三角形中线角平分线高复习课
高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
数学八年级上册《三角形-复习课》教案
三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式是重点；
教学难点ห้องสมุดไป่ตู้
三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形是难点。
教学方法与手段
教学准备
第一课时
课时数
1课时
课堂教学实施设计（教师活动、学生活动）
复备内容或集体备课讨论记录(标、增、改、删、调)
一、知识结构（师生一起梳理）(5分钟）
探索∠A与∠1＋∠2有什么数量关系？并说明理由。
例3如图所示,在△ABC中,△ABC的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明∠P＝1/2∠A.
板书设计：
教学小结：
6、三角形的外角和是多少？
n边形的外角和是多少？
你能说明为什么多边形的外角和与边数无关吗？
三、例题导引(15分钟）
例1 如图，在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于点H，求∠BHC的度数。
例2如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
二、回顾与思考(10分钟）
1、什么是三角形？
什么是多边形？
什么是正多边形？
三角形是不是多边形？
1、什么是三角形的高、中线、角平分线？
2、什么是对角线？
三角形有对角线吗？n边形的的对角线有多少条？
4、三角形的三条高，三条中线，三条角平分线各有什么特点？
5、三角形的内角和是多少？n边形的内角和是多少？
你能用三角形的内角和说明n边形的内角和吗？
初中20-20学年度第一学期教学设计
主备教师
审核教师
授课周次
授课时间
课题
三角形复习课
课型
角形的高.中线.角平分线课件
能力，以及计算建筑物的面积和体积等。
三角形中线在建筑布局中的应用
02
在建筑布局中，三角形中线可以用来确定建筑物的对称性和平
衡感，以及优化建筑物的空间利用率。
角平分线在建筑美学中的应用
03
在建筑美学中，角平分线可以用来实现建筑物的对称美和平衡
美，以及创造多样化的建筑形态和风格。
在优化问题中应用
利用三角形高优化路径规划
通过三角函数将角度和边长联系起来，实现问题的求解。
三角形高、中线、角
04
平分线在几何证明中
应用
在证明线段相等或成比例中应用
利用三角形的高
利用三角形的角平分线
在等腰三角形或等边三角形中，高可 以将底边平分，从而证明两条线段相 等。
角平分线将一个角平分为两个相等的 小角，并且与对边相交，将对边分为 两段成比例的线段。
性质
01
02
03
三角形的中线是线段。
三角形的中线平行于对应的 底边且等于底边的一半。
04
05
任意三角形的三条中线交于 一点，该点称为三角形的重
心。
角平分线定义及性质
性质
三角形的角平分线是射线。
三角形的角平分线将对应角平分 为两个相等的小角。
定义：从一个角的顶点引出一条射线 ，把这个角分成两个完全相同的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
在其他领域应用
三角形高在物理学中的应用
在物理学中，三角形高可以用来描述物体的运动轨迹和速度变化 等物理现象。
三角形中线在化学中的应用
在化学中，三角形中线可以用来表示分子结构和化学键等化学概念。
角平分线在地理学中的应用
在地理学中，角平分线可以用来描述地球表面的地形地貌和气候变 化等地理现象。
专题02_三角形的高、中线、角平分线_(知识点串讲)(解析版)
专题02 三角形的高、中线、角平分线重点突破知识点一三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
知识点二三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（选学）三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
知识点三三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
考查题型考查题型一画三角形的高典例1（2020·泉州市期中）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.【详解】根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.故选A.变式1-1．（2018·梁平区期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.故选D.变式1-2．（2020·海淀区期末）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】详解：三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.可以判断A,B,C虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.故选D.变式1-3．（2020·苏州市期中）如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD【答案】B【解析】试题提示：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B．变式1-4．（2019·杭州市期中）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形的个数有（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】结合三角形高的定义可知，以AD为高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，共6个.故选D考查题型二与三角形高有关的计算典例2．（2019·济南市期中）如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )A．三角形面积随之增大B．∠CAB的度数随之增大C．BC边上的高随之增大D．边AB的长度随之增大【答案】C【提示】根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可．【详解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=12BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确；B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确；C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误．D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确；故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注意“数形结合”数学思想的应用．变式2-1．（2020·毕节市期末）如图，△ABC 中，D ，E 分别是BC 上两点，且BD=DE=EC ，则图中面积相等的三角形有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对【答案】A 【提示】根据三角形的面积公式，知：只要同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．【详解】由已知条件，得△ABD ，△ADE ，△ACE ，3个三角形的面积都相等，组成了3对，还有△ABE 和△ACD 的面积相等，共4对.故选A.【名师点拨】本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握三角形面积公式与运用.变式2-2．（2020·龙岩市期中）如图，AD ，CE 是△ABC 的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC 的长是（ ）A ．10B ．10.8C ．12D ．15【答案】B 【解析】∵AD ，CE 是△ABC 的两条高，AD=10，CE=9，AB=12，∴△ABC 的面积=12×12×9=12BC ⋅AD=54， 即12BC ⋅10=54，解得BC=10.8.故选B.变式2-3．（2018·合肥市期中）如图所示，AD CE BF 、、是ABC ∆的三条高，654AB BC AD ===，，，则CE =（ ）A ．245B ．152C ．103D ．3【答案】C【提示】根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：因为AD 、CE 、BF 是△ABC 的三条高，654AB BC AD ===，，，所以可得：12BC•AD=12AB•CE ， 可得：CE=•BC AD AB ＝546⨯＝103． 故选C ．【名师点拨】此题考查三角形的面积，关键是根据同一三角形面积相等来提示．变式2-4．（2018·烟台市期末）如图，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于点P ，若∠A=50°，则∠BPC 等于（ ）A ．90°B ．130°C ．270°D ．315°【答案】B 【详解】根据∠A=50°可得∠ABC+∠ACB=130°，根据CD ⊥AB ，BE ⊥AC 可得∠ABE=40°，∠ACD=40°，则∠PBC+∠PCB=130°－40°－40°=50°，则∠BPC=180°－50°=130°. 故选：B.变式2-5．（2019·荆门市期末）如图，三角形ABC ，∠BAC =90︒，AD 是三角形ABC 的高，图中相等的是（ ）．A ．∠B =∠CB ．∠BAD=∠BC ．∠C =∠BAD D ．∠DAC=∠C【答案】C 【提示】根据直角三角形的性质可得∠B +∠C =90︒，由AD 是三角形ABC 的高，可得∠BDA=∠ADC =90︒，再运用三角形内角和定理依次判断即可.【详解】∵∠BAC =90︒，∴∠B +∠C =90︒，故选项A 错误；∵AD 是三角形ABC 的高，∴∠BDA=90︒，∴∠BAD+∠B=90︒，故选项B 错误；∵∠BAC =90︒，∴∠BAD+ ∠DAC=90︒，又∵∠ADC =90︒，∴∠DAC+ ∠C=90︒，∴∠C=∠BAD，故选项C正确，选项D错误.故选C.【名师点拨】本题考查了三角形的高线以及三角形的内角和定理，属于基础题型.变式2-6．（2019·济南市期中）如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为( )A．12 B．14 C．16 D．18【答案】D【提示】连接AE和CD，要求三角形DEF的面积，可以分成三部分（△FCD+△FCE+△DCE）来分别计算，三角形ABC是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行提示计算，即可解得△DEF的面积．【详解】解：连接AE和CD，∵BD=AB，∴S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=1+1=2，∵AF=3AC，∴FC=4AC，∴S△FCD=4S△ACD=4×2=8，同理可以求得：S△ACE=2S△ABC=2，则S△FCE=4S△ACE=4×2=8；S△DCE=2S△BCD=2×1=2；∴S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE=8+8+2=18．故选：D．【名师点拨】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度．考查题型三三角形中线有关的长度计算典例3．（2018·秦皇岛市期中）如图，AE 是ABC 的中线，已知EC 4=，DE 2=，则BD 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】试题解析：∵AE 是△ABC 的中线，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故选A ．变式3-1．（2019·肇庆市期中）已知AD 是△ABC 的中线，且△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，则AB 与AC 的差为( ) A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．6cm【答案】B【提示】根据三角形中线的定义可得BD=CD ，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【详解】解：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∴△ABD 与△ACD 的周长之差=（AB+AD+BD ）-（AC+AD+CD ）=AB-AC ，∵△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，∴AB 与AC 的差为3cm ．故选B ．【名师点拨】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB-AC 是解题的关键．变式3-2．（2020·哈尔滨市期中）如图，三角形ABC 中，D 为BC 上的一点，且S △ABD =S △ADC ，则AD 为（ ）A ．高B ．角平分线C ．中线D ．不能确定【答案】C【解析】解：设BC边上的高为h，∵S△ABD=S△ADC，∴，故BD=CD，即AD是中线．故选C．变式3-3．（2019·临清市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB 与AC的和为13cm，那么AC的长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【答案】B【提示】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AC的长度．【详解】∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长-△ABD的周长=5cm．∴AC-AB=5cm．又∵AB+AC=13cm，∴AC=9cm．即AC的长度是9cm．故选B.【名师点拨】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC-AB=5cm，是解题的关键．考查题型四三角形中线有关的面积计算典例4．（2020·渠县期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且△ABC的面积为4cm2，则△BEF的面积等于（）A．2cm2B．1cm2C．0．5 cm2D．0．25 cm2【答案】B【提示】依据三角形的面积公式及点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，推出14BEF ABC SS ∆=从而求得△BEF 的面积．【详解】解：∵点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 1111,,,2222ABD ABC BDE ABD CDE ADC BEF BEC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∴==== 14BEF ABC S S ∆∆∴= ∵△ABC 的面积是4，∴S △BEF =1．故选：B【名师点拨】本题主要考查了与三角形的中线有关的三角形面积问题，关键是根据三角形的面积公式S=12×底×高，得出等底同高的两个三角形的面积相等．变式4-1．（2018·鄂尔多斯市期中）如图，△ABC 的面积为12cm 2，点D 在BC 边上，E 是AD 的中点，则△BCE 的面积是（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．6cm 2【答案】B 【解析】∵E 是AD 的中点，∴S △BDE =12S △ABD ，S △DEC =12S △ADC ， ∴△BCE 的面积=S △BDE +S △DEC =12×（S △ABD +S △ADC ）=12×△ABC 的面积=6， 故选B ．名师点拨：本题考查的是三角形的面积的计算，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．变式4-2．（2019·沧州市期末）如图，D ，E ，F 分别是边BC ，AD ，AC 上的中点，若S 阴影的面积为3，则△ABC 的面积是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【提示】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，111222ABD ACD ABC BDE ABD ADF ADC SS S S S S S ====，，，再得到1148BDE ABC DEF ABC S S S S ==，，所以83ABC S S =阴影部分即可得出. 【详解】∵D 为BC 的中点 ∴1122BDE ABD ADF ADC S S S S ==，，12DEF ADF S S =∴1148BDE ABC DEF ABC S S S S ==， ∴BDE S △+DEF S △=14ABC S +18ABC S =38ABC S ∴ABC S =83S 阴影部分=83×3=8 故选：D【名师点拨】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键.变式4-3．（2019·温州市期中）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，E ，F 分别是AD ，BE 的中点，连结CE ，CF ，若S △CEF ＝5，则△ABC 的面积为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30【答案】B 【提示】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F 是BE 的中点，S △CFE ＝S △CFB ＝5，∴S △CEB ＝S △CEF +S △CBF ＝10，∵E 是AD 的中点，∴S △AEB ＝S △DBE ，S △AEC ＝S △DEC ，∵S △CEB ＝S △BDE +S △CDE∴S △BDE +S △CDE ＝10∴S △AEB +S △AEC ＝10∴S △ABC ＝S △BDE +S △CDE +S △AEB +S △AEC ＝20故选：B．【名师点拨】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用. 考查题型五三角形重心的有关性质典例5．（2019·北京市期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）A．三边高的交点B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三边中线的交点【答案】D【提示】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，故选D．【名师点拨】考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．变式5-1．（2019·泉州市期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD=6，则AG的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【提示】根据D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G，即可得出G为三角形的重心，利用重心的性质得出AG的长即可.【详解】∵D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G∴G为△ABC的重心∴AG=2DG∵AD=6∴AG=4故选C.【名师点拨】本题考查的是三角形的重心性质，能够判断出点G 是三角形的重心是解题的关键.考查题型六 三角形的角平分线典例6．（2019·滨州市期末）如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A 【详解】根据题意可得，在△ABC 中，70,48︒︒∠=∠=C ABC ，则62︒∠=CAB ，又AD 为△ABC 的角平分线，1262231︒︒∴∠=∠=÷=又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高∴90159359︒︒︒∠=-∠=∴∠=∠=EFA EFA变式6-1．（2019·宁德市期末）如图，已知AE 是ΔABC 的角平分线，AD 是BC 边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE 的大小是（ ）A ．5°B ．13°C ．15°D ．20°【答案】C 【提示】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE 是∠BAC 的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD 是BC 边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE ，问题得解．【详解】在△ABC 中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°, ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE=∠CAE=41°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°−∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.【名师点拨】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.变式6-2．（2019·信阳市期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）A．4 B．3 C．6 D．5【答案】B【解析】过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3.故选B.变式6-3．（2019·合肥市期中）如图所示，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 等于（）A．20°B．18°C．45°D．30°【答案】A【提示】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAD=14°，∠CAD=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故选：A ．【名师点拨】此题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠DAE 的度数是解题关键．变式6-4．（2020·泰兴市期中）如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∠A=50°，BE 、CF 相交于D ，则∠BDC 的度数是（ ）A ．115°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A【提示】由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC 与∠ACB 的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB 的度数，进而求出∠BDC 的度数．【详解】∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∴1122EBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，，∴()1652EBC FCB ABC ACB ∠+∠=⨯∠+∠=︒，∴∠BDC=180°﹣65°=115°，故选A ．【名师点拨】考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.变式6-5．（2019·西安市期末）如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC 的大小为()A ．135°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】B【提示】由条件可知O为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A），在△BOC中利用三角形的内角和定理可求得∠BOC．【详解】∵O到三边的距离相等∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)∵∠A=60°∴∠OBC+∠OCB=60°∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°故选B.【名师点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线把一个角分成两个相等的角是解题的关键．。
三角形的高、中线、角平分线教案
三角形的高、中线、角平分线教案第一章：三角形的高1.1 教学目标了解三角形高的概念学会计算三角形的高能够应用三角形高解决实际问题1.2 教学内容三角形高的定义三角形高的计算方法三角形高的应用实例1.3 教学步骤1.3.1 导入引入三角形高的概念，通过实物演示或图片展示三角形高的含义。
1.3.2 新课讲解讲解三角形高的定义，解释三角形高的作用和意义。
演示如何计算三角形的高，通过几何画图软件或实物模型进行展示。
1.3.3 实例分析提供一些实际问题，让学生应用三角形高的知识解决，如计算三角形面积等。
1.3.4 练习与讨论学生进行一些相关的练习题，巩固对三角形高的理解和计算能力。
学生分组讨论，分享解题方法和经验。
1.4 教学评估第二章：三角形的中线2.1 教学目标了解三角形中线的概念学会计算三角形的中线能够应用三角形中线解决实际问题2.2 教学内容三角形中线的定义三角形中线的计算方法三角形中线的应用实例2.3 教学步骤2.3.1 导入引入三角形中线的概念，通过实物演示或图片展示三角形中线的含义。
2.3.2 新课讲解讲解三角形中线的定义，解释三角形中线的作用和意义。
演示如何计算三角形的中线，通过几何画图软件或实物模型进行展示。
2.3.3 实例分析提供一些实际问题，让学生应用三角形中线的知识解决，如计算三角形的面积等。
2.3.4 练习与讨论学生进行一些相关的练习题，巩固对三角形中线的理解和计算能力。
学生分组讨论，分享解题方法和经验。
2.4 教学评估第三章：三角形的角平分线3.1 教学目标了解三角形角平分线的概念学会计算三角形的角平分线能够应用三角形角平分线解决实际问题3.2 教学内容三角形角平分线的定义三角形角平分线的计算方法三角形角平分线的应用实例3.3 教学步骤3.3.1 导入引入三角形角平分线的概念，通过实物演示或图片展示三角形角平分线的含义。
3.3.2 新课讲解讲解三角形角平分线的定义，解释三角形角平分线的作用和意义。
三角形的高,中线,角平分线教案
三角形的高,中线,角平分线教案三角形的高、中线和角平分线教案第一节：三角形的高三角形的高是从一个顶点到对边所引的垂线段，也是三角形内一边的垂直平分线。
一个三角形可以有三条高。
1. 三角形的三条高相交于一个点，称为垂心。
2. 垂心离三角形三个顶点的距离相等，即垂心到三个顶点的距离相等。
三、求解方法：1. 已知三角形的底边和高，可以求出面积。
2. 已知三角形的两边和夹角，可以求出高。
第二节：三角形的中线三角形的中线是从三角形的一个顶点到对边中点的线段，也是三角形内一边的垂直平分线。
一个三角形可以有三条中线。
1. 三角形的三条中线相交于一个点，称为重心。
2. 重心离三角形三个顶点的距离比重心到对边中点的距离大。
三、求解方法：1. 已知三角形的底边和中线，可以求出面积。
2. 已知三角形的两边和夹角，可以求出中线。
第三节：三角形的角平分线三角形的角平分线是从一个角的顶点到对边的平分线。
一个三角形可以有三条角平分线。
1. 三角形的三条角平分线相交于一个点，称为内心。
2. 内心到三角形三边的距离相等，即内心到三个边的距离相等。
三、求解方法：1. 已知三角形的两边和夹角，可以求出角平分线。
2. 已知三角形的内心到三个顶点的距离，可以求出内心的位置。
通过本节课的学习，我们了解了三角形的高、中线和角平分线的定义、性质以及求解方法。
这些知识可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
希望同学们能够通过课后的练习和巩固，熟练掌握这些概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
三角形的高,中线与角平分线说课稿
三角形的高,中线与角平分线说课稿篇一：三角形高、中线与角平分线说课稿17.1.2《三角形的高、中线与角平分线》说课稿一、教材分析与学生分析（一）教材分析。
本节课是义务教育课程标准试验教科书《数学》七年级下册第十七章三角形高、中线与角平分线的知识。
本课时属于概念教学的范畴，在小学初步认识三角形的基础上，进一步学习三角形的高、中线、角平分线。
它们分别与已学习过的垂线、线段的中点、角的平分线知识有关．它既是上述知识的延续，又是后继学习重心，内切圆、等腰(边)三角形等知识的基础．在知识体系上具有承上启下的作用。
通过三角形的高、中线与角平分线的学习，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能。
（二）学生分析。
初二学生好奇心强，思维活跃。
已经具备了基本图形作图能力与简单推理能力，有一定的与人合作、归纳总结、主动探究的经验。
但学生小也存在着注意力易分散这一缺点，教师要注意创设情境，调动学生的积极性，恰当的点拨引导。
二、教学目标分析。
依据课标数学课程应致力于学生数学素养的形成与发展及对教材的剖析和学生的实际情况确定本课的教学目标为：三、教学方法分析。
根据本课教学内容运用到以几种教学方法： 1、情境教学法。
设置疑问情境，引起兴趣，激发学习欲望，活跃课堂气氛，使学生进入积极的学习状态。
2、对比教学法。
三角形的高、中线、角平分线与已学过的垂线、线段的中点，角的平分线有关，讲解时将新旧知识融合贯通，进行对比，既利于学生掌握新知，又可帮他们形成一定的知识体系。
3、启发激励教学法。
教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，要激发学生的兴趣，适时点拨，指导他们进行自主学习，进行合作探究学习，鼓励学生发言，适当表扬评价，营造民主和谐的氛围，使学生受到鼓舞，充满自信，积极思维，发展能力。
4、多媒体辅助教学法。
运用多媒体辅助教学，增强学生的直观感受，扫除学生从形象思维难以跨越到抽象思维的障碍，突出重点，突破难点。
四、学习方法分析。
依据课标的要求，学生是学习和发展的主体，数学课程必须依据学生身心发展和数学学习的特点，关注学生的个体差异和不同的学习需求，爱护学生的好奇心、求知欲，充分激发学生的主动意识和进取精神，倡导自主、合作、探究的学习方法。
9.1.2三角形的高中线角平分线
B
D
∵ AD是△ABC的BC上的 中线. C ∴ BD=CD= ½BC.
A
2 1
三角形一个内角 的平分线与它的 三角形的 对边相交,这个 角平分线 角顶点与交点之 间的线段
B
D
C
∵.AD是△ABC的∠BAC 的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
学习目标：
1、认识三角形的角平分线、中线、
高这三种线段。 2、会画任意三角形的角平分线、中 线和高。 3、了解三角形的角平分线、中线、 高会相交于一点。
自学提示：（自学教材P75内容）
1、如何画三角形的高?什么是三角形的高？三角形的高有 几条？ 2、如何画三角形的中线?什么是三角形的中线？三角形的 中线有几条？ 3、如何画三角形的角平分线?什么是三角形的角平分线？ 三角形的角平分线与角的平分线有什么不同？ 4、画出一个锐角三角形的中线，高以及角平分线？ 5、如果把锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形你能 不能画出它的高，中线以及角平分线？ 6、通过上面的作图，你能否发现三角形的三条高，中线 以及角平分线（或所在直线)的交点与三角形的位置关 系？
如图有一块三角形的菜地，现在要求分成面
积比为2：3：4三块，且图中A处是三块菜地 的共同的水源处。问：怎样分？
A
·
B
··
C
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD，交 ∠A所对的边BC于点D， 线段AD叫做ΔABC的 B 角平分线。
●
F●
A
● ●
E
●
●
D
C
画一画 画出ΔABC的另外两条角平分线； 想一想 观察三条角平分线，说说你的发现。
C A D D B C B B
C C
三角形的高、中线、角平分线的教案
三角形的高、中线、角平分线的教案一、教学目标：1. 让学生理解三角形的高、中线、角平分线的概念。
2. 让学生掌握三角形的高、中线、角平分线的性质。
3. 培养学生运用三角形的高、中线、角平分线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 三角形的高：从一个顶点向对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。
2. 三角形的中线：连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
3. 三角形的角平分线：从一个顶点出发，把这个顶点的角平分的线段叫做三角形的角平分线。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的高、中线、角平分线的概念及性质。
2. 教学难点：三角形的高、中线、角平分线的画法及运用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生直观地理解三角形的高、中线、角平分线的概念。
2. 采用讲解法，详细讲解三角形的高、中线、角平分线的性质。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过复习三角形的基本概念，引入三角形的高、中线、角平分线的学习。
2. 讲解概念：讲解三角形的高、中线、角平分线的定义，并用图形演示。
3. 讲解性质：讲解三角形的高、中线、角平分线的性质，并通过图形进行说明。
4. 练习巩固：布置一些有关三角形的高、中线、角平分线的练习题，让学生独立完成。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调三角形的高、中线、角平分线在几何中的应用。
6. 布置作业：布置一些有关三角形的高、中线、角平分线的作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 探讨三角形的高、中线、角平分线在几何图形中的作用，如：在三角形面积计算中的应用。
2. 引导学生发现三角形的高、中线、角平分线与其他几何元素之间的关系。
七、课堂互动：1. 提问：三角形的高、中线、角平分线有什么共同点和不同点？2. 提问：在实际应用中，如何运用三角形的高、中线、角平分线解决问题？八、案例分析：1. 分析一个实际问题，如：在施工中如何准确地测量和切割三角形材料？2. 引导学生运用三角形的高、中线、角平分线知识解决案例中的问题。
11.1.2三角形的三线复习课教学设计
杭后六中七年级数学课堂教学设计2．下列各图中，画出
4．如图，AD是△
知识点3 三角形的角平分线
5．如图，AD是△ABC
6．如图，AD是△ABC
则∠EAD的度数是( )
A．20° B
二、易错点强化
7．下列说法正确的是
A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形的内部B．直角三角形的高只有一条
C．钝角三角形的三条高都在三角形的外部
D．三角形的高至少有一条在三角形的内部
A．①② B
10．如图，已知
＝ cm
则S
△ABC
四、拓展延伸 11题图
11．【方程思想】如图，在△中，AB＝AC，
(1)填空：AE＝
△ABE的周长与△的周长之差为；
(2)若△ABC的周长为将△ABC的周长分成差为
求△ABC的边长．
板书设计及课堂小结：（略）
作业布置：P8 4.8.9T
教学反思及作业反馈：。
知识点解读：三角形的高、中线与角平分线
知识点解读：三角形的高、中线与角平分线知识点1：三角形的高、中线、角平分线（掌握）知识详析：三角形的高：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 高的叙述方法（右图）：①的高；是ABC AD ∆ ②;D BC AD ，垂足为⊥③ 90=∠=∠CDA BDA BC D 上，且点在三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．几何语言：（右图）AD 是△ABC 的边BC 上的中线．逆向推理：若AD 是△ABC 的中线，则D 是边BC 的中点．三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段． 几何语言（图3）：若∠1=∠2，则AD 是∠BAC 的角平分线．逆向推理：若AD 是角平分线，则∠1=∠2．【典例】1.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线解析：这是最基本，也最易混淆的基础知识，需要牢记掌握．我们可以根据三角形的高、中线和角平分线的概念定义知道它们既不是射线，也不是直线，而均表示线段．2.如图，在△ABC 中，AE ，AD 分别是BC 边上中线和高，（1）说明△ABE 的面积与△AEC 的面积有何关系（2）你有什么发现解析：关于三角形的面积，后面我们将要学到，三角形的面积公式为底乘高的一半．此时我们可以了解到同高等底的两个三角形的面积相等，三角形的中线图3 A B C D 1 2 D CB A把三角形分成两个面积相等的三角形．故△ABE的面积与△AEC的面积相等．知识点2：三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心（了解）知识详析：重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似．内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等．外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等．旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等．【典例】在△ABC中，边BC上的中线AD等于9cm，那么这个三角形的重心G 到顶点A的距离是____cm．解析：根据重心的概念得出AG=2DG，即可得出答案．由AD等于9cm，故重心G到顶点A的距离是6cm．。
三角形的高、中线和角平分线教案
三角形的高、中线和角平分线教案第一章：三角形的基本概念1.1 三角形的定义学习目标：了解三角形的定义和特性，掌握三角形的基本概念。
教学内容：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
三角形具有三个顶点和三个内角。
三角形的边和角之间存在特定的关系。
教学活动：引导学生通过图形认识三角形的特征。
利用实物或图形，让学生观察和描述三角形的性质。
举例说明三角形的不等式定理。
作业与练习：完成课后练习，巩固对三角形的基本概念的理解。
设计一些简单的几何题目，让学生运用三角形的基本概念解决问题。
第二章：三角形的高2.1 三角形的高的概念学习目标：了解三角形的高的定义和性质，学会计算三角形的高。
教学内容：三角形的高是从一个顶点到对边的垂直线段。
三角形有三条高，分别从三个顶点出发。
三角形的高与对边和内角有关。
教学活动：利用实物或图形，让学生直观地理解三角形高的概念。
通过几何软件或手工绘制，让学生观察和测量三角形的高。
引导学生探究三角形高的性质和规律。
作业与练习：完成课后练习，巩固对三角形高的理解和计算。
设计一些实际问题，让学生运用三角形的高解决实际问题。
第三章：三角形的中线3.1 三角形的中线的概念学习目标：了解三角形的中线的定义和性质，学会计算三角形的中线。
教学内容：三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段。
三角形有三条中线，分别从三个顶点出发。
三角形的中线与对边和内角有关。
教学活动：利用实物或图形，让学生直观地理解三角形中线的概念。
通过几何软件或手工绘制，让学生观察和测量三角形的中线。
引导学生探究三角形中线的性质和规律。
作业与练习：完成课后练习，巩固对三角形中线的理解和计算。
设计一些实际问题，让学生运用三角形的中线解决实际问题。
第四章：三角形的角平分线4.1 三角形的角平分线的概念学习目标：了解三角形的角平分线的定义和性质，学会计算三角形的角平分线。
教学内容：三角形的角平分线是从一个顶点出发，将对应角平分的线段。
2021.06.03---期末备考：三角形的高线、中线、角平分线、内外角和等应用剖析
专题一三角形的高、中线与角平分线剖析一、三角形的高1.三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高。
如图，线段AD是BC边上的高。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
2.表示：1.AD是△ABC的BC上的高线；2.AD⊥BC于D；3.∠ADB=∠ADC=90°。
3.三角形高的交点位置：锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交点在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
如下图所示。
图1 图2 图34.三角形的三条高的特性二、三角形的中线1.三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线。
2.表示：1.AD是△ABC的BC上的中线；2.BD=DC=12 BC.3.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点。
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
重心一定在三角形内。
三、三角形的角平分线1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
2.表示：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线；2.∠1=∠2=12∠BAC.3.三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。
1．（2020·重庆南开中学期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AC 上，且:=1:3AE EC ，连接AD ，BE 交于点F ，若=40ABC S △，则=DCEF S 四边形（ ）.A ．14B ．15C ．18D ．202．（2020·重庆南开中学）如图，ABC ∆中，点D E F 、、分别在三边上，AD BE CF 、、交于一点,G E 是AC 的中点，2,6,4GDC GEC BD CD S S ∆∆===则ABC S ∆=（ ）A ．1785B ．1985C ．40D ．423．（2020·河南宛城期末）如图在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法中错误的是（ ）A ．BF CF =B ．12EAD B C ∠=∠-∠ C ．C BAD ∠=∠ D ．2ABC ABF S S =△△4．（2020·江苏海州期末）如图，D、E、F是△ABC内的三个点，且D在AF上，F在CE上，E在BD上，若CF=12EF，AD=13FD，BE=14DE，△DEF的面积是12，则△ABC的面积是（）A．24.5 B．26 C．29.5 D．305．（2020·陕西渭滨期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC 的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝12S△ABC.其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2019·广东深圳外国语学校期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为( )A．6 B．9 C．18 D．367．（2020·江苏江阴·河塘中学月考）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE＝4EC，CD与AE相交于点F．若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为（）A．24 B．25 C．30 D．328．（2020·长春市第四十七中学）如图，△ABC中，点D是AC边上的中点，点E是AB 边上的中点，若S∆ABC=12 ，则图中阴影部分的面积是（）A．6 B．4 C．3 D．29．（2020·江西南昌月考）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22 cm，AB 比AC长3 cm，则△ACD的周长为（）A．19 cm B．22 cm C．25 cm D．31 cm10．（2020·安徽安庆期中）如图，AE 是△ABC 的中线，D 是BE 上一点，若BE =5，DE =2，则CD 的长为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．411．（2019·湖北蔡甸）如图，若ABC ∆的三条角平分线AD 、BE 、CF 交于点G ，则与EGC ∠互余的角是( )A ．CGD ∠B ．FAG ∠C ．ECG ∠D ．FBG ∠12．（2019·四川宜宾期末）在直角三角形ABC 中，=90C ∠︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，AD 、BE 相交于点F ，过点D 作DG AB ∥，过点B作BG DG ⊥交DG 于点G .下列结论：①135AFB ∠=︒；②2BDG CBE ∠=∠；③BC 平分ABG ∠；④BEC FBG ∠=∠.其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2020·广东龙岗·龙岭初级中学期中）如图△ABC中，分别延长边AB、BC、CA，使得BD=AB，CE=2BC，AF=3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为________.14．（2019·四川绵阳月考）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD ＝5cm，△ABD的周长为15cm，则AC长为_____．15．（2019·山东牡丹期末）如图ABC中，AD是BC边上的中线，BE是ABC中AD 边上的中线，若ABC的面积是24，6AE ，则点B到ED的距离是___．16．（2019·广东佛山）如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝12 BC，过D、G的直线交AC于点E，则AEAC＝_____．17．（2020·江西全国月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E，当P点在线段AD上运动时，∠E与∠B，∠ACB的数量关系为________18．（2020·江苏姜堰期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于E，若∠C=80°，∠B=40°则∠DAE的度数为______．19．（2020·江苏张家港期末）如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．（1）求证：ED∥BC；（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．①求△ABC的面积；②若G是BC边上一点，C G＝2B G，求△FC G的面积．20．（2020·江苏姜堰期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C=65°，∠B=35°，求∠DAE的度数；②若∠C-∠B=20°，则∠DAE= °．21．（2020·四川达川期末）如图，在△ABC中，AM是中线，AD是高线．（1）若AB比AC长4 cm，则△ABM的周长比△ACM的周长多__________ cm．（2）若△AMC的面积为12 cm2，则△ABC的面积为__________cm2．（3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°，求∠ACB的度数．（写过程）22．（2019·昆明市官渡区第一中学月考）（1）如图1，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC 两个内角∠ABC、∠ACB的平分线．①若∠A＝70°，求∠BDC的度数．②∠A＝α，请用含有α的代数式表示∠BDC的度数．(直接写出答案)（2）如图2，BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线．若∠A＝α，请用含有α的代数式表示∠BEC的度数．23．（2019·江苏宜兴期中）如图①，AD 平分BAC ∠，AE ⊥BC ，∠B =450,∠C =730．（1） 求DAE ∠的度数；（2） 如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE BC ⊥”，其它条件不变，求DFE ∠ 的度数；（3） 如图③，若把“AE ⊥BC ”变成“AE 平分BEC ∠”，其它条件不变，DAE ∠的大小是否变化，并请说明理由．24．（2020·江苏泰州市凤凰初级中学月考）如图，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD 的平分线与∠ACB的平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：（1）MO=MB；（2）MN=CN﹣BM．专题二三角形内角和与外角和定理剖析【技巧解析】1.三角形内角和定理（1）三角形三个内角的和180°.（2）在三角形中，已知任意两个角的度数，可求出第3个角的度数；（3）已知三角形中三个内角关系，可利用三角形内角和等于180°，列方程求出各内角的度数.2.三角形外角性质（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形内角和的另一个推论：三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角.3.三角形外角和定理（1）在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和. （2）三角形外角和为360°.1．（2020·阳江市阳东区大八镇大八初级中学月考）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C =25°，则∠E等于（）A．60°B．25°C．35°D．45°2．（2020·浙江西湖期末）如图,直线l 1∥l 2,线段AB 交l 1,l 2于D ,B 两点,过点A 作AC ⊥AB ,交直线l 1于点C ,若∠1＝15︒,则∠2＝（ ）A ．95︒B ．105︒C ．115︒D ．125︒3．（2020·辽宁丹东期末）如图，//AB CD ，90ACB ︒∠=，CE AB ⊥，垂足为E ，图中与CAB ∠互余的角有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2020·全国）如图，在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，AB CF ，AD CE ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°5．（2020·银川月考）如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C (∠C 除外)相等的角的个数是( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．（2020·山东芝罘期中）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AC上一点，且∠ADE＝∠B，则∠CDE的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．70°7．（2020·枣庄市市中区实验中学月考）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝( )A．45°B．54°C．56°D．66°8．（2020·四川省营山中学校期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于( )A．40°B．60°C．80°D．140°9．（2020·江苏东台月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A= 50°,∠D =10°，则∠P的度数为( )A．15°B．20°C．25°D．30°10．（2020·南通市八一中学）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB 于点E，若∠A＝40°，∠P＝38°，则∠C的度数为（）A．36°B．39°C．38°D．40°11．（2019·四川江油期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠F的度数为（）A．120°B．135°C．150°D．不能确定12．（2020·全国）如图，在ABC ∆中，A ABC CB =∠∠，BD 是ABC ∆内角ABC ∠的平分线，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，CD 是ABC ∆外角ACF ∠的平分线，以下结论不正确的是（ ）A ．//AD BCB ．2ACB ADB ∠=∠C ．90ADC ABD ∠=-∠ D ．BD 平分ADC ∠13．（2020·博兴县吕艺镇中学月考）如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，∠A =100°，则∠B G C =_________°．14．（2020·辽宁中山期末）如图，AE 平分,BAC BE AE ∠⊥于,//E ED AC ，,BAC a ∠=则BED ∠的度数为________________．(用含α的式子表示)15．（2020·福建新罗期末）一副三角尺如图摆放，D 是BC 延长线上一点，E 是AC 上一点，90B EDF ∠=∠=︒，30A ∠=︒，45F ∠=︒，若EF ∥BC ，则CED ∠等于_________度．16．（2020·江苏张家港期末）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝120°，∠B 与∠ADC 互为补角，点E 在BC 上，将△DCE 沿DE 翻折，得到△DC ′E ，若AB ∥C ′E ，DC ′平分∠ADE ，则∠A 的度数为______°．17．（2019·温州外国语学校期中）如图1，已知长方形坻带ABCD ，//AD CD ，//AD BC ．将纸带沿EF 折叠后，点B 、C 分别落在H 、G 的位置．再沿GF 折叠成图2．点A 、D 分别落在Q 、H 的位置，已知24108QHG GFH ∠=∠-︒，则∠=EFC _______．18．（2020·哈尔滨市第四十七中学期中）在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，Δ4BCE S =，则CE =__________．19．（2020·江苏工业园区期末）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，F G⊥AE，垂足为H，F G与AB相交于点G．（1）求∠A G F的度数；（2）求∠DAE的度数．20．（2020·福建惠安期末）在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF 所在的直线交于点D．（1）如图1，若∠B＝60°，求∠D的度数；（2）如图2，把△ACD沿AC翻折，点D落在D′处．①当AD′⊥AD时，求∠BAC的度数；②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系，并说明理由．21．（2020·江苏邳州期中）如图，△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高．（1）若∠B＝35°，∠C＝75°，求∠DAE的度数；（2）若∠B＝m°，∠C＝n°，（m＜n），则∠DAE＝°（直接用m、n表示）．22．（2020·湖北武汉期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分线交AE于G．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠BAC＝∠DAE，∠A G C＝2∠CAE．求∠CAE的度数；（3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠A G C＝3∠CAE，直接写出∠CAE的度数．23．（2019·洛阳市第五十四中学月考）如图，在ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ．（1）若60ABC ∠=︒，70C ∠=︒，求DAE ∠的度数． （2）若70C ∠=︒，求∠BOE 的度数．（3）若ABC α∠=，()C βαβ∠=<，则DAE =∠______用含α、β的式子表示)24．（2020·北京朝阳期末）线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接P A，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．（1）若点P在线段AD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AM与DN的位置关系，并证明；（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．专题三 角平分线的性质与判定强化1.角的平分线的性质（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. （2）用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF .2.角的平分线的判定（1）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.（2）用符号语言表示角的平分线的判定若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB3.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E . （2）分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C . （3）画射线OC . 射线OC 即为所求.124.三角形角平分线的性质（1）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.（2）三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为，旁心为，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.1．（2020·南通市通州区平潮初级中学期中）如图，在△ABC 中，E 为AC 的中点，AD 平分∠BAC ，BA ：CA =2：3，AD 与BE 相交于点O ，若△OAE 的面积比△BOD 的面积大1，则△ABC 的面积是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．111P 234,,PPP2．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校月考）如图，已知CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD=ED②∠A=∠BED③∠C=∠B④AC=EB，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是（）.A．①③B．②④C．①④D．②③3．（2020·吉林长春外国语学校月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC 的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为（）A．13 B．14 C．15 D．214．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）如图所示，12∠=∠，34∠=∠，则下列结论正确的有（ ）①AD 平分BAF ∠；②AF 平分BAC ∠；③AE 平分DAF ∠；④AF 平分DAC ∠；⑤AE 平分BAC ∠．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．（2020·辽宁北镇期末）如图，//AB CD ，BE 和CE 分别平分ABC ∠和BCD ∠，AD 过点E ，且与AB 互相垂直，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若8AD ＝，则PE 的最小值为( )A ．8B ．6C ．5D ．46．（2020·陕西商州·期末）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，F G平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF＝70°，则∠A G F的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°7．（2020·辽宁凌海期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N 中在∠AOB的平分线上是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点8．（2020·云南昭通期末）如图，OP 平分AOB ∠，PD OA ⊥于点D ，点E 是射线OB 上的一个动点，若3PD =，则PE 的最小值（ ）A ．等于3B ．大于3C ．小于3D ．无法确定9．（2019·贵州遵义）如图，已知AEF DFE EH FH ∠=∠⊥,于点H ，EG 平分AEF ∠，平移EH 恰好到GF ，连接EG ，则下列结论：①//AB CD ；②EG HF =；③EH 平分BEF FH ∠，平分EFD ∠；④90GFH ∠=︒．其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2020·贵州赫章期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于12P Q的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（）A．2 B．2.4 C．3 D．411．（2020·湖北襄城期末）若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线()A．互相垂直B．互相平行C．相交或平行D．不相等12．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,BD CE 交于点F ，连接AF ，下列结论：①BD CE =；②BF CF ⊥；③AF 平分CAD ∠；④45AFE ∠=︒．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2019·广西玉林期末）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为14，12，8，其三条角平分线的交点为O ，则::ABOBCOCAOSSS=_____．14．（2020·山东牡丹期末）如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，8BC cm =，则DE DB +=________．15．（2020·南京外国语学校期中）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝21，则DE＝________．16．（2019·江苏高邮期中）如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC 于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于____．17．（2019·深圳实验学校中学部期中）如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠ACB=60°，D为△ABC外一点，DA平分∠BAC，且CBD=50°，则∠DCB的度数是_______.18．（2020·宜春市第三中学期末）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．19．（2020·山东日照期末）如图，点D为线段BC上的一点，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CE G=180°．（1）AD与EF平行吗，请说明理由：（2）若点H在FE的延长线上，且∠ED H=∠C，∠F=∠H，那么AD平分∠BAC吗，请说明理由．20．（2020·山东期末）如图所示，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，E G平分∠BEF，F G平分∠DFE，(1)若∠AEF＝50°，求∠EF G的度数．(2)判断E G与F G的位置关系，并说明理由．21．（2019·广东郁南期末）如图，直线AB 、CD 与MN 相交于M 、N ，∠1=105°，∠2=75°，E 、F 、O 分别在AB 、CD 、MN 上，OE OF ⊥．（1）求证：//AB CD ； （2）求34∠+∠的度数；（3）若分别在OE 、CD 上取点G 、H ，使得FO 平分CFG ∠，OE 平分AEH ∠，求证：//FG EH ．22．（2020·广西覃塘期末）如图，D ，E ，G 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，12180∠+∠=︒，3B ∠=∠．（1）请说明//DE BC 的理由；（2）若DE 平分ADC ∠，22B ∠=∠，判断CD 与EG 的位置关系，并说明理由．AB CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，23．（2019·广东中山期末）如图，已知//点P是射线EB上一点(与点E不重合)．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N作N H⊥FM于点H．（1）若∠BEF=64°，求∠FN H的度数；（2）猜想∠BEF和∠FN H之间有怎样的数量关系，并加以证明．。
第二讲 三角形的高、中线与角平分线(含解析)(人教版)
第二讲三角形的高、中线与角平分线【学习目标】1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念。
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法。
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法。
【温故知新】1.垂线的定义2.线段中点的概念3.角平分线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段中点。
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
【新课学习】知识点1：三角形的高1.定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
2.如图所示，AD是边BC上的高。
3.三角形的高的做法：锐角三角形的高直角三角形的高钝角三角形的高4. 三角形的三条边上的高的交点锐角三角形的高交于三角形内部一点；交点在内部的三角形是锐角三角形。
直角三角形的高交于直角顶点；交点在顶点的三角形是直角三角形。
钝角三角形的高所在的直线交于三角形外部一点。
交点在外部的三角形是钝角三角形。
5.与三角形高相关的解题方法（1）记住三角形面积公式=BC AD/2（2）等面积法。
=BC AD/2= AC BE/2= AB CF/26.例题演练【例题1】如图，于点B，于点C，且AC与BD相交于点E，则的边DE上的高是____，边AE上的高是_____；若，，，则______．【答案】AB；DC；．【解析】的边DE上的高为线段AB，边AE上的高为线段DC．知识点2：三角形的中线1. 三角形的中线定义在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. AE是BC边上的中线.2. 三角形的重心.每一个三角形都有三条中线，并且三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.【例题2】在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长。
【答案】20cm.【解析】∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25－BC.∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC＝25-BC＋AC＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.知识点3：三角形的角平分线1.三角形的角平分线的定义在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.注意：“三角形的角平分线”是一条线段.如上图线段AD是∠A的平分线。
三角形高、中线、角平分线,中垂线复习
• 1.已知：如图，D是BC上一点，AB=3㎝， AC=2㎝,AD是角平分线
• 求： S⊿ABD ：S⊿ADC
此时BD:CD=?AD是中线吗?
2.如图,CD是⊿ABC的AB上的高,CB是⊿ADC的
中线,已知AD=10,CD=6,求S⊿ABC,
1.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高AE是△ABC的角 平分线.已知∠BAC=82°,∠C=40°，求∠DAE的大小。
A
D
P
B
CE
FQ
R
锐角三角形----三条高都在三角形内部; 直角三角形-----两条就是直角边; 钝角三角形----钝角的两边上的高在三角形外
三角形的高
• 如图,AD,BE是BC,AC边上的高,
• 1) ⊿ABF中AF上的高是
;BF上的高
是 ; ⊿BDF中BD上的高是 .
• 2)若∠C=650,则∠CFD=
A
E
B
D
C
3.在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线 交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于 50，求BC的长；若∠BEC=70°，求∠A
• 4.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=12， ∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边 于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N。 (1)求△AEN的周长 (2)求∠EAN的度数
M
线段垂直平分线
• 性质1）到线段两个端点的距离相等
• 2）是线段的对称轴
1.如图，直线MN和直线DE分别是线段AB、BC
的垂直平分线，它们交于点P，试问PA与PC有
何大小关系？
M
P D
C
A
B
E
N
• 2.已知：如图，在△ABC中，BC的垂直平 分线交AC于E，垂足是D，△ABE的周长是 15cm，BD=6 cm，求△ABC的周长
解三角形之中线、角平分线、高线问题+课件-高2025届高三数学一轮复习
2
2
.
2
在△ABD 中,由余弦定理可得 AB =AD +BD -2AD·BD·cos∠ADB,
得 cos∠ADB= .
.
跟踪训练
三角形的角平分线问题
如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,sin 2C=sin B,且AD为BC
知识梳理
知识梳理
3、等面积法：
因为
所以
+
∆
+
=
∆
=2
1
1
，所以2 ∙
∆
2
整理的：
2
=
+2 ∙
2
2
+
2
（角平分线长公式）
【作用】
： ①利用角度关系建立各三角形之间的面积关系
②通过面积关系式求解角分线长度
1
1 1 1
a b c
1、 h1，h2，h3 分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 h1 : h2 : h3 : :
−
2 +∙
推导过程：在∆
中，cos = 2 2 ∙ 2 2 ， 2 2
2 2
联立两个方程可得：
2+ + 2= 2(
2+ + )
2 )
联立两个方程可得：
=
2(
联立两个方程可得：
+
=
2(
+
)
2+
2−
2
在∆
中，cos = 2 ∙
【作用】建立中线与三边间的关系式，进而求解长度问题
【作用】建立中线与三边间的关系式，进而求解长度问题
三角形高线中线角平分线的计算课件高三数学一轮复习
则 cos B＝ 1－sin2B＝277，
所以 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 23×277＋12× 721＝31421，
由sinc C＝sinb B可得3
c ＝c－1，解得 21 21
c＝3.
14 7
(2)设AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
解 由(1)可得b＝c－1＝2，
即 BC＝ 7，
所以 S△ABC＝12AB·ACsin 120°＝12BC·AH，所以 AH＝AB·ACBsCin 120°＝ 721， 由向量数量积的几何意义得A→B·A→H＝|A→H|2＝ 7212＝37.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.在△ABC 中，B＝34π，BC 边上的高为 BC 长度的一半，则 cos A＝( A )
所以 sin A＝31010. (2)由正弦定理siBnCA＝siAnBC，
得 BC＝siAnBC·sin A＝ 52×31010＝3 5. 2
由余弦定理 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C， 得 52＝AC2＋(3 5)2－2AC·3 5cosπ4， 整理得 AC2－3 10AC＋20＝0，
B＝sin
Bcos
A，
又因为 0<B<π，所以 sin B>0，所以 cos A＝ 23，
因为 0<A<π，所以 A＝π6.
(2)若 b＝3，c＝ 3，求△ABC 中 BC 边上高线的长.
解 由已知及余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋3－2×3× 3× 23＝3， 所以 a＝ 3， 设△ABC 中 BC 边上的高线长为 h， 所以 S△ABC＝12bcsin A＝12ah，解得 h＝32. 故△ABC 中 BC 边上的高线的长为23.
三角形高,中线,角平分线综合应用题讲级
三角形高,中线,角平分线综合应用题讲级摘要：一、三角形高、中线、角平分线的概念和性质1.三角形高2.三角形中线3.三角形角平分线二、三角形高、中线、角平分线的综合应用题1.利用三角形高求面积2.利用三角形中线求面积3.利用三角形角平分线求面积4.综合应用题三、解题方法和技巧1.利用勾股定理求高2.利用中线向量表示3.利用角平分线向量表示4.面积公式和性质正文：在几何学中，三角形是一种基本的几何图形，有许多与三角形相关的性质和定理。
在解决三角形问题时，三角形的高、中线和角平分线是经常用到的工具。
本文将详细介绍三角形高、中线、角平分线的概念和性质，并通过例题讲解如何综合应用这些性质来解决实际问题。
一、三角形高、中线、角平分线的概念和性质1.三角形高三角形高是指从三角形的一个顶点到与其相对的边所在的直线的垂线段。
根据高的性质，三角形的三条高所在的直线相交于一点，称为垂心。
2.三角形中线三角形中线是指从三角形的一个顶点到对边中点的线段。
根据中线的性质，三角形的三条中线相交于一点，称为重心。
3.三角形角平分线三角形角平分线是指从一个角的顶点到对边所在直线的线段，将这个角平分成两个相等的角。
根据角平分线的性质，三角形的每条角平分线都将与其相对的边分成相等的线段。
二、三角形高、中线、角平分线的综合应用题1.利用三角形高求面积已知一个三角形的底边长为a，高为h，求三角形的面积。
根据面积公式S=1/2 * 底* 高，可得S=1/2 * a * h。
2.利用三角形中线求面积已知一个三角形的底边长为a，高为h，求三角形的面积。
根据中线性质，三角形的中线等于底边长度的一半，即a/2。
根据面积公式S=1/2 * 底* 高，可得S=1/2 * (a/2) * h = 1/4 * a * h。
3.利用三角形角平分线求面积已知一个三角形的底边长为a，高为h，求三角形的面积。
根据角平分线性质，三角形的角平分线将底边分成两段，每段长度为a/2。
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抢答：
1、下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D D C B (A) A (B) A (C) D B B B C D (D) A
C
我 来 分 地
• 如图有一块三角形的菜地，现在要求 分成面积比为2：3：4三块，且图中 A处是三块菜地的共同的水源处。问 ：怎样分？ A
锐角三角形的三条高
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 锐角三角形的三条高交于一点. B
A F
O C E
（3）锐角三角形的三条高是 D 在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。 使折痕过顶点,顶点的 (4) 如果给你一张三角形的纸片 对边边缘重合 你能用折纸的办法得到三角形的高吗?
1 △ADC的面积= DC×AE 2
A
B
E
D
C
∴ △ABD的面积等于△ADC的面积
也就是说：三角形的任意一条 中线把这个三角形分成了两个 面积相等的三角形。
三角形的高
(2)合作探究：怎样画三角形的高线？（画法）
A A A
G
F D C B C B F C E D
B
E
三角形的高
①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都 有高线，三角形的三条高线所在直线相交与 一点。 ②锐角三角形的高线交于三角形的内部一点 。直角三角形高线交于直角顶点。钝角三角 形高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段，而垂线是直线。
直角三角形的三条高
(1) 直角三角形的三条高, 直角边BC边上的高是 AB ; 直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ; B
●
A D C
（2）直角三角形的三条高有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点.
钝角三角形的三条高
A E ∟ D G
（1）画出钝角三角形的三条高 。 （2）钝角三角形的 三条高交于一点吗？ 钝角三角形的高不相 交于一点。 （3）它们所在的直线交于一点 吗？
A
解：∵ CD是△ ACB的角平分线， 且 ∠ACB=50°
D
E
∴ ∠ACD= ∠DCB=25°
B
C
又∵ DE∥BC ∴ ∠EDC= ∠DCB=25°
∴ ∠EDC的度数为25°
B
C
钝角三角形的三条高所在 的直线相交于一ห้องสมุดไป่ตู้。
巩固应用，展示自我 。
1,下列图形中，哪些图形中的AD是△ABC的高？
(1) (2)
(3) AE是△ABC的高 (4)
若D是BC的中点，则△ABD的面 积等于△ADC的面积。为什么？ 解:如图，过点A作AE⊥BC于点E ∵D是BC的中点 ∴BD=DC 1 ∵ △ABD的面积= 2 BD×AE
·
B
··
C
巩固应用，展示自我 。
1、某农场有一块三角形土地，准备分成面积相 等的4块，分别承包给4位农户，请你设计两种不 同的分配方案。
A
B D D是BE的中点，
C E F F是EC的中点 E是BC的中点， 。
巩固应用，展示自我 。
1.如图，在△ABC中∠ACB=50°， CD是△ ACB的角平分线，DE∥BC, 求∠EDC的度数。