大学物理第二章质点动力学习题答案

习 题 二

2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv

(1) 由牛顿第二定律 t

v m ma f d d == 即 t

v m kv d d ==- 所以

t m k v v d d -= 对等式两边积分 ⎰⎰-=t

v v t m k v v 0

d d 0

得 t m

k

v v -=0ln

因此 t m

k

e v v -=0

(2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m

ma f d d d d d d d d ==== 即 x v

mv kv d d =-

所以 v x m

k

d d =-

对上式两边积分 ⎰⎰=-00

0d d v s

v x m k

得到 0v s m

k

-=-

即 k

mv s 0

=

2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=

-m kt

e k

F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正

方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得

t

v m

ma f F mg d d ==--

即 t

v m ma kv F mg d d ==-- 整理得

m

t

kv F mg v d d =--

对上式两边积分

⎰⎰=--t v

m

t kv F mg v

00

d d 得 m

kt F mg kv F mg -=---ln

即 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=

-m kt

e k

F

mg v 1

2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。

[解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

此时 2

T kv mg =

即 k

mg

v =

T 有牛顿第二定律 t

v m kv mg d d 2=- 整理得

m

t

kv mg v d d 2=

- 对上式两边积分 mgk

m t kv mg v t v

21d d 00

2⎰⎰

=-

得 m

t

v

k mg v k mg =

+-ln

整理得 T 22221

111v e

e

k mg e

e v kg

m t kg m t

kg

m t kg m t

+-=+-=

2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1⨯=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。

[解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力

()

2

e h R m

M G

f +=地

2

e R M G

g 地=

由上面两式得()

()

()

N 1082.710

85.110

63781063788.9132732

63

2

32

e 2

e ⨯=⨯+⨯⨯⨯

⨯=+=h R R mg

f

(2) 由牛顿第二定律 h

R v m f +=e 2

()()

s m 1096.61327

1085.11063781082.736

33e ⨯=⨯+⨯⨯⨯=+=

m h R f v (3) 卫星的运转周期

()()

2h3min50s s 1043.710

96.61085.11063782233

6

3e =⨯=⨯⨯+⨯=+=ππv h R T 2-5 试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。

[解] 设同步卫距地面高度为h ，距地心为R +h ，则

22ωmr r Mm

G = mg R Mm

G =2 所以 2gR GM =

代入第一式中 3

12

2

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ωgR r s rad 1027.73600

2425-⨯=⨯=

π

ω

解得 m r 71022.4⨯=

m 1058.31037.61022.4467⨯=⨯-⨯=-=R r h

2-6 两个质量都是m 的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。

[解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。