数列的极限经典习题
数列的极限经典习题
Chap1 数列的极限1. 设()01,2,n x n >=及lim n n x a →∞=,用N ε-语言, 证明: n =.证0n x >, 0a ∴≥.(1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=,下证0n =.0ε∀>, 则存在0N >, 当n N >时, 200n n x x ε<=-<.ε<,0ε<.0n ∴=.(2) 当0a >时, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时, n x a -<.ε=<<.n ∴=综上两方面 ,即证.2. 已知lim n n x a →∞=, 用N ε-语言, 证明: n =证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时, 2n x ε<;ε<,此即0n ==.(2) 当0a ≠时,因为2222233044+=+≥>.令234M =,lim n n x a →∞=, 则对0ε∀>,存在0N >, 当n N >时,有n x a M ε-<.22n x a-=+1n x a M M Mεε-≤<⋅=n ∴=3. (算术平均收敛公式)设lim n n x a →∞=.令12nn x x x nξ+++=, 求证:lim n n a ξ→∞=.证法1 由施笃兹公式12lim limnn n n x x x nξ→∞→∞+++=()()()12121l i m1n n n x x x x x x n n -→∞+++-+++=--l i m n n x a →∞==.证法 2 由lim n n x a →∞= , 则0ε∀>, 存在10N >, 使当1n N >时, 有2n x a ε-<. ①()1112111nN N n x x x a x a x a x a x a nn++++-≤-++-+-++-令111N c x a x a =-++-, 那么1212nx x x n N c a nn n ε+++--≤+⋅ . ②存在20N >, 使当2n N >时, 有2c n ε<. 再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有1212222nx x x n N a nn εεεεε+++--<+⋅<+=.12lim limnn n n x x x a nξ→∞→∞++∴==.4. (几何平均收敛公式)设()01,2,n x n >=. 且lim n n x a →∞=. 证明: n a =.证l i m n n x a →∞=, limln ln n n x a →∞∴=.再由算术平均收敛公式可知()121ln ln ln ln lim n x x x a nn n ee a ++→∞∴===.5. 证明: 1n =, 其中1a >.证 令11n a α-= ,则0α>, 依伯努利不等式, 有()()11111n na n n a αα=+≥+=+-,即111n a a n--≤.111n a ε=-≤,只要1a n ε-<.所以,有1a n ε->.取1a N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时, 就有1a nε-<,1ε<. 6. 证明: 若lim n n a a →∞=, 则lim n n a a →∞=. 当且仅当a 为何值时逆命题也成立.证 由题设 lim n n a a →∞=, 知0ε∀>,0N ∃>, 当n N >时, 皆有n a a ε-<.从而当n N >时总有n n a a a a ε-≤-<,所以lim n n a a →∞=.当且仅当0a =时,逆命题也成立.7. 设a R ∈, 且1a >,用N ε-语言, 证明: lim0nn na →∞=. 证 当2n ≥时, 有()()()()()2221121111n n n n n a n n a n a a =<=----+-⎡⎤⎣⎦(由二项展开式得) 要使()()2211n a ε<-- ,只需()2211n a ε>+-.即若取 ()2221N a ε⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 则当n N >时, 就有()()2211n n a n n a ε<<--, 所以lim0nn n a →∞=. 数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,1a >,a R ∈是无穷小序列. 8. 利用单调有界性证明: 设10x a =≥, 10y b =≥,且1n x +=,()112n n n y x y +=+.1,2,n = . 则lim lim n n n n x y →∞→∞=.证 0n x ≥, 0n y ≥是显然的.由112n nn n x y y x +++=≥= , 得1n n nx x +== , 122n n n nn n x y y y y y +++=≤= . 知{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少 , 又1n n x y y ≤≤, 1n n y x x ≥≥,所以{}n x ,{}n y 有界. 即lim n n x A →∞=,lim n n y B →∞=存在.对12n nn x y y ++=两边取极限,得 ()12B A B A B =+⇒=.9. 证明: 数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加 , 数列111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调减少 ,两者收敛于同一极限.证 记11n n x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,111n n y n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由平均值不等式()121n a a a n≤+++ ,知()111111111n nn n n n x x n n ++++⎡⎤⎛⎫=+⋅≤=⎢⎥⎪+⎝⎭⎣⎦ ,()()21111111112n n n n n n n n y n n y ++++⋅++⎡⎤⎛⎫=⋅≤=⎢⎥⎪++⎝⎭⎣⎦, 即{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少, 且1114n n x x y y =<<<= .所以{}n x ,{}n y 单调有界,必定收敛.由11n n y x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭,知它们有相同的极限.即 111lim 1lim 1nn n n e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10. 证明: 若111ln 2a n n=+++-. 则数列{}n a 收敛. 证 由上例知 11111nn e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 两边取对数得 ,()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即有不等式111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ . 则()11ln 1ln 1n n a a n n n +-=-+++11ln 101n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭, 111ln 2n a n n =+++-231l n +l n l n l n12n n n +>++-()ln 1ln 0n n =+->即{}n a 单调减少有下界 , 所以{}n a 收敛.11. 设数列{}n x 满足: 01x =, 1n x +=1,2,3n = .证明: 数列{}n x 收敛, 并求lim n n x →∞.证 01x =,1212x ==,3422x ==.用数学归纳法可证()21112222,0,1,2n nnn x n --===①11212122n n n n ----<. 由①式知()10,1n n x x n -<=即{}n x 单调递增.再由①式知12n x ≤<, {}n x ∴收敛.设lim n n x a →∞=, 则1a ≥.12n x += , 两边取极限有: a =22a a ∴= , 又0a ≠.2a ∴=, 即lim 2n n x →∞=.12. 设0a >, 10x a <<, 12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1,2,3n = .证明: 数列{}n x 收敛, 并求其极限.证 先用数学归纳法证明0n x a <<,n N ∈①当1n =时, 结论成立, 归纳假设结论对n 成立, 再证1n +时, 因为()2112n n n n x x x x a a a a +⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭,10n x a +∴<<. 即①式成立.1221n n n x x ax a a+=->-=. {}n x ∴单调递增, 且有上界. lim n n x →∞∴存在. 设为lim n n x b →∞=. 由12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,两边取极限得 2b b b a ⎛⎫=-⎪⎝⎭②由①式及{}n x 单调递增, 显然0b ≠, 由②式解得b a =.lim n n x a →∞∴=.。
数列的极限例题及详解
数列的极限例题及详解
极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了某种函数在某点附近的行为趋势，同时提供了有效的技术来解决数列的极限问题。
我们本文将讨论数列的极限问题，包括定义和几个例子。
一.定义
极限是一个抽象的概念，它指的是一个数列中的每一项都趋近一定的值，这个值称为数列的极限。
另外，数列的极限也称为极限点或极限值。
当然，数学家们对极限的定义更加严格，但这些都不重要，我们只需要理解数列的极限概念即可。
二.例题
1.设a_n=(-1)^n/n，求a_n的极限。
解：
首先，由于(-1)^n为一个交替变化的算子，它的值在n变大时无论n的奇偶性如何，(-1)^n的值都保持不变，因此极限就是
(-1)^n/n的值。
考虑n变大时，(-1)^n/n的值接近于0，所以a_n
的极限就是0.
2.设a_n=(1+1/n)^n，求a_n的极限。
解：
这个例题比较特殊，因为算子(1+1/n)^n这里n和指数相关，考虑当n变大时，(1+1/n)^n的值就接近于e，所以a_n的极限就是e.
3.设a_n=1/n，求a_n的极限。
解：
由于1/n的值是从1开始逐渐减小，当n变大时，1/n的值就逐渐接近于0，所以a_n的极限就是0.
三.总结
本文讨论了数列的极限问题，先介绍了数列极限的定义，然后举例说明了3种数列的极限问题，这其中包含了数列算子计算中比较常见的概念，如交替系数，和指数极限等。
希望本文对读者有所帮助。
数列的极限与无穷练习题
数列的极限与无穷练习题题目一：计算数列极限1. 设数列 {an} 的通项公式为 an = n/(n+1)，求该数列的极限。
解析：要求数列的极限，可以通过递推、分式拆分等方法计算。
给定的数列通项公式为 an = n/(n+1)，将该式进行变形，得到：an = n/(n+1) = 1 - 1/(n+1)当 n 无限增大时，1/(n+1) 的值趋近于 0，因此数列的极限为：lim(n→∞) an = lim(n→∞) (1 - 1/(n+1)) = 1所以，数列 {an} 的极限为 1。
题目二：计算数列极限2. 设数列 {bn} 的通项公式为 bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4)，求该数列的极限。
解析：给定的数列通项公式为 bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4)，将该式进行较高次项分式除法，得到：bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4) = 2/3 + (7/9n) + O(1/n^2)当 n 无限增大时，1/n 的值趋近于 0，O(1/n^2) 可忽略不计。
因此，数列的极限为：lim(n→∞) bn = lim(n→∞) (2/3 + (7/9n)) = 2/3所以，数列 {bn} 的极限为 2/3。
题目三：计算数列极限3. 设数列 {cn} 的通项公式为 cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n)，求该数列的极限。
解析：给定的数列通项公式为 cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n)，将该式进行较高次项分式除法，得到：cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n) = (1 + (4/3)^n) / ( (1/2)^n + (5/2)^n )当 n 无限增大时，(4/3)^n 的值趋近于无穷大，而 (1/2)^n 和 (5/2)^n的值趋近于 0。
因此，数列的极限为：lim(n→∞) cn = lim(n→∞) (1 + (4/3)^n) / ( (1/2)^n + (5/2)^n ) = ∞所以，数列 {cn} 的极限为无穷大。
数列极限的例题和习题
第1-7节 数列极限的例题和习题下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题，初学者能够完全读懂其中例题的证明是不容易的，能够独立完成后面那些习题就更不容易.因此，你可以先粗读一下(因为不管你读懂多少，都暂时不会影响到你学习微积分)，有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它.读一读它，你会在做题方法上受到严格的训练.称一个数列),2,1( =n x n 为无穷小量，即lim 0n n x →∞=，用“N ε-”说法，就是它满足条件：称一个数列),2,1( =n x n 为无穷大量，即lim n n x →∞=∞，用“M N -”说法，就是它满足条件：特别，lim nx =+∞，就是它满足条件：而lim nn x →∞=-∞，就是它满足条件：无穷大量与无穷小量是两个对偶的概念，即当0(1,2,)n x n ≠= 时，若n x 是无穷大量，则1n x 是无穷小量；若n x 是无穷小量，则1nx 是无穷大量. 在第0章(看我做题)中，那些有关数列极限的习题，如果说可以凭借直觉和四则运算规则能够做出来的话，那么下面这些结论，就必须用“N -ε”说法才能够证明.你看一看其中的证明，可以学习到如何用“N -ε”说法做数列极限证明题的方法.例1 设有数列),2,1( =n x n .证明：若有极限n n x ∞→lim ，则算术平均值的数列12(1,2,)nn x x x y n n+++==也有极限且12limlim nn n n x x x x n→∞→∞+++= .证 设lim n n x a →∞=. 考虑1212()()()n n n x x x x a x a x a y a a n n+++-+-++--=-=任意给定正数ε. 因为lim n n x a →∞=，所以有正整数1N 使1||()2n x a n N ε-≤≥. 于是，第1章 函数的极限和连续函数25251212()()()n n n x x x x a x a x a y a a n n+++-+-++--=-= 11121()()()()()N N n x a x a x a x a x a n--+-++-+-++-=11211()()()(1)2N x a x a x a n N n n ε--+-++--+≤+⋅1121()()()2N x a x a x a n ε--+-++-≤+再取正整数1N N ≥足够大，使当N n ≥时，右边第一项也小于2ε. 这样，当N n ≥时，就会有||22n y a εεε-≤+=，即证明了有极限12limlim nn n n x x x a x n →∞→∞+++==请注意．．．：有极限12lim n n x x x n→∞+++ ，不一定有极限lim n n x →∞！考虑数列 1(1):1,0,1,0,1,0,,,2nn x --【应用】作为例1的应用，例如⑴ 1111123lim lim 0n n n n n →∞→∞++++== ； ⑵limlim 1n n →∞=. 例2 若),2,1(0 =>n x n 且有极限lim n n x →∞，则几何平均值的数列),2,1(21 ==n x x x z n n n也有极限且lim n n n x →∞=.证 根据极限单调性，必有lim 0n n x →∞≥. 首先设lim 0n n x →∞=，ε为任意给定的正数.先取正整数1N 使12()n x n N ηε≤=>，则1()2n N nn εηη-=→=→∞(你知道为什么吗？见第0章题33)因此，必有正整数1N N ≥，使当N n ≥ε≤，即0lim n n n x →∞==【注】假若你知道“几何平均值不超过算术平均值”的话, 根据例1的结论, 则有1200()nx x x n n+++→→∞26所以lim 0lim n n n x →∞==.其次，设lim 0n n x a →∞=>，ε为任意给定的正数(不妨认为1<ε).因为lim1nn x a→∞=，所以有正整数N 使11()nx n N aεε-≤≤+> 从而有(1)(1)n N n Nn n n z a εε---≤=≤+ 让∞→n ，则得1lim1nn z aεε→∞-≤≤+ (你知道为什么吗？见第0章题33)由于正数ε可以任意地小，故有lim 1n n za→∞=，即lim lim n n n a x →∞==【应用】作为上述结论的应用，若0(1,2,)n x n >= 且有极限1lim n n nxx +→∞，则也有极限nlim n 1limn n nx x +→∞=这是因为1(2)1lim lim n n n n n n n nx x x x +→∞→∞-==例 请你根据lim n 1limn n nx x +→∞=，求极限：⑴n (答案：e )； ⑵n (答案：e 4).例3 设有数列),2,1( =n x n .⑴ 若lim 0n n x →∞=，则必有单调增大数列n y ，使lim n n y →∞=+∞且lim()0n n n y x →∞=；⑵ 若lim n n x →∞=+∞，则必有单调减小数列n y ，使lim 0n n y →∞=且lim()n n n y x →∞=+∞.证 下面证明⑴.你可用类似的方法证明⑵.设lim 0n n x →∞=. 根据数列极限的定义，必有正整数1N 使11||()2n x n N ≤≥；同理，必有正整数12N N >使221||()2n x n N ≤≥. 一般地，必有正整数1k k N N +>使第1章 函数的极限和连续函数2727111(;1,2,)2n k k x n N k ++≤≥= 现在，当1n N <时，取0n y =；当12N n N ≤<时，取1=n y ；一般地，当1k k N n N +≤<时，取),2,1( ==k k y n .显然，数列n y 是单调增大的且lim n n y →∞=+∞； 另一方面，由于1||||||(;1,2,)2n n n n k k kky x y x N n N k +=≤≤<= 所以有0lim ||lim02n n kn k ky x →∞→∞≤≤=(见第0章题32)即lim()0n n n y x →∞=.【注】这里是根据数列极限的定义, 构造出了一个满足题中要求的数列n y .在数学中, 称这种证明方法为“构造性证明”.例4 海因定理(函数极限与数列极限的关系)(1)有极限lim ()x af x A →=的充分必要条件是：对于以a 为极限的任何数列()n x a ≠，都有极限lim ()n n f x A →∞=;(2)有极限lim ()x f x A →∞=的充分必要条件是：对于任何数列()n x n →∞→∞，都有极限lim ()n n f x A →∞=.证 为简单起见，下面证明结论(1).你可用类似的方法证明结论(2).设ε为给定的任意正数.若lim ()x af x A →=，则有正数δ，(※) 当0||x a δ<-≤时，有|()|f x A ε-≤又因为n x a ≠且lim n n x a →∞=，所以有正整数N ，当N n ≥时，0||n x a δ<-≤；根据结论(※)，|()|n f x A ε-≤即lim ()n n f x A →∞=.反之，设上面(1)中的条件满足.(反证法)假若A 不是函数()f x 在点a 的极限，用“δε-”的话说，就是：至少有一个正数0ε，不论取正数δ多么小，总有对应的点δx ，使 0||x a δδ<-≤，但0|()|f x A δε->.于是，当取正数1(1,2,)n n n δ== 时，就会有相对应的点),2,1( =n x n ，使10||n x a n<-≤，但0()0n f x A ε->>. 这说明，虽然有lim n n x a →∞=，但A 不是数列)(n x f 的极限，这与假设lim ()n n f x A →∞=矛盾.【注】海因定理就像是架在函数极限与数列极限之间的一座“桥梁”，沟通了两者之间的关系.因此，不仅可以把数列极限看作函数极限的特例，而且函数极限的某些结论，根据海因定理，28可以用数列极限的相应结论来证明.在有的微积分教科书中，先讲数列极限的理论，然后根据海因定理，把有关数列极限的结论转移到函数极限上.回答问题⑴ 一个数列),2,1( =n x n 的前面有限个项(如),,,21m x x x ，对该数列是否有极限或有极限时的极限值有影响吗？⑵ 正数数列的极限一定是正数吗？⑶若),2,1( =>n y x n n 且有极限n n x ∞→lim 与n n y ∞→lim ，则有>∞→n n x lim n n y ∞→lim 还是有n n n n y x ∞→∞→≥lim lim ？⑷ 有界数列一定有极限吗？无界数列一定没有极限吗？⑸ 若数列n x 和n y 都没有极限，那么数列)(n n y x +与n n y x 一定也没有极限吗？ ⑹ 若数列n x 有极限，而数列n y 没有极限，那么你对数列)(n n y x +是否有极限，可以做出什么结论？⑺ 若lim n n x c →∞=，则必有lim n n x c →∞=吗？反之如何？答案：⑴没有；⑵不一定，例如正数数列1n的极限是0；⑶n n n n y x ∞→∞→≥lim lim ；⑷有界数列不一定有极限，例如n n x )1(-=就没有极限；无界数列一定没有极限，因为有极限的数列是有界数列；⑸不一定，例如1)1(,)1(--=-=n n n n y x ，则)(n n y x +与n n y x 都有极限；⑹一定没有极限.(反证法)若)(n n y x +有极限，则n n n n x x y y -+=)(也有极限，与数列n y 没有极限矛盾.⑺是，因为||||n n x c x c -≤-；反之不成立.习题·提示和选解1.下面的习题都出现在第0章(看我做题)中，你不会做时，可去再看一下那里的做法.证明：⑴lim 1n →∞⎛⎫++= ； ⑵ {}b a b a nnnn ,max lim =+∞→(其中0,0>>b a )； ⑶ 1lim =∞→nn n ； ⑷lim 0!nn a n →∞=；⑸135(21)lim 0246(2)n n n →∞⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅ ；⑹ lim 1n .2.证明：⑴ 211lim 36k nn k k n k =→∞==+∑； ⑵ 2311lim 39k n n k k n k=→∞==+∑；⑶lim 1k n n k =→∞==；⑷ lim 1k n n k =→∞==. 提示:用夹挤规则证.第1章 函数的极限和连续函数29293.证明：若lim n n x →∞=+∞，则也有12limnn x x x n→∞+++=+∞ .提示：参考例1的证明.4.设有lim ,lim n n n n x a y b →∞→∞==. 证明：1211limn n n n x y x y x y ab n -→∞+++=提示：设(lim 0),(lim 0)n n n n n n n n x a y b ααββ→∞→∞=+==+=，则1111()()k n k k n k n k k k n k x y a b ab a b αββααβ-+-+-+-+=++=+++于是，121111k nn n n k n k k x y x y x y x y =--+=+++=∑ 11111k nk nk nn k k k n k k k k nab a b βααβ===-+-+====+++∑∑∑5.设0(1,2,)n y n >= 且12()n n y y y s n +++=→+∞→∞ .证明：若有极限lim n n x →∞，则也有极限112212limlim n nn n n n x y x y x y x y y y →∞→∞+++=+++提示：设lim n n x c →∞=，则(lim 0)n n n n x c αα→∞=+=. 于是，11221112()k nk n k kk kn nk k nnnx y c y x y x y x y y y y s s α====++++==+++∑∑ 1k nk kk ny c s α===+∑6.设0(1,2,)n y n >= 且12()n n y y y s n +++=→+∞→∞证明：若有极限limnn nx y →∞，则也有极限 1212limlim n n n n n nx x x xy y y y →∞→∞+++=+++提示：用n n x y 替换上一题中的n x .7.施笃兹(Stolz)定理 若数列n x 与n y 满足条件： (i)-<<<<< 121n n y y y y , 且lim n n y →∞=+∞;(ii)有极限11lim n n n n n x x y y -→∞---;则也有极限limn n nx y →∞，且11lim lim n n n n n n n n x x x y y y -→∞→∞--=-.证 令111,(2,)n n n z y z y y n -==-= ，则0(2)n z n >≥且3012()n n n s z z z y n =+++=→+∞→∞再令111,(2,3,)n n n w x w x x n -==-= ，则1212n nn n w w w x z z z y +++=+++ （※） 根据假设条件(ii)，有极限lim n n nw z →∞11lim n n n n n x x y y -→∞--=-，而根据上式(※)和题6，则有极限121121lim lim lim lim n n n nn n n n n n n n n n x w w w w x x y z z z z y y -→∞→∞→∞→∞-+++-===+++- 【注】作为施笃兹定理的应用，则有112limp p pp n n n +→∞+++ (p 为正整数)11lim (1)p p p n n n n ++→∞=-- 1111lim(1)(1)(1)2!pn p p p p p n p p n n p n n →∞++-+=+⎡⎤--++-+-⎢⎥⎣⎦11p =+ 8.设有数列(1,2,)n x n = .证明：若2lim()0n n n x x -→∞-=，则1lim0n n n x x n-→∞-=证 设ε为任意给定的正数.因为2lim()0n n n x x -→∞-=，所以有正整数K ，使22n n x x ε--≤（n K ≥）于是，当n K ≥时，1212()()n n n n n n x x x x x x -----=---[]21323()(1)()()n n n n n n x x x x x x -----=-+----221323()(1)()(1)()n n n n n n x x x x x x -----=-+--+--213()(1)()n n n n x x x x ---=-+--[]22434(1)()()n n n n x x x x ----+---- 221324()(1)()(1)()n n n n n n x x x x x x -----=-+--+--+1111(1)()(1)()n K n K K K K K x x x x ---+--+--+--因此，当n K ≥时，11()2n n K K x x n K x x ε---≤-+-，从而有11122n n K K K K x x x x x x n K n n n nεε-------≤+≤+()n K ≥ 再取正整数N ()K ≥足够大，使当n N ≥时，12KK x x n ε--≤. 于是，当n N ≥()K ≥时， 11222n n K K x x x x n n εεεε----≤+≤+= 即1lim 0n n n x x n-→∞-=.第1章 函数的极限和连续函数 31319.若正项级数1(0)n n n n x x =∞=≥∑收敛，且通项n x 单调减小，证明lim 0n n n x →∞=.证 因为1(0)n n n n x x =∞=≥∑收敛，所以余和120()m m m r x x m ++=++→→∞ (见下注)对于m n >，由于通项n x 单调减小，所以有12()n m m n m n m x x x x r ++-≤+++≤ ，即 ()mn r x n m n m≤>- 于是，当m n 2≥时，02()222n m m m m n n nn x r r r r n n n n m m ≤≤=≤=-+-任意给定正数ε，先取m 足够大，使2m r ε≤，再取正整数m N 2≥，则当N n ≥时，02n m n x r ε≤≤≤即lim 0n n n x →∞=【注】设级数1n n n x s =∞==∑，余和12,m m m m r x x s s ++=++=- 则lim lim 0m m m m r s s s s →∞→∞=-=-=在求方程的近似解时，常常会得到叠代数列（逐次逼近数列）.当它收敛时，它能够逐步接近精确解.因此，就需要研究叠代数列的收敛性（不必求出数列的极限值），有时还可以进一步求出叠代数列的极限值.例如，10.研究数列n x 的收敛性.若收敛，试求极限lim n n x →∞.⑴ 设0x a =和1x b =为已知实数.令11(1,2,)2n nn x x x n -++== 解 0101211(1)222x x x x b ax x x +---=-==-， 121232222x x x x x x x +--=-=22(1)2b a-=-，323234333(1)222x x x x b ax x x +---=-==-，一般地， 111(1)2n n n n b a x x -----=-. 将以上这些等式依次相加，则得3223112311(1)(1)(1)()2222n n n x x b a --⎡⎤-----=++++-⎢⎥⎣⎦111(1)11(1)11222222()()()()33131222n n n nb a b a b a a b -------⋅+=-=--→--=--⎛⎫- ⎪⎝⎭即1lim()3n n a bx x →∞--=. 因此， 12lim 333n n a b a b a bx x b →∞--+=+=+=⑵ 设10x c =>. 13(1)(1,2,)3n n nx x n x ++==+提示:一方面，103(1,2,)n x n +<<= ；另一方面，对于任何2n ≥，111113(1)3(1)6()33(3)(3)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+--++--=-=++++ 即1()n n x x +-与1()n n x x --具有相同的符号.因此，数列(2)n x n ≥是单调增大或单调减小的有界数列.答案：lim n n x →∞=⑶ 设实数0c ≥.211,(1,2,)222nn x c c x x n +==+= 提示:首先指出，假如有极限lim n n x a →∞=，在2122nn x c x +=+两端取极限，则得二次方程220a a c -+=解得1a =因此，当1c >时，数列n x 没有极限.剩下来就是讨论01c ≤≤的情形.在这种情形下，01(1,2,)n x n ≤≤= 且1(1,2,)n n x x n +≥=.答案：lim 1n n x →∞=-11.设0b a >>. 数列n x 和(1,2,)n yn = 由下式所确定：1111,,2n nn n x y x a y b x y +++====证明它们有公共极限lim lim (,)n n n n x y a b μ→∞→∞== [称它为数a 和b 的算术-几何平均数]证 因为0ba >>，所以21x a x ====， 1121222x y a b b by b y +++==<==第1章 函数的极限和连续函数 33332a b+<，因此得1221x x y y <<<. 我们用相同的方法，可以证明一般的不等式 11(1,2,)n n n n x x y y n ++<<<=根据单调有界原理，有极限lim n n x α→∞= 和 lim n n y β→∞=在12n n n x y y ++=两端让n →∞，则得2αββ+=. 因此，αβ=，即 lim lim n n n n x y αβ→∞→∞===我们就把这个公共极限值记成(,)a b μ.【注】德国数学家高斯(Gauss)求出了这个极限值(,)a b μ，即(,)a b μ2Gπ=，其中2G x π=⎰（椭圆积分,见第6章）12.证明数列1n x =+- 有极限.证 根据单调有界原理，只要证明它是单调减小有下界就行了.事实上，11n n x x +⎛-=+++- ⎝1⎛-++- ⎝2=--0=<即1(1,2,)n n x x n +<= .其次，因为)2(1,2,)k k =<= ，所以22,2<<把这些同向不等式依次相加，则得不等式12++> 因此，()12n x =++-222>->-13.证明：数列1111ln (1,2,3,)23n x n n n=++++-=有极限.此时，设lim n n x C →∞=，则34 1111ln (lim 0)23n n n n x n C n εε→∞=++++-=+= 因此， 1111ln (lim 0)23n n n n C n εε→∞++++=++= 其中常数C 称为“欧拉常数”.证 我们要证明数列n x 单调减小且0(1,2,)n x n >= .事实上，11111ln 23n n x x n n +⎛⎫-=++++- ⎪⎝⎭ 1111ln(1)231n n ⎛⎫-++++-+ ⎪+⎝⎭111ln(1)ln ln 1011n n n n n ⎛⎫=+--=+-> ⎪++⎝⎭（见第1-6节） 即1(1,2,)n n x x n +>= . 另一方面，根据[]111111111ln(1)ln(1)ln 23k n k n k n k k k k k n k k ======++++=>+=+-∑∑∑ ln(1)ln n n =+> [11ln 1k k ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭,见第1-6节] 则有0(1,2,)n x n >= . 根据单调有界原理，必有极限lim n n x C →∞=. 14.证明：[]lim sin (2e !)2n n n →∞π=π. 证 因为1111e 11!2!3!!!n n n nθ=++++++ (01)n θ<<，所以 111111e 11!2!3!!(1)!(1)!(1)n n n n n θ+=++++++++++ 1(01)n θ+<< 因此，121111!e !11!2!!1(1)n n n n n n θ+⎡⎤⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦ 上式右端第一项是正整数，而第二项1211(1)n n R n n θ+=+++满足lim 0,n n R →∞=lim()1n n nR →∞=.注意到sin x 是以2π为周期的周期函数，所以[][]lim sin(2e !)lim sin(2)n n n n n n R →∞→∞π=πsin 22lim 2n n n n R nR R →∞⎡⎤π=π⎢⎥π⎣⎦2=π [注意，lim()1n n nR →∞=，0sin lim 1x x x→=]。
数学分析2数列极限总练习题
第二章 数列极限总练习题1、求下列数列的极限： (1)limn →∞n 3+3n n；(2)limn →∞n 5e n；(3)lim n →∞( n +2−2 n +1+ n ).解：(1)当n>3时，n 3<3n ，∴3= 3n n< n 3+3n n< 2·3n n=3 2n→3(n →∞). 由迫敛性定理可知：lim n →∞ n 3+3n n=3.(2)设a n =n 5e n ，则limn →∞a na n +1=lim n →∞e nn+1 5=e>1，∴limn →∞n 5e n=0.(3)lim n →∞n +2−2 n +1+ n =lim n →∞n +2− n +1 − n +1− n =lim n →∞ n +2+n +1−n +1+ n=0.2、证明：(1)lim n →∞n 2q n =0(|q|<1)；(2)limn →∞lgn n a=0(a ≥1)；(3)lim n →∞ n !n=0.证明：(1)当q=0 时，n 2q n =0，lim n →∞n 2q n =0；当0<|q|<1时，令|q|=1p ，则p>1. 设p=1+h ，h>0. 由(1+h)n >13!n(n-1)(n-2)h 3,(n>2) 得0<|n 2q n|<n 2(1+h)n <6h 3·n 2n(n −1)(n −2)=6h 3·1n(1−1n )(1−12)→0(n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞n 2q n =0 (|q|<1).(2)任给ε>0，则10ε>1， n n→1(n →∞)，故存在N ，当n>N 时，有1< n n<10ε，取对数后得：0<lgn n<ε，∴limn →∞lgnn=0. 从而当a ≥1时，0<lgn n a ≤lgn n→0(n →∞).由迫敛性定理可知：limn →∞lgn n a=0(a ≥1).(3)任给ε>0，令M=1ε，则limn →∞M nn!=0.又对ε0=1，存在自然数N ，使得当n>N 时，M nn!<1，即1n!<εn ， ∴当n>N 时，有0< n !n <ε，∴limn →∞ n !n=0.3、设lim n →∞a n =a ，证明：(1)limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a(又问由此等式能否反过来推出lim n →∞a n =a )；(2)若a n >0，(n=1,2,…)，则lim n →∞a 1a 2…a n n =a.证：(1)∵lim n →∞a n =a ，∴对任意的ε>0，必存在N 1，使当n>N 1时，|a n -a|<ε，令m=max{|a 1-a|,|a 2-a|,…,|a n -a|}，于是n>N 1时，a 1+a 2+⋯+a nn −a =a 1−a +a 2−a +⋯+a n −an≤1n (|a 1-a|+|a 2-a|+…+|a N 1+1-a|+|a N 1+2-a|+…+|a n -a|)<N 1m n+(n −N 1)nε<N 1m n+ε.又limn →∞N 1m n=0. ∴对已给的ε>0，存在N 2，当n>N 2时，N 1mn<ε.取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时， a 1+a 2+⋯+a nn−a <2ε，∴limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a. 此等式反过来不能推出lim n →∞a n =a .例如a n =(-1)n 不收敛，但limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=0.(2)对任意自然数n ，a n >0，∴当a ≠0，lim n →∞1a n=1a .又11a 1+1a 2+⋯+1a nn=n1a 1+1a 2+⋯+1a n≤ a 1a 2…a n ≤a 1+a 2+⋯+a nn→a (n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞a 1a 2…a n n =a.当a=0时，对任给的ε>0，存在N 1，使当n>N 1时，0<a n <ε，于是当n>N 1时，0< a 1a 2…a n n = a 1a 2…a N 1n · a N 1+1a N 1+2…a n n< a 1a 2…a N 1n·εn −N 1n< a 1a 2…a N 1·ε−N 1n·ε,∵lim n →∞a 1a 2…a N 1·ε−N 1n=1，从而存在N 2，使当n>N 2时，a 1a 2…a N 1·ε−N 1n<2，故当n>N=max{N 1,N 2}时，必有0< a 1a 2…a n n <2ε，∴lim n →∞a 1a 2…a n n=a.4、应用上题的结论证明下列各题： (1)limn →∞1+12+⋯+1nn=0；(2)lim n →∞a n =1(a>0)；(3)lim n →∞n n=1；(4)limn →∞n !n=0；(5)limn →∞ n !n=e ；(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =1；(7)若limn →∞b n +1b n=a (b n >0)，则lim n →∞b n n =a ；(8)若lim n →∞a n −a n−1 =d ，则limn →∞a nn=d .证：(1)∵lim n →∞1n =0；∴limn →∞1+12+⋯+1nn =0；(2)设a 1=a, a n =1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞a n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(3)设a 1=1, a n =nn −1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞n n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(4)limn →∞n !n=lim n →∞11·12···1n n=limn →∞1n=0.(5)设a n =n nn ! (n=1,2…)，则a 1=1;limn →∞ n !n=lim n →∞a n n=lim n →∞a 2a 1·a 3a 2···a nan −1n=limn →∞a na n −1=lim n →∞1+1n−1n−1=e.(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =lim n →∞n n=1. (7)令b 0=1，则lim n →∞b n n =lim n →∞b 1b 0·b 2b 1·b3b 2···b nb n −1n=limn →∞b n +1b n=a (b n >0).(8) lim n →∞a nn=lim n →∞(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n −1)n+a1n =lim n →∞a n −a n−1 =d .5、证明：若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，且lim n →∞(a n −b n )=0，则lim n →∞a n 与lim n →∞b n 都存在且相等.证：∵lim n →∞(a n −b n )=0，∴{a n -b n }有界，不妨设A ≤a n -b n ≤B ，A,B 为常数. ∵{a n }递增，{b n }递减，∴a n ≤B+b n ≤B+b 1，b n ≥a n -B ≥a 1-B. ∴{a n }{b n }单调有界 ∴{a n }{b n }都有极限. 而lim n →∞(a n −b n )= lim n →∞a n −lim n →∞b n =0，∴lim n →∞a n =lim n →∞b n .6、设数列{a n }满足：存在正数M ，对一切n 有： A n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n -a n-1|≤M 证明：{a n }与{A n }都收敛。
习题课2数列极限2010
n
1 1 1 （2）设 x n = ＋ ＋L＋ ， 1!＋1 2!＋ 2 n !＋ n 证明数列 { x n }收敛 .
a1 − 1 ( 3).设a1 = 2 , a 2 = 2 + , L, 2 + a1 a n −1 − 1 an = 2 + ( n = 2, 3, L)求 lim a n n→ ∞ 2 + a n −1
1!+2!+ L + n! ( 3). lim n→ ∞ n! 1 1 (4). lim n 1 + + L + n→ ∞ 2 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5). lim(
n→ ∞
1 n +n
6
+
2
6
2
n + 2n
+ L+
n
6
2 2
n +n
)
n n n ( 6 ). lim [ ] + +L 2 2 2 n → ∞ ( n + 1) ( n + 2) (n + n)
2.选择题
(1)若数列{a n }有极限，则在 a的ε邻域之外， 有极限， 邻域之外， 数列中的点（ 数列中的点（ (C)必不存在； 必不存在； ） (D)可以有有限多个， 可以有有限多个， (A)至多只有有限多个； (B )必定有无穷多个； 必定有无穷多个； 至多只有有限多个； 也可以有无穷多个 .
).
( A)先给定 ε后唯一确定 N ; ( B )先给定 ε , 后确定 N , 但N的值不唯一 ; (C )先确定 N后给定 ε ; ( D )ε与N无关 .
3.问答题 问答题
(1).有界数列是否一定收敛 ? 无界数列是否发散 ? ( 2). 单调数列是否一定收敛 ? 收敛数列是否 一定 单调 ?
高考数学数列的极限与收敛性选择题
高考数学数列的极限与收敛性选择题1. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，则数列的前n 项和Sn的通项公式为（）A. S_n = n^2 + 1B. S_n = 3n + 1C. S_n = 2n^2 + 3n + 1D. S_n = 2n^2 - 3n + 12. 数列{an}的通项公式为an=3n^2-2n+1，求数列的前n项和Sn。
3. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n，求数列的前n项和Sn。
4. 已知数列{an}是等差数列，且a1=1，公差d=2，求数列的前n 项和Sn。
5. 已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n，求数列的前n项和Sn。
6. 已知数列{an}是等比数列，且a1=2，公比q=3，求数列的前n 项和Sn。
7. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n/n，求数列的前n项和Sn。
8. 已知数列{an}是等差数列，且a1=3，公差d=1，求数列的前n 项和Sn。
9. 已知数列{an}的通项公式为an=n^3，求数列的前n项和Sn。
10. 已知数列{an}是等比数列，且a1=4，公比q=2，求数列的前n项和Sn。
11. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2，求数列的前n项和Sn。
12. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，求数列的前n项和Sn。
13. 已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n，求数列的前n项和Sn。
14. 已知数列{an}是等比数列，且a1=3，公比q=2，求数列的前n项和Sn。
15. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n，求数列的前n项和Sn。
16. 已知数列{an}是等差数列，且a1=1，公差d=2，求数列的前n项和Sn。
17. 已知数列{an}的通项公式为an=n^3，求数列的前n项和Sn。
18. 已知数列{an}是等比数列，且a1=4，公比q=2，求数列的前n项和Sn。
19. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2，求数列的前n项和Sn。
高三数学试题数列的极限
数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{a}的项a无限地趋近于某个常数a（即|a－a|无限地接近于0），nnn那么就说数列{a}以a为极限.n注：a不一定是｛a｝中的项.n1n=0q=0;③（C为常数）;②C2.几个常用的极限：①=C limlimlim n??n??nn??（|q|＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a｝、｛b｝，nn当a=a,b=b时，（a±b）=a±b;limlimlim nnnn n????n??n aa（b≠=0）=·b）a·b;.（a n limlim nn bb?n???nn●点击双基1.下列极限正确的个数是1n=0②q①=0（α＞0）limlim?n n??n??nn3?2=－1 ④C=C（C为常数）③limlim nn32?nn????A.2 B.3C.4D.都不正确解析:①③④正确.答案:B1111）］等于1－）（1－［2.n（1－（）1－）…（lim n435?2??n A.0 B.1C.2D.31111）］解析:－－1－1－1n［（）（）（）…（1lim2?n543??n1?34n2×］××…××=［n lim2?45n3??n n2=2. =lim2n??n?:C 答案●典例剖析】求下列极限：【例127?n2n?;－n;（2）1（））（2nn?limlim27n?5??n?n?4n22. +…+）（3）（+lim）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运（1 222nnn?n?剖析:2与）算法则，可通过变形分子分母同除以n因后再求极限；（22nn?）因为极限的运算法则（3n都没有极限，可先分子有理化再求极限；. 只适用于有限个数列，需先求和再求极限71??2227n?2n?2nn.解:（1）==limlim7257?5n?nn????52nn11.=n）=（2）=（－2nn?limlimlim212?n?n??n??nnn??1??1n)1n(n?n22?4?6???1=1. ）=（3）原式=（1+=limlimlim22nnn?n???n??n2)n?lim(2n7??=1,=1评述:对于（）要避免下面两种错误：①原式=?n?）2+7）不存在，∴原式无极限）+7,2?)?75lim(n?n?22.n（5对于（n（②∵2n +limlim?n?n??=）－n①（要避免出现下面两种错误：2n?n lim??n－n=∞－∞不存在.∞－∞－n==0;②原式=22nn?nn?limlimlimlim??n??n??n??n242n=0+0+…+0=0=+这+…+对于（3）要避免出现原式limlimlim.222nnn?nnn?????样的错误【例2】已知数列｛a｝是由正数构成的数列，a＝3，且满足1n lg a＝lg a＋lg c，其中n是大于1的整数，c是正数．1nn－（1）求数列｛a｝的通项公式及前n和S；nn n?1?a2的值．2）求（n lim ｃ·a＝,n a2???n1n?（1）由已知得a解:1nn－n1－ｃ.a＝3·a｝是以a＝3，公比为c的等比数列，则∴｛nn13n(c?1)??＝∴S n?)3(1?c n).?10且c(c??c1??n?1n?1n?1a2?c?32＝）.（2n limlim nnn a?2c2?3??nn??1?n1;时，原式＝－①当c=242n?1?3()1cｃ;2＝－②当时，原式＝＞lim2c?n?n?1?3?()c2cc n?1)1?3(12ｃ. ＝＜2时，原式=③当0＜lim c2?n?1?n)?(?3c22评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.2+（y）+1）: *）,圆M（x+1n－已知直线【例3】l:xny=0（∈N22,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D）－（y:=1,抛物线=x1，??2||AB 求.lim2|CD|??n剖析:要求的值，必须先求它与n的关系.2||ABlim2|CD|?n?2)?1(n2=l的距离为d,则d.解:设圆心M（－1,－1）到直线21n?n822.d=AB|）=4（1－=1,又r∴|2n?1设点C（x,y）, D（x,y），2211x?ny?0?2由nx－（2n+1）x+n=0, ??2y?(x?1)?2n?1, xx=·x=1.∴x+2121nxx1?4n222）－=x=（y－y）,∵（x－x）（=x+x）（－4x1222211112, =4n222y）+（y=（x－x）－∴|CD|221112+1）.2nnn?14n2）（n=（4n+14n258|n|AB8=2.==∴limlimlim11222)?4n?1)(n1(||CD?????n?nn2)??)(1(4nn评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求2|AB|,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】若数列{a}的首项为a=1,且对任意n∈N*,a与a恰+1n1nn2n=0 2||CD的两根,其中0＜|c|＜1,当c－bx+ （b+b+…+b为方程x）≤lim n12n n??3,求c的取值范围.n恒成立c.a·a=由题意对任意解:首先,n∈N*,+1nn n?1a?aac==c.又a∴·a=a=.c=21n?nn2??221n aaa?c n1?nn∴a,a,a,…,a,…是首项为1,公比为c的等比数1312n5－列,a,a,a,…,a,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n2264n∈N*,a+a=b恒成立. nnn+1ba?a=c.又b=a+a==1+c,b=a+a=2c,∴3n?2nn?2?321221aa?b1n?nn∴b,b,b,…,b,…是首项为1+c,公比为c 的等比数12153n－列,b,b,b,…,b,…是首项为2c,公比为c的等比数列,n4262∴（b+b+b+…+b）=（b+b+b+…）+ （b+b+…）limlimlim423n21351n??n??n??1?c2c≤3.+=1?c1?c11或－1＜c＜c1,∴0＜≤0.c≤或c＞1.∵0＜|c|＜解得331］.1,0）∪（0,故c的取值范围是（－3评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{b}的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一n元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.●闯关训练夯实基础是实常数，且、c=2, =3,则已知1.a、b limlimlim22an?ccbn??can的值是1D.622c?bncn?acn?b???nnn???C. A.2 B.3 2an?c=2,得a解析:由=2b.lim cbn??n?21c?bn b=c,=3bc∴.=3,得由lim23b?cn??na=6.∴cc?a2acan?2n=6.=∴=limlim a2cacn??nn????c2n:D 答案是式通的项公）若数列{a}2.（2003年北京n n?n?n?n?n)(331)?2?2?(? +a）等于（a+a+…na=,=1,2,…,则lim nn212??n191117 C. A. B.24242425 D.24n?n??n?n?)2(3?3??2),n为奇数(??2 :a=解析?n n??n??nn2??3?23?),为偶数(n?2?n??),2(n为奇数? =即a?n(?n?).n3为偶数?643521－－－－－－. +∴a+a…+a=（++2+3+3+22…）+…）+（3n12112??1321992 =）=+a+∴（a+a…+??lim.n12112??22431?2?1?n??1?149:C答案的3.（2004年春季上海）在数列{a，且对任意大于1}中，a=31n 则y－，－=0上直）,在n正整数,点（线x31aa?nn a=__________________..n lim2)n?1(?n?）≥解析:－由题意得=（n23aa1n?n的等差数列，=.∴{}是公差为33aa1n=.）－∴（+=n1·n333a n2.=3n∴a n2an3∴=n limlim221?n?2n)(n?1??nn??3=3.=lim12??n?1?2nn答案:31,－且的公比q=}（n∈N）a4.（2004年上海,4）设等比数列{lim n2n??8,则=a=_________________.++a+…a）（a+a115312n－3a81.∴=a+a）==2.a,∴（a++a+…解析:∵q=－1lim1253n11－132?n??14答案:2 61,n∈N+a=*,{a}中,a=则,a5.（2004年湖南,理8）数列lim+11nnn1?n55n??（a+a+…+a）等于n12221 C. A.B. 4754 D.25解析:2（a+a+…+a）=a+［（a+a）+（a+a）+（a+a）+…42131n21326166]+a.++］+a）+a=…+[+a+（nn1nn－3n2555561113125++a）+a］=∴原式=.［（+limlim nn1522510n??n???156,∴a=+a=0.+∵aa limlim+1nn+1nn1n?5n??n??∴a=0. lim n??n答案:C6.已知数列｛a｝满足（n－1）a=（n+1）（a－1）且a设=6,2n+1nnb=a+n（n∈N*）.nn（1）求{b}的通项公式；n1111）的值++.（2）求（++…lim2?b2?2b??bb2??nn324解:（1）n=1时，由（n－1）a=（n+1）（a－1）,得a=1. 1+1nn n=2时，a=6代入得a=15.同理a=28,再代入b=a+n,有n3n242.n由此猜想b=2b=8,b=18,b=32,b=2,n213422－n=2n=2n. ,只需证a要证b nn2－1=11成立. =1时，a=2×①当n12－k成立.=2=k时，ak②假设当n k k?1= 1）,得aa=（k+1）（a－）那么当n=k+1时，由（k－1+1k+1kk k?1（a－1）k k?1k?12（2k+1）（k－1）=（k2k1－k－）=+1）（2k+1=）=2（k?1k?12－（k+1））.（k+122. =2nn正确，从而时，a=2nb－+1∴当n=k nn111111）（=…+（2）（+++…++）limlim］++ +=［ (i)22?b2?2bb?1662?2n???n?nn231111(n?1)(n?1)3?214?2??n111111+…－［1－+－+］=lim1n?1n3424???n31111. ］1+=［=－－lim8n?1n24?n?培养能力7.已知数列{a}、{b}都是无穷等差数列,其中a=3,b=2,b是a21n12n与a且,的等差中项3．a1111）的值+.+,求极限（…+=n limlim bbbaaab2?nn???n2n11n2解:{a}、{b}的公差分别为d、d.2n1n∵2b=a+a,即2（2+d）=（3+d）+（3+2d）, 112232∴2d－3d=2. 12a3?(n?1)dd1,=即d=又=2=d,∴d=2,d=4.n11limlim12dn?1b)d2?(2?nn???22n21∴a=a+（n－1）d=2n+1,b=b+（n－1）d=4n－2. 2111nn11111）－（∴. ==)4nab?(2n2?1)?(14n?2?n12nn111. =1－∴原式=）（lim42n?14?n?8.已知数列｛a｝、{b}都是由正数组成的等比数列，公比分别为nn p、q,其中p＞q且p≠1,q≠1,设c=a+b,S为数列{c}的前n项和，nnnnn S.求n lim S??n1n?nn)?qb(1a(1?p)解:,S=+11n1?p1?q nn)q1p?)b(a(1?11?S1?p1?q n.?n?1n?1S)q()b1?a(1p?1?n11?1?p1?qq n1－，上式分子、分母同除以＜00,qp1p当＞时，＞＞得＜1,p p 得．n q11)b(?a(?p)111n?1nn?1?ppp?Sqp1?1?n.?q11S1n?]()1)b[?a(?1?n111n?n?1ppp?q1?1?pS=p∴.=1.n lim S??n1?n ab11?Sq?1?p1＜p＜1, 当=p＜1时，0＜q n lim baS??n111n??q?11?p 探究创新a?a,求a.a=0,a=1,a=满足9.已知数列{a}2?nn?1lim nnn212n??a?a,得=解:由a2n?n1?n 22a+a=2a+a,∴{2a+a}是常数列. 1n2n1nn1nn－－－－∵2a+a=2,∴2a+a=2. 11n2n－212）.－（∴a－a=－1nn－323212的等比数列.,a－}是公比为－首项为－∴{n323221n1－.×（－－∴a）=－n332221n1－.×（－=－）a∴n3322. =a∴lim n3??n●思悟小结1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；.）四则运算只限于有限个数列极限的运算2（．2.熟练掌握如下几个常用极限：（1）C=C（C为常数）; lim??n1p=0（（2）p＞（0））;lim n n??k aban?（k∈N *,a、b）、c、d∈R=且c≠0）;3（lim k cdcn??n?n=04（）（|q|＜1）q.lim??n●教师下载中心教学点睛0?等形式，必须先化简－0,数列极限的几种类型：∞－∞1.,,00?成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的.运用．拓展题例a（且有公比为q,{a}的首项为a,已知等比数列【例题】1lim1n1?q?n?1n,求首项a的取值范围－q.）=12a1n,= （）－q解:一定存在.∴0＜|q|∴q＜1或q=1.1lim q1?2?n?nlim n??a1,∴a－1=当q=1时，=3.,∴2a－（时，由q－1=）=q得=.1122aa11n＜＜当0|q|111lim1q??q1122??n1.a≠a＜＜1且1.－0∴＜|2a1|＜∴011121或a=3.≠a1＜＜得综上,0a且1112。
高中数列极限练习题
高中数列极限练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数列极限1.极限概念：一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数A （即n a A -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以A 为极限，或者说A 是数列{}n a 的极限。
（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）。
记法：lim n n a A →+∞=；读作：“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”； 注意：（1）}{n a 是无穷数列；（2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的； （3）不是所有数列都存在极限；如：21,n a n n N *=-∈；2.极限第二定义：对于无穷数列{}n a ，若存在一个常数A ，对于任意小的正数ε，总存在自然数m N *∈，使得当n m >时，n a A ε-<恒成立，则称A 是数列{}n a 的极限。
说明：lim n n a A →+∞=的几何意义：从几何上看，数列{}n a 的极限为A ，是指以A 为中心的区间(,)A A εε-+，必然从某项1m a +起，后面的所有项都落在区间(,)A A εε-+之中。
换句话说，数列{}n a 至多有m 项123,,,...,m a a a a 落在区间(,)A A εε-+之外。
例1.求下列无穷数列极限：（1）数列 ,21,,161,81,41,21n ；（2）数列 ,1,,43,32,21+n n； （3）数列 ,)1(,,31,21,1nn---； 例2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1111,,,...,,...23n；（2）2,2,2,...,2,...----； （3）0.1,0.1,0.1,...,(0.1),...n ---； （4）11,2,4,8,16,...,2,...n -； （5）1,1,1,...,(1),...n ---；（6）3,........20102,.......20102010n n a n N n n n *≤⎧⎪=∈⎨>⎪-⎩解：（1）10limn n →∞=；（2）(2)2lim n →∞-=-； （3）(0.1)0lim n n →∞-=n )1.0(-＝0；（4）不存在；（5）数列{(1)}n -无极限；（6）lim 2n n a →+∞=；归纳：（1）0,lim n aa n→∞=为常数；（2）(1,1)0,lim n n q q →∞∈-=；1,lim n n q q →∞=-不存在；,1lim n n q q →∞==（3）,0lim n an b ac cn dc →∞+=≠+；2,0,lim n an b a c cnd →∞+≠+不存在；2,0,0limn an ba c cn d→∞+≠=+； 3.极限的运算法则：(i)设lim ,lim ,,,,n n n n a A b B m n N k C *→+∞→+∞==∈为常数。
数列极限中的典型例题
现在一页，总共十七页。
现在二页，总共十七页。
现在三页，总共十七页。
于是
现在四页，总共十七页。所以现在五页 Nhomakorabea总共十七页。
现在六页，总共十七页。
于是
现在七页，总共十七页。
二. 利用递推关系求极限
现在八页，总共十七页。
作业
现在十六页，总共十七页。
现在十七页，总共十七页。
因为
现在九页，总共十七页。
现在十页，总共十七页。
现在十一页，总共十七页。
三. 利用数列的构造和性质求极限
例7 证明：从每个收敛的序列中，都可以选出一个子列，使得其各 项为一个绝对收敛级数的部分和序列。
现在十二页，总共十七页。
现在十三页，总共十七页。
于是有
现在十四页，总共十七页。
现在十五页，总共十七页。
数列极限计算练习题
数列极限计算练习题数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数字组成。
而数列极限是指数列随着项数增加，逐渐趋向于某个确定的值。
在数学中，我们经常需要计算数列的极限，这是一个能够帮助我们深入理解数列性质的重要工具。
本文将为您提供一些数列极限计算的练习题，希望可以帮助您提升数列极限计算的能力。
练习一：求极限1. 设数列 $a_n = \frac{n+3}{n+1}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。
解析：为了求得该数列的极限，我们可以对数列进行简化，将其化简为一个更容易计算的形式。
通过观察数列，我们可以发现分子和分母的最高次数都为$n$，因此我们可以用$n$去除分子和分母，得到：$a_n = \frac{n+3}{n+1} = \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$当$n$趋近于无穷大时，分数$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n}$的值都趋近于0，因此我们可以将它们忽略不计。
最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0}{1+0} = 1$因此，数列 $a_n$ 的极限为1。
2. 设数列 $b_n = \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} b_n$。
解析：我们可以将分子和分母进行因式分解，得到：$b_n = \frac{(n-1)^2}{n^2+1}$当$n$趋近于无穷大时，$(n-1)^2$和$n^2$的值都趋近于无穷大，因此我们可以将它们忽略不计。
最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\infty}{\infty}$对于这种形式的极限计算，我们可以利用洛必达法则。
洛必达法则可以用于解决形式为$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，即分子和分母都趋近于无穷大的情况。
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案关键信息项：1、数列的表达式：＿___________________2、所给定的极限值：＿___________________3、证明所使用的方法：＿___________________4、证明过程中的关键步骤和推理：＿___________________5、最终得出结论的依据：＿___________________11 题目设数列｛an} 满足 an ＝（n ＋ 1) ／ n ，证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。
111 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an 1| ＜ε 成立。
＼＼begin{align}｜an 1| ＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1}｛n} 1\right|＼＼＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1 n}｛n}＼right|＼＼＆＝＼frac{1}｛n}＼end{align}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。
所以取＼（N ＝＼left\frac{1}｛ε}＼right ＋ 1\）（其中＼（＼cdot\）表示取整函数），当＼（n ＞ N\）时，有＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼），即＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），所以＼（｜an 1| ＜ε\）。
综上，根据数列极限的定义，当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。
12 题目设数列｛bn} 满足＼（bn ＝＼frac{1}｛n}＼），证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛bn} 的极限为 0 。
121 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，＼（｜bn 0| ＜ε\）成立。
＼｜bn 0| ＝＼left|＼frac{1}｛n} 0\right| ＝＼frac{1}｛n}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。
高数极限基础练习题
高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
高等数学 极限与连续(2.1.2)--数列的极限
1 习题2.11. 用观察法指出下列数列的极限，并按定义验证之： (1) (1)(1,2,3,)2nn n a n -==； (2) 120.9,0.99,,0.99(9,n a a a n ===个）.2. 用数列极限的N ε-定义, 证明下列极限：(1) lim 0n =；(2) 323lim 212n n n →∞-=+； (3) 2349lim 078n n n n →∞++=-；(4) 若lim n n x a →∞=，则lim n (5) !lim 0n n n n →∞=；(6) 0n →∞=. 3. 设{n a }为一正项数列，且1lim 0n n na a +→∞=，证明数列{n a }当n 充分大后为单调减数列. 4. 若数列{}n a 满足1n n a qa -≤，其中0n a >，0<q <1，试用定义证明 lim 0n n a →∞=.5. 设lim n n a a →∞=，证明lim ||n n a a →∞=，并举例说明：如果数列||n a 收敛，数列n a 未必收敛. 6. 设lim ,0n n a a a →∞=≠若，试用定义证明 1lim 1n n n a a +→∞=；又若0a =，问 1lim n n na a +→∞存在否？ 7. 设有数列{n a }和{nb }，如果lim n n na ab →∞=(0a ≠)且lim 0n n a →∞=，证明 lim 0n n b →∞=. 8. 根据定义证明下列数列为无穷小： (1)10!n a n =； (2)1πsin 2n n a n =； (3)2(1)1n n n a n +-=-. 9. 根据定义证明下列数列为正无穷大：(1)ln n x n =； (2)2131n n x n +=-. 10. 举出满足下列要求的数列的例子：(1) 有界数列但无极限； (2) 无界数列但不是无穷大.11. 证明定理2.3. 即若0n x ≠，则(1) lim n n x →∞=∞ ⇔ 1lim 0n n x →∞=； (2) lim 0n n x →∞= ⇔ 1lim n nx →∞=∞.。
1.3 数列的极限-习题
1．下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势，写出它们的极限： ⑴12n n x =； 【解】当n 无限增大时，2n 也无限增大,使得数列12n nx =的取值无限接近常数0,故数列收敛,其极限为0. ⑵1(1)nn x n=-； 【解】当n 无限增大时，1n 的取值无限接近常数0,使得数列1(1)n n x n=-的取值无限接近常数0,故数列收敛,其极限为0. ⑶211n x n =+； 【解】当n 无限增大时，2n 也无限增大,使得21n的取值无限接近常数0,从而数列211n x n =+的取值无限接近常数1,故数列收敛,其极限为1. ⑷11n n x n -=+；【解】因为12111n n x n n -==-++,可见当n 无限增大时，21n +的取值无限接近常数0,从而数列12111n n x n n -==-++的取值无限接近常数1,故数列收敛,其极限为1. ⑸(1)nn x n =-；【解】当n 无限增大时，数列{}(1)n n -即为-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,......,从而数列(1)n n x n =-的取值无法接近于某一常数,故数列发散.⑹213n n nx -=。
【解】因为213n n n x -=21()33n n =-, 数列2()3n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭即为23,49,827,1681,32243,......,易见当n 无限增大时，数列2()3n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的取值无限接近常数0；数列13n⎧⎫⎨⎬⎩⎭即为13,19,127,181,1243,......,易见当n 无限增大时，数列13n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的取值无限接近常数0,综上知，当n 无限增大时，数列213n n nx -=的取值无限接近常数0。
故数列收敛,其极限为0.*2．用数列极限的定义证明下列极限: ⑴lim11n nn →∞=+；【证明】由于11n n -+11n =+,那么,要使11n n ε-<+,只要使11n ε<+,亦即使11n ε>-,所以,对于任意预先给定的0ε>,只要取11N ε⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,则当n N>时,11nn ε-<+必成立. 从而,由数列极限的定义得知，lim11n nn →∞=+.⑵21lim0n n →∞=.【证明】由于210n -21n =,因此,要使210n ε-<,只要使21n ε<,亦即使n >, 所以,对于任意预先给定的0ε>,只要取N=,则当n N >时,210n ε-<必成立.从而,由数列极限的定义得知，21lim0n n →∞=.*3．若lim n n x a →∞=,证明lim n n x a →∞=，并举例说明。
数列极限中的典型例题
0<
+1
=1
− < 1, = 1,2, ⋯
所以数列 单调减且有下界，因此 lim = 存在。在递推公式 + = ( − )
→∞
两边令 → ∞取极限得， = (1 − ),所以
lim = =0
→∞
取 =
1
,
= 1,2, ⋯ , 则
1,2, ⋯ , ln( − )均有意义，由于对 > 0, 不等式ln ≤ − 1恒成立，因此有
+1 − = ln − ≤ − − 1, = 2,3, ⋯ .
由此得，
S+1 ≤ − 1, = 2,3, ⋯
.
从而得，
ln( − S+1 ) ≥ ln − + 1 = 0, = 2,3, ⋯
→∞
=0
证明令 = + + ⋯ + ， = 1,2, ⋯ ，及 lim = .则
→∞
1 = 1， = − −1, = 1,2, ⋯ ，
于是
11 + 22 + ⋯ + 11 + 2(2−1) + ⋯ + ( −−1)
也存在或为+∞，且
→∞
+∞时, lim
− +1
lim
= lim
→∞
→∞ − +1
∞
+1 −
存在或为+∞时，
→∞ +1 −
斯铎兹定理2(∞型） 设数列{ }单调增加且 lim = +∞.如果 lim
习题课二 数列的极限(有解答)
习题课二 数列的极限
一、计算下列各题
1.
lim 12
n
22 n3
n2
；
1 3
2
2. lim[ n
12 n
1 2 (n 1)] 2
cosn sinn
3.
lim
n
cosn
sinn
(0 )
2
1,
0,
0 x
4
x 4
4．
lim
n
x x
n n
xn x n
解法
2：显然
an
an n!
。
对于a ， kN ，ak
，有1 a a a ，
k1 k2 k3
k项 nk项 n k ，有 0 an a a a a a a a a
n ! 1 2 3 k k 1 k 2 n1 n
ak a ak1 1 。 k! n k! n
（即将kan1
k，，k有a20， ann!
，akkna!11
1放，大为 n
1。）
∵
lim
ak1 1 0
，
n k ! n
∴由夹逼定理得
lim an
n
lim
n
an n!
0
10
。
习题课二 数列的极限
三、解答题
1． 设 x110 ， xn1 6 xn ， n1, 2, ，试证数列 xn
极限存在，并求此极限。 2. 设{ xn } 满足条件： x1 0 ， xn1 6 xn ， n1, 2, ，
∵ lim qn x1 x1 lim qn 0 (0q1 )，
n
n
∴ lim xn1 0 lim xn1 0 lim xn 0 。
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Chap1 数列的极限1. 设()01,2,n x n >=及lim n n x a →∞=,用N ε-语言, 证明: n =.证 0n x >, 0a ∴≥.(1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=,下证0n =. 0ε∀>, 则存在0N >, 当n N >时,200n n x x ε<=-<.ε<,0ε<.0n ∴=. (2) 当0a >时, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时, n x a -<.ε=<<.n ∴=综上两方面 ,即证.2. 已知lim n n x a →∞=, 用N ε-语言, 证明: n =.证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=, 0ε∀>, 存在0N >,当n N >时, 2n x ε<; ε<,此即0n ==. (2) 当a ≠时,因为2222233044+=+≥>.令234M =, lim n n x a →∞=, 则对0ε∀>,存在0N >, 当n N >时,有n x a M ε-<.22n x a-=1n x a M M Mεε-≤<⋅=n ∴= 3. (算术平均收敛公式)设lim n n x a →∞=.令12nn x x x nξ+++=, 求证:lim n n a ξ→∞=. 证法1 由施笃兹公式12lim limnn n n x x x nξ→∞→∞+++=()()()12121lim1n n n x x x x x x n n -→∞+++-+++=--lim n n x a →∞==. 证法 2 由lim n n x a →∞= , 则0ε∀>, 存在10N >, 使当1n N >时, 有2n x a ε-<. ①()1112111nN N n x x x a x a x a x a x a nn++++-≤-++-+-++-令111N c x a x a =-++-, 那么1212nx x x n N c a nn n ε+++--≤+⋅ . ②存在20N >, 使当2n N >时, 有2cnε<.再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有1212222nx x x n N a nn εεεεε+++--<+⋅<+=.12lim limnn n n x x x a nξ→∞→∞++∴==.4. (几何平均收敛公式)设()01,2,n x n >=. 且lim n n x a →∞=. 证明:n a =. 证 lim n n x a →∞=, limln ln n n x a →∞∴=.再由算术平均收敛公式可知 ()121ln ln ln ln lim n x x x a nn n ee a ++→∞∴===.5. 证明: lim 1n =, 其中1a >.证 令11na α-= ,则0α>, 依伯努利不等式, 有()()11111n na n n a αα=+≥+=+-,即111n a a n--≤.要111n a ε=-≤,只要1a n ε-<.所以,有1a n ε->.取1aN ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时, 就有1a n ε-<, 1ε<. 6. 证明: 若lim n n a a →∞=, 则lim n n a a →∞=. 当且仅当a 为何值时逆命题也成立.证 由题设 lim n n a a →∞=, 知0ε∀>,0N ∃>, 当n N >时, 皆有n a a ε-<.从而当n N >时总有n n a a a a ε-≤-<,所以lim n n a a →∞=.当且仅当0a =时,逆命题也成立.7. 设a R ∈, 且1a >,用N ε-语言, 证明: lim0nn na →∞=. 证 当2n ≥时, 有()()()()()2221121111n n n n n a n n a n a a =<=----+-⎡⎤⎣⎦(由二项展开式得)要使()()2211n a ε<-- ,只需()2211n a ε>+-.即若取 ()2221N a ε⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 则当n N >时, 就有()()2211n n a n n a ε<<--, 所以lim0n n n a →∞=. 数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,1a >,a R ∈是无穷小序列. 8. 利用单调有界性证明: 设10x a =≥, 10y b =≥,且1n x +=,()112n n n y x y +=+.1,2,n = . 则lim lim n n n n x y →∞→∞=.证 0n x ≥, 0n y ≥是显然的.由112n nn n x y y x +++=≥= , 得1n n x x +=≥= ,122n n n nn n x y y y y y +++=≤= . 知{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少 , 又1n n x y y ≤≤, 1n n y x x ≥≥,所以{}n x ,{}n y 有界. 即lim n n x A →∞=,lim n n y B →∞=存在.对12n nn x y y ++=两边取极限,得 ()12B A B A B =+⇒=. 9. 证明: 数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加 , 数列111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调减少 ,两者收敛于同一极限.证 记11nn x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,111n n y n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由平均值不等式()121n a a a n≤+++ ,知 ()111111111n nn n n n x x n n ++++⎡⎤⎛⎫=+⋅≤=⎢⎥⎪+⎝⎭⎣⎦,()()21111111112n n n n n n n n y n n y ++++⋅++⎡⎤⎛⎫=⋅≤=⎢⎥⎪++⎝⎭⎣⎦,即{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少, 且1114n n x x y y =<<<= .所以{}n x ,{}n y 单调有界,必定收敛.由11n n y x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,知它们有相同的极限.即111lim 1lim 1nn n n e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10. 证明: 若111ln 2a n n=+++-. 则数列{}n a 收敛. 证 由上例知 11111nn e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 两边取对数得 ,()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即有不等式111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ . 则()11ln 1ln 1n n a a n n n +-=-+++11ln 101n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭, 111ln 2n a n n =+++-231ln +ln ln ln 12n n n+>++-()ln 1ln 0n n =+->即{}n a 单调减少有下界 , 所以{}n a 收敛.11. 设数列{}n x 满足: 01x =, 1n x +=1,2,3n = .证明: 数列{}n x 收敛, 并求lim n n x →∞.证01x =,1212x ==,3422x ==. 用数学归纳法可证()21112222,0,1,2n nnn x n --=== ①11212122n n n n ----<. 由①式知()10,1n n x x n -<=即{}n x 单调递增.再由①式知12n x ≤<, {}n x ∴收敛.设lim n n x a →∞=, 则1a ≥.12n x x +=两边取极限有: a =.22a a ∴= , 又0a ≠.2a ∴=, 即lim 2n n x →∞=.12. 设0a >, 10x a <<, 12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1,2,3n = .证明: 数列{}n x 收敛, 并求其极限. 证 先用数学归纳法证明0n x a <<,n N ∈①当1n =时, 结论成立, 归纳假设结论对n 成立, 再证1n +时, 因为()2112n n n n x x x x a a a a +⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭,10n x a +∴<<. 即①式成立.1221n n n x x ax a a+=->-=. {}n x ∴单调递增, 且有上界. lim n n x →∞∴存在. 设为lim n n x b →∞=. 由12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,两边取极限得 2b b b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②由①式及{}n x 单调递增, 显然0b ≠, 由②式解得b a =.lim n n x a →∞∴=.。