韦达定理知识点及应用解析
高一要学韦达定理吗知识点
高一要学韦达定理吗知识点高一要学韦达定理吗高一学生在数学学科中，会接触到各种各样的定理和公式，这其中就包括了韦达定理。
那么高一学生是否有必要学习和掌握韦达定理呢？本文将就这一问题展开探讨。
首先，我们来了解一下韦达定理的概念和应用。
韦达定理，也被称为二次根式及判别式，用于求解二次方程的根。
对于一般的二次方程ax^2+bx+c=0（其中a、b、c为已知数，且a≠0），其根可以通过使用韦达公式得到：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)通过上述公式，我们可以算出二次方程的两个根，即使是无理数根或复数根也能得到准确解。
韦达定理在解决二次方程问题时非常有用，因此高一学生应该学习和掌握。
其次，学习韦达定理有助于培养高一学生的数学思维和解决问题的能力。
韦达定理本身在数学中属于基础知识，掌握它可以为后续数学学习打下坚实的基础。
学习韦达定理需要进行推导和运算，这对于学生的思维能力有很好的锻炼作用。
在解决二次方程问题时，韦达定理也需要学生在数学思维上进行灵活运用，培养学生的问题解决能力和逻辑思维能力。
此外，韦达定理被广泛应用于实际生活和科学领域。
在物理学、工程学、经济学等学科中，二次方程是常见的数学模型，在实际问题中经常需要求解其根，而韦达定理正是解决这类问题的有效方法。
学习韦达定理可以帮助学生将数学知识与实际问题相结合，理解数学在现实生活中的应用。
然而，值得注意的是，学习韦达定理并不意味着只是机械地应用公式。
对于高一学生而言，更重要的是理解韦达定理的几何意义和推导过程。
通过了解二次方程与抛物线的关系，以及韦达定理的几何解释，学生可以更好地掌握该定理并应用于实际问题中。
总结起来，高一学生有必要学习和掌握韦达定理。
通过学习韦达定理，可以提高数学解决问题的能力，培养学生的数学思维和逻辑思维，同时为后续学习奠定坚实的数学基础。
此外，韦达定理在实际生活和科学领域也有广泛的应用，学习韦达定理可以帮助学生将数学知识与实际问题相结合。
一元三次方程韦达定理及其应用
一元三次方程韦达定理及其应用刘海涛１ꎬ２(１.安徽省芜湖市第一中学ꎬ安徽芜湖２４１０００ꎻ２.新青年数学教师工作室ꎬ安徽芜湖２４１０００)摘㊀要:文章介绍了一元三次方程的韦达定理及其推导过程ꎬ并给出其在不同类型问题中的应用方法ꎬ以体现一元三次方程的重要性ꎬ最后给出笔者对于强基备考教学的思考.关键词:韦达定理ꎻ强基备考ꎻＳＯＬＯ分类理论中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－０００２－０４收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:刘海涛(１９８８－)ꎬ男ꎬ安徽省滁州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:安徽省芜湖市２０２２年度教育科学研究课题 基于ＳＯＬＯ理论的发展学生数学核心素养的实践研究 (项目编号:ＪＫ２２０１９)㊀㊀在教学中笔者发现ꎬ在高中数学联赛或一些高校的强基考试中ꎬ经常会出现对一元三次方程的韦达定理的考查ꎬ甚至在一些省㊁市的高考模拟卷中也偶有考查.但是学生对此知识点知之甚少(该定理不属于高中教材内容)ꎬ少部分学生虽知道该定理却不会应用ꎬ导致普遍对涉及该定理的问题望而生畏㊁望而却步ꎬ从而被动放弃ꎬ实在可惜.笔者通过梳理近些年的相关考题ꎬ在介绍一元三次方程的韦达定理的基础上ꎬ从该定理在不同问题上的应用予以分类ꎬ整理成文ꎬ以供读者学习㊁交流之用ꎬ以期抛砖引玉[１].１定理的介绍若关于ｘ的方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０(ａʂ０)有三个根ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ꎬ则三根满足:ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝－ｂａꎬｘ１ｘ２＋ｘ２ｘ３＋ｘ３ｘ１＝ｃａꎬｘ１ｘ２ｘ３＝－ｄａ.证明㊀由ａ(ｘ－ｘ１)(ｘ－ｘ２)(ｘ－ｘ３)＝ａ[ｘ３－(ｘ１＋ｘ２＋ｘ３)ｘ２＋(ｘ１ｘ２＋ｘ２ｘ３＋ｘ３ｘ１)ｘ－ｘ１ｘ２ｘ３]ꎬ得－ａ(ｘ１＋ｘ２＋ｘ３)＝ｂꎬａ(ｘ１ｘ２＋ｘ２ｘ３＋ｘ３ｘ１)＝ｃꎬ－ａｘ１ｘ２ｘ３＝ｄꎬ化简得证.说明㊀该定理是在复数域内ꎬ即三个根(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)可为实数也可为虚数.２定理的应用２.１在三次方程中的直接应用例１㊀设ａꎬｂꎬｃ为方程ｘ３－３ｘ２－２ｘ＋１＝０的三个实根ꎬ则１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４＝.解析㊀由韦达定理得ａ＋ｂ＋ｃ＝３ꎬａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝－２ꎬａｂｃ＝－１ꎬ则１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４＝ａ４ｂ４＋ｂ４ｃ４＋ｃ４ａ４ａ４ｂ４ｃ４＝ａ４ｂ４＋ｂ４ｃ４＋ｃ４ａ４＝(ａ２ｂ２＋ｂ２ｃ２＋ｃ２ａ２)２－２(ａ４ｂ２ｃ２＋ａ２ｂ４ｃ２＋ａ２ｂ２ｃ４)＝[(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)２－２ａｂｃ(ａ＋ｂ＋ｃ)]２－２ａ２ｂ２ｃ２[(ａ＋ｂ＋ｃ)２－２(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)]＝７４.所以１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４＝７４.评注㊀该题为２０２２年清华大学ＴＡＣＡ测试题ꎬ就是一元三次方程韦达定理的直接应用ꎬ如果考生熟悉定理ꎬ只要能够对目标式１ａ４＋１ｂ４＋１ｃ４进行合理配凑ꎬ即可轻松解题.２.２在函数问题中的应用２.２.１求函数的解析式例２㊀设αꎬβꎬγ为方程ｘ３－ｘ＋１＝０的三个实根ꎬ求一个三次项系数为１的三次函数ｆ(ｘ)ꎬ使方程ｆ(ｘ)＝０的三根分别为１＋α２ꎬ１＋β２ꎬ１＋γ２.解析㊀由韦达定理ꎬ得α＋β＋γ＝０ꎬαβ＋βγ＋γα＝－１ꎬαβγ＝－１ꎬ则α２＋β２＋γ２＝２ꎬ(αβ)２＋(βγ)２＋(γα)２＝１.不妨设ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ＋ｃꎬ则ａ＝－[(１＋α２)＋(１＋β２)＋(１＋γ２)]＝－５ꎬｂ＝(１＋α２)(１＋β２)＋(１＋β２)(１＋γ２)＋(１＋γ２)(１＋α２)＝８ꎬｃ＝－(１＋α２)(１＋β２)(１＋γ２)＝－５.故ｆ(ｘ)＝ｘ３－５ｘ２＋８ｘ－５.评注㊀该题为２０２１年天津大学强基考题ꎬ该题实为考查一元三次方程韦达定理的正向㊁逆向使用.２.２.２研究三次函数零点的关系例３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ(ｘ－３)２ꎬ若存在ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)＝ｆ(ｃ)ꎬａ<ｂ<ｃꎬ则(㊀㊀).Ａ.１<ａ<２㊀㊀㊀Ｂ.ａ＋ｂ＋ｃ＝６Ｃ.ａ＋ｂ>２Ｄ.ａｂｃɪ(０ꎬ４)解析㊀求导得ｆᶄ(ｘ)＝３(ｘ－１)(ｘ－３).易知ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ１)和(３ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ在(１ꎬ３)上单调递减ꎬ极小值ｆ(３)＝０ꎬ极大值ｆ(１)＝４.㊀设ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)＝ｆ(ｃ)＝ｋꎬ易知ｋɪ(０ꎬ４)ꎬａɪ(０ꎬ１)ꎬｂɪ(１ꎬ３)ꎬ不难判断出函数ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ３)上属于极值点左移ꎬ有ａ＋ｂ>２.由ｆ(ｘ)＝ｋ得方程ｘ３－６ｘ２＋９ｘ－ｋ＝０ꎬ其中ａꎬｂ.ｃ为该方程三个根.由韦达定理得ａ＋ｂ＋ｃ＝６ꎬａｂｃ＝ｋɪ(０ꎬ４).故选ＢＣＤ.评注㊀该题为２０２３年深圳市一模考题的１１题ꎬ网上有深圳市老师反映该题得分率较低ꎬ多数学生不知道如何判断ＢꎬＤ两选项的正确与否ꎬ少部分学生答对也是靠对函数图象的直观性做出的猜测.事实上ꎬ若考生考前了解过一元三次方程的韦达定理ꎬ则可较为快速㊁准确地解出该题.２.２.３求函数的最小值例４㊀实数ａꎬｂ使得方程ｘ３－ａｘ２＋ｂｘ－ａ＝０有三个正实根ꎬ求２ａ３－３ａｂ＋３ａｂ＋１的最小值.解析㊀设方程ｘ３－ａｘ２＋ｂｘ－ａ＝０的三个正实根分别为αꎬβꎬγꎬ则α＋β＋γ＝αβγ＝ａꎬαβ＋βγ＋γα＝ｂ.由三元均值不等式ꎬ得１３(α＋β＋γ)ȡ３αβγ.则ａ３ȡ３ａꎬ即ａȡ３３.由(α＋β＋γ)２ȡ３(αβ＋βγ＋γα)ꎬ得ａ２ȡ３ｂ.于是２ａ３－３ａｂ＋３ａｂ＋１＝ａ(２ａ２－３ｂ)＋３ａｂ＋１ȡａ ａ２＋３ａａ２/３＋１＝３ａȡ９３ꎬ当且仅当ａ＝３３ｂ＝９{时ꎬ即方程三根均为３时等号成立.故２ａ３－３ａｂ＋３ａｂ＋１的最小值为９３.评注㊀该题为２０２０年第十届中国东南地区数学奥林匹克考试第１天的第１题.作为一项重大竞赛考题ꎬ该题的难度偏小ꎬ主要考查一元三次方程的韦达定理和两个三元不等式ꎬ是一个可以轻松 拿分 的数学竞赛考题.２.３在三角函数求值中的应用例５㊀求下列三式的值:(１)ｃｏｓ４０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓʎ１６０ʎꎻ(２)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ＋ｃｏｓ１６０ʎ ｃｏｓ４０ʎꎻ(３)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ.解析㊀观察三式的结构不难联想到一元三次方程韦达定理ꎬ故考虑构造一元三次方程ꎬ使ｃｏｓ４０ʎꎬｃｏｓ８０ʎꎬｃｏｓ１６０ʎ为该方程的三根ꎬ又注意到ｃｏｓ(３ˑ４０ʎ)＝ｃｏｓ(３ˑ８０ʎ)＝ｃｏｓ(３ˑ１６０ʎ)＝－１２ꎬ结合三倍角的余弦公式ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ３θ－３ｃｏｓθꎬ得到方程４ｘ３－３ｘ＋１２＝０的三根分别为ｃｏｓ４０ʎꎬｃｏｓ８０ʎꎬｃｏｓ１６０ʎ.于是得到(１)ｃｏｓ４０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓ１６０ʎ＝０ꎻ(２)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎ＋ｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ＋ｃｏｓ１６０ʎ ｃｏｓ４０ʎ＝－３４ꎻ(３)ｃｏｓ４０ʎｃｏｓ８０ʎｃｏｓ１６０ʎ＝－１８.评注㊀该题为华东师范大学出版社出版的«数学奥林匹克小丛书»上的一道题ꎬ解答该题的关键在于数系一元三次方程的韦达定理的三式结构特征ꎬ以及三倍角余弦公式.２.４在数论问题中的应用例６㊀已知ａꎬｂꎬｃɪＺꎬ且ａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬ求证:２(ａ４＋ｂ４＋ｃ４)是一个完全平方数.证明㊀构造方程ｘ３＋ｍｘ２＋ｎｘ＋ｋ＝０(ｍꎬｎꎬｋɪＺ)ꎬ其中ａꎬｂꎬｃ是该方程的三个整数根ꎬ由韦达定理得ｍ＝０ꎬｎ＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａꎬｋ＝－ａｂｃ.由方程得ａ３＝－(ｎａ＋ｋ)ꎬｂ３＝－(ｎｂ＋ｋ)ꎬｃ３＝－(ｎｃ＋ｋ).所以２(ａ４＋ｂ４＋ｃ４)＝－２ｎ(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)－２ｋ(ａ＋ｂ＋ｃ)＝－２ｎ[(ａ＋ｂ＋ｃ)２－２(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)]＝(２ｎ)２ꎬ是一个完全平方数.评注㊀该题对高中数学竞赛生来说ꎬ是一道很平常的数论练习题ꎬ方法也有很多ꎬ但是利用一元三次方程(这里是整数域下的三次方程)的韦达定理解题ꎬ能起到事半功倍的效果ꎬ给人耳目一新的感觉[２].２.５在复数问题中的应用例７㊀已知三个复数ａꎬｂꎬｃ的模均为１ꎬ且ａ＋ｂ＋ｃ＝１ꎬａｂｃ＝１ꎬ求ａꎬｂꎬｃ.解析㊀由ａ＋ｂ＋ｃ＝１ɪＺꎬ得ａ－＋ｂ－＋ｃ－＝１.又由题得ａａ－＝ｂｂ－＝ｃｃ－＝１ꎬ则１ａ＋１ｂ＋１ｃ＝ａ－＋ｂ－＋ｃ－＝１.即ａｂ＋ｂｃ＋ｃａａｂｃ＝１.所以ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝ａｂｃ＝１.由此可得ａꎬｂꎬｃ为方程ｘ３－ｘ２＋ｘ－１＝０的三个根ꎬ因式分解方程可得(ｘ－１)(ｘ２＋１)＝０.故{ａꎬｂꎬｃ}＝{１ꎬｉꎬ－ｉ}.２.６在不等式问题中的应用例８㊀设ａꎬｂꎬｃ是实数ꎬ方程ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０有三个正根ꎬ证明:２ａ３＋９ｃɤ７ａｂꎬ并且等号成立当且仅当这３个正根相等.证明㊀设题中方程的三个正根分别为αꎬβꎬγꎬ由韦达定理ꎬ得α＋β＋γ＝－ａꎬαβ＋βγ＋γα＝ｂꎬαβγ＝－ｃ.２ａ３＋９ｃ－７ａｂ＝－２(α＋β＋γ)３－９αβγ＋７(α＋β＋γ)(αβ＋βγ＋γα)＝(α＋β＋γ)[７(αβ＋βγ＋γα)－２(α＋β＋γ)２]－９αβγ＝(α＋β＋γ)[３(αβ＋βγ＋γα)－２(α２＋β２＋γ２)]－９αβγ＝(α２β＋αβ２＋β２γ＋βγ２＋γ２α＋γα２)－２(α３＋β３＋γ３)＝－(α３＋β３－α２β－αβ２)－(β３＋γ３－β２γ－βγ２)－(γ３＋α３－γ２α－γα２)＝－(α＋β)(α－β)２－(β＋γ)(β－γ)２－(γ＋α)(γ－α)２ɤ０ꎬ当且仅当α＝β＝γ时取等号ꎬ故得证.评注㊀该题是２０１４年北京大学夏令营考题ꎬ利用韦达定理将２ａ３＋９ｃ－７ａｂ转化为关于三正根αꎬβꎬγ的表达式ꎬ代数化简即可得证.２.７在立体几何中的应用例９㊀已知长方体的体积为１ꎬ长㊁宽㊁高之和为ｋꎬ表面积为２ｋꎬ求实数ｋ的取值范围.解析㊀设该长方体的长㊁宽㊁高分别为ａꎬｂꎬｃꎬ则ａ＋ｂ＋ｃ＝ｋꎬａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝ｋꎬａｂｃ＝１ꎬ则可将ａꎬｂꎬｃ视作方程ｘ３－ｋｘ２＋ｋｘ－１＝０的三根.又该方程可因式分解为(ｘ－１)[ｘ２－(ｋ－１)ｘ＋１]＝０ꎬ不妨设ａ＝１ꎬ则ｂꎬｃ是方程ｘ２－(ｋ－１)ｘ＋１的两根.于是ә＝(ｋ－１)２－４ȡ０ꎬｂ＋ｃ＝ｋ－１>０ꎬｂｃ＝１>０ꎬìîíïïïï解得ｋȡ３.评注㊀题中三个条件恰好得到一元三次方程的韦达定理式的三个结构式ꎬ自然将长㊁宽㊁高作为一元三次方程的三根ꎬ借助三次方程解题.２.８在三角形中的应用例１０㊀已知әＡＢＣ的三边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ周长为２ꎬ求证:ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂｃ<２.证明㊀由题知ａ＋ｂ＋ｃ>２ｃꎬ易得０<ｃ<１ꎬ同理０<ａꎬｂ<１.不等式ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂｃ<２等价于ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂｃ<ａ＋ｂ＋ｃꎬ化简得ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ>１＋ａｂｃ.设ｆ(ｘ)＝(ｘ－ａ)(ｘ－ｂ)(ｘ－ｃ)ꎬ化简得ｆ(ｘ)＝ｘ３－２ｘ２＋(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)ｘ－ａｂｃ.问题等价于证明ｆ(１)>０.而由ａꎬｂꎬｃɪ(０ꎬ１)ꎬ得证ｆ(１)＝(１－ａ)(１－ｂ)(１－ｃ)>０.评注㊀对于ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ>１＋ａｂｃ的证明ꎬ解法多样ꎬ但是利用一元三次方程的韦达定理解题却是最简便的.３结束语一元三次方程的韦达定理虽没有出现在教材中ꎬ也不属于高中数学的知识点ꎬ但是通过文中的推导ꎬ我们不难发现ꎬ对于高中生而言该定理的理解完全不成问题ꎬ可以作为一种新定义题来命制题目ꎬ来考查学生的逻辑推理㊁数学运算等数学能力.基于此ꎬ笔者认为ꎬ在日常的教学中ꎬ广大一线教师可以考虑介绍一些介于高中与大学之间的数学知识ꎬ尤其是从数学逻辑推理的角度予以介绍ꎬ并给出证明过程ꎬ并辅之适量的习题以供训练ꎬ这样ꎬ学生的数学思维能力和知识储备都将得到大幅提升ꎬ高考中的优势自然明显ꎬ将来的数学学习也必将顺利.在介绍教材之外的知识点时ꎬ更重要的是让学生亲历知识的生成过程ꎬ知道概念的由来㊁定理的具体推导ꎬ从而掌握其中蕴含的数学思想方法[３]ꎬ这样ꎬ在遇到一道陌生问题时ꎬ学生才具有分析问题㊁解决问题的能力ꎬ考试自然能取得理想的成绩[４].参考文献:[１]刘海涛.例谈 定比点差法 在解析几何问题中的应用[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０２１(０７):２５－２７.[２]刘海涛.例析构造对偶式在解题中的应用[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２０２１(０４):１４－１７.[３]刘海涛.类比知识的抽象过程ꎬ寻找解题的最佳途径[Ｊ].中小学数学(高中版)ꎬ２０２２(０３):５１－５４.[４]刘海涛.例析与高斯函数有关问题的常考题型与备考建议[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(０１):２７－３１.[责任编辑:李㊀璟]。
根的判别式韦达定理
一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点1.根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为补充：0≥∆时，方程有2个解，但不知道两个解是否相等。
例题讲解例1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
例2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
小结：对于求一元二次方程中字母的取值或取值范围问题，一定要考虑全面。
特别注意“0≠a ”！例3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
小结：这一类的题要注意3个方面：0≠a ，∆与0的关系，另外1x 和2x 间的数量关系课堂练习1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
3、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、 762=+y yC 、021=++xD 、0232=+-x x4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠25、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根7、 m 取何值时，方程()0112)2(22=++--x m x m （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根8、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。
韦达定理、二次函数图像及性质
韦达定理、二次函数的图像与性质知识要点：1.韦达定理: 一元二次方程的根和系数的关系； 2.求二次函数的图象的顶点坐标、对称轴方程及最值的方法 知识点回顾：1. 如何求一元二次方程x 2 -2x-8=0的根？有几种方法?2.二次函数解析式的几种形式：①一般式： ②顶点式： ③交点式： 3.二次函数的图像及性质探索1：方程x 2 -2x-8=0的两根之和，两根之积。
观察方程两个根与方程的系数之间的关系，你有什么发现？对于一元二次方程2x 2-3x+1=0是否也具备这个特征？ x 1+x 2=_______，x 1·x 2=________，由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．—韦达定理结论: 如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2， 韦达（法国1540－1603） 那么x 1+x 2=_______，x 1·x 2=________。
对应练习 1.判断对错1）2x 2-11x+4=0两根之和为11，两根之积为4。
2）4x 2+3x=5两根之和为43-，两根之积为45。
3）x 2+x+1=0两根之和为-1，两根之积为1。
2. 1）关于x 的方程x 2-2x +m=0 的一根为2 ，求另一根和m 的值。
2）已知方程 3x 2+mx+n=0 的两根为1,2，求m,n 的值。
探究2. 二次函数求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法探究3.若方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则函数y ax bx c =++2（a ≠0）的图象与x 轴的两交点坐标为 ， ；此时二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的顶点和对称轴如何表示？典型例题例1. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，对称轴为x ＝1，则下列结论中正确的是（ ）A. ac >0B. b <0C. b ac 240-<D. 20a b +=例2. （1）二次函数y=-x 2+6x+3的图像顶点为_________对称轴为_________。
(人教版初中数学)韦达定理
判别式与韦达定理〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△＝0时,方程有两个相等的实数根,当△＜0时,方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,那么a b x x -=+21,ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-P,x 1x 2=q(3)以x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2,那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么梗的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如：设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力.考查题型1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中,有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根,那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是8．已知x 1,x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根,则x 1＋x 2＝ ,x 1·x 2＝ ,（x 1－x 2）2＝9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数,则m ＝二、考点训练：1、 不解方程,判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、 当m= 时,方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时,方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、 已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0,若有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35,则m= ,这时方程的两个根为 . 4、 已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m 的值.5、 求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根.6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 .7、 设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1 解题指导1、 如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式,则m= ;2、 方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根,则最小的整数m= ;3、 已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等,则m= ;4、 设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n,且3m+2n=20,则k 值为 ;5、 设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2,不解方程,求下列各式的值:(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）ｘ1 ＋ｘ2 ＊（4）x 1x 22＋12x 1 ＊6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ的值. 7.已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－12(a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？8.求证：不论k 为何实数,关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分解成两个一次因式的积.9．实数K 在什么范围取值时,方程ｋｘ2＋2（ｋ－1）ｘ－（K －1）＝0有实数正根？独立训练（一）1、 不解方程,请判别下列方程根的情况；(1)2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;(3)5(u 2+1)－7u=0, ;2、 若方程x 2－(2m －1)x+m 2+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ;3、 一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ,则p= ,q= ;4、 已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、 若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数,那么m 的值是 ;6、 m,n 是关于x 的方程x 2-(2m-1)x+m 2+1=0的两个实数根,则代数式m n = .7、 已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k 的值;8、 如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别等于α+1 β 和β+1 α; 9、 已知a,b,c 是三角形的三边长,且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x 2－(4k+1)x+2k 2－1可因式分解.11.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β,若ｓ＝1 α＋1 β,求ｓ的取值范围. 独立训练（二）1、 已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2、 如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m 的值为 ;3、 已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212,则k= ; 4、 若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3,则a= ;5、 方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是 ;6、 若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;7、 已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;8、 以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 210．m 取什么值时,方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0（1） 有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值.12．是否存在实数ｋ,使关于ｘ的方程9x 2－(4ｋ－7)x －6ｋ2=0的两个实根x 1,x 2,满足｜x 1 x 2｜＝32 ,如果存在,试求出所有满足条件的ｋ的值,如果不存在,请说明理由.。
一元二次方程韦达定理的应用条件
一元二次方程韦达定理的应用条件一元二次方程是高中数学中非常重要的一个知识点，而韦达定理则是解一元二次方程的一种常用方法。
了解一元二次方程韦达定理的应用条件对于提高数学解题的效率和准确性非常有帮助。
在本文中，我将详细介绍一元二次方程韦达定理的应用条件，并结合具体的数学例子进行讲解，以便你更全面地理解这一知识点。
一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)为已知常数，\(x\)为未知数。
而韦达定理是指，对于一元二次方程：\[ax^2 + bx + c = 0\]其根可以表示为：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]下面我们来具体看一下一元二次方程韦达定理的应用条件。
对于一元二次方程来说，应当满足以下条件：1. 方程的二次项系数\(a\)不为0，即\(a \neq 0\)；2. 方程的根是实数根或者虚数根（复数形式），即\(\Delta = b^2 - 4ac \geq 0\)或\(\Delta = b^2 - 4ac < 0\)；3. 方程的根是有理数根或者实根，即\(\frac{b^2 - 4ac}{a}\)是一个平方数或者一个完全平方数，或者判别式\(\Delta\)为完全平方数。
举个例子，对于一元二次方程 \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)，我们可以应用韦达定理进行求解。
首先根据公式 \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) 和\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)，代入系数，可以求得该方程的两个根。
这样，我们就可以利用韦达定理来快速求解一元二次方程的根。
了解一元二次方程韦达定理的应用条件对于解题非常重要。
只有在满足特定条件的情况下，我们才能够有效地使用韦达定理来求解一元二次方程的根。
希望通过本文的讲解，你能更加深入地理解一元二次方程韦达定理的应用条件，并在实际解题中灵活运用。
02--韦达定理--高一暑假
韦达定理韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。
而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．一、 运用韦达定理，求方程中参数的值【例1】已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【巩固训练】1．1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2．0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba 的值．知识梳理例题解析二、运用韦达定理，求代数式的值【例2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根．(1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．【例3】已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【例4】关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．【巩固训练】1．已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2．设a ,b 是相异的两实数，满足a b b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值．3．设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．三、利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况【例5】已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．【例6】已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．【例7】一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．【例8】已知一元二次方程222(9)560x a x a a +-+-+=一个根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围．【巩固训练】1．已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．2．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．3．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ． (1) 求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根．(2) 若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．4．若关于x 的方程20x x a ++=的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．四、 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例9】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2【例10】解方程121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ．【巩固训练】1．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．2．已知：四边形ABCD 中，AB∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1) 当m =2和m >2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由；(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ=1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长；(3) 在(2)的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan ∠BDC 和tan ∠BCD ．3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD=m ，BD=n ，AC 2：BC 2=2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求：m ，n 为整数时，一次函数y =mx +n 的解析式．韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．一、选择题1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，32．在R t △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23 B ．25 C ．5 D ．23．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是 ( )A ．1B ．-lC ．21-D ．214．两个质数a 、b 恰好是整系数方程x 2-99x +m =0的两个根，则ba ab +的值是 ( ) 02=++p qx x 课后练习 反思总结A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．979413 5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x6．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤1二、填空题7．关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______8．CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．9．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．10．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．三、解答题11. 若关于x 的一元二次方程3x 2+3(a +b )x +4ab =0的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?12．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．13．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值．14．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程210xax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根，并且使方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根，试求a b c ++的值．。
第三讲 因式分解法与韦达定理
第三讲 因式分解法与韦达定理知识点一、因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
常用方法有：提公因式法，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法等。
知识点二、一元二次方程的根与系数的关系若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21，a b x x =21 ，根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）()2122122212x x x x x x -+=+ （2）21212111x x x x x x +=+ （3）()2212121))((a x x a x x a x a x +++=++；（4）│21x x -│=()221x x -=()212214x x x x -+例题:1.用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．2.用适当方法解下列方程：(1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0； (3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ； (5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．3.已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．4.若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．5.解方程组6.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =7.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．提升练习:1.方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－82.下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 3.方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 4.方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对5.方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝56.一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．47.已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．118.方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且 10．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12D ．92 11．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于() A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或12．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b a c ∆=-和完全平方式2(2)M a t b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定 13．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或 14.方程t (t ＋3)＝28的解为_______．15.方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．16.方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．17.关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．18.方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．19.．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______20.．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．21．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．22．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．23．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．24．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．25．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx y x +-的值．26．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．27．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．28．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．29．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n 的值．30．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．31．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．32．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x 。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。
韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。
本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。
二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。
韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。
我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。
这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。
三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。
例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。
解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。
通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。
例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。
解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。
韦达定理与根的判别式复习
韦达定理与根的判别式复习 知识点：1、根的判别式24b ac -（1）240bac -> ，方程有两个不相等的实数根；（2）240b ac -=，方程有两个相等的实数根； （3）240bac -<，方程没有实数根；2、韦达定理已知12,x x 是一元二次方程的两根，则有12bx x a +=-12c x x a = 例1：已知一元二次方程2210x x m ++-=（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？,x x是方程的两个实数根，（2）设12且满足21121+=，求m的值x x x练习：1、方程230x++=的根的情况是（）A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知12,x x 是方程22340x x +-=的两个根，则（ ） A 1232x x +=-，122x x = B1232x x +=，122x x =-C1232x x +=-，122x x =- D 1232x x +=，122x x =3、已知方程220x +-=，则此方A 无实数根 B两根之和为C 两根之积为 2 D有一根为2-4、已知12,x x 是方程22310x x +-=的两个根，则1211x x +的值为（ ）A 3B -3 C32- D325、若将二次三项式26x px --因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p 的值是（ ）A -5B -1C 1D 56、已知12,x x 是方程2430x x -+=的两个根，那么12x x 的值是（ ）A - 4B 4C -3D 37、在一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a 与c 异号，则方程（ ） A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 根的情况无法确定8、已知一元二次方程的两根分别为123,4x x ==-，则这个方程为（ ）A(3)(4)0x x -+= B(3)(4)0x x ++=C(3)(4)0x x +-= D(3)(4)0x x --=9、关于x 的一元二次方程23210x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A43k <B413k k <≠且 C43k ≤ D 43k >10、若关于x 的一元二次方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（ ） A43m <B43m ≤C423m m >≠且 D 423m m ≥≠且11、已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90º，那么关于x 的方程22(1)2(1)0a x cxb x --++=的根的情况为（ ）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定12、设12,x x 是方程22430x x --=的两个根，则1211x x +=13、已知关于x的方程222(2)0x m x m --+=有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m 的值为 14、已知方程2(10xx +--=的两根为12,x x ，则2212x x +的值为15、关于x的一元二次方程2(31)0--+=，其根的判别式的mx m x m值为1，求m的值及该方程的根。
韦达定理初三常考题型
韦达定理初三常考题型
【原创版】
目录
1.韦达定理的概述
2.初三阶段韦达定理的常考题型
3.应对韦达定理题型的解题技巧
4.总结
正文
【1.韦达定理的概述】
韦达定理，又称 Vieta 定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Franois Viète）提出的一种有关多项式的定理。
该定理主要描述了多项式的系数与其根之间的关系。
简单来说，韦达定理就是一个关于多项式方程根与系数的性质定理。
【2.初三阶段韦达定理的常考题型】
在初三数学阶段，韦达定理常常出现在各类题型中，主要包括以下几种：
1) 求解多项式方程的根
2) 根据多项式的根与系数关系，判断多项式的性质
3) 利用韦达定理解决有关多项式的最大值、最小值问题
4) 结合其他数学知识点，如代数余子式、韦达定理与行列式的关系等
【3.应对韦达定理题型的解题技巧】
面对韦达定理相关题型，同学们可以运用以下技巧来解题：
1) 熟练掌握韦达定理的基本内容，了解多项式系数与根之间的关系
2) 学会利用韦达定理快速求解多项式方程的根
3) 对于涉及多项式性质判断的题目，要善于运用韦达定理进行分析
4) 对于求解多项式的最值问题，可以利用韦达定理将问题转化为求解线性方程组
【4.总结】
韦达定理是初三数学阶段的一个重要知识点，同学们需要掌握其基本内容和应用技巧。
根的判别式与韦达定理
根的判别式与韦达定理教学目的：（1）通过教学A 组同学能掌握韦达定理与根的判别式的简单应用；（2）通过教学B 或C 组同学能掌握韦达定理与根的判别式的综合应用； 教学重点与难点：韦达定理与根的判别式的综合应用； 教学过程：一、知识点复习：1、根的判别式：△=b 2-4ac ：⎪⎩⎪⎨⎧⇔〈-=∆⇔=-=∆⇔〉-=∆方程没有实数根时根方程有两个相等的实数时数根方程有两个不相等的实时040404222ac b ac b ac b 2、韦达定理：一元二次方程的一般式：ax 2+bx+c=0有两个实数根x 1、x 2，则有x 1+x 2=－b/a ，x 1·x 2=c/a ； 应用：（1）求值应用：x 12+x 22=-（x 1+x 2）2－2x 1x 2，（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2， x 13+x 23=-（x 1+x 2）3－3x 1x 2（x 1+x 2），()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-，21212111x x x x x x +=+，()222121221222122212221211x x x x x x x x x x x x -+=+=+，()2121221212x x x x x x x x ++=+=+，（x 1+k ）（x 2+k ）=x 1x 2+（x 1+x 2）+k 2，()212122121222112212x x x x x x x x x x x x x x ++=+=+， （2）求字母系的值；（此时要验证方程有没有实数根）（3）求作新方程：以x 1、x 2为根的一元二次方程为x 2+（x 1+x 2）x+x 1x 2=0； （4）解方程组：⎩⎨⎧==+bxy ay x 则能够把x 、y 看作是一元二次方程z 2-az+b=0的两根；（5）确定根的符号：若则方程有两个正根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆〉=〉-=+0002121a c x x a b x x 若x 1·x 2=c/a ＜0，则方程两根符号相反；若则方程有两个负根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆〉=〈-=+0002121a c x x ab x x3、注意点：（1） 方程有实数根时，要看一看是否是一元二次方程，否则要分两种情况考虑；若是一元二次方程还不能忘记考虑二次项系数不能为0；（2） 在求字母系数的值时水要忘记检验一元二次方有没有实数根； 二、双基训练：（A 组同学做练习1-6）1、 关于x 的方程4x 2+kx -6=0的一个根是否，另一根是x 1，则k=；x 1=；2、 关于x 的一元二次方程x 2-ax -3=0的根的情况是；3、 以2和－3为根的一元二次方程为；4、 若x 1、x 2是方程x 2+3x -1=0的两个根，则（x 1+x 2）2=；5、 若方程x 2－2x+k=0的两个根的倒数和为8/3，则k=；6、 若x 1、x 2是方程x 2+3x -1=0的两个根，则x 1+x 2=；x 1·x 2=；方程x 2-1-3x=0的两根之和等于；两根之积等于；7、 若x 1,x 2是方程x 2+3x -5=0的两个根，则(x 1+1)(x 2+1)的值为；8、 已知a,b 是方程x 2+2x -5=0的两个根，则a 2+ab+2a 的值为 ；9、 如果a,b 是方程x 2+x -1=0的两个实数根，那么代数式a 3+a 2b+ab 2+b 3的值等于；10、关于x 的一元二次方程(k 2-1)x 2+(2k -1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ；11、已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为；12、已知实数x 1,x 2是满足x 12-6x 1+2=0和x 22-6x 2+2=0，那么2112x x x x +的值是 ； 13、已知关于x 的方程x 2-2(m -2)x+m 2=0问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)
高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根142b x a -+=，242b x a-=，则有12442222b b b b x x a a a a-+---+=+==-；22122244(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+----=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值．【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时，b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8．【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x 2﹣6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，∴x 2＝2x 1，∴一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程；（2）∵方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b ＝1+2，解得b ＝﹣3，c ＝1×2＝2；当方程根为2，4时﹣b ＝2+4，解得b ＝﹣6，c ＝2×4＝8．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值．【答案】6【解析】方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2，∴211220x x --=，.221=+x x ∴()112122222222262.22x x x x x x =++=++=⨯+=+【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β(1)求m 的取值范围；(2)若α+β+αβ＝0．求m 的值．【答案】(1)m ≥﹣34；(2)m 的值为3．【解析】(1)由题意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥﹣34；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，∵α+β+αβ＝0，∴﹣(2m+3)+m2＝0，解得：m1＝﹣1，m1＝3，由(1)知m≥﹣34，所以m1＝﹣1应舍去，m的值为3．。
上海初三升高一专题02 韦达定理(解析版)
专题02 韦达定理韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。
而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．【例1】已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．设方程的另一个根为1x，知识梳理知识结构模块一： 运用韦达定理，求方程中参数典例剖析则5621-=x ，531-=∴x ．由52)53(k-=+-，得7-=k ．所以，方程的另一个根为53-．k 的值为-7．1．1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】5132m -<≤2．0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值． 【难度】★★ 【答案】58 【解析】由方程的结构可知a 、b 1是方程08199952=+-x x 的两根，由韦达定理可得58=b a【例2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：分别变形为可以利用x 1＋x 2和x 1x 2来表示的形式．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根，2521-=+∴x x ，2321-=x x ．(1)∵|x 1-x 2|2=21x ＋22x -2x 1x 2=(x 1＋x 2)2-4x 1x 2)23(4)25(2-⨯--=6425+=449=， 27||21=-∴x x ． 对点精练模块二：运用韦达定理，求代数式的值典例剖析(2)493425)23()23(2)25()(2)(112222121221222122212221+=--⨯--=-+=⋅+=+x x x x x x x x x x x x 937=． (3)31x ＋32x =(x 1＋x 2)(21x -x 1x 2＋22x )=(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2-3x 1x 2]8215)]23(3)25[()25(2-=-⨯--⨯-=．评析：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=． 于是有下面的结论：【例3】已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：运用根的意义和根与系数关系解题．解：由于α、β是方程x 2＋2x -5=0的实数根，∴α2＋2α-5=0，αβ=-5，∴α2＋2α=5 ∴α2＋αβ＋2α=α2＋2α＋αβ =5-5=0评析：注意利用变形为可以用根系关系表示的形式．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1) 恰当组合；(2) 根据根的定义降次； (3) 构造对称式．【例4】关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值． 【难度】★★ 【答案】31．已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ． 【难度】★★ 【答案】02．设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值． 【难度】★★ 【答案】3100-3．设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值． 【难度】★★ 【答案】-5【例5】已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此其根的判别式应大于等于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得对点精练模块三：利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况典例剖析x 1＋x 2=-2(m -2)，x 1·x 2=m 2＋4． ∵21x ＋22x -x 1·x 2=21， ∴(x 1＋x 2)2-3x 1·x 2=21， 即[-2(m -2)]2-3(m 2＋4)=21，化简，得m 2-16m -17=0，解得m =-1，或m =17． 当m =-1时，方程为x 2-6x ＋5=0，Δ>0，满足题意；当m =17时，方程为x 2＋30x ＋293=0，Δ=302-4×1×293<0，不合题意，舍去． 综上，m = -1．评析：在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．【例6】已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：利用判别式和根与系数关系共同解决本题． 解：由Δ=-32m ＋16≥0得21≤m ．x 1＋x 2=-m ＋1，041221≥=m x x ． ∴x 1与x 2可能同号，分两种情况讨论：(1)若x 1>0，x 2>0，则⎩⎨⎧>>+002121x x x x ，解得m <1且m ≠0．21≤∴m 且m ≠0． (2)若x 1<0，x 2<0，则⎩⎨⎧><+002121x x x x ，解得m >1，与21≤m 相矛盾．综上所述：当21≤m 且m ≠0时，方程的两根同号．【例7】一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．【难度】★★ 【答案】【解析】构造二次函数()a x x x f +-=42，由()03<f 即可满足题意【例8】已知一元二次方程222(9)560x a x a a +-+-+=一个根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】【解析】构造二次函数()()659222+-+-+=a a x a x x f ，由()00<f 且()02<f 即可满足题意1．已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】m >72．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】3<a 382<<a 对点精练3．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ．(1) 求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根．(2) 若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析： 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手． 解：(1)△=2m 2-4m +4=2(m -1)2+2>0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2) ∵x 1·x 2=24m -≤0，∴1x 、2x 异号或其中一根为0，∴对212+=x x 可分两种情况讨论，去掉绝对值.当x 1≥0，x 2<0时，-x 2-x 1=2，即-(m -2)=2，解得m =0，此时，方程为x 2+2x =0，解得x 1=0，x 2=-2； 当x 1≤0，x 2>0时，x 2+x 1=m -2=2，解得m =4， 当m =4时，x 2-2x -4=0， 解得151x =-+，251x =+.4．若关于x 的方程20x x a ++=的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】2a <-【例9】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 【难度】★★模块四：利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等典例剖析【答案】B【解析】评析 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．【例10】解方程121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ． 【难度】★★ 【答案】-1，-4，28952895-+，． 【解析】分析：观察方程左边两式的关系，用换元法，令t x x xx =-++4322代入求解．1．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】11182m <≤ 【解析】提示：根据两边之和、两边之差的关系及△≥0得到．2．已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根．(1) 当m =2和m >2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由；(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ=1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长；(3) 在(2)的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan ∠BDC 和tan ∠BCD ． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】(1)当m =2时，x 2-4x +4=0． ∵△=0，方程有两个相等的实数根．∴AB=CD ，此时AB ∥CD ，则该四边形是平行四边形； 当m >2时，△=m -2>0，对点精练又∵AB+CD=2m >0， AB•CD=217()24m -+ >0， ∴AB≠CD ． 该四边形是梯形．(2) 根据三角形的中位线定理可以证明：连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半．则根据PQ=1，得CD -AB=2． 由CD -AB=||||21a x x ∆=-解得m =3 当m =3时，则有x 2-6x +8=0， ∴x =2或x =4， 即AB=2，CD=4(3)根据该梯形是等腰梯形，平移一腰，则得到等边△BEC ． ∴∠BCD=60°，∠BDC=30°．∵tan ∠BDC+tan ∠BCD=tan ∠BDC•tan ∠BCD=1．∴所求作的方程是y 2-+1=0． 评析：对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD=m ，BD=n ，AC 2：BC 2=2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求：m ，n 为整数时，一次函数y =mx +n 的解析式．【难度】★★★【答案】见解析 【解析】解：易证△ABC ∽△ACD ，∴AC ABAD AC=，AC 2=AD•AB ，同理BC 2=BD•AB ， ∵2221AC BC =，∴21m n = ∴m =2n …①， ∵关于x 的方程14x 2-2(n -1)x +m 2-12=0有两实数根， ∴△=[-2(n -1)]2-4×14×(m 2-12)≥0，∴4n 2-m 2-8n +16≥0，把①代入上式得n ≤2…②， 设关于x 的方程14x 2-2(n -1)x +m 2-12=0的两个实数根分别为x 1，x 2， 则x 1+x 2=8(n -1)，x 1•x 2=4(m 2-2)，依题意有(x 1-x 2)2<192，即[8(n -1)]2-16(m 2-12)<192， ∴4n 2-m 2-8n +4<0，把①式代入上式得n >12…③， 由②、③得12<n ≤2， ∵m 、n 为整数，∴n 的整数值为1，2，当n =1，m =2时，所求解析式为y =2x +1，当n =2，m =4时，解析式为y =4x +2．韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．一、选择题1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，则02=++p qx x 反思总结课后练习p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，3 【难度】★★ 【答案】C2．在R t △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 【难度】★★ 【答案】B3．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p的值是 ( )A ．1B ．-lC ．21-D ．21 【难度】★★ 【答案】C4．两个质数a 、b 恰好是整系数方程x 2-99x +m =0的两个根，则baa b +的值是 ( ) A ．9413 B ．1949413 C ．999413 D ．979413【难度】★★ 【答案】B5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为 ( ) A ．0232=---m x x B ．0232=--+m x x C ．02412=---x m x D ．02412=+--x m x 【难度】★★ 【答案】D6．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤1【答案】C二、填空题7．关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______ 【难度】★★ 【答案】-18．CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ． 【难度】★★ 【答案】69．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ． 【难度】★★ 【答案】510．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：设x 1，x 2是方程的两个根，则①x 1+x 2=-p ，②x 1x 2=q ， ∵②-①得：p+q=28， ∴x 1x 2-x 1-x 2=28， ∴x 1x 2-x 1-x 2+1=28+1， ∴x 1(x 2-1)-(x 2-1)=29， 即(x 1-1)(x 2-1)=29， ∵两根均为正整数，∴x 1-1=1，x 2-1=29或x 1-1=29，x 2-1=1，∴方程的两个根是：x 1=2，x 2=30．或x 1=30，x 2=2． 故答案为：x 1=30，x 2=2．三、解答题11. 若关于x 的一元二次方程3x 2+3(a +b )x +4ab =0的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?【答案】见解析【解析】解：(a +b )2≤4正确．理由：原式可化为(x 1+x 2)2-=3x 1x 2+1， ∴(a +b )2=4ab +1，∵△=9(a +b )2-4×3×4ab ≥0， ∴3(a +b )2-4×4ab ≥0， ∴(a +b )2≥163ab ，即4ab +1≥163ab ∴4ab ≤3，∴4ab +1≤4，即(a +b )2≤4．12．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ． (1) 当k 为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值． 【难度】★★ 【答案】(1)512k ≤；(2) 0．13．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ． (1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac =4(m -2)2-4(m 2-3m +3)=-4m +4>0，∴m <1， 结合题意知：-1≤m <1．(1)∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4(m -2)2-2(m 2-3m +3)=2m 2-10m +10=6 ∴m=，∵-1≤m <1，∴m=∴当m =-1时，式子取最大值为10．14．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根，并且使方程20xx a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根，试求a b c ++的值．【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】解：设x 12+ax 1+1=0，x 12+bx 1+c =0，两式相减，得(a -b )x 1+1-c =0，解得x 1=1c a b--, 同理，由x 22+x 2+a =0，x 22+cx 2+b =0，得x 2=(1)1a bc c -≠- ∴x 2=11x ， 由韦达定理的两根之积的关系知，11x 是第一个方程的根， ∴x 2是方程x 2+ax +1=0和x 2+x +a =0的公共根， 因此两式相减有(a -1)(x 2-1)=0， 当a =1时，这两个方程无实根， 故x 2=1，从而x 1=1， 于是a =-2，b +c =-1， 所以a +b +c =-3．。
多次方程的韦达定理定律
多次方程的韦达定理定律引言：多次方程是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
而韦达定理则是解多次方程的一种常用方法。
本文将介绍韦达定理的原理和应用，并通过实例演示其解题过程。
一、韦达定理的原理：韦达定理是基于多次方程的根与系数之间的关系。
对于一个m次多次方程a0x^m + a1x^(m-1) + ... + am-1x + am = 0，其根为x1、x2、...、xm，韦达定理可以表示为以下形式：x1 + x2 + ... + xm = -a1/a0x1x2 + x1x3 + ... + x1xm + x2x3 + ... + x2xm + ... + xm-1xm = a2/a0...x1x2...xm = (-1)^m * am/a0二、韦达定理的应用：韦达定理可以帮助我们求解多次方程的根，尤其是当方程次数较高时，使用韦达定理可以简化计算过程。
下面通过一个实例来说明韦达定理的应用。
实例：假设有一个三次方程2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 = 0，我们可以使用韦达定理来计算其根。
根据韦达定理，我们可以得到以下等式：x1 + x2 + x3 = 5/2x1x2 + x1x3 + x2x3 = 3/2x1x2x3 = 1/2通过观察方程系数，我们可以猜测方程的根为1、1/2和-1/2。
将这些根代入韦达定理的等式中，可以验证等式的成立。
我们得到了方程的三个根。
在实际应用中，我们可以通过韦达定理来找到多次方程的根，从而解决各种问题。
三、总结：韦达定理是解多次方程的一种常用方法，它通过根与系数之间的关系，简化了多次方程的求解过程。
通过本文的介绍和实例演示，我们了解了韦达定理的原理和应用。
在实际应用中，我们可以灵活运用韦达定理来解决各种与多次方程相关的问题。
结语：多次方程的韦达定理定律是数学中的重要知识点，通过学习和应用韦达定理，我们可以更好地理解和解决多次方程相关的问题。
希望本文能够对读者有所启发，加深对韦达定理的理解和运用能力。
多项式的零点定理与韦达定理知识点
多项式的零点定理与韦达定理知识点多项式的零点定理是代数学中的一个重要定理，它给出了一个多项式方程的根（零点）的性质。
而韦达定理是利用多项式的系数与根之间的关系来研究多项式的一种方法。
本文将详细介绍多项式的零点定理和韦达定理的相关知识点。
一、多项式的零点定理多项式的零点定理又称为代数基本定理，它指出了一个非常重要的结论：如果一个多项式在某个数值点上取值为零，那么这个数值点就是多项式的一个根。
换句话说，一个多项式的根可以通过求解多项式方程来得到。
具体来说，对于一个n次多项式P(x)，其中n≥1，如果存在一个实数a使得P(a)=0，那么a就是P(x)的一个根。
进一步地，对于n次多项式P(x)，它至多有n个根。
这是由于多项式的次数决定了它的根数上限。
多项式的零点定理为我们解多项式方程提供了便利。
通过将多项式化简为因式乘积的形式，我们可以容易地得到其根的值。
二、韦达定理韦达定理是利用多项式的系数与根之间的关系来研究多项式的一种重要方法。
它可以帮助我们根据已知的多项式的根和系数，求解其他相关的根和系数。
设P(x)=ax^n+bx^(n-1)+...+k是一个n次多项式，其中a≠0。
如果r 是P(x)的一个根，那么根据韦达定理可知：1. P(r)=02. r_1+r_2+...+r_n=-b/a3. r_1*r_2*...*r_n=(-1)^n*k/a其中，r_1, r_2, ..., r_n分别表示P(x)的n个根。
上述公式中的第二个和第三个公式被称为韦达定理的进一步推广形式，它们可以帮助我们求得n次多项式的所有根以及与根相关的系数。
例如，对于一个二次多项式P(x)=ax^2+bx+c，如果已知P(x)的两个根为r_1和r_2，那么根据韦达定理可知：1. P(r_1)=0，P(r_2)=02. r_1+r_2=-b/a3. r_1*r_2=c/a通过上述三个公式，我们可以根据已知的根和系数求解出其他未知的根和系数。
初中数学人教版初三复习讲义 12.韦达定理及其应用(含知识点 答案)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。
【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． 【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7 所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝（x 1+x 2）2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β， ∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】（2020•江西）若关于x 的一元二次方程x 2﹣kx ﹣2＝0的一个根为x ＝1，则这个一元二次方程的另一个根为 ． 【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a ＝1，b ＝﹣k ，c ＝﹣2，∴x1•x22．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
【初中数学】初中数学韦达定理知识点总结
【初中数学】初中数学韦达定理知识点总结
【—韦达定理总结】知识要点：一元二次方程ax+bx+c=0?a≠0?中，两根x1,x2有如下关系：x1+x2=-b/a,x1×x2=c/a。
魏达定理
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2
是
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a
用韦达定理判断方程的根
在一元二次方程AX^2+BX+C=0（a≠ 0),
由二次函数推得若b^2-4ac<0则方程没有实数根
如果B^2-4ac=0，方程有两个相等的实根
若b^2-4ac>0则方程有两个不相等的实数根
广义吠陀定理也可用于高阶方程。
一般来说，对于n次∑AIX^i=0的一元方程
它的根记作x1,x2 (x)
右边有一组方程式
其中∑是求和，π是求积。
如果二次方程
在复数集中的根是，那么
从代数的基本定理出发，我们可以推导出任意一元n次方程
在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：方程的根在哪里。
通过比较两端的系数，我们得到了吠陀定理。
(x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/a
法国数学家魏达首先发现了代数方程的根和系数之间的这种关系。
因此，人们称这种关系为威达定理。
历史很有趣。
吠陀在16世纪得到了这个定理。
证明这个定理依赖于高斯在1799年提出的代数基本定理。
知识要领总结：韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
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韦达定理知识点及应
用解析
Revised on November 25, 2020
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析
1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2
= -a
b ， x 1·x 2 = a c。
对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q
2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ⇔方程有实数根。
3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0)
4、根与系数的关系求值常用的转化关系：
①x 12
+x 22
=(x 1+x 2)2
-2x 1x 2=a c a 2b -2
-⎪⎭
⎫
⎝⎛=2
22a ac b - ②
c
b
x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 =
a
c
-b +a 2 ④(x 1-x 2)2
=(x 1+x 2)2
-4x 1x 2 =2
a
4ac -b 2
5、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠0，且必须有实数根，即△≥0；
（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；
（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。
（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。
6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：
（1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。
（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
）
例：不解方程，判别方程两根的符号。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，
∵＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
（2）已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
解：设方程的另一个根为，
根据题意，利用韦达定理得：
，
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：
，
即
解得
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
（3）运用判别式及根与系数的关系解题。
例：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能：
（1） （2）
若， 则有： ；
即有：
解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若 ， 则有：
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
(4)运用根与系数的关系求代数式的值
例:已知一元二次方程2x 2-3x+1=0的两个根分别为x 1，x 2 ，求（x 1-x 2）2的值
解：由题意及韦达定理得：x 1+x 2= -（-23）=23，x 1x 2 =2
1 ∴(x 1-x 2)
2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =（23）2-4×21=4
1
∴（x 1-x 2）2的值是41
(5) 运用根与系数的关系解决几何问题
例：在△ABC 中，若∠C=90°，AB=5，AC 、BC 的长是关于x 的一元二次方程x 2-(2k+3)x+k 2+3k+2=0的两个实数根，求k 的值和△ABC 的面积 解：∵AC 2+BC 2=25
∴(AC+BC)2-2AC ·BC=25 ∵AC+BC=2K+3,AC ·BC=K 2+3K+2 ∴(2K+3)2-2(K 2+3K+2)=25 整理，得k 2+3k-10=0 解得k 1=-5,k 2=2 ∵AC+BC=2K+3﹥0 ∴k ﹥, ∴k=2 ∴S △ABC =
21 AC ·BC=2
1
(K 2+3K+2)=6。