2.4z变换的基本性质和定理
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
K2.04 z变换性质—z域尺度特性、微分
a k 1 (k
1)
1 z1 a
,
| z | 1 a
利用齐次(k
1)
a z1 a
,
| z | 1 a
5
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z变换性质－ z域尺度特性、微分 例4：求 f(k)= kε(k) 的z变换F(z)。
1 (e jk 2
e jk )
0.5z z e j
0.5z z e j
4
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z变换性质－ z域尺度特性、微分
例3：求 ak (k 1) 的 z 变换。
解：
ak1 (k 1) z1z 1 , | z | a
z 1
kf (k) F (z) z (z 1)2
6
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z变换性质－ z域尺度特性、微分
知识点K2.04
z变换性质－ z域尺度特性、微分
主要内容：
z变换的z域尺度特性、微分的性质
基本要求：
熟练运用z变换的性质
1
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z变换性质－ z域尺度特性、微分 K2.04 z变换的性质-z域尺度特性、微分 1、z域尺度变换：序列乘 ak , a 0
设 f (k) F(z), | z | ,且有常数a 则 ak f (k) F ( z ), | a | | z || a |
第二节Z变换的性质
收敛域不变：∣Z∣>a Z k F ( Z ) ,Z f ( k ) a 例4：已知 (a为实数）的单边Z变换为 Z a
a
k 2 k 2 求： f1 (k ) a , f 2 (k ) a 的单边Z变换 2 解：F1 ( Z ) Z 2 F ( Z ) f (2) f (1) Z 1 a Z , Z a
例2：求单边余弦cos(βk)ε(k)和单边正弦sin (βk)ε(k)的Z变换 1 1 解： cos(k ) (e jk e jk ), sin(k ) (e jk e jk )
2 2j Z [cos(k ) (k )] 1 1 Z [e jk (k )] Z [e jk (k )] 2 2
五：序列乘k(Z域微分） 注意：f(k)为离散的，而Z域为连续的; 若： f (k ) F (Z ), Z 则：kf (k ) Z d F ( Z )
dZ k m f (k ) [ Z d m ] F (Z ) dZ
例9：求序列 k 2 (k ), k (k 1) (k ), k (k 1) (k )的Z变换 2 Z 2 d Z Z ( Z 1) 2 ( k ) , Z 1 k (k ) Z [ ] ,Z 2 解：（1） Z 1 dZ ( Z 1) ( Z 1)3 （2）利用左移特性：
ba (k 1)a k (k ), a b
当a=b=1时，则 (k ) (k ) (k 1) (k ) 又因为： (k )
Z Z , a k (k ) Z 1 Z a Z Z Z 2 (k 1) (k ) (k ) (k ) ( ) , Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 2 (k 1)a k (k ) a k (k ) a k (k ) ( ) ,Z a Z a
z变换复移位定理
z变换复移位定理摘要：1.引言2.Z变换及其性质3.复移位定理4.Z变换复移位定理的应用5.结论正文：【引言】在信号处理、系统分析等领域，Z变换及其相关理论发挥着重要作用。
复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理，它为我们分析信号和系统提供了便利。
本文将详细介绍Z变换、复移位定理及其应用，帮助读者更好地理解和掌握这一理论。
【Z变换及其性质】Z变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
给定一个时域信号x(t)，其Z变换X(z)可以通过以下公式表示：X(z) = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) dt其中，ω为角频率，j为虚数单位。
Z变换具有许多有益的性质，如线性性质、时域性质、频域性质等。
这些性质为我们分析信号和系统提供了便利。
【复移位定理】复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理。
它描述了将时域信号进行Z变换后，对变换结果进行复数域上的平移（即频域上的卷积）的操作。
复移位定理的数学表达式如下：X(z) * z^k = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) * z^k dt其中，z为复变量，k为实数。
复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有广泛的应用。
【Z变换复移位定理的应用】在实际应用中，Z变换复移位定理可以帮助我们简化信号处理和系统分析的过程。
以下是一个具体例子：假设我们有一个线性时不变系统，其输入信号为x(t)，输出信号为y(t)。
我们可以通过分析系统的冲激响应h(t)来了解系统的性能。
利用Z变换和复移位定理，我们可以得到如下关系：H(z) = Y(z) / X(z)其中，H(z)为系统的传递函数，Y(z)为输出信号的Z变换，X(z)为输入信号的Z变换。
通过这一关系，我们可以轻松地求解系统的性能参数，如频率响应、群延迟等。
【结论】Z变换及其复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有重要应用价值。
掌握这一理论，可以帮助我们更好地分析和设计信号处理系统。
第二章Z变换
20
❖ 例：已知x(n)=cos(ω0n)u(n)，求它的z变换。 解：
Z
[cos(
0
n
)u
(
n
)]＝
Z
e
j
0
n
e j0n 2
u(n)
1 2
e j0nu(n)
1 2
e j0nu(n)
因为已知
试利用部分分式法求Z反变换。
X (z)
z2
,
( z 2 )( z 0 .5 )
| z | 2
X (z)
z
z ( z 2 )( z 0 .5 )
X (z)
z
A1 A2
z ( z 2 )( z 0 .5 ) z 2 z 0 .5
A1
(
z
2)
X
(z) z z 2
z
z 0 . 5 z 2
1
２．１ ２．２ ２．３ ２．４
２．５
Ｚ变换的定义与收敛域 Ｚ反变换 Ｚ变换的基本性质和定理 序列的Ｚ变换与连续信号的拉普拉斯 变换、傅立叶变换的关系 离散系统的系统函数、系统的频率响 应
2
２．１ Ｚ变换的定义与收敛域
２．１．１ Ｚ变换的定义
对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为
X(z) x(n)zn n
超前。
证：Z [ x ( n m ) ] x ( n m ) z n z m x ( k ) z k z m X ( z )
n
k
对双边序列，移位后收敛域不会发生变化；但是 单边序列在z=0或z=∞处收敛域可能有变化．
例如，Z[δ(n)=1]=1，在z平面处处收敛，但是
z变换复移位定理
z变换复移位定理摘要：一、引言二、Z变换的基本概念及性质1.Z变换的定义2.Z变换的性质3.Z变换与傅里叶变换的关系三、复移位定理的推导1.复移位定理的表述2.复移位定理的证明四、复移位定理的应用1.信号处理中的应用2.图像处理中的应用3.通信系统中的应用五、结论正文：一、引言在信号处理、图像处理以及通信系统中，Z变换和其相关定理发挥着重要作用。
其中，复移位定理更是具有广泛的应用价值。
本文将详细介绍复移位定理的推导、应用及其在实际场景中的体现。
二、Z变换的基本概念及性质1.Z变换的定义Z变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
对于一个连续时间信号x(t)，其Z变换为：X(z) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)]，n=-∞到∞2.Z变换的性质Z变换具有线性、时域卷积变为频域乘积、时域移位等性质。
此外，Z变换与傅里叶变换具有一定的关系，傅里叶变换可以看作是Z变换在单位圆上的特殊情形。
3.Z变换与傅里叶变换的关系当z=e^(jω)时，Z变换退化为傅里叶变换。
这意味着，傅里叶变换可以看作是Z变换在单位圆上的特殊情形。
三、复移位定理的推导1.复移位定理的表述复移位定理是指，对于任意一个复数z，其Z变换后的复数部分与原信号的z变换的复数部分相差一个复数k，即：X(z) = k * X(z-1)2.复移位定理的证明根据Z变换的定义，我们有：X(z) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)]，n=-∞到∞将z替换为z-1，得到：X(z-1) = ∑[x(n) * (1 / (z-1 - n)]，n=-∞到∞将两式相除，得到：X(z) / X(z-1) = ∑[x(n) * (1 / (z - n)) / (x(n) * (1 / (z-1 - n))]，n=-∞到∞化简后可得：X(z) = k * X(z-1)其中，k = ∑[1 / (z - n)]，n=-∞到∞四、复移位定理的应用1.信号处理中的应用复移位定理在信号处理中可用于信号的频域分析、滤波器设计等。
§2.4 Z变换的基本性质
X z
z z2 z z 1 z z 1 z z 0.5
ROC
z 2 z 1 z 1 z 0.5
X
2 1
n
无
有，1
n
n
1
无 有，0
0.5
n
第
九．有限项累加
z 则Z [ x( m )] X ( z ), z max[ Rx ,1] z 1 m 0
1 1 x ( n)h( n) x ( ) H ( ) 1d。 2j c n
2. 当围线取单位圆 1时， v 1 / v e j , 则 v 1 x(n)h (n) 2 n
X (e j ) H (e j )d。
x ( n) z
* * n *
n
*
n *
[ x(n)( z )
* n *
]
[ x( n)( z ) ] X ( z ) ，Rx z Rx ;
n
X
六．翻褶序列
如果 Z [ x( n)] X ( z ) , R z R 则 x x
n
19 页
Rx z Rx Rh z Rh
1 * 1 1 x ( n )h ( n ) c X (v ) H ( v * )v dv 2j
*
其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）
X
第
几点说明
1.
20 页
当h( n)为实序列时，则
RX Z RX
RX z RX ， m为整数
收敛域：只会影响 0, z 处 z
第二章 Z变换1,2,3,4
x ( n) z n M
2
z z 因此，要满足此不等式， 必须在一定范围之内才行。 满足的范 围就是收敛域。 不同形式的序列，其收敛域形式也不同。下面讨论几种序列 的收敛域： 1．有限长序列 在有限区间（n1 n n2 ）之内序列才具有非零的有限值， 在此区间之外，序列值都是零。其 z 变换为：
c c
x ( n) x ( n)
2 j c 2 j c
1
1
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
16
以上两式的选择，需根据具体情况来考虑。 下面给出求 X ( z ) z n 1 在任一极点 z r 处的留数的方法。 （1）z r 是 X ( z ) z n 1 的单（一阶）极点，则有
n n n 1
正幂级数 有限长序列的变换 按照阿贝尔定理，必定存在收敛半径 Rx z 综合以上两项， 变换的收敛域为： 0 z Rx 6
如果 n2 0 ，则右端第二项不存在，收敛域应包括 z 0 ，即
0 z Rx
4．双边序列 x n 为任意值时， (n) 都有非零值的序列，可以看成是左边序列 与右边序列之和。
1
§2.2 z 变换的定义与收敛域 一、z 变换(ZT)的定义 若序列为x(n)，则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z n
称为序列的 z 变换，其中 z 为变量，简便表示为： Z x ( n) X ( z )
二、z 变换的收敛域(ROC) 只有幂级数收敛， z 变换才存在。 收敛域：对任意给定序列 x(n) ，使其 z 变换收敛的所有值的 集合，称为~。 按照级数理论，z 变换式中级数收敛的必要且充分条件是满 足绝对可和的条件，即
Z变换
0< z ≤∞
n1 ≥ 0 n2 ≤ 0
嘉兴学院
0≤ z <∞
数字信号处理
16
2. z变换的收敛域
有限长序列收敛域 除外） ， 除外 （n1<0,n2>0;z=0，z=∞除外）
嘉兴学院
数字信号处理
2. z变换的收敛域
（2）右边序列 ） 在
17
n ≥ n1 时 x ( n ) 有值，在 n < n1 时 x ( n ) = 0 有值，
嘉兴学院
数字信号处理
z = re
jω
jω
|r =1 = e
∞
jω
7
ω = ΩTs = 2π f f s
X (e ) =
n =−∞
∑ x ( n )e
− jω n
离散时间序列的 傅里叶变换， 傅里叶变换， DTFT
z 平面
Im[z]
z 平面
Re[z]
Im[z]
r =1
0
Re[z]
0
嘉兴学院
数字信号处理
数字信号处理
23
2. z变换的收敛域
（4）双边序列 ） 在n为任意值 时 ，x(n)皆有值的序列 ，可以看成 为任意值 皆有值的序列 可以看成: 双边序列＝右边序列＋ 双边序列＝右边序列＋左边序列
X (z) =
n = −∞
∑
∞
x(n) z
−n
=
∑
∞
x(n) z
收 敛 域
−n
+
n=0
n = −∞
∑
收 敛 域
8
连续时间信号
X (s) =
∆
∫
∞
jΩ
z变换的基本知识
4）终值定理
假定 的z变换为 ，并假定函数 在z平面的单位圆上或圆外没有极点，则
（20）
证明考虑2个有限序列
（21）
和
（22）
假定对于 时所有的 ，因此在式（3-34）中 ，比较式（22）和式（21），式（22）可写成
（23）
令z趋于1时，式（21）与式（23）差取极限，得
（2）左位移（超前）定理
若 ，则
（15）
证明根据定义有
令 ，则
当 时，即在零初始条件下，则超前定理成为
（16）
2）复域位移定理
若函数 有z变换 ，则
（17）
式中 是常数。
证明根据z变换定义有
令 ，则上式可写成
代入 ，得
3）初值定理
如果函数 的z变换为 ，并存在极限 ，则
（18）
或者写成
（19）
证明根据z变换定义， 可写成
在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z的有理分式
（5）
或 的有理分式
（6）
其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）
（7）
2求z变换的方法
1）级数求和法
根据z变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。
例1求指数函数 的z变换。
换句话说，z反变换唯一对应采样信号，但可对应无穷多个连续信号。
2）z反变换的求法
（1）幂级数展开法（长除法）
根据z变换的定义，若z变换式用幂级数表示，则 前的加权系数即为采样时刻的值 ，即
对应的采样函数为
例4已知 ，求 。
解利用长除法
z变换的基本知识
z变换基本知识1 z变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。
一个连续信号的拉普拉斯变换是复变量的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。
因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。
计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。
连续信号通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号的表达式为（1）对式（1）作拉普拉斯变换（2）从式（2）可以看出，是的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。
为此，引入了另一个复变量“z”，令（3）代入式（2）并令，得（4）式（4）定义为采样信号的z变换，它是变量z的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。
通常以表示。
由以上推导可知，z变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作的变量置换。
的z变换的符号写法有多种，如等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z变换。
式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、域和z域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是，并且时域中的域中的及z域中的均表示信号延迟了拍，体现了信号的定时关系。
在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z的有理分式（5）或的有理分式（6）其分母多项式为特征多项式。
在讨论系统动态特征时，z变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）（7）2 求z变换的方法1）级数求和法根据z变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。
例1求指数函数的z变换。
解连续函数的采样信号表达式为对应的z变换式为上式为等比级数，当公比时，级数收敛，可写出和式为。
例2求单位脉冲函数的z变换。
(优选)z变换的基本性质和定理
X (z)H(z)
两者交集 序列的卷积和
1
2j
c
X
(v)H ( z v
)v 1dv
上下限对应相乘
序列相乘
x(n)为因果序列
且X(z)的极点落在单 位圆内部，最多在
z=1处有一极点
初值定理 终值定理
ax(n) by(n) aX (z) bY(z)
x(n m)
zm X (z)
两者交集 不变
线性性质 移位性质
an x(n)
X (z a) 上下限放大|a| 乘以指数序列
序列
nx(n) x* (n)
Z变换 z d X (z)
dz
X *(z*)
收敛域 不变 不变
说明 线性加权
共轭
x(n)
X (1 z)
部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：
Ck
(r
1 d rk
k
)!
dz
r
k
[(z
zi )r
x(z zk
)
z
zi
,
k 1,2r
3、长除法 将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应
一个因果序列或一个反因果序列。
对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除；
对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。
3、乘以指数序列（z域尺度变换） 如果 则有： 证明：根据z变换的定义证明
4、序列的线性加权（z域求导数） 如果 则有：
证明： （见下页，怎样证明？）从右至左证明。
5、共轭序列 如果 则有：
证明：
6、翻褶序列 如果 则有：
证明： （见下页）
证明：
7、初值定理 证明： （怎样证明？） 显然： lim X (z) x(0)
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
z变换总结
z变换总结什么是z变换z变换是一种在信号处理和控制系统中广泛使用的数学工具，用于在z平面上对离散信号进行分析和处理。
它可以将一个离散时间序列转换为复平面上的函数，从而使得离散信号的频域特性能够被研究和分析。
z变换的公式表示如下：$$ X(z) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x(n) \\cdot z^{-n}} $$其中，X(z)是信号的z变换，x(n)是离散时间信号。
z变换的性质z变换具有一些重要的性质，这些性质有助于简化信号处理过程，并且在频域分析中提供了有用的工具。
线性性质z变换是线性的，即对于任意常数a和b，满足以下等式：$$ a \\cdot X_1(z) + b \\cdot X_2(z) = a \\cdot \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x_1(n) \\cdot z^{-n}} + b \\cdot \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}{x_2(n) \\cdot z^{-n}} $$移位性质当信号在时间域中发生平移时，其在z变换中的表示也会相应地发生平移。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么对于平移k个单位的信号x(n−k)，其z变换为$z^{-k} \\cdot X(z)$。
延时性质信号在时间域中的延时操作可以通过z变换的乘法操作来表示。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么对于延时k个单位的信号x(n+k)，其z变换为$z^{k}\\cdot X(z)$。
单位样本响应性质单位样本是一个离散时间信号，只在n=0处取值为1，其它时刻均为0。
单位样本的z变换表示为X(z)=1。
倒置性质信号在时间域中的倒置操作可以通过z变换的操作来表示。
假设信号x(n)的z变换为X(z)，那么倒置后的信号x(−n)的z变换为X(z−1)。
z变换与傅里叶变换的关系z变换是傅里叶变换的离散形式，通过在z平面上进行积分，可以将离散信号转换为连续信号，从而进行频域分析。
信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT
Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n
n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1
2 Z变换
• 上式第一项是正幂级数,按阿贝尔定理,必存在收敛半径
Rx+ ,级数在以原点为中心,以 Rx+ 为半径的圆内任何点 都绝对收敛,收敛域为： 0≤|z|＜Rx+ • 第二项是有限长序列的 z 变换,收敛域为0＜|z|≤∞。 • 综合所述,左边序列z变换的收敛域为：0＜|z|＜Rx+ 。
• 左边序列及其收敛域如图 2-4 所示。
• 双边序列及其收敛域如图 2-5 所示，其收敛域是一个 环状区域。
• [例 2-2]
x(n)= anu(n), 求其 z 变换及收敛域。
• 解：这是一个右边序列,且是因果序列,其 z 变换为
• 这是一个无穷项的等比级数求和,只有在 |az-1|＜1 即 |z|＞|a| 处收敛,如图 2-7 所示。
2.3 z反变换
• 从给定的 z 变换闭合式 X(z) 中还原出原序列 x(n) 称为 z 反变换, 表示为：
• 求 z 反变换的方法通常有三种 : 围线积分法
( 留数法 ) 、部分分式展开法和长除法。
• 一、围线积分法(留数法) • 这是求z反变换的一种有用的分析方法。根据复变函数 理论, 若函数X(z)在环状区 Rx-＜|z|＜Rx+ （Rx-≥0，Rx+≤∞）
• 如果n2≤0, 则左边序列收敛域应包括 z=0,即0≤|z|＜Rx+
• 4. 双边序列 • 这类序列是指 n 为任意值时( 正、负、零 )x(n)皆有 值的序列,可以把它看成一个右边序列和一个左边序列 之和,即
• 其收敛域应是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分, 其收敛域为 Rx-＜|z|＜Rx+
• 或写成
• 当 n≤-2 时,上面函数在围线 C 的外部只有一个一阶 极点 z=4, 且符合使用(2-18b)式的条件(X(z)zn-1的分 母阶次减去分子阶次结果是≥2的)。而在围线 C 的内 部则有 z=1/4 处一阶极点及 z=0 处 (n+1) 阶极点, 所以采用围线 C 的外部的极点较方便, 利用(2-18b) 式可得：
Z变换知识点范文
Z变换知识点范文Z变换是其变量为离散信号的连续复平面变换。
它在离散系统分析中扮演着重要的角色，具有广泛的应用。
下面是一些关于Z变换的知识点：1.Z变换的定义：Z变换将一个离散序列表示为复平面上的函数，通过对序列各个元素进行加权求和来定义。
给定一个序列x[n]，它的Z变换为X(z)，表示为X(z)=Z{x[n]}。
2.Z变换的收敛域：Z变换中的收敛域是指Z平面上的有效区域，其中Z变换收敛并且定义良好。
对于一个离散序列x[n]，它的Z变换收敛域由序列的性质决定。
3.常见的Z变换公式：Z变换有一些常见的公式，包括前向差分公式、后向差分公式、Z域的微分公式、Z域的积分公式等等。
这些公式可以用来简化复杂的序列计算，方便分析和设计离散系统。
4.Z域和频域之间的关系：Z变换可以将一个离散序列从时间域转换到Z域，相当于从时域到频域的变换。
在Z域中，可以分析序列的频率响应和系统的稳定性等。
5.Z变换的性质：Z变换具有一些重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度性质、卷积定理等。
这些性质可以用于简化Z变换的计算和分析。
6.倒Z变换：倒Z变换是Z变换的逆变换，将一个函数从Z域转换回时域。
通过倒Z变换可以还原离散序列的时间信息。
7.离散传输函数和Z变换：离散系统可以用传输函数来描述，传输函数是输入和输出之间的关系。
通过Z变换可以得到离散传输函数的Z域表达式，从而进行系统的分析和设计。
8.Z变换在离散系统设计中的应用：Z变换在离散系统设计中有广泛的应用，包括信号滤波、频率域分析、系统稳定性分析等。
通过Z变换，可以方便地进行离散系统的建模和分析。
9.Z变换和傅里叶变换的关系：10.递归和非递归系统的Z变换表示：递归系统和非递归系统在Z域中有不同的表示方法。
递归系统的传输函数是有理多项式，而非递归系统的传输函数是多项式。
总之，Z变换是离散信号处理中的重要工具，可以用来描述和分析离散系统。
通过Z变换，可以方便地进行系统的建模、分析和设计，有助于了解离散信号的频率特性、系统的稳定性等。
Z变换的基本性质
举例
• 举例：若x(n)的z变换为X(z)=∑ x(n)z^(-n)，则x(n-1)的z变 换仍为X(z)=∑ x(n-1)z^(-n)。
应用场景
在数字信号处理中，移位性质可以用于信号的延迟和提前操 作，实现信号的时域平移。
应用场景
• 应用场景：线性性质在信号处理、控制系统等领 域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，线 性性质可以用于叠加多个信号的频谱；在控制系 统中，线性性质可以用于分析系统的动态行为。
02
CATALOGUE
移位性质
定义
移位性质是指当一个序列在时间上左 移或右移时，其z变换的结果将保持 不变。
应用场景
• 乘积性质在信号处理、控制系统等领 域有广泛应用。例如，在数字信号处 理中，乘积性质可用于分析信号的频 谱特性和滤波器设计；在控制系统分 析中，乘积性质可用于描述系统的动 态响应和稳定性。
04
CATALOGUE
微分性质
定义
• 微分性质：如果一个序列x(n)的z变换为(z)，那么x'(n)的z变换为zX(z)，其中 x'(n)表示x(n)的差分。
应用场景
• 积分性质在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，例如在分析线性时不 变系统的传递函数时，可以利用积分性质简化计算。
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在控制系统分析中，利用移位性质可以方便地分析系统的频 率响应和稳定性。
03
CATALOGUE
乘积性质
定义
• 乘积性质描述的是两个函数相乘 后的z变换与各自z变换的乘积之 间的关系。如果$f(n)$和$g(n)$ 分别是$f(z)$和$g(z)$的z变换， 那么$f(n)g(n)$的z变换是 $f(z)g(z)$。
Z变换的基本性质
k m z m
说明:移序特性可将差分方程转换为代数方程.
X
13
第
m1 因 x ( k 为 ) X 以 x ( k ) z k ： x 0 x 1 z 1 x 2 z 2
k 0
x(k1)x(k1)zk
k0
x1x0z1x1z2 x(2)z3
X
21
五．乘k定理 （z域微分定理） 第 页
若 x(k)X(z) z 则 kx(k)zdX(z) z
dz 推广 km x(k) zd d z mX (z)
zd d z m 表 zd d 示 z zd d z zd d z zd d zX (z )
６ .思考 ( 2 )k： ( k 1 )求 的单 z变 边 换 双边 X
16
三.Z域尺度定理（序列指数加权乘ak） 第 页
若 x(k)X(z)
z
则 akx(k)Xz a
aza
a为 非 零 常 数
说明:在时域乘指数序列相当于在z域进行尺度变换.
证明： Z a k x (k ) a k x (k )z k x (k ) z k X z
X(z)a1za2z2 X1(z)真分式
2)将X(z)在z→∞时的动态特性与x(k)的初值联系起来
推理 x(1)＝？ x(2)＝？
因x 为 (1 )x (k 1 )
x(2 )x(k2 )
k 0
k 0
且 x ( k 1 ) ( k ) x ( k 1 ) ( k 1 ) [ ( k 1 ) z X ( z ] ) x ( 0 )
15
第
例题 页
1.求f (k) (k 1) (k 1)的单边 z变换
2.已知ak(k) z
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zm X (z)
两者交集 不变
线性性质 移位性质
an x(n)
X (z a) 上下限放大|a| 乘以指数序列
42
序列
nx(n) x* (n)
Z变换 z d X (z)
dz
X *(z*)
收敛域 不变 不变
说明 线性加权
共轭
x(n)
X (1 z)
上下限分别倒数
翻褶
Re[ x(n)] 0.5[X (z) X *(z*)]
45
)v 1dv
上下限对应相乘
序列相乘
x(n)为因果序列
且X(z)的极点落在单 位圆内部，最多在
z=1处有一极点
初值定理
终值定理
44
序列
Z变换
收敛域
说明
RxRh 1 RxRh 帕赛瓦定理
几条重要结论： 1、时域作卷积运算，z变换上相乘 2、实部z变换等于 0.5[X (z) X *(z*)] 3、序列在时域计算的能量等于在频域计算的能量
16
17
5、共轭序列 如果 则有：
证明：
18
6、翻褶序列 如果 则有：
证明： （见下页）
19
证明：
20
7、初值定理 证明： （怎样证明？）
显然： lim X (z) x(0)
z
21
8、终值定理
证明： （见下页，怎样证明？）
22
证明：
23
又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因 子(z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所 以可取z→1的极限。
5、共轭序列
6、翻褶序列
7、初值定理
8、终值定理
9、有限项累加特性
10、序列的卷积和（时域卷积和定理）
11、序列相乘
12、帕赛瓦定理
8
1、线性 如果
则有：
aX (z) bY(z),
max(Rx , Ry ) z min(Rx , Ry )
序列线性组合的z变换等于z变换的线性组合。 收敛域为两者重叠部分，如果在z变换的线性 组合中，存在零极点相消，则收敛域可能扩大。
5、共轭序列
6、翻褶序列
7、初值定理
8、终值定理
9、有限项累加特性
10、序列的卷积和（时域卷积和定理）
11、序列相乘
12、帕赛瓦定理
41
序列
Z变换
收敛域
说明
x(n)
X (z) Rx z Rx
h(n)
H (z) Rh z Rh
ax(n) by(n) aX (z) bY(z)
x(n m)
数字信号处理
第二章 z变换（2.4）
主 讲：熊美英 E-mail：wax8301@
九江学院电子工程学院
第二章 z变换
2.1 引言 2.2 z变换的定义及收敛域 2.3 z反变换 2.4 z变换的基本性质和定理 2.5 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数及频率响应
2
回顾：2.3 z反变换
求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。
3
1、围线积分法（留数法）
注意：应用第二式计算时，要求 X (z)zn1 的分母 多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。
4
2、部分分式展开法
然后各部分查表作z反变换，再相加。
n
k
移位后的序列z变换等于原序列z变换× 收敛域规律？
13
[例2-11] ： 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。 解：
14
3、乘以指数序列（z域尺度变换） 如果 则有： 证明：根据z变换的定义证明
15
4、序列的线性加权（z域求导数） 如果 则有： 证明： （见下页，怎样证明？）从右至左证明。
9
[例2-10]：已知 解：
,求其z变换。
10
11
收敛域为两者重叠部分，如果在z变换的线性组 合中，存在零极点相消，则收敛域可能扩大。 参见[例2-11]： （见性质2）
12
2、序列的移位
如果
则有：
证明：根据z变换的定义证明
Z[x(n m)] x(n m)zn zm x(k)zk zm X (z)
6
3、长除法 将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应
一个因果序列或一个反因果序列。 对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除； 对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。
7
2.4 z变换的基本性质和定理
1、线性
2、序列的移位
3、乘以指数序列（z域尺度变换）
4、序列的线性加权（z域求导数）
不变
实部z变换
j Im[x(n)] 0.5[X (z) X *(z*)]
不变
j倍虚部z变换
43
序列
n
x(m)
m0
x(n) h(n)
x(n)• h(n)
Z变换
z X (z) z 1
收敛域
说明
z max[Rx ,1] 有限项累加特性
X (z)H(z)
两者交集 序列的卷积和
1
2j
c
X
(v)H ( z v
24
9、有限项累加特性 证明： （见下页）
25
证明：
26
27
10、序列的卷积和（时域卷积和定理）
28
证明：
29
30
[例2-12]： 解： 先求X(z)、H(z)，然后相乘，再作反变换。
31
32
11、序列相乘（z域复卷积定理）
其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛
域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）
33
[例2-13]： 解：见下页。
34
解：
35
36
37
12、帕赛瓦定理
其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收 敛域内。 （证明从略）
38
*几点说明：
39
40
回顾：2.4 z变换的基本性质和定理
1、线性
2、序列的移位
3、乘以指数序列（z域尺度变换）
4、序列的线性加权（z域求导数）
x(n) z1[X (z)] z1[ X1(z)] z1[X 2 (z)] ... z1[X K (z)] x1(n) x2 (n) ... xK (n)
5
部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：
Ck
(r
1 d rk
Байду номын сангаас
k
)!
dz
r
k
[(z
zi )r
x(z zk
)
z
zi
,
k 1,2r