函数极限与连续知识梳理

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函数、极限、连续重要概念公式定理

一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的定义（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有 ()lim n n f x A →∞=． 2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==;(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数（五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量．定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限．定理10 初等函数在其定义域的区间内连续．定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=.（七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类一、函数、极限、连续（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .(了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有 ()lim n n f x A →∞=． 2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim(0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量.(4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数（五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量．定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限．定理10 初等函数在其定义域的区间内连续．定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类。

函数的极限和连续性

函数的极限和连续性是微积分学中最基本的概念之一。

它们不仅在数学中有着重要地位，而且在物理、工程学、金融等领域也有着广泛的应用。

本文将对进行详细的阐述和探讨。

一、函数的极限函数的极限是指函数随着自变量趋于某一值时，函数值的趋势。

它是微积分学中最基本的概念之一。

如果函数f(x)当x趋向于某一值a时，函数值f(x)趋向于一个唯一的有限数L，则称函数f(x)在点a处有极限，记作：lim（x→a）f(x)=L其中lim表示极限，x→a表示自变量x趋向于a，f(x)表示函数值，L表示极限值。

如果函数f(x)在点a处无极限，则称f(x)在点a处无极限。

如果函数f(x)在点a处有极限，则称f(x)在点a处收敛于L。

如果函数f(x)在点a的任何一个去心邻域内都无定义，则称f(x)在点a处为间断点。

二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在此点处的取值相等。

设函数f(x)在点a的邻域内有定义，如果：lim（x→a）f(x)=f(a)则称函数f(x)在点a处连续。

函数的连续性是微积分学中最基本的概念之一。

一个函数在某一点处连续，就意味着函数在该点附近没有跳跃或震荡的现象。

因此，函数的连续性可用于描述许多现实世界中的现象，如温度、速度等都可以用连续函数来表示。

三、的关系是密不可分的概念。

在进行微积分运算时，是不可缺少的。

一些基本的微积分运算，如求导、积分等都依赖于。

同时，也为微积分学中更高级的概念，如微分方程、泰勒级数等打下基础。

可以将函数的连续性看作极限的一种特殊情况，即极限和取值相等的情况。

因此，如果函数f(x)在点a处连续，则f(x)在点a处存在极限。

反之，如果函数f(x)在点a处无极限，或其极限与函数值不相等，则f(x)在点a处不连续。

四、的应用在物理、工程学、金融等领域具有广泛的应用。

以物理学为例，物理中有许多现象都可以用函数来表示。

例如，速度、加速度、电流等，都可以被抽象为函数的形式。

而这些函数又可能存在极限和连续性的概念。

函数极限连续知识点总结

函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。

对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。

1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。

上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。

1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。

通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。

这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。

1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。

极限和连续的总结

( x) [lim f ( x)]
极限存在性定理两个重要极限
(1)
sin x lim 1 x 0 x 1 x lim (1 ) e x x
(2)
1 n lim (1 ) e n n
lim ( 1 x ) e x0
x x0 x x0
( x , x ) \ { x } 内恒有 f ( x) g ( x) ，则
0 0 0
A B.
00:38
二、极限的四则运算法则
定理(四则运算法则)设
lim f ( x) A ， lim g ( x) B ,
则
法则 1
法则 2
法则 3
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) A B
第一类间断点第二类间断点
左右极限至少有一个不存在
00:38
第一类间断点第二类间断点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
（1）基本极限
（2）分子、分母分解因式，约去趋于 x→∞ 零但不等于零的因子（3）分子分母同除以高次幂（39页例6）
（4）分子、分母有理化（39页例5） (5)利用两个重要极限公式求极限
（1）间断点分类:
第一类间断点: 及若若第二类间断点: 均存在 , 称称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .

极限与连续知识点总结

极限与连续知识点总结在高等数学中，极限与连续是非常重要的基础概念，它们贯穿了整个数学分析的学习过程。

下面，我们就来对极限与连续的相关知识点进行一个系统的总结。

一、极限的概念极限是指当自变量无限趋近于某个值时，函数值无限趋近于一个确定的常数。

例如，对于函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，＄f(x)＄的极限为 2。

这是因为通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，当$x$趋近于1 时，＄f(x)＄趋近于 2。

极限的定义有多种形式，常见的有$＼epsilon ＼delta$定义。

二、极限的计算1、代入法对于一些简单的函数，如果在极限点处函数有定义且连续，直接将极限点代入函数即可计算极限。

2、因式分解法当分子分母有公因式时，可以通过因式分解约去公因式来计算极限。

3、有理化法对于含有根式的式子，可以通过有理化来消除根式，从而计算极限。

4、利用重要极限常见的重要极限有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$。

5、洛必达法则当遇到分子分母同时趋近于 0 或无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导来计算极限。

三、无穷小与无穷大1、无穷小如果函数$f(x)＄在某个变化过程中极限为 0，那么称$f(x)＄为该变化过程中的无穷小。

例如，当$x ＼to ＼infty$时，＄＼frac{1}｛x}＄是无穷小。

2、无穷大如果在某个变化过程中，函数的绝对值无限增大，那么称该函数为无穷大。

例如，当$x ＼to 0$时，＄＼frac{1}｛x^2}＄是无穷大。

无穷小与无穷大之间有着密切的关系：在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大。

四、极限的性质1、唯一性极限如果存在，则一定是唯一的。

2、有界性如果函数在某个区间上有极限，那么在该区间上一定有界。

函数极限连续重要概念公式定理

函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。

它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。

下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。

一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。

极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。

函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。

常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。

2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。

常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。

3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。

常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。

函数的极限与连续性解读

函数的极限与连续性高考要求1了解函数极限的概念2掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限3 了解函数连续的意义，4理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质知识点归纳1、函数极限的定义：(1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f (x)的极限是a，记作：lim f(x)= a，或者一当X T +8时，f(x) T a(2) 当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ,就说当x趋向于负无穷大时，函数 f (x)的极限是a，记作lim f (x)= a或者当x T—8时，x-^_oC —f(x) T a(3) 如果lim f (x)= a且lim f (x)= a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数 f (x)的X T说x_^_oc极限是a，记作：lim f (x)= a或者当x T8时，f (x) T ax—ljpc ——2、常数函数f(x)= c ( x € R)，有lim f(x)= clim f(x)存在，表示lim f(x)和lim f(x)都存在，且两者相等，所以lim f(x)中的既有X °X •X ・. x ■ ■+8,又有一^的意义，而数列极限lim a n中的仅有+8的意义。

x-^ic3、趋向于定值的函数极限概念：当自变量x无限趋近于X。

( X=X0 )时，如果函数y = f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向X。

时，函数y = f(x)的极限是a，记作lim f(x) =X ]*Q特别地，lim C = C ；lim x = x Q・X—jX Q ^X Q4、lim f(x)=a：= lim f (x) = lim f (x) = aX—X—JK Q —^X Q十5对于函数极限有如下的运算法则: 如果lim f (x)二A, Ilim g (x) = B那么lim [f(x) g(x)] =A B , lim [ f (x) g(x)^ A B ,X—X o X )X o当 C 是常数，n 是正整数时:lim[Cf(x)]=Climf(x),lim[f(x)]n=[lim f(x)]nO o o o这些法则对于Xr 的情况仍然适用=0=0=lim x r ：:2x 2 1 2x 、x 2 13x 6 1【变式】求下列各极限: (1) lim 3X-1 3x=(x 1)(2)计算 x m 1r解: (1)3x 3 -1 3-(丄)3 (2) 1(X 1)lim.x■1 3 (1 -)3 3(1 0) Xlim rx=0 , •X ・1 -r x limx x 「1rxlim (1 - r XX)亠.6、函数在一点连续的定义：如果函数 f(x)在点x=x o 处有定义，lim f(x)存在，且一 X olim f(x)=f(x o )，那么函数f(x)在点X=X o 处连续X 內-7、函数f(x)在(a , b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a , b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，或f(x)是开区间(a ，b)内的连续函数 8函数f(x)在］a , b ］上连续的定义：如果 f(x)在开区间(a , b)内连续，在左端点x=a 处有lim f(x)=f(a),在右端点x=b 处有lim f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a , b ］上连续，或f(x) x _ax _b一是闭区间］a , b ］上的连续函数 9、最大值：f(x)是闭区间］a , b ］上的连续函数，如果对于任意 x €［ a ,b ］,f(x i )>f(x),那么f(x)在点x 1处有最大值=业必10、最小值：f(x)是闭区间］a , b ］上的连续函数，如果对于任意 x €［ a , b ］, f(x 2)< f(x),那么f(x)在点X 2处有最小值=f(x) 11、最大值最小值定理如果f(x)是闭区间］a , b ］上的连续函数，那么 f(x)在闭区间］a , b ］上有最大值和最小值* . 题型讲解【例1】求下列各极限： (1)lim ( J(x+a)(x+b)—x )； (2)、X 匸3X 61解：(1)原式=lim --------------------------------^^\：x 2 +(a +b)x +ab +x(a b)x ab=a+b23x lim M lim X )0 | X | X^ " | X |(3) 因为 lim — =1,而=lim — =— 1, — + |X| T —|X| 极限存在=左、右极限存在且相等.【变式】下列函数在 x =— 2的左极限、右极限，其中哪些函数在23.x -3 (x 占一2)(1)g (x )=4x +3; (2) v (x )=3 '(X (xv-2)所以limX不存在.X 50| X |x =- 2处极限不存在?2.lim —x23x匸3, x 3 3lim 1"： x-1 r x x-lim rx iTr x11Xim(7-1)lim 』X —- X1)： jX 丿存limX —3罟1lim 二2 ^：z3x 3 3上0「11 0lim 上3不存在.x匸3, X 3 3【例2】求下列函数在指定处的左极限、右极限，其中哪些函数在指定处极限不存在? (1)f(x)=y^ (在 X =— 2 处)；(2)h(x)=X~"2)(在 x= — 2 处)；(3) f (X)x+2"州 X<-2)X |X|(在x=0 处)3 2x+ 2x 2解：(1)f(x)==x (X M — 2)x + 2lim f (x )= lim x 2=4. lim f (x )= lim x 2=4. /• lim f (x )=4.x ・，_2 …X r 2 …x > -2x —. 2x '.-2(2)lim h (x )= lim (x+1)= — 2+1= — 1.X T-2 —X T-2 —lim h(x)= lim (2x+3)=2( — 2)+3= — 1.x 「. 2x•'•lim h(x)= — 1.X解：(1) lim g(x)= lim (4x+3)=4 • (-2) +3= - 29.^^2 — '^^2 —3 3lim g(x)= lim (4x +3)=4 X (-2) +3= - 29. • • lim g(x)= — 29.X 》2(2) lim v(x)= lim x 3=( - 2)3= - 8. X T -2 _x _^_2 —解：(1 )原式=lim 士孕 ® = lim —X T 2 x-4X T 2 x+2点评：解题时常需对函数式变形！变形的基本途径有三条: 在分式极限lim 丄凶中除以x 的最高次幕;X 护 g(x)在分式极限lim 丄凶中约去可能存在的零因子 (x-x 0)k (k ・N *)；X f g(x)当lim f (x)与lim g (x)均不存在时，求lim [ f (x)二g(x)]时，应该对f (x) 一 g(x)进 X 0X r X 0X >x 0行运算X 2 —11 2 1 3 【变式】求下列各极限1. (1) lim^(2)lim[( 3)- x( 2)3], (3)X T X 2+X _2XT L'X 丿X【例3】求下列各极限： 41x 2_ 31(1) lim (2) ； ( 2) lim ( 2),lim v(x)= lim (x 2- 3)=( — 2)2—3=1. • lim v (x )不存在.x .2 'x .2 'x - _2(3) x 2 -1lim 2x 12x -x-1(4)cosxlimx >nx . x 2 cos sin2 2(2) limx 汩rmX 2 -x-2= lim (x 哄-2) x^(x 1)x —1) Jimi 土2 2x —1-1一1 2(4) “4x 12x 1limx 12凹X+111 22 113原式=lim2X . 2 X cos sin -2 2X . X cos - sin 22x x *— =lim (cos +sin )= 、2(3)(x-1)(x 1) (x-1)(2x 1) n n*4 +x - 2 lim ------------- 八09 x - 3..J9 +x +3 3+3 3 二 lim x 0, 4 x 22 222x b【例4】(1)设f (x ) = 0x 0,x =0,试确定b 的值,使lim f (x)存在; ^^0解：(1) lim f (x ) = limx ―0十^^0十lim f (x ) = lim (1+2x ) =2,x 刃…x 0 -当且仅当b=2时，lim f (x ) = limx _^0 '(2)由于f (x )是多项式，且 limx ^-)pC32•可设 f (x ) =4x +x +ax+b (a 、b 为待定系数)1 2xx ：：：0, (2) f (x )为多项式，且 limx —f (x) - 4x3 =1, limx_0匸凶=5,求 f (x )的表达式xx 2/解：(1) lim 〒I x 2+x —2xm (x 2一1)2(呼)-122-13!im (x 2 x_2)—(pm%2 jimx_2_ 22 2_2_L23(2)原式=lim(13x) _(12x)x _0x 22 2 31 6x 9x -(1 6x 12x 8x )x 2= lim-厂8"x0 x 2(3) lim4 x -2 x9 二 limx -3“ (.4 x - 2)( . 4 x 2) (\ 9 x - 3)( 一 4 x 2)^(79 x -3)(,4 x 2)側(厂3忙3)xQ (*9 x -3)(. 4 x 2)=b,(2x+b ) 故b=2时，原极限存在f (x ),x j0 -3f(x) -4x =12 _丨，x又•- lim 3=5,x )0x即 lim (4x2x )0+x+a+ b) =5, x••• a=5,b=0,即 f (x ) =4x 3+x 2+5x【变式】已知下列极限,x 2 1 x 1(2) lim ：C x 2 _ x 1 _ ax _ b) = 0解：(i)lim( x —Jpc?x 2 1x 1 (1 -a)x - (a b)x (1 - b)- ax -b) =limX —)：:1-b(1 -a)x-(a b) =limx1 1-b 如果 1 —0, ••• lim 0, lim0 , /• limx ^pc xxx _jpc(1 —a)x — (a b) 1 -x存在•如果 1- a=0 ,v limx _^C(1 - a)x -(a b)匕x-(a b) 0(a+b)=O 即 a+b=01 -a = 0—\a b =0b = -1⑵ lim (. x 2 - x 1 - ax - b)(»；x 2 —x +1—ax —b)(px 2 —x +1 +ax + b) =limx )：:,x 2 - x 1 ax b2 2 2= l im (1 -a )x -(1 2ab)x (1 -b )x )：:.x 2 - x 1 ax b2、 ■( = lim x : im x'x+tQx+b)2 x 匚.x 2 _ x 1 ax b21-b 2(1 _a 2)x _ (1 2ab) -------------- x丸1 1 b 1 —丄——丄a¥ xx 2-(1 2ab)即 1+2ab=0, a+1工0.21 -a =0•-丿1 +2ab = 0(2) f(X )x —1,0 C x 兰 12 — x,1 c x 兰 3，点 % _1要使极限存在1-a 2=0.【例5】讨论下列函数在给定点处的连续性(1) f (x) = x 4，点x = 2 ；x —22x+1(x>0)(3)设函数f(x)=』a(x = 0)，在x=0处连续，求a , b 的值.K-^Jr^x-1) (x<0)L.X解(1)因为f (x)在点x =2处无定义，所以f (x)在点x=2处不连续f (x) = x 「1，所以 lim lf (x)二呵。

高数函数-极限和连续总结

第一章函数.极限和连续第一节函数1.决定函数的要素：对应法则和定义域2.基本初等函数：（六类）（1）常数函数（y=c）；（2）幂函数（y=x a）；（3）指数函数（y=a x，a>0,a≠1）;（4）对数函数（y=log a x，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。

注:分段函数不是初等函数。

特例：y=√x2是初等函数3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。

4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。

5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。

第二节极限1.分析定义∀&>0(任意小) ∃∂>0当|x|>ð（或0<|x−x0|<ð）时总有 |f (x )−A |<&称 lim x →∞f (x )=0 (或lim x →x0f (x )=A ) 2.极限存在的充要条件lim x →x0f (x )=A ↔lim x →x 0+f (x )=lim x →x 0−f (x )=A 3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理f 1（x ）≤f (x )≪f 2(x ) ,且 lim x →x0f 1(x )=A = lim x →x0f 2(x ) 所以lim x →x0f (x )=A （2）单调有界准则单调有界数列一定有极限。

4.无穷小量与无穷大量，则称时，f （x ）为无穷小量，则称时，f （x ）为无穷大量注：零是唯一的可作为无穷小的常数。

性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。

∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。

5. 定义设是同一极限过程中的无穷小，则若则称是比高阶的无穷小,记作若则称是比低阶的无穷小若则称是的同阶无穷小;特别地，当c=1 时，则称是的等价无穷小,记作若则称是关于的 k 阶无穷小。

极限与连续知识点总结

极限与连续知识点总结
极限与连续是微积分中的重要概念，对于深入学习微积分起到了关键作用。

本文将从基本概念、性质和应用等方面对极限与连续进行总结介绍，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、极限的基本概念
1. 函数的极限：当自变量趋于某个特定值时，函数的取值是否趋于一个确定的数值。

2. 极限存在的条件：数列极限必须存在，且函数在该点左右两侧的极限值相等。

3. 极限的计算方法：通过代数运算、洛必达法则等方法来计算函数的极限。

二、连续的基本概念
1. 连续的定义：函数在某一点处的极限等于该点本身，即函数在该点处连续。

2. 连续的性质：连续函数的性质包括介值定理、零点存在定理、最值定理等。

3. 连续函数的运算：连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数。

三、极限与连续的应用
1. 极限的应用：极限在计算曲线的切线斜率、计算数列极限等方面有着广泛的应用。

2. 连续的应用：连续函数的应用包括函数的最值问题、优化问
题等。

综上所述，极限与连续是微积分中不可或缺的核心概念。

通过本文的总结，读者可以更加深入地理解和掌握这些知识点，并能够有效地应用于实际问题的解决中。

极限与连续函数知识点

极限与连续函数知识点在微积分学中，极限和连续函数是两个重要的概念。

它们在数学领域的应用极为广泛，对于理解和解决各种问题都起着关键作用。

本文将介绍极限和连续函数的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、极限的概念极限是微积分学中最基本的概念之一。

通俗地说，极限可以理解为一个数列或者函数在某一点无限接近于某个确定的值。

在数学符号中，我们用lim表示极限。

一个数列或者函数的极限有两种可能情况：正向极限和负向极限。

1.1 正向极限设函数f(x)在x→a的过程中，当x从a的右侧无限接近a时，f(x)的值趋于L。

我们将此时的极限称为正向极限。

数学上表示为：lim┬(x→a⁺)⁡f(x)=L其中，x→a⁺表示x趋于a的右侧。

1.2 负向极限类似地，设函数f(x)在x→a的过程中，当x从a的左侧无限接近a时，f(x)的值趋于L。

我们将此时的极限称为负向极限。

数学上表示为：lim┬(x→a⁻)⁡f(x)=L其中，x→a⁻表示x趋于a的左侧。

二、极限的性质在研究极限的过程中，我们需要掌握一些重要的性质。

2.1 极限的唯一性一个函数在某一点的极限值是唯一确定的。

也就是说，如果一个函数在某一点的极限存在，那么它只能有一个确定的值。

2.2 极限的四则运算对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们在某一点的极限存在，那么它们的和、差、积和商的极限也存在，并且可以通过以下公式计算：lim┬(x→a)⁡(f(x)±g(x))=lim┬(x→a)⁡f(x)±lim┬(x→a)⁡g(x)lim┬(x→a)⁡(f(x)g(x))=lim┬(x→a)⁡f(x)⋅lim┬(x→a)⁡g(x)lim┬(x→a)⁡(f(x)/g(x))=lim┬(x→a)⁡f(x)/lim┬(x→a)⁡g(x) (其中lim┬(x→a)⁡g(x)≠0)三、连续函数的概念连续函数是一类与极限相关的函数。

在数学中，我们称一个函数f(x)在某一点x=a处连续，如果满足以下条件：1) f(a)存在；2) lim┬(x→a)⁡f(x)存在；3) lim┬(x→a)⁡f(x)=f(a)。

专升本高数极限与连续知识点

专升本高数极限与连续知识点
1. 极限到底是个啥呀？就好比跑步比赛，你一直往前跑，无限接近终点线，那这个接近的过程就是在趋近一个极限呀！比如说，函数 y=1/x，当 x 越来越大时，y 就越来越接近 0 啦。

2. 连续性可重要啦！你想想看，如果走在路上突然有个大坑，那多难受呀，而连续就像是一路平坦顺畅。

像函数 y=x，它在整个定义域内都是连续的呢。

3. 函数的极限会有不同情况哦！有的就像火箭一样直直冲上去，有的慢悠悠晃过去，这可太有意思啦！比如 y=sinx 当 x 趋近于 0 时极限就是 0 呀。

4. 极限存在的条件得搞清楚呀！这就好比你要参加比赛得符合资格一样。

比如说一个函数在某点左右极限相等，那在这点就有极限啦。

5. 无穷小和无穷大的关系很奇妙耶！就像跷跷板的两头，一个上去另一个就下来。

像当 x 趋近于 0 时，x 是无穷小，1/x 就是无穷大啦。

6. 连续性和间断点可得区分开来呀！间断点就像路上的绊脚石，而连续就是没有阻碍。

比如 y=1/x 在 x=0 就是间断点哟。

7. 极限的运算规则要牢记心里呀！这就跟玩游戏知道规则才能玩得转一样。

比如两个函数极限都存在，那它们相加的极限就等于极限相加。

8. 利用极限来求一些值可太有用啦！好比有了一把钥匙能打开难题的锁。

例如通过极限求曲线的渐近线呢。

9. 搞懂了极限与连续，那高等数学就有了坚实的基础呀！这就像建房子有了牢固的地基，后面的学习就能更顺利啦！
我的观点结论是：极限与连续是专升本高数里非常重要且有趣的知识点，只要认真去理解和掌握，就能够学好它们！。

函数的极限与函数的连续性

知能迁移1 下列极限是否存在？若存在，请求
出其极限值.
(1) lim 3x2 5x 3 ; (2) lim 2x 3x .
x x2 x
x 2x 3x
解
3x2 5x 3
(1) lim x
x2 x
lim
3
5 x
3 x2
x 1 1
x
lim 3 lim
x
x
5 x
lim
x
3 x2
lim1 lim 1
x x0
③当且仅当
lim
x x0
f (x) lim x x0
f (x) a
时，lim
f (x) a,
即 lim
f (x) a
lim
x x0
f (x)
lim
x x0
f
(x)
x
a
x0
.
x x0
2. 函数极限的运算法则
若 lim f (x) a, lim g(x) b, 那么
x x0
②
x x0
lim
f
(x)
f(x0)
③ xx0
=
.
（3 如果函数f（x）在某一区间（a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续. （4 如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续，在左端点x=a处右连续，在右端点x=b处左连续，就说函数f（x）在闭区间［a，b］上连续. （5 （最值定理）如果f（x）是闭区间［a，b］上的连续
∴ lim
x2－3＝ lim － 1－x32
x→－∞ 3 x3＋1 x→－∞
3 1＋x13
＝－11＝－1.
(3)原式＝ lim x→－1

数分三必考知识点总结

数分三必考知识点总结一、极限与连续1.1 极限的定义与性质在数学分析中，极限是一个非常重要的概念。

对于一个数列或者函数而言，极限表示的是当自变量趋于某一特定的值时，函数值或者数列项的趋势。

极限的定义是：对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，如果当自变量x与a的距离小于δ时，函数值f(x)与L的距离小于ε，那么就称函数f(x)的极限为L。

极限的性质包括：唯一性，有界性，保号性以及夹逼定理等等。

1.2 连续与间断在数学上，连续与间断是极限的应用。

连续表示的是函数在某个区间内有定义，并且在该区间内的每一点的极限等于函数值。

间断则表示的是在某一点处函数的极限存在或者是存在有限极限或者不存在极限。

间断点可以分为第一类间断点和第二类间断点。

第一类间断点是指函数值在该点处存在，但是左极限与右极限不相等；第二类间断点是指函数值在该点处不存在。

1.3 应用极限与连续的应用非常广泛。

它在实际问题中可以用来解决很多复杂的计算问题，例如曲线的渐近线、曲线的微分、曲线的积分等等。

而且它在工程学、物理学、化学等领域中也都有重要的应用。

二、微分学2.1 微分的概念与性质微分学是数学分析中的一个非常重要的分支，它主要研究函数的导数。

微分的概念是：如果函数f(x)在某个点x处具有微分，那么函数在该点处的导数f'(x)存在，而且微分df与导数f'(x)之间有如下关系：df=f'(x)dx。

微分的性质包括：可加性、可乘性、线性性以及微分中值定理等等。

2.2 导数的计算与应用导数的计算是微分学中非常重要的内容。

导数表示的是函数在某一点处的变化率。

计算导数需要掌握导数的基本公式，包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数以及反三角函数的导数等等。

导数的应用非常广泛，它在解决实际问题中有很多重要的应用，如曲线的切线、曲线的凹凸性、曲线的极值、曲线的拐点等等。

2.3 泰勒公式与微分方程泰勒公式是微分学中一个非常重要的公式，它可以用来表示一个函数在某一点附近的近似值。

函数极限和连续知识点总结

函数极限和连续知识点总结一、函数极限1.1 函数极限的定义在数学中，我们常常要研究函数在某一点的“趋于”某一值的情况。

这种趋向的性质称为函数的极限。

在正式介绍函数极限的定义之前，我们先来看一个例子。

例：设函数f(x)=2x+3，当x趋于2时，f(x)的取值如下：当x向2的左侧靠近时，f(x)的取值逐渐减小，但始终没有超过7；当x向2的右侧靠近时，f(x)的取值逐渐增加，但始终没有超过7。

这种情况下，我们会说f(x)当x趋近2时“趋近7”，即f(x)的极限是7。

现在，我们来正式介绍函数极限的定义。

定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立。

那么常数A 叫做函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=A1.2 函数极限的性质在函数极限的研究中，我们需要了解一些极限的性质，其中最重要的包括以下几点：（1）唯一性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的；（2）有界性：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点附近必定有界；（3）性态：如果一个函数在某点的左极限和右极限都存在，且相等，那么函数在该点一定有极限；（4）夹逼准则：如果函数在某点的左右两极限都趋于同一值L，且有另外一个函数g(x)与f(x)相夹，且g(x)的极限也趋于L，那么f(x)的极限也趋于L。

1.3 常见函数的极限在函数极限的研究中，有一些常见的函数的极限是需要我们掌握的。

这些函数包括：（1）多项式函数的极限：当x趋于某个常数时，多项式函数的极限等于该常数的某个幂次的项系数；（2）指数函数和对数函数的极限：当x趋于正无穷时，指数函数的极限为正无穷；当x 趋于0时，对数函数的极限为负无穷；（3）三角函数的极限：当x趋于某些特定值时，三角函数的极限存在，且具有特定的值。

1.4 函数极限的求解方法在求解函数极限的过程中，可以使用以下几种方法：（1）直接代入法：即直接将x的值代入函数中，求出随着x的变化，函数的取值情况；（2）因子分解法：将一个不定式进行因式分解，从而更好地求出函数的极限；（3）洛必达法则：在求解不定式极限问题时，可以使用洛必达法则来简化问题，从而更好地求解函数的极限；（4）泰勒展开法：对于一些复杂的函数，可以使用泰勒展开公式来求解函数的极限。

第一章函数、极限与连续

第一章函数极限连续知识点拔1.1 函数一、函数的概念设D 是一个非空数集，若存在一个对应法则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与之对应，则称这个对应法则f 是定义在数集D 上的一个函数，记作：)(x f y =，其中x 叫自变量，y 叫因变量或函数，数集D 称为函数的定义域，而数集}),(|{D x x f y y z ∈==叫函数的值域.如果D x ∈0，称函数)(x f 在0x 处有定义，函数)(x f 在0x 处的函数值记为0x x y =或)(0x f .注释:①函数定义的两个要素：定义域和对应法则；②两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：22)(2---=x x x x f 与1)(+=x x g 不同，因定义域不同；x x f 2sin )(=与x x g sin )(=不同，因对应法则不同；x x x x f 222cos sin )(++=与1)(2+=t t g 相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同.③若定义域内的每一个x 只对应一个函数值y ，则称该函数为单值函数，若同一个x 值可对应于多于一个的函数值y ，这种函数称为多值函数.二、函数的基本性质1、函数的单调性：设函数在区间D 上有定义，如果对2121,x x D x x <∈∀且，恒有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f 在区间D 上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于D x x ∈∀21,21x x <且，有)()(21x f x f ≤ (或)()(21x f x f ≥)称)(x f 在区间D 上是单调增加（或单调减少）的.注释：（1）函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的，区间不同函数的有界性与单调性也不同.（2）增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增. （3）增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数. （4）增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数.2、函数的奇偶性：设D 是对称于原点的区间，若对D x ∈∀，)()(x f x f -=-有，则称)(x f 是奇函数；若有)()(x f x f =-，称)(x f 是偶函数.注释：①奇（偶）函数的定义域必须是关于原点对称的区间. ②奇函数)(x f 的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. ③奇偶函数的运算性质1°奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与偶函数的代数和为非奇非偶函数；2°偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 3°一奇一偶函数的积是奇函数；4°奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；5°奇函数的原函数是偶函数；偶函数)(x f 的原函数⎰=xa dt t f x F )()(是奇函数的充要条件是0=a ，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数.④任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即=)(x f 2)()(2)()(x f x f x f x f -++--.3、函数的有界性：设)(x f 在区间D 上有定义，如果存在0>M ,使得对一切D x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在D 上有界，否则称为无界，即对0>∀M ，若存在D x ∈0，使得M x f >)(，称)(x f 在D 上是无界的.注释：函数的有界性与x 的取值区间有关. 若函数xy 1=在区间),1(+∞上有界，但在)1,0(内是无界的，因为在这个区间上函数满足定义的M 不存在，即函数的有界性与x 的取值区间有关.4、函数的周期性：设)(x f 的定义域为D ，若存在常数0>T ，伎得对D x ∈∀，必有D T x ∈±，并且有)()(x f T x f =+成立，则称)(x f 是以T 为周期的周期函数，T 称为函数)(x f 的周期，所有周期中的最小正周期叫函数)(x f 的周期.注释：①周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间. 如：x y tan =的定义域是（+∞∞-,）且....,2,1,0,2=+≠k k x ππ②若)(x f 的周期为T ，则)(φω+x f 的周期为ωT(0≠ω)；③周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函数周期的最小公倍数，如：x x y 3cos 4sin +=周期是32,42ππ的最小公倍数π2，但也有例外，如：x sin ,x cos 的周期为2π，但x x y cos sin +=的周期为π；④周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变； ⑤设)(x f 是周期为T 的函数，则它的原函数⎰=xadt t f x F )()(为周期函数的充要条件是0)(0=⎰Tdx x f ，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如：x x f cos 1)(+=是以2π为周期的函数，但其任一个原函数C x x x F ++=sin )(不是周期函数.⑥不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数⎩⎨⎧=无理数有理数x x y ,0,1任何有理数r 都是它的周期,即若x 为有理数, r x +也是有理数,故有)(1)(r x f x f +==;若x 为无理数, r x +也是无理数,故)(0)(r x f x f +==,可见r 为)(x f 的周期,但它没有最小的正周期. 又如：C y =，C 为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数.三、反函数设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M ，如果对于M 中的某一个y 值（M y ∈），都可以从关系式)(x f y =确定唯一的x （D x ∈）与之对应，这样就确定了一个以y 为自变量的新函数，记为：)(1y fx -=，称函数)(1y f x -=为函数)(x f y =的反函数，它的定义域为M ，值域为D .注释：①习惯上自变量用x 表示，函数用y 表示，因此函数)(x f y =的反函数)(1y f x -=通常表示为)(1x fy -=.②反函数的定义域就是其原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域，且有)]([)]([11x f f x x f f --==.③原来函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图像关于x y =对称（前提是在同一坐标系中），)(x f y =的图像与其反函数)(y x φ=的图像重合.④只有一一对应的函数才有反函数.⑤若)(x f 在区间I 内单调⇒)(x f 在区间I 内一定存在单值反函数，反之不一定成立，即若)(x f 在区间I 内存在单值反函数但)(x f 在区间I 内不一定单调，如： ⎩⎨⎧≤≤+≤--=10,101,)(x x x ＜x x f 在区间]1,1[-内存在单值反函数，但它在]1,1[-上不单调.四、复合函数若函数)(x u φ=在0x 处有定义，而)(u f y =在)(00x u φ=处有定义，则)]([x f y φ=称为由)(u f y =和)(x u φ=复合而成的复合函数，u 称为中间变量.注释：①只有当函数)(x u φ=的值域与)(u f y =的定义域的交集不是空集时才构成复合数. ②函数的复合：先利用外层函数关系，再利用内层函数关系而构成，如：设x x f sin )(=，x e x =)(φ，则x e x x f sin )](sin[)]([==φφ.③复合函数的分解：先找到外层函数关系，设其内部整体为中间变量u ，再依次分解，如：21)]sin [arctan(x x y +=，可设)sin arctan(x x u +=,x x v sin +=，则原来函数是由21u y = , v u arctan =，x x v sin +=复合而成.五、初等函数1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数.2、初等函数：由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算且可用一个数学解析式表示的函数叫初等函数.注释：初等函数必须用一个式子表示，不能用一个式表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不是初等函数.3、分段函数：若函数在其定义域内的不同部分上，分别用不同的表达式表示，这类函数称为分段函数.如：符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x 是分段函数且是有界函数和奇函数.又如： x x x x x x x y sgn .0,,0,=⎩⎨⎧<-≥==是分段函数.注释：分段函数一般不是初等函数，但若)(x f 是初等函数，则⎩⎨⎧<-≥==.0)(),(,0)(),()()(2x f x f x f x f x f x f 是初等函数. 又如：取整函数[]x y =，即“不超过x 的最大整数”是分段函数. 又如：定义在R 上的狄利克雷（Dirichlet ）函数⎩⎨⎧=.,0,1)(无理数有理数x ，x x D 是分段函数，且是有界的，)(x D 是周期函数，但没有最小的正周期，任何有理数都是它的周期，并且)(x D 还是偶函数.4、初等函数的几个特例设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数，则（1）)(x f 是初等函数，因为=)(x f []2)(x f ；（2）最大值函数max )(=x ϕ{})(),(x g x f 和最小值函数{})(),(min )(x g x f x =ψ都是初等函数，这是因为{}[])()()()(21)(),(max )(x g x f x g x f x g x f x -++==ϕ {}[])()()()(21)(),(min )(x g x f x g x f x g x f x --+==ψ （3）幂指函数)()]([x g x f y = (0)(>x f )是初等函数，因为)(ln )()](ln[)()()]([x f x g x f x g e e x f x g ==.1.2 极限一、数列极限的定义 1、数列极限的概念设}{n x 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时，有ε<-a x n ，则称数列}{n x 收敛于a ，而a 称为数列}{n x 的极限，记作：a x n n =∞→lim ，或a x n →（∞→n ）.若数列}{n x 没有极限，则称数列}{n x 不收敛，或称}{n x 为发散数列. 若0lim =∞→n n x ，则称}{n x 为无穷小数列.定理数列}{n x 收敛于a 的充要条件是：}{a x n -为无穷小数列. 2、有界数列的概念对于数列}{n x ，如果存在正数M ，使得对于一切的n x 都有不等式M x n ≤||成立，则称数列}{n x 是有界的；如果这样的正数M 不存在，则称数列}{n x 是无界的.注释：（1）若数列}{n x 收敛，则数列有界；（2）有界数列}{n x 不一定收敛，如：n n a )1(-=有界，但不收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件；（3）C C n =∞→lim （常数）；01lim=∞→p n n （0>p ）；0lim =∞→nn q （1<q ）；（4）等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n 2)1(1-+=. （5）等比数列的前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1.3、单调数列的概念对于数列}{n x ，如果满足条件 ≤≤≤≤≤+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调增加数列；如果满足条件 ≥≥≥≥≥+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调减少数列.单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列. 定理（单调有界准则）单调有界数列必有极限.二、函数极限1、∞→x 时，函数)(x f 的极限（1）概念定义如果当∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作：A x f x =∞→)(lim 或A x f →)(（∞→x ）.注释：（1）∞→x 是指x 的绝对值无限增大，它包含以下两种情况：x 取正值并无限增大，记作：+∞→x ；x 取负值且其绝对值无限增大，记作：-∞→x .（2）如果+∞→x 和-∞→x 两种情况都存在且函数的极限值相等时，则可合并写成∞→x . 定义如果当+∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或A x f →)(（+∞→x ）.如果当-∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或A x f →)(（-∞→x ）.（2）函数)(x f 在∞→x 时极限存在的充要条件定理极限A x f x =∞→)(lim 存在的充要条件是A x f x =+∞→)(lim 且A x f x =-∞→)(lim .如：由于2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ，所以x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→≠，故极限x x arctan lim ∞→不存在；又如：由于0lim =-∞→x x e ，+∞=+∞→x x e lim 即不存在，故极限xx e ∞→lim 不存在.2、0x x →时，函数)(x f 的极限（1）函数)(x f 在0x x →时的极限概念定义设函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有定义，如果当0x x →时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作：A x f x x =→)(lim 0或Ax f →)(（0x x →）.注释：0x x →表示x 趋近于0x ，含以下两种情况：（1）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：+→0x x ；（2）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：-→0x x .（2）函数左极限与右极限的概念定义设函数)(x f 在0x 的某个左侧邻域),(00x x δ-（0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的左侧趋近于0x （记作：-→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当-→0x x 时的极限，记作：A x f x x =-→)(lim 0或A x f =-)(0或A x f =-)0(0.设函数)(x f 在0x 的某个右侧邻域),(00δ+x x （0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的右侧趋近于0x （记作：+→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当+→0x x 时的极限，记作：A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)(0或A x f =+)0(0.（3）函数)(x f 在0x x →时极限存在的充要条件定理极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件是A x f x x =-→)(lim 0且A x f x x =+→)(lim 0.注释：该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理. （4）几个常用极限01lim=∞→x x ，C C x x =→0lim （常数），0sin lim 0=→x x ，1cos lim 0=→x x ，00lim x x x x =→. （5）初等函数的极限基本初等函数在定义域内任一点0x 的极限等于该点的函数值；初等函数在定义区间内任一点0x 的极限等于该点的函数值.3、函数极限的性质（1）唯一性：若极限)(lim 0x f x x →存在，则它的极限必唯一；（2）局部有界性：若)(li m 0x f x x →存在，则0>∃δ和0>M ，当δ<-<00x x 时，有M x f ≤)(；（3）保序性：设A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，（Ⅰ）若B A >，则0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >；（Ⅱ）若当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >，则B A ≥.（4）保号性：若0)(lim 0>=→A x f x x （或<0），则必0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）若0)(>x f （或0)(<x f ），且A x f x x =→)(lim 0，则0≥A （或0≤A ）.注释：①上述的变化趋势0x x →，可以换成-→0x x ，+→0x x ，∞→x ，-∞→x ，+∞→x②若)0(0)(<>或x f ,且A x f x x =→)(lim 0，则0>A )0(<或是错误的，如)0(0)(2≠>=x x x f ，但0)(lim 0=→x f x1.3 极限的运算法则若)(lim x f ，)(lim x g 都存在，则（1）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±；（2）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=，特别地)(lim )(lim x f C x Cf =；（3）)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =，其中0)(lim ≠x g ；（4）)]([lim )]([lim x g f x g f =；（5）[],)(lim )(lim )(lim )(x g x g x f x f =其中0)(lim >x f 且不等于1，特别地[]αα)(lim )](lim[x f x f =（α为实数）. 注释：①法则（1）（2）可以推广到有限个函数.②0x x →时有理分式极限的求法设)(x R 是有理分式，01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R n n n n n n n n m n ++++++++==---- ，其中0≠n a ，0≠n b .（1）若0)(0≠x Q m ，则)()()()(lim 0000x R x Q x P x R m n x x ==→；（2）若0)(0=x Q m ，而0)(0≠x P n ，则∞=→)(lim 0x R x x ；（3）若0)(0=x Q m 且0)(0=x P n ，则)(x P n 与)(x Q m 一定有公因子)(0x x -，将)(x P n 与)(x Q m 因式分解，约去公因式后再计算极限.③∞→x 时有理分式极限的求法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞=>=∞→.,.,.,0)(lim 时当时当时当n m n m b an m x R n n x 其中0≠n a ，0≠n b . ④无理分式极限的求法：先分子或分母有理化，在计算极限 ⑤“∞-∞”型有理分式的求法：先通分，再求极限.1.4 极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则夹逼定理：如果对于0x 的去心邻域内的一切x 都有)()()(x h x f x g ≤≤，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0，则有A x f x x =→)(lim 0.二、两个重要极限 1、1sin lim0=→xx x ，1sin lim 0=→x x x ，一般的1sin lim0=∆∆→∆，∆表示任一函数)(x u ，即1)()(sin lim 0)(=→x u x u x u ；2、e xxx =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim ，一般的e =∆+∆∞→∆)11(lim ，e =∆+∆→∆10)1(lim ，∆表示任一函数)(x u ，即e x u x u x u =+∞→)()())(11(li m ，e x u x u x u =+→)(1)())(1(lim .1.5 无穷小量与无穷大量、无穷小的比较一、无穷小量1、无穷小量的概念若0)(lim 0=→x f x x （或0)(lim =∞→x f x ），则称)(x f 是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量，简称无穷小；2、极限与无穷小量的关系α+=⇔=∞→→A x f A x f x x x )()(lim )(0，其中α是0x x →时的无穷小量.|)(|)(lim )(0A x f A x f x x x -⇔=∞→→是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量.3、无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量，（2）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。

函数,极限与连续内容小结

则称
f
(x)
为x
x0 时的无穷大量(或无穷大).
记作 lim x x0
f
(x)
2.性质
(1) lim f ( x) 0 f ( x) A ( x), ( x)为无穷小; x x0
(2)有限个无穷小的和、积仍是无穷小； (3)无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小; (4)有限个无穷大的乘积仍是无穷大； (5)无穷大与有界函数的和仍是无穷大.
之间的任何值.
七、几种不定型的求极限问题
1. 型分子、分母同除以该式中最大的无穷大
2. 0 型（1）只含有理、无理函数时，消零因子; 0 （2）含超越函数时，利用等价无穷小代换.
3. 0 或型化为或 0 型 0
4. 1 型
1
利用重要极限 lim(1 x) x e
x0
例1 求 lim n2 n 3n n 2n n
例4 求 lim x 6 3 x3 x 1 2
解原式 lim ( x 1 2)( x 3) x3 ( x 6 3)( x 3)
lim x3
2 .
3
x12 x63
(e x 1)(1 cos x)
例5
求
lim
x0
sin(
x
2
)
ln(1
2
x
)
解
x x2
原式
lim
x0
2 x2 2x
6.单调有界原理单调、有界的数列必定收敛.
四、两个重要极限
sin x lim 1. x0 x
lim(1 1 )x e
x
x
五、无穷小与无穷大
1.定义
(1)若
lim
x x0

极限与连续知识点总结

极限与连续知识点总结一、关键信息1、极限的定义名称：极限定义：当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的常数。

2、极限的性质名称：极限的性质内容：唯一性、局部有界性、局部保号性等。

3、连续的定义名称：连续定义：函数在某点的极限值等于该点的函数值。

4、连续的条件名称：连续的条件内容：左右极限存在且相等，并等于该点的函数值。

5、间断点的分类名称：间断点的分类内容：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点。

二、极限的定义11 数列的极限对于数列｛an}，如果存在常数 A，当 n 无限增大时，an 无限趋近于 A，则称 A 为数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。

111 函数的极限设函数 f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义，如果当 x 无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 的值无限趋近于一个确定的常数 A，则称 A 为函数f(x) 当 x 趋近于 x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。

112 单侧极限左极限：lim(x→x0-） f(x) ＝ A，表示 x 从 x0 的左侧无限趋近于 x0 时，f(x) 趋近于 A。

右极限：lim(x→x0+） f(x) ＝ A，表示 x 从 x0 的右侧无限趋近于x0 时，f(x) 趋近于 A。

三、极限的性质12 唯一性若极限lim(x→x0) f(x) 存在，则极限值唯一。

121 局部有界性如果lim(x→x0) f(x) 存在，则存在 x0 的某一去心邻域，使得 f(x) 在该邻域内有界。

122 局部保号性若lim(x→x0) f(x) ＝ A ＞ 0（或 A ＜ 0），则存在 x0 的某一去心邻域，使得在该邻域内 f(x) ＞ 0（或 f(x) ＜ 0）。

四、极限的运算13 四则运算若lim(x→x0) f(x) 和lim(x→x0) g(x) 都存在，则：lim(x→x0) f(x) ± g(x) ＝lim(x→x0) f(x) ± lim(x→x0) g(x)lim(x→x0) f(x) · g(x) ＝lim(x→x0) f(x) · lim(x→x0) g(x)lim(x→x0) f(x) ／ g(x) ＝lim(x→x0) f(x) ／lim(x→x0) g(x)（lim(x→x0) g(x) ≠ 0）131 复合函数的极限设函数 y ＝ fg(x) 是由函数 u ＝ g(x) 和 y ＝ f(u) 复合而成，若lim(x→x0) g(x) ＝ u0，lim(u→u0) f(u) ＝ A，且当x ≠ x0 时，g(x) ≠ u0，则lim(x→x0) fg(x) ＝ A。

函数极限与连续知识梳理

函数、极限、连续重要概念公式定理

函数的极限和连续性

函数极限连续知识点总结

极限和连续的总结

极限与连续知识点总结

函数极限连续重要概念公式定理

函数的极限与连续性解读

高数函数-极限和连续总结

极限与连续知识点总结

极限与连续函数知识点

专升本高数极限与连续知识点

函数的极限与函数的连续性

数分三必考知识点总结

函数极限和连续知识点总结

第一章 函数、极限与连续

函数,极限与连续内容小结

极限与连续知识点总结

第一章函数、极限与连续