应用数学基础之函数、极限与连续
函数、极限、连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的定义（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有 ()lim n n f x A →∞=． 2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==;(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=.（七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类一、函数、极限、连续（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .(了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有 ()lim n n f x A →∞=． 2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim(0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量.(4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类。
应用数学基础 10-1初等函数
有时又需要分清楚一个复合函数是由哪些简单函数复合而成的.
这里说的简单函数是指基本初等函数以及由它们的和、差、积、商所形成的函数.
例2 说出下列复合函数是由怎样的简单函数复合而成的:
2
(1) = cos ;
(2) = e
cos 2
;
(3) = arctan
1−
.
1+ 2
解 (1)函数 = cos2 可以看成是由简单函数 = 2 和 = cos复合而成的.
生物科学等众多领域都展示了强大威力.
从本章开始我们将进入微积分内容的学习. 微积分研究的基本对象是函数,
函数和极限是微积分的基础, 连续性是微积分中的一个基本概念.
朴素的极限和微积分思想出现很早. 例如, 早在公元前4世纪,
我国就有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的说法. 这就是说,
一尺长的木棒, 每天取走一半, 永远也取不完;
并能用一个数学式子表示的函数, 称为初等函数.
如上面例1、例2中的各个函数, 多项式函数、有理分式函数等等,
都是初等函数.
那么称以x为自变量的函数 = [()] 为由 = ()和 = ()复合而成
的复合函数,简称复合函数,称u为中间变量.
类似地, 可以说明由三个或更多函数复合而成的复合函数.
需要说明一下, 并不是任何两个函数都能够复合成为一个复合函数的.
例如， = ln, ∈(0, + ∞) 和 = − 2 , ∈R分别是和的函数,
例1 已知函数 = ln, = , = 2 −1, 把 y 表示成 x的复合函数.
解
把 = 2 −1代入 = 中, 得 = 2 −1,
再把 = 2 −1代入 = ln中, 即得x的复合函数 = ln 2 −1.
高考数学应试技巧之极限与连续
高考数学应试技巧之极限与连续高考数学对于许多学生而言是一道难以逾越的关口，其中涉及的极限与连续更是让许多学生望而生畏。
然而，只要我们理解了它们的基本概念与思维方法，便可以化解我们的忧虑，轻松面对高考数学。
本文将从极限与连续的基本概念、思维模式与应试技巧三个方面为大家进行详细阐述。
一、极限与连续的基本概念1. 极限：极限是一种数学概念，是表示某个函数在一个点上的变化趋势的一种方法。
也就是说，极限是指在某一个自变量取值的时候，函数的取值向一个特定的值靠近，但并不一定等于这个值。
记作lim f(x) = A(x → x0)，其中x0表示自变量的趋近值，而A则表示函数的极限值。
2. 连续：连续是指函数在某一点附近的取值与该点处的函数值越来越接近，如果存在这种特性，就被称为函数在该点处是连续的。
也就是说，如果$f(x_0)$存在，且$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$存在，两者相等，则函数在$x_0$处是连续的。
二、极限与连续的思维模式1. 确定极限的方法：a. 代入法：将$x$趋近于某个值时，取对应的$f(x)$的值，然后判断是否趋近于某个值$A$，如果是则可能存在极限，否则不存在。
b. 夹逼准则：如果$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=L$，并且$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)=L$，并且对于$x\rightarrowx_0$的所有$x$，有$g(x)≤f(x)≤h(x)$，则$f(x)$的极限存在，并且等于$L$。
c. 无穷小量：当$x\rightarrow x_0$时，如果$f(x)$可以表示为$kx$，其中$k$为确定的常数，则称$kx$是当$x\rightarrow x_0$时的函数的无穷小量。
2. 连续的判定：a. 定义法：如果$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处是连续的。
函数的极限与连续
函数的极限与连续函数是数学中的重要概念，研究函数的极限与连续是微积分的基础。
本文将介绍函数的极限与连续的定义及其性质，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，有|f(x)-A|＜ε成立，那么称函数f(x)在x=a处有极限，记为：lim┬(x→a)〖f(x)=A〗函数极限的性质：1.唯一性：函数的极限唯一，即如果lim┬(x→a)〖f(x)=A〗，且lim┬(x→a)〖f(x)=B〗，那么A=B。
2.有界性：若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗存在，那么存在常数M＞0，使得在a的某个邻域内，有|f(x)|≤M。
3.保号性：若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗>0，那么存在a的某个邻域，对于那些x值，有f(x)>0；同理，若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗<0，那么存在a的某个邻域，对于那些x值，有f(x)<0。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某点的取值与该点的极限值相等。
设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果lim┬(x→a)〖f(x)=f(a)〗成立，那么称函数f(x)在x=a处连续，否则称为不连续。
函数的连续性的性质：1.函数的和、差、积、商（除以非零函数）仍然是连续函数。
2.复合函数的连续性：如果g(x)在x=a处连续，f(x)在g(a)处连续，并且lim┬(x→a)〖g(x)=g(a)〗成立，那么复合函数f(g(x))在x=a处连续。
3.函数的初等函数运算仍然是连续函数。
函数的极限与连续在数学中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，函数极限的概念被用来求解导数；在数学分析中，极限的性质是证明数列收敛的重要工具；在实际问题中，函数的极限与连续性可以用来描述物理现象的变化趋势，例如速度的变化、物体的位移等。
高考数学中的函数极限与连续性理解与应用
高考数学中的函数极限与连续性理解与应用函数是数学中一个非常重要的概念，而数学中的函数极限与连续性是函数理论中的核心内容。
在高考数学中，函数极限与连续性的理解与应用是考生们必须掌握的知识点。
本文将深入探讨函数极限与连续性的概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解与应用这一知识。
一、函数极限函数极限是函数理论中的重要概念，它描述了函数随着自变量趋近于某一特定值时的变化情况。
函数极限的计算需要借助计算方法和理论，下面以一些典型的例子来介绍函数极限的概念与计算方法。
例1：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 在 x = 2 处的极限。
解：要求函数在 x = 2 处的极限，可以使用直接代入法。
将 x = 2 代入函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 中，得到 f(2) = 2*2^2 + 3*2 - 1 = 13。
因此，函数 f(x) 在 x = 2 处的极限为 13。
对于一些特殊的函数，无法使用直接代入法来计算极限。
这时，我们需要使用极限的定义与性质，通过近似与比较来求取极限的值。
例2：计算函数 g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 在 x = 2 处的极限。
解：将 x = 2 代入函数 g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 中，得到 g(2) = 0/0。
这时我们无法直接计算极限。
通过因式分解，我们可以将函数 g(x) 化简为 g(x) = x + 2，那么在 x = 2 处的极限即为 g(2) = 4。
这两个例子展示了函数极限的计算方法，但实际问题中的函数极限更多是通过近似与推导来求取的，需要借助函数极限的性质与定义进行计算。
二、函数连续性函数连续性是函数在定义域内没有突变或断裂的性质，它描述了函数图像在定义域内的连续变化。
函数连续性的理解与判断需要借助连续函数的定义与性质，下面将对函数连续性进行详细讨论。
连续性的定义：函数 f(x) 在点 x = a 处连续，是指在 x = a 处的函数值等于极限值，即f(a) = lim(x→a) f(x)。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数是数学中的重要概念，极限和连续性则是函数理论中的基础知识。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋向于某个特定值时，函数取值的趋势。
具体而言，给定一个函数f(x)，当自变量x无限接近某个数a时，函数f(x)的极限表示为lim[x→a]f(x)。
如果对于任意给定的ε>0，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。
函数的极限有以下性质：1. 一致性：如果lim[x→a]f(x)=L，那么对于任意的从左右两侧趋近于a的数列，函数f(x)都会趋近于L。
即lim[x→a⁻]f(x)=L和lim[x→a⁺]f(x)=L。
2. 有界性：如果lim[x→a]f(x)=L，则存在正数M，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)|<M。
3. 保号性：如果lim[x→a]f(x)=L>0，那么存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)>0。
类似地，如果lim[x→a]f(x)=L<0，则存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)<0。
二、函数的连续性连续性是函数的另一个重要概念，描述了函数在某一点的“平滑”程度。
如果一个函数在某一点x=a的邻域内能够连续地绘制成一条曲线，那么称该函数在该点连续。
函数的连续性有以下性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域上均连续。
2. 连续函数的运算：如果f(x)和g(x)是函数f和g的连续函数，那么它们之和、差、积以及商(分母不为零)都是连续函数。
3. 复合函数的连续性：如果f(x)在点x=a处连续，g(x)在点x=b处连续，并且b是f(x)的定义域，那么复合函数h(x) = g(f(x))在点x=a处连续。
函数的极限与连续性的概念与应用
函数的极限与连续性的概念与应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的极限和连续性，更是函数理论中重要的概念和工具。
本文将讨论函数的极限和连续性的概念，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、函数的极限概念函数的极限是指当自变量逼近某个特定值时，函数值的趋势或取值趋近于某个确定的常数。
形式化地说，设函数为f(x)，当x接近于某个常数a时，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得只要0<|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε成立，其中L为常数，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L。
函数的极限概念是数学分析中的基础概念，它对于研究函数的性质和变化趋势具有重要意义。
通过对函数的极限的研究，我们可以得到函数的单调性、凸凹性、极大值、极小值等性质，进而对函数进行更深入的分析。
二、函数的连续性概念函数的连续性是指函数在其定义域上的每一点都存在极限，并且该极限等于该点的函数值。
换句话说，函数在定义域上的每一点上的左极限、右极限都存在，并且等于该点函数值。
如果函数在定义域上的每个点都连续，则称该函数在该定义域上连续。
函数的连续性概念对于研究函数的光滑性和连贯性具有关键作用。
连续函数具有许多重要性质，比如介值定理、最值定理等，这些性质在实际问题的建模和求解中具有重要的应用。
三、函数极限与连续性的应用1. 物理学中的运动学在物理学中，函数的极限和连续性的概念应用广泛，特别是在运动学中。
通过对物体运动过程中位移、速度、加速度等量的函数关系进行极限和连续性分析，可以精确描述和预测物体在运动过程中的状态。
2. 经济学中的边际效应在经济学中，函数的极限和连续性的概念被广泛用于描述边际效应。
通过对经济变量之间的关系进行极限和连续性分析，可以研究经济活动中的边际效应，比如边际成本、边际收益等。
3. 工程学中的信号处理在工程学中，函数的极限和连续性的概念在信号处理中得到广泛应用。
通过对信号的极限和连续性分析，可以对信号进行滤波、降噪等处理，提高信号的质量和准确性。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限与连续性是微积分中的重要概念，它们对于研究函数的性质和计算函数值都有着关键的作用。
本文将从理论与实际应用两个方面探讨函数的极限与连续性。
1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于某个常数。
常用的表示方式为lim{x->a}f(x)=L，其中x是自变量，a是趋近的值，f(x)是函数，L是极限值。
函数的极限具有以下性质：1.1 兔耳极限法则：如果函数f(x)和g(x)在某一点a处有极限，那么f(x) + g(x)、f(x)-g(x)、k*f(x)、(f*g)(x)、f(x)/g(x)（其中g(a)≠0）在该点也有极限。
1.2 夹逼定理：如果存在两个函数g(x)和h(x)，当x趋近于a时，g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim{x->a}g(x)=lim{x->a}h(x)=L，则lim{x->a}f(x)=L。
1.3 函数与数列的关系：如果当n趋近于无穷大时，数列{f(x_n)}的值都趋近于L，那么lim{n->∞}f(x_n)=L。
2. 连续函数连续函数是指在定义域上始终保持无断裂、无间断的性质。
也就是说，如果函数f(x)在某一点a处存在极限且等于f(a)，且lim{x->a}f(x)=f(a)，那么函数f(x)在点a处连续。
连续函数具有以下性质：2.1 四则运算：若f(x)和g(x)在点a处连续，则f(x) + g(x)、f(x)-g(x)、k*f(x)（k为常数）、(f*g)(x)也在点a处连续。
2.2 复合函数：若f(x)在点a处连续，g(x)在点b处连续，并且b是f(x)的定义域，那么复合函数[g∘f](x)在点a处连续。
2.3 初等函数的连续性：指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数在其定义域上均连续。
函数的极限与连续性在实际应用中有着广泛的运用。
例如在物理学中，速度是位移对时间的导数，而加速度则是速度对时间的导数。
函数极限与连续
函数极限与连续第1章函数、极限与连续1.1 函数的概念1.1.1 函数的定义定义1.1 D 是非空实数集，如果对于D 中的每一个x ，按照某种对应法则f ，都有唯一确定的实数y 与之对应，则称变量y 是变量x 的函数. 记作y =f (x ), x ∈D . 其中D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量.根据定义，函数的定义域和对应法则是构成函数的两个要素. 也就是说，两函数相同的充分必要条件是定义域和对应法则分别相同.如w =与y .用y =f (x ) 这样表示两个变量y 与x 之间的对应关系的函数，称为显函数，例如f (x ) =x 2-x +1等；有些函数是用F (x , y ) =0的形式表达，如方程y -2sin y =x 表示一个函数，这种称为隐函数。
1.1.2 函数的几种特性1. 单调性如果函数y =f (x ) 对于区间I 内的任意两点x 1, x 2，当x 1I 上单调增加，I 叫做单调增区间；当x 1f (x 2) ，则称此函数在I 上单调减少，I 叫做单调减区间. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 在单调增区间内，函数图形随x 的增大而上升；在单调减区间内，函数图形随x 的增大而下降。
可用导数的正负号来判断函数单调性。
2. 奇偶性设D 关于原点对称，若对于任意x ∈D ，都有f (-x ) =f (x ) ，则称f (x ) 为偶函数；若f (-x ) =-f (x ) ，则称f (x ) 为奇函数. 奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称. 判断奇偶性时首先要研究函数的定义域是否关于原点对称，其次还要满足偶函数或奇函数的定义. 3. 周期性若存在不为零的数T ，使得对于任意x ∈D ，都有f (x +T ) =f (x ) ，则称f(x ) 为周期函数，并称T 为f (x ) 的周期. 通常所说的周期是指它的最小正周期. 4.有界性设函数y =f (x ) 在区间I 上有定义，如果存在一个正数M ，使得对于任意x ∈I ，都有f (x ) ≤M ，则称f (x ) 在I 上有界，也称f (x ) 为I 上的有界函数. 否则称f (x ) 在I 上无界，也称f (x ) 为I 上的无界函数. 注意，有界性是依赖于区间的.例如，函数y =1在区间(0,1)内无界，但在区间(1,2) 内有界. x如果存在一个数M 1，使得对于任意x ∈I ，都有f (x ) ≤M 1，则称f (x ) 在I 上有上界，M 1称为f (x ) 的一个上界，这样的M 1如果存在则有无穷多个，即如果f (x ) 存在上界其上界有无穷多个；如果存在一个数M 2，使得对于任意x ∈I ，都有f (x ) ≥M 2，则称f (x ) 在I 上有下界，M 2称为f (x ) 的一个下界，同样如果f (x ) 存在下界其下界也有无穷多个。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数在数学中扮演着重要的角色，而函数的极限与连续性则是函数学习中的重要概念。
本文将围绕函数的极限与连续性展开讨论，并解释它们在数学中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的取值的趋势。
具体来说，设函数f(x)定义在点a的某个邻域内（可正可负），如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，则称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作：lim┬(x→a)〖f(x) = L〗这个定义意味着无论自变量a离L多远，总存在一个趋近点a的自变量的邻域，在这个邻域内，函数f(x)与L之间的差距可以任意地小。
这个定义可以推广到自变量趋于无穷大的情况，即：lim┬(x→∞)〖f(x) = L〗函数的极限使我们能够研究函数的趋势和变化，在微积分中有着广泛的应用。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点和该点邻域内的取值具有一致性的特性。
具体来说，如果函数在点a的某个邻域内，对于任意趋近点a的自变量序列{x_n}，函数值序列{f(x_n)}趋于函数值f(a)，那么称函数f(x)在点a处连续。
通过极限的概念，我们可以得到函数的连续性定义的数学表达，即：f(x)在点a处连续，当且仅当lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗函数的连续性使我们能够进行函数的辨别和更深入地理解函数的特性。
连续函数具有许多有用的性质，例如介值定理和最值定理等。
三、函数的极限与连续性的应用函数的极限与连续性在实际问题中有着广泛的应用。
以下是其中一些应用的例子：1. 研究函数在某点附近的变化趋势：通过计算函数的极限，我们可以确定函数在某点附近的变化趋势，进而分析函数的增减性和凹凸性等。
2. 确定函数的定义域：通过研究函数在不同点的连续性，我们可以确定函数的定义域，即自变量的取值范围。
3. 求解方程的根：通过利用连续函数的介值定理和零点定理，我们可以确定方程在某个区间内是否存在根，并利用函数的极限性质逼近根的位置。
《应用数学基础》(陈冲)157-8课件 第一章 函数、极限与连续
1.1 函数的概念 2．函数的性质
3）单调性
设函数 f (x) 在区间 I 上的任意两点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称 y f (x) 在 区间 I 上为单调增加函数；反之，当 x1 x2 时， f (x1) f (x2 ) ，则称 y f (x) 在区间 I 上为单调
应用数学基础
第一章 函数、极限与连续
目录
ONTENTS
1 函数 2 函数的极限 3 无穷小量与无穷大量 4 极限的四则运算法则 5 两个重要极限 6 函数的连续性
01 函 数
1.1 函数的概念 1．函数的两个要素
➢ 函数的概念
定义 1 设 x 和 y 是两个变量， D 是一个给定的数集，如果对于给定的每个数 xD ，按照 某个法则 f 总有一个确定的 y 值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ，数集 D 称为这个 函数的定义域， x 称为自变量， y 称为因变量， y 的取值范围称为函数的值域，用 M 表示．
1.2 基本初等函数
（1）常数函数： y C ． （2）幂函数： y x （ 为常数）． （3）指数函数： y ax （ a 0 ， a 1， a 为常数）． （4）对数函数： y loga x （ a 0 ， a 1， a 为常数）． （5）三角函数： y sin x ， y cos x ， y tan x ， y cot x ， y sec x ， y csc x ． （6）反三角函数： y arcsin x ， y arccos x ， y arctan x ， y arccot x ． 这六种函数统称为基本初等函数．这些函数的定义、图像和性质在中学已经学过，今后会 经常用到．
．
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中的重要概念，它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是函数在某一点或无穷远处的趋势。
首先，我们来定义函数在某一点的极限。
定义1：设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，其中L是一个实数，则称L是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
根据上述定义，我们可以推导出一些性质：性质1：函数极限的唯一性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是唯一的。
性质2：函数极限的局部性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是局部的。
性质3：函数极限与函数值的关系。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在且与f(a)相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
二、函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的连续程度。
定义2：设函数f(x)在点x=a的某一邻域内有定义，如果lim(x→a)f(x)=f(a)成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
根据连续性的定义，我们可以得到以下结论：结论1：如果函数f(x)在点x=a处连续，则函数f(x)在点x=a的任意去心邻域内都连续。
结论2：如果函数f(x)在点x=a处连续且lim(x→a)g(x)=A，其中g(x)是另一个函数，那么lim(x→a)f(g(x))=f(A)。
结论3：在区间[a,b]上连续的函数必在该区间上有界。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中有着广泛的应用，下面以两个典型例子来说明：例子1：求函数f(x)=sin(x)/x当x趋于0时的极限。
解：根据函数的极限定义，在x趋于0时，我们需要求lim(x→0)(sin(x)/x)。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点趋于无穷或趋近于某个特定值时的性质。
而函数的连续性则表示函数在某一点或某一区间内没有跳跃或断裂，它是极限的一种重要性质。
本文将详细介绍函数的极限与连续性的基本概念、性质和应用。
一、函数的极限当自变量x在逼近某一特定值时，函数f(x)的极限描述了f(x)的值接近于何种程度。
形式上，当x趋近于c时，函数f(x)的极限为L，表示为lim(x→c)f(x)=L。
其中，c可以是实数、无穷大或无穷小。
函数极限的计算通常基于一些基本的极限性质，如极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数极限与无穷大等。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点或某一区间内没有跳跃或断裂。
若函数在某一点x=c处连续，则满足以下三个条件：函数在点c的定义域内有定义；函数在点c的极限存在；函数在点c的极限等于函数在点c 处的函数值。
连续函数是一类特殊的函数，它在整个定义域内都具有连续性。
常见的连续函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
三、函数的极限与连续性的关系函数的连续性是函数极限的一种重要性质。
在一些情况下，函数在某一点的极限存在且与函数在该点的函数值相等，即函数在该点连续。
但也存在一些情况，函数在某一点的极限存在，但函数在该点不连续。
这种情况下，我们称函数在该点存在间断。
四、函数的极限与连续性的应用函数的极限与连续性在数学、物理等领域有着广泛的应用。
在微积分中，函数的极限是导数和积分等概念的基础。
通过对函数的极限和连续性的研究，可以计算函数在某一点的导数、确定函数的最值、解微分方程等问题。
在实际问题中，函数的极限和连续性也具有重要的应用。
在物理学中，通过对物体的位置、速度和加速度等函数进行极限和连续性的分析，可以求解物体的运动轨迹、速度变化等问题。
在经济学中，通过对需求函数、供给函数等进行极限分析，可以推导出市场均衡价格和数量等重要结果。
总结函数的极限和连续性是微积分中的核心概念，具有广泛的应用。
应用数学基础下册（第二版）习题解答
第十三章 函数、极限与连续典型习题解答与提示习题13-11．（1）不同，定义域不同； （2）不同，对应关系不同；（3）不同，定义域不同； （4）不相同，定义域和对应关系都不相同； （5）相同，定义域和对应关系都相同； （6）相同，定义域和对应关系都相同。
2．（1）()()(),22,11,-∞----+∞ ； （2）[4,4]-； （3）()1,1-； （4）()()1,00,-+∞ ； （5）[0,1]； （6）()()1,Z 22n n n ππ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。
3．()()((530,1,,,23464f f ff f πππππ=====。
4．()112310,,,2023342f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
5．（1）偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶；（5）奇函数；（6）非奇非偶。
6．设()1212,1,0,x x x x ∈->，则()()21121212110x x y x y x x x x x --=-=<，所以()y x 在()1,0-内单减。
7．设()1212,0,,x x x x ∈+∞>，则()()112122lg lg lg 0x y x y x x x x -=-=>，所以()y x 在 ()0,+∞内单增。
8．（1）有界； （2）无界。
9．（1）()21sin 1cos 22x x =-，周期为π； （2）sin cos sin sin 2sin cos 244x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，周期为2π；（3）π。
10．（1）2y u a x ==-； （2）3,sin uy u x ==； （3）2,sin ,21y u u x υυ===+； （4）ln ,sin ,xy u u e υυ===；（5）2arccos ,1y u u x ==-； （6）21,arctan ,uy e u x υυ===。
函数的极限与连续性掌握函数极限与连续性的概念与计算方法
函数的极限与连续性掌握函数极限与连续性的概念与计算方法函数的极限与连续性函数的极限与连续性是微积分中的重要概念，它们在数学分析和实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念，并讨论其计算方法。
一、函数的极限1.1 极限的定义在数学中，函数的极限描述了函数在某一点附近的表现。
设函数f(x)定义在一段含有点a的区间内，如果对于任意的ε>0，存在一个常数δ>0，使得当函数的自变量x满足0<|x-a|<δ时，函数值f(x)满足|f(x)-L|<ε，那么我们称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
1.2 极限的性质函数极限具有一些基本的性质：唯一性、局部有界性和四则运算法则。
具体来说，如果lim┬(x→a)〖f(x)=L〗，lim┬(x→a)〖g(x)=M〗，其中L和M都是有限数，则有以下结论：- 极限唯一性：函数的极限唯一确定，即L唯一确定。
- 局部有界性：如果lim┬(x→a)〖f(x)=L〗，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)|≤M。
- 四则运算法则：设函数f(x)和g(x)的极限都存在，则有以下四则运算法则：a) 两函数的和的极限等于极限的和，即lim┬(x→a)〖(f(x)+g(x))=lim┬(x→a)〖f(x)+lim┬(x→a)〖g(x)〗〗〗；b) 两函数的差的极限等于极限的差，即lim┬(x→a)〖(f(x)-g(x))=lim┬(x→a)〖f(x)-lim┬(x→a)〖g(x)〗〗〗；c) 两函数的积的极限等于极限的积，即lim┬(x→a)〖(f(x)×g(x))=lim┬(x→a)〖f(x)×lim┬(x→a)〖g(x)〗〗〗；d) 两函数的商的极限等于极限的商（除数不为0），即lim┬(x→a)〖(f(x)/g(x))=lim┬(x→a)〖f(x)/lim┬(x→a)〖g(x)〗〗〗。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
极限描述了函数在某一点或在无穷远处的趋势，而连续性则描述了函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量无限靠近某一点时，函数的取值是否趋近于某个特定的值。
用数学语言来描述，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
从定义可以看出，函数的极限与函数在该点的实际取值可能不同。
例如，函数f(x) = 1/x，在x趋近于0时，其极限是正无穷或负无穷，但在0点本身的取值却是无定义的。
函数的极限具有一些基本性质：1. 唯一性性质：若极限存在，那么它是唯一的。
2. 局部性质：如果函数在某一点存在极限，那么它在该点的任意一个足够小的领域内也存在极限。
3. 保号性质：如果极限存在且为正数，那么函数在该点附近的取值均为正数。
同理，如果极限存在且为负数，那么函数在该点附近的取值均为负数。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
具体来说，函数f(x)在某一点x=a处连续，需满足以下三个条件：1. 函数在a点存在定义。
2. 函数在a点的极限存在。
3. 函数在a点的极限等于a点的函数值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
函数的连续性可以分为三种类型：1. 间断点：函数在某一点处不连续。
常见的间断点包括可去间断、跳跃间断和无穷间断。
2. 第一类间断点：在该点两边的极限存在，但不相等。
3. 第二类间断点：在该点的至少一边的极限不存在。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 函数的极限可以用来描述物体运动的速度和加速度。
例如，函数f(t)表示某物体在时刻t的位置，通过求解f(t)的导数可以得到物体在该时刻的速度和加速度。
2. 函数的连续性可以用来求解函数的最值。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
它们在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指函数在某一点无限接近于某个数值。
更正式地说，对于函数 f(x)，当自变量 x 自某一方向趋近于 c 时，如果函数值 f(x) 无限接近于 L，则表明函数 f(x) 在 x 趋近于 c 时的极限为 L。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = L其中 lim 是极限的符号，x→c 表示 x 趋近于 c，f(x) 是函数在 x 处的取值，L 是极限的值。
函数的极限有以下重要性质：1. 当 x 趋近于 c 时，如果 f(x) 的极限存在，则该极限唯一；2. 如果函数 f(x) 在 x=c 处连续，则该函数在 x=c 处的极限等于该点的函数值；3. 两个函数的和、差、积的极限等于各自函数的极限之和、差、积；4. 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商（除数的极限不等于零）；5. 常数与函数的乘积的极限等于常数与函数极限之积；6. 两个函数的复合函数的极限等于内层函数的极限等于外层函数的极限。
二、函数的连续性函数的连续性是指当自变量 x 在某一点连续趋近于 c 时，函数值f(x) 也连续趋近于 f(c)。
更正式地说，对于函数 f(x)，如果函数 f 在 x=c 处连续，则函数值 f(x) 在 x 趋近于 c 时连续趋近于 f(c)。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = f(c)函数的连续性有以下重要性质：1. 函数在定义域内的每一点都连续，则函数在整个定义域内连续；2. 两个函数的和、差、积、商的函数在各自定义域的交集内连续；3. 复合函数的连续函数和内层函数在其定义域内都连续。
三、实际应用函数的极限和连续性在实际问题中有广泛的应用。
以下是几个常见的实际应用场景：1. 物体的运动：当我们研究物体的运动时，通常会涉及到时间与距离的关系。
极限与连续函数的关系与应用
极限与连续函数的关系与应用一、极限与连续函数的概念及性质极限是微积分中的基本概念之一，它描述了一个函数在某一点附近的行为。
对于一个数列或者一个函数，当其自变量趋近于某一值时，如果它的函数值趋近于一个确定的有限数或者无穷大，那么我们就说这个数或者函数的极限存在。
对于函数$f(x)$而言，当自变量$x$趋近于某一点$a$时，如果$f(x)$的极限存在，并且等于$f(a)$，则称函数$f(x)$在点$a$处连续。
换句话说，极限的存在性是函数连续性的必要条件。
二、连续函数的性质1. 连续函数的四则运算：如果函数$f(x)$和$g(x)$在点$a$处连续，则它们的和、差、积、商（除数不为零）也在点$a$处连续。
2. 连续函数的复合：如果函数$f(x)$在点$a$处连续，函数$g(x)$在点$b=f(a)$处连续，则复合函数$h(x)=g(f(x))$在点$a$处连续。
3. 连续函数的介值性：如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且$f(a) <f(b)$（或$f(a) > f(b)$），则对于任意介于$f(a)$和$f(b)$之间的数$c$，存在一个介于$a$和$b$之间的数$d$，使得$f(d)=c$。
4. 连续函数的介值定理：如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且$f(a) < k < f(b)$（或$f(a) > k > f(b)$），则存在一个介于$a$和$b$之间的数$c$，使得$f(c)=k$。
三、极限与连续函数的应用1. 导数与极限：导数是描述函数变化率的概念，它与极限密切相关。
导数的定义中涉及到一个极限的概念，即函数$f(x)$在某点$a$处的导数定义为$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
通过极限和连续函数的性质，可以进行导数的求解和应用。
2. 泰勒展开：泰勒展开是利用连续函数在某点处的函数值和导数值来近似表示函数的方法。
掌握高考数学中的函数极限与连续性理解与应用方法
掌握高考数学中的函数极限与连续性理解与应用方法函数极限与连续性是高考数学中的重要考点，也是考生必须要掌握的内容之一。
正确理解和应用函数极限与连续性是解决数学问题的关键步骤。
本文将从函数极限和连续性的基本概念入手，逐步介绍理解和应用函数极限与连续性的方法。
1. 函数极限的基本概念函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值也趋近于某个特定值。
在数学表达中，可以用极限符号来表示：lim (x→a) f(x) = L。
其中 lim 表示极限，x→a 表示自变量 x 趋近于 a，f(x) 表示函数 f 在 x 处的取值，L 表示极限的结果。
2. 函数极限的计算方法常见的函数极限计算方法有代入法、夹逼准则、等价无穷小替换法等。
代入法是指将自变量的值代入到函数中进行计算；夹逼准则用于求解复杂的极限问题，通过找到两个较为简单的函数夹逼住原函数，推导出极限的结果；等价无穷小替换法是将一个函数替换成与其等价的无穷小函数，从而得到更容易计算的极限结果。
3. 连续性的基本概念函数连续性是指函数在定义域内的每一个点都与其附近的点接近，不存在跳跃、断裂的现象。
在数学表达中，可以用连续函数的定义来描述：若函数在某一点 a 处连续，则要求 f(a) 存在且lim (x→a) f(x) =f(a)。
意即函数在 a 点的极限等于 a 点的函数值。
4. 连续性的应用方法连续性的应用方法主要包括函数连续性的判断和连续函数的性质。
函数连续性的判断可以通过判断函数的定义域、有理函数、无理函数等来确定函数的连续性。
连续函数的性质包括介值定理、零点定理、最值定理等，这些定理可以在求解实际问题时帮助我们快速找到函数值或者解析表达式。
5. 函数极限与连续性的综合应用函数极限与连续性是解决数学问题的重要工具，在高考中经常与其他数学知识点结合运用。
比如在求函数的渐近线、函数图像的特征等问题中，函数极限与连续性的理解和应用都起到了至关重要的作用。
函数极限与连续性：函数极限概念
函数极限与连续性：函数极限概念函数极限与连续性是微积分中的基本概念，它们对于理解和应用数学领域中的各种问题是至关重要的。
本文将从函数极限和连续性的定义、性质以及在实际问题中的应用等方面进行探讨。
一、函数极限的定义与性质函数极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数取得的极限值。
用数学语言来描述，函数f(x)在x趋于x0时的极限记作：lim(x→x0) f(x) = L其中，x0为自变量的趋近点，L为函数f(x)的极限值。
根据这一定义，我们可以得出函数极限的一些基本性质。
首先，函数的极限值唯一。
也就是说，当x趋于x0时，函数f(x)的极限只有一个确定的数值。
其次，函数的极限与函数在极限点的取值无关。
即使函数在x0点的取值与极限值不同，函数的极限仍然存在。
第三，函数极限的存在与否与函数在极限点的左右极限有关。
如果函数f(x)在x0点的左右极限存在且相等，则函数在x0点存在极限。
二、连续性的定义与性质连续性是指函数在定义域内的各点之间没有间断或跳跃的状态。
具体而言，函数f(x)在x0点连续可以表示为：lim(x→x0) f(x) = f(x0)也就是说，当自变量x趋于x0时，函数f(x)的极限值等于f(x0)。
连续性的定义表明函数在x0点处不会出现突变或跳跃。
连续性具有以下性质：首先，如果函数在定义域内的所有点都连续，那么这个函数就是一个连续函数。
其次，两个连续函数的和、差、乘积、商（分母不为零情况下）仍然是连续函数。
第三，复合函数在其定义域内连续的条件是，外函数和内函数都在各自的定义域内连续。
三、函数极限与连续性的应用函数极限与连续性的概念在数学和科学领域中具有广泛的应用。
以下列举几个具体的例子：1. 物理学中的运动问题：利用函数极限和连续性的概念，可以描述和解决物体在运动中的速度、加速度等问题。
2. 经济学中的边际效益：通过对函数极限的研究，经济学家可以确定某一经济活动的边际效益是否递增或递减。
3. 工程学中的信号处理：函数极限和连续性的概念可以应用于信号处理和滤波等工程问题中，实现对信号的精确控制。
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目录
本章主要内容： 1-1 函数 1-2 建立函数关系 1-3 极限的概念 1-4 极限的运算 1-5 函数的连续性
1-1 函 数
1.1.0 区间与邻域 区间
区间是指数轴上介于某两点之间的线段上点的全体，这两点称为区间的端 点，两端点间的距离称为区间的长度．区间包括有限区间和无限区间． • 有限区间：
函数的概念
例 1.1.2 求下列函数的定义域.
(1) y ln(x 1) 2 x 1
(2)
y1 x
3 x2
x 1 0
解
(1)
要使函数
y
有意义，当且仅当
x
1
0
，所以函数的定义域是
(1,1) (1, ) .
(2) 要使函数 y 有意义，必须同时满足：分母不为零且偶次根式的被
开方式非负，反正弦函数符号内的式子绝对值小于或等于 1. 即
3 x2 0 x 0
3 x 3
解得
x
0
因此，该函数的定义域为[ 3 , 0) (0, 3 ] .
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质
函数的概念
例 1.1.3 已知函数 y f (x) 的定义域是[3,7]，求函数 f (2x 1) 的定义
域.
解 要使函数 f (2x 1) 有意义，当且仅当 3≤2x 1≤7 ，所以 2≤ x ≤4 ，
开区间： (a, b)= {x | a x b}
闭区间： [a,b] {x | a x b} 半开区间： [a,b) {x | a x b} (a,b] {x | a x b}
• 无穷区间：
（ ，+）=R
[a, ) {x | x a} (a, ) {x | x a}
(, b] {x | x b} (, b) {x | x b}
与之对应的函数关系。用数学的语言描述出来就得到了函数的定义。
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质 函数的概念
定义 设 D 为非空实数集. 如果按照某种对应法则（或关系）f，对于
任意 x D ，都有唯一的一个实数 y 与之对应. 则称 y 是定义在 D 上的 x
的函数，记作 y f (x) . 称 x 为自变量变化范围为函数的定义域，通常记作 D . 称 y 为因变量或
(1) 代数式中分母不能为零； (2) 偶次根式内被开方数非负； (3) 对数中真数大于零；
(4) 反三角函数特殊记.例如arcsinx，arccosx，要满足 | x |≤1 ；
(5) 多个函数代数和的定义域，应是各函数定义域的公共部分； (6) 对于表示实际问题的解析式，还应该保证符合实际意义.
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质 函数的概念
引例 自由落体的规律为
h
1 2
gt 2
（g
为重力加速度，是常量）
式中 t 表示下落的时间， h 表示质点 t 秒下降的距离.
这个公式给出了在物体自由降落的过程，距离 h 与时间 t 之间的依赖
关系. 而这种变量之间的相互依赖关系，蕴含着每一个 t 都有唯一的 h
函数，当自变量 x 取遍 D 上每一个值，而相应地 y f (x) 的变化范围称为
函数的值域，通常记作 R .
如果 x0 是一个确定的数，则 f (x0) 表示自变量 x x0 时的函数值，也可记
作 y(x0 ) 或者 y |x x0 .
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质 函数的概念
例 1.1.1
研究
y=x为同一函数.
解
y=x+1
的定义域是 (, ) ，而 y
x2 1
x 1 的定义域是 (,1)
. (1, ) 因
些，虽然这两个函数在 (,1) (1,) 的值是相同的，但由于它们的定义域
不同，因而它们不是同一函数.
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质 关于函数的一些特性
(1) 有界性 定义 设函数 f (x) 在集合 D 上有定义，如果存在常数 M 0 ，使得对 于任意的 x D ，都有| f (x) |≤ M ，则称函数 f (x) 在 D 上有界，或者称 f (x) 是 D 上的有界函数. 例如，函数 sinx 在 (, ) 上是有界函数，函数 1 在 (1, ) 上是有界
即 f (2x 1) 的定义域为[2, 4] .
例 1.1.4 设函数 f (x) x2 4x 3 ，求 f(2)、f(3a)、f (x+2).
解
f (2) 22 4 2 3 1
f (a) (3a)2 4(3a) 3 9a2 12a 3
f (x 2) (x 2)2 4(x 2) 3 x2 1
x
函数. 但是函数 1 在 (0,) 上是无界函数. 因此，有界性是针对于某一 x
区间而言的. 有界函数的图像特征：存在某两条水平的平行线，曲线夹在存在这两 条水平的平行线之间.
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质
函数的概念
由函数的定义可知，对应法则和定义域是函数的两个要素，在描述任 何一个函数时，必须同时说明这两个要素. 只有两个函数的对应法 则和定义域都相同时，我们才能说这两个函数是相同的函数.
函数的定义域，一般是使得函数有意义的自变量的取值范围，为此求 函数的定义域时应遵守以下原则：
1-1 函 数
1.1.0 区间与邻域 邻域
设a为任意实数， 为任意小的正数，我们把以a为中心、 为半径 的开区间(a ,a )称为点 a的 邻域，记为U(a, ) ，即
U(a, ) (a , a ) ； 把将U(a,)的中心a去掉的区间称为点 a的 去心邻域（或空心邻域）， 记为U(a, ) ，即
U(a, ) (a , a) (a, a ) ．
1-1 函 数
1.1.1 函数的概念与重要性质 函数的概念
在研究自然的、社会的以及工程技术的某个过程中，经常会遇到各 种不同的量. 例如时间、速度、质量、温度、成本和利润等. 这些量 一般可以分为两类，其中一类在所研究的过程中保持不变，这样的 量称为常量，而另一类在所研究的过程中是变化的，这样的量称为 变量. 在同一过程中，往往会有几个变量同时变化，但是它们的变化不是 孤立的，而是按照一定的规律相互联系着，也就是说它们之间存在 着相互依赖关系.