一元二次方程思维导图
一元二次方程(思维导图+资料)
1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2、 经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式 二、知识准备1、 请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2=2、 用直接开平方法解下例方程：（1） （2）134)5(2=+-x （1）16442=+-x x （2）13425102=++-x x三、学习过程问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0四、知识梳理问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？ 问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2；2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+m)2=n 的形式为 ；3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9C.(x-8)2=16D.(x+8)2=572、、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46B.425C. 419D. -419 3、、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ）A.9B.7C.2D.-2 4、、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0； （3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22y-4=0；5、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。
一元二次方程 (思维导图+资料)复习过程
一元二次方程(思维导图+资料)1、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2、经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式二、知识准备1、请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2 =2、用直接开平方法解下例方程：（1） （2）134)5(2=+-x （1）16442=+-x x （2）13425102=++-x x三、学习过程问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0四、知识梳理问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2；2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+m)2=n 的形式为 ；3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9C.(x-8)2=16D.(x+8)2=572、、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46 B.425 C. 419 D. -419 3、、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ）A.9B.7C.2D.-24、、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0；（3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22y-4=0；5、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。
九年级上册数学人教版思维导图
第二十一章一元二次方程基本概念解法根的判别式列一元二次方程解实际问题根与系数的关系一元二次方程一般形式一元二次方程的解只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程使一元二次方程左右两边相等的未知数的值直接开平方法配方法公式法因式分解法利用平方根的意义直接降次左边配成完全平方式的形式，右边为常数对方程的左边因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于的形式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根Δ=0时，方程有两个相等的实数根Δ<0时，方程无实数根审：审清题意设：设未知数列：列一元二次方程解：解一元二次方程检：检验所求得的解是否符合题意答：写出答案第二十二章二次函数二次函数的定义二次函数的图象二次函数的性质二次函数的实际应用抛物线的平移规律用待定系数法求二次函数的解析式二次函数与一元二次方程一般地形如是常数的函数叫做二次函数画法特征描点法平移法a>0，图象开口向上a<0，图象开口向下对称轴：直线顶点坐标：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大增减性最值当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小当a>0时，有最小值当a<0时，有最大值左加右减自变量，上加下减常数项，已知图象上三点的坐标，通常设一般式一般式，已知图象的顶点坐标或对称轴方程，通常设顶点式顶点式：，已知图象与x轴的交点坐标，通常设交点式交点式抛物线与轴的公共点的横坐标即一元二㳄方程的根抛物线与x轴的公共点情况有两个公共点↔Δ>0有一个公共点↔Δ=0没有公共点↔Δ<0拓展：抛物线与直线的交点个数利用图象法求一元二次方程的根常见类型求图形面积的最值求获得最大利润建立平面直角坐标系判断船是否能通过桥洞求动点问题中的最值第二十三章旋转定义性质图案设计旋转的三要素中心对称中心对称图形关于原点对称的点的坐标把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角旋转前、后的图形全等旋转中心旋转角旋转方向定义把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心性质中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分中心对称的两个图形是全等图形定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形常见的中心对称图形线段、平行四边形、圆等两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y)利用平移、轴对称、旋转设计图案第二十四章 圆圆的有关概念圆的有关计算圆的基本性质和定理与圆有关的位置关系圆内接正多边形确定圆的要素圆心：确定圆的位置半径：确定圆的大小特征 圆上各点到定点（圆心）的距离等于定长（半径）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上弦与直径的关系弦是连接圆上两点的线段直径是过圆心的弦直径一定是弦，但弦不一定是直径弧于半圆的关系优弧（用三个字母表示）劣弧（用两个字母表示） 弧时连接圆上两点间的部分半圆是直径两端点间的部分半圆是弧，但弧不一定是半圆等弧具备的条件同圆或等圆能够互相重合缺一不可圆的对称性垂径定理及其推论圆心角、弧、弦的关系圆周角定理及其推论确定圆的条件点和圆的位置关系 直线和圆的位置关系轴对称图形→对称轴（直径所在直线）有无数条中心对称图形→对称中心（圆心）只有一个旋转图形→旋转角为任何度数定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等推论1 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等推论2 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所 对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等定义顶点在圆上两边都与圆相交缺一不可 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1同弧或等弧所对的圆周角相等推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径过一点→画无数个圆 过两点→画无数个圆→圆心在这两点的垂直平分线上过三点三点在一条直线上→不能画圆 三点不在同一直线上→画一个圆→圆心是任意两点的垂直平分线的交点点在圆外↔d>r点在圆上↔d=r点在圆内↔d<r位置关系三角形的外接圆三角形的内切圆相交↔d<r ；相切↔d=r ；相离↔d>r切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直径是圆的切线切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角定义 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心 外心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径外心的位置锐角三角形→三角形的内部直角三角形→斜边的中点钝角三角形→三角形的外部定义 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形 内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 内心性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径内心的位置：均在三角形内部相关概念正多边形的中心→外接圆的圆心正多边形的半径→外接圆的半径正多边形的中心角→每一条边所对的圆心角 正多边形的边心距→中心到正多边形的一边的距离画法把圆周角等分成n 份把360°的圆心角等分成n 份弧长公式扇形的面积公式圆锥的侧面积和全面积公式侧全第二十五章概率初步事件概率确定性事件随机事件必然事件：P(A)=1不可能事件：P(A)=00<P(A)<1概念表示随机事件发生的可能性大小的数值叫做概率公式在一次试验中有种等可能的结果事件包含其中的种结果，则求法应用用列举法求概率直接列举法列表法画树状图法用频率估计概率试验次数比较多试验结果不是有限个各种可能出现的结果发生的可能性不同抽奖问题、游戏是否公平问题等。
12 一元二次方程-一元二次方程知识图--葛军
12.一元二次方程知识图
一元二次方程是初中数学中的重要而基本的内容，自然地，它也就成为初中数学竞赛的重要内容．
“再回首，往事就在昨天，或许在今日，”
我们看来路，方知一元二次方程的基本内容构成下图：
掌握了这个图，应该说，应付一元二次方程的竞赛题是不会有多大问题的．特别指出的是，注意图中基本知识间的逆向关系，即逆向思维的运用，常是竞赛命题的基本出发点．（“一”表示两者之间的相互对应关系）
当然，掌握这个图的熟练程度，也决定了学习者在高中乃至大学学习数学的理解与掌握水平．
需要说明的是，上述的图中涉及“图像”知识点，因为需要用到函数的知识，这里就不再涉及，有兴趣的读者可以自行探索．
这小小的苇笛，你携带着它逾山越谷，从笛管里吹出永新的音乐，
——泰戈尔<吉檀迦利》。
一元二次方程 (思维导图+资料).
1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2、 经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式 二、知识准备1、 请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2=2、 用直接开平方法解下例方程：（1） （2）134)5(2=+-x （1）16442=+-x x （2）13425102=++-x x三、学习过程问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0四、知识梳理问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？ 问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2；2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+m)2=n 的形式为 ；3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ） A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=572、、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46B.425C. 419D. -419 3、、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ） A.9 B.7 C.2 D.-2 4、、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0； （3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22y-4=0；5、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。
一元二次方程知识结构图
一元二次方程知识结构图
1、相关概念：一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解、一元二次方程的根的概念。
2、相关解法：夹逼法、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法。
重点是以下三种方法：
(1)配方法首先通过实际问题引出，这样的方程可以化为更为简单的形式，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。
进而举例说明如何解方程，引出配方法。
在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。
对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
(2)公式法首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。
然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。
在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。
由此引出一元二次方程的解的三种情况。
(3)在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。
然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。
最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。
3、根的判别式及韦达定理。
4、相关应用：通过实际问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
初中数学《一元二次方程》主题单元教学设计以及思维导图
一元二次方程主题单元设计主题单元规划思维导图（说明：将主题单元规划的思维导图导出为jpeg 文件后，粘贴在这里；如果提交到平台，则需要使用图片导入的功能，具体操作见《2013学员教师远程研修手册》。
）主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．过程与方法：（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合整式中的有关概念介绍一元二次方程的概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。
专题问题设计1、用观察检验法估计一元二次方程的解2、配方法的一般形式是什么？配方法的一般步骤3、公式法的公式是什么？b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0的解的情况？4、因式分解法的一般思路是什么?5、一元二次方程如何选择方程的解法？所需教学环境和教学资源信息化资源：计算机常规资源：教材、多媒体课件、几何画板课件教学支撑环境：多媒体教室学习活动设计第一课时用配方法解一元二次方程活动1：用配方法解一元二次方程（二次项的系数为1）1、用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)活动2：用公式法解一元二次方程1、用公式法解下列方程．（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x3、要求学生对知识整体认识的基础上，对知识进行巩固提高4、整理自己的想法和做法，在小组内表述自己的探索过程和结论．活动3：拓展提高：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程。