第八章第4讲_离散系统频率响应
离散时间系统的频率响应特性
值附近愈尖锐；
• 若
极
点
p
落
i
在
单
位
圆
上
，
B
＝i 0，
则
频
率
响
应
的
峰
值
趋于无穷大。
• 零 点 的 作 用 与 极 点 相 反 。
X
8
第
小结
页
1. 系统的频响特性 HejHzzejωHejωejω Hej：幅~ω频特性，输出与输入序列的幅度之比
统的频率响应特性: ：相频特性，输出对输入序列的相移
10 离散时间系统的
频率响应特性
二系．统频 对响不特同性频的率几的何输确入定，法产生不同的加j权，这就是系统的频率响应特性。
He Hz He e 通过本征函数透视系统的频响特性
jω
ze 离散系统（数字滤波器）的分类
jω jω
He ~ω ：幅频特性 因为 是周期为 的周期函数，所以系统的频响
输出对输入序列的相移 体现了系统对信号的处理功能。
正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应） 由系统函数得到频响特性
•H e即 h (n )的 DTF T 离：散相系 频统特频性响，特输j性出ω 的对定输义入序列的相移
特性 为周期为 的周期函数。
为输入序列的加权，
二输．出• 频 与e 响输j特入ω 性序为 的列几的何幅确度定之法比 周期H 函 ejω为 数周 ，期 所函 以 2 π。 数
ω：~ω相频特性，输出对输入序列的相移
2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，
课件：离散时间系统的频率响应
则系统的幅频特性为
M
ej z j
H (e j )
k
j 1 N
ej pi
H (e j ) e j
i 1
ej pi Bieji 相频特性为
M
Aj
H (ej )
k
j1 N
Bi
i 1
M
N
() j i
j 1
i 1
信号与系统
§7.9 离散时间系统的频率响应
北京航空航天大学电子信息学院 2021/7/20
一、离散时间系统频响的定义
离散时间系统的频率响应： h(n) 的傅里叶变换 条件：稳定系统
H ej F h n H z zej
从系统激励与相应的零状态响应的傅里叶变换关系来看，
H
e j
Y
z
Y zej
e j
X z zej
X ej
H ej H ej ej
幅频特性： H ej ~
相频特性： ~
二、离散时间系统频响的物理意义
观察复指数序列 xn e u j0n n
X
z
z
z e j0
则系统响应的z变换为
Y
z
z z e j0
H z
由于系统为因果稳定系统， 极点均位于单位圆内，不会
与X(z) 的极点 ej0相重合。
Y
z
az z ej0
M
Am z
m1 z zm
其中常数 a H e j0 ，则稳态响应为
二、离散时间系统频响的物理意义
y n H ej0 ej0nu n
序列 e u j0n n经过一离散时间系统H(ejω) ，所得稳态响
应依然是 e u j0n n，但受到该系统频率响应 H e j0的加
第八章系统频率响应及其仿真
➢ 利用封闭的Nyquist轨迹可进行系统稳定性的分析，即Nyq uist稳定判据。
➢ Nyquist图不便于分析频率特性中某个环节对频率特性的 影响。
第八章 系统频率响应及其仿真
8.1 频率特性的一般概念 8.1.2 Nyquist图与Bode图
Bode图
把频率特性函数G (j)的角频率和幅频特性都取对数，则称
幅频特性： A( ) X o ( )
➢
相频特性：
X i ( )
() o () i ()
第八章 系统频率响应及其仿真
8.1 频率特性的一般概念
8.1.2 Nyquist图与Bode图
Nyquist图
频率特性G(j)是频率的复变函数，可以在复平面上用一个 矢量来表示。该矢量的幅值为 G( j) ，相角为G( j) 。当 从0变化时，G(j)的矢端轨迹被称之为频率特性的极坐
相位滞后校正设计步骤 a) 根据稳态误差计算Kc; b) 根据Kc下原系统开环幅、相频曲线，寻找满足要求相位裕度
c (50 ~ 10 0 ) 所对应的频率作为幅值穿越频率c; c) 根据c确定校正环节的转折频率：Gc ( jc )G( jc ) 1 KcG( jc )
即校正环节最大转折频率 为幅值穿越频率的1/10
sys2=zpk([ ],[0 -10 -2],600);
%建立模型2，K=30
figure(1),bode(sys1)
%绘Bode图1
title('System Bode Charts with K=5'),grid
figure(2),bode(sys2)
%绘Bode图2
title('System Bode Charts with K=30'),grid
第8章 频率响应分析
第八章频率响应分析8．1 概述1)计算震荡激励的响应2) 激励在频域中显式定义，在每频率点作用力已知3) 计算的响应通常包括节点位移、单元力和应力4) 计算的响应为复数、由大小、相位定义5) 频率响应分析分为直接法、模态法。
8．2 直接频率响应法1）动力学方程2）在MATi卡中PARAM,G和GE 不形成阻尼矩阵、而形成复刚度矩阵其中，与瞬态响应对应有8.3 模态频率响应法1）转化为模态坐标中，求解解耦的单自由度系统得2）求解该方程比直接法更快3）如无阻尼或仅有模态阻尼（TABDMP1定义），方程才能解耦；否则，如果出现非模态阻尼（VISC,DAMP定义），使用低效率得直接频响法（对小的模态坐标矩阵）。
8.4 激励的确定1）定义为频率的函数2）MSC/NASTRAN中的几种定义• RLOAD1: 用实部和虚部定义频变载荷• RLOAD2 ：用大小和相位定义频变载荷• LSEQ ：用静态载荷产生动态载荷3）用 DLOAD数据集卡组合频变力4）RLOADi卡由DLOAD 情况控制卡选择8.4.1 RLOAD1卡片1) 定义如下频变载荷2) 格式3) 由DLOAD=SID.选取8.4.2 RLOAD2卡片1) 定义如下频变载荷2）格式3) 由DLOAD=SID.选取8.4.3 FREQ卡片1) 选择频率步长大小2) FREQ卡片定义离散激励频率3) FREQ1 定义f START, 频率增量、增量数目4)FREQ2定义f START, f end对数间隔数5)FREQ3 定义F1, F2和在二者间线性或对数插值数目（基于朝两端点或中心）6)FREQ4 指定一个共振频率、一个等效的间隔频率数（在激励频率内）7)FREQ5 指定一个频率范围和频率范围内的固有频率的分数8)FREQ3, FREQ4, FREQ5 仅对模态法有效9)FREQi 数据卡由FREQUENCY =SID情况控制卡选取10)所有FREQi数据卡用相同的ID11)FREQ, FREQ1, FREQ2, FREQ3, FREQ4和FREQ5 卡可以在同一分析中使用8.4.3.1 FREQ卡1) 定义频率响应分析中的频率集2) 格式3) 由情况控制卡FREQUENCY = SID.选取1) 定义频率响应问题中频率集：通过开始频率、频率增量、增量数目2) 格式3) 由情况控制卡FREQUENCY = SID选取4) f i= F1 + DF * (i - 1)5) 单位：cycles per unit time.8.4.3.3 FREQ21) 定义频率响应问题中频率集，通过开始频率、结束频率、对数增量数目2) 格式3) 由情况控制卡FREQUENCY = SID选取4) 单位：cycles per unit time5)1) 定义频率响应问题中频率集，通过指定两模态频率间的激励频率数2) 格式3) 仅用于模态频率响应4) 由情况控制卡FREQUENCY = SID选取5) 对各种CLUSTER其中，6)) 例子（F1=10,F2=20,NEF=11,TYPE=LINEAR）8.3.3.5 FREQ4卡1) 定义频率响应问题中频率集，通过指定范围内每阶固有频率附近激励频率数2) 格式3) 仅用于模态频率响应4) 由情况控制卡FREQUENCY = SID选取8.3.3.6 FREQ5卡1) 定义频率响应问题中频率集，通过指定频率范围及该范围内的位置2) 格式3) 如f N1为F1和F2间的固有频率，则4) 仅用于模态频率响应5) 由情况控制卡FREQUENCY = SID选8.5 模态频率响应与直接频率响应比较注：“X”表可用8.6 SORT1和SORT2输出1) SORT1输出每一激励频率点2) SORT2输出给定节点、单元的结果8.7 频率响应求解控制8.7.1 执行控制8.7.2 情况控制8.7.3 数据模型集8.7.4 输出控制1）结点结果输出2）单元输出结果3）其它8.8 频变弹簧和阻尼器(1) 弹簧刚度和阻尼器阻尼系数为频变函数(2) CBUSH定义一般弹簧、阻尼连接(3) PBUSH定义名义上的弹簧、阻尼连接(4) PBUSHT定义变频弹簧、阻尼器的值8.8.1 CBUSH 卡片1）定义广义弹簧-阻尼器结构单元，可为非线性或频变2）格式8.8.2 PBUSH卡片1）定义广义弹簧-阻尼器结构单元性质2）格式8.8.3 PBUSHT卡片1）定义广义弹簧-阻尼器的频变或力变性质2）格式8.8.4 例子SAMPLE USING CBUSH ELEMENT$$ cbush1.dat$TIME 10SOL 108CENDTITLE = VERIFICATION PROBLEM, FREQ. DEP. IMPEDANCE BUSHVER SUBTITLE = SINGLE DOF, CRITICAL DAMPING, 3 EXCITATION FREQUENCIES ECHO = BOTHSPC = 1002DLOAD = 1DISP = ALLFREQ = 10ELFO = ALLBEGIN BULK$ CONVENTIONAL INPUT FOR MOUNTGRDSET,, , , , , ,23456 $ PS$ TIE DOWN EVERYTHING BUT THE 1 DOFGRID, 11, , 0., 0., 0.0 $ GROUND=, 12, =, =, =, , $ ISOLATED DOFSPC1, 1002 123456 11 $ GROUNDCONM2, 12, 12, , 1.0 $ THE ISOLATED MASS$$ EID PID GA GB GO/X1 X2 X3 CID$CBUSH 1000 2000 11 12 0$PBUSH 2000 K 1.0B 0.0$PBUSHT 2000 K 2001B 2002$TABLED1, 2001 $ STIFFNESS TABLE, 0.9 0.81, 1.0, 1.0, 1.1, 1.21 ENDTTABLED1 2002 $ DAMPING TABLE, 0.9 .2864789, 1.0,.318309, 1.1,.3501409 ENDT$CONVENTIONAL INPUT FOR FREQUENCY RESPONSEPARAM, WTMASS, .0253303 $ 1/(2*PI)**2. GIVES FN=1.0DAREA, 1, 12, 1, 2. $CAUSES UNIT DEFLECTIONFREQ, 10, 0.9, 1.0, 1.1 $ BRACKET THE NATURAL FREQUENCYRLOAD1, 1, 1, , , 3TABLED1,3 $ TABLE FOR FORCE VS. FREQUENCY, 0.9, 0.81, 1., 1., 1.1, 1.21,ENDT $ P = KENDDATA例2，直接频响法激励为作用在角点的单位载荷，频率范围在20~1000间，频率步为20HZ, 结构阻尼g=0.06.INPUT FILE FOR PROBLEM #5ID SEMINAR, PROB5SOL108TIME30CENDTITLE = FREQUENCY RESPONSE DUE TO UNIT FORCE AT TIPECHO = UNSORTEDSPC = 1SET 111 = 11, 33, 55DISPLACEMENT(SORT2, PHASE) = 111SUBCASE 1DLOAD = 500FREQUENCY = 100$OUTPUT (XYPLOT)$XTGRID= YESYTGRID= YESXBGRID= YESYBGRID= YESYTLOG= YESYBLOG= NOXTITLE= FREQUENCY (HZ)YTTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT LOADED CORNER, MAGNITUDE YBTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT LOADED CORNER, PHASE XYPLOT DISP RESPONSE / 11 (T3RM, T3IP)YTTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT TIP CENTER, MAGNITUDEYBTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT TIP CENTER, PHASEXYPLOT DISP RESPONSE / 33 (T3RM, T3IP)YTTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT OPPOSITE CORNER, MAGNITUDE YBTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT OPPOSITE CORNER, PHASEXYPLOT DISP RESPONSE / 55 (T3RM, T3IP)$BEGIN BULKparam,post,0PARAM, COUPMASS, 1PARAM, WTMASS, 0.00259$$ PLATE MODEL DESCRIBED IN NORMAL MODES EXAMPLE$INCLUDE ’plate.bdf’$$ SPECIFY STRUCTURAL DAMPING$PARAM, G, 0.06$$ APPLY UNIT FORCE AT TIP POINT$RLOAD2, 500, 600, , ,310$DAREA, 600, 11, 3, 1.0$TABLED1, 310,, 0., 1., 1000., 1., ENDT$$ SPECIFY FREQUENCY STEPS$FREQ1, 100, 20., 20., 49$ENDDATA例3，模态频响法激励为振幅为0.1 psi的分布载荷与作用在角点的1.0 lb集中力，相位为45度。
§ 离散时间系统的频率响应特性
通过几何方法可以大致估计
出频率响应的形状，如图(d)
所示。
o
此例给出的二阶离散
π
ωs 2 (d)
系统与RLC二阶模拟电路
有“相仿”的特性。
2π
ωs ω
返回
• H(ej)即h(n)的DTFT • ej为周期函数，所以H(ej)为周期函数， 其周期为2p 。
例8-10-1
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入x(n)=ejn 为本征函数
xn hn yn
h(n)为稳定的因果系统
ynh nxn hmejω nm ej n
h m ejωm
m
m
Hz h(m)zm单位圆上 m
hnArnejnθrnejnθun
2jAnsrin n θunb1rn1sin n θun （c)
siθn
如图(c)所示,若r<1极点位于单位圆内， h(n)为衰减型，此系统是稳定的。
系统的频率响应为 Hejω 1a1eb1jω ejω a2e2jω
根据H(z)的零极点分布， H ejω
H ejωH zz ejω
H(ej) 则对输入序列的加权， 体现了系统对信号的处理功能。 H(ej) 是H(z) 在单位圆上的动态 变化，取决于系统的特性。
ynej n Hejω
离散系统（数字滤波器）的分类
H e j ω
低通
O ωc
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
带通
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
例8-10-2
例8-10-3
返回
例8-10-1 已知离散时间系统的框图如图所示，求系
统频率响应特性。
离散系统的频率响应及DFT
实验二 离散系统的频率响应及DFT实验目的：1. 运用MATLAB 计算离散时间系统的频率响应。
2. 运用MATLAB 计算有限长序列的离散傅立叶变换。
3. 运用MATLAB 熟悉离散傅立叶变换的圆周移位和对称性质。
实验内容：一、计算离散时间系统的DTFT已知一个离散时间系统∑∑==−=−Mk k N k k k n x b k n y a 00)()(，可以用MATLAB 函数frequz 非常方便地在给定的L 个离散频率点l ωω=处进行计算。
由于)(ωj e H 是ω的连续函数，需要尽可能大地选取L 的值（因为严格说，在MATLAB 中不使用symbolic 工具箱是不能分析模拟信号的，但是当采样时间间隔充分小的时候，可产生平滑的图形），以使得命令plot 产生的图形和真实离散时间傅立叶变换的图形尽可能一致。
在MATLAB 中，freqz 计算出序列{M b b b ,,,10L }和{N a a a ,,,10L }的L 点离散傅立叶变换，然后对其离散傅立叶变换值相除得到L l e H l j ,,2,1),(L =ω。
为了更加方便快速地运算，应将L 的值选为2的幂，如256或者512。
实验程序2.1：运用MATLAB 画出以下系统的频率响应。
y(n)-0.6y(n-1)=2x(n)+x(n-1)程序：clf;w=-4*pi:8*pi/511:4*pi;num=[2 1];den=[1 -0.6];h=freqz(num,den,w);subplot(2,1,1)plot(w/pi,real(h));gridtitle(‘H(e^{j\omega}的实部’))xlabel(‘\omega/ \pi’);ylabel(‘振幅’)；subplot(2,1,1)plot(w/pi,imag(h));gridtitle(‘H(e^{j\omega}的虚部’))xlabel(‘\omega/ \pi’);ylabel(‘振幅’)；运行程序2.1 ,并显示图形。
离散系统的频率响应和输出响应的matlab实现
上海电力学院信号与系统实验报告题目：离散系统的频率响应和输出响应班级：2011023专业：电气工程及其自动化学号：********2013年12月18日离散系统的频率响应和输出响应 一、实验目的1、学习利用Matlab 求解系统频率响应的方法。
2、学习利用Matlab 求解系统输出响应的方法。
3、加深学生对离散系统频率响应概念的理解。
二、实验原理定义系统的频率响应为∑∞-∞=-==n jnwjwn h n h DTFT ])([)]([H）（我们知道，一个单位脉冲响应为h(n)的系统对出入序列x(n)的输出为)(*)()(y n h n x n =，根据DTDT 的卷积性质，可以推得)(*)()](*)([)]([)(Y jw jw jw H X n h n x DTFT n y DTFT ===对于求解系统的输出响应，则可利用卷积计算实现，也可不通过卷积，即可先求出)(jw X 和)(jw H ，进而求出)(Y jw ，再通过求IDTFT 变换求出y （n ）.三、实验程序（1）要求给定一个系统的单位脉冲响应为 )]20()()[4.0sin()(h --=n n n n εε求：1）利用matlab 求出该系统的频率响应特性。
2）若输入该系统的信号为)4.0sin(2)3/5.0cos()(x n n n πππ++=，确定该系统的稳态输出信号。
（2）程序实现为了方便在matlab 中进行调用，首先用m 语言编写两个函数来实现DTFT 和IDTFT 。
实现DTFT 的函数：function[xjw,w]=dtft(x,n,kl,kr,k) %realize dtft sequence x%[xjw,w]=dtft(x,n,kl,kr,k)%x,n:original sequence and its position vector%kl,kr,k:[kl,kr]is fuequency points%xjw,w:dtft of sequence x;w is correspond frequencyfstep=(kr-kl)/k; %计算频率间隔w=[kl:fstep:kr]; %计算频率点xjw=x*(exp(-j*pi).^(n'*w)); %计算x(n)的DTFT实现IDTFT的函数：fuction[x,n]=idtft(xjw,w,nl,nr)%realize idtft for xjw%[x,n]=idtft(xjw,w,nl,nr)%w:frequency with unit pi*/red/s%and w must be interval%nl,nr:[nl,nr]resultant sequence's sample time range%they must be interger%x,n:resultant sequencce and its position vectorn=[nl,nr]; %计算序列的位置向量l=max(w)-min(w); %频率范围dw=(w(2)-w(1))*pi; %相邻频率间隔也是积分步长x=(dw*xjw*(exp(j*pi).^(w'*n)))/(1*pi); %用求和代替积分，求出IDTFT 下面编写调用上面两个函数的M语言程序来计算h(n)的DTFTnh=[0:39];h=sin(0.4*nh)/(0.4*nh); %系统脉冲响应h(1)=1;[hjw,wh]=dtft(h,nh,-2,2,400); %计算系统频率响应subplot(3,1,1);plot(wh,abs(hjw));nx=[0:39];x=cos(0.5*pi*nx+pi/3)+2*sin(0.4*pi*nx); %输入序列x(n)[xjw,wx]=dtft(x,nx,-2,2,400); %x(n)的DTFTsubplot(3,1,2);plot(wx,abs(xjw));yjw=xjw.*hjw;wy=wx;subplot(3,1,3);plot(wy,abs(yjw)); %计算输出序列的DTFT 运行此程序即可得到系统的输出序列的频谱曲线进一步，通过调用idft函数来求输出序列；同时还可以利用卷积的概念求出输出序列。
离散系统的频率响应分析
离散系统的频率响应分析实验课程：数字信号处理实验内容：实验4离散系统的频率响应分析和零、极点分布院（系则）：计算机学院专业：通信工程班级：111班2021年6月7日一、实验目的：增进对离散系统的频率响应分析和零、极点原产的概念认知。
二、实验原理：离散系统的时域方程为y(n-k)=∑pkx(n-k)其变换域分析方法如下：时频域变换y[n]=x[n]*h[n]=系统的频率响应为jωjωjωx[m]h[n-m]⇔y(e)=x(e)h(e)∑p(ejω)p0+p1e-jω+...+pme-jmωh(e)==jωd(e)d0+d1e-jω+...+dne-jnω时域z域变换y[n]=x[n]*h[n]=系统的转移函数为∑x[m]h[n-m]⇔y(z)=x(z)h(z)p(z)p0+p1z-1+...+pmz-mh(z)==d(z)d0+d1z-1+...+dnz-nh(z)=∑pkz∑dkz(1-ξz)∏i-1(1-λz)∏ii=1i=1nξλi上式中的和i称为零、极点。
在matlab中，可以用函数[z，p，k]=tf2zp（num，den）求出有理分式形式的系统迁移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘制零、极点分布图；也可以用函数zplane （num，den）轻易绘制有理分式形式的系统迁移函数的零、极点分布图。
另外，在matlab中，可以用函数[r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，k）完成将高阶系统分解为2阶系统的级联。
三、实验内容及步骤：实验内容：求系统0.0528+0.0797z-1+0.1295z-2+0.1295z-3+0.797z-4+0.0528z-5h(z)=1-1.8107z-1+2.4947z-2-1.8801z-3+0.9537z-4-0.2336z-5的零、极点和幅度频率响应。
程序代码:num=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];freqz(num,den);%0~π中抽样，抽样点缺省（512点）ζnum=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];w=[0pi/8pi/4pi*3/8pi/2pi*5/8pi*3/4];%自己定8个点θh=freqz(num,den,w);subplot(2,2,1);stem(w/pi,abs(h));title('幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');[h,w]=freqz(num,den,8);%系统在0~π之间均分8份，与“θ”处效果一样wsubplot(2,2,2);stem(w/pi,abs(h));title('幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');h=freqz(num,den);%系统在0~π之间均分512份，与“ζ”处效果一样subplot(2,2,3);z=10*log(abs(h))plot(z);%与“ζ”处幅度五音效果一样title('分贝幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');num=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];[z,p,k]=tf2zp(num,den);%谋零极点z%零点p%极点subplot(2,2,4);zplane(z,p);%zplane(num,den)也可以[sos,g]=zp2sos(z,p,k);%二阶系统分解sosg [r,p,k]=residuez(num,den);%部分分式进行rp四、实验总结与分析：本次实验晓得了函数zplane()、freqz()、angle()的用法，原来就是绘制零极点图形和排序数字滤波器h(z)的频率响应以及谋复数的相角。
离散系统的系统函数,系统的频率响应.ppt
k 1
令 cm e j cm me jm
dk e j dk lke jk
则频率响应的
M
m
幅度：
H (e j ) K
m1 N
lk
幅角：
k 1
M
N
arg[H (e j )] arg[K ] m k (N M )
m1
k 1
• 零点位置影响凹谷点的位置与深度
• 零点在单位圆上，谷点为零 • 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零
零点：zi
ae
j
2 M
i，i
1, 2,..., M
1
极点：z 0， (M 1)阶，z a处零极点相消
当输入为 (n)，则输出为h(n)
an 0 n M 1
h(n)
0
其它n
5、IIR系统和FIR系统
无限长单位冲激响应（IIR）系统： 单位冲激响应h(n)是无限长序列
有限长单位冲激响应（FIR）系统： 单位冲激响应h(n)是有限长序列
M 1
aM 1x(n M 1) ak x(n k )
k 0
这就是M 1个单元延时及M 个抽头加权后
相加所组成的电路，常称之为横向滤波器，
求其频率响应。
解：令x(n) (n)，两边取z变换
M 1
H(z) akzk
k 0
1
aM zM 1 az1
zM aM zM 1(z a)
z 0
H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内
例：一系统的极点有：
0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j /6 , 2e j /6 , 1.5 问什么情况下，系统为因果系统，
系统频率响应
典型环节的Bode图
绘制系统的bode图的步骤：
25
频率特性指标与时间响应的关系
如图4.31所示，在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量 或频域性能指标有 A(0)、wm、wr（Mr）、wb。
1．零频幅值 A(0 ) 零频幅值A(0 )表示当频率ω
接近于零时，闭环系统稳态输出 的幅值与输入幅值之比。
频率特性概述
一、频率响应与频率特性 1、频率响应
线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应。
(部分分式处理)
2
2. 根据频率响应的概念，可以定义系念，还可以求出系统的谐波输入 作用下的稳态响应为
3
稳定的线性定常系统在正弦激励下的稳态输出仍然为同频
在频率极低时，对单位反馈系统而言，若输出幅值能完全准确地 反映输入幅值，则A(0)=1。 A(0)越接近于1，系统的稳态误差越 小。所以A(0)的数值与1相差的大小，反映了系统的稳态精度。
26
2．复现频率ωM与复现带宽0 ~ ωM
若事先规定一个Δ作为反映低 频输入信号的容许误差，那么， ωM就是幅频特性值与A(0 )的差第 一次达到Δ时的频率值，称为复现 频率。当频率超过ωM，输出就不 能“复现”输入，所以，0 ~ ωM表 征复现低频输入信号的频带宽度， 称为复现带宽。
一般规定幅频特性A(ω )的数值由零 频幅值下降到3dB时的频率，亦即A(w)由 A(0)下降到 0.707 A(0)时的频率称为截止 频率。
频率0～ωb的范围称为系统的截止带 宽或带宽。它表示超过此频率后，输出 就急剧衰减，跟不上输入，形成系统响 应的截止状态。带宽表征系统容许工作 的最高频率范围，也反映系统的快速性， 带宽越大，响应快速性越好。
G( j) G(s) s j
离散系统的频率响应分析和零极点分布
离散系统的频率响应分析和零极点分布离散系统的幅频响应描述了系统对不同频率信号的放大或压缩能力。
幅频响应一般用幅度响应曲线表示，即以输入信号频率为横轴，以输出信号幅度为纵轴绘制的曲线。
幅频响应曲线可以展示离散系统的增益特性，即在不同频率下系统对信号的放大或压缩程度。
幅频响应曲线上的波动和变化可以反映系统对不同频率信号的响应情况。
离散系统的相频响应描述了系统对不同频率信号的相位差。
相频响应也是以输入信号频率为横轴，以输出信号相位为纵轴绘制的曲线。
相频响应可以展示离散系统对不同频率信号的相位延迟或提前情况，即输入信号和输出信号之间的相位差。
相频响应的变化可以反映系统对不同频率信号相位的变化情况。
在频率响应分析中，零极点分布也是非常重要的。
零点是指离散系统传递函数的分子多项式为零的根，极点是指传递函数的分母多项式为零的根。
零极点的分布对离散系统的频率响应和系统特性有着重要的影响。
具体来说，零点会在幅频响应曲线上产生波动或峰值，影响系统的放大或压缩程度。
零点的频率越高，波动或峰值的位置越靠近高频，反之亦然。
而极点会导致幅频响应曲线的趋势变化，影响系统的稳定性和阻尼特性。
极点越接近单位圆，系统越不稳定；极点越远离单位圆，系统越稳定。
相频响应同样受到零点和极点的影响。
零点的频率越高，在相频响应曲线上引起的相位变化越明显。
而极点的频率越接近单位圆，相频响应曲线呈现明显的相位延迟。
极点越远离单位圆，相频响应曲线呈现相位提前的情况。
因此，频率响应分析和零极点分布是研究离散系统特性的重要方法。
通过频率响应分析和零极点分布，我们可以了解离散系统对不同频率输入信号的响应情况、系统的稳定性特点以及系统的放大和压缩能力。
这对于离散系统的设计、控制和优化都有着重要的指导意义。
离散系统的频率响应
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第
S平面与Z平面的映射关系
j
p1 z1
jIm[ z ]
1r
z1
r
p1
0
p2 z2
0
p2
Re[ z ]
z2
S平面全通系统的 零极点图
Z平面全通系统的 零极点图
电信学院
第八章第5讲
5
全通滤波器的零极点分布
设连续系统的极点 p1,2 j ，零点 z1,2 j
1 a 1 z 1 z 1 a z 1/ a (2)由 H ( z ) 1 1 a z za za za
1 k 1 h(k ) a (k ) (a) (k 1) a
k
故可知该系统为因果系统。
电信学院
第八章第5讲
9
例 8.29
(3)证明该系统为一个全通系统。
Im[ z ]
2
( )
Re[z ]
0
2
电信学院
第八章第5讲
14
例 8.30
考虑下列系统的系统函数
(1 H 3 ( z) (z
1 2
z )(1 1 z) 4 1 1 ) ( z ) 3 5
4 2
Im[ z ]
( )
Re[z ]
0
2
补充例题
求离散系统的频率特性，系统函数为 H ( z ) 解：极点：p1=-0.5，零点：z1= 0
| H (e j ) |
z z 0.5
Im[ z ]
2
23
0
( )
2
离散时间系统的频率响应特性
差分方程的Z 域解序言描述离散时间系统的数学模型为差分方程。
求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：• 时域方法——第七章中介绍，烦琐 • z 变换方法• 差分方程经z 变换→代数方程； • 可以将时域卷积→频域（z 域）乘积； • 部分分式分解后将求解过程变为查表；• 求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。
一．应用z 变换求解差分方程步骤一．步骤(1)对差分方程进行单边z 变换（移位性质 ）；(2)由z 变换方程求出响应Y (z ) ； (3) 求Y (z ) 的反变换，得到y (n ) 。
例8-7-1(原教材例7-10(2))解：方程两端取z 变换()0.9(1)0.05()(1)1,y n y n u n y --=-=已知系统的差分方程表达式为若边界条件求系统的完全响应。
()()()10.910.051zY z z Y z y z -⎡⎤-+-=⎣⎦-例8-7-2 已知系统框图列出系统的差分方程。
求系统的响应 y (n )。
解：（1） 列差分方程，从加法器入手（2）（3）差分方程两端取z 变换，利用右移位性质()()()()20.910.0510.90.9y z z Y z z z z -=+---()1210.9Y z A z A zz z z =+--()1210.9Y z A z A z zz z =+--120.5 0.45A A ==()0.50.4510.9Y z z z z z z =+--()()()0.50.450.9 0n y n n =+⨯≥()()()()⎩⎨⎧==<≥-=010,0002y y n n n x n ()()()()()13122x n x n y n y n y n +-----=()()()()()12213 -+=-+-+n x n x n y n y n y 所以()()151,224y y -=--=()()()()1,2,1,0z y y y y --用变换求解需要用由方程迭代出()()()()()()12131212Y z z Y z y z Y z z y y ---⎡⎤⎡⎤++-++-+-⎣⎦⎣⎦a.由激励引起的零状态响应即零状态响应为b.由储能引起的零输入响应即零输入响应为c.整理（1）式得全响应注意()()()1 01221=-+++=-x z z z z z ()[]2123121zs ++=++--z z zz z Y ()()2zs 22z Y z z =+()()()()()n u n n y z Y n21zs zs-+=↔2n ≥-（对都成立）()[]()()()221312231121zi ------=++---y y y z z z z Y ()()()()1223121zi +++-=++--=z zz z z z z z z Y ()()()()1223zi zi ≥-+--=↔n n y z Y nn()()()()22112221212+++++=++=z B z B z A z z z z Y ()()()()222122d d !121221-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅-=z z z z z B ()()2222212 +-++-++=z z z z z Y 所以()()2222212+-+-+=z zz z z z z Y ()()()()()0 22212≥-+---=n n n y n n n 122,2A B ==-()()()2212zY z z z =++2(),2()n azna u n a z a ↔=--验证 由方程解y (n )表达式可以得出y (0)=0, y (1)=0，和已知条件一致。
离散系统的系统函数和频率响应
i
p2
p1 p3 Re[z]
⇔ cau sality
p2
Im[z]
p1
| z |< m | pi | ⇔anti - causality in
i
p3
因果、稳定系统： 因果、稳定系统：
H（z）的收敛域为： （ ）的收敛域为：
ρ ≤| z |≤ ∞
包含单位圆且 （ROC包含单位圆且极点均在单位圆内） 包含单位圆 极点均在单位圆内）
离散系统的系统函数和频率响应 系统函数： 系统函数： H(z) = FT[h(n)] = Y(z) X (z)
频率响应： 频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数 传输函数) 单位圆上的系统函数 传输函数
jω
H(e ) = H(z) |z=e jω
jω
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 稳定性： 稳定性：
G = (1− R) 1− 2Rcos(2ω0) + R
2
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
|H(e jω)|²
1 1/2
∆ω
ω
0
ω0
π/2
陷波器
梳状滤波器
• Notch and Comb Filters
e
pole
jω
1
|H(ω)|²
unit circle
zero
2、利用零极点分布确定系统的频率特性： 、利用零极点分布确定系统的频率特性：
Y(z) H(z) = = X (z)
M
bi z−i ∑ ai z−i ∑
离散系统的系统函数和频率响应-PPT课件
离散系统的系统函数和频率响应
Y ( z ) 系统函数： H ( z ) FT [ h ( n )] X ( z )
频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数)
零点矢量
H (e ) Ae
j
j(N M)
(e (e
r 1 r 1 N
M
相量相减的 矢量几何表 示法:从Cr 单位圆上的 e^jw
j
c r) dr )
极点矢量
j
位于原点的零极点不影响 | H(e ) | 只影响 ( )
j
H (e ) A
j
cB
r r 1 N r
j
H ( e) H ( z ) | j z e
j
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 稳定性：
n
|h(n) |
n
n
| h ( n ) z
| , z 1
（稳定的系统收敛域包括单位圆）
离散系统稳定的充分必要条件是： The ROC of H(z) contain the unit circle(单位圆)
block-diagram realization sample processing
e
filter design specifications
2.7 Pole/Zero Designs
设某一离散因果稳定系统有一对共轭复数极点。
p 1 R e
z-plane
j 0
p 2 R e
离散系统的频率响应及DFT
实验二 离散系统的频率响应及DFT实验目的：1. 运用MATLAB 计算离散时间系统的频率响应。
2. 运用MATLAB 计算有限长序列的离散傅立叶变换。
3. 运用MATLAB 熟悉离散傅立叶变换的圆周移位和对称性质。
实验内容：一、计算离散时间系统的DTFT已知一个离散时间系统∑∑==−=−Mk k N k k k n x b k n y a 00)()(，可以用MATLAB 函数frequz 非常方便地在给定的L 个离散频率点l ωω=处进行计算。
由于)(ωj e H 是ω的连续函数，需要尽可能大地选取L 的值（因为严格说，在MATLAB 中不使用symbolic 工具箱是不能分析模拟信号的，但是当采样时间间隔充分小的时候，可产生平滑的图形），以使得命令plot 产生的图形和真实离散时间傅立叶变换的图形尽可能一致。
在MATLAB 中，freqz 计算出序列{M b b b ,,,10L }和{N a a a ,,,10L }的L 点离散傅立叶变换，然后对其离散傅立叶变换值相除得到L l e H l j ,,2,1),(L =ω。
为了更加方便快速地运算，应将L 的值选为2的幂，如256或者512。
实验程序2.1：运用MATLAB 画出以下系统的频率响应。
y(n)-0.6y(n-1)=2x(n)+x(n-1)程序：clf;w=-4*pi:8*pi/511:4*pi;num=[2 1];den=[1 -0.6];h=freqz(num,den,w);subplot(2,1,1)plot(w/pi,real(h));gridtitle(‘H(e^{j\omega}的实部’))xlabel(‘\omega/ \pi’);ylabel(‘振幅’)；subplot(2,1,1)plot(w/pi,imag(h));gridtitle(‘H(e^{j\omega}的虚部’))xlabel(‘\omega/ \pi’);ylabel(‘振幅’)；运行程序2.1 ,并显示图形。
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（4）序列的线性加权
若： DTFT[x(n)] X (e j )
则：
DTFT[nx(n)]
j[
d
d
X (e j )]
时域的线性加权对应频域微分
（5）序列的反褶 若： DTFT[x(n)] X (e j )
2. 序列的傅立叶变换与Z变换的关系
X (z) x(n)z n n X (e jT ) X (z) ze jT x(n)e jnT n
因此，单位圆上的序列的Z变换为序列的傅立叶变换。
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（2）序列的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[x(n n0 )] e jn0 X (e j )
时域位移对应频域相移
（3）频域的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[e jn0 x(n)] X (e j( 0 ) )
(7)时域卷积定理 若： DTFT[x(n)] X (e j )
DTFT[h(n)] H (e j )
时域卷积对应频域相乘。
则： DTFT[x(n) * h(n)] X (e j )H (e j )
(8)频域卷积定理 若： X (e j ) DTFT[x(n)]
H (e j ) DTFT[h(n)]
§8.9 序列的傅立叶变换(DTFT)
(一) 序列的傅立叶变换
1. 定义
X
(e
jT
)
x(n)e jnT
n
x(n)
1
2
T
X (e jT )e jnT d
T
T
式中，T为抽样间隔，为数字角频率。
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则： DTFT [ x ( n )] X ( e j )
时域的反褶对应频域反褶
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(6)奇偶虚实性： Re[X(ej)]Re[X(ej)] ImX[ (ej)]ImX[ (ej)]
X (e j ) X (e j )
为了研究离散线性移不变系统对输入频谱的处理作用 ，有必要研究离散线性移不变系统对复指数或正弦序 列的稳态响应，
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设输入序列是频率为的复指数序列，即
x(n)= ejTn 单位函数响应为h(n)
则离散系统的零状态响应为：
( ) ( )
X (e j ) X * (e j )
复函数 X (e j ) 的实部为偶函数，虚部为奇函数， 模为偶函数，幅角为奇函数。
X (e j ) 与 X (e j ) 共轭
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因为h(n)是实序列，故H(ejT)满足共轭对称条件，即
H(ejT)= H*(e-jT)
也就是H(ejT)的幅度为偶对称，
H(ejT)= H(e-jT)
相角为奇对称
arg[H(ejT)] =-arg[H(e-jT)]
因为ejT 是周期函数，所以H(ejT)是周期函数，周 期为2/T。
yzs (n) h(n) * x(n) h(k )e jT (nk ) k
e jTn h(k )e jTk e jTn H (e jT ) k 信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
其中， H (e j T )
（1）线性：
若： 则：
DTFT[x1 (n)] X1 (e j ) DTFT[x2 (n)] X 2 (e j )
DTFT[ax1 (n) bx2 (n)] aX1 (e j ) bX 2 (e j )
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3.逆变换
x(n)
1
2j
X (z)z n1dz
z 1
1 2j
X (e j )e jn e j d (e j )
z 1
1 2
X (e j )e jn d
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DTFT的基本性质
序列的傅里叶变换也称为离散时间傅里叶变换
DTFT(Discrete Time Fourier Transform)
n
DTFT[x(n)] X (e j ) x(n)e jn
n
IDTFT[ X (e
j
)]
x(n)
1
2
X (e
j
)e
jn d
DTFT的基本性质：
则：
1
2
[
X(e
j
)*H(e
j
)]
1
2
X(ej )H[ej()]d
DTFT[x(n)h(n)]
时域相乘对应频域卷积。
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8.10离散系统的频率响应特性
1.单位圆上（z=ejT）的系统函数就是离散系统的频 率特性 2.离散系统的频率响应的意义
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h ( n )e j Tn
n
H(ejT)是h(n)的傅立叶变换，被称为系统的频率响
应。它描述了复指数序列通过线性移不变系统后，
复振幅（包括幅度和相位）的变化。
H(ejT)的性质： h(n)绝对可和，则系统稳定，同时也意味着系统的 频率特性H(ejT)存在且连续。
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