江苏省大港中学高三数学总复习教案：三角函数 两角和

第二十教时
教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑶
目的：进一步熟悉有关技巧，继续提高学生综合应用能力。

（采用《精编》例题） 过程：一、求值问题（续）
例一 若tan α=3x ，tan β=3-x , 且α-β=6
π，求x 的值。

解：tan(α-β)=tan 6π=
3
3
∵tan α=3x ，tan β=3-x
∴)33(2
133133tan tan 1tan tan 23x x x x x x ----=⋅+-=⋅+-=βαβα ∴3•3x -3•3-x =23 即：03332)3(32=-⋅-⋅x x ∴3
3
333-
==x x 或(舍去) ∴2
1=x
例二 已知锐角α, β, γ 满足sin α+sin γ=sin β, cos α-cos γ=cos β, 求α-β的值。

解： ∵sin α+sin γ=sin β ∴sin α -sin β = -sin γ <0 ① ∴sin α <sin β ∴α<β
同理：∵cos α-cos γ=cos β ∴ cos α- cos β = cos γ ②
①2+②2: 1+1-2cos （α-β）=1 ∴cos （α-β）=2
1 ∵2
0π
α<
< 2
0πβ<
< ∴02
<-<-βαπ
∴α-β=3
π-
二、关于最值问题
例三 已知tan α，tan β是关于x 的方程023722=+--m m x mx 的两个实根，求tan(α+β)的取值范围。

解：∵tan α，tan β是方程023722=+--m m x mx 的两个实根
∴△=4(7m-3)-8m 2≥0 ∴2m 2-7m+3≤0 解之：2
1
≤m ≤
3
又：⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅-=+2tan tan 372tan tan βαβαm
m ∴m
m 3
72)tan(--
=+βα
为求范围：1249
67)1(32)1(3172)tan(2
2+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=-⋅-=+m m m βα ∵2
1≤m ≤3 ∴3
1≤m ≤2
∴当671=m 时，12
4967)1
(32
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--m 有最大值1249
当21=m 或311=m 时，12
4967)1
(32
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--m 有最小值2
∴
22124967)1(323372
-≤+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---≤-m 即：
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡--
∈+22,337)t
a n (βα ∴p -q+1=0 例四 若2
2π
π
≤
≤-
x ，求f (x )=3sinx+cosx 的最大值和最小值，并求出此
时的x 值。

解： f (x )=3sinx+cosx=2)6sin(2cos 21sin 23π
+=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡+x x x
∵2
2π
π
≤
≤-x ∴3
26
3
π
ππ≤
+
≤-x ∴1)6
sin(23≤+≤-
π
x 2)6
s i n (23≤+≤-π
x
即：2)(3≤≤-x f 当且仅当3
6
ππ-
=+
x ，2
π-
=x 时 f
(x )min =3-
当
且仅当
2
6
ππ=
+
x ，3
π=x 时 f (x )max =2
例五 已知f (x )=-acos2x-3asin2x+2a+b ，其中a>0，x ∈[0,2
π
]时，-5
≤f (x )≤1，设g(t)=at 2
+bt-3，t ∈[-1,0]，求g(t)的最小值。

解： f (x )=-acos2x-3asin2x+2a+b=-2a[2
3sin2x+21
cos2x]+2a+b
=-2asin(2x+6
π)+2a+b
∵x ∈[0,
2π
] ∴6
7626πππ≤+≤x ∴1)6
2sin(21≤+≤-
π
x 又： a>0 ∴-2a<0 ∴a x a a ≤+-≤-)6
2sin(22π
∴b a b a x a b +≤+++-≤32)6
2sin(2π
∴
b a x f b +≤≤3)(
∵-5≤f (x )≤1 ∴⎩
⎨⎧=-=⇒⎩⎨
⎧=+-=25
135a b b a b
∴g(t)=at 2+bt-3=2t 2-5t-3=2(t-45)2-8
49
∵t ∈[-1,0] ∴当t=0时，g(t)min =g(0)=-3 三、作业：《精编》 P 61 6、7、11
P 62 20、22、23、25
P 63 30。