习题2 质点动力学

习题22-1 一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面(倾角为α)上以初速度v 0运动，v 0的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，题2-1图求该质点的运动轨道.解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1.题2-1图X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v2sin 21t g y α=由①、②式消去t ，得220sin 21x g v y ⋅=α2-2 质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为f x ＝6 N ，f y＝－7 N.当t ＝0时，x ＝y ＝0，v x ＝－2 m·s －1，v y ＝0.求当t ＝2 s 时质点的位矢和速度. 解： 2s m 83166-⋅===m f a x x 2s m 167-⋅-==m f a y y (1)⎰⎰--⋅-=⨯-=+=⋅-=⨯+-=+=20101200s m 872167s m 452832dt a v v dt a v v y y y x x x于是质点在s 2时的速度1s m 8745-⋅--=ji v(2)m874134)167(21)4832122(21)21(220j i j i jt a i t a t v r y x--=⨯-+⨯⨯+⨯-=++=2-3 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t ＝0时质点的速度为v 0.证明：(1)t 时刻的速度为()0k t mv v e-=；(2)由0到t 的时间内经过的距离为()0()1k t m mv x e k -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦；(3)停止运动前经过的距离为0m v k ；(4)证明当mt k =时速度减至v 0的1e，式中m 为质点的质量. 答: (1)∵ tvm kv a d d =-= 分离变量，得m tk v v d d -=即 ⎰⎰-=v v t mtk v v 00d d m kte v v -=ln ln 0∴ tm k e v v -=0(2) ⎰⎰---===tttm k m ke kmv t ev t v x 000)1(d d(3)质点停止运动时速度为零，即t →∞， 故有 ⎰∞-=='00d kmv t ev x tm k (4)当t=km时，其速度为 ev e v ev v km m k 0100===-⋅- 即速度减至0v 的e1.2-4 一质量为m 的质点以与地面仰角θ＝30°的初速v 0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量. 解: 依题意作出示意图如题2-4图题2-4图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y 轴对称性，故末速度与x 轴夹角亦为o30，则动量的增量为0v m v m p-=∆由矢量图知，动量增量大小为0v m，方向竖直向下．2-5 作用在质量为10 kg 的物体上的力为(102)F t iN =+，式中t 的单位是s. (1)求4s 后，物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量； (2)为了使冲量为200 N·s ，该力应在这物体上作用多久？试就一原来静止的物体和一个具有初速度－6j m·s －1的物体，回答这两个问题. 解: (1)若物体原来静止，则i t i t t F p t 1401s m kg 56d )210(d -⋅⋅=+==∆⎰⎰,沿x 轴正向，ip I imp v111111s m kg 56s m 6.5--⋅⋅=∆=⋅=∆=∆ 若物体原来具有6-1s m -⋅初速，则⎰⎰+-=+-=-=t tt F v m t m F v m p v m p 000000d )d (,于是⎰∆==-=∆t p t F p p p 0102d ,同理， 12v v ∆=∆,12I I=这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即⎰+=+=tt t t t I 0210d )210(亦即 0200102=-+t t解得s 10=t ，(s 20-='t 舍去)2-6 一颗子弹由枪口射出时速率为v 0 m·s －1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F ＝(a －bt )N(a ，b 为常数)，其中t 以s 为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间； (2)求子弹所受的冲量； (3)求子弹的质量.解: (1)由题意，子弹到枪口时，有0)(=-=bt a F ,得ba t =(2)子弹所受的冲量⎰-=-=tbt at t bt a I 0221d )(将bat =代入，得 ba I 22=(3)由动量定理可求得子弹的质量202bv a v I m ==2-7 设F ＝7i －6j N.(1)当一质点从原点运动到r ＝－3i ＋4j ＋16k m 时， （1）求F 所做的功；(2)如果质点到r 处时需0.6 s ，试求平均功率； (3)如果质点的质量为1 kg ，试求动能的变化. 解: (1)由题知，合F为恒力，∴ )1643()67(k j i j i r F A++-⋅-=⋅=合J 452421-=--= (2) w 756.045==∆=t A P (3)由动能定理，J 45-==∆A E k2-8 如题2-8图所示，一物体质量为2 kg ，以初速度v 0＝3 m·s －1从斜面A 点处下滑，它与斜面的摩擦力为8 N ，到达B 点后压缩弹簧20 cm 后停止，然后又被弹回.求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度.题2-8图解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。

则由功能原理，有⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+-=-37sin 212122mgs mv kx s f r 222137sin 21x s f mgs mv k r -︒+=式中m 52.08.4=+=s ，m 2.0=x ，再代入有关数据，解得-1m N 1390⋅=k再次运用功能原理，求木块弹回的高度h '037sin -21o 2=''-s mg s f kx r 代入有关数据，得 m 4.1='s , 则木块弹回高度m 84.037sin o ='='s h2-9 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直.题2-9证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有222120212121mv mv mv += 即 222120v v v += ①题2-9图(a) 题2-9图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有210v m v m v m +=亦即 210v v v+= ②由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以0v为斜边，故知1v 与2v是互相垂直的．2-10 一质量为m 的质点位于(x 1，y 1)处，速度为j v i v v y x+=，质点受到一个沿x 负方向的力f 的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩. 解: 由题知，质点的位矢为j y i x r11+=作用在质点上的力为i f f -=所以，质点对原点的角动量为v m r L ⨯=0)()(11j v i v m i y i x y x +⨯+=k mv y mv x x y)(11-=作用在质点上的力的力矩为k f y i f j y i x f r M1110)()(=-⨯+=⨯=2-11 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为r 1＝8.75×1010 m 时的速率是v 1＝5.46×10 4 m/s ，它离太阳最远时的速率是v 2＝9.08×10 2 m/s ，这时它离太阳的距离r 2是多少？(太阳位于椭圆的一个焦点)解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 2211mv r mv r =∴ m 1026.51008.91046.51075.81224102112⨯=⨯⨯⨯⨯==v v r r2-12 物体质量为3 kg ，t ＝0时位于r ＝4i m ，v ＝i ＋6j m/s ，如一恒力f ＝5j N 作用在物体上.求3 s 后，(1)物体动量的变化；(2)相对z 轴角动量的变化.解: (1) ⎰⎰-⋅⋅===∆301s m kg 15d 5d j t j t f p(2)解(一) 73400=+=+=t v x x xj at t v y y 5.25335213621220=⨯⨯+⨯=+=即 i r41=,j i r 5.2572+=10==x x v v1133560=⨯+=+=at v v y y即 j i v611+=,j i v 112+= ∴ k j i i v m r L72)6(34111=+⨯=⨯= k j i j i v m r L5.154)11(3)5.257(222=+⨯+=⨯=∴ 1212s m kg 5.82-⋅⋅=-=∆k L L L解(二) ∵dtdz M =∴ ⎰⎰⨯=⋅=∆tt t F r t M L 0d )(d⎰⎰-⋅⋅=+=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+++=31302s m kg 5.82d )4(5d 5)35216()4(2k t k t t j j t t i t。