因势利导顺水推舟+课堂“意外”绽放异彩
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
出版社，２０１２，４
７希尔伯特；江泽涵，朱鼎勋译．几何基础（第二版）［Ｍ］．北京：
科学出版社，１９８７
８傅章秀．几何基础［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，１９８４ ９项武义著．基础几何学［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００１ １０孙福元．初等几何变换与作图不能问题［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８５来自万方数据Ａ Ｂ
即砷一告蕊＋弩砣．
因为砣与商共线，所以存在实数卢， 使得葡＝∥萄，
易得碎一一学蕊＋（１＋ｐ）葡，
Ｄ Ｃ 图２
从而告一一塾３，弩一１＋产，
解得Ａ＝了６，产＝一号， 从而（，，ｚ，咒）＝（号，等）． 学生６：茚＋克一蔚一丢髓一；赢＋
ｉ１ ＡＥ一百３ ｕｒ十百３ ｒＡ十虿１万考，
学生３：因为四边形ＡＢＣＤ为平行四边形， 所以ＡＤ—ＣＢ，么ＡＤＥ一么ＣＢＦ， 又因为ＡＥ上ＢＤ，ＣＦ上ＢＤ， 所以 △ＡＤＥ丝△ＣＢＦ，
１１亚格龙．几何变换（第一册）［Ｍ］．北京：北京大学出版
社。１９８８
１２胡杞，周春荔．初等几何研究基础教程［Ｍ］．北京：北京师范
大学出版社，１９９８
１３陈绍菱。傅若男，王敬赓．高等几何［Ｍ］．北京：北京师范大学
出版社，１９９４
Ａ・Ｈ・柯尔莫戈洛夫．苏联十年制学校教材几何（６—８年 级）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８１
劢一卢窟一ｐ劢＋鲁蕊．
由平面向量基本定理有１一Ａ—ｐ且Ａ＝寺∥，
从而Ａ一÷， 即Ｍ是ＢＤ的一个三等分点． 当笔者对此题进行总结即将过渡到相应练习 时，意外却出现了． ２情境再现 学生１：老师，我有更简单的方法，由条件易
本功大赛，本人有幸进入到比赛的最后环节——
上课，上课主题为“平面向量”复习课．课前，笔者 做了大量的预设以防“不测”，但事与愿违，“不测” 最终还是出现了． 探究 如图１所示，在平行四边形ＡＢＣＤ
设计意图本题一方面源自教材，学生较为 熟悉，能促使学生更快的进入角色；另一方面，通 过问题的解决让学生熟悉平面向量基本定理，同 时让学生感悟“向量共线”这一解题思路．笔者的 解题设计如下，设
旆＝Ａ商－－－－Ａ（商一劢），
劢＝劢＋痢＝（卜Ａ）劢＋Ａ窟．
因为Ｅ为ＣＤ的中点，所以磕一劢＋妻商．
厶
又因为Ａ，Ｍ，Ｅ三点共线，
万方数据
４６
数学通报
２０１４年
第５３卷第７期
一砬一要（前一商）
，
人视角可能无法目击的资源，尽管它有可能是一 个又一个错误，可能是难以解决的棘手问题，但这 些恰恰是我们深入了解学生的“窗口”．当然，再有 预见性的教师，也不可能预料到课堂“意外”的出 现；再周密的教案，也不可能为“意外”事先设计好 方案．因为教学活动是师生双向交流的活动，而学 生是活生生的人，他们有着自己的思维状况、行为 习惯，所以教师应该掌握处理课堂“意外”的操作 技术，运用灵活多变的方法和教学规律，审时度势 并及时、巧妙、灵活地处理课堂“意外”．正确的处 理，不但不会影响教学，反而给教师一个机会，一 个展示自己驾驭课堂能力，体现高超教学艺术的 机会．
４４
数学通报
２０１４年
第５３卷
第７期
因势利导顺水推舟课堂“意外＂绽放异彩
曹
军
（江苏省丰县中学２２１７００）
“智者千虑，必有一失”，无论怎样精心预设， 课堂教学总避免不了出现意外，而这些教学意外 的产生，是源于学生求知若渴的可贵需求．面对意 外，教师若加以回避或者处理不当，不仅会错失一 个利用好奇心来引导学生探究问题的良机，而且 还会挫伤学生善于发现问题的积极性．笔者愿借 此机会提供一个教学片断，希望与广大同仁共同 探讨． １教学背景 ２０１３年１０月笔者所在县举行了青年教师基
万方数据
２０１４年
第５３卷
第７期
数学通报 优势．
４５
力找寻相关的知识点．此刻，如何向学生解释向量 法的优势就成为了课堂的重点． 教师：能否利用向量法非常简单地证明此 题呢？ 学生们都陷入深深的思考中． 教师：我们知道，平面向量基本定理的前提是 向量ｅ。、ｅ：不共线，而结论有两点：一是存在一对 实数Ａｌ和Ａ２，使得口＝Ａ１ｅｌ＋Ａ２ｅ２；二是Ａ１和Ａ２是 唯一的．这唯一性是说：若口＝Ａ１Ｐ。＋Ａ。Ｐ：一ｋｌｅ－＋ ｋ２ｅ：，则必有Ａ。一ｋ。，Ａ。一ｋ。．在解题中常常用到这 个唯一性，（Ａ１一ｋ１）Ｐｌ一（Ａ２－－ｋｚ）ｅｚ，而Ｐｌ和Ｐ２不 共线，所以两端的系数都是０，即有Ａ。＝是・，Ａｚ＝ 忌：．如果简明一点可以这样说，若向量口和６共 线，向量ｃ和ｄ共线，但向量口和Ｃ不共线，则从口 ＋ｃ＝６＋ｄ可推出ｎ—ｂ和Ｃ—ｄ．联系这个结论大 家能解决此题吗？
得△ＤＭＥ∽△ＢＭＡ，从而器一器＝丢，即Ｍ
是ＢＤ的一个三等分点． 教师：回答的很好，思路敏捷．不过，还是友情 提醒一下：研究问题需要符合题目的要求，虽然向 量法在此处略显繁杂，但是条条大路通罗马，向量 法解决几何问题在此处不也彰显了一种新思维、 新方法吗！向量法只是让我们多了一种选择，当 然也就多了一条取胜之路． 学生１：我赞成老师的说法，但我还是有点
１４
Ｆ・克莱因；李安廉译．数学在１９世纪的发展（第二卷）［Ｍ］． 北京：高等教育出版社，２０１１，１１：前言
４史宁中．平面几何改造计划［Ｊ］．数学通报，２００７，６：１ ５斯托利亚尔．数学教育学［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８４，
７ １２
６曹一鸣主编．十三国数学课程标准［Ｍ］．北京：北京师范大学
一善商＋鲁砣，……．
， ，
学生５的解答是利用向量共线来建立关系， 这也是笔者设计此类问题的主要原因．学生６的 解答是“意外”所带来的精彩，而这种精彩的出现， 足以说明在面对“意外”时教师的处理是何等的 重要． ３体会与感悟 基于教学片断中对于“意外”的处理，下面谈 谈自己的一些想法与思考． 课堂教学是一个复杂而又动态的过程，在一 定条件下出现“意外”是常有的．“意外”是一种成
中，Ｅ是ＣＤ的中点，ＡＥ交ＢＤ与Ｍ，试用向量的
方法探究Ｍ是ＢＤ的一个三等分点．
彳
Ｂ 图１
疑惑． 教师：你说说看． 学生１：本来可以快速解决的问题，为什么非 得学习利用向量来处理．利用向量法解决问题的 优势在什么地方？ 面对学生１的“刁难”，笔者也是有点不知所 措．此时，台下的评委老师似乎也在讨论着如何化 解这样的“危机”，同学们更是满怀期待．作为执教 者更是压力倍增，但是赛课还得继续．如果避开学 生提出的问题，那么极有可能扼杀学生探索向量 的欲望，同时，也会给学生带来向量法不如综合几 何法的数学印象．笔者只好放缓节奏，在脑海中努
从而ＡＥ—ＣＦ．
学生４：因为商一葡，所以碹＋茄＝蔚＋ 砣，由平面向量基本定理知，蕊＝亢，
即ＡＥ＝ＣＦ．
由平面向量基本定理可知霄一丢碎，
即竞＝号茄，
所以碎＝砬＋砷一震一喜院
教师：从以上分析同学们能看出向量法解题 的优势是什么吗？ 学生４：利用向量法解题，其运算不仅仅是数 的运算，还包括图形的运算，这是向量法解题的
图３
Ｃ
学生２：商＋商一茄一２斑＝２商＋ ２疏，由平面向量基本定理知，劢一２磕，商
一２
学生５：由条件商一商＋髓一盈＋号髓 ＝蕊＋号（赢＋商）＿号蕊＋吾商，
因为碎与窟共线，所以存在实数Ａ， 使得砷＝Ａ窟，
Ｄ葫，所以Ｍ是ＢＤ的一个三等分点． 为了进一步体现此法的优越性，笔者又提供
了一个问题，供学生思考． 如图２所示，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＥ上 ＢＤ于Ｅ，ＣＦ上ＢＤ于Ｆ，求证：ＡＥ＝ＣＦ．
（上接第４３页）
２ Ｋｅｉｔｈ
Ｄｅｖｌｉｎ；洪万生等译．数学的语言：化无形为可见［Ｍ］．桂
５
附录
３
林：广西师范大学出版社，２０１３，１：２０９
２０１１年版《数学课程标准》中的基本事实或 公理 公理或基本事实１．两点确定一条直线； 公理或基本事实２．两点之间线段最短； 公理或基本事实３．过一点有且只有一条直 线与已知直线垂直； 公理或基本事实４．两条直线被第三条直线 所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 公理或基本事实５．过直线外一点有且只有 一条直线与这条直线平行； 公理或基本事实６．两边及其夹角分别相等 的两个三角形全等； 公理或基本事实７．两角及其夹边分别相等 的两个三角形全等； 公理或基本事实８．三边分别相等的两个三 角形全等； 公理或基本事实９．两条直线被一组平行线 所截，所得对应线段成比例．
１５ １６
Ｈ．垂ＩＩＩａｐｈｉｒＨｎ．ＴＥＯＭＥＴＰＨ，ｔ（７—９）．ＭｏｃＫＭ．且ｐｏ帆，２０００ Ａ．Ⅱ．ＡＪＩｅＫｃａＨ且ｐ０Ｂ．ＴＥＯＭＥＴＰＨ［只（７—９）．
ＨｐｏｃＢｅｍｅＨＨｅ，２００３
ＭＯＣＫＢａ．
参考文献
１
欧几里得；兰纪正，朱恩宽译．几何原本［Ｍ］．西安：陕西科学 技术出版社，２００３，６（第２版）：５—６
至此，“意外”得到了化解，学生获得了满足 感，复习又找到了着力点． 例题（２００９年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试试 题）在ＡＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在ＡＢ，ＢＣ上（如图
３），满足劢＝２商，商＝２蔚，设ＡＥ与ＣＤ交 于点Ｐ，若碎一ｍ商＋咒赢，则（ｍ，咒）一
么』．
７希尔伯特；江泽涵，朱鼎勋译．几何基础（第二版）［Ｍ］．北京：
科学出版社，１９８７
８傅章秀．几何基础［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，１９８４ ９项武义著．基础几何学［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００１ １０孙福元．初等几何变换与作图不能问题［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８５来自万方数据Ａ Ｂ
即砷一告蕊＋弩砣．
因为砣与商共线，所以存在实数卢， 使得葡＝∥萄，
易得碎一一学蕊＋（１＋ｐ）葡，
Ｄ Ｃ 图２
从而告一一塾３，弩一１＋产，
解得Ａ＝了６，产＝一号， 从而（，，ｚ，咒）＝（号，等）． 学生６：茚＋克一蔚一丢髓一；赢＋
ｉ１ ＡＥ一百３ ｕｒ十百３ ｒＡ十虿１万考，
学生３：因为四边形ＡＢＣＤ为平行四边形， 所以ＡＤ—ＣＢ，么ＡＤＥ一么ＣＢＦ， 又因为ＡＥ上ＢＤ，ＣＦ上ＢＤ， 所以 △ＡＤＥ丝△ＣＢＦ，
１１亚格龙．几何变换（第一册）［Ｍ］．北京：北京大学出版
社。１９８８
１２胡杞，周春荔．初等几何研究基础教程［Ｍ］．北京：北京师范
大学出版社，１９９８
１３陈绍菱。傅若男，王敬赓．高等几何［Ｍ］．北京：北京师范大学
出版社，１９９４
Ａ・Ｈ・柯尔莫戈洛夫．苏联十年制学校教材几何（６—８年 级）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８１
劢一卢窟一ｐ劢＋鲁蕊．
由平面向量基本定理有１一Ａ—ｐ且Ａ＝寺∥，
从而Ａ一÷， 即Ｍ是ＢＤ的一个三等分点． 当笔者对此题进行总结即将过渡到相应练习 时，意外却出现了． ２情境再现 学生１：老师，我有更简单的方法，由条件易
本功大赛，本人有幸进入到比赛的最后环节——
上课，上课主题为“平面向量”复习课．课前，笔者 做了大量的预设以防“不测”，但事与愿违，“不测” 最终还是出现了． 探究 如图１所示，在平行四边形ＡＢＣＤ
设计意图本题一方面源自教材，学生较为 熟悉，能促使学生更快的进入角色；另一方面，通 过问题的解决让学生熟悉平面向量基本定理，同 时让学生感悟“向量共线”这一解题思路．笔者的 解题设计如下，设
旆＝Ａ商－－－－Ａ（商一劢），
劢＝劢＋痢＝（卜Ａ）劢＋Ａ窟．
因为Ｅ为ＣＤ的中点，所以磕一劢＋妻商．
厶
又因为Ａ，Ｍ，Ｅ三点共线，
万方数据
４６
数学通报
２０１４年
第５３卷第７期
一砬一要（前一商）
，
人视角可能无法目击的资源，尽管它有可能是一 个又一个错误，可能是难以解决的棘手问题，但这 些恰恰是我们深入了解学生的“窗口”．当然，再有 预见性的教师，也不可能预料到课堂“意外”的出 现；再周密的教案，也不可能为“意外”事先设计好 方案．因为教学活动是师生双向交流的活动，而学 生是活生生的人，他们有着自己的思维状况、行为 习惯，所以教师应该掌握处理课堂“意外”的操作 技术，运用灵活多变的方法和教学规律，审时度势 并及时、巧妙、灵活地处理课堂“意外”．正确的处 理，不但不会影响教学，反而给教师一个机会，一 个展示自己驾驭课堂能力，体现高超教学艺术的 机会．
４４
数学通报
２０１４年
第５３卷
第７期
因势利导顺水推舟课堂“意外＂绽放异彩
曹
军
（江苏省丰县中学２２１７００）
“智者千虑，必有一失”，无论怎样精心预设， 课堂教学总避免不了出现意外，而这些教学意外 的产生，是源于学生求知若渴的可贵需求．面对意 外，教师若加以回避或者处理不当，不仅会错失一 个利用好奇心来引导学生探究问题的良机，而且 还会挫伤学生善于发现问题的积极性．笔者愿借 此机会提供一个教学片断，希望与广大同仁共同 探讨． １教学背景 ２０１３年１０月笔者所在县举行了青年教师基
万方数据
２０１４年
第５３卷
第７期
数学通报 优势．
４５
力找寻相关的知识点．此刻，如何向学生解释向量 法的优势就成为了课堂的重点． 教师：能否利用向量法非常简单地证明此 题呢？ 学生们都陷入深深的思考中． 教师：我们知道，平面向量基本定理的前提是 向量ｅ。、ｅ：不共线，而结论有两点：一是存在一对 实数Ａｌ和Ａ２，使得口＝Ａ１ｅｌ＋Ａ２ｅ２；二是Ａ１和Ａ２是 唯一的．这唯一性是说：若口＝Ａ１Ｐ。＋Ａ。Ｐ：一ｋｌｅ－＋ ｋ２ｅ：，则必有Ａ。一ｋ。，Ａ。一ｋ。．在解题中常常用到这 个唯一性，（Ａ１一ｋ１）Ｐｌ一（Ａ２－－ｋｚ）ｅｚ，而Ｐｌ和Ｐ２不 共线，所以两端的系数都是０，即有Ａ。＝是・，Ａｚ＝ 忌：．如果简明一点可以这样说，若向量口和６共 线，向量ｃ和ｄ共线，但向量口和Ｃ不共线，则从口 ＋ｃ＝６＋ｄ可推出ｎ—ｂ和Ｃ—ｄ．联系这个结论大 家能解决此题吗？
得△ＤＭＥ∽△ＢＭＡ，从而器一器＝丢，即Ｍ
是ＢＤ的一个三等分点． 教师：回答的很好，思路敏捷．不过，还是友情 提醒一下：研究问题需要符合题目的要求，虽然向 量法在此处略显繁杂，但是条条大路通罗马，向量 法解决几何问题在此处不也彰显了一种新思维、 新方法吗！向量法只是让我们多了一种选择，当 然也就多了一条取胜之路． 学生１：我赞成老师的说法，但我还是有点
１４
Ｆ・克莱因；李安廉译．数学在１９世纪的发展（第二卷）［Ｍ］． 北京：高等教育出版社，２０１１，１１：前言
４史宁中．平面几何改造计划［Ｊ］．数学通报，２００７，６：１ ５斯托利亚尔．数学教育学［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８４，
７ １２
６曹一鸣主编．十三国数学课程标准［Ｍ］．北京：北京师范大学
一善商＋鲁砣，……．
， ，
学生５的解答是利用向量共线来建立关系， 这也是笔者设计此类问题的主要原因．学生６的 解答是“意外”所带来的精彩，而这种精彩的出现， 足以说明在面对“意外”时教师的处理是何等的 重要． ３体会与感悟 基于教学片断中对于“意外”的处理，下面谈 谈自己的一些想法与思考． 课堂教学是一个复杂而又动态的过程，在一 定条件下出现“意外”是常有的．“意外”是一种成
中，Ｅ是ＣＤ的中点，ＡＥ交ＢＤ与Ｍ，试用向量的
方法探究Ｍ是ＢＤ的一个三等分点．
彳
Ｂ 图１
疑惑． 教师：你说说看． 学生１：本来可以快速解决的问题，为什么非 得学习利用向量来处理．利用向量法解决问题的 优势在什么地方？ 面对学生１的“刁难”，笔者也是有点不知所 措．此时，台下的评委老师似乎也在讨论着如何化 解这样的“危机”，同学们更是满怀期待．作为执教 者更是压力倍增，但是赛课还得继续．如果避开学 生提出的问题，那么极有可能扼杀学生探索向量 的欲望，同时，也会给学生带来向量法不如综合几 何法的数学印象．笔者只好放缓节奏，在脑海中努
从而ＡＥ—ＣＦ．
学生４：因为商一葡，所以碹＋茄＝蔚＋ 砣，由平面向量基本定理知，蕊＝亢，
即ＡＥ＝ＣＦ．
由平面向量基本定理可知霄一丢碎，
即竞＝号茄，
所以碎＝砬＋砷一震一喜院
教师：从以上分析同学们能看出向量法解题 的优势是什么吗？ 学生４：利用向量法解题，其运算不仅仅是数 的运算，还包括图形的运算，这是向量法解题的
图３
Ｃ
学生２：商＋商一茄一２斑＝２商＋ ２疏，由平面向量基本定理知，劢一２磕，商
一２
学生５：由条件商一商＋髓一盈＋号髓 ＝蕊＋号（赢＋商）＿号蕊＋吾商，
因为碎与窟共线，所以存在实数Ａ， 使得砷＝Ａ窟，
Ｄ葫，所以Ｍ是ＢＤ的一个三等分点． 为了进一步体现此法的优越性，笔者又提供
了一个问题，供学生思考． 如图２所示，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＥ上 ＢＤ于Ｅ，ＣＦ上ＢＤ于Ｆ，求证：ＡＥ＝ＣＦ．
（上接第４３页）
２ Ｋｅｉｔｈ
Ｄｅｖｌｉｎ；洪万生等译．数学的语言：化无形为可见［Ｍ］．桂
５
附录
３
林：广西师范大学出版社，２０１３，１：２０９
２０１１年版《数学课程标准》中的基本事实或 公理 公理或基本事实１．两点确定一条直线； 公理或基本事实２．两点之间线段最短； 公理或基本事实３．过一点有且只有一条直 线与已知直线垂直； 公理或基本事实４．两条直线被第三条直线 所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 公理或基本事实５．过直线外一点有且只有 一条直线与这条直线平行； 公理或基本事实６．两边及其夹角分别相等 的两个三角形全等； 公理或基本事实７．两角及其夹边分别相等 的两个三角形全等； 公理或基本事实８．三边分别相等的两个三 角形全等； 公理或基本事实９．两条直线被一组平行线 所截，所得对应线段成比例．
１５ １６
Ｈ．垂ＩＩＩａｐｈｉｒＨｎ．ＴＥＯＭＥＴＰＨ，ｔ（７—９）．ＭｏｃＫＭ．且ｐｏ帆，２０００ Ａ．Ⅱ．ＡＪＩｅＫｃａＨ且ｐ０Ｂ．ＴＥＯＭＥＴＰＨ［只（７—９）．
ＨｐｏｃＢｅｍｅＨＨｅ，２００３
ＭＯＣＫＢａ．
参考文献
１
欧几里得；兰纪正，朱恩宽译．几何原本［Ｍ］．西安：陕西科学 技术出版社，２００３，６（第２版）：５—６
至此，“意外”得到了化解，学生获得了满足 感，复习又找到了着力点． 例题（２００９年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试试 题）在ＡＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在ＡＢ，ＢＣ上（如图
３），满足劢＝２商，商＝２蔚，设ＡＥ与ＣＤ交 于点Ｐ，若碎一ｍ商＋咒赢，则（ｍ，咒）一
么』．