《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件1-2-2
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件1-3-2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
第一章
导数及其应用
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第一章
导数及其应用
高考调研
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1．3 导数在研究函数中的应用
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第一章
导数及其应用
高考调研
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1.3.2
函数的极值与导数
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第一章
导数及其应用
高考调研
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高考调研
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思考题 3
设 a 为实数，函数 f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求 f(x)的极值． (2)当 a 在什么范围内取值时， 曲线 y＝f(x)与 x 轴仅有一个交 点．
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第一章
1.3 1.3.2
高考调研
【解析】
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(1)f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
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第一章
1.3 1.3.2
高考调研
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探究 2 求函数的极值，按步骤依次进行．在检查 f′(x)＝0 根的两侧 f′(x)的符号时，用列表的方式，显得有条理，直观性 强． 8 思考题 2 求函数 y＝2x＋x的极值，并结合单调性、极值作 出该函数的图像．
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第一章
第一章
1.3 1.3.2
高考调研
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(2)如果某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？
【解析】 可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的 点不一定是极值点．可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)＝0 且在 x0 两侧 f′(x)的符号不同．
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学课件
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第三章 3.2 3.2.2
高考调研
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探究2 涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性 质：如z＋ z 等于z的实部的两倍，z·z ＝|z|2等，另外注意复数问 题实数化及方程思想的应用．
思考题2 证明|z|＝1⇔z＝ 1 . z
答：(1)|z|＝| z |；(2)z·z ＝|z|2＝| z |2；
(3)z＝ z ⇔z∈R， z ＝－z(z≠0)⇔z为纯虚数；
(4) z1＋z2 ＝ z 1＋ z 2；(5) z1·z2 ＝ z 1·z 2；
(6)(zz12)＝
z z
1(z2≠0)．
2
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第三章 3.2 3.2.2
高考调研
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第三章 3.2 3.2.2
高考调研
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(3)原式＝2－2i＋33i＋－i3i22－i ＝5＋3i＋2i－i＝10－53i＋＋i2i－i2 ＝113－＋3i i＝113－＋3ii33－－ii ＝33－11i1－0 9i＋3i2 ＝30－1020i＝3－2i.
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第三章 3.2 3.2.2
高考调研
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1．复数乘法满足怎样的运算律？ 答：①z1·z2＝z2·z1；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；③z1(z2＋z3)＝z1·z2 ＋z1·z3
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第三章 3.2 3.2.2
高考调研
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2．共轭复数有哪些主要性质？
高考调研
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(3)(2010·陕西卷，文)复数z＝
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件1-1-2
课 时 学 案
课 后 巩 固
课 时 作 业
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第一章
1.1 1.1.2
高考调研
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要点 1 瞬时速度 设物体运动的路程与时间的关系是 s＝f(t)， 当 Δt 趋近于 0 时，
ft0＋Δt－ft0 Δt 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率 趋近于常
(2)2
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第一章
1.1 1.1.2
高考调研
题型三
例3
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转化与化归
若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求
fa＋Δx－fa－Δx li m . 2 Δx Δx→0 【思路分析】 已知函数 f(x)在 x＝a 处导数为 A，要求所给 极限的值，必须将已给极限式转化成导数的意义．
数，这个常数称为 t0 时刻的瞬时速度．
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第一章
1.1 1.1.2
高考调研
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要点 2 瞬时变化率 函数 f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限，即 Δy lim Δx＝ Δx→0
fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→0
称为 f(x)在 x0 处的瞬时变化率．
【解析】 1 2 运动方程为 s＝ at . 2
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1 1 2 1 2 因为 Δs＝2a(t0＋Δt) －2at0＝at0Δt＋2a(Δt)2， Δs 1 Δs 所以 Δt ＝at0＋2aΔt，所以lim Δt ＝at0. Δt→0 因为 a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s， 所以 at0＝8×102＝800 (m/s)． 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s.
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课时作业23
课时作业(二十三)一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )A ．三角形中有两个内角是直角B ．三角形中有三个内角是直角C ．三角形中至少有两个内角是直角D ．三角形中没有一个内角是直角答案 C2．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12D ．1答案 B3．a ＋b >c ＋d 的一个必要不充分条件是( )A ．a >cB ．b >cC ．a >c 且b >dD ．a >c 或b >d 答案 D4．实数a 、b 、c 不全为0等价于( )A ．a 、b 、c 均不为0B ．a 、b 、c 中至多有一个为0C ．a 、b 、c 中至少有一个为0D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0答案 D5．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2答案 C6．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定为( )A ．自然数a ，b ，c 都是奇数B ．自然数a ，b ，c 都是偶数C ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．自然数a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数答案 D解析 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．7．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”，反证假设正确的是( )A ．假设三内角都大于60°B ．假设三内角都不大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°答案 B8．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C二、填空题9．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．答案x≠0或y≠010．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________．答案①11．用反证法证明：“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．答案a≤b12．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为________．答案x＝a或x＝b解析否定结论时，一定要全面否定，x≠a且x≠b的否定为x ＝a或x＝b.13．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．答案a≤－2或a≥－1解析若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0.∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1.14．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________．答案 ③①②三、解答题15．求证：1、3、2不能为同一等差数列的三项．证明 假设1，3，2是数列{a n }(n ∈N ＋)中某三项，不妨设为a n ＝1，a m ＝3，a p ＝2，(n ，m ，p 互不相等)由等差数列定义可有a m －a n m －n ＝a p －a n p －n， 即3－1m －n ＝1p －n ，则3－1＝m －n p －n. 由于m ，n ，p 是互不相等的正整数， ∴m －n p －n必为有理数，而3－1是无理数，二者不会相等． ∴假设不成立，结论正确．16．实数a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．证明 假设a ，b ，c ，d 中没有负数，即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0，∵1＝(a ＋b )(c ＋d )＝(ac ＋bd )＋(bc ＋ad )>1＋(bc ＋ad )，即bc ＋ad <0.这与假设a ，b ，c ，d 中没有负数矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个负数．17．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论． 解析 (1)∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b .由已知f (x )的单调性，得f (a )≥f (－b )．又a ＋b ≥0⇒b ≥－a ，得f (b )≥f (－a )．两式相加，得f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (b )⇒a ＋b ≥0.下面用反证法证明：假设a ＋b <0，那么}a ＋b <0⇒a <－b ⇒f (a )<f (－b )a ＋b <0⇒b <－a ⇒f (b )<f (－a )⇒f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 这与已知矛盾，故只有a ＋b ≥0逆命题得证．►重点班·选做题18．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于32.证明 假设a ，b ，c 都小于或等于32，即a ≤32，b ≤32，c ≤32.∵abc ＝1，∴a 、b 、c 三数同为正或一正两负． 又a ＋b ＋c ＝0，∴a 、b 、c 只能是一正两负． 不妨设a >0，b <0，c <0，则b ＋c ＝－a ，bc ＝1a .∴b 、c 为方程x 2＋ax ＋1a ＝0有两根．∴Δ＝a 2－4a ≥0，即a 3≥4.∴a ≥34>3278＝32，这与a ≤32矛盾．∴a 、b 、c 中至少有一个大于32.。
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课时作业28
C.＋iD.＋2i
答案C
4．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝()
A．－＋iB.－i
C．－－iD.＋i
答案D
5．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是()
A．－10＋8iB．10－8i
C．0D．10＋8i
答案C
6．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()
答案5
13．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________.
答案±2－2i
14．(2013·徐州高二检测)在复平面内，O是原点，、、对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么对应的复数为________．
答案4－4i
三、解答题
15．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△APB的面积．
解析(1)∵＝－＝(1,4)－(3,2)＝(－2,2)，
∴与对应的复数为－2＋2i.
A．1B．3
C．1或3D．－1
答案B
二、填空题
10．在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第________象限．
答案三
11．在复平面内，向量对应的复数为－1－i，向量对应的复数为1－i，则＋对应的复数为________．
答案－2i
12．在复平面内，若、对应的复数分别为7＋i、3－2i，则||＝________.
A．3B．2
C．1D．－1
答案D
7．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课时作业24
课时作业(二十四)一、选择题1．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *且n >1)第一步验证n ＝2时，左边计算所得项为( )A ．1B ．1＋12C.13 D ．1＋12＋13答案 D解析 当n ＝2时，左边最后一项为122－1＝13.2．设f (n )＝12＋13＋14＋…＋12n －1，则f (k ＋1)－f (k )等于() A.12k ＋1－1B.12k ＋12k ＋1＋12k ＋1－1C.12k ＋12k ＋1－1D.12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1－1答案 D解析 n ＝k 时，f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1.n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1.∴f (k ＋1)－f (k )＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1. 3．如果命题P (n )对n ＝k 成立，那么它对n ＝k ＋2也成立，若P (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A ．P (n )对所有正整数n 都成立B ．P (n )对所有正偶数n 都成立C ．P (n )对所有正奇数n 都成立D ．P (n )对所有自然数n 都成立答案 B4．用数学归纳法证明恒等式1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，两边应同时加上( )A.12k ＋1B ．－12k ＋1 C.12(k ＋1)D.12k ＋1－12k ＋2答案 D5．若凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2 答案 C二、填空题6．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则S (n )有________项，S (2)＝________.答案 n 2－n ＋1；1312解析 应用等差数列通项公式的变形公式：d ＝a n －a m n －m即得项数； S (2)＝12＋13＋14＝1312.7．用数学归纳法证明3n >n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证________． 答案 n ＝3时是否成立解析 n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．8．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．答案 122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3解析 观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 三、解答题9．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2. 当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)(1－1k ＋3) ＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3. 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．10．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋52－…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．解析 (1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)．当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－2k 2－5k －3＝－(k ＋1)(2k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]．即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，等式成立．11．已知x >－1，且x ≠0，n ∈N *，且n ≥2.求证：(1＋x )n >1＋nx .证明 (1)当n ＝2时，左边＝(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2，右边＝1＋2x . ∵x 2>0，∴原不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即(1＋x )k >1＋kx . 当n ＝k ＋1时，∵x >－1，∴1＋x >0.于是左边＝(1＋x )k ＋1＝(1＋x )k (1＋x )>(1＋kx )(1＋x )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2，右边＝1＋(k ＋1)x .∵kx 2>0，∴左边>右边，即(1＋x )k ＋1>1＋(k ＋1)x .这就是说，当n ＝k ＋1时原不等式也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数都成立．12．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)．求证：S 2n >1＋n 2(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立．(2)设n ＝k 时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k 2，当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1 >1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，故当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对n ∈N *，n ≥2，S 2n >1＋n 2等式都成立． ►重点班·选做题13．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．分析 这是一个探索性问题，先用归纳法探求a 的最大值，然后再用数学归纳法证明对一切的正整数n ，不等式都成立．解析 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24，即2624>a 24， ∴a <26，又a ∈N ，∴取a ＝25，下面用数学归纳法证明： 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)当n ＝1时，已证．(2)假设当n ＝k 时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524成立． 当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋ 13(k ＋1)＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1 >2524＋13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1). ∵13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＝23(k ＋1)(3k ＋2)(3k ＋4)>0， ∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524也成立． 由(1)、(2)可知，对一切正整数n ，都有不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524成立． ∴a 的最大值25.。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课后巩固2-1-1-2
1．下面几种推理是类比推理的是()
A．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，可以推测一切金属都能导电
B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2) 答案 B
2．在等差数列{a n}中，若p＋q＝m＋n(p、q、m、n∈N＋)，则a p ＋a q＝a m＋a n，类比该性质在等比数列{b n}中，有________．答案b p·b q＝b m·b n
解析等差数列中的和类比等比数列中的积，
∴在等比数列{b n}中有b p·b q＝b m·b n.
3．在圆中，连接圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论．
解析圆的弦类比球的截面圆，所以相应结论为：在球中，连接球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．。
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课时作业15
课时作业(十五)一、选择题1.⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝( )A ．56B ．28C .563D ．14答案 C解析 ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋14x 4－30x |42＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563.故选C .2．若⎠⎛01(2x ＋k)d x ＝2，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B3．下列定积分值是0的是( ) A .⎠⎛－22x sin x d xB .⎠⎛－22x 2cos x d xC .⎠⎛－22(x 2＋x 4)d xD .⎠⎛－222(x 3＋5x 5)d x答案 D解析 利用当f(x)是奇函数时，⎠⎛－a a f(x)d x ＝0当f(x)是偶函数时，⎠⎛－aa f(x)d x ＝2⎠⎛0a f(x)d x.4．函数y ＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x答案 A5．⎠⎜⎛－π2π2 (1＋cos x)d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D解析 ⎠⎜⎛－π2π2 (1＋cos x)d x ＝2⎠⎜⎜⎛0π2 (1＋cos x)d x ＝2(x ＋sin x) ⎪⎪⎪π20＝2(π2＋1)＝π＋2.6．若F ′(x)＝x 2，则F(x)的解析式不正确的是( ) A ．F(x)＝13x 3B ．F(x)＝x 3C ．F(x)＝13x 3＋1D ．F(x)＝13x 3＋c(c 为常数) 答案 B 7.⎠⎛222x1＋x2d x ＝( ) A ．4 B ．6 C ．3D ．1答案 A解析 ∵(1＋x 2)′＝12(1＋x 2)12－1·(1＋x 2)′＝2x 21＋x 2＝x1＋x 2， ∴⎠⎛0222x 1＋x 2d x ＝2⎠⎛022x 1－x2d x ＝21＋x 2 |220＝2(1＋8－1)＝4.故选A .8. ⎠⎛35x 2＋1x d x 等于( ) A ．8－ln 53 B ．8＋ln 53 C ．16－ln 53 D ．16＋ln 53答案 B解析 ⎠⎛35x 2＋1x d x ＝⎠⎛35x d x ＋⎠⎛351x d x＝12x 2 |53＋ln x |53＝12(52－32)＋ln 5－ln 3＝8＋ln 53，故选B . 9．m ＝⎠⎛01e x d x 与n ＝⎠⎛1e 1x d x 的大小关系是( )A ．m>nB ．m<nC ．m ＝nD ．无法确定答案 A解析 m ＝⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e －1，n ＝⎠⎛1e 1x d x ＝ln x |e 1＝1，则m>n. 10．(2010·湖南高考) ⎠⎛241x d x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2答案 D解析 ⎠⎛241x d x ＝ln x |42＝ln 2.11.⎠⎛05π(e x －sin x)d x 等于( )A ．e 5π－1B ．e 5π－2C ．e 5π－3D ．e 5π－4答案 C解析 ⎠⎛05π(e x －sin x)d x ＝⎠⎛05πe x d x －⎠⎛05πsin x d x＝e x |5π0＋cos x |5π＝e 5π－e 0＋cos 5π－cos 0 ＝e 5π－1－1－1 ＝e 5π－3.12．(⎠⎛ab sin x d x)′等于( )A ．sin xB ．－cos xC ．cos b －sin aD ．0答案 D13.⎠⎛－22e |x|d x 值等于( )A ．e 2－e －2B ．2e 2C ．2e 2－2D ．e 2＋e －2－2答案 C 二、填空题14．如果⎠⎛01f(x)d x ＝1，⎠⎛02f(x)d x ＝－1，那么⎠⎛12f(x)dx ＝________.答案 －2解析 ∵⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01f(x)d x ＋⎠⎛12f(x)d x ，∴1＋⎠⎛12f(x)d x ＝－1.∴⎠⎛12f(x)d x ＝－2.15．已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f(x)d x ＝2f(a)成立，则a ＝________.答案 13或－1解析 ∵(x 3＋x 2＋x)′＝3x 2＋2x ＋1，∴⎠⎛－11f(x)d x ＝(x 3＋x 2＋x) |1－1＝(1＋1＋1)－(－1＋1－1)＝4. 又2f(a)＝6a 2＋4a ＋2，∴6a 2＋4a ＋2＝4，即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝13或a ＝－1.16．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则⎠⎛02f(x)d x 等于________．答案 5617．若⎠⎛eb 2x d x ＝6，则b ＝________.答案 e 4 ►重点班·选做题18．(2011·陕西)设f(x)＝⎩⎨⎧lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f[f(1)]＝1，则a ＝________. 答案11．若F(x)满足F ′(x)＝sin x ，则F(x)的解析式一定是( ) A ．F(x)＝cos x B ．F(x)＝－cos xC ．F(x)＝1－cos xD ．F(x)＝－cos x ＋c(c ∈R )答案 D解析 因为(－cos x ＋c )′＝－(cos x )′＋c ′＝sin x ＋0＝sin x ，所以F (x )＝－cos x ＋c (c ∈R )．故选D.2．求⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x|)d x.解析 ∵|2x ＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x (－3≤x<－32)，6 (－32≤x<32)，4x (32≤x ≤3).∴⎠⎛-33 (|2x ＋3|＋|3－2x|)d x。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)2-1-2
高考调研
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 2.1 第二课时
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第二章 数 列
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第二章 数 列
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2．1 数列的概念与简单表示法(第二课时) 数列的性质和递推公式
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第二章 数 列
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《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件3-2-1
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第三章
3.2 3.2.1
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【解析】 －3－2i.
→ → → ①AO＝－OA，∴AO表示的复数为－(3＋2i)，即
→ → → → ②CA＝OA－OC，∴CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5 －2i. → → → → → ③OB＝OA＋AB＝OA＋OC， → ∴OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即 B 点对应的复数为 1＋6i.
两个代数形式的复数的减法运算法则和加法运算法
则一样，都类似于两个多项式加减运算时的合并同类项，即(a＋ bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，差仍是一个复数．
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第三章
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思考题 2 (1)计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( A．1 C．5＋2i B．－1 D．1－i )
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第三章
3.2 3.2.1
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→ 3．向量Z1Z2对应的复数是 z2－z1，而不是 z1－z2，即终点对应 的复数减起点对应的复数，这个顺序是不能颠倒的.
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第三章
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课 时 学 案
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第三章
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第三章
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探究 4 解法一是通法，同时要注意整体代换；解法二实质 上是平行四边形两条对角线的平方和等于其相邻两边平方和的 2 倍的复数形式，非常简捷；解法三充分运用了复数加、减法的几 何意义，数形结合，解法简捷，值得借鉴． 思考题 4 已知复数 z 的虚部不小于零， 且满足|z＋2|＝1， 求 |z－2i|的最大值和最小值． 【思路分析】 考虑复数的几何意义和模的性质．
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课时作业18
课时作业(十八)一、选择题1.下列表示图中f(x)在区间[a ，b]的图像与x 轴围成的面积总和的式子中，正确的是( )A .⎠⎛ab f(x)d xB .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b f (x )d x C .⎠⎛a c 1f(x)d x ＋⎠⎛c 1c 2f(x)d x ＋⎠⎛c 2b f(x)d x D .⎠⎛a c 1f(x)d x －⎠⎛c 1c 2f(x)d x ＋⎠⎛c 2b f(x)d x 答案 D2．若⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2答案 D3．⎠⎜⎛－π2π2 (1＋cos x)d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D4．f(x)是一次函数，且⎠⎛01f(x)d x ＝5，⎠⎛01xf(x)d x ＝176，那么f(x)的解析式是( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．－4x ＋2D ．－3x ＋4答案 A解析 设y ＝kx ＋b(k ≠0)，⎠⎛01(kx ＋b)d x ＝(12kx 2＋bx)|10＝12k ＋b ＝5，①⎠⎛01x(kx ＋b)d x ＝(13kx 3＋12bx 2)|10＝176， 得13k ＋12b ＝176.②解①②得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝3.5．下列各式中正确的是( ) A .12<⎠⎛01x 2d x<1B .12<⎠⎛01x d x<1C .12<⎠⎛－11x 3d x<1D ．0<⎠⎛1x d x<12答案 B解析 图解如图由几何性可知选B .6．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形的面积的最小值为( )A .14B .13C .12D .23答案 A解析 如图S ＝t 2·t －⎠⎛0t x 2d x ＋⎠⎛t1x 2d x －(1－t)t 2，得S ＝f(t)＝43t 3－t 2＋13. ∵f ′(t)＝4t 2－2t ，令4t 2－2t ＝0.得t ＝12(t ＝0(舍))．可知当t ＝12时，S 最小．最小值为S ＝14，选A .7.如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．－2 3 C .323 D .353答案 C8．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围图形的面积为( ) A .154 B .174 C .12ln 2 D ．2ln 2 答案 D9．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有()S ＝⎠⎛ab [g(x)－f(x)]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f(x)d x －⎠⎛47f(x)d x S ＝⎠⎛0a [g(x)－f(x)]d x ＋⎠⎛ab [f(x)－g(x)]d x③ ④ A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．③④答案 D解析 ①应是S ＝⎠⎛ab [f(x)－g(x)]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D . 二、填空题10．若⎠⎛01x(a －x)d x ＝2，则实数a ＝________.答案 14311．设f(x)是连续函数，且f(x)＝x ＋2⎠⎛01f(t)d t ，则f(x)＝________.答案 x －212．设函数f(x)＝ax 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f(x)d x ＝f(x 0)，(0≤x 0≤1)，则x 0的值为________．答案 33 三、解答题13.⎠⎛15(|2－x|＋|sin x)|d x.解析 原式＝⎠⎛15(|x －2|)d x ＋⎠⎛15(|sin x|)d x＝92＋2＋⎠⎛0πsin x d x ＋⎠⎛π5(－sin x)d x＝92＋2＋2＋cos 5＋1＝192＋cos 5.14．已知f(x)是一个一次函数，其图像过(3,4)，且⎠⎛01f(x)d x ＝1，求f(x)的解析式．解析 设f(x)＝kx ＋b(k ≠0)，其图像过点(3,4)， ∴4＝3k ＋b.1＝⎠⎛01(kx ＋b)d x ＝(12kx 2＋bx)|10＝12k ＋b. 从而有⎩⎨⎧12k ＋b ＝1，3k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝65，b ＝25.∴f(x)＝65x ＋25. ►重点班·选做题15．求c 的值，使⎠⎛01(x 2＋cx ＋c)2d x 最小．解析 令y ＝⎠⎛01(x 2＋cx ＋c)2d x＝⎠⎛01(x 4＋2cx 3＋c 2x 2＋2cx 2＋2c 2x ＋c 2)d x＝(15x 5＋12cx 4＋13c 2x 3＋23cx 3＋c 2x 2＋c 2x) |10 ＝15＋76c ＋73c 2，令y ′＝143c ＋76＝0， 得c ＝－14，所以当c ＝－14时，y 最小．1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第2秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为________．答案 32g2．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为1n ，试求：(1)过点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．解析 如图所示，设切点A(x 0，y 0)．由y ′＝2x 知过A 点切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)且y 0＝x 20， 即y ＝2x 0x －x 20. 令y ＝0，得C(x 02，0)．设由曲线与过A 点的切线及x 轴围成的面积为S ，则S ＝S 曲线OAB－S △ABC ＝112.∵S 曲边AOB ＝⎠⎛0x 0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪x 00＝13x 30，S △ABC ＝12BC·AB ＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30， ∴112＝13x 30－14x 30＝x 3012.解得x 0＝1，从而A(1,1)切线方程为y ＝2x －1.3．(2013·广州质检)A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t(m /s )，到达C 的速度达24 m /s ，从C 点到B 点前的D 点匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t)m /s ，在B 处恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离； (3)从A 到B 的时间．解析 (1)设A 到C 点经过t 1s ， 由1.2t 1＝24，得t 1＝20(s )． ∴AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2 |200＝240 (m )．(2)设从D →B 经过t 2s ， 由24－1.2t 2＝0，得t 2＝20(s )．∴DB ＝⎠⎛020(24－1.2t)d t ＝(24t －0.6t 2) |200＝240(m )．从C 到D 的时间t 3＝6 72024＝280(s )， 所求A 到B 的时间为20＋280＋20＝320(s )．1．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A .14 B .15 C .16 D .17答案 C解析 利用积分求出阴影部分的面积，应用几何概型的概率计算公式求解．∵S 阴影＝⎠⎛01(x －x)d x ＝(23x 32－12x 2)| 10＝23－12＝16，又S 正方形OABC ＝1，∴由几何概型知，P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16.2．(2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M(π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B .12C ．－22 D .22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′| x ＝π4＝12，∴曲线在点M(π4，0)处的切线的斜率为12.3．(2011·江西)若f(x)＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x)>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)答案 C解析 由题意知x>0，且f ′(x)＝2x －2－4x ， 即f ′(x)＝2x 2－2x －4x >0，∴x 2－x －2>0， 解得x<－1或x>2.又∵x>0，∴x>2.4．(2011·新课标全国)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A .103B ．4C .163D ．6答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝(23x 32－12x 2＋2x)| 40＝23×8－12×16＋2×4＝163. 5．(2011·山东)函数y ＝x2－2sin x 的图像大致是()答案 C解析 因为y ＝x2－2sin x 是奇函数，所以其图像关于原点对称，因此可排除A .为求解本题，应先研究x 2＝2sin x ，即sin x ＝14x ，在同一坐标系内作出y 1＝sin x 与y 2＝14x 的图像，如下图，可知，当x>0时，y 1＝sin x 与y 2＝14x 只有一个交点，设其交点坐标为(x 0，y 0)，则当x ∈(0，x 0)时，sin x>14x ，即2sin x>12x ，此时，y ＝12x －2sin x<0.又f ′(x)＝12－2cos x ，因此当x>0时，可以有f ′(x)>0，也可以有f ′(x)<0，即函数有增有减，有多个极值点，且极值点呈周期性，因此可排除B 、D ，故选C.6．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件答案 C解析 ∵y ＝f(x)＝－13x 3＋81x －234， ∴y ′＝－x 2＋81.令y ′＝0，得x ＝9，x ＝－9(舍去)． 当0<x<9时，y ′>0，函数f(x)单调递增； 当x>9时，y ′<0，函数f(x)单调递减． 故当x ＝9时，y 取最大值．7．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4) B ．[π4，π2) C ．(π2，3π4] D ．[3π4，π) 答案 D解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2.令e x ＋1＝t ，则e x ＝t －1且t>1. ∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t . 再令1t ＝m ，则0<m<1.∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1，m ∈(0,1)．容易求得－1≤y ′<0，∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.8．(2012·新课标全国)曲线y ＝x(3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．答案 y ＝4x －3解析 利用导数的几何意义先求得切线斜率． ∵y ＝x(3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x·3x ＝3ln x ＋4. ∴k ＝y ′|x ＝1＝4.∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.9．(2012·山东)设a>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.答案 49解析 利用定积分的几何意义求解．S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32 | a 0＝23a 32 ＝a 2，∴a ＝49.10．(2011·广东)函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．答案 2解析 由f(x)＝x 3－3x 2＋1，可得f ′(x)＝3x 2－6x ＝ 3x(x －2)．当x ∈(0,2)时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，故当x ＝2时，函数f(x)取得极小值．11．(2011·北京)已知函数f(x)＝(x －k)2e xk .(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e ，求k 的取值范围． 解析 (1)f ′(x)＝1k (x 2－k 2)e x k . 令f ′(x)＝0，得x ＝±k.当k>0时，f(x)与f ′(x)的变化情况如下：区间是(－k ，k)．当k<0时，f(x)与f ′(x)的变化情况如下：区间是(k ，－k)．(2)当k>0时，因为f(k ＋1)＝e k ＋1k >1e ，所以不会有 ∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e .当k<0时，由①知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是 f(－k)＝4k 2e .所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e .解得－12≤k<0. 故当∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0)．1．(2012·辽宁)设f(x)＝ln (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b(a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0<x <2时，f (x )<9xx ＋6.解析 (1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. 由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32， 又y ′|x ＝0＝(1x ＋1＋12x ＋1＋a )|x ＝0＝32＋a ，得a ＝0.(2)证法一 由均值不等式，当x >0时，2(x ＋1)·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x2＋1.记h (x )＝f (x )－9xx ＋6，则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54(x ＋6)2＝2＋x ＋12(x ＋1)－54(x ＋6)2<x ＋64(x ＋1)－54(x ＋6)2＝(x ＋6)3－216(x ＋1)4(x ＋1)(x ＋6)2.令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0<x <2时， g ′(x )＝3(x ＋6)2－216<0.因此g (x )在(0,2)内是递减函数，又由g (0)＝0，得 g (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(0,2)内是递减函数， 又h (0)＝0，得h (x )<0.于是 当0<x <2时，f (x )<9xx ＋6.证法二 由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1－1. 由均值不等式，当x >0时，2(x ＋1)·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x2＋1. ①令k (x )＝ln(x ＋1)－x ，则k (0)＝0，k ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1<0.故k (x )<0，即ln(x ＋1)<x . ② 由①②，得当x >0时，f (x )<32x .记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0<x <2时， h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9 <32x ＋(x ＋6)(1x ＋1＋12x ＋1)－9＝12(x ＋1)[3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2＋x ＋1)－18(x ＋1)]<12(x ＋1)[3x (x ＋1)＋(x ＋6)(3＋x 2)－18(x ＋1)] ＝x 4(x ＋1)(7x －18)<0.因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)＝0，所以h(x)<0，即f(x)<9x x＋6.。
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件1-3
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第一章
1.3
高考调研
x f′(x) f(x) (－∞，x1) － x1 0 极小 值 (x1，x2) ＋ ↘
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
x2 0 极大 值
(x2，＋∞) －
由表可知，f(x)取极大值和极小值的点各有一个． 1＋b fx1＝ax ＝－1， 2 x 1 ＋ 1 (2)解析 由(1)可知 ax2＋b fx2＝ 2 ＝1 x 2＋1 ⇒
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第一章
1.3
高考调研
【解析】
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
(1)f′(x)＝3x2＋6ax，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x
＝－2a，且 a≠0. 当 x＝0 时，f(x)＝b；当 x＝－2a 时，f(x)＝4a3＋b. y－b x－0 故直线 AB 的方程为 3 ＝ . 4a ＋b－b －2a－0 由于点(1,0)在直线 AB 上，代入上式得 b＝2a2. 又 f(1)＝0，即 1＋3a＋b＝0，与上式联立得 1 a ＝－ 2， a＝－1， 或 b＝2 b＝1. 2
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第一章
1.3
高考调研
1 68 φ(－1)＝0，φ(－3)＝－27，φ(1)＝4，
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
68 68 故 φmin(x)＝－ ，从而 k 的取值范围为(－∞，－ )． 27 27
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第一章
1.3
高考调研
题型三
例3
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求单调区间
1－a (2010· 山东)已知函数 f(x)＝lnx－ax＋ －1(a∈R)． x第 页第一章1.3
高考调研
5 5 (2)由 a＝2－b>0 知 0<b<2.
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件2-1-2
2x－1 思考题3 求证：函数y＝ x 是奇函数，且在定义域上是 2 ＋1 增函数．
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第二章
2.1 2.1.2
高考调研
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【证明】
2x＋1－2 2 y＝ x ＝1－ x ，所以定义域为R. 2 ＋1 2 ＋1
2 2 f(－x)＋f(x)＝1－ －x ＋1－ x 2 ＋1 2 ＋1 2 2 2· 2x 2 ＝2－( －x ＋ )＝2－( x ＋ ) 2 ＋1 2x＋1 2 ＋1 2x＋1 2· 2x＋1 ＝2－ x ＝0， 2 ＋1
课 时 学 案
课 后 巩 固
课 时 作 业
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第二章
2.1 2.1.2
高考调研
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要点1 从一般性的原理出发，推出 某个特殊情况下
的结
论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由
一般到特殊 的推理．它的基本模式是“三段论”．
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第二章
2.1 2.1.2
高考调研
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第二章
2.1 2.1.2
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
例3 数．
用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函
【思路分析】
证明本例所依据的大前提是增函数的定
义，即函数y＝f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1、 x2，若x1<x2，则有f(x1)<f(x2)．小前提是f(x)＝x3＋x，x∈(－∞， ＋∞)上满足增函数的定义，这是证明本例的关键．
高考调研
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(5)不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立．(大前提) 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．(小前提) 所以，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(结论) 证明通常简略地表述为 a∈R，b∈R⇒(a－b)2≥0 ⇒a2＋b2≥2ab 同理b2＋c2≥2bc c2＋a2≥2ca
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件2-2-2
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第二章
2.2 2.2.2
高考调研
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【证明】
假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三
角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑△ABC，点D在△ABC之 内或之外两种情况．
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第二章
2.2 2.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
(1)如果点D在△ABC之内(如图)，根据假设围绕点D的三个 角都是锐角，其和小于270° ，这与一个周角等于360° 矛盾． (2)如果点D在△ABC之外(如图)，根据假设∠BAD、∠B、 ∠BCD、∠D都小于90° ，这和四边形内角之和等于360° 矛盾．
【思路分析】
由题目可获取以下主要信息：
①a与b是异面直线； ②这是一个存在性命题可用反证法． 解答本题可先假设结论反面成立，再根据已知条件和已学 知识推出矛盾．
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第二章
2.2 2.2.2
高考调研
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【证明】
如图．
假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β， 在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于 过点A的直线c、d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与 c、d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立．
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第二章
2.2 2.2.2
高考调研
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思考题1 则( )
已知α∩β＝l，a⊆α、b⊆β，若a、b为异面直线，
A．a、b都与l相交 B．a、b中至少一条与l相交 C．a、b中至多有一条与l相交 D．a、b都与l不相交
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第二章
2.2 2.2.2
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件2-2-1
第二章
2.2 2.2.1
高考调研
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∴上述三个不等式中的“＝”号不能同时成立． ∴2(bc＋ca＋ab)>2( c＋ a＋ b)， 即 bc＋ca＋ab> a＋ b＋ c， 1 1 1 故a＋b＋c> a＋ b＋ c.
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第二章
2.2 2.2.1
高考调研
题型二
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高考调研
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第二章
推理与证明
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第二章
推理与证明
高考调研
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2．2 直接证明与间接证明
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第二章
推理与证明
高考调研
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2．2.1 综合法和分析法
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第二章
推理与证明
高考调研
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授 人 以 渔
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第二章
2.2 2.2.1
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
【证明】
∵a>0，b>0，c>0，且 abc＝1，
1 1 1 ∴a＋b＋c＝bc＋ca＋ab. 又 bc＋ca≥2 bc· ca＝2 abc2＝2 c， 同理 bc＋ab≥2 b，ca＋ab≥2 a. ∵a、b、c 不全相等，
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y2)，则直线 OA 的方程为 2p x1＝ k2 ， y＝kx， y＝kx，由 2 得 y ＝2px， y1＝2p， k 1 直线 OB 的方程为 y＝－ x. k 2p 2p 即 A( k2 ， k )．
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第二章
2.2 2.2.1
高考调研精讲精练人教数学选修2-2(B版)第1章
汈A 汈AA 汈镕V 镕VV 镕1.1 导数1．1.1 函数的平均变化率要点1 平均变化率函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率为Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1．要点2 平均变化率的几何意义表示函数y ＝f(x)图象上割线P 1P 2的斜率(其中P 1(x 1，f(x 1))，P 2(x 2，f(x 2))，即kp 1p 2＝y 2－y 1x 2－x 1＝f （x 1＋Δx ）－f （x 1）Δx．要点3 平均变化率的物理意义看成时间t 的函数s ＝s(t)在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1．关于平均变化率应注意以下几点：(1)Δx 、Δy 可以是正值也可以是负值，Δy 可以为零，但是Δx 不可以为零．(2)在求函数的平均变化率时，当x 1取定值后，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．(3)平均变化率的几何意义：观察函数f(x)的图象(如下图)，我们可以发现Δx ＝AC ，f(x 0＋Δx )－f(x 0)＝BC ，所以平均变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx表示的是直线AB 的斜率．题型一 平均变化率例1 求函数y ＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近平均变化率最大？【解析】 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝（1＋Δx ）2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝（2＋Δx ）2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f （3＋Δx ）－f （3）Δx ＝（3＋Δx ）2－32Δx ＝6＋Δx.若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大． 探究1 (1)求平均变化率的步骤． ①计算Δx ，Δy.②计算ΔyΔx.(2)关于函数的平均变化率，注意以下四点：①函数f(x)在x 1处有定义；②x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但可正可负；③注意变量的对应：若Δx ＝x 2－x 1，则Δf ＝f(x 2)－f(x 1)，而不是Δf ＝f(x 1)－f(x 2)；④平均变化率可正可负，也可以为零．思考题1 求函数f(x)＝x 3在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率． 【解析】 函数f(x)＝x 3在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝（x 0＋Δx ）3－x 03Δx＝x 03＋3x 02Δx ＋3x 0·（Δx ）2＋（Δx ）3－x 03Δx＝3x 02＋3x 2Δx ＋(Δx )2.题型二 平均速度例2 已知一物体的运动方程为s(t)＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．【解析】 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量Δs ＝s(1＋Δt )－s(1) ＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt.物体在t ＝1时到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝（Δt ）2＋4Δt Δt＝4＋Δt 探究2 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[1，1＋Δt ]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[1，1＋Δt ]内的平均变化率．思考题2 一质点作直线运动其位移s 与时间t 的关系s(t)＝t 2＋1，该质点在[2，2＋Δt ](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．【解析】 质点在[2，2＋Δt ]上的平均速度为v ＝[（2＋Δt ）2＋1]－（22＋1）Δt ＝4·Δt ＋（Δt ）2Δt＝4＋Δt.又v ≤5，即4＋Δt ≤5，∴Δt ≤1. 又Δt>0，∴Δt 的取值范围为(0，1]．题型三 曲线的割线的斜率例3 过曲线y ＝f(x)＝x 3上两点P(1，1)和Q(1＋Δx ，1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．【思路分析】 割线PQ 的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx 的平均变化率ΔyΔx .【解析】 ∵Δy ＝f(1＋Δx )－f(1)＝(1＋Δx )3－1 ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3，∴割线PQ 的斜率Δy Δx ＝（Δx ）3＋3（Δx ）2＋3Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，则 k ＝ΔyΔx＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31. 探究3 一般地，设曲线C 是函数y ＝f(x)的图象，P(x 0，y 0)是曲线上的定点，点Q(x 0＋Δx ，y 0＋Δy )是C 上与点P 邻近的点，有y 0＝f(x 0)，y 0＋Δy ＝f(x 0＋Δx )，Δy ＝f(x 0＋Δx )－f(x 0)，割线PQ 的斜率为tan β＝Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .思考题3 已知曲线y ＝1x －1上两点A(2，－12)、B(2＋Δx ，－12＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．【答案】 －161．函数y ＝f(x)，当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在[x 0，x 1]上的变化率 答案 A2．已知函数y＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43 D．0.44答案 B3．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3，3＋Δt)中，相应的平均速度等于()A．6＋Δt B．6＋Δt＋9ΔtC．3＋Δt D．9＋Δt答案 A4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，x A＝1，x B＝1.3，则直线AB的斜率为() A．2 B．2.3C．2.09 D．2.1答案 B5.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．解析第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．课时作业(一)一、选择题1．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( ) A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2 C ．Δx ＋3 D ．3Δx ＋(Δx )2 答案 C2．物体做直线运动所经过的路程s 可表示为时间t 的函数s ＝s(t)＝2t 2＋2，则在一小段时间[2，2＋Δt ]上的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt 答案 A3．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f(x 0＋Δx ) B ．f(x 0)＋Δx C ．f(x 0)·Δx D ．f(x 0＋Δx )－f(x 0) 答案 D4．已知函数f(x)＝2x 2－4的图象上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2 答案 C解析 Δy ＝f(1＋Δx )－f(1) ＝[2(1＋Δx )2－4]－(2·12－4) ＝[2(Δx )2＋4Δx －2]－(－2) ＝2(Δx )2＋4Δx.∴Δy Δx ＝2（Δx ）2＋4Δx Δx＝2Δx ＋4. 5．某质点沿直线运动的方程为y ＝－2t 2＋1，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－6 答案 D解析 v ＝y 2－y 1t 2－t 1＝－6.6．已知函数f(x)＝－x 2＋x ，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3 B ．0.29 C ．2.09 D ．2.9 答案 D7．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．① 答案 B8．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P(1，14)，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q的坐标为( )A ．(1＋Δx ，14(Δx )2)B ．(Δx ，14(Δx )2)C ．(1＋Δx ，14(Δx ＋1)2)D ．(Δx ，14(1＋Δx )2)答案 C二、填空题9．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积增加量ΔS 等于________． 答案 8πRΔR ＋4π(ΔR )210．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1，1＋Δt ]上相应的平均速度v 与Δt 满足的关系式为________．答案 v ＝－2Δt －4解析 Δs ＝[4－2(1＋Δt )2]－(4－2·12) ＝4－2－4Δt －2(Δt )2－4＋2 ＝－4Δt －2(Δt )2v ＝Δs Δt ＝－4Δt －2（Δt ）2Δt＝－4－2Δt.11．某物体按照s(t)＝3t 2＋2t ＋4的规律作直线运动，则自运动始到4 s 时，物体的平均速度为________．答案 15解析 v(t)＝s （t ）t ＝3t ＋2＋4t∴v(4)＝3×4＋2＋44＝15.12．已知函数f(x)＝1x ，则此函数在[1，1＋Δx ]上的平均变化率为________．答案 －11＋Δx解析Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝11＋Δx－1Δx＝－11＋Δx.13.国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中W表示排污量)________．答案甲企业14．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1，1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．答案2π＋πΔr三、解答题15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率．(1)[－3，－1]；(2)[0，5]答案(1)f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为2，g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为－2(2)f(x)在区间[0，5]上的平均变化率为2，g(x)在区间[0，5]上的平均变化率为－2.16．动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1；(3)Δt ＝0.01.答案(1)215 m/s(2)210.5 m/s(3)210.05 m/s1．1.2瞬时变化率与导数要点1 瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f （t 0＋Δt ）－f （t 0）Δt趋近于常数，这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．要点2 瞬时变化率函数f(x)从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即 Δy Δx ＝_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx称为f(x)在x 0处的瞬时变化率．要点3 导数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率称为y ＝f(x)在x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′|x ＝x 0，即f′(x 0)＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ f （x ）－f （x 0）x －x 0.要点4 导函数若f(x)在区间(a ，b)内可导，则对开区间(a ，b)内每个值x ，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a ，b)内，f ′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′或(y′x )．1．对导数概念的理解(1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0.(2)若ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导，并且导数即为极限值．(3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝f（x）－f（x0）x－x0，与概念中的f′(x0)＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx意义相同．2．f(x)在点x0处的导数f′(x0)与函数f(x)的导数f′(x)有何区别？答：“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先用公式求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．题型一瞬时速度例1一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2之间的平均速度．【解析】(1)v0＝s（Δt）－s（0）Δt＝3Δt－（Δt）2Δt＝(3－Δt)＝3.(2)v 2＝ s （2＋Δt ）－s （2）Δt＝ (－Δt －1)＝－1.(3)v ＝s （2）－s （0）2＝6－4－02＝1. 探究1 求物体运动的瞬时速度的步骤：(1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s(t 0＋Δt )－s(t 0)．(2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝Δs Δt. (3)求 Δs Δt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度． 思考题1 若本例中物体运动方程改为s ＝3t 2＋2，求解第(1)(2)问．【解析】 (1)当t ＝0时，s ＝3t 2＋2， Δs ＝s(0＋Δt )－s(0)＝3(0＋Δt )2＋2－(3×02＋2)＝3(Δt )2，∴v 0＝ Δs Δt＝ (3·Δt )＝0. (2)当t ＝2时，s ＝3t 2＋2，Δs ＝s(2＋Δt )－s(2)，＝3(2＋Δt )2＋2－(3×22＋2)＝12·Δt ＋3(Δt )2，Δs Δt ＝12·Δt ＋3（Δt ）2Δt＝12＋3·Δt. ∴v 2＝Δs Δt ＝ (12＋3·Δt )＝12.题型二 导数的概念例2 (1)求函数y ＝x 2在点x ＝3处的导数．【解析】 ①求y 在点x ＝3处的增量．取Δx ≠0，Δy ＝(3＋Δx )2－32＝6Δx ＋(Δx )2.②算比值． Δy Δx ＝6Δx ＋（Δx ）2Δx＝6＋Δx. ③Δx 趋近于0时，Δy Δx趋近于6. 因此y 在点x ＝3处的导数是6.(2)已知f(x)＝x·(x －1)·(x －2)…(x －50)，求f′(0)．【解析】 f′(0)＝lim f （x ）－f （0）x －0 ＝lim[(x －1)(x －2)…(x －50)]＝1×2×……×50探究2 (1)根据导数的定义，求函数在x ＝x 0处的导数，分三个步骤：(口诀：一差二比三极限)①求函数的增量；②求平均变化率Δy Δx； ③求极限lim Δy Δx. (2)导数的公式具体用哪一个，一定要具体情况具体分析，不能盲目．思考题2 (1)已知y ＝x ，则y′|x ＝1＝________．【解析】 取Δx ≠0，Δy ＝1＋Δx －1 ∴Δy Δx＝1＋Δx －1Δx ＝Δx Δx （1＋Δx ＋1） ＝11＋Δx ＋1∴Δy Δx ＝ 11＋Δx ＋1＝12【答案】 12(2)已知f(x)＝x 3－x 2＋2x ，则f′(0)＝________．【解析】 f′(0)＝f （x ）－f （0）x －0(x 2－x ＋2)＝2.【答案】 2题型三 转化与化归例3 若函数f(x)在x ＝a 处的导数为A ，求lim f （a ＋Δx ）－f （a －Δx ）2Δx . 【思路分析】 已知函数f(x)在x ＝a 处导数为A ，要求所给极限的值，必须将已给极限式转化成导数的意义．【解析】 ∵lim f （a ＋Δx ）－f （a ）Δx＝A ， ∴lim f （a －Δx ）－f （a ）－Δx＝A(令－Δx 替换Δx)， ∴lim f （a ＋Δx ）－f （a －Δx ）2·Δx＝12·lim f （a ＋Δx ）－f （a ）＋f （a ）－f （a －Δx ）Δx] ＝12[lim f （a ＋Δx ）－f （a ）Δx ＋lim f （a ）－f （a －Δx ）Δx] ＝12[A ＋lim f （a －Δx ）－f （a ）－Δx](当Δx →0时，－Δx →0) ＝12(A ＋A)＝A. 探究3 (1)概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因．解决这类问题的关键是等价变形，使问题转化．(2)f′(x 0)＝lim Δy Δx＝lim f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝lim f （x ）－f （x 0）x －x 0思考题3 设函数f(x)在点x 0处可导，试求下面极限的值．lim f （x 0－Δx ）－f （x 0）Δx【解析】 f （x 0－Δx ）－f （x 0）Δx＝－ f （x －Δx ）－f （x 0）－Δx＝－f′(x 0) 【答案】 －f′(x 0)题型四 求导函数例4 求函数y ＝x 2＋ax ＋b(a 、b 为常数)的导数．【解析】 Δy ＝[(x ＋Δx )2＋a(x ＋Δx )＋b]－(x 2＋ax ＋b)＝2x·Δx ＋(Δx )2＋a·Δx＝(2x ＋a)·Δx ＋(Δx )2Δy Δx ＝（2x ＋a ）·Δx ＋（Δx ）2Δx ＝2x ＋a ＋Δx ∴lim Δy Δx＝lim (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a ， ∴y ′＝2x ＋a.探究4 (1)由导数的定义可知，求函数y ＝f(x)的导数的一般方法是：①求函数的改变量Δy ＝f(x ＋Δx )－f(x)．②求平均变化率Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx. ③取极限，得导数y′＝lim Δy Δx. (2)f′(x)是导函数，f ′(x 0)是导函数f′(x)在x ＝x 0处的导函数值．思考题4 函数f(x)＝1x的导数为( ) A.1xB ．1C.1x 2 D ．－1x2 【解析】 ∵Δy ＝f(x ＋Δx )－f(x)＝1x ＋Δx －1x ＝－Δx x （x ＋Δx ）， ∴ Δy Δx ＝ －1x （x ＋Δx ）＝－1x2. 【答案】 D例5 求函数y ＝f(x)＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．【解析】f ′(x)＝ 2（x ＋Δx ）2＋4（x ＋Δx ）－（2x 2＋4x ）Δx＝ 4x·Δx ＋2（Δx ）2＋4Δx Δx＝ (4x ＋2Δx ＋4)＝4x ＋4，∴y ′|x ＝3＝f′(3)＝4×3＋4＝16.探究5 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x ＝x 0处的导数表达式，再代入变量求导数值，例1已经学过第一种方法．本例是用第二种方法求解．思考题5 已知函数f(x)＝ax 2＋c ，且f′(1)＝2，求a.【答案】 11．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．7答案 B2．已知f(x)＝x 2－3x ，则f′(0)＝( )A ．Δx －3B ．(Δx )2－3ΔxC ．－3D ．0答案 C3．自由落体运动在t ＝4 s 时的瞬时速度是指________．答案 第4秒末的速度4．已知函数f(x)在x ＝1处可导，且f′(1)＝1，则 f （1＋x ）－f （1）x＝________． 答案 15．设函数f(x)在点x 0附近有定义，且有f(x 0＋Δx )－f(x 0)＝aΔx ＋b(Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x)＝aB ．f ′(x)＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b答案 C课时作业(二)一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案 C2．在f′(x 0)＝ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx中，Δx 不可能( ) A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C3．设函数f(x)可导，则f （1＋Δx ）－f （1）3Δx等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3) 答案 C解析 f （1＋Δx ）－f （1）3Δx ＝13· f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝13f ′(1)． 4．一物体作直线运动，其运动方程为s(t)＝－3t 2＋t ，则该物体的初速度为( )A ．－3B ．－2C ．0D ．1答案 D5．设f(x)为可导函数，且满足 f （1）－f （1－2x ）2x ＝－1，则f′(1)的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案 B6．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线答案 D二、填空题7．(2008·北京)如右图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(0))＝________；f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝________． 答案 2；－28．函数y ＝(3x －1)2在x ＝x 0处的导数为0则x 0＝____________答案 x 0＝13解析 Δy ＝f(x 0＋Δx )－f(x 0)＝(3x 0＋3Δx －1)2－(3x 0－1)2＝18x 0Δx ＋9(Δx )2－6Δx∴Δy Δx＝18x 0＋9Δx －6 ∴lim Δy Δx ＝18x 0－6＝0，∴x 0＝139．设f(x)＝ax ＋4，若f′(1)＝2，则a ＝________．答案 2解析 Δy ＝f(1＋Δx )－f(1)＝a(1＋Δx)＋4－a －4＝aΔx.Δy Δx＝af ′(1)＝lim Δy Δx＝lima ＝a. 又f′(1)＝2，∴a ＝2.10．质点M 按规律s ＝2t 2＋3做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，则质点M 的瞬时速度等于8 m/s 时的时刻t 的值为________．解析 设时刻t 的值为t 0，则Δs ＝s(t 0＋Δt )－s(t 0)＝2(t 0＋Δt )2＋3－2t 02－3＝4t 0·Δt ＋2·(Δt )2，Δs Δt ＝4t 0＋2Δt ， Δs Δt＝4t 0＝8，∴t 0＝2(s)． 11．已知f(x)＝1x ，则 f （2＋Δx ）－f （2）Δx的值是____________． 答案 －14三、解答题12．设f(x)＝x 2，求f′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)．答案 f′(x 0)＝2x 0，f ′(－1)＝－2，f ′(2)＝413．某物体运动规律是S ＝t 2－4t ＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0?答案 t ＝2解析 ΔS ＝(t ＋Δt )2－4(t ＋Δt )＋5－(t 2－4t ＋5)＝2tΔt ＋(Δt )2－4Δtv ＝lim ΔS Δt＝2t －4＝0，∴t ＝2. 14．若f′(x 0)＝2，求limf （x 0－k ）－f （x 0）2k 的值． 解析 令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0.则原式可变形为lim f （x 0＋Δx ）－f （x 0）－2Δx＝－12lim f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1. 15．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 （t ≥3） ①29＋3（t －3）2 （0≤t<3） ②求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解析 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3，5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f （0＋Δt ）－f （0）Δt＝29＋3[（0＋Δt ）－3]2－29－3（0－3）2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为limΔs Δt＝lim (3ΔT －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f （1＋Δt ）－f （1）Δt＝29＋3[（1＋Δt ）－3]2－29－3（1－3）2Δt ＝3Δt －12.∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δs Δt＝lim (3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f(x)在x ＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．解析 f′(6)＝5，f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h，原油温度将升高5℃.1．1.3导数的几何意义要点1导数的几何意义f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应的切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x －x0)．要点2导数的物理意义指如果物体运动的规律是s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度即为v＝s′(t)．1．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．2．函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝x在x ＝0处有切线，但它不可导．题型一 求曲线上某点处的切线方程例1 求曲线f(x)＝x 3＋2x ＋1在点(1，4)处的切线方程．【解析】 Δy ＝f(1＋Δx )－f(1)＝(1＋Δx )3＋2(1＋Δx )＋1－(13＋2·1＋1)＝5Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3 Δy Δx ＝5Δx ＋3（Δx ）3＋（Δx ）3Δx＝5＋3Δx ＋(Δx )2 当Δx →0时，Δy Δx→5 所以曲线f(x)在(1，4)处的切线斜率为5.由点斜式得切线方程为：y －4＝5·(x －1)即5x －y －1＝0探究1 求曲线上某点处的切线的步骤．①求Δy ②求Δy Δx③令Δx →0得切线斜率k ④由点斜式写出方程，并化归为一般式． 思考题1 已知曲线y ＝x ＋1x 上一点A(2，52)． 求：(1)在点A 处的切线的斜率；(2)在点A 处的切线方程．【解析】 (1)Δy ＝f(2＋Δx )－f(2)＝2＋Δx ＋12＋Δx－(2＋12) ＝－Δx 2（2＋Δx ）＋Δx k ＝Δy Δx ＝[－12（2＋Δx ）＋1]＝34. (2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即 3x －4y ＋4＝0.例2 曲线y ＝x 3在x 0＝0处的切线是否存在？若存在，求其方程．【解析】 ∵Δy ＝f(0＋Δx )－f(0)＝(Δx )3∴Δy Δx ＝(Δx )2，∴ Δy Δx＝0. ∴切线存在，倾斜角为0°.切线即为y ＝0.探究2 (1)y ＝x 3在点(0，0)处的切线是x 轴，符合切线定义，这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所示．(2)对于曲线在点x 0处的切线有下面的情形：若Δy Δx(当Δx 无限趋近于0时)的极限不存在时，可分两种情况：其一是趋近于∞，则切线的斜率不存在，但切线存在(为垂直于x 轴的直线)；其二是Δy Δx 既不是趋近于某一常数也不趋近于∞，则此时切线不存在． 思考题2 曲线y ＝1x在(1，1)处的切线斜率为________，切线倾斜角为________． 【答案】 －1，135°题型二 求过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝－3x 2＋1过点P(1，－1)的切线方程．【解析】 设切点Q(x 0，y 0)则Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝－6x 0－3Δx当Δx →0时，Δy Δx→－6x 0. ∴切线方程为y ＋1＝－6x 0(x －1)．又∵Q(x 0，y 0)既在切线上，又在曲线上∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1＝－6x 0（x 0－1）y 0＝－3x 02＋1∴x 0＝3±33. ∴切线方程分别为：y ＝－(6＋23)x ＋5＋23或y ＝－2(3－3)x ＋5－2 3.探究3 解答本题的过程中，易出现把“过点P 的切线”与“曲线在点P 处的切线”混淆的错误，导致该种错误的原因是没有分清已知点是否为切点．求曲线在点P(x 0，y 0)处的切线的方程，即给出了切点P(x 0，y 0)的坐标，求切线方程的步骤：①求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)；②根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)；③若曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的导数存在且f′(x 0)>0，切线与x 轴正向夹角为锐角；f′(x 0)<0，切线与x 轴正向夹角为钝角；f′(x 0)＝0，切线与x 轴平行．思考题3 y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3.求P 点的坐标．【答案】 (1，1)或(－1，－1)题型三 导数的应用例4 枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105m/s 2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．【解析】 运动方程为s ＝12at 2. 因为Δs ＝12a(t 0＋Δt )2－12at 02＝at 0Δt ＋12a(Δt )2， 所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，所以 Δs Δt＝at 0. 因为a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3 s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.探究4 导数的物理意义：(1)若已知位移s 与时间t 的函数关系s ＝s(t)，则在t 0时刻的瞬时速度v ＝s′(t 0)；(2)若已知速度v 与时间t 的函数关系v ＝v(t)，则在t 0时刻的瞬时加速度a ＝v′(t 0)． 思考题4 路灯距地面8 m ，一个身高1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求射影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．【解析】 (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB的长度为y m ．由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD ，即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14x.(2)∵84 m/min ＝1.4 m/s ，而x ＝1.4 t.∴y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ，t ∈[0，＋∞)．Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720Δt ，∴y ′|t ＝10＝ Δy Δt ＝720.即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.1．设函数f(x)在点x 0处可导，试求下列各极限的值．①lim f （x 0－Δx ）－f （x 0）Δx②lim f （x 0＋h ）－f （x 0）2h③lim f （x 0）－f （x 0－h ）h答案 ①－f′(x 0) ②12f ′(x 0) ③f′(x 0)2．曲线f(x)＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为() A ．(1，0) B ．(2，8)C ．(1，0)和(－1，－4)D ．(2，8)和(－1，－4)答案 C3．设f(x)在x ＝x 0处可导，且lim f（x0＋2Δx）－f（x0）Δx＝1，求f′(x0)．解析∵lim f（x0＋2Δx）－f（x0）Δx＝1∴2·lim f（x0＋2Δx）－f（x0）2Δx＝1即2·f′(x0)＝1，故f′(x0)＝12课时作业(三)一、选择题1．下列命题正确的是( )A ．若f(x)＝x ，则f′(0)＝0B ．已知函数f(x)＝2x 2＋1，若(1＋Δx ，3＋Δy )为图象上点(1，3)的邻近点，则Δy Δx ＝4＋2ΔxC ．加速度是动点位移函数s(t)对时间t 的导数D ．曲线y ＝x 3在点(0，0)处没有切线答案 B解析 选项C 、D 显然错误，对于选项A.∵f ′(x)＝lim Δx →0 f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝12x －12∴f ′(0)不存在．对于选项B ，Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(1，1)，(－1，－1)C ．(2，8)D ．(－12，－18)答案 B4．y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A.18B.14C.12 D ．1答案 B解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1y＝x 有唯一解， 即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解∴△＝1－4a ＝0，∴a ＝14.5．如果曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么() A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B6．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A ．(0，0) B ．(2，4)C ．(14，116)D ．(12，14) 答案 D7．设f′(x 0)＝0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交答案 B8．设f(x)＝2x ，则 f （x ）－f （a ）a －x等于( ) A ．－2a B.2aC ．－2a 2 D.2a 2 答案 D解析 2x －2a a －x＝ 2ax ＝2a 2. 9．若f(x)＝x 3＋x －1，f ′(x 0)＝4，则x 0的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．±3 3答案 C解析 f′(x 0)＝ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝ （x 0＋Δx ）3＋（x 0＋Δx ）－1－（x 03＋x 0－1）Δx＝[3x 02＋1＋3x 0·Δx ＋(Δx )2]＝3x 02＋1＝4.解得x 0＝±1.10．已知曲线y ＝2x 3上一点A(1，2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D二、填空题11．(07·湖北)已知函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f(1)＋f′(1)＝____________．答案 3解析 f′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f(1)＋f′(1)＝3. 12．曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积分别为______；______．答案 x ＋y ＋2＝0；2 三、解答题13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标．解析 ∵y′|x ＝x 0＝2（x 0＋Δx ）3－2x 03Δx＝6x 02，∴6x 02＝6.∴x 0＝±1.故(1，2)，(－1，－2)为所求． 14．已知曲线C ：y ＝x 3.求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程； 解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P(1，1)．∵y ′＝ Δy Δx ＝ （x ＋Δx ）3－x 3Δx＝ 3x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx＝[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3， ∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.1．2 导数的运算1．2.1 常数函数与幂函数的导数 1．2.2 导数公式表及数学软件的应用要点 基本初等函数的导数公式 ①f(x)＝c ，f ′(x)＝0；②f(x)＝x α(α∈Q )，f ′(x)＝αx α－1； ③f(x)＝sinx ，f ′(x)＝cosx ； ④f(x)＝cosx ，f ′(x)＝－sinx ； ⑤f(x)＝a x ，f ′(x)＝a x lna ； ⑥f(x)＝e x ，f ′(x)＝e x ；⑦f(x)＝log a x ，f ′(x)＝1x ·log a e(a>0且a ≠1)；⑧f(x)＝lnx ，f ′(x)＝1x1．若f(x)＝1x ，则f′(x)＝________？答：－1x22．若f(x)＝x ，则f′(x)＝________？ 答：12x3．若f′(x)＝e x ，则f(x)＝e x ，这种说法正确吗？答：不正确．由导数定义知若f(x)－g(x)＝c(c 为常数)，则f′(x)＝g′(x)，故f′(x)＝e x ＋c(c 为常数)．4．函数y ＝e x 的导数与函数y ＝a x 的导数有何关系？答：(e x )′＝e x 是(a x )′＝a x lna 当a ＝e 时的特殊情况.题型一 简单函数的求导例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 2x ；(5)y ＝2sin x 2cos x2.【思路分析】 对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3＝x 35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．【解析】 (1)y′＝(x 12)′＝12·x 11 (2)y′＝(1x 4)′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5(3)y′＝x 32＝32x 12＝32x(4)y′＝(log 2x)′＝1x ·log 2e ＝1x·ln2.(5)∵y ＝sinx ，∴y ′＝cosx探究1 运算的准确是数学能力高低的重要标志，也是得分的保证，要从思想上提高认识，要养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，步子不要太大！思考题1 (1)下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y′＝0B ．若y ＝1x，则y′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y′＝－12x D ．若y ＝3x ，则y′＝3 【答案】 B(2)若f′(x)＝3，则f(x)＝________． 【答案】 3x ＋c(c ∈R )题型二 求瞬时速度例2 若质点P 的运动方程是s ＝3t 2(s 的单位为m ，t 的单位为求s)，求质点P 在t ＝8时的瞬时速度．【解析】 s′＝(3t 2)′＝(t 23)＝23t －13，∴s ′|t ＝8＝23×8－13＝23×2－1＝13.∴质点P 在t ＝8时的瞬时速度为13m/s.探究2 瞬时速度是路程关于时间函数的导数，加速度是瞬时速度关于时间函数的导数，计算时应先求导函数再求导数．思考题2 (1)如果质点A 按规律S ＝2t 3运动，则在t ＝3秒时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81【解析】 S′＝6t 2，令t ＝3得v ＝S′＝54. 【答案】 C(2)一质点运动的方程为S ＝1t ，则t ＝3时的瞬时速度为________．【解析】 S′＝(t －1)′＝－1t 2【答案】 －19题型三 求切线方程例3 已知曲线y ＝13x 3＋43.①求曲线在点P(2，4)处的切线方程；②求曲线过点P(2，4)的切线方程． 【解析】 ①∵y′＝x 2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率k ＝y′|x ＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.②设曲线y＝13＋43与过点P(2，4)的切线相切于点A(x0，13x03＋43)，则切线的斜率k＝y′|x3x＝x0＝x02.∴切线方程为y－(13＋43)＝x02(x－x0)，3x0即y＝x02·x－23＋43.3x0∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x02－23＋43，3x0即x03－3x02＋4＝0，∴x03＋x02－4x02＋4＝0，∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.探究3求切线方程必须注意给出的点是不是切点．①在点P处的切线以点P为切点．②过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标．思考题3(1)(2010·新课标全国)曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为() A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2【解析】由题可知，点(1，0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1，0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1，0)，根据直线的点斜式可得过点(1，0)的曲线y ＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.【答案】 A(2)(2010·全国卷Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1【解析】求导得y′＝2x＋a，因为曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线l的方程是x－y ＋1＝0，所以切线l 的斜率k ＝1＝y′|x ＝0，且点(0，b)在切线l 上，于是有⎩⎪⎨⎪⎧0＋a ＝10－b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1.【答案】 A题型四 综合问题例4 求正弦曲线y ＝sinx 上切线斜率等于12的点．【思路分析】 设出曲线上一点，由导数公式求出在该点处的斜率，它应等于12，从而可求出曲线上该点的的坐标．【解析】 ∵y ＝sinx ，∴y ′＝(sinx)′＝cosx. 设曲线上点P(x 0，y 0)处的切线的斜率为12，则y ′|x ＝x 0＝cosx 0＝12，∴x 0＝2kπ±π3(k ∈Z )．∴y 0＝sinx 0＝sin(2kπ±π3)＝±32，∴适合题意的点的坐标为(2kπ＋π3，32)，(2kπ－π3，－32)(k ∈Z )．探究4 本题灵活运用了导数与直线斜率之间关系这一基本概念，同时，注意将三角函数与导数综合起来解决问题．思考题4 已知点P 为抛物线y ＝x 2上任意一点，当P 到直线L ：x ＋y ＋2＝0的距离最小时，求点P 的坐标及点P 到直线L 的距离．【解析】 由图形的直观性可知，当P 到直线L ：x ＋y ＋2＝0的距离最小时，过点P 的切线与直线L 是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切线的斜率也等于－1.设P(x 0，y 0)则k ＝y′|x ＝x 0＝2x 0＝－1，∴x 0＝－12，P(－12，14)．由点到直线的距离公式知点P 到L 的距离为d ＝|－12＋14＋2|2＝78 2.1．若y ＝10x ，则y′|x ＝1＝________． 答案 10ln10.2．已知f(x)＝x α，若f′(－1)＝－4，则α等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° 答案 B4．已知y ＝13x 3－x －1＋1.则其导函数的值域为______．答案 [2，＋∞)5．(07·浙江)曲线y ＝x 3－2x 2－4x ＋2在点(1，－3)处的切线方程是________． 解析 y′＝3x 2－4x －4故切线斜率k ＝3－4－4＝－5故切线方程为y ＋3＝－5(x －1)即5x ＋y －2＝0.答案 5x ＋y －2＝0.6．y ＝x 3的切线倾斜角的范围为________． 答案 [0，π2)解析 k ＝y′＝3x 2≥0课时作业(四)一、选择题1．下列结论中不正确的是( ) A ．若y ＝x 4，则y′|x ＝2＝32B．若y＝1x，则y′|x＝2＝－22C．若y＝1x2x，则y′|x＝1＝－52D．若y＝cosx，则y′|x＝π2＝－1答案 B解析∵y＝1x＝x－12，∴y′＝－12·x－32＝－12x xy′|x＝2＝－142＝－282．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0答案 A解析∵l与直线x＋4y－8＝0垂直，∴l的斜率为4.∵y′＝4x3，∴由切线l的斜率是4得4x3＝4，∴x＝1，∴切点坐标为(1，1)∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.故选A.3．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2011(x)＝() A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx答案 D解析f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4.∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.4．已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3 B．2C ．1 D.12答案 A解析 y′＝12x －31x 由12x －3x ＝12得x ＝3或x ＝－2由于x>0，所以x ＝35．在下列函数中，值域不是[－2，2]的函数共有( )①y ＝(sinx)′＋(cosx)′ ②y ＝(sinx)′＋cosx ③y ＝sinx ＋(cosx)′ ④y ＝(sinx)′·(cosx)′ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 ②、③、④不是6．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度是( ) A.12523 B.110523C.125523D.1110523答案 B7．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 答案 D 二、填空题8．设f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f′(x)<0的解集为________． 答案 (－1，3)9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b 的值为________．答案 ln2－1.10．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 答案 (1，e)，e11．(2010·衡水调研)已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________． 答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－（－1）＝1，又y′＝2x令2x ＝1得x ＝12，进而y ＝14∴切线方程为y －14＝1·(x －12)即4x －4y －1＝0.12．(2010·济宁)已知f(x)＝cosx ，g(x)＝x ，解不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为________． 答案 {x|x ＝2kπ＋π2，k ∈Z }解析 f′(x)＝－sinx, g ′(x)＝1∴不等式f′(x)＋g′(x)≤0，即－sinx ＋1≤0 ∴sin ≥1，又sinx ≤1，∴sinx ＝1. ∴x ＝2kπ＋π2，k ∈Z .三、解答题 13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程． 答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0. 14．求曲线y ＝sinx 在点A(π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sinx ，∴y ′＝cosx ， ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程． (2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y′＝e x∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|x ＝1＝e ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e (x －1)即x ＋ey －e 2－1＝0.(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直∴切线斜率为1.又y′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.16．已知曲线方程为y ＝x 2求过A(3，5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A(3，5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k(x －3)即y ＝kx ＋5－3k由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x2 得：x 2－kx ＋3k －5＝0Δ＝k 2－4(3k －5)＝0.整理得(k －2)(k －10)＝0，∴k ＝2或k ＝10所求的直线方程为：2x －y －1＝0，10x －y －25＝0解法二 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x 2得y′＝2x ，∴y ′|x ＝x 0＝2x 0由已知k PA ＝2x 0即5－y 03－x 0＝2x 0 又y 0＝2x 0代入上式整理得：x 0＝1或x 0＝5∴切点坐标为(1，1)，(5，25)∴所求直线方程为2x －y －1＝0，10x －y －25＝0.1．2.3 导数的四则运算法则要点1 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)要点2 [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)要点3 [f （x ）g （x ）]′＝f′（x ）·g （x ）－f （x ）·g′（x ）[g （x ）](g(x)≠0) 要点4 [C·f(x)]′＝C·f′(x)1．在导数的概念一节中，我们求函数的导数，只能利用导数的定义进行．但当我们利用导数的定义推导出函数的和、差、积的求导法则，以及常见函数的导数公式之后，对一些简单函数的求导问题，便可直接应用法则和公式很快地求出导数，而不必每一问题都回到定义．2．应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免差错．题型一和差的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝x 13＋4x2；(2)y＝sinx－cosx；(3)y＝1x＋2x2＋3x3.【解析】(1)y′＝(x 13＋4x2)′＝(x13)′＋(4x－2)′＝13x－23－8x－3＝13x23－8x3.(2)y′＝(sinx－cosx)′＝(sinx)′－(cosx)′＝cosx＋sinx.(3)y′＝(1x＋2x2＋3x3)′＝(1x)′＋(2x2)′＋(3x3)′＝－1x2－4x3－9x4.探究1这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导．思考题1一物体作直线运动，其运动方程为s(t)＝－3t2＋t，其初速度为()A．－3B．－2C．0 D．1【答案】 D题型二乘积的导数例2求下列函数的导数．(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；(3)y＝x－sin x2cosx2.【解析】(1)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x 2－4x ＋9.解法二：∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3.∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12. (3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sinx ， ∴y ′＝x′－(12sinx)′＝1－12cosx. 探究2 “式子繁先化简”是重要的解题原则．思考题2 (1)若y ＝sin2x ，则y′＝________．【解析】 sin2x ＝2sinx ·cosx.【答案】 2cos2x.(2)若y ＝x·(x ＋1)·(x ＋2)，则y′＝________．【答案】 y′＝3x 2＋6x ＋2.题型三 商的导数例3 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sinx ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3； (3)y ＝tanx ；(4)y ＝x·sinx －2cosx. 【解析】 (1)y′＝（x 2）′·sinx －x 2·（sinx ）′sin 2x＝2xsinx －x 2·cosx sin 2x. (2)y′＝（x ＋3）′·（x 2＋3）－（x ＋3）（x 2＋3）′（x 2＋3）2＝x 2＋3－2x （x ＋3）（x 2＋3）2＝－x 2＋6x －3（x 2＋3）2. (3)∵y ＝tanx ＝sinx cosx， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫sinx cosx ′＝（sinx ）′cosx －sinx ·（cosx ）′cos 2x＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ＝sec 2x. (4)y′＝(x·sinx)′－⎝⎛⎭⎫2cosx ′＝(x)′·sinx ＋x·(sinx)′－2′·cosx －2（cosx ）′cos 2x＝sinx ＋xcosx ＋2sinx cos 2x. 探究3 (1) 建议做题时把法则念出来．(2)对于函数y ＝tanx ，因为没有相应的求导公式，所以需要把tanx 写成sinx cosx的形式，然后利用商的导数公式进行求导．思考题3 求y ＝lnx x的导数 【解析】 y′＝(lnx x )′＝（lnx ）′·x －x′·lnx x 2＝1－lnx x2 【答案】 y′＝1－lnx x 2题型四 先变形，再求导例4 求导数：(1)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x； (2)f(x)＝(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)(x 4＋1)【思路分析】 虽然这两题是函数的商的形式，但在求导前利用变形可将函数化简，再求导．【解析】 (1)∵y ＝3x 32－x ＋5－9x －12， ∴y ′＝3·(x 32)′＋x′＋5′－9(x －12)′ ＝92x 12－1＋92x －32＝92x ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1. (2)f(x)＝x 8－1，∴f ′(x)＝8x 7.探究4 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．思考题4 求下列函数的导数：。
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xx＋11＋－
x x.
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第一章 1.2 第二课时
高考调研
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【解析】 (1)y＝sin24x＋cos24x2－2sin24x·cos24x ＝1－12sin22x＝1－12·1－2cosx＝34＋14cosx. ∴y′＝34＋14cosx′＝－14sinx. (2)y＝1＋ 1－xx2＋1－1－xx2＝211－＋xx＝1－4 x－2. ∴y′＝1－4 x－2′＝4′1－x1－－x421－x′＝1－4 x2.
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【解析】 (1)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x
－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
解法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，
∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
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第一章 1.2 第二课时
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2．应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导 数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则， 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然 后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免差错．
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题型五 综合题 例 5 已知函数 f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 为偶函数，它的 图像过点 A(0，－1)且在 x＝1 处的切线方程为 2x＋y－2＝0，求 函数 f(x)的表达式．
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第一章 1.2 第二课时
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【解析】 由函数 f(x)为偶函数，得 f(－x)＝f(x)，即 ax4＋bx3 ＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋e. 又函数图像过点 A(0，－1)，∴e＝－1. ∴函数 f(x)＝ax4＋cx2－1.∴f′(x)＝4ax3＋2cx. ∴x＝1 处的切线的斜率 k＝－2＝f′(1)． ∴4a＋2c＝－2. 由 2x＋y－2＝0，知 x＝1 时，y＝0.
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探究 3 (1) 建议做题时把法则念出来． (2)对于函数 y＝tanx，因为没有相应的求导公式，所以需要 把 tanx 写成csoinsxx的形式，然后利用商的导数公式进行求导．
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(2)∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4，
∴y′＝x′－(4 x)′＋4′＝1－4·12x－12＝1－2x－12.
(3)∵y＝x－sin2xcos2x＝x－12sinx，
∴y′＝x′－(12sinx)′＝1－12cosx.
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探究 2 “式子繁先化简”是重要的解题原则． 思考题 2 (1)若 y＝sin2x，则 y′＝________.
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第一章 1.2 第二课时
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探究 4 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求
导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有
时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
思考题 4 求下列函数的导数：
(1)y＝sin44x＋cos44x；
(2)y＝11＋－
＝－x12－x43－x94.
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探究 1 这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的 简单函数，求导时，可直接利用四则运算法则和基本初等函数的 导数公式求导．
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第一章 1.2 第二课时
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课后巩固
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课时作业（五）
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第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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1．2 导数的计算
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第一章 导数及其应用
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第二课时 导数的四则运算法则
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第一章 导数及其应用
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【解析】
(1)y′＝(x
1 3
＋x42)′＝(x
1 3
)′＋(4x－2)′
＝13x－
2 3
－8x－3＝
1
2
－x83.
3x 3
(2)y′＝(sinx－cosx)′＝(sinx)′－(cosx)′＝cosx＋sinx.
(3)y′＝(1x＋x22＋x33)′＝(1x)′＋(x22)′＋(x33)′
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第一章 1.2 第二课时
高考调研 ＝cos2cxo＋s2sxin2x＝co1s2x＝sec2x.
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(4)y′＝(x·sinx)′－co2sx′ ＝(x)′·sinx＋x·(sinx)′－2′·cosxc－os22xcosx′
＝sinx＋xcosx－2cosisn2xx.
题型三 商的导数 例 3 求下列函数的导数． (1)y＝sxin2x； (2)y＝xx2＋＋33； (3)y＝tanx； (4)y＝x·sinx－co2sx.
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第一章 1.2 第二课时
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【解析】 (1)y′＝x2′·sinsxi－n2xx2·sinx′
思考题 3 求 y＝lnxx的导数．
【解析】 y′＝(lnxx)′＝lnx′·xx－2 x′·lnx＝1－x2lnx. 【答案】 y′＝1－x2lnx
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题型四 先变形，再求导
例 4 求下列函数的导数：
(1)y＝3x2－x
x＋5 x
【解析】 sin2x＝2sinx·cosx. 【答案】 2cos2x
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第一章 1.2 第二课时
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(2)若 y＝x·(x＋1)·(x＋2)，则 y′＝________.
【答案】 3x2＋6x＋2
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第一章 1.2 第二课时
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x－9；
(2)f(x)＝(x－1)(x＋1)(x2＋1)(x4＋1)．
【思路分析】 虽然这两题是函数的商的形式，但在求导前
利用变形可将函数化简，再求导．
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第一章 1.2 第二课时
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【解析】 (1)∵y＝3x32－x＋5－9x－12， ∴y′＝3·(x32)′－x′＋5′－9(x－12)′ ＝92x12－1＋92x－32＝92 x1＋x12－1. (2)∵f(x)＝x8－1，∴f′(x)＝8x7.
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探究 5 本题考查函数奇偶性定义及导数的几何意义． 思考题 5 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 通过点(1,1)，且在点(2， －1)处与直线 y＝x－3 相切，求 a、b、c 的值．
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【解析】 ∵y＝ax2＋bx＋c 过(1,1)点， ∴a＋b＋c＝1.① ∵y′＝2ax＋b，y′|x＝2＝4a＋b， ∴4a＋b＝1.② 又曲线过(2，－1)点， ∴4a＋2b＋c＝－1.③ 将①②③联立，解得 a＝3，b＝－11，c＝9.
＝2xsinxs－in2xx2·cosx.
(2)y′＝x＋3′·x2＋x32＋－3x2＋3x2＋3′
＝x2＋3x－2＋2x3x2＋3＝－x2＋x2＋6x3－23.
(3)∵y＝tanx＝csoinsxx，
∴y′＝csoinsxx′＝sinx′cosxc－os2sxinx·cosx′
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1．在导数的概念一节中，我们求函数的导数，只能利用导 数的定义进行．但当我们利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式之后，对一些简单函数 的求导问题，便可直接应用法则和公式很快地求出导数，而不必 每一问题都回到定义．
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课时学案
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第一章 1.2 第二课时
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题型一 和差的导数
例 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x
1 3
＋x42；
(2)y＝sinx－cosx；
(3)y＝1x＋x22＋x33.
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第一章 1.2 第二课时
思考题 1 一物体作直线运动，其运动方程为 s(t)＝－3t2＋t，
其初速度为( )