高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数

()12

++=x x x f 与函数()11

3--=x x x g 相同．

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴

()12

++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()

x f 与()

x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．

错误 如：数列()n

n x 1-=是有界数列，但极限不存在

4、a a n n =∞

→lim ，a a n n =∞

→lim ．

错误 如：数列()n

n a 1-=，1)

1(lim =-∞

→n

n ，但n n )1(lim -∞

→不存在。

5、如果()A x f x =∞

→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．

正确 ∵1lim

=α

β

，是 ∴01lim lim =⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2

x 是同阶无穷小．

正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim

2

02

2020=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01

sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→x

x x x x x x ．

错误 ∵x

x 1

sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x x

x =⎪⎭

⎫

⎝⎛+→11lim 0

．

错误 ∵e x x

x =⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞

→11lim

10、点0=x 是函数x

x

y =的无穷间断点．

错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x

x x ∴点0=x 是函数x

x

y =的第一类间断点．

11、函数()x f x

1

=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x

1

=

在0=x 处不连续 ∴函数()x f x

1

=

在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：

1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()x

e

f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；

（２）()x f 2

sin 1-的定义域是（ ,()2

x x k x k k Z πππ⎧

⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭

）；

（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<

e （2）∵1sin 102<-

2、函数()⎪⎩

⎪

⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．

3、设()2

sin x x f =，()12

+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()

2

21sin +x ）．

4、n

x

n n sin

lim ∞→＝（ x ）．

∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sin

lim 1

sin lim

sin lim 5、设()11cos 1121

1x

x x f x x x x π-<-⎧⎪⎪

=-≤≤⎨⎪

->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ）

，()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()10

10

lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0

101=-=+→+→x x f x x

6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00

cos 12x a

x x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．

∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f x

x x ===-→021

cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0

lim （ ()0x f ）．

∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f

8、函数()

2

11

-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．

∵()

∞=-→2

1

11

lim

x x ，()

011

lim

2

=-∞

→x x

9、若(

)

01lim

2=--+-+∞

→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 2

1

-

）． ∵