2004-2005学年第一学期概率论与数理统计(B)重修课考试试卷答案

2003-2004学年第二学期概率论与数理统计（B ）期末考试试卷答案一．（本题满分56分，共有8道小题，每道小题7分）．1．根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格．据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问： ⑴ 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？ ⑵ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？ 解：设{}习的被调查的学生是努力学=A ， {}被调查的学生考试及格=B ． 由题设，有 ()9.0=A P ，()1.0=A P ；()9.0=A B P ，()9.0=A B P ． 要求的概率为()B A P 和()B A P ．由Bayes 公式，有 ⑴ ()()()()()()()()()012195.09.011.09.09.09.011.0=-⨯+⨯-⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ．⑵ ()()()()()()()()()5.09.01.09.019.09.019.0=⨯+-⨯-⨯=+=AB P A P A B P A P AB P A P B A P ．2．房间内有10个人，分别佩带1号到10号纪念章，任意选出5个人记录其纪念章的号码，令X 表示其最小号码，⑴ 求X 的分布律．⑵ 求{}4>X P ． 解：⑴ X 的取值为6,5,4,3,2,1，并且{}252126151049===C C X P ，{}25270251048===C C X P ，{}25235351047===C C X P ，{}25215451046===C C X P ，{}2525551045===C C X P ，{}2521651044===C C X P ．X 的分布律为⑵ {}{}{}023809523.0421252625212525654===+==+==>X P X P X P ． 三．（本题满分8分）3．有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各5杯．如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次．⑴. 某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少？⑵. 某人声称他通过品尝能区分两种酒．他连续试验10次，成功4次．试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）． 解：⑴. 设{}试验成功一次=A ，则有()421210541045===C C A P ⑵. 设X ：试验10次成功的次数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛701,10~B X 由于()564410108402.542414214-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P因此随机事件{}4==X B 是一个小概率事件，根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理，随机事件{}4==X B 是不大可能发生的，但它却发生了，因此我们可以断定此人确有区分酒的能力． 4．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<=其它010,2x y y cx y x f ， ⑴ 试求常数c ；⑵ 求条件密度函数()x y f XY ．解：⑴ 由联合密度函数的性质，有()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，因此()102,11040210cdx x c ydy cx dx dxdy y x f x====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-，所以，10=c ．⑵ 当10<<x 时， ()()402510,x ydy x dy y x f x f xX ===⎰⎰+∞∞-所以随机变量X 的边缘密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它1054x x x f X ．所以当10<<x 时，()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它02,2x y x yx f y x f x y f X X Y5．设二维正态随机变量()Y X ,的边缘分布()4,1~N X ，()1,0~N Y ，且相关系数0,=YX ρ．求概率{}1<+Y X P ． 解：由于()Y X ,服从二元正态分布，且X 与Y 的相关系数0,=YX ρ，得X 与Y 相互独立．所以Y X Z +=也服从正态分布．()()()()101=+=+=+=Y E X E Y X E Z E ， ()()()()514=+=+=+=Y D X D Y X D Z D ， 所以，()5,1~N Y X Z +=． {}()2100511=Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+=<+Y X P Y X P ．6．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、2.1元、5.1元各个值的概率分别为3.0、2.0、5.0．某天该食品店出售了300只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为395元的概率． （附表：标准正态分布分布函数()x Φ的数值表：解：设k X 表示该食品店出售的第k 只蛋糕的价格()300,,2,1 =k ，则k X 的分布律为所以，()29.15.05.12.02.13.01=⨯+⨯+⨯=k X E ，()713.15.05.12.02.13.012222=⨯+⨯+⨯=k X E ， 所以，()()()[]0489.029.1713.1222=-=-=k k k X E X E X D ．因此，30021,,,X X X 是独立同分布的随机变量，故()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑∑∑∑======3001300130013001300130013951395k k k k k k k k k k k k X D X E X D X E X P X P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-<⨯⨯--=∑=0489.030029.130********.030029.130013001k k X P ()0183.09817.0109.2109.20489.030029.130013001=-=Φ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⨯⨯--=∑=k k X P ．7．设总体()2,~σμN X ．()1021,,,X X X 是取自该总体中的一个样本，X 是其样本均值，试求：⑴ ()1021,,,X X X 的联合密度函数()1021*,,,x x x f ；⑵ X 的概率密度函数()x g ．解：由于总体()2,~σμNX ，所以X 的密度函数为()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-2221221exp 2μσπσx x f ()+∞<<∞-x ． ⑴ ()1021,,,X X X 的联合密度函数为()()()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==∑=-101222102101121*21exp 2,,,i i n x x f x f x f x x x fμσπσ()()10,,2,1,=+∞<<∞-i x i⑵ 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛10,~2σμN X ，所以X 的密度函数为()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-222121021exp 102μσσπx x g ()+∞<<∞-x ． 8．设总体X 服从区间()1,+θθ上的均匀分布，()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本，求未知参数θ的矩估计量为θˆ． 解：总体X 的密度函数为()⎩⎨⎧+<<=其它011θθx x f ，则()()()[]()2112211212122121+=+=-+====+++∞∞-⎰⎰θθθθθθθθxxdx dx x xf X E ． 所以，()21-=X E θ．将()X E 用样本均值X 来替换，得θ的矩估计量为21ˆ-=X θ． 二．（本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分），9．设随机变量()1,0~N X ，X Y =．试求随机变量Y 的密度函数()y f Y ． 解：随机变量X 的密度函数为()2221x X ex f -=π()+∞<<∞-x ．设随机变量X Y =的分布函数为()y F Y ，则 (){}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=．⑴ 当0≤y 时，(){}{}0=≤=≤=y X P y Y P y F Y ． ⑵ 当0>y 时，(){}{}{}y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=()⎰⎰⎰----===yx yyx yyX dx edx edx x f 022222221ππ所以，()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-00022022y y dx e y F y xY π． 所以，()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-0002222y y e y F y f yY Y π． 10．某商店按季节出售某种应时商品，每出售1公斤获利润100元，如到季末尚有剩余商品，则每公斤净亏损60元．又设该商店在季度内这种商品的出售量X （单位：公斤）是一个随机变量，且X 服从区间()2000,1000上的均匀分布．为使商店所获利润的数学期望为最大，问该商店应进多少货？ 解：随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它02000100010001x x f X设该商店进货s 公斤，Y 是该商店所得利润，则有()()⎩⎨⎧>--≤==X s X s X X s s X H Y 60100100 即()⎩⎨⎧>-≤==Xs s X X s sX H Y 60160100 所以，()()[]()()⎰+∞∞-==dx x f x H X H E Y E X()⎰⎰+-=20001000100100016016010001sssdx dx s x ()()()s s s s s -+---=2000100010010001000608000000080100012 令：()()()()s s s s s s g -+---=2000100010010001000608000000080100012 则()s s s s s g 254260210001002006021000602100080-=⋅-++⋅-⋅=' 令()0='s g ，得驻点16250=s ，并且可以判别16250=s 是函数()s g 的最大值点，因此当该商店进货16250=s 公斤时，商店所得利润的数学期望为最大．11．已知总体X 服从Laplace 分布，其概率密度为()μ--=x e x f 21 ()+∞<<∞-x ． 其中μ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本．⑴ 求μ的矩估计量μˆ．⑵ 试用Chebyshev （切比雪夫）不等式估计概率{}εμ≥-X P ()0>ε．解： 设()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，由于()()⎰⎰⎰+∞∞---+∞∞---+∞∞-=⋅==dx xe dx e x dx x xf X E x x μμ2121作变换μ-=x u ，则dx du =，代入上式，得()()⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞--+∞∞--+=+=dx e dx ue dx e u X E u uu 22121μμμμμμ=-===∞+-+∞-+∞∞--⎰⎰02u u ue dx e dx e ．所以，得()X E =μ．将()X E 用样本均值X 替换，得μ的矩估计量为X =μˆ． ⑵ ()()()μμ===X E X E E ˆ， 而 ()()[]()()()⎰⎰+∞∞---+∞∞-⋅-=-=-dx e x dx x f x X E X D x μμμ21222()()⎰+∞---=2dx e x x μμ 作变换μ-=x u ，则dx du =，代入上式，得()202==⎰+∞-du e u X D u． 所以，()()nn X D X D 2==． 由Chebyshev 不等式，得{}()222εεεμ⋅=≤≥-n X D X P ．三．（本题满分14分，共有2道小题，每道小题7分）， 12．已知总体X 的分布律为其中10<<θ是未知参数，()321,,X X X 是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为()1,2,1321===x x x 时，参数θ的最大似然估计值．解：()()()()1211,2,1321321=======X P X P X P X X X P()()θθθθθθ-=⋅-⋅=1212522． 所以当样本观测值为()1,2,1321===x x x 时，似然函数为()()θθθ-=125L所以，()()θθθ6554-='L ．令()0='θL ，得()06554=-θθ，由此得似然函数()θL 在区间()1,0上的驻点为650=θ．并且0θ是似然函数()θL 在区间()1,0上的唯一驻点．因此此时似然函数()θL 的最大值点为650=θ．即当样本观测值为()1,2,1321===x x x 时，参数θ的最大似然估计值为65ˆ=θ． 13．设随机变量X 服从区间()4,1上的均匀分布，并且当x X =()41<<x 时，随机变量Y 的条件密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它0323x y yx x y f X Y ．⑴ 求()Y X ,的联合概率密度．⑵ 求()Y X ,cov ． 解：⑴ 由于随机变量X 服从区间()4,1上的均匀分布，所以X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它04131x x f X ．并且当x X =()41<<x 时，随机变量Y 的条件密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它0323x y yx x y f X Y ．所以，由()()()x f y x f x y f X XY,=，得()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<==其它0,41,32x y x x y x y f x f y x f X Y X ⑵ ()()421,3241=⋅==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-xdy x y xy dx dxdy y x xyf XY E ．()()25==⎰+∞∞-dx x xyf X E X ．()()815,3241=⋅==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-xdy x y y dx dxdy y x yf Y E ．所以，()()()()16981525421,cov =⨯-=-=Y E X E XY E Y X ．。