高中数学1-2-2《导数的运算法则》课件
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人教版人教课标高中数学选修2-2基本初等函数的导数公式及导数的演算法则课件
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
一.基本初等函数的导数公式
• 我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x 返回
解：因为y ' ( x3 2 x 3) ' ( x3 ) ' (2 x) ' (3) ' 3x 2 2 所以函数y x3 2 x 3的导数是y ' 3x 2 2
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数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
' 3 3 '
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
高中数学新课标人教a版1.2 第2课时 导数的运算法则 课件
【变式训练】
求下列函数的导数:
(1) y x7 x3 x 1; (2) y x5 2 .
x
答案: (1)y = 7x6 +3x2 - 1;
(2)y
=
5x4
+
2 x2
;
解 :净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数
的导数.
c '(x)=( 5284 ) ' 100 x
5284 ' (100 x) 5284 (100 x) ' (100 x)2
0
(100 x) 5284 (100 x)2
(1)
5284 (100 x)2
（1）因为c '(90)
5284 (100 90)2
52.84
所以纯净度为90%时，净化费用的 瞬时变化率是52.84元 / 吨.
（2）因为c '(98)
5284 (100 98)2
问题 1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？ 提示：坐标轴；原点． 问题 2：过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲 线有交点吗？ 提示：有一个交点．
双曲线的几何性质 标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
图形
焦点
___(_±_c_,_0_)__
又因为点（1,2）在抛物线上
所以
1 b+c=2,
2 b=1,所以b 1, c2.
7.如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程. 解: 因为 切线与直线 y=4x+3 平行, 所以 切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y ' |xx0 (x3 x 10) ' |xx0 3x02 1. 所以 3x02+1=4.所以 x0=1. 当 x0=1 时, y0=-8;当 x0=-1 时, y0=-12. 所以 切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.
高中数学 1.2.2 第1课时基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件 新人教A版选修22
第二十一页，共44页。
5．(2013·江西文，11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的 切线经过(jīngguò)坐标原点，则α＝________.
[答案] 2 [解析] y′＝αxα－1，y′|x＝1＝α，则切线方程为y－2＝α(x －1)，切线方程过原点，则0－2＝α(0－1)，∴α＝2.
新知导学 1．若f(x)＝xn(n∈N*)，则f ′(x)＝___n_x_n－_1____. 若f(x)＝1x，则f ′(x)＝__－__x1_2_____. 若f(x)＝xα(α∈Q)，则f ′(x)＝αxα－1.
第八页，共44页。
2．若f(x)＝sinx，则f ′(x)＝_____c_os_x___. 若f(x)＝cosx，则f ′(x)＝____－__s_in_x__. 3．若f(x)＝ax，则f ′(x)＝____a_x_ln_a_(_a_>．0) 若f(x)＝ex，则f ′(x)＝_____ex__. 4．若f(x)＝logax，则f ′(x)＝____xl_1n_a_(_a_>_0_，__且__a_≠__1_) ． 若f(x)＝lnx，则f ′(x)＝____1x______.
第三十五页，共44页。
[解析] ①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. ③y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
第十三页，共44页。
则Fx＋ΔΔxx－Fx
＝fx＋Δx＋gx＋ΔxΔx－fx－gx
＝fx＋ΔΔxx－fx＋gx＋ΔΔxx－gx，
5．(2013·江西文，11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的 切线经过(jīngguò)坐标原点，则α＝________.
[答案] 2 [解析] y′＝αxα－1，y′|x＝1＝α，则切线方程为y－2＝α(x －1)，切线方程过原点，则0－2＝α(0－1)，∴α＝2.
新知导学 1．若f(x)＝xn(n∈N*)，则f ′(x)＝___n_x_n－_1____. 若f(x)＝1x，则f ′(x)＝__－__x1_2_____. 若f(x)＝xα(α∈Q)，则f ′(x)＝αxα－1.
第八页，共44页。
2．若f(x)＝sinx，则f ′(x)＝_____c_os_x___. 若f(x)＝cosx，则f ′(x)＝____－__s_in_x__. 3．若f(x)＝ax，则f ′(x)＝____a_x_ln_a_(_a_>．0) 若f(x)＝ex，则f ′(x)＝_____ex__. 4．若f(x)＝logax，则f ′(x)＝____xl_1n_a_(_a_>_0_，__且__a_≠__1_) ． 若f(x)＝lnx，则f ′(x)＝____1x______.
第三十五页，共44页。
[解析] ①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. ③y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
第十三页，共44页。
则Fx＋ΔΔxx－Fx
＝fx＋Δx＋gx＋ΔxΔx－fx－gx
＝fx＋ΔΔxx－fx＋gx＋ΔΔxx－gx，
导数的基本公式与运算法则PPT优秀课件
补充例题： 求下列函数的导数：
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1， 求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0，
1 y ' sin( x 2 y 2 ) (2 x 2 yy ')
1 y ' 2 x sin( x 2 y 2 ) 2 y sin( x 2 y 2 ) y '
[1 2 y sin( x 2 y 2 )] y ' 1 2 x sin( x 2 y 2 )
练 习 ： 求 下 列 函 数 的 导 数 ( 课 堂 练 习 ) （ 1 ） y ( 1 x 2 ) 3 ; ( 2 ) y c o s 3 x ； ( 3 ) y x 2 3 x 2 ； （ 4 ） l g c o s ( 3 2 x 2 )
解: (1) y ' 6x(1 x2)2
2.2.3 高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，
所得到的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
记作 f (x) 或 y 或
d2y dx2 .
如对二阶导数再求导，则
称三阶导数，记作
f
(x)
或
d d
3y x3
.
四阶或四阶以上导
数记为 y(4)，y(5)，···，y(n) 或 d 4 y , ···，d n y ,
(4)y2x33xsinxe2
解：
导数的运算法则PPT教学课件
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
最新人教版高中数学选修1.2.2-基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (2)ppt课件
c(x)=5284/(100-x) (80<x<100)．
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变 化率：
（１）９０％；（２）９８％。
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函
数的导数．
c( x)
5284 100 x
5284
100 x2
c90
5284
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 例1: 求下列函数的导数(1)y=x3+sinx
(2)y=x4y-x'2-x+33.x 2 cos x
y' 4x3 2x 1
法则2:
f (x) g(x)' f ' (x) g(x) f (x) g '(x)
②y＝ln3 ex＋2 ④y＝sin(x2＋1) ⑥y＝4 3－lnx
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3 3x－π6，即 6 3x－2y－ 3π＋2＝0.
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变 化率：
（１）９０％；（２）９８％。
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函
数的导数．
c( x)
5284 100 x
5284
100 x2
c90
5284
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 例1: 求下列函数的导数(1)y=x3+sinx
(2)y=x4y-x'2-x+33.x 2 cos x
y' 4x3 2x 1
法则2:
f (x) g(x)' f ' (x) g(x) f (x) g '(x)
②y＝ln3 ex＋2 ④y＝sin(x2＋1) ⑥y＝4 3－lnx
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3 3x－π6，即 6 3x－2y－ 3π＋2＝0.
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数运算法则PPT优秀课件
因为两切线重合, 2x 1x 1 2 2(xx 2 22 42) x x2 1 0 2或 x x1 2 2 0.
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
作业:
(1)
y
1 x2
4 x3
;
(3)
y
1 cos2
; x
(2)
y
1 x2 (1 x2)2
;
(4) y 6x3 x; 1 x2
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
2021学年高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件新人教A版
• 2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地 选择求导公式，将题中函数的构造进展调整．如将根式、 分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
• 3．求函数在某点处的导数的步骤：先求导函数，再代入 变量的值求导数值．
〔跟踪练习 1〕 求下列函数的导数： (1)y＝x－2； (2)y＝cosx； (3)y＝e0． [解析] 由求导公式得(1)y′＝－2·x－3＝－x23． (2)y′＝(cosx)′＝－sinx． (3)∵y＝e0＝1， ∴y′＝0．
〔跟踪练习 2〕 求下列函数的导数．
(1)y＝x·tanx； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝xx－＋11． [解析] (1)y′＝(x·tanx)′＝xcsoisnxx′ ＝xsinx′coscxo－s2xxsinxcosx′ ＝sinx＋xcocsoxsc2xosx＋xsin2x＝sinxccooss2xx＋x．
• 3．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝ f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(xB)是g(x)的导函数 ，那么g′(3)＝( )
• A．－1 B．0 • C．2 D．4
[解析] 由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－13，又 g(x)＝xf(x)，f ′(3)＝－13，∴g′(x) ＝f(x)＋xf ′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f ′(3)＝1＋3×－13＝0．
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用
1．2 导数的计算
1．2.2 根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
• 3．求函数在某点处的导数的步骤：先求导函数，再代入 变量的值求导数值．
〔跟踪练习 1〕 求下列函数的导数： (1)y＝x－2； (2)y＝cosx； (3)y＝e0． [解析] 由求导公式得(1)y′＝－2·x－3＝－x23． (2)y′＝(cosx)′＝－sinx． (3)∵y＝e0＝1， ∴y′＝0．
〔跟踪练习 2〕 求下列函数的导数．
(1)y＝x·tanx； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝xx－＋11． [解析] (1)y′＝(x·tanx)′＝xcsoisnxx′ ＝xsinx′coscxo－s2xxsinxcosx′ ＝sinx＋xcocsoxsc2xosx＋xsin2x＝sinxccooss2xx＋x．
• 3．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝ f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(xB)是g(x)的导函数 ，那么g′(3)＝( )
• A．－1 B．0 • C．2 D．4
[解析] 由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－13，又 g(x)＝xf(x)，f ′(3)＝－13，∴g′(x) ＝f(x)＋xf ′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f ′(3)＝1＋3×－13＝0．
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用
1．2 导数的计算
1．2.2 根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
【课件】人教版2-2 1.2《导数的计算》 课件
巩固练习
求函数y f ( x) x3的导数。
解：y ' f '( x) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
lim ( x x)3 x3 lim 3x2 x 3x(x)2 3(x)3
x0
x
x0
x
lim (3x2 3x x 3(x)2 ) 3x2 x0
1； x2
且随x的变化，斜率在变化； 当x 0时，x ，y 1 减小得越来越快；
x 当x 0时，x ，y x2减小得越来越慢。
② y ' |x1
1 x2
|x1
1, 斜率k
1所求方程为：x
y
2
0
例5：求函数y f ( x) x的导数。
解：y' lim f ( x x) f ( x)
c'(x)
( 5284 )' 100 x
5 2 8 4 '(1 0 0
x) 5284 (1 0 0 x ) 2
(1 0 0
x)'
0 (100 x ) 5284 (1) (100 x ) 2
5284 (100 x)2
(1)因 为 c ' (90)
O
x
从几何的角度理解：
y ' 2x表示y x2图象上各点处的切线的斜率都为2x；
且随x的变化，斜率在变化；
当x 0时，x ，y x2减小得越来越慢；
当x 0时，x ，y x2增加得越来越快。
从物理的角度理解：
高中数学 121 几种常用函数的导数及导数的运算法则课件 新人教版选修22
第二十三页，共41页。
(2)y′＝(xl＋nx1)′ ＝1xx＋x＋11－2lnx ＝1－x＋lnx1＋2 1x ＝x－xxx＋lnx1＋2 1.
第二十四页，共41页。
(3)∵f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5) ＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5， ∴f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′ ＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
第三十页，共41页。
规律技巧 1在求曲线的切线方程时，注意两个“说 法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程. 在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线， 不论 点P在不在曲线上，点P不一定是切点.
2求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标 为x0，y0，然后写出切线方程y－y0＝f′x0x－x0，代入点P 的坐标，求出x0，y0，再写出切线方程.
(3)f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)
第十页，共41页。
名师讲解 1.有理数幂函数的导数(xn)′＝nxn－1(n为有理数)，应注意 其特点 (1)y＝xn中，x为自变量，n为常数． (2)它的导数等于幂指数n与自变量x的(n－1)次幂的乘积． (3)公式中n∈Q，但对于n∈R公式也成立． (4)特别注意n为负数或分数时，求导不要搞错．如( x )′ ＝(x12)′＝12x12－1＝12·x－12＝21 x.
第四十页，共41页。
(3)∵y＝1＋ sin2xcos2x＝1＋12sinx，
∴y′＝(1＋12sinx)′＝12cosx.
(4)y′＝(
x x＋1
)′－(2x)′＝
x＋1－x x＋12
－2xln2＝
1 x＋12
－
2xln2.
(2)y′＝(xl＋nx1)′ ＝1xx＋x＋11－2lnx ＝1－x＋lnx1＋2 1x ＝x－xxx＋lnx1＋2 1.
第二十四页，共41页。
(3)∵f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5) ＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5， ∴f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′ ＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
第三十页，共41页。
规律技巧 1在求曲线的切线方程时，注意两个“说 法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程. 在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线， 不论 点P在不在曲线上，点P不一定是切点.
2求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标 为x0，y0，然后写出切线方程y－y0＝f′x0x－x0，代入点P 的坐标，求出x0，y0，再写出切线方程.
(3)f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)
第十页，共41页。
名师讲解 1.有理数幂函数的导数(xn)′＝nxn－1(n为有理数)，应注意 其特点 (1)y＝xn中，x为自变量，n为常数． (2)它的导数等于幂指数n与自变量x的(n－1)次幂的乘积． (3)公式中n∈Q，但对于n∈R公式也成立． (4)特别注意n为负数或分数时，求导不要搞错．如( x )′ ＝(x12)′＝12x12－1＝12·x－12＝21 x.
第四十页，共41页。
(3)∵y＝1＋ sin2xcos2x＝1＋12sinx，
∴y′＝(1＋12sinx)′＝12cosx.
(4)y′＝(
x x＋1
)′－(2x)′＝
x＋1－x x＋12
－2xln2＝
1 x＋12
－
2xln2.
高中数学导数运算法则PPT课件
代入 y0＝ex0，得 y0＝1， 即 P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得距离为 22.
第19页/共21页
例5.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1, y 2x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
教学目标 熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活运
用
• 教学重点：熟练运用导数的四则运算法则
• 教学难点：商的导数的运用
第1页/共21页
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第 二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第
第18页/共21页
练习：点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y＝x 的最小距离．
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，
即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得 x0＝0，
利用点到直线的距离公式得距离为 22.
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例5.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1, y 2x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
教学目标 熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活运
用
• 教学重点：熟练运用导数的四则运算法则
• 教学难点：商的导数的运用
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我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第 二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第
第18页/共21页
练习：点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y＝x 的最小距离．
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，
即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得 x0＝0，
导数的运算法则PPT教学课件
间“造成一团乱麻般的权利和义务”， 使封建主之间不断发生争夺和混战
第三章 导数及其应用
查理曼帝国的分裂
公元843 年
人
教
A
三分帝国
版
数 学
第三章 导数及其应用
欧
洲 主
法兰西
要
国
家 形
德意志
成
意大利
人 教 A 版 数 学
英吉利
第三章 导数及其应用
本课总结
在古希腊罗马文明衰落后，欧洲进入了封建社
会。这一时期，欧洲的政治、思想发生了巨大变化。
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
人教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
第三单元 第二课 欧洲中世纪与基督教文明
人 教 A 版 数 学
人 教 A
版
政治上：
欧洲的封建土地制度和等级制度逐步形成；
数 学
思想上：基督教成为中世纪欧洲占统治地位的思想；
第三章 导数及其应用
课后探究
人
教
第三章 导数及其应用
查理曼帝国的分裂
公元843 年
人
教
A
三分帝国
版
数 学
第三章 导数及其应用
欧
洲 主
法兰西
要
国
家 形
德意志
成
意大利
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英吉利
第三章 导数及其应用
本课总结
在古希腊罗马文明衰落后，欧洲进入了封建社
会。这一时期，欧洲的政治、思想发生了巨大变化。
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
第三单元 第二课 欧洲中世纪与基督教文明
人 教 A 版 数 学
人 教 A
版
政治上：
欧洲的封建土地制度和等级制度逐步形成；
数 学
思想上：基督教成为中世纪欧洲占统治地位的思想；
第三章 导数及其应用
课后探究
人
教
522导数的四则运算法则课件共36张PPT
课堂篇·互动学习
类型一
导数的运算法则
[例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝x22＋x 1； (3)y＝xsin x－co2s x； (4)y＝3x－lg x. [思路分析] 本题考查导数的运算法则，观察函数的结构特征，可先对函数式 进行合理变形，然后利用导数公式及相应的运算法则求解．
3．已知 f(x)＝xln x＋2 018x，若 f′(x0)＝2 020，则 x0＝__e___.
解析：∵f′(x)＝ln x＋1＋2 018，∴f′(x0)＝ln x0＋2 019＝2 020，∴ln x0＝1，解 得 x0＝e.
4．若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标 是___(_e，__e_)___．
5．2 导数的运算
5．2.2 导数的四则运算法则
[课标解读]1.掌握导数的基本运算法则.2.能利用导数的四则运算法则求简单函 数的导数．
[素养目标] 水平一：能应用导数的四则运算法则求简单函数的导数(数学运 算)．
水平二：能利用导数的运算法则求复杂函数的导数(数学运算).
课前篇·自主预习 检测篇·达标小练
[解] (1)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (2)y′＝x22＋x 1′＝2x′x2＋x12＋－122xx2＋1′ ＝2x2x＋2＋11－24x2＝2x－2＋21x22.
[变式训练 1] 求下列函数的导数： (1)y＝( x－2)2；(2)y＝( x＋1) 1x－1.
解：(1)∵y＝( x－2)Байду номын сангаас＝x－4 x＋4，
1.2.2导数运算法则(优质课)
练习1、已知函数y=(x)是可导的周期函数，试 求证其导函数y=f′(x)也为周期函数.
设f(x)是一个以T为周期的函数， 则有： f(x)=f(x+T) 两边同时求导， 则有 f'(x)=f'(x+T) 可知f(x)的导函数仍然是周期函数。 练习2、设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个
y' 4 x 2 x 1
3
(3) 已知函数 y 3 x 4 x ，求y
3 4 3
y 4 x 6 x
3
这个法则可以推广到有限个可导函数的和的
情形,即
u (u1 u2 un ) u1 2 un . 1 例 2 求函数 y 2 x sin x 3 的导数. x 1 x 解 y ( 2 sin x 3) x 1 x ( 2 ) ( ) (sinx ) ( 3) x
1 2 (1 x )
2
(1 x 2 ) x
x 1 x
2
.
例8.y sin( x )(其中，均为常数)
解： (1)函数y sin(x )可以看作函数 y sin u和 u x 的复合函数。根据复合 函数求导法则有
y x ' yu 'u x ' (sin u )'(x )' cosu cos(x )
y x yu ux 2u cos x 2 sinx cos x.
例7
设 y 1 x 2 , 求 y .
将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
解
( u ) yu
1 2 u
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基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
常见函数的导数公式： 公式１： （kx b)' k (k , b为常数) 公式２： 公式３： 公式４：
( x n ) nx n1 (n Q)
(sin x) cos x (cos x) sin x
还有必要建立求导法则，若两个函数的导数存在， 如何求这两个函数的和，差，积，商的导数呢？
' ' '
'
推论 : (Cu) Cu
例3. 求 y 2 x 3x 5x 4的导数
2 2
例4. 求 y (2 x 2 3)(3x 2) 的导数
3.商的导数
2 ' 2 ' ( x ) sin x x (sin x ) ' 解：y sin 2 x
u uv uv ( ) (v 0) 2 v v 2 x 例5. 求y 的导数 sin x
y u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) v( x x) u ( x) x x x
u ( x)v( x x) u ( x)v( x)
因为v( x)在点x处可导，所以它在点 x处连续， 于是当x 0时，v( x x) v( x).从而
u v
y u v x x x
y u v u v lim lim lim x 0 x x 0 x x x0 x x0 x lim
u ( x) v ( x)
' '
例1. 求y x sin x的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数 的和(或差),即
(u v) u v
1.和(或差)的导数
(u v) u v
证明：y f ( x) u( x) v( x)
y u( x x) v( x x) u( x) v( x) u( x x) u( x) v( x x) v( x)
3
例2. 求y x x x 3 的导数
4 2
2.积的导数
法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二 个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即
(u v) uv uv
证明：y f ( x) u( x)v( x)
y u( x x) v( x x) u( x)v( x) u ( x x) v( x x) u ( x)v( x x)
函数 y
A. y 2 2 cos(2 x ) B. y cos 2 x sin 2 x 4 C. y sin 2 x cos 2 x
sin 2 x cos 2 x 的导数是( A
)
D. y 2 2 cos(2 x ) 4
问题:指出下列函数的复合关系
1) y (a bx )
n m
2) y sin(x
1
y 解: 1)
u m , u a bx n 1 2) y sin u , u x x
x
)
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x) 的导数间关系为 yx y u ux ; 注: y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数 的乘积. 如:求函数y=(3x-2)2的导数, 令y=u2,u=3x-2, 2u , ux 3, 从而 yx y 则 yu u ux 18 x 12
法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减 去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即
2 x sin x x 2 cos x 2 sin x
x3 例6. 求 y 2 在点x 3处的导数 x 3
2 1 ( x 3) ( x 3) 2 x ' 解：y ( x 2 3) 2
x2 6x 3 2 2 ( x 3)
9 18 3 24 1 y | x 3 2 (9 3) 144 6
'
想一想 ???
1). 求函数y=(3x-2)2的导数 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 3 那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
由定义求导数（三步法）
步骤:
y f ( x0 x) f ( x0 ) (2) 算比值 ; x x
(3) 求极限
注意:
f ( x0 ) f ( x) x x0
根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的 求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
1.和(或差)的导数
y u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) lim lim v( x x) u ( x) lim x 0 x x 0 x 0 x x
u ( x)v( x) u( x)v ( x)
' '
即 y (uv) u v uv
常见函数的导数公式： 公式１： （kx b)' k (k , b为常数) 公式２： 公式３： 公式４：
( x n ) nx n1 (n Q)
(sin x) cos x (cos x) sin x
还有必要建立求导法则，若两个函数的导数存在， 如何求这两个函数的和，差，积，商的导数呢？
' ' '
'
推论 : (Cu) Cu
例3. 求 y 2 x 3x 5x 4的导数
2 2
例4. 求 y (2 x 2 3)(3x 2) 的导数
3.商的导数
2 ' 2 ' ( x ) sin x x (sin x ) ' 解：y sin 2 x
u uv uv ( ) (v 0) 2 v v 2 x 例5. 求y 的导数 sin x
y u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) v( x x) u ( x) x x x
u ( x)v( x x) u ( x)v( x)
因为v( x)在点x处可导，所以它在点 x处连续， 于是当x 0时，v( x x) v( x).从而
u v
y u v x x x
y u v u v lim lim lim x 0 x x 0 x x x0 x x0 x lim
u ( x) v ( x)
' '
例1. 求y x sin x的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数 的和(或差),即
(u v) u v
1.和(或差)的导数
(u v) u v
证明：y f ( x) u( x) v( x)
y u( x x) v( x x) u( x) v( x) u( x x) u( x) v( x x) v( x)
3
例2. 求y x x x 3 的导数
4 2
2.积的导数
法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二 个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即
(u v) uv uv
证明：y f ( x) u( x)v( x)
y u( x x) v( x x) u( x)v( x) u ( x x) v( x x) u ( x)v( x x)
函数 y
A. y 2 2 cos(2 x ) B. y cos 2 x sin 2 x 4 C. y sin 2 x cos 2 x
sin 2 x cos 2 x 的导数是( A
)
D. y 2 2 cos(2 x ) 4
问题:指出下列函数的复合关系
1) y (a bx )
n m
2) y sin(x
1
y 解: 1)
u m , u a bx n 1 2) y sin u , u x x
x
)
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x) 的导数间关系为 yx y u ux ; 注: y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数 的乘积. 如:求函数y=(3x-2)2的导数, 令y=u2,u=3x-2, 2u , ux 3, 从而 yx y 则 yu u ux 18 x 12
法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减 去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即
2 x sin x x 2 cos x 2 sin x
x3 例6. 求 y 2 在点x 3处的导数 x 3
2 1 ( x 3) ( x 3) 2 x ' 解：y ( x 2 3) 2
x2 6x 3 2 2 ( x 3)
9 18 3 24 1 y | x 3 2 (9 3) 144 6
'
想一想 ???
1). 求函数y=(3x-2)2的导数 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 3 那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
由定义求导数（三步法）
步骤:
y f ( x0 x) f ( x0 ) (2) 算比值 ; x x
(3) 求极限
注意:
f ( x0 ) f ( x) x x0
根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的 求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
1.和(或差)的导数
y u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) lim lim v( x x) u ( x) lim x 0 x x 0 x 0 x x
u ( x)v( x) u( x)v ( x)
' '
即 y (uv) u v uv