高考数学复习典型题型专题讲解与练习7 基本不等式(1)

高考数学复习典型题型专题讲解与练习
07 基本不等式（1）
题型一 由基本不等式比较大小 1．设b a M a b
=+，其中a ，b 是正实数，且a b ，242N x x =-+-，则M 与N 的大小关系
是（ ）.
A ．M N ≥
B ．M N >
C ．M N <
D ．M N ≤ 【答案】B
【解析】∵a ，b 都是正实数，且a b ，
∴2
2b a b a
M a
b
a b
=+>⋅=，即2M >， 又∵()22
42442N x x x x =-+-=--++，
()2
222x =--+≤，即2N ≤，
∴M N >， 故选B.
2．已知0a >，0b >，2a b A +=，B ab =，2ab
C a b
=+，则A ，B ，C 的大小关系为（ ）.
A ．A
B
C ≤≤B ．A C B ≤≤C ．B C A ≤≤
D ．C B A ≤≤ 【答案】D
【解析】由于0a >，0b >，故2a b ab +≥，则
2
a b
ab +≥，即A B ≥， 结合02a b ab +<≤
可得：12a b
ab ≥+，两边乘以ab 2ab ab a b +，即B C ≥.
据此可得：C B A ≤≤. 故选D .
3．已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．4ab ≤B ．111a
b
+≥C ．2216a b +≥D ．228a b +≥ 【答案】ABD
【解析】A ．因为4a b +=，所以24ab ≤，所以4ab ≤，取等号时2a b ==，故正确； B ．因为114
1a b a
b
ab ab ++=
=≥，取等号时2a b ==，故正确； C ．因为22222228a b a b a b ++≥⋅==，取等号时2a b ==，故错误；
D ．因为2222
a b a b
++≥
，所以228a b +≥，取等号时2a b ==，故正确. 故选：ABD.
4．设0a >，0b >，下列不等式恒成立的是（ ）. A ．21a a +>B ．114a b a b
⎛⎫⎛
⎫
++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎝
⎭
C ．()1
14a b a b
⎛⎫
++≥ ⎪⎝
⎭D ．296a a +>
E.若1
11a b
+=，则4ab ≤ 【答案】ABC
【解析】解：对于选项A ，由于2
2
131024a a a ⎛
⎫+-=-+> ⎪⎝
⎭，∴21a a +>，故A 恒成立；
对于选项B ，由于1
2a a +≥，1
2b b
+≥，∴114a b a b ⎛⎫⎛⎫
++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎝
⎭
，当且仅当1a b ==时，等号成
立，故B 恒成立；
对于选项C ，由于2a b ab +≥，111
2a b ab
+≥，∴()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等
号成立，故C 恒成立；
对于选项D ，当3a =时，296a a +=，故D 不恒成立； 对于选项E ，
111
a b +=，∴1111
12a b a b
=+≥⨯，∴4ab ≥，当且仅当2a b ==时，等号成立.故E 不恒成立，
即不等式恒成立的是ABC ， 故选ABC.
题型二 由基本不等式证明不等关系
1．若0x >，0y >，4x y +≤，则下列不等式中成立的是（ ） A ．
114
x y ≤+B ．11
1x y +≥C ．2xy ≥D ．11xy ≥
【答案】B
【解析】对于A ，因为4x y +≤，所以
11
4
x y ≥+，所以A 不正确； 对于B ，若0,0x y >>，设,04x y a a +=<≤，得
1x y
a
+=， 所以1
1
1
1
111
4
()2(22)1y
x x y x y a x y a x y a a ⎛⎫
⎛
⎫
+=++=++≥+=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当且仅当2x y ==时，等号成立，所以B 正确；
对于C ，因为0,0x y >>，由4x y +≤，所以42x y xy ≥+≥，即2xy ≤，当且仅当2x y ==时，等号成立，所以C 不正确；
对于D ，由上面可知2xy ≤，则4xy ≤，得1
1
4xy ≥，所以D 不正确； 故选：B
2．已知a,b,c 均为正实数,且a+b+c=1,求证：(1
a -1)(1
b -1)(1c
-1)≥8． 【答案】证明见解析
【解析】主要考查不等关系与基本不等式． 证明：因为a, b, c (0,),∈+∞且a+b+c=1，所以
111(1)(1)(1)()()()2)22)8.
a b c a a b c b a b c c a b c a b c b c a c b a a a b b c c
b c a c b a
a a
b b
c c
++-++-++----=⋅⋅=+++≥⨯⨯⨯⨯⨯=． 3．已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1
a ＋1
b ＋1c
>9. 【答案】证明见解析
【解析】∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1
a ＋1
b ＋1
c ＝
a b c a b c a b c
a b c
++++++++ ， ＝3＋b
a ＋c
a ＋a
b ＋c
b ＋a
c
＋b c ＝3＋⎛⎫+ ⎪⎝⎭b a a b ＋⎛⎫+ ⎪⎝⎭c a a c ＋⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
c b
b c ，
≥3＋2
b a a b ⋅＋2⋅
c a
a c ＋2⋅c
b b c
＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 所以1
a ＋1
b ＋1c
>9.
4．已知0a >，0b >，1a b +=，求证：11254
a b a b
⎛⎫⎛
⎫
++ ⎪⎪
⎝
⎭⎝
⎭
. 【答案】见解析 【解析】()()()2222221125
4112541254
a b a b ab a b a b ab a b
⎛⎫⎛
⎫
++⇔++⇔+++ ⎪⎪
⎝
⎭⎝
⎭
2243380(41)(8)0a b ab ab ab ⇔-+⇔--
1a b +=，2212a b ab ∴+=-.
1
04
ab
<，410ab ∴-，80ab -<. ∴(41)(8)0ab ab --成立，故原不等式成立. 5．已知0,0,0a b c >>>,求证:32
c a b
a b b c a c
++
+++. 【答案】见解析
【解析】设,,a b x b c y c a z +=+=+=,则0,0,0x y z >>>, 且()()22
x y z z x y
a a
b
c b c y +++-=++-+=
-=. 同理,,22
x y z y z x
b c +-+-=
=. 所以原不等式的左边222y z x z x y x y z
x y z
+-+-+-=
++ 1322y x z
x z y x y x
z y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+++++-⎢ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133
(222)222
≥⨯++-=. 当且仅当,x y z x y x x z ==,且z y
y z =,即,x y z a b c ====时,等号成立.
题型三 基本不等式求积的最大值
1．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料
ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为（ ）
（单位：cm 2）.
A ．8
B ．10
C ．16
D ．20
【答案】C
【解析】设BC =x ，连结OC ，得OB =216x -，所以AB ＝2216x -， 所以矩形ABCD 面积S ＝2216x x -，x ∈（0，4），
S ＝2()22222162161616x x x x x x -=-≤+-= ． 即x 2＝16﹣x 2，即x ＝22时取等号，此时max 16y =
故选：C
2．已知,a b 为正数，2247a b +=，则21a b +的最大值为（ ） A ．7B ．3C ．22D ．2 【答案】D
【解析】222
211411212222a b a b a b ⎛⎫+++=⨯+≤= ⎪⎝⎭
，当且仅当22
41a b =+时，取得最大值. 故选：D
3．(1)已知x ,y R +∈,求
x y x y
++的最大值;
(2)求满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值,并说明理由. 【答案】(1) 2 (2) 2.见解析 【解析】(1)∵x ,y R +∈,
∴2
2212x y x y xy xy
x y x y x y ⎛⎫+++==+≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭
, 当且仅当x y =时,对等号,
∴当x y =时,
x y x y
++的最大值为2.
(2)∵a ,b R +∈,
∴设0a m =>,0b n =>,2a m =,2b n =, ∴22222m n mn mn +≥=,
∵满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值, ∴222224242m n k m n k m n k mn +≥+≥=, ∴222k ≤,解得2k ≤,
∴满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值为2. 4．我们学习了二元基本不等式：设0a >,0b >,
2
a b
ab +≥,当且仅当a b =时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值. （1）对于三元基本不等式请猜想：设0,0,c 0,3
a b c
a b ≥当且仅当a b c ==时，等号成立（把横线补全）.
(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：
设0,0,0,a b c >>>求证：222
9a b c a b c
abc
(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：
设0,0,c 0,1,a b a b c 求111a b c 的最大值. 【答案】（1）
3
3
a b c abc （2）证明见解析（3）
827
【解析】（1）通过类比,可以得到当0a >,0b >,0c >时3
3
a b c abc ,当且仅当a b c
==时,等号成立； （2）证明：
0a >,0b >,0c >,由（1）可得2223222
3
a b c a b c ++≥
∴
222
3
3
222
333
3
3
3
a b c a b c a b c abc
a b c abc
()()2229a b c a b c abc ∴++++≥
（3）解：由（1）可得,33a b c abc ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,即3
3a b c abc ++⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
,由题,已知0a >,0b >,0c >,1a b c ++=,10a b c ∴-=+>,10b a c -=+>，10c a b -=+>,∴
3
3
3
2
281113
3
3
27
b c
a c
a b
a b c b c a c a b
a b c ∴当且仅当b c a c a b +=+=+,即a b c ==时取等,即111a b c 的最大值为
827
5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝3π
，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为93，求λ的值． 【答案】 12
【解析】S △ABC ＝12
absin C ＝
3
4
ab ， 根据基本不等式2
2
24a b ab λ
+⎛⎫≤=
⎪⎝⎭ , 当且仅当a=b 时，等号成立, ∴S △ABC ＝34ab≤34·2
23216a b λ+⎛⎫= ⎪⎝⎭
，令2316λ＝93，解得λ＝12. 题型四 基本不等式求和的最小值
1．设x ，y 均为正数，且xy +x -y -10=0，则x +y 的最小值是_______. 【答案】6
【解析】由xy +x -y -10=0，得101y x y +=
+=
9
1,111
y y ++>+， 故()99
121611
x y y y y y +=
++≥⋅+=++，当且仅当911y y =++，即y =2时，等号成立．
故答案为：6.
2．若0a b +≠，则22
2
1
()a b a b ++
+的最小值为________． 【答案】2
【解析】由于()2
2
22
22
222a b a b a b ab a b +++⎛⎫≤≤⇒+≥ ⎪
⎝⎭
， 所以()()
2
2
2
2
22
2
111
2
2()2()2
()a b a b a b a b a b a b ++++≥
+≥⋅
=+++，
当且仅当a b =且
()2
2
1
2
()a b a b +=
+时等号成立， 即()34
14
4222
a b a b a b a b a b -=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒==⎨⎨+=⎪⎪+=⎩⎩时等号成立. 所以22
21
()a b a b +++的最小值为2.
故答案为：2 3．已知ab ＞0，则()
()
2
22
224245
41
a b a b ab +++++的最小值为_____.
【答案】4.
【解析】解：根据题意，ab ＞0，故22224244a b a b ab +≥⨯=，当且仅当a ＝2b 时等号成立，
则原式(
)
()
()2
2
2
22224245
(4)245
(41)441
4141
a
b a b ab ab ab ab ab ab ++++++++=≥
==+++44141ab ab +++，又由ab ＞0，则4ab +1＞1， 则有4
4141
ab ab ++
≥+()4
2
4141
ab ab +⨯
=+4， 当且仅当4ab +1＝2，即4ab ＝1时等号成立，
综合可得：(
)
()
2
22
224245
41
a b a b ab +++++的最小值为4，
当且仅当a ＝2b 1
2
=时等号成立 故答案为：4.
4．设0a b c >>>，则2
21121025()
a ac c a
b a a b +
+-+-的最小值为__________. 【答案】4
【解析】因为0a b c >>>，
所以()2
2222
1111210251025()a ac c a a ac c ab a a b ab a a b +
+-+=+⎡⎤⎢⎥⎣
⎦++-+--()()()()2222222
22
211445 55204 2a a c a a c a a c a b a b a a b a b ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=++-≥++-=++-≥⋅+=-+-⎣⎦ ⎪
⎝⎭
， 当且仅当252a b c === 时取等号，此时2
211
21025()
a ac c a
b a a b ++
-+-的最小值为4． 故答案为：4.
题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值问题
1．若41x -<<，则当222
22
x x x -+-取最大值时x 的值为（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．1-
D ．0 【答案】D
【解析】变形，可得()()()()2
22112221111
222121221x x x x x x x x x x -+-+-++-===+----，
41x -<<，510x ∴-<-<，
原式()()()111111************ x x x x x ⎡⎤---=+=-+≤-⋅=-⎢⎥---⎣
⎦， 当且仅当()11221x x -=-，即0x =时取等号，因此，22222x x x -+-取最大值时0x =. 故选：D.
2．（1）若,0x y >，且280x y xy +-=，求x y +的最小值；
（2）若41x -<<，求22222
x x x -+-的最大值． 【答案】（1）18；（2）-1.
【解析】（1）由280x y xy +-=，得8
21x y
+=， ()828210y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭
8210218y x x y ≥+⋅=，当且仅当212x y ==时取等号 故当212x y ==，x y +取最小值18.
（2）若41x -<<，则()2221112221x x x x x -+⎡⎤=--+⎢⎥--⎣⎦
()1121x x
-+≥-当且仅当0x =时取等号 ()111121x x ⎡⎤∴--+≤-⎢⎥-⎣⎦
. 即若41x -<<，22222
x x x -+-的最大值为1-． 3．（1）求当0x >时，2342x x y x
++=的最小值； （2）求当1x >时，221
x y x +=-的最小值. 【答案】（1）7
2
；（2）232.
【解析】（1）当0x >时，234322372222222x x x x x x x ++=++≥⋅+=，当且仅当2x =时等号成立，
所以当0x >时，函数2342x x y x
++=的最小值为72； （2）()2
2112312111x x y x x x x -+⎡⎤+⎣
⎦===-++---， 当1x >时，10x ->，所以()32122321y x x ≥-⋅+=+-， 当且仅当311
x x -=-，即在13x =+时等号成立， 所以，当1x >时，221
x y x +=-的最小值为232+. 4．若,,x y z 均为正实数，则
222xy yz x y z +++的最大值是_______． 【答案】
22 【解析】因为,,x y z 均为正实数，
所以2222222()11(2
)2xy yz xy yz x y y x z y z ++=+++++
22222()
2222xy yz xy yz xy yz x y y z ++≤
==+⋅+⋅⋅, 当且仅当2222
x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即22x z y ==时等号成立． 故答案为：22
.。