理论力学2

qV dt (vb va ) (W Fa Fb F )dt
qV (vb va ) W Fa Fb F
vb 设
W
b b1
解: 分析aa与bb之间的流体（质点系） dt 内的动量变化为
F F F F F
由于
为静约束力 为动约束力
W Fa Fb F 0
F
(e) y
(e) p2 y p1 y I y
p2 z p1z I
(e) z
17
§10-2 动量定理
3.质点系动量守恒定理
dp (e) Fi dt
dp x Fx( e ) dt
dp y dt
Fy( e )
dp z Fz( e ) dt
●当作用于质点系上的外力主矢恒等于零时，则质点系的动 量保持不变。 若
若一个质点系由多个刚体组成，则该质点系动量可写为
p pi mvCi
5
质点系的动量：
p mi vi
i 1
n
p mvC
质点系的动量 p 在直角坐标系中的投影为
px mi vix m vcx
py mi viy m vcy
pz mi viz m vcz
F
(e)
0,
则
p = 恒矢量
●当作用于质点系上的外力主矢在某轴（如 x 轴）上投影 恒等于零时，则质点系的动量在该轴上的投影保持不变。 若
F
(e) x
0,
则
px = 恒量
18
动量守恒方程中的速度必须是绝对速度
§10-2 动量定理
4.质点系动量守恒定理的应用
பைடு நூலகம்
v1 (人不动),某瞬时 人重 Q , 初始船速 例: 已知:船重W,
pbb1 paa（流动稳定） 1
例: 已知:流体为不可压缩的理想流体，且流动稳定（定常），流 体密度ρ， 单位时间体积流量qv。求:管壁的附加动约束力。
v1
∵ qv=Av=Q=A1v1=A2v2
2 Fx qv v2 A2 v2 2 F q v A v v 1 1 1 y
v
mv
m
v
② 质点系的动量：
n
质点系内各质点动量的矢量和，称为质点系的动量。用 P 表示。
p mi vi（矢量和）
i 1
2
质点系的动量： p mi vi
i 1
n
已知 m1 = 2m2 = 4m3 ，v1 = v2 = v3 = v ，求系统动量。 v3 m3 45°
9
B
P ωAB
vB
φ
C
mvc
vA
A
例:求图示均质物体或物体系统的动量。 ⑦ 皮带轮传动系统由均质轮和均质皮带组成， 该系统的动量等于多少？ m C R1
？
ω1
ω2
m2 O2
R2
O1
m1
∵系统对称于两轮轴心连线
∴系统质心必在该连线上 系统质心的速度始终为零 ∴系统的动量 p = Mvc = 0 (M=m+m1+m2) 10
14
§10-2 动量定理
2.质点系的动量定理 设质点系有 n 个质点， 第 i 个质点的质量为 mi，速度为 vi
外力:
质
Fi ,
(e)
内力:
Fi (i )
d(mi vi ) Fi (e) dt Fi (i )dt 点i: d(mv ) Fdt 质点系: dP d(mi vi ) Fi (e)dt Fi (i )dt
若一个质点系由多个刚体组成，则该质点系动量可写为
p pi mvCi
6
质点系的动量：
p mvC
p pi mvCi
例:求图示均质物体或物体系统的动量。
①
②
m
③
m R
C
C
R m
ω
e e O
C
vc
ω
O
vc
vc 0 p mvc 0
例:求图示均质物体或物体系统的动量。 ⑧ OA 、AB和轮B均为均质物体，质量均为m
vA
A
l1vA O l2
p pi mvCi pOA p AB pB
AB杆瞬时平动
B l3

vA
l1 P m ml1 ml1 2
pOA
pAB
mB m A mB
Fx(e) 0
l0
20
例: 已知:流体为不可压缩的理想流体，且流动稳定（定常），流 体密度ρ， 单位时间体积流量qv。求:管壁的附加动约束力。
Fa a va a a1 F a1 b b1 Fb
(e) (e) 由动量定理 dp Fi dt dI i 有：
方向：同 vC
p
l m 6 方向：同 vC
大小： p mvc
8
例:求图示均质物体或物体系统的动量。
vA= v ⑥已知:m，l，
p mvC
解： AB 杆做平面运动
瞬心为P v vA AB AP l sin
v vC AB CP 2 sin mv p mvC 2 sin
第十章 动 量 定 理
1.动量定理 动力学普遍定理 2.动量矩定理 3.动能定理 建立: 运动特征量
联系
力的作用量 (冲量、力矩、功) 1
(动量、动量矩、动能)
§10-1 动量与冲量
1.动量 —矢量 与 ① 质点的动量：
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。
质量大小 有关 速度
mv
方向：同
kg m / s 单位：
y
A1
Fx
A2
v2
即使v1=v2也存在动反力
Fy
x Fx qv (vbx vax ) 解: 投影式 Fy qv (vby vay ) O
Fx qv (v2 0) qv v2 Fy qv (0 (v1 )) qv v1
人相对船以 vr 行走.求:此时的船速
x
v1
vr
③ 质点系动量守恒定理 若
Fx( e ) 0, 则
px= 恒量
Q 不记水阻 W FN
人未走时 Px1 人走时 由
W Q v1 g W Q Px 2 v2 (v2 vr ) g g
解: ① 研究对象: 整体 (人和船组成的系统) ② 受力及运动分析
(e)
(e)
或
dp Fi ( e ) dt
质点系动量定 理的微分形式
在瞬时 t1至 t2 段时间内积分，有 ~ t2 t1 令 p1 ~ p2
p2 p1 I i( e )
i 1
n
质点系动量定理的积分形式
即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段时间 内作用于质点系外力冲量的矢量和. 质点系的内力不能改变质点系的动量 16
p p0 pa1b1 pab
( pbb1 pa1b ) ( pa1b paa1 )
F qV (vb va )
Fx qv (vbx vax ) 投影式 Fy qv (vby vay )
21
qV dt (vb va )=dp
x
n
v2 m2
y
p
m1v1 m1 v1
y
O 解:
p mi vi m1v1 m2v2 m3v3
i 1
O
m2v2
m3v3 x
p
px m2v2 m3v3 cos 45
py m1v1 m3v3 sin 45
p ( p, x) arccos x p py ( p, y ) arccos p
得 或
dp Fi dt dIi dp 质点系动量定理的微分形式 (e) Fi dt
(e) (e)
0
即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和 ;或质
点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和(主矢).
15
§10-2 动量定理
2.质点系的动量定理
dp Fi dt dIi
§10-2 动量定理
2.质点系的动量定理
dp Fi ( e ) dt
式
(e) p p I 或 2 1 i i 1
n
动量定理微分形式的投影式
动量定理积分形式的投影
dp x (e) Fx dt
p 2 x p1x I
(e) x
dp y
dt dp z (e) Fz dt
px p y
2
2
3
p mi vi
i 1
n
质点系动量的另一算法：
C:质心,即质量中心
z
ri
O x
rC
mi C
设质点系内各质点对固定点O的矢径为 ri， 则
y
mi ri 质心坐标式 rc (m mi ) m
d vi ri dt
dri d d ( mi ri ) p mi vi mi ( mrC ) mvC dt dt dt
为何有加强圈的原因
22
太空拔河-质点系动量定理实例分析
宇航员 A 、 B 的质量分别为 mA 、 mB 。 开始时二人在太空保持 静止。若A的力气大于B，则拔河胜负如何？
C
F ( e) 0, mAvA mBvB (mA mB )vC 0
∴ 二人拔河不分胜负！ 23
§10-3 质心运动定理
p mvC
结论：质点系的动量等于质点系的总质量与其 质心速度的乘积。
4
质点系的动量：
p mi vi
i 1
n
p mvC
质点系的动量 p 在直角坐标系中的投影为
px mi vix m vcx
py mi viy m vcy
pz mi viz m vcz
d(mv ) Fdt
质点动量定理的微分形式
即：即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量. 在t1至t2时间内积分，得
v
v2
1
t2 d (mv ) Fdt t1
t2 mv2 mv1 Fdt I
t1
质点动量定理的积分形式
即：质点在 某一 时间间隔内动量的变化等于作用于其上的力在 同一时间内的冲量。
px1 px 2
当Q<<W时:
Q v2 v1 vr W Q
v2 v1
19
Fx(e) 0
例 已知 杆 l，小球 mB，滑块 mA；φ =φ0 静止释放。杆释放后, t为常量）求滑块A的最大速度 近似有: 0 cos( ω mAg ③ 质点系动量守恒定理 O A vA x 若 Fx( e ) 0, 则 p x =0
p
大小： p mvc 方向：同 vC
me p
大小： p mvc 方向：同 vC
m R
7
质点系的动量：
p mvC
p pi mvCi
例:求图示均质物体或物体系统的动量。 ④ m
C
⑤
m l O
C
vc
l/3
vc
p
大小： p mvc
mi ri rc m
(m mi )
m ix i m m iy i yC m m iz i zC m xC

轨迹
[
l m1 2 sin t yC l sin t 2m1 m2 2m1 m2 2m1
xc yc ]2 [ ]2 1 2(m1 m2 )l /( 2m1 m2 ) m1l /( 2m1 m2 )
FN φ0
B
解：① 研究对象: 整体 ② 受力及运动分析
mAvAx mBvBx 0
φ
B
mAvA mB (vA vrx ) 0
vA
m B v rx m A mB
vrx
vB mBg
l sin t v B l 0
(vrx ) max l0
(v A ) Max
pB
11
？
两均质轮质量均为 m2，半径均为R，履带质量为m1，长为 L， 求系统的动量 p 。 m2 m1 v R R m2
p (2m2 m1 )v
12
作业
思考题 (第七版) 10-1
13
§10-2 动量定理
1.质点的动量定理
ma F
dv m F dt
d(mv ) F dt
1.质量中心（质心）
例：已知ω为常量，均质杆OA=AB＝l,两 杆质量皆为 m1,滑块 B 质量为m2,求：质 心运动方程、轨迹及系统动量.
z
ri
O
rC
mi C 解：设
xC
ω
φ
x
质心坐标式
y
t，质心运动方程为
m1 l 3l m1 2m2l 2 2 cos t 2m1 m2