应用数学基础
应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解
则 d 为 X 上的度量,但这种度量不满足
d(x,y) d(x, y)
1.2 收敛函数与连续映射
定义2:设 X 为赋范线性空间,{xn}n1 X
如果存在
x0 X ,使得
lim
n
xn
x0
0,
则称 {xn} 依范数收敛于 x0,记为
lim
n
xn
x0
这时也称 x0 为序列{xn}n1 的极限。
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价,则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列;
20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价,则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x;
由连续映射的定义易知:
(1) f 在点 x0 X 处连续 对 {xn} X ,如
果 xn x0 ,则 f (xn ) f (x0 ) ; (2) 范数 ||•||:X R 是连续映射;
(3) X 上线性运算(加法与数乘)也是连续映射;
(4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例
定义1:设 X 是数域 K 上的线性空间,
如果存在映射 ||•||:X→R,并满足:
(1) 非负性:对 xX, ||x||0, 并且
||x||=0 x=0
(2) 齐次性:对 xX,K,||x||=||||x|| (3) 三角不等式:对 x,yX,||x+y|| ||x||+||y||
定义4
应用数学基础知识点总结及课堂笔记
应用数学基础知识点总结及课堂笔记 1.函数、极限和连续 1.1函数1.1.1函数的概念 (1)函数的定义:设X ,Y 是两个非空实数集合,若存在对应法则f ,使得对于任给的x X ∈,存在唯一的y Y ∈与之对应,则称f 是X 到Y 的函数,记作()y f x =。
X 称为定义域,{|(),}W y y f x x X Y ==∈⊂,称为函数f 的值域。
(2)函数的表示法:a.公式法:如分段函数、隐函数、参数方程表示的函数;b.图形法:c.表格法:(3)分段函数:(4)要点:函数的定义的两个要素:定义域X 及对应法则f 。
当两个函数的定义域及对应法则均相同时,表示两个函数相同。
定义:设()f x 的定义域为X ,值域为W ,若对于任给y W ∈,在X 中只有一个数x 与之对应,使得()f x y =,把y 看作自变量,x 看作函数,得到的一个新函数,称为函数f 的反函数,记作1f-。
1()()fy x f x y -=⇔=原函数与反函数的图像关于直线y x =对称,原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域。
复合函数:设函数()y f u =的定义域为U ,函数()u x ϕ=的定义域为X ,值域为*U ,且*U U ⊂,则称函数(())y f x ϕ=为定义在X 上的复合函数,u 为中间变量。
1.1.6初等函数 定义:由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所构成并可用一个式子表示的函数叫做初等函数。
一些简单实际问题的函数关系式:(1)长方形z 绕轴线L 旋转一周(如右图)的所得体积为:2V x y π=(2)将边长为a 的正方形的四角截取边长为x 的小正方形,并将小正方形折起所得的正方体(如右图)的体积为:2(2)V a x x =-(3)收益函数:R PQ =(P :价格,Q :数量)成本函数:()C Q 利润函数:L R C =- 1.2极限1.2.1数列极限的概念数列的极限lim n n x a →+∞=:对于任意给定的正数ε,总存在正整数N ,使得当n N >时,有n x a ε-<。
应用数学基础第三章
应⽤数学基础第三章⼀、判断1.设和是有限维线性空间X上的两种范数,.若且,则.() 2.设和是线性空间X上的两种等价范数,.若且,则.()3.由矩阵A确定的线性算⼦是有界的.()4.由矩阵A确定的线性算⼦是连续的.()5.设矩阵A,定义映射,对任意,,则A是有界线性算⼦.()6.设X和Y都是赋范线性空间,T:是线性算⼦,若T在处连续,则T在X上是有界的.()7.若是⼀赋范空间,则.()8.若赋范线性空间X的⼦集是紧的,则任何⾮空的闭⼦集也是紧的.()9.上全体有理系数多项式构成的集合P是实空间(C,)(其中)中的完备⼦空间.()10.上全体实系数多项式构成的集合P是实空间(c,)(其中)中的闭集.()11.设是赋范线性空间,若是有限维的,则是完备的.()12.若赋范线性空间X是列紧的,则X是B a n a c h空间.()13.设是赋范线性空间,,若,都有,则. ()14.设是内积空间,,若有,则.()15.设有内积空间若对任意的均有,则. ()16.若赋范线性空间X的⼦集是紧的,则任何⾮空的闭⼦集是有界的. ()17.可数多个开集的交仍是开集.()18.可数多个闭集的并仍是闭集.()19.设是赋范线性空间的⼀列紧⼦集,则也为紧⼦集.()20.设均为赋范线性空间的紧⼦集,则也为紧⼦集.()21.设是赋范线性空间,,且,则存在有界线性泛函,使得,.()22.都是可分的赋范线性空间.()23.都是可分的赋范线性空间.()24.上的范数和是等价的.()25.上的⽅阵范数与是等价范数.()26.设为赋范线性空间中的两个C a u c h y列,则必收敛. ()⼆、填空1.是上所有有连续⼀阶导数的函数的全体构成的的⼦空间,().若线性算⼦:的定义为,则是.2.是上所有有连续⼀阶导数的函数的全体构成的的⼦空间,(),线性算⼦:的定义为,则是.3.设,则=,=,=,=.4.设,则=.5.设是赋范线性空间,则是.6.设是赋范线性空间,若是有限维的,则是.7.设是任意赋范线性空间,则到的所有线性算⼦构成的赋范线性空间是.8.设是任意赋范线性空间,则是.9.设是H i l b e r t空间的完全正交系,,则=.10.设是H e r mi t e矩阵,,则的谱范数为.11.若有界线性算⼦T:的定义为(T x)(t)=,则=.12.设是⾣矩阵,则其谱范数.13.设是赋范线性空间,设,则按范数收敛于.14.设是赋范线性空间,,若,都有,则.四、证明题1.对任意,定义,则是上的⽅阵范数,,定义,.证明是上与⽅阵范数相容的向量范数.2.对任意,定义,则是上的⽅阵范数.对任意且,定义,.证明是上的范数且与⽅阵范数相容.3.设是上的⽅阵范数,D是阶可逆⽅阵.对任意,定义,证明是上的⽅阵范数.4.设是上的⽅阵范数,、是可逆矩阵且,.对任意,定义,证明是上的⽅阵范数.5.设C[0,1]上的范数为定义算⼦为.试证:是有界线性算⼦,并求.6.设C[0,1]上的范数为定义算⼦为.试证:是有界线性算⼦并求.7.设定义如下:其中(1)判断是否为有界线性算⼦;(2)若为有界线性算⼦,则求的算⼦范数.8.设为有界数列,,定义映射T如下:证明:T为X到X的有界线性算⼦,且.9.设算⼦定义为.证明:为有界线性算⼦.10.(1)设X和Y是赋范线性空间,是有界线性算⼦,试证:若A是X中的列紧集,则T(A)是Y中的列紧集;(2)若是X中的紧集,则仍是X中的紧集.11.设X和Y是赋范线性空间,是连续映射,试证:若A是X中的列紧集,则T(A)是Y中的列紧集,并且紧空间的有限维⼦空间是紧的.12.(1)设X是赋范线性空间,是有界线性泛函,试证:若A是X中的紧集,则是R中的紧集;(2)若是X中的紧集,则仍是X中的紧集.13.设是连续的向量值函数,若,试证:T(A)是中的紧集.14.设为算⼦赋范线性空间,为连续算⼦.证明:当在中稠密时,在中稠密.15.设且证明:16.设,为赋范线性空间的两个C a u c h y列.证明必收敛.17.设是赋范线性空间,证明:任意的,其零空间均为的闭线性⼦空间.18.设为赋范线性空间的线性⼦空间.证明:也是的线性⼦空间.。
大一应用数学基础知识点
大一应用数学基础知识点本文将介绍大一学生需要掌握的应用数学基础知识点,包括数列与数列极限、函数与函数极限、导数与微分以及积分与定积分。
一、数列与数列极限数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
数列的极限是指当数列中的数趋于无穷时,数列整体的趋势或稳定的值。
大一学生需要了解以下几个重要的概念和性质:1. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个常数或者变量来表示数列中的每一项。
例如等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d,其中a1为首项,d为公差,n为项数。
2. 数列的极限数列的极限指的是当数列中的数趋于无穷时,数列整体趋于的稳定值。
例如,等差数列的极限为无穷或有限值,等比数列的极限为0或无穷。
3. 数列收敛与发散数列的极限存在且为有限值时,称为收敛;当极限不存在或为无穷时,称为发散。
4. 数列极限的性质常用的数列极限性质有唯一性、夹逼准则以及四则运算法则等,大一学生需要熟悉这些性质的应用和证明。
二、函数与函数极限函数是一种特殊的关系,将自变量和因变量联系起来。
函数极限则是指当自变量趋于某个值时,函数整体趋于的稳定值。
大一学生需要掌握以下几个重要的概念和性质:1. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的所有可能取值。
函数的值域是指所有因变量的可能取值。
2. 函数的极限函数的极限是指自变量趋于某个值时,函数整体趋于的稳定值。
例如,当自变量无穷趋近于某个值时,函数的极限可以是有限值、无穷大或无穷小。
3. 函数极限的性质常用的函数极限性质有唯一性、夹逼准则以及四则运算法则等,大一学生需要熟悉这些性质的应用和证明。
三、导数与微分导数是函数变化率的度量,描述了函数某一点的陡峭程度。
微分则是导数的几何解释,表示函数在某一点附近的线性近似。
大一学生需要了解以下几个重要的概念和性质:1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率,用极限的方式表示。
记作f'(x)或dy/dx。
2. 常见函数的导数常用函数的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形
记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an,则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式,则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵: 元素是函数的矩阵 多项式矩阵或-矩阵: 元素是的多项式的矩阵 如:方阵的A特征矩阵 E – A Note:多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2,( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形,其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2,( – 1)2
示 例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值: f()= 0的根,即使 E – A为退化矩阵的数 特征向量:( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱:全部特征值的集合,记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1-1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式:以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值,或者 说是 f(x)在 x = A处的值
15
§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件 定义2.8 设A, BCnn ,若存在可逆矩阵P Cnn ,使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换, 称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key
应用数学基础
《应用数学基础》试题一、选择题(10分)x 6•函数f(x)的定义域是 ___________ .J2x x 24•已知f(x)是2x 的一个原函数,且f(0)=—,则f(x)=( In 2C.2x ln2+C(C 是任意常数)D.2x ln2x 12.不定积分——dx .4 x 2---------------2x 214.设函数 f(x) cost 2dt ,则 f ' (2)=.0 ' ’ -------------------------------------------------------------17.求曲线y=e x +xcos3x 在点(0,1)处的切线方程函数f(x)= x 2 +ln(3-x)的定义域是(7 .函数f(x)= _1 ------ 的间断点是 __________x 2 5x 6 12.定积分V4 x 2dx= .2 4.对于函数f(x),下列命题正确的是()A .若X 0为极值点,则f (X 。
) 0B .若f (X 。
)0 ,则X 0为极值点C .若X 。
为极值点,则f (X 。
) 0A. 2x In2 C(C 是任意常数) B Z In 218.求极限 xsinxx im 0尹2CA . C. [-3,2] [-2,3)B . [-3,2) D . [-2,3]24. (1 )设 y y(x)由方程 x 33xy y 31确定,求业及dydx dx13.极限 l im 0Xsi nt 2dt14.无穷限反常积分2xdx= ________D •若x o为极值点且f(X。
)存在,则f(X。
)0 &设函数y e tanx,则y9.曲线y=x2+1在点(1, 2)处的切线方程为10.函数f (x) x3x的单调增加区间为19•计算定积分I 5x-, dx.2.x 1.1 x2 121 .设函数f (x)2x1 sin ax处连续.1.函数f(x)=arcsin 的定义域为(0 ,试确定常数a和b的值,使得f (x)在x=0A.[-1 , 1] C. (-1, 1)B.[-1 , 3] D. (-1 , 3)3.函数f(x)x33x1在x=1处的导数为1A.1 C.3B.2D.不存在6.设f(x) ,g(x)=x2+1,则f[g(x)]=.arcta nx7. lim 2 —x x2 116.求极限limxx x cos x 0x sin x19.已知函数f(x)满足dx e x C,求f (x)dx . x25.证明:当x>0 时,1+ 1X -1 x .2tan 2x 2.极限limx 0 6x A. 024. x=0 是函数 f(x)=e x x 的( )A .零点 C.极值点D.非极值点6. _____________________________ 已知 f(x+1)=x 2,贝U f(x)= _______________________________ .10函数f(x)=2x 3+3x 2-12x+1的单调减少区间为 ___________ .11 .函数f( x)= x 3-3 x 的极小值为 ________ .13. __________________________________________ 设 f/ (x)=cos x-2x 且 f( 0)=2,贝U f(x)= _________________五、应用题(本大题 9分)24. 设区域D 由曲线y=e x , y=x 2与直线x=0, x=1围成.(1 )求D 的面积A ;(2 )求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x .28•极限 lim(1 2x)°=.x 09•曲线y=x+ln x 在点(1, 1 )处的切线方程为 ____________x2213.设 f(x)连续且 0 f(t)dt x cos x ,贝y f(x)= ___________219.计算定积分 2 sin . 2xdx .1 x20. 求不定积分2dx.1 x21. 求函数f(x)=x 3-6x 2+9x-4在闭区间[0 , 2]上的最大值和最小值3V x7.极限 lim 1 —= x 03 8. 当x 0时,sin(2x 2)与ax 2是等价无究小,则11. 设 y=x sin x ,贝U y = __ 12. 曲线y=x 3+3x 2-1的拐点为17.求极限x im 022xe sin x 1C.D. 3B.驻点 17.求极限x lim — x 0 1 xe 2 cosxa= __________9.极限limxsin x x 2 124.设曲线xy=1与直线y=2, x=3所围成的平面区域为 D (如图所示) (1) D 的面积;(2) D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 .1/ 1x cos x 4. 6 dx (11 sin x A.—2 C.1 7. lim8. lim x cost xx 0x'1 x 19. limx 0 x 1 13.2dx2(x 1)16•求极限x 叫丁 2. 当X T +8时, F 列变量中为无穷大量的是()A .1 xB. l n( 1+x)C. si nxD . e -x4. 设f (x )可微,则d(e f (x))=()A. f ' (x)dxB. e f(x)dxC. f ‘(艰 dxD .f ‘(x )se 18.求不定积分 22.计算定积分 B. n D.0.求x 1 x 0 7•设函数f (X )= x 2,,x 0,则极限即(X ) --------------------- 1 1 9 .不定积分牙cos dx x xd 2x t10. — ( si n — dt)= dx 02 — 1 /x 416. 求极限limx 5x 518.求由方程y=1+xe y 所确定的隐函数y=y (x )的导数 少. dx24.从一块边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个大小相等的方块,子,问截去的方块边长为多少时,所做成的盒子容积最大?25. 求由曲线y=x 3与直线x=2,y=0所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积当 X T 0 时,x In (x+1)是(F 列反常积分中收敛的是(11.设由参数方程x=-,y 21 t 确定的函数为y y (x ),则巴=dxx 1求 y'.17.设 y=Rx(x 3)'做成一个无盖的盒A . 与x sin x 等阶的无穷小B. x sin x 同阶非等价的无穷小C. 比x sin x 高阶的无穷小D.x sin x 低阶的无穷小A .1 dx 3 x2 B.e x dxC.1dx xln xD.dy=17.设 y 1 x 2In cosx e 2,求 y .18.设由参数方程T , 1 t,确定的函数为 y(x),19.求不定积分 (1 121 .计算定积分xe 0dx.x)(2 x)x dx.A. 2, 1 C. 1,1 3. lim (1 -)x 1 ( )x x A.1 C.e+14. 下列反常积分中发散的是( )A. e xdx0 C.-—dx exln x9. 设 y=lnsinx 侧 y ___________ . x 10. 曲线y =e 2在x = 0处的切线斜率是11. _________________________________________________ 若 f(x)dx F (x) C,贝U e x f (e x )dx ____________________________________________________ 0dt12. ----------------------------------------------------------- 设(x) x ,1 t 3,则(x)213. ____________________________ 曲线y =e x 的拐点为 . 17. 设方程xy-e x +e y =0确定了隐函数y = y(x),求y (0). 18.函数 f (x)= 3xv 1 3x ,x',在x =1处是否连续?是否可导? 2x 1, x 1 21.求不定积分 x dx.1 e22.计算定积分dx 2x 22x 2 '1 1 25•证明 x m (1 x)n dx x n (1 x)mdx.oo1•下列函数中是偶函数的为( )A.y =x 4+x 5B.y = x 5 xC.y =e x -e -xD.y = xsin x1 x 22. 设函数y = f(x)的定义域为 0,1 ,则f (x+2)的定义域为(B. 2,1 D. 0,1B.e D.1 B.2 dx1x’ 1 D. 2 dx1 x 225.设f (x)是连续函数,证明xf (x)dx xf (x) f (x) C.1 •下列函数中是奇函数的为( )2A. y=ln(x +1)-secxC.1y=l n1B. y= x3 +11 x, x 0, D.y=1 x, x 0.&设f(x)是可导函数,y=f(仮),则dy= __________________ .dx9 .设f(x) =ln(1+x),则f (0) ________ .10 .设由参数方程x=a(t-sint),y=a(1-cost)(其中a>0为常数)确定的函数为y y(x),则dydx1 213.不定积分一^cos—dx ___________x x16.求极限lim ( n2 2n 1 n2 n 1).e17. 设y=p ln3,求y .x1 dy18.求由方程x-y+ siny=0所确定的隐函数y=y(x)的一阶导数.2 dx21 .求不定积分ln xdx.0ln(te t)dt1 cosxA.2x-1 (X T 0)sin xB. (X T 0)x1C. 2 (X T 1)(x 1)24.下列反常积分收敛的是()D.2-X-1(X T 1)22.计算极限limx 02.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是()A. 2x dxC. xdx0 B. e x dxD.dx1x -------- dx = 1..2 x 2 设方程y 2-2xy+9=0确定了隐函数y=y(x),求®. dxnlim xsin =x14•无穷限反常积分 ________exln x22 .计算定积分sin 3 x sin 5 xdx.12.19.20. 计算定积分1-dx. x21. 求由参数方程t2,所确定的函数y=y(x)的一阶导数列及二阶导数 仝y2e t dx dx 222. 讨论函数 lim xsin — 2.x0 xy=/-6x+8的单调性.A.0B.1C *D 不存在也不是a13.设 x ln(1 t2),,则 y t arcta ntdy =dx14. 25.丄石dx 1,则常数k=____ 1 x 2求由直线y=x 与抛物线y 2=x 所围成的平面图形的面积 若无穷限反常积分11. 已知x 7(t y 7(1Sint),则虬cost), dx12. 如果 f (x)dx xln x C ,贝U f(x)14卯0xcost 2dtsin x, x x —,20.已知f(x) 2求f(x)dx.x —,—x , 22 225•求由曲线xy=1与直线y=2,x=3所围成的平面图形的面积x 22•设f(x) 2 ,g(x) x ,则g[f(x)]=( )2A.2xB.x 2xC.4D.x22x3•下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是()A.2x 1 (x 0)B.(x 0)xC.—(x 1)D.2 x 1 (x 1)(x 1)24•设曲线y x2x 1在点M的切线的斜率为3,则点M的坐标为() A. (0,1 )1 .设函数y=f (x)的定义域为[0,A .[0, 1]C .[-2, 1]2.当X T 0时,下面无穷小量中与A. 3xC. ln (1+x2)6. lim (1 -)2x 3____________ .X x4 121 .计算定积分 -------- dx .1 1 J xx22 .设y=e 2 cos3x,求y .2•若f』)(—)2,则f(x)=(x xA.(宀 2 x 1C.(1 + x)211・设f(x。
应用数学基础 10-1初等函数
有时又需要分清楚一个复合函数是由哪些简单函数复合而成的.
这里说的简单函数是指基本初等函数以及由它们的和、差、积、商所形成的函数.
例2 说出下列复合函数是由怎样的简单函数复合而成的:
2
(1) = cos ;
(2) = e
cos 2
;
(3) = arctan
1−
.
1+ 2
解 (1)函数 = cos2 可以看成是由简单函数 = 2 和 = cos复合而成的.
生物科学等众多领域都展示了强大威力.
从本章开始我们将进入微积分内容的学习. 微积分研究的基本对象是函数,
函数和极限是微积分的基础, 连续性是微积分中的一个基本概念.
朴素的极限和微积分思想出现很早. 例如, 早在公元前4世纪,
我国就有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的说法. 这就是说,
一尺长的木棒, 每天取走一半, 永远也取不完;
并能用一个数学式子表示的函数, 称为初等函数.
如上面例1、例2中的各个函数, 多项式函数、有理分式函数等等,
都是初等函数.
那么称以x为自变量的函数 = [()] 为由 = ()和 = ()复合而成
的复合函数,简称复合函数,称u为中间变量.
类似地, 可以说明由三个或更多函数复合而成的复合函数.
需要说明一下, 并不是任何两个函数都能够复合成为一个复合函数的.
例如, = ln, ∈(0, + ∞) 和 = − 2 , ∈R分别是和的函数,
例1 已知函数 = ln, = , = 2 −1, 把 y 表示成 x的复合函数.
解
把 = 2 −1代入 = 中, 得 = 2 −1,
再把 = 2 −1代入 = ln中, 即得x的复合函数 = ln 2 −1.
应用数学基础第11章 复数
第11章 复数1484年,法国数学家舒开首先偷食了“负数开平方”的禁果,用其表示了方程2340x x -+=的两个根.1545年,意大利数学家卡尔丹“大胆”地把10分成两部分,使其和等于10,其积等于40.1637年,法国数学家笛卡尔在《几何学》一书中给了“负数开平方”一个“虚数”的名称.1777年,瑞士数学家欧拉又以i 1801年,德国数学家高斯系统研究了虚数,把i 和实数的混合物a ib +称为复数,沿用至今.本章学习的主要内容是复数的概念、复数的四则运算、复数的三角式与指数式以及复数在电工学中的表示等等.§11.1 复数的概念1.虚数单位与复数我们知道,方程210x +=在实数范围内是没有解的.为了求解这个方程,引入一个新数i ,称作虚数单位,它具有性质:(1)它的平方等于1-,即 21i =-;(2)它与实数在一起,可以按照实数的四则运算法则进行运算.易见i 与i -是方程210x +=的两个根,这样方程210x +=就可以求解了.这样虚数单位i 就是1-的一个平方根,数学家欧拉将其记为:i =. 虚数单位i 有以下一些特性.1i i =; 21i =-;32i i i i =⋅=-; 4221i i i =⋅=;54i i i i =⋅=; 6241i i i =⋅=-;734i i i i =⋅=-; 8441i i i =⋅=.一般地,对于正整数n ,都有41n i =;41n i i +=;421n i +=-;43n i i +=-.我们规定:01i =,1()m m i m N i-=∈. 这样可以证明虚数单位i 的上述性质对一切整数n 都成立.【例1】计算(1)2013i ; (2)5i -.解(1)2013503411i i i i ⨯+===;(2)55211i i i i i i i i i-=====-⋅. 定义1 设a 和b 都是实数,形如 a bi +的数称为复数,其中a ,b 分别称为复数 a bi +的实部与虚部.通常用小写字母z 、ω等来表示复数,复数z 的实部记作Re z ,虚部记作Im z .例如,32i -,i ,1-等都是复数,它们的实部分别是3,0,1-;虚部分别是2-,10.定义2 把全体复数组成的集合叫做复数集,并用字母C 表示复数集.即有{}|,,C z z a bi a b R ==+∈.定义3 虚部不等于0的复数称为虚数,实部等于0且虚部不等于0的复数称为纯虚数.例如,32i -,i 还是纯虚数.虚部等于0的复数就是实数,实部与虚部都等于0的复数就是实数0.于是自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、复数集C 之间的关系如下:N Z Q R C ⊂⊂⊂⊂.由上面所述可知:实数集R 是复数集C 的真子集,即有R C ⊂.把复数写成: (,)a bi a b R +∈,这种表示复数的形式称为复数的代数式.【例2】实数k 取什么值时,复数(1)(2)z k k i =-++是实数,虚数,纯虚数?解 当20k +=,即2k =-时,z 为实数;当20k +≠,即2k ≠-时,z 为虚数;当20k +≠,且10k -=时,即1k =时,z 为纯虚数.练习1.计算(1)2014i ; (2)19i -; (3)7i -; (4)2559i i ⋅.2.指出下列复数的实部和虚部:13i -+,i -,1)i 1,5-,2,0.3.指出下列数中,哪些是实数?哪些是虚数?哪些是纯虚数?2,3i ,0,i ,2i -,12i ,(1i ,1i -.4.m 为何值时,下列复数是实数,纯虚数,虚数?(1)(2)(21)m m i -+-;(2)22(2)(1)m m m i +-+-.2.复数的相等定义4 如果两个复数的实部和虚部都相等,那么就称这两个复数相等. 这就是说,若复数1z a bi =+,2z c di =+(,,,)a b c d R ∈,则12z z =当且仅当a c b d =∧=.如果复数0a bi +=,那么0a =,0b =.【例3】已知(21)1(3)x i y i -+=--,其中x 、y 是实数,求x 和y 的值. 解 由复数相等的定义,得2111(3)x y -=⎧⎨=--⎩解这个方程组,得1x=,4y=.我们知道,两个实数是可以比较大小的,但虚数是不考虑大小关系的,即虚数没有大小之分.因此,当两个复数不全是实数时就不能比较大小.练习1.填空:(1),x y R+=-,则x=,y=;x i yi∈,如果323(2),x y R---+=,则x=,y=;∈,如果(22)(36)30x y i2.求适合下列方程的实数x,y的值:(1)(2)(23)38-++=-;x y x y i i(2)(3)(1)0+-+--=;x y x y i(3)(33)(3)++=--.x y x y i3.复数的几何表示用复平面内的点表示复数初中阶段我们已经学过,实数与数轴上的点是一一对应的,并且实数能用数轴上的点表示.复数z a bi=+,由其实部a和虚部b惟一确定,因此任何一个复数a bi+,都可以由一个有序实数对(,)a b惟一确定.这样我们就可以借助平面直角坐标系来表示复数a bi+.如图11-1所示,建立平面直角坐标系,用横坐标为a,纵坐标为b的点(,)Z a b 表示复数a bi+.这样表示复数的直角坐标平面称为复平面.横坐标轴叫做实轴,纵坐标轴(除原点外)叫做虚轴.表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上.按照这样的表示方法,显然,任意一个复数,在复平面内就能找到一个确定的点和它对应;反过来,对于复平面内任何一个点,就有一个确定的复数和它对应.所以,复数集C和复平面内所有点组成的集合是一一对应的.即复数z a bi=+↔复平面内的点(,)Z a b“↔”表示一一对应的意思.图 11-1 图 11-2【例4】用复平面内的点表示复数:23i +,2i ,3-,0.解 如图11-2所示,复数23i +用点(2,3)A 表示,2i 用点(0,2)B 表示,3-用点(3,0)C -表示,0用点(0,0)O 表示.【例5】复平面内的点(3,2)M 、(4,3)N --、(2,0)P 、(0,3)Q -各表示什么复数?解 如图11-3所示,点(3,2)M 表示复数32i +,点(4,3)N --表示复数43i --,点(2,0)P 表示实数2,点(0,3)Q -表示纯虚数3i -.图 11-3 图 11-4用向量表示复数 如图11-4所示,设复数z a bi =+对应点(,)Z a b ,连结OZ ,则可用向量OZ 表示复数z a bi =+,(规定实数0与零向量对应),并且规定:相等的向量表示同一个复数.显然 复数z a bi =+↔向量OZ 向量OZ 的长度叫做复数a bi +的模,记作||a bi +.由于||OZ = 于是,有||a bi += 我们常把复数z a bi =+说成点(,)Z a b 或向量OZ ,点(,)Z a b 、向量OZ 都是复数的几何表示.并且三者之间的关系: 复数z a bi =+↔复平面内的点(,)Z a b ↔向量OZ【例6】求下列复数的模:(1)112z i =+; (2)2122z =-; (3)33z i =-; (4)45z =-. 解 (1)1|| |12| z i =+==(2)21|| || 12z ==; (3)3|| |3| 3z i =-==;(4)4|| |5|5z =-=. 定义5把由实轴的正半轴到向量OZ 的角θ叫做复数a bi +的辐角.如图11-4所示.因为终边相同的角有无穷多个,所以任何一个非零复数的辐角都有无穷多个,它们彼此相差2π的整数倍.例如,复数1z i =+的辐角是:2 ()4k k Z ππ+∈,这里单位是弧度,也可表示为:36045 (Z)k k ⋅+∈ .由于表示数0的点是(0,0)Z ,即原点O ,所以OZ 为零向量,零向量没有确定的方向,因而数0没有确定的辐角,我们说它的辐角是任意的.定义6 把辐角在[0,2)π内的值称为辐角的主值,记作arg z .例如,复数1z i =--的辐角的主值5arg 4z π=. 复数a bi +的辐角主值arg z 的确定:(1)a 与b 恰有一个为0,可直接确定:当0b =,若0a >,则a 的辐角主值是零,a -的辐角主值是π;当0a =,若0b >,则bi 的辐角主值是2π,bi -的辐角主值是32π. (2)0a ≠,0b ≠时,可利用公式tan b aθ=, 其中θ所在的象限就是与复数相对应的点(,)Z a b 所在的象限.【例7】用向量表示下列复数,并分别求出它们的辐角的主值:(1)1z i =; (2)22z i =; (3)32z =-; (4)422z i =--.解 (1)如图11-5所示,向量1OZ 表示复数1z i .因a =1b =,点1Z在第一象限,又tan θ==,所以1arg 6z π=; (2)如图11-5所示,向量2OZ 表示复数22z i =,其辐角主值2arg 2z π=; (3)如图11-5所示,向量3OZ 表示复数32z =-,其辐角主值3arg z π=; (4)如图11-5所示,向量4OZ 表示复数422z i =--.因2a =-,2b =-,点4Z 在第三象限,又2tan 12θ-==-,所以45arg 4z π=.练习1.用复平面内的点表示复数:34i -+,3i ,2-,0.2.复平面内的点(3,1)M -、(4,5)N -、(4,0)P 、(0,2)Q -各表示什么复数?3.用向量表示下列复数,并分别求出它们的模和辐角的主值:(1)11z =-; (2)23z i =-; (3)33z =-; (4)4z i =.4.共轭复数定义7 当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,称这两个复数互为共轭复数.例如,12i +和12i -,,2和2都分别互为共轭复数.复数z 的共轭复数记作z .一般地,复数a bi +与a bi -互称为共轭复数.显然 有z z =成立.由||a bi +=,||a bi -=||||a bi a bi +=-. 这就是说,两个互为共轭复数的模相等.如图11-6所示,表示共轭复数z a bi =+与z a bi =-的两个点及两个向量都是关于x 轴对称的.如果z 的辐角的主值是θ,由于辐角主值的范围是[0,2)π,那么z 的辐角的主值就是2πθ-.例如,1z i =+的辐角的主值arg 4z π=,则共轭复数1z i =-的辐角的主值3argz πππ=-=.图 11-6练习1.写出复数143z i =+,21z i =-+,352z i =--,43z i =,52z =的共轭复数.2.已知23x i +与63yi -互为共轭复数,求实数,x y 的值.习题11.11.填空:(1)复数集是实数集与虚数集的 ;(2)实数集与纯虚数集的交集是 ;(3)设复数集C 为全集,那么实数集的补集是 ;(4)已知复数3(2)z m m i =+--,其中m 为实数,z 的实部是 ,z 的虚部是 ;若z 为实数,那么m = ;若z 为纯虚数,那么m = ;(5)2015i = ;73i -= .2.在符号=,≠,>,<中,选择适当的一个填空:(1)2i i ; (2)1i -- 33i +;(3)|5|i |6|i -; (4)|2|i -+ |12|i -;(5)|| |4|i -; (6)1||22-- 1||22+. 3.在复平面内,作出表示下列各复数的点和向量:(1)35i -; (2)3i --; (3)4i -;(4)1+; (5)1i +; (6)3.4.求适合下列各方程的实数x 和y 的值:(1)(34)(23)0x y i -++=; (2)(2)(2)3x y x y i i ++-=-;(3)(32)(5)172x y x y i i ++-=-.5.求下列复数的模和辐角的主值:(1)3; (2)23i ; (3)2-; (4)i ;(5)22i +; (6i ; (7)i ; (8)1i .6.已知2x i -与4yi +互为共轭复数,求实数x ,y 的值.7.实数m 取什么值时,复数22(232)(32)m m m m i --+-+是实数?是纯虚数?是0?8.在复平面内,满足条件||1z =的复数z 对应的点的集合是怎样的图形?§11.2 复数的四则运算1.复数的加法与减法复数的加法与减法可以按照多项式的加法和减法的运算法则来进行,也就是实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.即设1z a bi =+,2z c di =+是任意两个复数,则12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++12()()()()z z a bi c di a c b d i -=+-+=-+-由上面的法则可知,两个复数的和(差)仍然是一个复数.容易验证,复数加法满足:(1)交换律:1221z z z z +=+;(2)结合律:123123()()z z z z z z ++=++.其中1z ,2z ,3z C ∈.【例1】计算:(1)(13)(24)i i ++-;(2)(25)(12)i i --+;(3(1)4i i +-.解(1)原式(12)(34)3i i =++-=-;(2)原式(21)(52)17i i =-+--=-;(3)原式10)(014)1)3i i =-++-=-.【例2】设复数z a bi =+,计算z z +与z z -.解 ()()()()2z z a bi a bi a a b b i a +=++-=++-=;()()()[()]2z z a bi a bi a a b b i bi -=+--=-+--=.由例2可知,两个共轭复数的和是一个实数;当虚部0b ≠时,两个共轭复数的差是一个纯虚数.练习计算下列各题:(1)(43)(54)i i ++-; (2)(15)(14)i i ---+;(3)(32)(12)(45)i i i -++--+; (4)3(2)6i i ++-.2.复数的乘法与除法复数的乘法复数的乘法可以按照多项式相乘的运算法则来进行,在所得的展开式中,将2i 换成1-,然后把实部和虚部分别合并.设1z a bi =+,2z c di =+是任意两个复数,则212()()z z a bi c di ac bci adi bdi ⋅=++=+++()()ac bci adi bd ac bd bc ad i =++-=-++由上面的法则可知,两个复数的积仍是一个复数.容易验证,复数乘法满足:(1)交换律:1221z z z z ⋅=⋅;(2)结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅;(3)分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅.其中1z ,2z ,3z C ∈.【例3】求共轭复数z a bi =+与z a bi =-的积.解 22222()()z z a bi a bi a b i a b ⋅=+-=-=+由例3可知,两个共轭复数的积是一个实数,等于复数模的平方.【例4】计算:(1)(23)(45)i i +--; (2)(12)(34)(112)i i i -++.解:(1)原式28121015722i i i i =----=-;(2)原式22(112)(112)1121214125i i =-+=+=+=.【例5】计算:10(1)i -.解 10252555(1)[(1)](12)(2)3232i i i i i i i -=-=-+=-=-=-.复数的除法两个复数相除(除数不为零),先写成分式的形式,然后用分母的共轭复数同乘分子和分母,并且进行化简,最后写成复数的代数式即可.设1z a bi =+,2z c di =+(0)c di +≠.则 1122z a bi z z z c di +÷==+()()()()a bi c di c di c di +-=+- 222222()() (0)ac bd bc ad i ac bd bc ad i c di c d c d c d++-+-==++≠+++ 即有 ()()a bi c di +÷+2222 ac bd bc ad i c d c d +-=+++ 其中0c di +≠,所以220c d +≠.由上面的法则可知,两个复数的商仍是一个复数.【例6】计算:(1)(12)(34)i i +÷-; (2)(34)2i i --÷; (3)201211i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 解 (1)12(12)(34)(12)(34)34(34)(34)i i i i i i i i ++++÷-==--+ (38)(64)510129162555i i i -++-+===-++; (2)34(34)(2)(34)22(2)(2)i i i i i i i i -------÷==-683242i i -==-+; (3)20122012201220121(1)(1)211(1)(1)2i i i i i i i i ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎣⎦.练习1.填空(填上计算结果):(1)(23)(23)i i -+= ; (2)(31)(31)i i -+= ;(3)1621i i ⋅= .2.计算:(1)(23)(4)i i --+; (2)(25)(5)i i -+-;(3)2(1); (4)(3)(3)(12)i i i --+.3.计算:(1)(22)(14)i i +÷-; (2)3(2)i i ÷-;(3)3123i +; (4)100011i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭.3.配方法与一元二次方程的解我们知道,2(3)9i =-,2(3)9i -=-,所以3i 与3i -都是9-平方根.即3x i =±是方程29x =-的两个根,同样x i =±是方程21x =-的两个根,x =是方程25x =-的两个根.一般地,如果0a >,则x i = (1) 是方程2 x a =-在复数集内的两个根.对于一元二次方程20 (,,0)ax bx c a b c a ++=≠均为实数,且的解.配方,得2224()2(2)b b ac x a a -+= 当判别式240b ac ∆=-≥时,x = 方程在实数集R 中有解;当判别式240b ac ∆=-<时,方程在实数集R 中无解. 将2224()2(2)b b ac x a a -+=变形为:2224()2(2)b ac b x a a -+=-由(1)式并整理可得2b ix a-±=即方程在复数集C 中有两个根,显然它们是一对共轭复数.这一对共轭虚根1x 、2x ,有12b x x a +=-, 12cx x a=.即在复数集C 中,实系数一元二次方程的根与系数的关系,在判别式240b ac ∆=-<时仍然成立.【例7】在复数集C 中,解方程2450x x -+=.解 因为224(4)2040b ac -=--=-<,所以422ix i ±==± 即方程的解为12x i =+,22x i =-.【例8】已知实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根是1,求它的另一个根和b 、c 的值.解 因为实系数一元二次方程在复数集中的两个根是共轭复数,所以另一个根是1,由一元二次方程根与系数的关系可得12()2b x x =-+=-,12(1)(1)4c x x ===.练习1.在复数集C 中,解下列方程:(1)22100x x ++=; (2)23210x x ++=; (3)2250x +=. 2.已知实系数一元二次方程20x mx n ++=的一个根是24i +,求它的另一个根和m 、n 的值.习题11.21.计算:(1)(23)(34)i i -++-; (2)(35)(2)i i -+--; (3)(24)(35)(1)i i i ++---+; (4)(1)(22)(34)i i i -+-;(5)50(23)(4)i i i --; (6)1234ii-+;(7)1001()1i i+-; (8)2111i i i -++-;(9(10)357(1)(2)(3)(4)i i i i -+-+-+-. 2.设复数212iz i+=-,则z 的实部是 ,z 的虚部是 ,z = ,||z = ,z 的辐角的主值是 .3.已知6311(,)234a bi a b R i i i +=+∈++,则a 的值是 ,b 的值是 . 4.已知(3)(23)()0i i a bi +-++=,则实数,a b 的值分别是 和 .5.在复数集内解下列方程:(1)2460x x ++=; (2)2230x x ++=.6.在复数集内分解因式:(1)24x + (2)221x x -+.7.在复平面内满足条件|(22)|3z i -+=的点的集合是怎样的图形?§11.3 复数的三角式与指数式1. 复数的三角式设复数z a bi =+的模||OZ r =,辐角为θ,由图11-7可以看出,cos sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩所以 cos (sin )(cos sin )a bi r r i r i θθθθ+=+=+.其中r =θ是复数的辐角,tan (0)ba aθ=≠,θ所在的象限由a 和b 的符号确定.图 11-7 我们把(cos sin )r i θθ+叫做复数的三角式,为了与复数的三角式有所区别,把a bi +叫做复数的代数式.复数三角式的特点: (1)0r =≥;(2)实部是cos r θ,虚部是sin r θ;(3)cos θ与sin θ中的角θ必须相同,是复数的辐角,辐角θ的单位可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以取主值,也可以不取主值.但是为了简便,在把复数的代数式化为三角式时,一般θ都取主值.辐角θ可按本章第一节介绍的方法确定;(4)实部与虚部之间必须用“+”号连接. 【例1】把下列复数化为三角式:(1)1i ; (2)3i ; (3)5-.解 (1)因1a =,b =(1在第一象限,tan 1θ==,所以θ的主值是3π.又2r ==,于是12(cos sin )33i i ππ=+;(2)因0a =,3b =,点(0,3)在纵轴的正半轴上,所以θ的主值是2π.又3r ==,于是33(cossin )22i i ππ=+; (3)因5a =-,0b =,点(5,0)-在横轴的负半轴上,所以θ的主值是π.又5r ==,于是55(cos sin )i ππ-=+.【例2】把下列复数化为代数式:(1sin 225)i + ; (2)333(cos sin )22i ππ+.解 (1sin 225)i +cos45sin 45)i =--)122i =--=--; (2)333(cossin )22i ππ+ 3(0)3i i =-=-.【例3】求复数z a bi =+的共轭复数z a bi =-的三角式.解 设复数(cos sin )z a bi r i θθ=+=+,则(cos sin )z a bi r i θθ=-=- [cos()sin()]r i θθ=-+-在这里要注意的是(cos sin )r i θθ-并不是复数z a bi =-的三角式.例如,当θ是第二象限角时,复平面上与z 对应的点在第三象限内,因而()θ-才是z 的辐角.【例4】在复平面内,作出i ,2i ,3i ,4i 所对应的向量,并用三角式表示这些复数.解 如图11-8所示,向量OA表示复数i ,因为21i =-,3i i =-,41i =,所以向量OB ,OC ,OD分别表示2i ,3i ,4i .图 11-8由图9-11可知,i ,2i ,3i ,4i 的模都是1,它们的辐角主值分别是2π,π,32π,0.所以 cossin22i i ππ=+; 21cos sin i i ππ=-=+;333cossin 22i i i ππ=-=+; 41cos0sin 0i i ==+. 显然,它们都在以原点为圆心,1r =为半径的圆周上.练习1.下列复数是否为复数的三角式,为什么?(1)2(cos sin )33i ππ-+; (2)2(cos sin )33i ππ-;(3)2(cos sin )33i ππ+; (4)2(cos sin )36i ππ+.2. 把下列复数化为三角式:(1)1i ; (2)1i -+; (3) 5i ; (4)4-. 3. 把下列复数化为代数式:(1sin315)i + ; (2)5(cos sin )22i ππ+.2. 复数三角式的乘法与除法复数三角式的乘法设任意两个复数1z ,2z 的三角式分别是1111(cos sin )z r i θθ=+,2222(cos sin )z r i θθ=+,则 12111222(cos sin )(cos sin )z z r i r i θθθθ⋅=+⋅+1212121212[(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )r r i θθθθθθθθ=⋅-++ 121212[cos()sin()]r r i θθθθ=⋅+++ 即111222121212(cos sin )(cos sin )[cos()sin()]r i r i r r i θθθθθθθθ+⋅+=⋅+++ (*)其中1r ,2r 分别是1z ,2z 的模,1θ,2θ分别是1z ,2z 的辐角.这就是说,两个复数相乘,积还是一个复数,它的模等于两个复数的模的积,辐角等于两个复数的辐角的和.简单地说,两复数相乘,就是把模相乘,辐角相加.【例5】设1sin )1212z i ππ=+,2sin )66z i ππ=+,计算12z z ⋅.解 12sin )sin )121266z z i i ππππ⋅=++6[cos()sin()]126126i ππππ=+++sin )44i ππ=+6(22i =+= (*)式可以推广到n 个有限复数相乘的情形,即111222(cos sin )(cos sin )(cos sin )n n n r i r i r i θθθθθθ+⋅+⋅⋅+121212[cos()sin()]n n n r r r i θθθθθθ=⋅⋅⋅+++++++ ()n N +∈特别地,当12n r r r r ==== ,12n θθθθ==== 时,又可得到[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+ ()n N +∈这就是说,复数的 ()n n N +∈次幂的模等于这个复数的模的n 次幂,辐角等于这个复数的辐角的n 倍.当1r =时(cos sin )(cos sin )n i n i n θθθθ+=+ ()n N +∈我们把它叫做棣莫佛(de Moivre )定理.【例6】设复数1(c o s 24s i n 24)z i =+ ,2sin50)z i =+ ,3sin106)z i + ,计算123z z z ⋅⋅.解 12350106)sin(2450106)]z z z i ⋅⋅+++++10(cos180sin180)10i =+=-. 【例7】计算18(cos20sin 20)i + .解 18(cos20sin 20)cos360sin3601i i +=+= .复数三角式的除法设任意两个复数1z ,2z 的三角式分别是1111(cos sin )z r i θθ=+,2222(cos sin )z r i θθ=+,且20z ≠,则11112222(cos sin )(cos sin )z r i z r i θθθθ+=+ 1112222222(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )r i i r i i θθθθθθθθ+-=+-11212121222222[(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )](cos sin )r i r θθθθθθθθθθ++-=+ 112122[cos()sin()]r i r θθθθ=-+-. 即111112122222(cos sin )[cos()sin()](cos sin )r i r i r i r θθθθθθθθ+=-+-+ 2(0)z ≠.其中1r ,2r 分别是1z ,2z 的模,1θ,2θ分别是1z ,2z 的辐角.这就是说,两个复数相除,商还是一个复数,它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简单地说,两个复数相除,就是把模相除,辐角相减. 【例8】设14416(cossin )33z i ππ=+,2554(cos sin )66z i ππ=+,计算12z z . 解 124416(cossin )16454533[cos()sin()]55436364(cos sin )66i z i z i ππππππππ+==-+-+ 4(c o s s i n )422i i ππ=+=.【例9】设1z i =-,23(cos120sin120)z i =- ,计算12z z . 解 1cos270sin 270z i =+ ,23(cos120sin120)3[cos(360120)sin(360120)]z i i =-=-+-3(cos240sin 240)i =+于是 12cos 270sin 2703(cos 240sin 240)z i z i +=+1[cos(270240)sin(270240)]3i =-+-11(cos30sin 30)36i i =+= . 可以证明,棣莫佛定理对于负整数指数幂也成立.因为11cos 0sin 0(cos sin )cos()sin()cos sin cos sin i i i i i θθθθθθθθ-++===-+-++,所以1(cos sin )[(cos sin )][cos()sin()]n n n i i i θθθθθθ--+=+=-+-cos()sin()n i n θθ=-+-.由此可知,对于所有整数指数幂,棣莫佛定理恒成立.即(cos sin )cos()sin()n i n i n θθθθ-+=-+- ()n Z ∈.【例10】计算:12[cos()sin()]66i ππ--+-.解 12[cos()sin()]cos 2sin 2166i i ππππ--+-=+=.练习计算:(1240sin 240)sin 60)i i ++ ;(2)6sin)]1212i ππ+;(3)2212(cos sin )6(cos sin )3333i i ππππ+÷+; (4)53(cos30sin 30)i -+ ;(5; (6)3[(cossin )]33i ππ-+; (7)6(1)i --.3. 复数的指数式前面我们学习了复数的代数式、三角式.本节我们学习复数的指数式.由欧拉(Euler )公式cos sin i i e θθθ+=其中 2.71828e = ,在两边同乘以复数的模r ,则得(cos sin )i r i re θθθ+=.i re θ就叫做复数的指数式.其中,r θ分别是复数的模与辐角,这里辐角θ的单位只能用弧度表示.下面举例说明复数的代数式、三角式与指数式的相互转化. 【例11】将下列复数表示为指数式:(1sin150)i + ; (2)cos sin 33i ππ-.解 (15 655sin150)sin )66i i i πππ+=+=; (2)3cossincos()sin()3333i i i eπππππ--=-+-=.【例12】把下列复数化为指数式:(1; (2)44i -+.解 (12sin )22i i πππ=+=;(2)3 43344sin )44i i i e πππ-+=+=. 【例13】将下列复数化为代数式:(14i eπ-; (223i eπ.解 (14)sin()]144i ei i πππ-=-+-=-;(22 322sin ]33i e i πππ=+13)22i =-+=+. 根据复数三角式的乘法、除法和幂的运算法则,我们还可以推得复数指数式的乘法、除法和幂的运算法则:(1)1212()1212i i i re r e rr eθθθθ+=; (2)1122()11222(0)i i i re re r r e r θθθθ-=≠;(3)() ()i n n in re r e n N θθ+=∈. 【例13】计算:(1)43345i ieeππ-⋅; (2)3232(4)iie e ππ÷; (3)4394 )(2)iie ππ÷.解 (1)44[()]3333452020i ii i eeee πππππ-+-⋅==;(2)()3236232(4)88ii iie e ee πππππ-÷==;(3)2()439333411 )(2)4822iii i ii e e e e e πππππππ-÷=÷==.练习1.把下列复数化为指数式:(177sin )66i ππ+; (2sin135)i + ;(3)1i ; (4)2-; (5)5i . 2.计算下列各题,并化为三角式:(1)34iie e ππ⋅; (2)24iie e ππ÷; (3)324345iiie e e πππ⋅÷. 3.计算:(1)39(2)i e π-; (2)8363)()iie ππ÷.4. 复数在电工学中的表示复数在电工学中有着广泛的应用.因为在电工学中字母i 表示电流,为了避免混淆,所以在这里的虚数单位用j 表示,复数的代数式用a jb +表示.复数的指数式i re θ,简记为r θ∠,即i re r θθ=∠.r θ∠称为复数的极式,其中,r θ分别为复数的模与辐角,这里θ可以用弧度表示,也可以用角度表示.一般地,在电工学中辐角θ的范围取πθπ-<≤(或180180θ-<≤ ).例如 22(cos sin )222180j j e ππππ-=+==∠=∠ ;211111(cos sin )9022222222j j j e ππππ=+==∠=∠ ; cos()sin()90222j j πππ-=-+-=∠-=∠- ;41sin )45444jj j ππππ+=+=== .练习把下列复数写成指数式与极式:(1)1j -+; (2)5-; (3)1 ; (4)2j ; (5)4j -.习题11.31.把下列复数化为三角式和指数式:(1)122+; (2)33i --; (3)2-;(4)4; (5)5i -; (6)3i . 2.把下列复数化为代数式:(1)552(cos sin )33i ππ+; (2)5(cos sin )22i ππ+;(3)24iie eππ-⋅; (4)11662)iieππ-÷.3.计算:(1)12z z ⋅与12z z ÷,其中12(cos135sin135)z i =+ ,23[cos(90)sin(90)]z i =-+- ;(2)8[(cos sin )]21212i ππ+;(3)42(cos10sin10sin15)][2(cos 20sin 20)]i i i +++ ;(4)12z z ⋅与12z z ÷,其中3216iz eπ-=,54213i z e π=;(5)515)iπ; (6)61()2-+;(7)9)i ; (8)5(cossin )33i ππ-. 4.下列数是否为复数的三角式?若不是,试把它化为三角式: (1)4(cos sin )66i ππ-+; (2)4(cos sin )66i ππ--;(3)4(cossin )66i ππ+; (4)(cos sin ) (0)r i r θθ+>.名词索引复数 complex number 实部 real part 虚部 imaginary part 虚数 imaginary number 纯虚数 pure imaginary number 虚轴 imaginary axis 实轴 real axis 复平面 complex plane 模 module 辐角 argument 主值 principal value共轭复数 conjugate complex number 极式 pole type数学符号i 虚数单位,如实数中的单位是1一样,21i =-,它可以与实数进行四则运算.a bi + 表示复数,a 称为复数的实部,b 称为复数的虚部,复数集包含了实数集. C 复数集的标记,C 来自其英文名字(complex number )的首写字母.z 小写英文字母,复数集中表示复数的符号.||z 复数z 的模(或绝对值),其值等于复数z 的实部与虚部的平方和的开方. θ 复数的辐角的标记,希腊字母,读作“Theta ”、“西塔”.arg 复数的辐角主值的标记,是argument 的前三个字母,其范围:[0,2)π. j 虚数单位,在电工学中字母i 表示电流,为避免混淆,用j 表示虚数单位. r θ∠ 复数的极式,是复数指数式i re θ的简写,其中,r θ分别为复数的模与辐角.常用公式1.复数相等设复数1z a bi =+,2z c di =+,则a c =且12b d z z =⇔= 2.复数的模设复数z a bi =+,则||z =3.复数的辐角设复数a bi +的辐角为θ,则tan b aθ= 4.复数的共轭设复数z a bi =+,则z a bi =- 5.复数的加、减设复数1z a bi =+,2z c di =+,则12()()z z a c b d i ±=±+± 6.复数的乘、除设复数1z a bi =+,2z c di =+,则12()()z z ac bd bc ad i ⋅=-++,11222222z ac bd bc ad z z i z c d c d+-÷==+++ 7.一元二次方程20ax bx c ++=(240b ac ∆=-<)的根2b ix a-±=8.复数三角式的乘、幂、除设复数1111(cos sin )z r i θθ=+,2222(cos sin )z r i θθ=+,则12121212[cos()sin()]z z r r i θθθθ⋅=⋅+++, [(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+,11121222[cos()sin()]z r i z r θθθθ=-+- 9.复数指数式的乘、幂、除设复数111i z re θ=,222i z r e θ=则1212()1212i i i re r e rr eθθθθ+=, ()i nn in re r e θθ=, 1122()1122i i i re r e r e r θθθθ-=复习题111.判断下列命题的真假:(1)复数集{|,,}C z z a bi a R b R ==+∈∈; ( ) (2)(2)(3)0a b i -+-=的充要条件是2a =,且3b =; ( ) (3i 是无理数; ( ) (4)(1i )不是纯虚数; ( ) (5)0z z +=; ( ) (6)1212||||||z z z z =; ( ) (7)1212||||||z z z z +=+; ( ) (8)2||z z z =; ( ) (9)||||n nz z =; ( ) (10)任一个实系数二次方程20ax bx c ++=,在复数集中一定有两个互相共轭的复数根; ( )(11)任一个复数a bi +都可以化为三角形式(cos sin )z r i θθ=+. ( ) 2.填空题:(1)0a =是 (,)a bi a b R +∈为纯虚数的 条件;(2)若(3)a bi -+与2i +是共轭复数,那么实数,a b 的值是 ; (3)已知复数z 的虚部为6,且||7z =,那么z = ; (4)复数cossin66z i ππ=-的模为 ,辐角的主值是 ;(5)()(12)84 (,)a bi i i a b R +-=+∈,那么a 的值是 ,a 的值是 ;(6)设复数z =,则z 的实部是 ,z 的虚部是 ,z = ,||z = ,z 的辐角的主值arg z 是 ;(7)|34|i += ;(8)(75)(43)i i ++-= ; (9)(25)(43)i i -+= ; (10)(85)(47)i i ---= ; (11)(1)(1)i i +÷-= ;(12)点1Z 对应的复数是4i +,点2Z 对应的复数是23i -+,则线段12Z Z 的中点对应的复数是 ;(13)(cossin )(cos sin )4422i i ππππ++= ; (14)i e θ的三角式是 . 3.选择题:(1)491419i i i i +++的值是( ).A.1-B.iC.1D.0(2)实数1m ≠-时,复数22(32)(56)m m m m i -++--是( ). A.纯虚数 B.实数 C.虚数 D.不能确定 (3)复数2[cos()sin()]44z i ππ=--+-的辐角主值是( ).A.4π B.34π C.74π D.54π(4)复数cossin66z i ππ=-的模是( ).A.34 B.1(5)设z 为复数,下列各组数中两个都为实数的是( ).A.z z +与z z ⋅B.z z +与z z -C.z z -与z z D.z z ⋅与zz(6)在平行四边形ABCD 中,点A ,B ,C 分别对应复数2i +,43i +,35i +,那么点D 对应的复数是( ).A.34i +B.14i +C.23i +D.13i +5.计算:(1)6[2(cos15sin15)]i + ; (2(3)661122i i +-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (4)58)(cos sin )88i i ππ⋅+; (5)4355[2(cossin )]33(cos sin )33i i ππππ++; (6)2013122⎛+ ⎝⎭. 6.在复数集内解下列方程:(1)2230x +=; (2)23210x x ++=.7.已知一元二次实系数方程20x px q ++=有一根为4i ,求,p q 及另一根. 8.已知z 是虚数,解下列方程:(1)||2z z i +=+; (2)2z z =.。
应用数学基础答案
综合作业1. (单选题) 已知空间两点,向量( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案: A标准答案:A解析:无得分: 12. (单选题) 向量,则( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案: C标准答案:C解析:无得分: 13. (单选题) 函数的偏导数存在是在点可微是的( )(本题1.0分)A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件学生答案: C标准答案:B解析:无得分: 04. (单选题) 平面在轴的截距是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案:未答题标准答案:D解析:无得分: 05. (单选题) 已知空间两点,向量的中点( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案:未答题标准答案:B解析:无得分: 06. (单选题) ,( )(本题1.0分)A、B、C、D、 1学生答案:未答题标准答案:A解析:无得分: 07. (单选题) 级数一定( )(本题1.0分)A、收敛B、发散C、条件收敛D、可能收敛可能发散学生答案:未答题标准答案:B解析:无得分: 08. (单选题) 微分方程的阶数是( )(本题1.0分)A、 2B、 3C、 4D、 5学生答案:未答题标准答案:A解析:无得分: 09. (单选题) 已知空间两点,向量的模( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案:未答题标准答案:A解析:无得分: 010. (单选题) 方程表示怎样的曲面( )(本题1.0分)A、柱面B、平面C、球面D、圆锥面学生答案:未答题标准答案:C解析:无得分: 011. (单选题) 函数函数在点可微是在点的偏导数存在是的( )(本题1.0分)A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件学生答案:未答题标准答案:A解析:无得分: 012. (单选题) 已知,则 ( )(本题1.0分)A、 2B、 3C、 6D、-62学生答案:未答题标准答案:D解析:无得分: 013. (单选题) 已知空间两点,向量的中点( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案:未答题标准答案:B解析:得分: 014. (单选题) ,( )(本题1.0分)A、B、C、D、 1学生答案:未答题标准答案:B解析:无得分: 015. (单选题) 若,则级数( )(本题1.0分)A、一定收敛B、一定发散C、一定条件收敛D、可能收敛可能发散学生答案:未答题标准答案:D解析:无得分: 016. (单选题) 微分方程的阶数是( )(本题1.0分)A、 2B、 3C、 4D、 5学生答案:未答题标准答案:B解析:无得分: 017. (单选题) 函数是( )(本题1.0分)A、偶函数B、奇函数C、非奇非偶函数D、恒等于零的函数学生答案:未答题标准答案:A解析:无得分: 018. (单选题) 函数是定义域的( )(本题1.0分)A、周期函数B、单调函数C、有界函数D、无界函数学生答案:未答题标准答案:B解析:无得分: 019. (单选题) 函数的反函数是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案:未答题标准答案:B解析:无得分: 020. (单选题) 设()(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案:未答题标准答案:B解析:无得分: 021. (单选题) 函数的导数为( )(本题1.0分)A、 3B、C、D、学生答案:未答题标准答案:D解析:无得分: 022. (单选题) =( )(本题1.0分)A、0B、 1C、 2D、 3学生答案:未答题标准答案:C解析:无得分: 023. (单选题) 若函数在某点不可导,则函数所表示的曲线在相应点的切线( )(本题1.0分)A、一定不存在B、不一定存在C、一定存在D、以上结论都不对学生答案:未答题标准答案:B解析:无得分: 024. (单选题) 函数在点的导数是( )(本题1.0分)A、B、C、0D、不存在学生答案:未答题标准答案:D解析:无得分: 025. (单选题) 函数是( )(本题1.0分)A、偶函数B、奇函数C、非奇非偶函数D、恒等于零的函数学生答案:未答题标准答案:A解析:无得分: 026. (单选题) 函数是定义域的( )(本题1.0分)A、周期函数B、单调函数C、有界函数D、无解函数学生答案:未答题标准答案:C解析:无得分: 027. (单选题) 函数的反函数是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案:未答题标准答案:D解析:无得分: 028. (单选题) 设( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案:未答题标准答案:B解析:无得分: 029. (单选题) 函数的导数为( )(本题1.0分)A、 3B、C、D、学生答案:未答题标准答案:C解析:无得分: 030. (单选题) =( )(本题1.0分)A、0B、 1C、 2D、 3学生答案:未答题标准答案:C解析:无得分: 031. (多选题) 下列说法中正确的是(本题4.0分)A、若在点处连续,则在该点处的导数一定存在。
《应用数学基础》(陈冲)157-8课件 第一章 函数、极限与连续
1.1 函数的概念 2.函数的性质
3)单调性
设函数 f (x) 在区间 I 上的任意两点 x1 ,x2 ,当 x1 x2 时,有 f (x1) f (x2 ) ,则称 y f (x) 在 区间 I 上为单调增加函数;反之,当 x1 x2 时, f (x1) f (x2 ) ,则称 y f (x) 在区间 I 上为单调
应用数学基础
第一章 函数、极限与连续
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ONTENTS
1 函数 2 函数的极限 3 无穷小量与无穷大量 4 极限的四则运算法则 5 两个重要极限 6 函数的连续性
01 函 数
1.1 函数的概念 1.函数的两个要素
➢ 函数的概念
定义 1 设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集,如果对于给定的每个数 xD ,按照 某个法则 f 总有一个确定的 y 值和它对应,则称 y 是 x 的函数,记作 y f (x) ,数集 D 称为这个 函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量, y 的取值范围称为函数的值域,用 M 表示.
1.2 基本初等函数
(1)常数函数: y C . (2)幂函数: y x ( 为常数). (3)指数函数: y ax ( a 0 , a 1, a 为常数). (4)对数函数: y loga x ( a 0 , a 1, a 为常数). (5)三角函数: y sin x , y cos x , y tan x , y cot x , y sec x , y csc x . (6)反三角函数: y arcsin x , y arccos x , y arctan x , y arccot x . 这六种函数统称为基本初等函数.这些函数的定义、图像和性质在中学已经学过,今后会 经常用到.
.
应用数学基础(第一册) 2-4幂的推广和幂函数
那么就有
所以
5
3 5
5 =a3,
3
3 =5 .
根据n次方根的意义,
3
可以把5 看成是a3的5次方根,
一般地, 规定:
(1) = (m、 n∈N+, 且n>1, 当n为偶数时,a≥0; 当n为奇数时,a∈R);
1
−
(2) =
(m、 n∈N+, 且n>1, 当n为偶数时,a>0; 当n为奇数时,a∈R ,且a≠0);
对于这样的函数, 有如下定义:
定义
1
2
函数y=xα叫做幂函数, 其中x是自变量, α是实常数.
例6 求下列幂函数的定义域:
(1)
2
y= 3 ;
(2)
3
y= 4 ;
1
−
(3) y= 2 ;
2
2
都有意义, 所以y= 3 的定义域是(−∞,
解 (1)
2 3
y= 3 =
2 . x取任意实数
4
5
12
和
10 ,
根据整数指数幂的运算性质(2)和 与a的关系, 可得
4
4
12 = (3 ) 4
这就把根式
4
=a3
12
= 4
5
12
和
(a>0),
5
5
10
=
10
( 2 ) 5 =b2
= 5 .
10 写成了分数指数幂的形式.
事实上, 如果整数指数幂的运算性质对分数指数幂也成立,
2
4
81
= .
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经济管理专业应用数学基础
经济管理专业应用数学基础引言应用数学是经济管理专业的重要基础课程之一,它为学生提供了数学工具和方法,以解决经济学和管理学中的实际问题。
本文将介绍经济管理专业应用数学基础的重要性、主要内容以及对未来职业发展的影响。
重要性在现代经济和管理领域,数学的应用日益普遍和重要。
经济学和管理学研究中的许多问题都可以转化为数学模型,通过数学方法进行分析和解决。
应用数学为学生提供了工具和技巧,以更好地理解和解决这些实际问题。
应用数学能够提高学生的解决问题的能力和分析能力。
经济和管理问题通常具有复杂性和不确定性,需要通过数学模型进行建模和分析。
应用数学的学习可以培养学生的逻辑思维和数学建模能力,使他们能够灵活运用所学知识解决实际问题。
此外,应用数学还能够帮助学生建立数学思维和抽象思维能力。
经济和管理问题的数学建模过程需要学生从实际问题中抽象出数学模型,通过符号代表和数学运算来分析问题。
这种抽象思维能力对于学生的数学素养和创新能力的培养具有重要作用。
主要内容经济管理专业应用数学基础的主要内容包括以下几个方面:线性代数线性代数是应用数学的基础,并在经济和管理学中广泛应用。
线性代数涉及向量空间、矩阵理论、线性方程组和线性变换等内容。
学生通过学习线性代数可以掌握向量和矩阵的运算法则,理解线性方程组的解法以及线性变换在实际问题中的应用。
概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象的数学分支,也是经济和管理学中常用的工具。
学生通过学习概率论与数理统计可以了解随机变量、概率分布、假设检验等内容,掌握描述和分析经济和管理问题中的随机性和不确定性的方法。
微积分微积分是应用数学的核心内容,也是经济和管理学中最常用的工具之一。
学生通过学习微积分可以掌握函数的极限、导数和积分等概念,理解函数的性质和图形,应用微积分方法解决经济和管理问题。
线性规划线性规划是一种数学优化方法,被广泛应用于经济和管理领域。
线性规划通过建立数学模型和求解最优解,帮助决策者做出最优决策。
《应用数学基础》(陈冲)教学课件 预 备 知 识
由交集的定义可知,对于任何集合 A 与 B,都有 A A A, A B B A, A .
特别地,如果两个集合 A,B 没有公共元素,则它们的交集等于空集,表示为 A B .
1.3 集合的基本运算 1.交集
1.1 集合的概念与表示 2.集合的表示方法
1)列举法 对于有的集合,可以在大括号中将它的元素一一列举出来,元素之间用逗号隔开,这种表示 集合的方法称为列举法. 例如,由大于 3 且小于 10 的所有偶数组成的集合可以表示为
{4,6,8} ; 方程 x2 9 0 的解集可以表示为
{ 3,3}. 由于集合是由一些对象组成的整体,因此在用列举法表示集合时,不必考虑元素的排列次序, 即{3, 3} 和{ 3,3}表示的是同一个集合.
1.1 集合的概念与表示 1.集合的概念
例 1 用符号“”或“”填空:
(1) 5 _____N,
2 _____N,
(2) 0 _____Z,
2.3 _____Z,
(3) π _____Q,
1.6 _____Q,
(4) 3 _____R,
2 _____R,
3.7_____N; 5 _____Z; 9.21_____Q; 4.7_____R.
(2)解方程 x2 2x 3 0 得
x1 3 , x2 1,
所以该方程的解集为
{ 3,1} .
1.1 集合的概念与表示 2.集合的表示方法
例 3 用描述法表示下列集合: (1)大于 3 的所有奇数组成的集合; (2)不等式 3x 1 0 的解集.
解 (1)该集合中元素的共同属性可以描述为 x 3 且 x 2 k 1, k Z ,
【研究生课件应用数学基础】第一章集合上的数学结构-PPT精选文档
证: |‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖。
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26. 设V是赋范线性空间。MV称为凸集, 如果u,v∈M,θ∈[0,1],总有 w=θu+(1-θ)v∈M。 证明:开球B1(0)={u∈V/‖u‖<1}是 凸集。
27.设 则
u
是Banach空间V中无穷级数。
证明:如果‖un‖≤Mn(n=1,2,…)
对矩阵的加法及数与矩阵的乘法。
(3)平面上不平行于某一向量的全体向量,对于
向量的加法和数与向量的乘法。
(4)主对角线上各元素之和为零的全体n阶实 矩阵的要合,对于矩阵的加法和数与矩阵的乘 法。
3
10.设向量组x1,x2, …,xm∈V(F)线性相关。证明:
向量组x1,x2, …,xm,xm+1, …,xn(n>m)∈V(F)也线 性相关。 11.设向量组x1,x2, …,xn∈V(F)线性无关。向量组 x1,x2, …,xn,x∈V(F)线性相关。证明:x可由 x1,x2, …,xn线性表示。 12.在向量空间Rn中,下列向量集合是否构成 Rn子空间?为什么?如果是子空间,它的维数
32.设x1=(1,1,0)T,x2=(2,0,1)T,x3=(2,2,1)T∈R3,求一 组与x1,x2,x3等价的标准正交基。
12
33. 设M和N是Hilbert空间H中的闭子空间, 且M⊥N,证明:MN是H中的闭子空间。 34.设H是内积空间,证明:若wH,有 (u,w)=(v,w)(u,v∈H),则u=v。 35. 设H是[-1,1]上连续实函数空间, 定义内积: (f, g) fgdx ,
是多少?
(1)前两个分量之和为零的全体向量V。
4
(2)前两个分量之和不为零的全体向量V.
《应用数学基础》学习辅导与习题解答
《应用数学基础》学习辅导与习题解答
应用数学基础是一本关于数学基本原理及其在应用领域中的实际应用的书籍。
本书倡
导理论和实践相结合,可以激发读者学习数学的激情,使他们考虑到许多他们了解此领域
的方面。
本书是基于特定的应用领域,特别是社会科学,经济学,教育学,和商业,服务
的基础数学原理。
这些原理包括概率,统计,线性规划,成本-效益分析,控制系统设计,动态规划,灵活选择和优化技术,随机过程和搜索,及分析和数值技术。
本书涵盖了一系列经典主题和例子,更新了一系列概念和内容,它被设计为教授应用
数学课程以及其他专业的技术领域,这些领域可以使用现代数学工具,并用应用数学原理
来解决实际技术问题。
本书讲述的是一系列针对复杂系统的系统抽象,采用统一的单一数
学模型,清晰地反映了这些抽象的差异和复杂性。
书中还提供了一系列的课堂活动,以及
例子和习题解答,以便读者可以更好地理解并应用数学原理。
本书共分为14章,包括:绪论,线性代数,统计和随机现象,统计技术和精细方法,概率理论,搜索和优化技术,流程模型,灵活模型,可靠性,成本效益分析,控制系统,
动态规划,稳定,以及最优化算法。
每一章都从应用数学的层面介绍了数学的基本原理,
然后根据书后的习题解答,读者可以更好的掌握数学的基本原理。
本书既可以作为一本数学基础书学习数学,也可以作为一本工具书,解决复杂商业或
其他技术实际问题,使读者可以更好地理解并应用数学原理,提高学习数学的效率。
天津大学数学系《应用数学基础》编写组编
天津大学数学系《应用数学基础》编写组编《应用数学基础》是一部现代应用数学的综合性教程,本书是天津大学数学系编写组编写的,由胡晓光教授担任主编,主要重点介绍和讨论现代应用数学的基本概念、基础知识和基本方法。
全书共分为12章,包括线性代数、复变函数、计算几何学、数值分析、概率论及其应用等内容。
第一章介绍现代应用数学及其发展历史,主要讲解现代应用数学的概念、发展历史及其与自然科学、工程技术及管理等学科的关系。
第二章介绍线性代数,主要讲解线性代数的基础概念、矩阵性质、解线性代数方程组的方法等;第三章介绍复变函数,主要讲解复变函数的极限、导数、积分、泰勒级数等内容,以及复变函数的应用;第四章介绍计算几何学,主要讲解几何空间的基本概念、平面图形与空间图形的构造及其应用,以及向量微积分的基本概念及其应用。
第五章讨论数值分析,主要介绍数值分析的基本概念,讨论微分方程求解的解法,以及函数拟合、数值积分等内容;第六章介绍概率论及其应用,主要讲解概率论的基本概念及统计方法,以及最大似然估计、检验方法等。
本书的编写组以天津大学数学系的不同学术方向的学者为主,他们尽最大努力,使本书取得了很好的效果。
编写组成员以高质量、实用性为主要目标,通过严格的审核、耐心查找资料和翻新排版,以确保书中的内容准确无误。
同时,他们还通过反复推敲、改进和补充,使本书广受好评。
《应用数学基础》全书以实用性和实用价值为主,旨在提供一本系统、全面、具备较高可读性的教材,面向各种专业的学生,让他们以正确的思路深入研究应用数学,为现代社会发展提供有效的支持与推动力。
工程应用数学基础
工程应用数学基础工程应用数学是应用数学的一个重要分支,广泛应用于工程领域中的各种问题的处理和分析。
它涉及到的数学理论及方法非常丰富,如微积分、线性代数、概率论、随机过程和最优化理论等。
本文将从数学原理、应用场景和实际案例三个方面来介绍工程应用数学的基础知识。
一、数学原理1.微积分微积分是工程应用数学的重要基础,它包括微分和积分两个部分。
微分是研究函数的导数和微分方程的解法,而积分则是研究函数的积分和定积分的计算。
在工程中,微积分被广泛应用于分析变量的变化和工程系统的运动状态。
例如,在机械工程中,微积分可以用来计算机械结构的应力、变形和材料的疲劳等。
2.线性代数线性代数是研究向量和矩阵的性质和计算方法。
它广泛应用于各个领域,如工程、物理、经济学和计算机科学等。
在工程中,线性代数被广泛应用于控制系统、信号处理、图像处理和电路分析等。
例如,在电路分析中,线性代数可以用来计算电路中不同元件之间的关系和电流的分配情况。
3.概率论和统计学概率论和统计学是研究随机变量和概率的理论和方法。
它在工程应用数学中被广泛应用于风险评估、可靠性分析、质量控制和决策分析等。
在工程中,概率论和统计学可以用来分析不确定性因素对工程系统性能的影响,例如,在材料科学中,它可以用来分析材料的强度和寿命等。
4.最优化理论最优化理论是研究如何在给定的约束条件下,找到使特定目标函数最小或最大的优化方法。
在工程中,最优化理论被广泛应用于工程设计、生产规划、资源分配和控制系统等。
例如,在电力系统规划中,最优化理论可以用来确定最佳的发电和输电方案以满足不同的用电需求。
二、应用场景1.结构分析结构分析是指通过对结构体系进行数学模型的建立,通过数学计算,得到结构的受力分布和变形情况。
结构分析可以应用于建筑物、桥梁、挖掘机等领域,它的目的是为了确保结构的安全和可靠性。
在结构分析中,常用的数学工具有微积分、线性代数和有限元分析等。
2.电路分析电路分析是指通过对电路中不同元件之间的关系进行数学建模,然后通过数学计算,得到电路中电流、电压和功率等参数的变化情况。
应用数学基础教案模板范文
课时安排:2课时教学目标:1. 知识与技能:通过本节课的学习,掌握应用数学基础的基本概念、基本方法和基本原理,提高学生解决实际问题的能力。
2. 过程与方法:通过课堂讨论、案例分析和实际操作,提高学生分析问题、解决问题和团队协作的能力。
3. 情感态度与价值观:通过本节课的学习,增强学生的学习兴趣,培养学生将数学知识应用于实际生活的意识,激发学生对数学的热爱。
教学重难点:1. 教学重点:(1)应用数学基础的基本概念;(2)应用数学基础的基本方法;(3)应用数学基础的基本原理。
2. 教学难点:(1)将数学知识应用于实际问题的解决;(2)培养学生分析和解决实际问题的能力。
教学准备:1. 教师准备:多媒体课件、案例材料、教学活动设计;2. 学生准备:提前预习教材相关内容,了解应用数学基础的基本概念、基本方法和基本原理。
教学过程:一、导入1. 复习上节课所学内容,引导学生回顾应用数学基础的基本概念;2. 提出本节课的学习目标,让学生明确学习方向。
二、新课讲解1. 讲解应用数学基础的基本概念,如集合、函数、极限、导数等;2. 讲解应用数学基础的基本方法,如数学建模、数学证明、数学分析等;3. 讲解应用数学基础的基本原理,如微积分原理、线性代数原理等。
三、案例分析1. 选择一个实际案例,引导学生分析问题,运用所学知识解决问题;2. 学生分组讨论,教师巡回指导,帮助学生解决实际问题;3. 各组汇报分析结果,教师点评并总结。
四、实际操作1. 设计一个实际操作活动,让学生运用所学知识解决实际问题;2. 学生分组进行实际操作,教师巡回指导,确保学生掌握操作技能;3. 各组展示操作成果,教师点评并总结。
五、课堂小结1. 回顾本节课所学内容,总结应用数学基础的基本概念、基本方法和基本原理;2. 强调将数学知识应用于实际生活的意义;3. 布置课后作业,巩固所学知识。
教学评价:1. 课堂参与度:观察学生在课堂上的发言、讨论和操作情况,评价其学习积极性;2. 作业完成情况:检查学生课后作业的完成质量,评价其掌握程度;3. 案例分析及实际操作:评价学生在案例分析及实际操作中的表现,评价其解决问题的能力。
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《应用数学基础》试题一、选择题(10分)6.函数22)(xx x x f -=的定义域是_________.4.已知f (x )是2x 的一个原函数,且f (0)=2ln 1,则f (x )=( ) A.C x +2ln 2(C 是任意常数) B.2ln 2x C.2x ln2+C (C 是任意常数) D.2x ln212.不定积分=-⎰dx xx24_________. 14.设函数⎰=xdt t x f 202cos )(,则f ’(2)=_________.17.求曲线y =e x +x cos3x 在点(0,1)处的切线方程. 18.求极限12sin lim20--→x e xx x x .1.函数f (x )=2+x +ln(3-x )的定义域是( ) A .[-3,2] B .[-3,2) C .[-2,3)D .[-2,3]24.(1)设)(x y y =由方程1333=+-y xy x 确定,求x y d d 及0d d =x xy 。
7.函数f (x )=6512--+x x x 的间断点是_________. 12.定积分⎰--222d 4x x =_________.13.极限xt t xx ⎰→020d sin lim=_________.14.无穷限反常积分⎰∞-02d e x x =_________.4.对于函数f (x ),下列命题正确的是( ) A .若x 0为极值点,则0)(0='x f B .若0)(0='x f ,则x 0为极值点 C .若x 0为极值点,则0)(0=''x fD .若x 0为极值点且)(0x f 存在,则0)(0='x f 8.设函数xey tan =,则='y .9.曲线y=x 2+1在点(1,2)处的切线方程为 . 10.函数x x x f +=3)(的单调增加区间为 . 19.计算定积分⎰-=521dx x x I .21.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-+=0,sin 0,10,11)(22x x ax x x b x x x f ,试确定常数a 和b 的值,使得)(x f 在x =0处连续. 1.函数f (x )=arcsin ⎪⎭⎫⎝⎛-21x 的定义域为( ) A.[-1,1]B.[-1,3]C.(-1,1)D.(-1,3)3.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1312)(3x xx x x f 在x =1处的导数为( ) A.1 B.2C.3D.不存在6.设⎩⎨⎧≤->=0101)(x x x f ,g (x )=x 2+1,则f [g (x )]=_______________.7.1arctan lim2+∞→x x x =_______________. 16.求极限xx xx x x sin cos lim--→.19.已知函数f (x )满足⎰+=C x xx f x e d )(,求⎰x x f d )(.25.证明:当x >0时,1+x x +>121. 2.极限=→xxx 62tan lim 0( )A .0B .31C .21 D .34.x =0是函数f (x )=xx +2e 的( )A .零点B .驻点C .极值点D .非极值点6.已知f (x +1)=x 2,则f (x )=________.10函数f (x )=2x 3+3x 2-12x +1的单调减少区间为________. 11.函数f (x )=x 3-3x 的极小值为________.13.设f '(x )=cos x -2x 且f (0)=2,则f (x )=________. 17.求极限xx x x cos 12e e lim 0--+-→.五、应用题(本大题9分)24.设区域D 由曲线y =e x ,y =x 2与直线x =0,x =1围成. (1)求D 的面积A ;(2)求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x . 8.极限xx x 20)21(lim -→-=________________.9.曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线方程为________________. 13.设f (x )连续且⎰+=xx x t t f 022cos d )(,则f (x )=________________.19.计算定积分⎰π202d 2sin x x .20.求不定积分⎰++211x x d x .21.求函数f (x )=x 3-6x 2+9x -4在闭区间[0,2]上的最大值和最小值.7.极限0lim →x xx 331⎪⎭⎫ ⎝⎛-=___________.8.当x →0时,sin(2x 2)与ax 2是等价无究小,则a =___________.9.极限∞→x lim 1sin 2++x xx =___________.11.设y =x sin x ,则y ''=___________. 12.曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 17.求极限0lim→x )1ln(1sin e 2x x x +--.18.求不定积分⎰.d ln x xx22.计算定积分221021xx -⎰d x.24.设曲线xy =1与直线y =2,x =3所围成的平面区域为D (如图所示).求 (1)D 的面积;(2)D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.4.⎰-=+116dx x sin 1xcos x ( )A.2πB.πC.1D.07.=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n 1n lim ___________. 8.=→x t cos x lim 0x ___________.9.x 1x 1lim0x ∆-∆+→∆= _________13.⎰+∞=-22dx )1x (1 ___________.16.求极限30x xxsin x lim-→. 2.当x →+∞时,下列变量中为无穷大量的是( )A .x 1B .ln(1+x)C .sinxD .e -x4.设f(x)可微,则d(e f(x))=( ) A .f’(x)dx B .e f(x)dx C .f’(x)e f(x) dxD .f’(x)de f(x) 7.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤-0x ,x 0x ,1x 2,则极限)x (f lim 0x →________.9.不定积分⎰=dx x1cosx12________. 10.dxd⎰x20)dt 2tsin (=________. 11.设由参数方程x=dxdy ),x (y y t 1y ,2t 2则确定的函数为=-==________.16.求极限5x 4x 1lim5x ---→.17.设y='y ,)3x (x 1x 3求--.18.求由方程y=1+xe y 所确定的隐函数y=y(x)的导数dxdy . 24.从一块边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个大小相等的方块,做成一个无盖的盒子,问截去的方块边长为多少时,所做成的盒子容积最大?25.求由曲线y=x 3与直线x=2,y=0所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 3.当x →0时,x ln (x +1)是( ) A .与x sin x 等阶的无穷小 B .与x sin x 同阶非等价的无穷小 C .比x sin x 高阶的无穷小D .比x sin x 低阶的无穷小4.下列反常积分中收敛的是( ) A .⎰+∞1321dx x B .⎰+∞dx e xC .⎰+∞edx xx ln 1D .⎰+∞141dx x9.设xxy ln =,则dy =______________. 17.设22cos ln 1e x x y +++=,求y '.18.设由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==,1,22t y t x 确定的函数为)(x y y =,求.22dx y d19.求不定积分⎰++.)2)(1(1dx x x21.计算定积分⎰-1.dx xex25.证明⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n n m .1.下列函数中是偶函数的为( ) A.y =x 4+x 5 B.y =x x 5 C.y =e x -e -xD.y =21sin x xx + 2.设函数y = f(x)的定义域为[]1,0,则f (x+2)的定义域为( ) A.[]1,2-- B.[]1,2- C.[]1,1-D.[]1,03.=++∞→1)11(lim x x x( ) A.1 B.e C.e +1D.∞4.下列反常积分中发散的是( ) A.⎰+∞e dx x - B.dx x 211⎰+∞C.dx xx eln 1⎰+∞D.dx x211+⎰+∞9.设y =lnsinx,则=''y ___________.10.曲线y =e 2x 在x = 0处的切线斜率是___________.11.若⎰+=,)()(C x F dx x f 则=--⎰dx e f e x x )(_______________. 12.设,1)(03⎰+=Φxtdt x 则=Φ')(x ___________.13.曲线y =e 2x -的拐点为___________.17.设方程xy-e x +e y =0确定了隐函数y = y(x),求)0(y '. 18.函数f (x ) =⎩⎨⎧<+≥1,12,1,3x x x x 在x =1处是否连续?是否可导?21.求不定积分dx e e x x⎰+12.22.计算定积分⎰-++02222x x dx.25.设)(x f ''是连续函数,证明⎰+-'=''.)()()(C x f x f x dx x f x1.下列函数中是奇函数的为( ) A .y =ln(x 2+1)-sec xB .y =3x +1C .y =lnxx+-11 D .y =⎩⎨⎧≥+<-.0,1,0,1x x x x8.设)(x f 是可导函数,y =)(x f ,则dxdy=___________. 9.设)(x f =ln(1+x ),则='')0(f _________.10.设由参数方程x =a (t -sin t ),y =a (1-cos t )(其中a >0为常数)确定的函数为),(x y y =则dxdy =___________.13.不定积分⎰=dx xx2cos12_________. 16.求极限)112(lim 22n +---+∞→n n n n .17.设y =+2xe x ln3,求y '.18.求由方程x -y +21sin y =0所确定的隐函数y =y (x )的一阶导数dxdy . 21.求不定积分⎰xdx ln .22.计算极限.cos 1)ln(lim 0xdt e t t x x -+⎰+→2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是( ) A.2x -1 (x →0) B.xxsin (x →0) C.2)1(1-x (x →1) D.2-x -1(x →1)4.下列反常积分收敛的是( ) A.⎰+∞02dx xB.⎰+∞dx e xC.⎰+∞xdx D.⎰+∞+0211dx x12.dx xx ⎰-+1122=__________.19.设方程y 2-2xy +9=0确定了隐函数y =y (x ),求.dxdy 20.计算定积分⎰+212.1dx xx21.求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==-t t ey ex 23,所确定的函数y =y (x )的一阶导数dx dy 及二阶导数.22dx y d22.讨论函数y =x 2-6x +8的单调性.2.=→x x x 1sin lim 0( ) A.0 B.1C.∞D.不存在也不是∞13.设⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan ),1ln(2,则dx dy=_________.14.若无穷限反常积分⎰+∞=+0211dx xk ,则常数k =_________.25.求由直线y =x 与抛物线y 2=x 所围成的平面图形的面积. 6.xx x πsinlim ∞→=________. 11.已知⎩⎨⎧-=-=),cos 1(7),sin (7t y t t x 则dxdy=________.12.如果⎰+=C x x dx x f ln )(,则f (x )________. 14.无穷限反常积分⎰+∞=edx xx 2ln 1________. 22.计算定积分⎰-π53.sin sin xdx x14.=⎰→xdt t xx 20cos 0lim_______.17.求曲线⎩⎨⎧==t y t x 2cos sin 在6π=t 处相应的点处的切线方程和法线方程.20.已知⎪⎩⎪⎨⎧π≤<ππ-π≤≤-=,2,2,2,sin )(x x x x x x f 求⎰ππ-2.)(dx x f25.求由曲线xy =1与直线y=2,x =3所围成的平面图形的面积. 2.设,)(,2)(2x x g x f x ==则g [f (x )]=( ) A.22x B.xx 2 C.x 4D.x x 223.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是( ) A.12-x )0(→x B.xxsin )0(→x C.2)1(1-x )1(→xD.12--x )1(→x4.设曲线12-+=x x y 在点M 的切线的斜率为3,则点M 的坐标为( ) A.(0,1)B.(1,1)1.设函数y =f (x )的定义域为[0, 1],则f (x +2)的定义域为( ) A .[0, 1] B .[-1, 1] C .[-2, 1]D .[-2, -1]2.当x →0时,下面无穷小量中与x 等价的无穷小量为( ) A .3x B .sin x C .ln (1+x 2)D .x +sin x6.=++∞→32)11(lim x x x_________.21.计算定积分⎰+41d 11x x.22.设y =2ex -cos3x , 求.y '2.若2)1()1(xx xf +=,则f (x )=( ) A.2)1(+x x B.2)1(xx + C.(1+x )2D.(1-x )211.设1)(0='x f ,则=-+→hx f h x f h )()(lim 000_______________.22.计算定积分.cos 0xdx x ⎰π25.试证当x >0时,x >ln(1+x ).。