应用数学基础

《应用数学基础》试题

一、选择题（10分）

6.函数2

2)(x

x x x f -=

的定义域是_________.

4.已知f (x )是2x 的一个原函数,且f (0)=2

ln 1

,则f (x )=( ) A.C x +2

ln 2(C 是任意常数) B.2

ln 2x C.2x ln2+C (C 是任意常数) D.2x ln2

12.不定积分

=-⎰

dx x

x

2

4_________. 14.设函数⎰

=

x

dt t x f 20

2cos )(,则f ’(2)=_________.

17.求曲线y =e x +x cos3x 在点(0,1)处的切线方程. 18.求极限1

2sin lim

20--→x e x

x x x .

1．函数f (x )=2+x +ln(3-x )的定义域是( ) A ．[-3,2] B ．[-3,2) C ．[-2,3)

D ．[-2,3]

24.（1）设)(x y y =由方程133

3

=+-y xy x 确定，求

x y d d 及0

d d =x x

y 。

7．函数f (x )=6

51

2

--+x x x 的间断点是_________. 12．定积分

⎰

--2

2

2d 4x x =_________.

13．极限x

t t x

x ⎰

→0

20

d sin lim

=_________.

14．无穷限反常积分

⎰

∞

-0

2d e x x =_________.

4．对于函数f (x ),下列命题正确的是（ ） A ．若x 0为极值点，则0)(0='x f B ．若0)(0='x f ，则x 0为极值点 C ．若x 0为极值点，则0)(0=''x f

D ．若x 0为极值点且)(0x f 存在，则0)(0='x f 8．设函数x

e

y tan =,则='y ．

9．曲线y=x 2+1在点（1，2）处的切线方程为 ． 10．函数x x x f +=3

)(的单调增加区间为 ． 19．计算定积分⎰

-=

5

2

1

dx x x I ．

21．设函数⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧>=<+-+=0,sin 0,10,1

1)(2

2x x ax x x b x x x f ，试确定常数a 和b 的值，使得)(x f 在x =0

处连续． 1.函数f (x )=arcsin ⎪⎭

⎫

⎝⎛-21x 的定义域为（ ） A.[-1，1]

B.[-1，3]

C.（-1，1）

D.（-1，3）

3.函数⎪⎩⎪⎨

⎧≥<+=1

31

2)(3

x x

x x x f 在x =1处的导数为（ ） A.1 B.2

C.3

D.不存在

6.设⎩⎨⎧≤->=0

10

1)(x x x f ，g (x )=x 2+1,则f [g (x )]=_______________.

7.1

arctan lim

2

+∞

→x x x =_______________. 16.求极限x

x x

x x x sin cos lim

--→.

19.已知函数f (x )满足

⎰

+=C x x

x f x e d )

(，求⎰x x f d )(.

25.证明：当x >0时，1+x x +>12

1

. 2．极限=→x

x

x 62tan lim 0（ ）

A ．0

B ．3

1

C ．

2

1 D ．3

4．x =0是函数f (x )=x

x +2

e 的（ ）

A ．零点

B ．驻点

C ．极值点

D ．非极值点

6．已知f (x +1)=x 2

，则f (x )=________.

10函数f (x )=2x 3

+3x 2-12x +1的单调减少区间为________. 11．函数f (x )=x 3

-3x 的极小值为________.

13．设f ＇(x )=cos x -2x 且f (0)=2，则f (x )=________. 17．求极限x

x x x cos 12

e e lim 0--+-→.

五、应用题（本大题9分）

24．设区域D 由曲线y =e x ，y =x 2与直线x =0，x =1围成. （1）求D 的面积A ；

（2）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x . 8.极限x

x x 20

)

21(lim -→-=________________.

9.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________. 13.设f (x )连续且

⎰

+=x

x x t t f 0

22cos d )(，则f (x )=________________.

19.计算定积分⎰

π20

2d 2sin x x .

20.求不定积分

⎰++211x x d x .

21.求函数f (x )=x 3-6x 2+9x -4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值.

7.极限0lim →x x

x 331⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=___________.

8.当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a =___________.

9.极限∞→x lim 1

sin 2++x x

x =___________.

11.设y =x sin x ，则y ''=___________. 12.曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 17.求极限0

lim

→x )

1ln(1sin e 2

x x x +--.

18.求不定积分

⎰.d ln x x

x

22.计算定积分2

2

1021

x

x -⎰

d x.

24.设曲线xy =1与直线y =2，x =3所围成的平面区域为D （如图所示）.求 （1）D 的面积；

（2）D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.