2019届全国高考仿真试卷(四)(文科)数学

2019届全国高考仿真试卷（四）
（文科）数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故选A.
2. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选C.
3. 设等差数列的前项和为，且，则( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
【答案】B
【解析】由题，等差数列中，
则
故选B.
4. 抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】，，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.
5. 设集合，函数，在中任取一个元素，则函数一定有意义的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，故一定有意义的概率为，选D.
6. 函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，则函数在上单调递增，在和上单调递减，
且
故选C
7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形，是直角梯形，
，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即平面
所以几何体的体积为：
故选A．
【点睛】本题考查几何体的三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．
8. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数
的图象向左平移个单位得到函数的图象，则在下列区间中使是减函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，
函数f（x）=sin4x﹣cos4x=2sin（4x﹣）；
若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）=2sin（4x+）的图象．令2kπ+≤4x+≤2kπ+，可得k∈Z，当k=0时，
故函数g（x）的减区间为。

故答案为B 。

9. 下图是求样本平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本平均数，
由于“输出”即为平均数，循环体的功能是求各样本的平均值，
故应为.
故选D.
10. 若函数满足且的最小值为4，则实数的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D.
【答案】C
【解析】由约束条件作出可行域（如图），当目标函数经过
可行域内的点时，取得最小值，即，解之得
故选C.
11. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，与抛物线准线交于点，若是
的中点，则( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
【答案】B
【解析】如图，设在准线上的射影分别为，且设
，直线的倾斜角为。

则。

所以，。

由抛物线焦点弦长公式可得。

选B。

或：由得，得直线方程与抛物线联立进而可解得，
于是。

故选B
点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若
为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
12. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数有三个不同的零点等
价于方程有三个不同的实根，当时，设，则
为减函数，
当时，设，则当
时当时，故在上单调递增，在上单调递减； ..................
分别画出与的图像如图所示，由题意得
，故选A
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，，若，则的最小值为____________.
【答案】6
【解析】试题分析：∵，∴，即，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最小值为6.
考点：向量垂直的充分条件、基本不等式.
14. 在中，能使成立的的取值集合是____________.
【答案】
【解析】在△ABC中，A∈（0，π），∴sinA＞成立的充分必要条件是．
答案为：.
15. 给出下列四个命题：
①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；
②“平面向量，的夹角是钝角”的充分不必要条件是；
③若命题，则；
④函数在点处的切线方程为.
其中真命题的序号是________.
【答案】④
【解析】①“若为的极值点，则”的逆命题为：若，则为的极值点；这是个假命题，因为导函数的变号零点才是极值点；故原命题为假；②“平面向量，
的夹角是钝角”的必要不充分条件是；故原命题为假；③若命题，则
或者；故原命题为假；④函数在点处的切线方程为，
，.故.是正确的。

故答案为：④。

16. 已知为数列的前项和，且，若
，，
给定四个命题①；②；③；④.
则上述四个命题中真命题的序号为____.
【答案】②④
【解析】构造函数为奇函数，且单调递增，依题意有
又，故数列为等差数列，且公差故
故①错误；
故②正确；由题意知
若，则而此时，不成立，故③错误；
.，故④成立.
即答案为②④
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设函数.
(1)求的对称轴方程；
(2)已知中，角的对边分别是，若，，求的最小值.
【答案】(1).(2)1
【解析】试题分析：（1）先由二倍角公式得到函数表达式为，再由函数图像得到对称轴；（2）由，可得，进而得到角A，再由余弦定理得到
根据表达式得到最终结果。

解析：
(1)∵，
由得的对称轴方程为.
(2)由，可得.
由，可得.
在中，由余弦定理，得，
由知，当时取最大值，此时取最小值1
18. 某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
(2)估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值)；
(3)若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差小于10分的概率.
【答案】(1)见解析；(2)97(分).(3).
【解析】试题分析：（1）根据所有频率之和等于1求出第七组的频率，然后绘图即可；（2）利用平均数计算公式计算即可；（3）一一列举所有满足从中任取2人的所有基本事件，找到分差小于10分的基本事件，利用概率公式计算即可．
试题解析：(1)由频率分布直方图知第七组的频率f7＝1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08.直方图如图．
(2)估计该校的2 000名学生这次考试的平均成绩为：
65×0.04＋75×0.12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋1 15×0.06＋125×0.08＋135×0.04＝97(分).
(3)第六组有学生3人，分别记作A1，A2，A3，第一组有学生2人，分别记作B1，B2，则从中任取2人的所有基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共10个．分差大于10分表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，所以从中任意抽取2人，分差小于10分的概率P＝＝。

19. 如图，在四棱椎中，，平面，平面，，
，.
(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1) 见解析；(2) 见解析.
【解析】试题分析：（1）先得到线面垂直，平面，又因为平面，进而得到面面垂直；（2）在线段上存在一点，且，使平面，接下来构造平行四边形证明线面平行即可。

解析：
(1)证明：因为平面，平面，所以，又因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.
(2)结论：在线段上存在一点，且，使平面.
解：设为线段上一点，且，过点作交于，则.
因为平面，平面，所以.
又因为，所以，，所以四边形为平行四边形，则.
又因为平面，平面，所以平面.
20. 已知椭圆，，为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，且，构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，求出该圆的方程.
【答案】(1).(2) 见解析.
【解析】试题分析：（1）由题知得到，进而得到离心率，再根据三个参数的关系得到最终结果；（2）先由圆的切线的性质得到，再由垂直关系得到，联立直线和椭圆得到二次方程，由韦达定理得到进而证得结果。

解析：
(1)由题知，即，得①
又由，得②，且，综合解得.
∴椭圆的方程为.
(2)假设以原点为圆心，为半径的圆满足条件.
(i)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为，则，①
由消去，整理得，设，，有
，又∵，∴，
即，化简得.②
由①②求得，所求圆的方程为.
(ii)若的斜率不存在，设，则，∵，
∴，有，，代入，得，此时仍有.
综上，总存在以原点为圆心的圆满足题设条件.
点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是
一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 已知函数(其中为常数且)在处取得极值.
(1)当时，求的极大值点和极小值点；
(2)若在上的最大值为1，求的值.
【答案】(1)的极大值点为，极小值点为1.(2)或..
【解析】试题分析：（1）对函数求导得到导函数，根据导函数的零点和导函数的正负得到函数的极值；（2）分，，三种请况分析函数的单调性和最值，分别求出参数值，和前者情况取交集即可。

解析：
(1)因为，所以.
因为函数在处取得极值，
，当时，，，
，随的变化情况如下表：
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.
所以的极大值点为，极小值点为1.
(2)因为.
令得，，因为在处取得极值，所以，
(i)当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上的最大值为，令，解得.
(ii)当时，，
①当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得，而，所以，解得；
②当时，在区间上单调递增，上单调递增，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，所以，解得，与矛盾；
③当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，
综上所述，或.
点睛：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数)，.
(1)求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？
(2)设曲线与曲线的交点为，，当时，求的值.
【答案】(1) 见解析；(2).
【解析】【试题分析】（1）运用直角坐标与极坐标之间的互化关系求解；（2）依据题设借助直线参数方程的几何意义分析求解：
(1) 由得，该曲线为椭圆.
（2）将代入得，由直线参数方程的几何意义，
设，，，，
所以 ，从而 ，由于，所以 .
23. 已知函数的最小值为.
(1)求的值； (2)设实数
满足，证明：.
【答案】(1).(2) 见解析. 【解析】试题分析：写出分段函数，求得
在
上单调递增，在
上单调递减，
即可求出的值；
计算，利用基本不等式即可得出结论。

解析：（1）∵
∴在上单调递增，在
上单调递减，∴的最小值为
（2）由（1）知，
∵，∴
∴。