高数上册知识点
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高等数学上册知识点
一、 函数及极限 (一) 函数
1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);
2、 反函数、复合函数、函数的运算;
3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函
数、反双曲函数; 4、 函数的连续性及间断点;
函数)(x f 在
0x 连续)(00
x f x
x →
第一类:左右极限均存在.
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点
5、 闭区间上连续函数的性质:有界性及最大值最小值定理、零点定理、介值定
理及其推论.
(二) 极限 1、 定义 1) 数列极限
εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞
→a x N n N a x n n n , , ,0lim
2) 函数极限
εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00
时,当
左极限:)(lim )(0
0x f x f x x -
→-=右极限:)(lim )(0
0x f x f x
x +→+= )()( )(lim 000
+
-→=⇔=x f x f A x f x x 存在
2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1))(0n n z x y n n n ≥≤≤
2
)
a z y n n n n ==→∞
→∞
lim lim x n n ∞
→lim 2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限. 3、 无穷小(大)量
1) 定义:若0lim =α则称为无穷小量;若∞=αlim 则称为无穷大量. 2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1)(~
ααββαo +=⇔;
Th2αβαβαβββαα'
'
=''''lim lim lim ,~,~存在,则(无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则;
3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限:
a) b) e x
x x
x x
x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10
5) 无穷小代换:(0→x ) a)
x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~
b) c) x e x ~1- (a x a x ln ~1-)
d)
x x ~)1ln(+ ()
e)
x x αα
~1)1(-+
二、 导数及微分 (一) 导数
1、 定义:0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='→
左导数:0
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-
→- 右导数:0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='+
→+
函数
)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔
2、 几何意义:)(0x f '为曲线)(x f y =
在点())(,00x f x 处的切线的斜率.
3、 可导及连续的关系:()f x 在0x 点可导⇒()f x 在0x 点连续
4、 求导的方法
1) 导数定义; 2) 基本公式; 3) 四则运算;
4) 复合函数求导(链式法则); 5) 隐函数求导数; 6) 参数方程求导; 7) 对数求导法.
5、 高阶导数 1) 定义:
2) Leibniz 公式:()∑=-=n
k k n k k n n v u C uv 0)
()()
( (二) 微分
1) 定义:)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆,其中A 及x ∆无关. 2) 可微及可导的关系:可微⇔可导,且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=
三、 微分中值定理及导数的应用 (一) 中值定理
1、 Rolle 定理:若函数
)(x f 满足:
1)
],[)(b a C x f ∈;2)),()(b a D x f ∈;3))()(b f a f =;
则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.
2、 Lagrange 中值定理:若函数
)(x f 满足:
1)
],[)(b a C x f ∈;2)),()(b a D x f ∈;
则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使.
3、 Cauchy 中值定理:若函数
)(),(x F x f 满足:
1)],[)(),(b a C x F x f ∈;2)),()(),(b a D x F x f ∈;3)),(,0)(b a x x F ∈≠'
则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使
(二) 洛必达法则
1、尽量先化简(有理化、无穷小代换、分离非零因子)
再用洛必达法则!
注意:
如:
x
x
x
x4
2
0tan
cos
1
lim
-
-
→
2、对于某些数列极限问题,可化为连续变量的极限,
然后用洛必达法则!
n
n
n
n
b
a
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
∞
→2
lim
如:
(三)T aylor公式
n阶Taylor公式:
1
)1
(
)
(
2
)
(
)!
1
(
)
(
)
(
!
)
(
)
(
!2
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
+
+
-
+
+
-
+
+
-
''
+
-
'
+
=
n
n
n
n
x
x
n
f
x
x
n
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
ξ
ξ在0x及x之间.
当0
=
x时,成为n阶麦克劳林公式:
1
)1
(
)
(
2
)!
1
(
)
(
!
)0(
!2
)0(
!1
)0(
)0(
)
(+
+
+
+
+
+
''
+
'
+
=n
n
n
n
x
n
f
x
n
f
x
f
x
f
f
x
f
ξ