋－＝：
()外切；()相交；()外离．。
高一数学人教版A版必修二练习4.2.2 圆与圆的位置关系 Word版含解析
圆与圆的位置关系【课时目标】．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断．．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题．圆与圆位置关系的判定有两种方法：．几何法：若两圆的半径分别为、，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示与、的关系＝＋－<<<．代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．一元二次方程一、选择题．两圆(＋)＋(－)＝和(－)＋(＋)＝的位置关系是()．外切．内切．相交．相离．两圆＋－＋＋＝与＋＋－－＝的公切线有()．条．条．条．条．圆＋－＋＝和圆＋－＝交于、两点，则的垂直平分线的方程是()．＋＋＝．－－＝．－－＝．－＋＝．圆：(－)＋(＋)＝与圆：(＋)＋(－)＝外切，则的值为()．．－．或－．不确定．已知半径为的动圆与圆(－)＋(＋)＝相切，则动圆圆心的轨迹方程是()．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝或(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝或(－)＋(＋)＝．集合＝{(，)＋≤}，＝{(，)(－)＋(－)≤，>}，且∩＝，则的取值范围是()．(，－) ．(]．(－] ．(]二、填空题．两圆＋＝和(＋)＋(－)＝相切，则实数的值为．．两圆交于()及(，－)，两圆的圆心均在直线－＋＝上，则＋的值为．．两圆＋－＋－＝和＋＝的公共弦长为．三、解答题．求过点()且与圆：＋＋＋＝切于原点的圆的方程．．点在圆心为的方程＋＋－＋＝上，点在圆心为的方程＋＋＋＋＝上，求的最大值．。
高中数学圆与圆的位置关系总结练习含答案解析S
2.2.3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系及判定1.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含公共点个数0 ①② 1 02.设两圆半径分别为r1,r2,圆心距为d,则两圆相交时,r1,r2,d的关系为③.两圆外切时,r1,r2,d的关系为④.3.设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立得{x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,方程组有两组不同实数解⇔两圆⑤,有⑥实数解⇔两圆相切,无实数解⇔两圆外离.圆系方程的应用1.(2014湖北黄冈期中,★☆☆)圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=9的公切线有条.思路点拨求出圆心距,即可得出结论.2.(2013江苏白蒲模拟,★★☆)求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0交点的圆的方程.思路点拨本题解法较多,可考虑利用公共弦求解,也可以利用圆系方程求解.3.(2014江苏建湖中学训练,★★☆)已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆心M的轨迹方程,并求圆M的半径最小时的方程.思路点拨从几何性质入手分析,抓住圆心和半径分析圆的方程.4.(2013苏南四校月考,★★★)已知☉O:x2+y2=1和点M(4,2).(1)过点M向☉O引切线l,求直线l的方程;(2)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的☉M的方程;(3)设P为(2)中☉M上任一点,过点P向☉O引切线,切点为Q.试探究:平面内是否存在一定点R,使得PQPR为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.一、填空题1.已知圆O1:x2+y2-2x-4y+4=0与圆O2:x2+y2-8x-12y+36=0,两圆的位置关系为.2.圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为.3.若a2+b2=4,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是.5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是.6.点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是.7.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2},且M∩N=N,则r的取值范围是.8.设A={(x,y)|y=√2a2-x2,a>0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-√3)2=a2,a>0},若A∩B≠⌀,则a的最大值为.9.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.10.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=254截得的弦长是.二、解答题11.试分别确定圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0与C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50)外切、内切、相交、内含、外离时,k的取值范围.12.已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0(a≠2).(1)求证:对于任意实数a(a≠2),该圆过定点;(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求实数a的值.知识清单①1 ②2 ③|r 1-r 2|<d<r 1+r 2 ④d=r 1+r 2 ⑤相交 ⑥两组相同链接高考1.答案 3解析 C 1(-2,2),r 1=2,C 2(2,5),r 2=3,|C 1C 2|=√(-2-2)2+(2-5)2=5,∵|C 1C 2|=r 1+r 2,∴圆C 1与圆C 2外切.所以圆C 1与圆C 2有3条公切线.2.解析 解法一:由{x 2+y 2-4x -6=0,x 2+y 2-4y -6=0,得到两圆公共弦所在直线方程为y=x, 由{y =x ,x 2+y 2-4y -6=0, 解得{x 1=-1,y 1=-1或{x 2=3,y 2=3.∴圆x 2+y 2-4x-6=0和x 2+y 2-4y-6=0的交点分别为A(-1,-1)、B(3,3), 线段AB 的垂直平分线方程为y-1=-(x-1). 由{y -1=-(x -1),x -y -4=0,得{x =3,y =-1. ∴所求圆的圆心为(3,-1), 半径为√(3-3)2+[3-(-1)]2=4. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法二:由解法一,求得A(-1,-1)、B(3,3). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,由{a -b -4=0,(-1-a )2+(-1-b )2=r 2,(3-a )2+(3-b )2=r 2,得{a =3,b =-1,r 2=16. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法三:设经过两圆交点的圆系方程为 x 2+y 2-4x-6+λ(x 2+y 2-4y-6)=0(λ≠-1), 即x 2+y 2-41+λx-4λ1+λy-6=0. ∴圆心坐标为(21+λ,2λ1+λ),又∵圆心在直线x-y-4=0上, ∴21+λ-2λ1+λ-4=0,即λ=-13,∴所求圆的方程为x 2+y 2-6x+2y-6=0.3.解析 两圆方程相减,得公共弦AB 所在的直线方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m 2-1=0, 由于A,B 两点平分圆N 的圆周,所以A,B 为圆N 直径的两个端点, 即直线AB 过圆N 的圆心N,而N(-1,-1),所以-2(m+1)-2(n+1)-m 2-1=0, 即m 2+2m+2n+5=0,即(m+1)2=-2(n+2)(n≤-2), 又圆M 的圆心M(m,n),所以圆心M 的轨迹方程为(x+1)2=-2·(y+2)(y≤-2), 又圆M 的半径r=2+1≥√5(n≤-2), 当且仅当n=-2,m=-1时半径取得最小值,∴当圆M 的半径最小时,圆M 的方程为x 2+y 2+2x+4y=0.4.解析 (1)显然,直线l 的斜率存在.设切线l 的方程为y-2=k(x-4),易得√k 2+1=1,解得k=8±√1915. ∴切线l 的方程为y-2=8±√1915(x-4). (2)圆心到直线y=2x-1的距离为√5,设圆M 的半径为r,则r 2=22+(√5)2=9,∴☉M 的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.(3)假设存在这样的点R(a,b),设点P 的坐标为(x,y),相应的定值为λ(λ>0), 根据题意及勾股定理可得PQ=√x 2+y 2-1, ∴√x 2+y 2√(x -a )+(y -b )=λ,即x 2+y 2-1=λ2(x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2),(*) 又点P 在☉M 上, ∴(x -4)2+(y-2)2=9,即x 2+y 2=8x+4y-11,代入(*)式得,8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a 2+b 2-11)].若系数对应相等,则等式恒成立,∴{λ2(8-2a )=8,λ2(4-2b )=4,λ2(a 2+b 2-11)=-12,解得a=2,b=1,λ=√2或a=25,b=15,λ=√103, ∴可以找到这样的定点R,使得PQPR 为定值.当点R 的坐标为(2,1)时,比值为√2; 当点R 的坐标为(25,15)时,比值为√103.基础过关一、填空题 1.答案 外切解析 由题意得圆的半径分别为1,4,圆心距为√(4-1)2+(6-2)2=5=4+1,故两圆外切. 2.答案 2或-5解析 圆C 1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径为3;圆C 2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为2.依题意有√(-2-m )2+(m +1)2=3+2, 即m 2+3m-10=0, 解得m=2或m=-5. 3.答案 外切解析 ∵两圆的圆心分别为O 1(a,0),O 2(0,b),半径r 1=r 2=1,∴O 1O 2=√a 2+b 2=2=r 1+r 2,则两圆外切. 4.答案 (x±4)2+(y-6)2=36解析 设所求圆的圆心为(a,6),由两圆内切,得√a 2+(6-3)2=6-1,解得a=±4,则此圆的方程是(x±4)2+(y-6)2=36.5.答案 (x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析 动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5,-7)为圆心,以3或5为半径的圆. 6.答案 3√5-5解析 (x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C 1(4,2),半径为r 1=3;(x+2)2+(y+1)2=4的圆心为C 2(-2,-1),半径为r 2=2.又|C 1C 2|=3√5,显然两圆外离,所以|PQ|的最小值是3√5-5. 7.答案 (0,2-√2]解析 由于M∩N=N,故圆(x-1)2+(y-1)2=r 2在圆x 2+y 2=4内部,当两圆内切时,√2=2-r,则r=2-√2,因此r 的取值范围是(0,2-√2].8.答案2(√2+1)解析A表示以O(0,0)为圆心,√2a为半径的半圆,B表示以O'(1,√3)为圆心,a为半径的圆.∵A∩B≠⌀,即半圆O与圆O'有公共点,则当两圆内切时,a最大,即√2a-a=OO'=2,∴a的最大值为2(√2+1).9.答案√7解析记直线y=x+1上任意一点与圆心的距离为h,记切线长为l,则始终有等量关系h2=l2+1.故当h取得最小值时,切线长取最小值,易知h的最小值即为圆心到直线y=x+1的距离,故hmin=2√2,此时l=√7.10.答案√23解析圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x2+y2-1-(x2+y2-2x-2y+1)=0,即x+y-1=0.圆心C3到直线x+y-1=0的距离d=√2=√22,所以所求弦长为2√r2-d2=2√254-12=√23.二、解答题11.解析将两圆的一般方程化为标准方程,C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C1的圆心为C 1(-2,3),半径r1=1;圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=√50-k(k<50).从而圆心距d=√(-2-1)2+(3-7)2=5.当两圆外切时,d=r1+r2,即1+√50-k=5,解得k=34;当两圆内切时,d=|r1-r2|,即|1-√50-k|=5,解得k=14;当两圆相交时,|r1-r2|<d<r1+r2,即|1-√50-k|<5<1+√50-k,解得14<k<34;当两圆内含时,d<|r1-r2|,即|1-√50-k|>5,解得k<14;当两圆外离时,d>r1+r2,即1+√50-k<5,解得34<k<50.12.解析(1)证明:将圆的方程整理得(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,此方程表示过圆x2+y2=20与直线-4x+2y+20=0的交点的圆系.解方程组{x2+y2=20,-4x+2y+20=0得{x=4,y=-2,所以该圆恒过定点(4,-2).(2)圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2(a≠2).若两圆外切,则2+√5(a -2)2=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1+√55. 若两圆内切,则|2-√5(a -2)2|=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1-√55或a=1+√55(舍去). 综上所述,a=1±√55.。
2018学年高一数学人教A版必修2课件：4.2.2 圆与圆的位置关系 精品
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∴|AB|＝2 r2－d2＝2 32－592＝254.
即两圆的公共弦长为254.
题型三 与两圆相切的问题
例 3 求与圆 C：x2＋y2－2x＝0 外切且与直线 l：x＋ 3y＝0
相切于点 M(3，－ 3)的圆的方程．
解析：圆 C 的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心 C(1，0)，半径为 1. 栏
故两圆的半径分别为 r1＝4 和 r2＝6， 两圆的圆心距 d＝ （0－3）2＋（3－0）2＝3 2. 因为|r1－r2|<d<r1＋r2，所以两圆相交．
题型二 与圆相交的问题
例 2 圆 A 的方程为 x2＋y2－2x－2y－7＝0，圆 B 的方程为 x2
＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断圆 A 和圆 B 是否相交．若相交，求过两
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由勾股定理，得|CD|＝2 rA2 －d2＝2 32－13322＝ 2438.
∴两圆相交，过两交点的直线方程为 4x＋4y＋5＝0，两交点间的距离为
238 4.
点评：求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆
的方程相减即可．这是因为若两圆相交，其交点坐标必
定满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元 一次方程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共
是方程组
栏
x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，
ห้องสมุดไป่ตู้
①
x2＋y2－4x＋2y－11＝0， ②
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的解，①－②得 3x－4y＋6＝0.
∵A，B 两点坐标都满足此方程，
∴3x－4y＋6＝0 即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆 C1 的圆心(－1，3)，半径 r＝3.
又 C1 到直线 AB 的距离为
2018年高中数学必修二寒假作业--圆与圆的位置关系(解析版)
2018年高中数学必修二寒假作业--圆与圆的位置关系（解析版）知识点圆与圆位置关系的判定有两种方法：1．几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则关系图示2．代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒ Δ＝0⇒ Δ<0⇒相交 内切或外切 外离或内含习题巩固一、选择题1．两圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝4和(x －3)2＋(y ＋6)2＝64的位置关系是( )A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离 答案：A [圆心距d ＝r ＋R ，选A ．]2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案：C [∵两圆标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴圆心距d ＝(2＋2)2＋(－1－2)2＝5， r 1＝2，r 2＝3，∴d ＝r 1＋r 2，∴两圆外切，∴公切线有3条．]3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB 的垂直平分线的方程是()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0答案：C[两圆圆心所在直线即为所求，将两圆圆心代入验证可得答案为C．]4．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为()A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定答案：C[外切时满足r1＋r2＝d，即(m＋1)2＋(－2－m)2＝5，解得m＝2或－5．]5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9答案：D[设动圆圆心为P，已知圆的圆心为A(5，－7)，则外切时|PA|＝5，内切时|PA|＝3，所以P的轨迹为以A为圆心，3或5为半径的圆，选D．]6．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是()A．(0，2－1) B．(0,1]C．(0,2－2] D．(0,2]答案：C[由已知M∩N＝N知N⊆M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，∴2－r≥2，∴0<r≤2－2．]二、填空题7．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．答案：±25或0解析∵圆心分别为(0,0)和(－4，a)，半径分别为1和5，两圆外切时有(－4－0)2＋(a－0)2＝1＋5，∴a＝±25，两圆内切时有(－4－0)2＋(a－0)2＝5－1，∴a ＝0．综上，a ＝±25或a ＝0．8．两圆交于A (1,3)及B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋n ＝0上，则m ＋n 的值为________．答案：3解析 A 、B 两点关于直线x －y ＋n ＝0对称，即AB 中点(m ＋12，1)在直线x －y ＋n ＝0上，则有m ＋12－1＋n ＝0，①且AB 斜率41－m＝－1②由①②解得：m ＝5，n ＝－2，m ＋n ＝3． 9．两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长为____________．答案： 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0 ①x 2＋y 2＝5②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋(－1)2＝32， 设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝2．10．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度为________．答案4解析 如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25， ∴OO 1＝5，∴AC ＝5×255＝2， ∴AB ＝4．三、解答题11．求过点A (0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．解 设所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ①b ＝3 ②a 2＋b 2＝r ③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝3r ＝32．∴(x －3)2＋(y －3)2＝18．12.点M 在圆心为C 1的方程x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0上，点N 在圆心为C 2的方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0上，求|MN |的最大值．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9， (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4． 如图，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2．所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13． 因此，|MN |的最大值是13＋5．13．已知点P (－2，－3)和以点Q 为圆心的圆(x －4)2＋(y －2)2＝9．(1)画出以PQ 为直径，Q ′为圆心的圆，再求出它的方程； (2)作出以Q 为圆心的圆和以Q ′为圆心的圆的两个交点A ，B ．直线P A ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？(3)求直线AB 的方程．解： (1)∵已知圆的方程为(x －4)2＋(y －2)2＝32， ∴Q (4,2)．PQ 中点为Q ′⎝⎛⎭⎪⎫1，－12， 半径为r ＝|PQ |2＝612，故以Q ′为圆心的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝614． (2)∵PQ 是圆Q ′的直径，∴P A ⊥AQ (如图所示) ∴P A 是⊙Q 的切线，同理PB 也是⊙Q 的切线． (3)将⊙Q 与⊙Q ′方程相减，得6x ＋5y －25＝0． 此即为直线AB 的方程．。
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.在平面直角坐标xoy中，设圆M的半径为1，圆心在直线上,若圆M上不存在点N，使,其中A（0，3），则圆心M横坐标的取值范围 .【答案】【解析】设，由得：化简得：，表示为以为圆心，2为半径的圆，由题意得圆B与圆无交点，即或，解得圆心M横坐标的取值范围为：【考点】动点轨迹，圆与圆位置关系2.设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．【答案】3【解析】∵l与圆相交所得弦的长为2，＝，∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，∴S＝·|△AOB |||＝·≥×6＝3.3.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 4.已知圆C的方程为，若以直线上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A．l B．0C．1D．2【答案】【解析】由题意知，直线过定点，圆与圆相离.圆心到直线大于，所以，，解得，故的整数值为，选．【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.5.圆：与圆：的公共弦长等于.【答案】【解析】将的方程化为标准方程得：.将两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：.圆心到弦的距离为，所以弦长.【考点】两圆的位置关系及弦长.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29，0)．(1)求圆弧C2所在圆的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l 的距离．【答案】（1）x2＋y2－28x－29＝0.（2）P不存在（3）【解析】(1)由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2＋y2－28x－29＝0.(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－29＝0.由解得x＝－70(舍去)；由解得x＝0(舍去)．所以这样的点P不存在．(3)因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1＝13，r2＝15，因为EF>2r1，EF>2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF＝15＋，即＝18，解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.7.已知圆C1：x2＋y2－2y＝0，圆C2：x2＋(y＋1)2＝4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且直线PC1，PC2的斜率之积为－.(1)求动点P的轨迹M的方程；(2)是否存在过点A(2，0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得|C1C|＝|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）＋y2＝1(x≠0)（2）不存在【解析】(1)两圆的圆心坐标分别为C1(0，1)，和C2(0，－1)，设动点P的坐标为(x，y)，则直线PC1，PC2的斜率分别为(x≠0)和 (x≠0)．由已知条件得＝－(x≠0)，即＋y2＝1(x≠0)．所以动点P的轨迹M的方程为＋y2＝1(x≠0)．(2)假设存在满足条件的直线l，易知点A(2，0)在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，此时不符合题意，所以直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)．联立方程组得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，①依题意Δ＝－8(2k2－1)>0，解得－<k<.当－<k<时，设交点分别为C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点为N(x，y)，则x1＋x2＝，则x＝＝，所以y0＝k(x－2)＝k＝.要使|C1C|＝|C1D|，必须C1N⊥l，即k·kC1N＝－1，所以k·＝－1，即k2－k＋＝0，因为Δ1＝1－4×＝－1<0，∴k2－k＋＝0无解，所以不存在直线，使得|C1C|＝|C1D|，综上所述，不存在直线l，使得|C1C|＝|C1D|.8.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．9.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．10.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【答案】C【解析】以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.【考点】1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线11.圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切 D相离【答案】B【解析】两圆圆心间的距离，两圆半径的差为和为，因为，故两圆相交，选B.【考点】圆与圆的位置关系.12.若直线y＝kx与圆－4x＋3＝0的两个交点关于直线x＋y＋b＝0对称，则（）A．k＝1，b＝－2B．k＝1，b＝2C．k＝－1，b＝2D．k＝－1，b＝－2【答案】A【解析】：若直线与圆的两个交点关于直线对称，则直线与直线垂直,故斜率互为负倒数,可知,而过弦的中点,且与弦垂直的直线必过圆心,而圆心的坐标为,代入直线得,.【考点】直线与圆的位置关系，考查学生数形结合能力.13.两圆和的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．外离【答案】C【解析】圆的圆心为，半径；圆的方程可以变形为，其圆心为，半径．圆心距，所以圆内切于圆．【考点】平面内两圆的位置关系．14.已知圆，直线．（Ⅰ）若与相切，求的值；（Ⅱ）是否存在值，使得与相交于两点，且（其中为坐标原点），若存在，求出，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）m=9±2【解析】(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)2+(y－3)2=9，圆心为C(－1，3)，半径为 r = 3， 2分若l与C相切，则得=3，∴(3m－4)2=9(1+m2)，∴m =． 5分(Ⅱ)假设存在m满足题意。
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支【答案】D【解析】设动圆的圆心坐标为（x，y），半径为，由于动圆与圆和圆都外切，所以，所以，根据双曲线的定义可知动圆的轨迹为双曲线的一支.【考点】1.圆与圆的位置关系；2.双曲线的定义.2.已知动圆C与圆及圆都内切，则动圆圆心C的轨迹方程为．【答案】.【解析】记两已知圆圆心为A（-1,0），B（1,0），设动圆半径为r，由动圆和两已知圆都内切得：BC+r=5，AC+1=r，两式相加得BC+AC=4＞AB=2，所以C的轨迹是椭圆，即可得其轨迹方程.【考点】（1）两圆相切的性质；（2）椭圆的定义.3.与圆都相切的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】A【解析】两圆方程配方得：，，∴圆心距= ,∴圆和圆相内切，所以与两圆都相切的直线有1条.【考点】平面内两个圆的位置关系.4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m的方程，使直线m被圆C1截得的弦长为4，与圆C截得的弦长是6.【答案】(1) 两圆相离 (2) 4x－7y＋19＝0【解析】(1)先由圆方程确定圆心坐标和半径，然后根据两圆心之间的距离与两圆半径和差的关系，判断两圆的位置关系；(2)由条件可知两弦长分别是两圆的直径，故所求直线过两圆圆心，故求连心线的直线方程即可.试题解析：(1)圆C1的圆心C1(－3,1)，半径r1＝2；圆C2的圆心C2(4,5)，半径r2＝2.∴C1C2＝＝>r1＋r2，∴两圆相离.（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，易得连心线所在直线方程为：4x－7y＋19＝0.【考点】1.两圆位置关系的判断；2.直线方程.5.已知一个动圆与圆C：相内切，且过点A（4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是_______________.【答案】【解析】设动圆的圆心为P（x,y）,半径为r，由题意，,∴,∴动圆圆心P的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以a=5,c=4,∴,∴动圆圆心的轨迹方程是【考点】本题考查了轨迹方程的求法点评：熟练掌握椭圆的定义是解决此类问题的关键，属基础题6.圆和圆的位置关系是( )A．外切B．内切C．外离D．内含【答案】A【解析】因为圆和圆的圆心坐标分别是（0，0）和（0，3），而半径内分别是1，和2，那么可知圆心距离，利用两点的距离公式可知为3，半径1+2=3，可知满足两圆相互外切的情况，故选A.【考点】本题主要是考查圆与圆的位置关系的判定问题。
高中数学必修二——圆与圆的位置关系
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解 方法一 圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 2 2 ① x ＋y ＋2x＋8y－8＝0， 2 2 x ＋ y －4x－4y－2＝0 ② 1－x 1－x ①－②，得x＋2y－1＝0，即y＝ ，将y＝ 代入①，并整 2 2
理，得x2－2x－3＝0.由Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，所 以，x2－2x－3＝0有两个不相等的实数根x1，x2，把x1，x2分别 代入方程x＋2y－1＝0，
4.2.2
4.2.2
[学习要求]
圆与圆的位置关系
1．理解圆与圆的位置关系的种类；
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2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法， 能够利用上述方法判定两圆的位置关系； 3．体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性． [学法指导] 通过观察图形，探究出两圆的圆心之间的距离与两半径和与 差的大小关系作为判断两圆位置关系的方法，理解并掌握圆 与圆的位置关系，培养数形结合的思想．
填一填·知识要点、记下疑难点
4.2.2
2．代数法判定圆与圆位置关系：通过两圆方程组成方程组的公 共解的个数进行判断． 圆C1方程 消元 ——→一元二次方程． 圆C2方程 当Δ>0时，两圆 相交 ；当Δ＝0时，两圆 内切或外切 ；当Δ<0 时，两圆 外离或内含 ．
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4.2.2
跟踪训练1 圆A：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0与圆B：x2＋y2－2x－6y ＋1＝0的位置关系是 A．相交
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( C ) C．外切 D．内含
B．外离
解析 圆A的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆B的标准方 程为(x－1)2＋(y－3)2＝9，两圆心之间的距离为 －2－12＋－1－32 ＝5＝2＋3，即两圆心距＝r1＋r2，故 两圆外切．
数学中考第28课时 与圆有关的位置关系ppt课件
3．如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N， 如果∠MNB＝52°，则∠NOA的度数为( A )
A．76° B．56° C．54° D．52°
4．在同一平面内，⊙O 的半径为 5 cm，点 P 到圆心 O 的距离为 3 cm，则点 P 与⊙O 的位置关系是_点__P__在__⊙__O_内__．
第五章 圆 第28课时 与圆有关的位置关系
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1．已知⊙O 的半径为 2，直线 l 上有一点 P 满足 PO＝2，则直 线 l 和⊙O 的位置关系是( D ) A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
2．在平面直角坐标系 xOy 中，以点(－3，4)为圆心，4 为半径的 圆与 x 轴，y 轴分别( C ) A．相交，相切 B．相离，相交 C．相切，相交 D．相切，相离
∵CD是⊙O的切线，∴DE＝DA，CE＝CB， ∴CF＝CB－BF＝CE－DE. ∵DF2＝CD2－CF2，∴4OA2＝(CE＋DE)2－(CE－DE)2， 即4OA2＝4DE·CE，∴OA2＝DE·CE.
12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是A︵C的中点， E 为 OD 延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC 与 BD 交于点 H，与 OE 交于点 F. (1)求证：AE 是⊙O 的切线；
︵ 证明：∵D 是AC的中点， ∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°. ∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠CAE＝∠AOE， ∴∠E＋∠AOE＝90°， ∴∠EAO＝180°－(∠E＋∠AOE)＝90°， ∴EA⊥AO，∴AE 是⊙O 的切线．
(2)若 DH＝9，tan C＝34，求直径 AB 的长．
高一数学必修2同步训练 2.2.3圆与圆的位置关系
2.2.3圆与圆的位置关系一、选择题:1. 过两圆x 2+y 2+6x +4y =0及x 2+y 2+4x +2y －4=0的交点的直线的方程是( ) A ．x +y +2=0 B ．x +y －2=0 C ．5x +3y －2=0 D ．不存在2. 两圆094622=+-++y x y x 和22612190x y x y +-+-=的位置关系是( ) A.外切 Ｂ.内切 Ｃ.相交 Ｄ.外离3. 两圆222r y x =+与r r y x ()1()3(222=++-＞0)外切，则r 的值是( )A.10 Ｂ. 5 Ｃ.5 Ｄ.210 4. 已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.25)7()5(22=++-y x Ｂ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x Ｃ. 9)7()5(22=++-y x Ｄ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x5. 两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 6. 已知圆x 2+y 2=r 2在曲线|x |+|y |=4的内部，则半径r 的范围是（ ） A.0<r <22 B.0<r<2 C.0<r <2 D.0<r <4二、填空题:7．两圆x 2+y 2-4=0与x 2+y 2-2x +4y +2=0相交，其公共弦长是______. 8. 集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2＝4｝，B ＝｛（x ，y ）|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是_____.9. 两圆02)1(2,0422222=++-++=++a y x a y x y y x 在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为 .10. 已知222212:9,:(4)(6)1,C x y C x y +=-+-= 两圆的内公切线交于点1P ,外公切线交点2P ,则1121||||PC P C = .二、解答题:11．⊙A 的方程为x 2+y 2－2x －2y －7=0，⊙B 的方程为x 2+y 2+2x +2y －2=0，判断⊙A 和⊙B 是否相交,若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离;若不相交，说明理由.12. 求圆心在直线x －y －4=0上，且经过两圆x 2+y 2－4x －6=0和x 2+y 2－4y －6=0的交点的圆的方程．13. 求以圆1C ∶01321222=---+y x y x 和圆2C ：025161222=-+++y x y x 的公共弦为直径的圆的方程．14. 求证：到圆心距离为a (a ＞0)的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线.15. 求圆心在直线04=-+y x 上，且与圆056222=+-++y x y x 相切于点B （1,2）的圆的方程.拓展创新——练能力16. 求与圆0158422=+--+y x y x 相切于点P （3,6），且经过点Q （5,6）的圆的方程.17. 求证：⊙C 1：16)2()6(22=++-y x 与⊙C 2：4)2()4(22=-+-y x 在同一交点处的切线互相垂直.18. 如图，已知点A 、B 的坐 标分别是（-3，0），（3，0），点C 为线段AB 上任一 点，P 、Q 分别以AC 和BC 为直径的两圆O 1，O 2的 外公切线的切点，求线段PQ 的中点的轨迹方程.C 1P 1 P 2C 2yxl31参考答案:1. 把两圆的方程写成(x +3)2+(y +2)2=13 , (x +2)2+(y +1)2=9，两圆圆心距为2，∵3132313+<<- , ∴两已知圆相交，由x 2+y 2+6x +4y －(x 2+y 2+4x +2y －4)=0得x +y +2=0．故应选A.2. 由094622=+-++y x y x 得22(3)(2)4x y ++-=,由22612190x y x y +-+-=得22(3)(6)64x y -++=,1028==+,所以两圆相外切.故应选A.3. 由两圆222r y x =+与r r y x ()1()3(222=++-＞0)外切可得2r =即2r =,故应选D. 4. 动圆圆心为(5,-7),半径为4+1或4-1 ,故所得的圆方程为答案D .5. 两圆相交,可得其切线有两条,故应选B .6. 曲线|x|+|y |=4是顶点为（±4，0）、 （0，±4）的正方形，其中一条边的方程为x +y -4=0(0≤x ≤4). ∵圆在正方形的内部， ∴2|400|-+>r.即0<r <22.故应选A. 7. 应用公式可计算得公共弦长是25558. 3或7, 解析：当两圆外切时，r =3，两圆内切时r =7，所以r 的值是3或7． 9. 两圆的半径的平方和等于圆心距的平方,可解得a =－2. 10. 如图,设111212||,||,||PC y C P x C C l === , 又1C 的半径3R =,2C 的半径1r =, 由平几性质可得1332x l r x l x R -==⇒= , 1334l y r y l y R -==⇒= , ∴1121||1||2PC y P C x ==. 11. ⊙A 的方程可写为(x －1)2+(y －1)2=9， ⊙B 的方程可写为(x +1)2+(y +1)2=4， ∴两圆心之间的距离满足3－2＜｜AB ｜=22)11()11(22=+++＜3+2．即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差. ∴两圆相交.⊙A 的方程与⊙B 的方程左、右两边分别相减得－4x －4y －5=0, 即4x +4y +5=0为过两圆交点的直线的方程. 设两交点分别为C 、D ，则：CD ：4x +4y +5=0. 点A 到直线CD 的方程为d =281344|51414|22=++⨯+⨯由勾股定理，得||CD ===12. 解法一:由⎩⎨⎧=--+=--+,0640642222y y x x y x 得⎩⎨⎧=--+=06422y y x xy 解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=33,112211y x y x∴两圆x 2+y 2－4x －6=0和x 2+y 2－4y －6=0的交点分别为A (－1，－1)、B (3，3)． 线段AB 的垂直平分线方程为y －1=－(x －1)．由⎩⎨⎧=----=-,04)1(1y x x y 得⎩⎨⎧-==13y x∴所求圆的圆心为(3，－1)，半径为4)13()33(22=++-．∴所求圆的方程为(x －3)2+(y +1)2=16．解法二:同解法一求得A (－1，－1)、B (3，3)． 设所求圆的方程为(x －a )2+(y －b )2=r 2，则由22222240,(1)(1),(3)(3),a b a b r a b r --=⎧⎪--+--=⎨⎪-+-=⎩得 23,1,16.a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩∴所求圆的方程为(x －3)2+(y +1)2=16．13. 解法一：相减得公共弦所在直线方程为4x +3y -2=0．再由⎩⎨⎧=-+=---+023401321222y x y x y x 解得两圆的交点坐标A （－1,2）、B （5,-6）∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M （2，－2），圆的半径为r ＝21｜AB ｜＝5 于是所求圆的方程为25)2()2(22=++-y x ．解法二：设所求圆的方程为：1321222---+y x y x 0)251612(22=-++++y x y x λ 即02513)162()1212()1()1(22=------+++λλλλλy x y x ∴圆心坐标为C ))1(2216,)1(21212(λλλλ+--+--∵圆心C 应在公共弦AB 所在直线上，∴ 所求圆的方程为0174422=-+-+y x y x ．14. 如图所示,建立平面直角坐标系，设圆O 以原点O 为圆心，r 为半径，圆A 以点A （a ,0）为圆心，半径为R .过点P （x ,y ）的直线PB 与圆O 相切于点B ，直线PC 与圆A 相切于点C ，且PB =PC圆O 的方程为x 2+y 2=r 2. 圆A 的方程为（x -a )2+y 2=R 2. ∵PB =PC , ∴PB 2=PC 2由PO 2-OB 2=P A 2-AC 2， 即x 2+y 2-r 2=(x -a )2+y 2-R 2, 得x =aR r a 2222-+ (a ＞0). 这就是点P 的轨迹方程，它表示一条垂直于x 轴的直线. 15.设所求圆的方程为56222+-++y x y x 0])2()1[(22=-+-+y x λ，即22(1)(1)x y λλ++++(22)x λ- (64)550y λλ-+++=,则所求圆的圆心为)123,11(λλλλ+++--. ∵圆心在直线04=-+y x 上，∴0412311=-++++--λλλλ，解得2-=λ, ∴ 所求圆的方程为2x ＋05262=+--y x y . 16. 切点P （3,6）在已知圆上，将它视为“点圆”：0)6()3(22=-+-y x ， 故可建立圆系方程158422+--+y x y x 0])6()3[(22=-+-+y x λ∵所求圆经过点Q （5，6），代入上述方程，解得λ＝－2 .故所求圆的方程为07516822=+--+y x y x17. 圆交于点A 、B ，连C 1A 、C 2A ， ∵20)22()46(||2221=--+-=C C ，|C 1A|=4，| C 2A|=2∴2221221||||||A C A C C C +=，即A C A C 21⊥由平面几何知识知：C 1A 所在直线是⊙C 2的切线，C 2A 所在直线是⊙C 1的切线， ∴⊙C 1与⊙C 2在交点A 处的切线互相垂直. 同理可证：⊙C 1与⊙C 2在交点B 处的切线互相垂直.18. 作MC ⊥AB 交PQ 于点M ，则MC 是两圆的公切线，∴|MC|=|MQ|，|MC|=|MP|，即M 为PQ 的中点.设M(x ,y )，则点C ，O 1，O 2的坐标分别是(x,0), (23x +-,0)（23x+，0）.连O 1M ，O 2M ，由平几知识得：∠O 1MO 2=90°，∴有|O 1M|2+|O 2M|2=|O 1O 2|2，即： (x -23x +-)2+y 2+(x -23x +)2+y 2=(23x +--23x +)2,化简得x 2+4y 2=9.又∵点C(x ,0)在线段AB上，且AC ， BC 是圆的直径，∴-3<x <3. 故所求的轨迹方程为x 2+4y 2=9 (-3<x <3).。
高中数学人教B版必修2学业测评2.3.4 圆与圆的位置关系 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．已知两圆的圆心距是，两圆的半径分别是方程－＋＝的两个根，则这两个圆的位置关系是( )．外切．外离．内切．相交【解析】由已知两圆半径的和为，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】．半径为且与圆＋－＋＝相切于原点的圆的方程为( )．＋－－＝．＋＋－＝．＋＋＋＝．＋－－＝或＋－＋＝【解析】已知圆的圆心为(，－)，半径为，所求圆的半径也为，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－)，可知选.【答案】．点在圆：＋－－＋＝上，点在圆：＋＋＋＋＝上，则的最小值是( )．．．＋．－【解析】圆：＋－－＋＝，即(－)＋(－)＝，圆心为()；圆：＋＋＋＋＝，即(＋)＋(＋)＝，圆心为(－，－)，两圆相离，的最小值为－(＋)＝－.【答案】．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点()，则两圆心的距离＝( )．．．．【解析】∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点()，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(，)，(，)，则有(－)＋(－)＝，(－)＋(－)＝，即，为方程(－)＋(－)＝的两个根，整理得－＋＝.∴＋＝，＝，∴(－)＝(＋)－＝－×＝.∴＝＝＝.【答案】．过点()向圆：＋＝上作两条切线，，则弦所在的直线方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－－＝【解析】弦可以看作是以为直径的圆与圆＋＝的交线，而以为直径的圆的方程为(－)＋＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦所在的直线方程为：(－)＋－－(＋－)＝，整理可得＋－＝，故选.【答案】二、填空题．两圆：＋＋－－＝，：＋－－＋＝的公切线有条. 【导学号：】【解析】圆：(＋)＋(－)＝，圆：(－)＋(－)＝，圆心(－)，圆心()，＝，＝.则＝＝<＋，故－<<＋，两圆相交，则有两条公切线．【答案】两．过两圆＋－－－＝与＋＋－－＝的交点和点()的圆的方程是．【解析】设所求圆的方程为(＋－－－)＋λ(＋＋－－)＝(λ≠－)，将()代入得λ＝－，故所求圆的方程为＋－＋＋＝.【答案】＋－＋＋＝．两圆相交于两点()和(，－)，两圆圆心都在直线－＋＝上，则＋的值为．【解析】由题意知，线段的中点在直线－＋＝上，且＝＝－，即＝，又点在该直线上，。
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.2.已知圆C的方程为，若以直线上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A．l B．0C．1D．2【答案】【解析】由题意知，直线过定点，圆与圆相离.圆心到直线大于，所以，，解得，故的整数值为，选．【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.3.已知数列，圆，圆，若圆C2平分圆C1的周长，则的所有项的和为.【答案】4024【解析】设圆与圆交于,，则直线的方程为：，化简得：又圆平分圆的周长，则直线过,代入的方程得：, ∴.【考点】圆与圆的位置关系、直线方程、数列求和.4.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4B．－1 C．6－2D．【答案】A【解析】设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C′1(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝＝5而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】由得2ay＝2，即y＝，则2＋2＝22，解得a＝1.6.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1< <5，所以两圆的位置关系为相交．7.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．8.若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0(b∈R)外切，则a＋b的最大值为________．【答案】3.【解析】依题意知C1：(x＋a)2＋y2＝4，C2：x2＋(y－b)2＝1，则|C1C2|＝＝2＋1＝3，∴a2＋b2＝9，∴ (θ为参数)，∴a＋b＝3(sin θ＋cos θ)＝3 sin≤3.9.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．10.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．11.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【答案】C【解析】以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.【考点】1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线12.直线l1：y=x、l2:y=x+2与⊙C：的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1B．0或-1C．-1D．1【答案】B【解析】直线l1：y=x与l2:y=x+2之间的距离为，⊙C：的圆心为（m，m），半径r2=m2+m2，由题意可得解得 m=0或m=-1，故选B.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离.13.已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，-3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即故选A．【考点】圆与圆的位置关系点评：中档题，利用数形结合思想，将|PM|+|PN|的最小值转化成为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和。
高中数学必修二 圆与圆的位置关系 附答案解析版
4.2.2圆与圆的位置关系基础巩固1.圆C 1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切2.圆C 1:x 2+y 2+4x+8y-5=0与圆C 2:x 2+y 2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离3.已知圆A 与圆B 相切,圆心距为10cm,其中圆A 的半径为4cm,则圆B 的半径为（）A .6cm 或14cmB .10cmC .14cmD .无解4.已知圆O 1的方程为x 2+y 2=4,圆O 2的方程为(x-a )2+y 2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a 的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}5.圆x 2+y 2+4x-4y+7=0与圆x 2+y 2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.46.已知以C (4,-3)为圆心的圆与圆O :x 2+y 2=1相切,则圆C 的方程为（）A .(x-4)2+(y+3)2=16B .(x+4)2+(y-3)2=36C .(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D .(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=367.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是.8.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m=.9.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为.10.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,半径为2的圆的方程.能力提升1.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切2.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（）A .2±B .2C .-2D .4±3.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m的最大值为（）A .7B .6C .5D .4★4.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（）A.22⎛ ⎝⎭B.22⎛-- ⎝⎭C.,2222⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭D.22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是.6.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.7.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.★8.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.参考答案基础巩固1.【解析】圆C 1的圆心是C 1(-2,2),半径r 1=1,圆C 2的圆心是C 2(2,5),半径r 2=4,则圆心距|C 1C 2|=5.因为|C 1C 2|=r 1+r 2,所以两圆外切.【答案】D2.【解析】由已知,得C 1(-2,-4),r 1=5,C 2(-2,-2),r 2=3,则d=|C 1C 2|=2,所以d=|r 1-r 2|.故两圆内切.【答案】C3.【解析】令圆A 、圆B 的半径分别为r 1,r 2,当两圆外切时,r 1+r 2=10,所以r 2=10-r 1=10-4=6;当两圆内切时,|r 1-r 2|=10,即|4-r 2|=10,r 2=14或r 2=-6(舍),即圆B 的半径为6cm 或14cm .【答案】A4.【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a 的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C .【答案】C5.【解析】两圆的圆心分别为C 1(-2,2),C 2(2,-5),则两圆的圆心距d =又半径分别为r 1=1,r 2=4,则d>r 1+r 2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r 2(r>0).因为圆C 与圆O 相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=08.【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45-=,解得m=81.【答案】819.【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB 的距离d ==故公共弦AB 的长为AB =10.【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以2222913422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得322a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.所以圆心C 的坐标为333,22⎛-- ⎝⎭,所求圆的方程为223422x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.能力提升1.【解析】圆心距d =,两圆半径的和为2+1=3,两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C2.【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a,又公共弦长为,所以=解得2a =±.【答案】A3.【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B4.【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a<<,所以22a-<<或22a <<.【答案】C5.【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切6.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=.①若两圆外切,则有123+=.②由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,则有211-=.③由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.7.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1.设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2,化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥).8.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1-),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1-)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r .因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=,①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①的距离得=,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。
圆与圆位置关系---知识点概览
1 1 2 2 r ＝ 41＋λ ＋4－λ －41＋4λ ＝ 2 2 5λ2－16λ＋16 1 8 2 16 1 16 2 ＝ 5λ－ ＋ ≥ ＝ 5. 2 5 5 2 5 5 8 当 λ＝ 时，半径 r 最小，这时圆的方程是： 5 26 12 37 2 2 x ＋y ＋ x－ y＋ ＝0. 5 5 5
跟踪训练1 a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋ a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，(1)相切； (2)相交；(3)外离． 解：将两圆方程化为标准方程(x－a)2＋(y＋2)2＝ 9， (x＋1)2＋(y－a)2＝4. 设两圆圆心距为d，则 d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切， 此时a＝－5或a＝2. 当d＝1即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，
【点评】
关键是求圆心坐标，并进行检验
是否增、失根．
跟踪训练3
求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2 ＋y2 ＋
2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．
解：设过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋
1＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x
＋y＋4)＝0，
整理得x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0.
3．圆系与圆系方程 具有某种共同性质的圆的集合，称为_______． 圆系 (1)同心圆系(x－x0)2 ＋(y－y0)2 ＝r2 ，x0 ，y0 为常 数，r为参数． (2)圆心共线且半径相等圆系(x－x0)2 ＋(y－y0)2 ＝r2，r为常数，圆心(x0，y0)在直线Ax＋By＋C ＝0上移动． (3)过两已知圆fi(x，y)＝x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝ 0(i＝1,2)的交点的圆系方程，x2＋y2＋D1x＋E1y ＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，
2018年高中数学第28课时圆与圆的位置关系综合刷题增分练新人教A版必修2
第28课时圆与圆的位置关系课时目标1.会用代数法和几何法研究两圆的各种位置关系．2．通过对两圆位置关系的讨论，发现两圆方程所组成的方程组解的个数对两圆的位置关系的影响，从而发现判断两圆位置关系的方法．识记强化两圆位置关系的判定方法：设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，两圆圆心距为d.①当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交；②当r1＋r2＝d时，两圆外切；③当r1＋r2＜d时，两圆外离；④当|r1－r2|＝d时，两圆内切；⑤当|r1－r2|＞d时，两圆内含．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是( )A．相切B．内含C．相交 D．外离答案：B解析：因为两圆的圆心距d＝3＋32＋－6－22＝10＜12－1＝11，所以两圆内含．2．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r的值是( )A.10B. 5C．5 D.10 2答案：D解析：由题意，得圆心距d＝0－32＋0＋12＝10＝2r，所以r＝102.3．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )A．1条 B．2条C．3条 D．4条答案：C解析：判断两圆的位置关系，即可知它们公切线的条数．外离、外切、相交、内切、内含的公切线的条数，分别有4条、3条、2条、1条、0条．这两圆外切，故选C.4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是( ) A．x＋y＋3＝0 B．3x－y－9＝0C．x＋3y＝0 D．4x－3y＋7＝0答案：C解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0.5．圆O1：x2＋y2＝16和圆O2：x2＋y2－4x＋8y＋4＝0关于直线l对称，则l的方程为( ) A．x＋2y－5＝0B．x－2y－5＝0C．x＋2y＋5＝0D．x－2y＋5＝0答案：B解析：两圆关于直线l 对称，则直线l 是两圆圆心O 1(0,0)，O 2(2，－4)的垂直平分线． 6．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4 cm 和1 cm 的两个外切圆，该矩形面积的最小值是( )A ．36 B. 72 C. 80 D. 100 答案：B解析：如图，作WG ⊥SC ，则四边形WDCG 是矩形，∵两圆相切，∴WS ＝SC ＋WD ＝1＋4＝5， ∵SG ＝SC －GC ＝4－1＝3， ∴WG ＝4，∴矩形QHBA 的长AB ＝AD ＋CD ＋CB ＝1＋4＋4＝9，宽BH ＝4＋4＝8，∴矩形纸片面积的最小值＝8×9＝72 cm 2. 二、填空题(每个5分，共15分)7．已知两圆x 2＋y 2＝1和(x ＋2)2＋(y －a )2＝25没有公共点，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－42)∪(－23，23)∪(42，＋∞)解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a )，半径分别为1,5，∴圆心距d＝0＋22＋0－a 2＝a 2＋4.∵两圆没有公共点，∴a 2＋4＜5－1或a 2＋4＞5＋1，解得－23＜a ＜23或a ＜－42或a ＞4 2.8．两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦的长为________． 答案： 2解析：题中两圆方程相减，得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0，∴圆x 2＋y 2＝5的圆心(0,0)到该直线的距离d ＝|－3|1＋－12＝32.设公共弦的长为l ，则l ＝25－322＝ 2.9．若半径为1的圆与圆x 2＋y 2＝4相切，则动圆圆心的轨迹方程是__________．解：设动圆圆心O ′(x ，y )，则|O ′O |＝2＋1＝3或|OO ′|＝1， ∴x 2＋y 2＝9或x 2＋y 2＝1. 三、解答题10．(12分)已知动圆C 与圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆C 2：(x ＋3)2＋y 2＝4中的一个外切、一个内切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解：设动圆圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r . 由已知，得圆C 1的圆心C 1(3,0)，半径r 1＝2； 圆C 2的圆心C 2(－3,0)，半径r 2＝2.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ |CC 1|＝r ＋2|CC 2|＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r －2|CC 2|＝r ＋2. ∴|CC 1|－|CC 2|＝4或|CC 1|－|CC 2|＝－4. 即x －32＋y －02－x ＋32＋y －02＝±4，整理得5x 2－4y 2－20＝0，即为所求动圆圆心C 的轨迹方程．11．(13分)已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1、r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝0－22＋－1－12－2＝2(2－1)，∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1、O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0. ∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.能力提升12．(5分)如图，A ，B 是直线l 上的两点，且|AB |＝2，两个半径长相等的动圆分别与l 相切于A ，B 两点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形的面积S 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，2－π2 解析：设两圆的半径长均为R ，当两圆相切于C 点时，圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形的面积最大，如图，此时2R ＝|AB |＝2，所以R ＝1，所围成图形的面积S 为矩形ABO 2O 1的面积减去一个半圆的面积，即S ＝2－π2，所以所求面积S 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2－π2. 13．(15分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．设圆心坐标为C (x ，y )，试给出x ，y 之间的关系式．解：圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为C 1(－5，0)，半径长为2，圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为C 2(5，0)，半径长为2.设圆C 的半径长为r ，当圆C 与圆C 1内切，与圆C 2外切时，|C 1C |＝r －2，|C 2C |＝r ＋2，则|C 1C |＋2＝|C 2C |－2，即x ＋52＋y 2＋2＝x －52＋y 2－2，即x －52＋y 2－x ＋52＋y 2＝4； 当圆C 与圆C 2内切，与圆C 1外切时，同理可得x ＋52＋y 2－x －52＋y 2＝4.综上可得x ，y 之间的关系式为|x ＋52＋y 2－x －52＋y 2|＝4.。
高中数学必修二-圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识集结知识元圆与圆的位置关系及其判定知识讲解圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|一、几何方法：设，则有：与外离与外切与相交与内切与内含二、代数方法：方程组（1）有两组不同实数解⇔两圆相交；（2）有两组相同实数解⇔两圆相切；（3）无实数解⇔两圆外离或内含．例题精讲圆与圆的位置关系及其判定例1.圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切例2.已知圆，圆分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．7B．8C．10D．13例3.已知两圆相交于A（﹣1，3），B（﹣6，m）两点，且这两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+2c的值为（）A．﹣1B．26C．3D．2两圆的公切线条数及方程知识讲解一、两圆的公切线条数：（1）当两圆内切时有1条公切线；（2）当两圆外切时有3条公切线；（3）相交时有2条公切线；（4）相离时有4条公切线；（5）内含时无公切线．例题精讲两圆的公切线条数及方程例1.圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）A．1B．2C．3D．4例2.两圆（x﹣m）2+y2=9和x2+（y+n）2=4恰有3条公切线，则m+n的最大值为（）A．10B．10C．5D．5例3.若两圆x2+y2﹣2ax+4y+a2﹣5=0和x2+y2+2x﹣2ay+a2﹣3=0有3条公切线，则a=（）A．﹣1或﹣2B．﹣1或﹣5C．﹣2或2D．﹣5或2例4.已知圆C1：（x﹣1）2+y2=2和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2恰好有3条公切线，则圆C2的周长为（）A．πB．πC．2πD．4π圆系方程知识讲解一、圆系方程圆系：具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系．（1）同心圆系为常数，为参数．（2）圆心共线且半径相等圆系为常数，圆心在直线上移动．（3）过两已知圆的交点的圆系方程为即．当时，方程变为表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线．（4）过直线与圆交点的圆系方程设直线与圆相交，则方程表示过直线与圆的两个交点的圆系方程．例题精讲圆系方程例1.经过两圆x 2+y 2=9和（x+4）2+（y+3）2=8的交点的直线方程为（）A ．8x+6y+13=0B ．6x﹣8y+13=0C ．4x+3y+13=0D ．3x+4y+26=0例2.圆心在直线x﹣y﹣4=0上，且经过两圆x 2+y 2﹣4x﹣3=0，x 2+y 2﹣4y﹣3=0的交点的圆的方程为（）A ．x 2+y 2﹣6x+2y﹣3=0B ．x 2+y 2+6x+2y﹣3=0C ．x 2+y 2﹣6x﹣2y﹣3=0D ．x 2+y 2+6x﹣2y﹣3=0例3.已知圆方程C 1：f（x，y）=0，点P 1（x 1，y 1）在圆C 1上，点P 2（x 2，y 2）不在圆C 1上，则方程：f（x，y）﹣f（x 1，y 1）﹣f（x 2，y 2）=0表示的圆C 2与圆C 1的关系是（）A ．与圆C 1重合B ．与圆C 1同心圆C ．过P 1且与圆C 1圆心相同的圆D ．过P 2且与圆C 1圆心相同的圆相交弦问题知识讲解一、两圆相交公共弦：(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x＋E 1y＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x＋E 2y＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x＋(E 1－E 2)y＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法：①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．例题精讲相交弦问题例1.两圆（x﹣2）2+（y+3）2=13和（x﹣3）2+y2=9交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0例2.两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2+2x+2y﹣14=0，则经过两圆的公共弦长为（）A．B．C．D．例3.'已知圆C1：x2+y2+2x﹣6y+1=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“圆与圆的位置关系及其盘点”的题目补充.例题精讲备选题库例1.圆x2+4x+y2=0与圆（x-2）2+（y-3）2=r2有三条公切线，则半径r=（）A．5B．4C．3D．2例2.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的公切线个条数为（）A．1B．2C．3D．4例3.如果圆（x-a）2+（y-a）2=1（a>0）上总存在点到原点的距离为3，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．例4.圆x2+y2=4与圆x2+y2-2x+4y-4=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．内含圆的线性规划问题知识讲解利用线性规划的知识处理圆的相关问题.例题精讲圆的线性规划问题例1.'已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；（3）求x+y的最大值与最小值．'例2.'已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2=1上任意一点．（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x﹣2y的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．'例3.'.已知点P（x，y）在圆（x﹣2）2+y2=1上运动，分别求下列各式的最大值和最小值．（1）z=2x+y；（2）z=；（3）z=x2+2x+y2﹣2y．'直线与圆的综合应用知识讲解1．直线与圆的位置关系【知识点的认识】1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲直线与圆的综合应用例1.'已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．'例2.'已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．（ⅰ）求证：+为定值；（ii）求|PN|2+|QN|2的最大值．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“直线与圆的综合应用”的题目补充.例题精讲备选题库由直线x=0上的一点向圆（x-3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．C．D．3例2.若直线l：ax-by+2=0（a>0，b>0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则当取最小值直线l的斜率为（）A．2B．C．D．例3.过点（1，3）且与圆（x+1）2+y2=4相切的直线方程为（）A．5x-12y+31=0B．y=3或4x+3y-13=0C．x=1或5x-12y+31=0D．x=1或5x+12y-41=0例4.若圆C：x2+（y-4）2=18与圆D：（x-1）2+（y-1）2=R2的公共弦长为6，则圆D的半径为（）A．5B．2C．2D．2当堂练习单选题练习1.已知动直线y=kx-1+k（k∈R）与圆C：x2+y2-2x+4y-4=0（圆心为C）交于点A、B，则弦AB最短时，△ABC的面积为（）A．3B．6C．D．2若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定练习3.经过点P（2，-1）且被圆C：x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦最短时的直线l的方程为（）A．2x-y-6=0B．2x+y-6=0C．x+2y=0D．x-2y=0练习4.阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P与两定点M，N的距离之比为λ（x>0，且λ≠1），则点P的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点M（2，0），点P为圆O：x2+y2=16上的点，若存在x轴上的定点N（t，0）（t>4）和常数λ，对满足已知条件的点P均有|PM|=|PN|，则λ=（）A．1B．C．D．练习5.若函数y=-的图象与直线x-2y+m=0有公共点，则实数m的取值范围为（）A．[-2-1，-2+1]B．[-2-1，1]C．[-2+1，-1]D．[-3，1]填空题练习1.若圆x2+（y-1）2=4上恰有2个不同的点到直线的距离为1，则m的取值范围为________________练习2.圆C：（x-1）2+y2=1的圆心到直线l：x-y+a=0（a>0）的距离为，则a的值为___．练习3.已知直线x+y-2=0与圆O：x2+y2=r2（r>0）相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3=5，则r=___．练习4.已知圆C经过直线x+y+2=0与圆x2+y2=4的交点，且圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，则圆C的方程为__________________．解答题练习1.'已知圆C：x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0，直线l：ax+y+2a=0。
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12．(5分)如图，A，B是直线l上的两点，且|AB|＝2，两个半径长相等的动圆分别与l相切于A，B两点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围是________．
答案：
解析：
设两圆的半径长均为R，当两圆相切于C点时，圆弧AC，CB与线段AB围成图形的面积最大，如图，此时2R＝|AB|＝2，所以R＝1，所围成图形的面积S为矩形ABO2O1的面积减去一个半圆的面积，即S＝2－ ，所以所求面积S的取值范围为 .
由已知，得圆C1的圆心C1(3,0)，半径r1＝2；
圆C2的圆心C2(－3,0)，半径r2＝2.
依题意，得 或 .
∴|CC1|－|CC2|＝4或|CC1|－|CC2|＝－4.
即 － ＝±4，
整理得5x2－4y2－20＝0，
即为所求动圆圆心C的轨迹方程．
11．(13分)已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
6．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4 cm和1 cm的两个外切圆，该矩形面积的最小值是()
A．36 B. 72
C. 80 D. 100
答案：B
解析：如图，作WG⊥SC，则四边形WDCG是矩形，
∵两圆相切，
∴WS＝SC＋WD＝1＋4＝5，
∵SG＝SC－GC＝4－1＝3，
∴WG＝4，
∴矩形QHBA的长AB＝AD＋CD＋CB＝1＋4＋4＝9，宽BH＝4＋4＝8，
②当r1＋r2＝d时，两圆外切；
③当r1＋r2＜d时，两圆外离；
④当|r1－r2|＝d时，两圆内切；
⑤当|r1－r2|＞d时，两圆内含．
课时作业
一、选择题(每个5分，共30分)
1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是()
A．相切B．内含
C．相交D．外离
答案：B
解析：因为两圆的圆心距d＝ ＝10＜12－1＝11，所以两圆内含．
2．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r的值是()
A. B.
C．5 D.
答案：D
解析：由题意，得圆心距d＝ ＝ ＝2r，所以r＝ .
3．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()
A．1条B．2条
C．3条D．4条
答案：C
解析：判断两圆的位置关系，即可知它们公切线的条数．外离、外切、相交、内切、内含的公切线的条数，分别有4条、3条、2条、1条、0条．这两圆外切，故选C.
4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是()
A．x＋y＋3＝0 B．3x－y－9＝0
8．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦的长为________．
答案：
解析：题中两圆方程相减，得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，∴圆x2＋y2＝5的圆心(0,0)到该直线的距离d＝ ＝ .设公共弦的长为l，则l＝2 ＝ .
9．若半径为1的圆与圆x2＋y2＝4相切，则动圆圆心的轨迹方程是__________．
∴矩形纸片面积的最小值＝8×9＝72 cm2.
二、填空题(每个5分，共15分)
7．已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则－4 )∪(－2 ，2 )∪(4 ，＋∞)
解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a)，半径分别为1,5，∴圆心距d＝ ＝ .∵两圆没有公共点，∴ ＜5－1或 ＞5＋1，解得－2 ＜a＜2 或a＜－4 或a＞4 .
解：设动圆圆心O′(x，y)，则|O′O|＝2＋1＝3或|OO′|＝1，
∴x2＋y2＝9或x2＋y2＝1.
三、解答题
10．(12分)已知动圆C与圆C1：(x－3)2＋y2＝4，圆C2：(x＋3)2＋y2＝4中的一个外切、一个内切，求动圆圆心C的轨迹方程．
解：设动圆圆心C的坐标为(x，y)，半径为r.
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2 ，求圆O2的方程．
解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1、r2，
∵两圆外切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝ －2＝2( －1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4( －1)2.
C．x＋3y＝0 D．4x－3y＋7＝0
答案：C
解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0.
5．圆O1：x2＋y2＝16和圆O2：x2＋y2－4x＋8y＋4＝0关于直线l对称，则l的方程为()
A．x＋2y－5＝0
B．x－2y－5＝0
C．x＋2y＋5＝0
D．x－2y＋5＝0
答案：B
解析：两圆关于直线l对称，则直线l是两圆圆心O1(0,0)，O2(2，－4)的垂直平分线．
第28课时 圆与圆的位置关系
课时目标
1.会用代数法和几何法研究两圆的各种位置关系．
2．通过对两圆位置关系的讨论，发现两圆方程所组成的方程组解的个数对两圆的位置关系的影响，从而发现判断两圆位置关系的方法．
识记强化
两圆位置关系的判定方法：设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，两圆圆心距为d.
①当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交；
－ ＝4；
当圆C与圆C2内切，与圆C1外切时，
同理可得 － ＝4.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r ，
圆O1、O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r －8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为 ＝ ＝ ，
解得r ＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
13．(15分)设圆C与两圆(x＋ )2＋y2＝4，(x－ )2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．设圆心坐标为C(x，y)，试给出x，y之间的关系式．
解：圆(x＋ )2＋y2＝4的圆心为C1(－ ，0)，半径长为2，圆(x－ )2＋y2＝4的圆心为C2( ，0)，半径长为2.
设圆C的半径长为r，当圆C与圆C1内切，与圆C2外切时，|C1C|＝r－2，|C2C|＝r＋2，则|C1C|＋2＝|C2C|－2，即 ＋2＝ －2，即