中山市高一级2016-2017第二学期期末考试数学
2016-2017学年广东省中山市高一下学期期末统一考试数学试题(解析版)
2016-2017学年广东省中山市高一下学期期末统一考试数学试题一、选择题1．与向量=（12，5）垂直的单位向量为（ ）A. （，）B. （-，-）C. （，）或（，-）D. （±，）【答案】C【解析】设与向量=（12，5）垂直的单位向量=（x ，y ）则由此易得：=（，）或（，-）.点睛：单位向量是长度为1的向量，不唯一.如果把这些单位向量的起点放到一起，那么它们的终点落在同一个单位圆上.与向量垂直的单位向量是两个，并且二者互为相反向量，注意向量是有方向的.2．执行下面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x 、y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x = 【答案】C【解析】试题分析：运行程序，0,1x y ==，判断否，12,,22n x y ===，判断否，33,,62n x y ===，判断是，输出3,62x y ==，满足4y x =. 【考点】程序框图.3．α是第四象限角，5tan12α=-，则sinα=( )A．15B．15- C．513D．513-【答案】D【解析】试题分析：5sin5tan12cos12ααα=-∴=-，又因为22sin cos1αα+=，两式联立可得5sin13α=±，又α是第四象限角，所以5sin13α=-【考点】同角的基本关系．4．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人．现要从中抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用简单随机抽样和系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270.如果抽得的号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.则关于上述样本的下列结论中，正确的是()A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样【答案】D【解析】因为③可能为系统抽样，所以答案A不对；因为②为分层抽样，所以答案B 不对；因为④不为系统抽样，所以答案C不对．故选D.5．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足，则( )A. 1：3B. 3：1C. 1：2D. 2：1【答案】D【解析】，得，得．故选D.6．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】甲的平均数甲= （5+6+8+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+43）=，乙的平均数乙= （10+12+18+20+22+23+23+27+31+32+34+34+38+42+43+48）=，所以．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙，故选：B．7．函数的部分图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设,则,为奇函数;又时,此时图象应在x轴的下方故应选D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．8．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos2y x =的图象 （ ） A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度【答案】B【解析】因cos2sin 2sin224y x x x ππ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故向右平移3π个单位长度即可得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故选B. 9．函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由得：，由得，，∴函数的单调递增区间是，故选C.10．在中，，则的形状一定是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：因,故一定是直角三角形，所以应选C.【考点】平面向量的几何运算与数量积公式．11．已知锐角三角形的两个内角A,B 满足，则有( )A. B.C. D.【答案】A【解析】∵∴左边==右边=即：cos2A•cosB+sin2A•sinB=cos（2A﹣B）=0又三角形为锐角三角形，得2A﹣B=90度sin2A=sin（B+90°）=cosB，从而：sin2A﹣cosB=0，故选A12．已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值是（）A. B. C. 或 D. 无法确定【答案】C【解析】由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x），即sin（﹣ωx+）=sin（ωx+），所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．依题设0＜φ＜π，所以解得φ=，由f（x）的图象关于点M对称，得f（﹣x）=﹣f（+x），取x=0，得f（）=sin（+）=cos，∴f（）=sin（+）=cos，∴cos=0，又ω＞0，得=+kπ，k=1，2，3，∴ω=（2k+1），k=0，1，2，当k=0时，ω=，f（x）=sin（x+）在[0，]上是减函数，满足题意；当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；当k=2时，ω=，f（x）=（x+）在[0，]上不是单调函数；所以，综合得ω=或2．故选C．点睛：已知函数上的偶函数，则x=0对应函数的最值，由此得到φ=图象又关于点对称，则x=对应函数的值为0，由此得到ω=（2k+1）；函数在区间上是单调函数，可以对满足ω=（2k+1）的值逐一进行验证，得到答案.二、填空题13．已知则＋=____【答案】【解析】＋= =故答案为：.14．已知，用秦九韶算法求这个多项式当的值时，＝________【答案】8【解析】由秦九韶算法计算多项式f（x）=4x5﹣12x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x﹣0.8=（（（（4x﹣12）x+3.5）x﹣2.6）x+1.7）x﹣0.8，v0=4，v1=4×5﹣12=8，故答案为：8.15．直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是______【答案】【解析】作直线与曲线的图象如下,，直线m的斜率,直线n的斜率k=0,结合图象可以知道,k的取值范围是.故答案是:.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16．已知圆直线，圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为________．【答案】【解析】试题分析：圆心到直线的距离为，那么与直线距离为2且与圆相交的直线的方程为，设与圆相交于点，则，因此，所求概率为.【考点】几何概型.三、解答题17．求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】(1)4;(2) .【解析】试题分析：（1）遇分式一般通分，分子利用两角和余弦公式合一，分母利用二倍角正弦公式化简，进而得答案；（2）关键部分，然后整理得答案.试题解析（1）原式=（2）原式====点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.18．为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），已知图中从左到右前三个小组的频率分别时0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.（1）求第四小组的频率？（2）问参加这次测试的学生人数是多少？（3）问在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？【答案】(1)0.2;(2)50;(3) 第三小组.【解析】试题分析：（1）由已知中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，结合四组频率和为1，即可得到第四小组的频率；（2）由已知中第一小组的频数为5及第一组频率为0.1，代入样本容量=，即可得到参加这次测试的学生人数；（3）由（2）的结论，我们可以求出第一、第二、第三、第四小组的频数，再结合中位数的定义，即可得到答案．试题解析：（1）第四小组的频率＝1-（0.1+0.3+0.4）＝0.2（2）n＝第一小组的频数÷第一小组的频率＝5÷0.1＝50（3）因为0.1×50＝5，0.3×50＝15，0.4×50＝20，0.2×50＝10，所以第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5，15，20，10.所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组.19．已知，，向量，的夹角为,点C在AB上，且.设，求的值.【答案】，，.【解析】试题分析：对向量进行正交分解，结合直角三角形的几何性质，即可得到答案.试题解析：解法一：∵ 向量，的夹角为，，，∴ 在直角三角形中，又∵，则∽∽，∴、都是直角三角形，则，过作交于，过作交于，则，，，，∴∴，，解法二提示：在方程两边同乘以向量、得到两个关于、的方程组，解方程组可得，，20．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位:cm），获得身高数据的茎叶图如下图.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.【答案】（Ⅰ）乙班平均身高高于甲班（Ⅱ）身高为176cm的同学被抽中的概率为2/5【解析】试题分析：本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答试题解析：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于之间，因此乙班平均身高高于甲班.（2）甲班的样本方差为（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）,（181，176）（181，178）,（181，179）,（179，173）,（179，176）,（179，178）,（178，173）（178, 176）,（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；.【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；等可能事件的概率21．已知：以点()为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程.【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）设出圆C的方程，求得A、B的坐标，再根据S△AOB=OA•OB，计算可得结论．（2）设MN的中点为H，则CH⊥MN，根据C、H、O三点共线，K MN=﹣2，由直线OC的斜率，求得t的值，可得所求的圆C的方程．试题解析：（1），．设圆的方程是令，得；令，得，即：的面积为定值．（2）垂直平分线段．，直线的方程是．，解得：当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离，圆与直线相交于两点．当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意舍去．圆的方程为．22．已知（其中），函数，（1）若直线是函数图象的一条对称轴，先列表再作出函数在区间上的图象．（2）求函数，的值域.【答案】(1)详见解析;(2) 当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为.【解析】试题分析：（1）由直线是函数图象的一条对称轴，得到，然后五点法作图；（2）对合理分类讨论，得到函数的值域.试题解析：（1）直线为对称轴， ，，函数f （x ）在的图象如图所示。
广东省中山市2016-2017学年高二下期末统一考试数学(文)试题(有答案)AKwAUq
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为抛物线x2=4y，所以p=2，所以抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．故选D．2. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.3. 命题“R，”的否定为A. R，B. R，C. R，D. R，【答案】D【解析】“R，”的否定为R，,故选D.4. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18总计20 10 30附表：P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算的观测值为10，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B.考点：命题的否定.6. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞）．令y′=2x﹣= ，解得，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为64，则判断框内应填入的条件是A. B. C. D ．【答案】A【解析】由题意得，模拟执行程序框图，可得：，满足条件，；满足条件，；满足条件，；满足条件，；由题意，此时应不满足套件，推出循环，输出的值为，结合选项可得判断框内填入的条件可以是，故选A.8. 已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A. B. 3 C. D.【答案】A【解析】双曲线的a= ，b= ，c= ，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=x，则F到渐近线的距离为d==，故选A．9. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意，故选：B．10. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则9117用算筹可表示为A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由定义知: 千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A考点：新定义11. 设，分别为双曲线：的左右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心,为半径圆上,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y= x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，即c=2a，e=2．故答案为：C ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：，如果把这个数列排成如图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为A. 1200B. 1280C. 3528D. 3612【答案】D【解析】由题意，则A（10，4）为数列{a n}的第92+4=85项，∴A（10，4）的值为=3612，故选D ．点睛：本题取材于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，明确对应数列中的第几项，然后根据求出此项即可.本题的关键是正确理解树形图，明确项数.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13. 一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，则t=2时的瞬时速度为_________.【答案】13【解析】s=3t2+t的导函数s′=6t+1，∴s′（2）=6×2+1=13∴t=2时的瞬时速度为13故答案为1314. 已知是函数的一个极值点，则实数____________【答案】12【解析】f′（x）= +2x﹣10（x＞0）．∵x=3是函数f（x）=alnx+x2﹣10x的一个极值点，∴f′（3）= +6﹣10=0，解得a=12．∴f′（x）=∴0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，3＞x＞2时，f′（x）＜0，∴x=3是函数f（x）=12lnx+x2﹣10x的一个极小值点，故答案为：12．15. 双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________.【答案】42【解析】双曲线的a=8，b=6，则c=10，设P到它的上焦点F的距离等于3，由于3＞c﹣a=2，3＜c+a=18，则P为上支上一点，则由双曲线的定义可得PF'﹣PF=2a=16，（F'为下焦点）．则有PF'=19．则点P与两个焦点所构成三角形的周长为PF+PF'+FF'=3+19+20=42．故答案为42．16. 已知函数，如果对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】求导函数，可得g′（x）= ﹣2= ，x∈[，2]，g′（x）＜0，∴g（x）min=g（2）=ln2﹣4，∵f（x）=2x+a，∴f（x）在[，2]上单调递增，∴f（x）max=f（2）=4+a，∵如果存在，使得对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，∴4+a≤ln2﹣4，∴a≤故答案为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：①根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；②若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;③若恒成立，可转化为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. 已知复数()，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）化为标准形式，根据纯虚数概念确定复数z；（2）先化简，然后求模即可.试题解析：(1)∵为纯虚数，∴∴，所以(2),∴.点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：①复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．②复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．③利用复数相等求参数．．18. 已知，设：实数满足，：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）为真时实数的取值范围是，为真时实数x的取值范围是，然后求交集即可；（2）是的充分不必要条件即即是的充分不必要条件，易得：且. 试题解析：（1）由得当时，，即为真时实数的取值范围是.由，得，即为真时实数x的取值范围是因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是.（2）由得，所以，为真时实数的取值范围是.因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件所以且所以实数的取值范围为：.19. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度20 22 24 26 28 30 32 产卵数个 6 10 21 24 64 113 322400 484 576 676 784 900 10241.792.303.04 3.184.16 4.735.7726 692 80 3.571157.54 0.43 0.32 0.00012其中，，，，附：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.【答案】(1)详见解析;(2)模型②的拟合效果更好.【解析】试题分析：（1）利用表中数据，建立两个模型下关于的回归方程；（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.试题解析：（1）对于模型①：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为对于模型②：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.点睛：求解回归方程问题的三个易误点：①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(， )点，可能所有的样本数据点都不在直线上．③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．20. 已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离心率为，且满足，其中为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据，解得c值，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）联立l与椭圆C的方程，得,得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积求最值即可.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| =．所以，其中，又，联立解得，．所以椭圆C的方程是．（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形．当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为．联立l与椭圆C的方程，消去y，得．于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．设点，．由根与系数的关系得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积．，那么，当且仅当t = 3时取等．所以△OMN面积的最大值是．点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 设函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调区间（其中为自然对数的底数）；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1) 的单调减区间为,单调增区间为;(2) .【解析】试题分析：（1）由，解不等式得到单调区间；（2）根据题意，构造，在上单调递减，转化为恒成立问题，求得k的取值范围.试题解析：（1）由，知，且，……1分因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，所以，得，所以，令，得，在上单调递减；令，得，在上单调递增，综上，的单调减区间为,单调增区间为.（2）因为，恒成立，则有，对恒成立，令，则在上单调递减，所以在上恒成立，所以恒成立，令，则.所以的取值范围是.点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了化归转化的思想，属于难题.不等式恒成立，可以变量集中后构造新函数ｇ（ｘ），则此函数在上单调递减，进而转化为在上恒成立，最终变量分离求最值即可．....................................22. 对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.（1）试给出这个常数的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题：“存在一个常数，使得不等式对任意正数，，恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，相关的命题．【答案】(1);(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】试题分析：（1）取特值，定常数的值；（2）利用分析法证明命题P;(3).猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立.试题解析：（1）令得：，故；（2）先证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.再证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.（3）猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立.。
【全国市级联考】广东省中山市2016-2017学年高二下学期期末统一考试数学(理)试题
绝密★启用前【全国市级联考】广东省中山市2016-2017学年高二下学期期末统一考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：120分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若复数满足，则A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，故选C.2、设随机变量X ～B (8，p )，且D (X )＝1.28，则概率p 的值是 A ．0.2 B ．0.8 C ．0.2或0.8 D ．0.16【答案】C【解析】∵随机变量X ～B （8，p ），且D （X ）=1.28， ∴8p （1-p ）=1.28， ∴p =0.2或0.8 故选：C试卷第2页，共18页3、某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀 16 2 18 总计 20 10 30 附表： P (K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.072 2.706 3.841 5.0246.6357.87910.828经计算的观测值为10，则下列选项正确的是()A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．4、用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A．假设都是偶数； B．假设都不是偶数C．假设至多有一个偶数 D．假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B.考点：命题的否定.5、函数的单调递减区间是A． B．C．， D．【答案】A试卷第4页，共18页【解析】函数y=x 2﹣lnx 的定义域为（0，+∞）． 令y′=2x ﹣=，解得， ∴函数y=x 2﹣lnx 的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法 方法一(1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 方法二(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； (3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 6、已知X 的分布列为 X －1 0 1 P设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为 A. B. 4 C. －1 D. 1【答案】A【解析】由条件中所给的随机变量的分布列可知 EX=﹣1×+0×+1×=﹣， ∵E （2X+3）=2E （X ）+3，∴E （2X+3）=2×（﹣）+3= ．故答案为：A ．7、从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4)， ∴p(A)= ，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4),∴P(AB)= ∴.本题选择B 选项.8、在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布 N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413【答案】B【解析】正态分布的图象如下图：试卷第6页，共18页正态分布N （﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P （μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P （μ﹣σ＜X≤μ+σ）]= ×（0.9544﹣0.6826）=0.1359； 即阴影部分的面积为0.1359； 所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359． 故选B ．点睛：正态曲线的性质：（1）曲线在轴的上方，与轴不相交 . （2）曲线是单峰的，它关于直线=μ对称 （由得）（3）曲线在=μ处达到峰值（4）曲线与轴之间的面积为19、下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是 x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t 的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B 【解析】由题意，故选：B ．10、将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是 A ．150 B ．210 C ．240 D ．300【答案】A【解析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种， 分成1、1、3时，有C 53•A 33=60种分法， 分成2、2、1时，根据分组公式90种分法，所以共有60+90=150种分法， 故选A ．点睛：一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
中山市2016-2017年高二下期末统一考试数学试题(文)含答案
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为抛物线2=4y，所以p=2，所以抛物线2=4y的焦点坐标为（0，1）．故选D．2. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.3. 命题“R，”的否定为A. R ，B. R ，C.R ，D.R ，【答案】D 【解析】“R ，”的否定为R ，,故选D.4. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算的观测值为10，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A【解析】因为7.879＜2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响． 故选：A ．5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B.考点：命题的否定.6. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=2﹣ln的定义域为（0，+∞）．令y′=2﹣= ，解得，∴函数y=2﹣ln的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f()的定义域；(2)求导数y′＝f′()；(3)解不等式f′()>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′()<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f()的定义域；(2)求导数y′＝f′()，令f′()＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f()的间断点(即f()的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起，然后用这些点把函数f()的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′()在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为64，则判断框内应填入的条件是A. B. C. D ．【答案】A【解析】由题意得，模拟执行程序框图，可得：，满足条件，；满足条件，；满足条件，；满足条件，；由题意，此时应不满足套件，推出循环，输出的值为，结合选项可得判断框内填入的条件可以是，故选A.8. 已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A. B. 3 C. D.【答案】A【解析】双曲线的a= ，b= ，c= ，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=，则F到渐近线的距离为d==，故选A．9. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于的线性回归方程为＝0.7＋0.35，则下列结论错误的是A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意，故选：B．10. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则9117 用算筹可表示为A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由定义知千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A考点：新定义11. 设，分别为双曲线：的左右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心,为半径圆上,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y= ，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，即c=2a，e=2．故答案为：C ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 大衍数列，于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：，如果把这个数列排成如图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为A. 1200B. 1280C. 3528D. 3612【答案】D【解析】由题意，则A（10，4）为数列{a n}的第92+4=85项，∴A（10，4）的值为=3612，故选D ．点睛：本题取材于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，明确对应数列中的第几项，然后根据求出此项即可.本题的关键是正确理解树形图，明确项数.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13. 一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，则t=2时的瞬时速度为_________.【答案】13【解析】s=3t2+t的导函数s′=6t+1，∴s′（2）=6×2+1=13∴t=2时的瞬时速度为13故答案为1314. 已知是函数的一个极值点，则实数____________ 【答案】12【解析】f′（）= +2﹣10（＞0）．∵=3是函数f（）=aln+2﹣10的一个极值点，∴f′（3）= +6﹣10=0，解得a=12．∴f′（）=∴0＜＜2或＞3时，f′（）＞0，3＞＞2时，f′（）＜0，∴=3是函数f（）=12ln+2﹣10的一个极小值点，故答案为：12．15. 双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________.【答案】42【解析】双曲线的a=8，b=6，则c=10，设P到它的上焦点F的距离等于3，由于3＞c﹣a=2，3＜c+a=18，则P为上支上一点，则由双曲线的定义可得PF'﹣PF=2a=16，（F'为下焦点）．则有PF'=19．则点P与两个焦点所构成三角形的周长为PF+PF'+FF'=3+19+20=42．故答案为42．16. 已知函数，如果对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】求导函数，可得g′（）= ﹣2= ，∈[，2]，g′（）＜0，∴g（）min=g（2）=ln2﹣4，∵f（）=2+a，∴f（）在[，2]上单调递增，∴f（）ma=f（2）=4+a，∵如果存在，使得对任意的，都有f（1）≤g（2）成立，∴4+a≤ln2﹣4，∴a≤故答案为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：①根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；②若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;③若恒成立，可转化为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. 已知复数()，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）化为标准形式，根据纯虚数概念确定复数；（2）先化简，然后求模即可.试题解析：(1)∵为纯虚数，∴∴，所以(2),∴.点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：①复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．②复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．③利用复数相等求参数．．18. 已知，设：实数满足，：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）为真时实数的取值范围是，为真时实数的取值范围是，然后求交集即可；（2）是的充分不必要条件即即是的充分不必要条件，易得：且.试题解析：（1）由得当时，，即为真时实数的取值范围是.由，得，即为真时实数的取值范围是因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是.（2）由得，所以，为真时实数的取值范围是.因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件所以且所以实数的取值范围为：.19. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数和温度的回归方程建立两个变量之间的关系.温度个其中，，，，附：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.【答案】(1)详见解析;(2) 模型②的拟合效果更好.【解析】试题分析：（1）利用表中数据，建立两个模型下关于的回归方程；（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.试题解析：（1）对于模型①：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为对于模型②：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.点睛：求解回归方程问题的三个易误点：①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．20. 已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离心率为，且满足，其中为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据，解得c值，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）联立l与椭圆C的方程，得,得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积求最值即可.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| =．所以，其中，又，联立解得，．所以椭圆C的方程是．（Ⅱ）由题意直线不能与轴垂直，否则将无法构成三角形．当直线l与轴不垂直时，设其斜率为，那么l的方程为．联立l与椭圆C的方程，消去y，得．于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．设点，．由根与系数的关系得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积．，那么，当且仅当t = 3时取等．所以△OMN面积的最大值是．点睛本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 设函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调区间（其中为自然对数的底数）；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1) 的单调减区间为,单调增区间为;(2) .【解析】试题分析：（1）由，解不等式得到单调区间；（2）根据题意，构造，在上单调递减，转化为恒成立问题，求得的取值范围.试题解析：（1）由，知，且，……1分因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，所以，得，所以，令，得，在上单调递减；令，得，在上单调递增，综上，的单调减区间为,单调增区间为.（2）因为，恒成立，则有，对恒成立，令，则在上单调递减，所以在上恒成立，所以恒成立，令，则.所以的取值范围是.点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了化归转化的思想，属于难题.不等式恒成立，可以变量集中后构造新函数ｇ（ｘ），则此函数在上单调递减，进而转化为在上恒成立，最终变量分离求最值即可．....................................22. 对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.（1）试给出这个常数的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题：“存在一个常数，使得不等式对任意正数，，恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，相关的命题．【答案】(1) ;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】试题分析：（1）取特值，定常数的值；（2）利用分析法证明命题P;(3).猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立.试题解析：（1）令得：，故；（2）先证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.再证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.（3）猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立.。
广东省中山市2016-2017学年高二下学期期末统一考试数
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共4页，22小题， 满分150分． 考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 抛物线214y x =的焦点坐标为 A ．(10)-， B ．(10)，C ．(01)-，D ．(01)，2. 若复数z 满足2z i i z -=-⋅，则z =A ．1i -+B ．1i -C ．1i +D ．1i -- 3. 命题“0x ∃∈R ，20010x x -+≤”的否定为A ． 0x ∃∈R ，20010x x -+≤B ． 0x ∃∈R ，20010x x -+>C ． x ∀∈R ，210x x -+≤D ． x ∀∈R ，210x x -+>4．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算2K 的观测值为10，则下列选项正确的是 ( ) A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A ．假设,,a b c 都是偶数；B ．假设,,a b c 都不是偶数C ．假设,,a b c 至多有一个偶数D ．假设,,a b c 至多有两个偶数 6．函数2()ln f x x x =-的单调递减区间是A. ⎛ ⎝⎦B.⎫+∞⎪⎪⎣⎭C. ,2⎛-∞-⎝⎦，0,2⎛⎝⎦ D.22⎡-⎢⎣⎦7.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为64，则判断框内应填入的条件是A ．3?k ≤B ．3?k <C ．4?k ≤D ．4?k >8. 已知F 为双曲线22:133x y C -=的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为AB ．3C ．D ．69．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是A. B ．t 的值是3.15C ．回归直线一定过(4.5,3.5)D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进 行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位 数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位 用横式表示，以此类推， 例如6613用算筹表示就是： ，则9117用算筹可表示为A.B． C ．D．11. 设1F ，2F 分别为双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心,1OF 为半径圆上,则双曲线的离心率为A ．3BC ．2D12. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，如果把这个数列{}n a 排成如图形状，并记,A m n （）表示第m 行中从左向右第n 个数，则10,4A （）的值为A ．1200B ．1280C ．3528D ． 3612二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上） 13. 一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s =3t 2+t ，则t =2时的瞬时速度为 .14. 已知3x =是函数2ln 10y a x x x =+-的一个极值点，则实数a =15. 双曲线2216436y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于3，那么点P 与两个焦点所构123456789纵式横式成的三角形的周长等于 .16. 已知函数()()2,ln 2f x x a g x x x =+=-，如果对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17. （本小题满分10分）已知复数3z bi =+(b R ∈)，且(13)i z +⋅为纯虚数. （1）求复数z ； （2）若2ziω=+，求复数ω的模.18.（本小题满分12分）已知0>a ，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足2(3)1x -<．（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分12分）为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①212y C x C =+与模型；②34C x C y e +=作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.其中2i i t x =，7117i i t t ==∑，ln i i z y =，7117i i z z ==∑，附：对于一组数据11(,)μν，22(,)μν，……(,)n n μν，其回归直线v βμα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii μμννβμμ==--=-∑∑，ανβμ=-（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30C时的产卵数.（1234,,,C C C C 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：4.65 4.855.05104.58,127.74,156.02e e e ≈≈≈）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为22120.82,0.96.R R ==，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：2221(3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113e OF OA AF +=，其中O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,1)的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值． 21. （本小题满分12分） 设函数()ln ,kf x x k R x=+∈. （1）若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调区间（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任意()()1212120,x x f x f x x x >>-<-恒成立，求k 的取值范围.22. （本小题满分12分）对于命题P ：存在一个常数M ，使得不等式2222a b a bM a b b a a b b a+≤≤+++++对任意正数a ，b 恒成立.（1）试给出这个常数M 的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题P ；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q ：“存在一个常数M ，使得不等式333333a b c a b cM a b b c c a a b b c c a++≤≤++++++++对任意正数a ，b ，c 恒成立．”观察命题P 与命题Q 的规律，请猜想与正数a ，b ，c ，d 相关的命题．中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）答案一、选择题： DCDAB AAABA CD 二、填空题：13．13； 15． 12； 15．42； 16．(,ln 28]-∞-. 三、解答题：17．解: (1) (13)(13)(3)(33)(9)i z i bi b b i +⋅=+⋅+=-++ ………………… 2分∵(13)i z +⋅为纯虚数，∴33090b b -=⎧⎨+≠⎩………………… 2分∴1b =，所以3z i =+ ………………… 5分(2)()()()()3i 2i 3i 7i 71i 2i 2i 2i 555+⋅-+-ω====-++⋅-, ………………… 8分∴ω==………………… 10分18.解：（1）由22430x ax a -+<得0)3)((<--a x a x当1=a 时，31<<x ，即p 为真时实数x 的取值范围是31<<x . …………2分 由2(3)1x -<，得42<<x ，即q 为真时实数x 的取值范围是42<<x .………4分 因为q p ∧为真，所以p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是32<<x . …………6分(2) 由22430x ax a -+<得0)3)((<--a x a x ，所以，p 为真时实数x 的取值范围是a x a 3<<. …………8分 因为 p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件所以 2≤a 且a 34≤ …………10分 所以实数a 的取值范围为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34. …………12分19. 解：（1）对于模型①：设2t x =，则21212y C x C C t C =+=+其中711721()()0.43()iii i i t t y y C t t ==--==-∑∑， ……………………… 1分21800.43692217.56C y C t =-=-⨯=- …………………… 3分所以20.43217.56y x =-， ………………… 4分 当30x =时，估计产卵数为210.4330217.56169.44y =⨯-= …… 5分对于模型②：设ln z y =，则34ln y C x C =+其中713721()()0.32()iii ii z z x x C x x ==--==-∑∑，………………………………… 6分43 3.570.3226 4.75C z C x =-=-⨯=- ……………………… 8分所以0.32 4.75x y e -=， ………………………………… 9分 当30x =时，估计产卵数为0.3230 4.75 4.852127.74y e e ⨯-===………… 10分（2）因为2212R R <，所以模型②的拟合效果更好 ………………………………… 12分20.解：（1）设椭圆的焦半距为c ，则|OF | = c ，|OA | = a ，|AF | =a c -． 所以113e c a a c+=-，其中c e a =，又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=． ………………………………………… 4分（2）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形． …………… 5分 当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+． 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得22(43)880k x kx ++-=． Δ=22(8)32(43)k k ++，显然大于0． 设点11(,)M x y ，22(,)N x y ．则122843k x x k +=-+，122843x x k =-+． ……… 7分所以12MN x =-=O 到l的距离d = 所以△OMN的面积12S d MN === ……… 10分 令2433t k =+≥，那么S ==t = 3时取等． 所以△OMN． ………………………………… 12分21.解：（1）由()ln k f x x x =+，知0x >，且()()210kf x x x x'=->，……1分 因为曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线2x =垂直，所以()0f e '=， 所以210ke e -=，得k e =， ……3分所以()()2210e x e f x x x x x-'=-=>， 令()0f x '<，得0x e <<，()f x 在()0,e 上单调递减； 令()0f x '>，得x e >，()f x 在(),e +∞上单调递增，综上，()f x 的单调减区间为()0,e ,单调增区间为(),e +∞. ……5分 （2）因为120x x >>，()()1212f x f x x x -<-恒成立，则有()()1122f x x f x x -<-，对120x x ∀>>恒成立， ……7分 令()()()ln 0kg x f x x x x x x=-=+->，则()g x 在()0,+∞上单调递减， 所以()2110kg x x x'=--≤在()0,+∞上恒成立， ……9分 所以()2211024k x x x x ⎛⎫≥-+=--+> ⎪⎝⎭恒成立， ……10分令()21124h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，则()max 14k h x ≥=⎡⎤⎣⎦.所以k 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ……12分22. 解：（1）令a b =得：2233M ≤≤，故23M =； ……3分 （2）先证明2223a b a b b a +≤++. ∵0a >，0b >，要证上式，只要证3(2)3(2)2(2)(2)a b a b a b a b b a +++≤++， 即证222a b ab +≥ 即证2()0a b -≥，这显然成立. ∴2223a b a b b a +≤++. ……6分 再证明2322a ba b b a≤+++. ∵0a >，0b >，要证上式，只要证3(2)3(2)2(2)(2)a a b b b a a b b a +++≥++， 即证222a b ab +≥ 即证2()0a b -≥，这显然成立. ∴2322a ba b b a≤+++. ……9分 （3）猜想结论：存在一个常数M ，使得不等式44444444a b c d a b c dM a b b c c d d a a b b c c d d a+++≤≤+++++++++++ 对任意正数a ，b ，c ，d 恒成立. ……12分。
广东省中山市2016-2017学年高二下学期期末统一考试数学(文)试题-含解析
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为抛物线2=4y，所以p=2，所以抛物线2=4y的焦点坐标为（0，1）．故选D．2. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.3. 命题“R，”的否定为A. R ，B. R ，C.R ，D.R ，【答案】D 【解析】“R ，”的否定为R ，,故选D.4. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算的观测值为10，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A【解析】因为7.879＜2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响． 故选：A ．5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B.考点：命题的否定.6. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=2﹣ln的定义域为（0，+∞）．令y′=2﹣= ，解得，∴函数y=2﹣ln的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f()的定义域；(2)求导数y′＝f′()；(3)解不等式f′()>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′()<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f()的定义域；(2)求导数y′＝f′()，令f′()＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f()的间断点(即f()的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起，然后用这些点把函数f()的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′()在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为64，则判断框内应填入的条件是A. B. C. D ．【答案】A【解析】由题意得，模拟执行程序框图，可得：，满足条件，；满足条件，；满足条件，；满足条件，；由题意，此时应不满足套件，推出循环，输出的值为，结合选项可得判断框内填入的条件可以是，故选A.8. 已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A. B. 3 C. D.【答案】A【解析】双曲线的a= ，b= ，c= ，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=，则F到渐近线的距离为d==，故选A．9. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于的线性回归方程为＝0.7＋0.35，则下列结论错误的是A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意，故选：B．10. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则9117 用算筹可表示为A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由定义知千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A考点：新定义11. 设，分别为双曲线：的左右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心,为半径圆上,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y= ，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，即c=2a，e=2．故答案为：C ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 大衍数列，于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：，如果把这个数列排成如图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为A. 1200B. 1280C. 3528D. 3612【答案】D【解析】由题意，则A（10，4）为数列{a n}的第92+4=85项，∴A（10，4）的值为=3612，故选D ．点睛：本题取材于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，明确对应数列中的第几项，然后根据求出此项即可.本题的关键是正确理解树形图，明确项数.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13. 一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，则t=2时的瞬时速度为_________.【答案】13【解析】s=3t2+t的导函数s′=6t+1，∴s′（2）=6×2+1=13∴t=2时的瞬时速度为13故答案为1314. 已知是函数的一个极值点，则实数____________ 【答案】12【解析】f′（）= +2﹣10（＞0）．∵=3是函数f（）=aln+2﹣10的一个极值点，∴f′（3）= +6﹣10=0，解得a=12．∴f′（）=∴0＜＜2或＞3时，f′（）＞0，3＞＞2时，f′（）＜0，∴=3是函数f（）=12ln+2﹣10的一个极小值点，故答案为：12．15. 双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________.【答案】42【解析】双曲线的a=8，b=6，则c=10，设P到它的上焦点F的距离等于3，由于3＞c﹣a=2，3＜c+a=18，则P为上支上一点，则由双曲线的定义可得PF'﹣PF=2a=16，（F'为下焦点）．则有PF'=19．则点P与两个焦点所构成三角形的周长为PF+PF'+FF'=3+19+20=42．故答案为42．16. 已知函数，如果对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】求导函数，可得g′（）= ﹣2= ，∈[，2]，g′（）＜0，∴g（）min=g（2）=ln2﹣4，∵f（）=2+a，∴f（）在[，2]上单调递增，∴f（）ma=f（2）=4+a，∵如果存在，使得对任意的，都有f（1）≤g（2）成立，∴4+a≤ln2﹣4，∴a≤故答案为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：①根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；②若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;③若恒成立，可转化为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. 已知复数()，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）化为标准形式，根据纯虚数概念确定复数；（2）先化简，然后求模即可.试题解析：(1)∵为纯虚数，∴∴，所以(2),∴.点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：①复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．②复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．③利用复数相等求参数．．18. 已知，设：实数满足，：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）为真时实数的取值范围是，为真时实数的取值范围是，然后求交集即可；（2）是的充分不必要条件即即是的充分不必要条件，易得：且.试题解析：（1）由得当时，，即为真时实数的取值范围是.由，得，即为真时实数的取值范围是因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是.（2）由得，所以，为真时实数的取值范围是.因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件所以且所以实数的取值范围为：.19. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数和温度的回归方程建立两个变量之间的关系.温度个其中，，，，附：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.【答案】(1)详见解析;(2) 模型②的拟合效果更好.【解析】试题分析：（1）利用表中数据，建立两个模型下关于的回归方程；（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.试题解析：（1）对于模型①：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为对于模型②：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.点睛：求解回归方程问题的三个易误点：①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．20. 已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离心率为，且满足，其中为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据，解得c值，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）联立l与椭圆C的方程，得,得，．所以，又O到l 的距离．所以△OMN的面积求最值即可.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| =．所以，其中，又，联立解得，．所以椭圆C的方程是．（Ⅱ）由题意直线不能与轴垂直，否则将无法构成三角形．当直线l与轴不垂直时，设其斜率为，那么l的方程为．联立l与椭圆C的方程，消去y，得．于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．设点，．由根与系数的关系得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积．，那么，当且仅当t = 3时取等．所以△OMN面积的最大值是．点睛本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 设函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调区间（其中为自然对数的底数）；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1) 的单调减区间为,单调增区间为;(2) .【解析】试题分析：（1）由，解不等式得到单调区间；（2）根据题意，构造，在上单调递减，转化为恒成立问题，求得的取值范围.试题解析：（1）由，知，且，……1分因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，所以，得，所以，令，得，在上单调递减；令，得，在上单调递增，综上，的单调减区间为,单调增区间为.（2）因为，恒成立，则有，对恒成立，令，则在上单调递减，所以在上恒成立，所以恒成立，令，则.所以的取值范围是.点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了化归转化的思想，属于难题.不等式恒成立，可以变量集中后构造新函数ｇ（ｘ），则此函数在上单调递减，进而转化为在上恒成立，最终变量分离求最值即可．....................................22. 对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.（1）试给出这个常数的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题：“存在一个常数，使得不等式对任意正数，，恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，相关的命题．【答案】(1) ;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】试题分析：（1）取特值，定常数的值；（2）利用分析法证明命题P;(3).猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立.试题解析：（1）令得：，故；（2）先证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.再证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.（3）猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立.。
中山市2016-2017年高二下期末统一考试数学试题(文)含答案
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为抛物线x2=4y，所以p=2，所以抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．故选D．2. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.3. 命题“R，”的否定为A. R，B. R，C. R，D. R，【答案】D【解析】“R ，”的否定为R ，,故选D.4. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀16 2 18 总计20 10 30 附表：P(K2≥k0 )0.150.10.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算的观测值为10，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B.考点：命题的否定.6. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞）．令y′=2x﹣= ，解得，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性。
中山市2016-2017学年高二下期末统一考试数学试题(理)含答案
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.2. 设随机变量～B(8，p)，且D()＝1.28，则概率p的值是A. 0.2B. 0.8C. 0.2或0.8D. 0.16【答案】C【解析】∵随机变量～B（8，p），且D（）=1.28，∴8P（1-p）=1.28，∴p=0.2或0.8故选：C3. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算的观测值为10，，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A【解析】因为7.879＜2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响． 故选：A ．4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是 A. 假设都是偶数； B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B...............................考点：命题的否定.5. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=2﹣ln的定义域为（0，+∞）．令y′=2﹣= ，解得，∴函数y=2﹣ln的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f()的定义域；(2)求导数y′＝f′()；(3)解不等式f′()>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′()<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f()的定义域；(2)求导数y′＝f′()，令f′()＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f()的间断点(即f()的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起，然后用这些点把函数f()的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′()在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性6. 已知的分布列为设Y＝2＋3，则E(Y)的值为A. B. 4 C. －1 D. 1【答案】A【解析】由条件中所给的随机变量的分布列可知E=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2+3）=2E（）+3，∴E（2+3）=2×（﹣）+3=．故答案为：A．7. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4)，∴p(A)=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4),∴P(AB)=∴.本题选择B选项.8. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为附：若～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<<μ＋2σ)＝0.954 4.A. 1 193B. 1 359C. 2 718D. 3 413【答案】B【解析】正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜≤μ+σ）]= ×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p= =0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．点睛：正态曲线的性质：（1）曲线在轴的上方，与轴不相交.（2）曲线是单峰的，它关于直线=μ对称（由得）（3）曲线在=μ处达到峰值（4）曲线与轴之间的面积为19. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于的线性回归方程为＝0.7＋0.35，则下列结论错误的是( )A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意，故选：B．10. 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是A. 150B. 210C. 240D. 300【答案】A【解析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33=60种分法，分成2、2、1时，根据分组公式90种分法，所以共有60+90=150种分法，故选A．点睛：一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
广东省中山市第一中学2016-2017学年高二下学期第二次统测数学(理)试题(精品解析)
中山一中2016-2017学年度高二下学期第二次段考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，故选A.2.已知随机变量的分布列为，，则等于( )A. 6B. 9C. 3D. 4【答案】A【解析】由题意，，，，故选A.3.用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应该写成（）A. 假设当时，能被整除B. 假设当时，能被整除C. 假设当时，能被整除D. 假设当时，能被整除【答案】D【解析】注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k-1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确；故选D．本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k-1能取到1，是解好本题的关键．4.曲线与直线围成的封闭图形的面积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由，直线，令,可得或，曲线与直线交于点或，因此围成的封闭图形的面积，故选B.5.随机变量服从正态分布，且.已知，则函数图象不经过第二象限的概率为( )A. 0.3750B. 0.3000C. 0.2500D. 0.2000【答案】C【解析】图象不经过第二象限，，随机变量服从正态分布，且，函数图象不经过第二象限的概率为，故选C.6.有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为( )A. 18B. 15C. 16D. 25【答案】B【解析】名会唱歌的从中选出两个有种,名会跳舞的选出名有种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他,共有种，故选B.7.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得P（K2>k）0．100．050．0250．0100．0050．001k2．7063．8415．0246．6357．87910．828参照附表，得到的正确结论是（）A．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】B【解析】解：计算K2≈8.806>7.879，对照表中数据得出有0.005的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1−0.005=99.5%的把握说明两个变量之间有关系，本题选择B选项.8.某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )A. 2000元B. 3200 元C. 1800元D. 2100元【答案】D【解析】第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个号有种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有注,故至少要花,故选D.9.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，则，故选A.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10.将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不相同”，“至少出现一个6点”，则概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】考点：条件概率与独立事件．分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故选A．11.设的三边长分别为，的面积为,内切圆半径为,则,类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为,内切球半径为，四面体的体积为,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A-BCD="1" /3 (S1+S2+S3+S4)R∴R=故选C．12.已知函数.正实数满足，则下述结论中正确的一项是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】由，即，从而，令，则由得，，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，可得或，又，因此成立，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，一元二次不等式的解法及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将方程问题转化为利用导数求最值进而通过解不等式解答.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设为实数时，实数的值是__________．【答案】3【解析】【详解】设为实数，，可得或又因为，故答案为.14.若的展开式中项的系数为70，则的值为__________．【答案】【解析】若的展开式的通项为，令得，故展开式中项的系数为，解得，故答案为.15.4 名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法__________．【答案】36种【解析】先从名学生中任意选个人作为一组，方法种；再把这一组和其它个人分配到所大学，方法有种，再根据分步计数原理可得不同的录取方法种，故答案为种.故答案为16.将集合中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表:则该数表中，从小到大第50个数为__________．【答案】1040【解析】用表示，下表的规律为：…，则第行的第个数，，故答案为.【方法点睛】本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，圆的极坐标方程是．（1）求与交点的极坐标；（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程是（为参数），求的值．【答案】(1)，或；(2)．【解析】试题分析：（1）联立极坐标方程，解得与交点的极坐标是，或；（2）直线的参数方程化为普通方程，把，的直角坐标带入，解得.试题解析：（1）代入，得．所以或，取，．再由得，或．所以与交点的极坐标是，或．（2）参数方程化为普通方程得．由（Ⅰ）得，的直角坐标分别是，，代入解得．18.在数列中，，，其中实数．(1)求，并由此归纳出的通项公式；(2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析：（1），，可归纳猜测；（2）根据数学归纳法证明原理，当时，由显然结论成立．假设时结论成立，即只需证明当时，即可..试题解析：(1) 由，及得，于是猜测:(2)下面用数学归纳法予以证明:当时，由显然结论成立．假设时结论成立，即那么，当时，由显然结论成立．由、知，对任何都有19.某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的值，写出线性回归方程．（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值.试题解析：（1）由题意，,,,∴y 关于t 的线性回归方程为； 8分（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入,得：(千元)故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元左右. 12分考点：线性回归方程．【易错点睛】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真算出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，要求学生具有较好的数字运算能力，计算就是一个易错点.注意运算的准确性.20.(1)已知，用分析法证明:；(2)已知，且，用反证法证明:都大于零．【答案】(1)见解析(2) 见解析【解析】试题分析：（1）用分析法证明,…；（2）假设不都大于零，即至少有一个小于零或等于零，这时需要逐个讨论不是正数的情形.但注意到条件的特点（任意交换的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数（例如），其他两个数（例如）与这种情形类似.试题解析：(1)因为欲使由已知得最后一个不等式成立，故原不等式成立；(2) 假设不都大于零，即至少有一个小于零或等于零(ⅰ)若某一个等于零，由，与矛盾．(ⅱ)若某一个小于零，不妨设，由，得由，得，那么，得，即，结合，得与矛盾．结合(1)、(2) 知都大于零．21.将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中，每个纸箱有且只有一个小球，称此为一轮“放球”．设一轮“放球”后编号为的纸箱放入的小球编号为，定义吻合度误差为(1) 写出吻合度误差的可能值集合；(2) 假设等可能地为1，2，3，4的各种排列，求吻合度误差的分布列；(3)某人连续进行了四轮“放球”，若都满足，试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮“放球”相互独立)；【答案】(1).(2) 见解析(3)【解析】试题分析：（1）根据题意知与的奇偶性相同，误差只能是偶数，由此写出的可能取值；（2）用列举法求出基本事件数，利用古典概型概率公式计算对应的概率值，写出随机变量的分布列；（3）利用互斥事件的概率公式计算，再利用对立事件的概率公式求解.试题解析：(1) 由于在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，所以中的奇数的个数与中偶数的个数相同．因此，与的奇偶性相同，从而吻合度误差只能是偶数，又因为的值非负且值不大于8．因此，吻合度误差的可能值集合.(2)用表示编号为1、2、3、4的四个纸箱中放入的小球编号分别为，则所有可能的结果如下:易得，，，，于是，吻合度误差的分布列如下:02468(3)首先，由上述结果和独立性假设，可得出现这种现象的概率为【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及随机变量的分布列，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.22.已知函数.(1) 若函数在点处的切线方程为，求的值；(2) 若，求函数在区间上的最小值；(3) 对任意的，都有，求正实数的取值范围.【答案】(1)；(2)见解析(3).【解析】试题分析：（1）求出导数，由，即可解得；（2）求出导函数，令导函数为求出根，通过讨论根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值与区间端点函数值比较，即可得函数的最小值；（3）由题意可得在递增.通过构造函数求出导数，结合二次函数的性质，解不等式即可得到的范围.试题解析：(1)，函数点处的切线斜率为，在点处的切线方程为，则，计算得出；(2)，令得（舍）或，当时，在单调递减，在上单调递增所以；当时，在上单调递减，所以.即有当时，；当时，.(3)对任意的，都有，即为在递增．因为，，在恒成立，即有在恒成立，即有令，对称轴，，则判别式，即，计算得出．则有的取值范围为.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解。
广东省中山市第一中学2016-2017学年高二下学期第二次统测理数试题含答案
中山一中2016—2017学年度高二下学期第二次段考理科数学第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=,则z 的共轭复数z =（ )A ．1122i +B ．1122i -C ．1122i -+D ．1122i --2。
已知随机变量X 的分布列为()13P X k ==，1,2,3k =,则()35D X +等于(）A ．6 B.9 C 。
3 D.43.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n nx y +能被x y +整除”，第二步归纳假设应该写成（ ）A ．假设当()*n k k N =∈时,k kx y +能被x y +整除B.假设当()*2n k k N =∈时，k k x y +能被x y +整除 C.假设当()*21n k k N =+∈时，k kx y +能被x y +整除D.假设当()*21n k k N =-∈时，2121k k x y--+能被x y +整除4。
曲线(2sin 0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( ） A ．4233π B.2233π C 。
433πD.2233π5.随机变量a 服从正态分布()21,N σ,且()010.3000P a <<=。
已知0,1a a >≠,则函数1xy a a =+-图象不经过第二象限的概率为( )A.0。
3750B.0.3000C.0。
2500 D 。
0.2000 6。
有6 名学生，其中有3 名会唱歌,2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的,去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为（ )A 。
18B 。
15C 。
16D 。
257。
利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K≈参照附表，得到的正确结论是（ ）A.有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B 。
【全国市级联考】广东省中山市2016-2017学年高二下学期期末统一考试数学(理)试题
试卷第1页，共8页绝密★启用前【全国市级联考】广东省中山市2016-2017学年高二下学期期末统一考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是 A ．B ．C ．D ．2、从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A ． B ． C ． D ．3、将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是试卷第2页，共8页A ．150B ．210C ．240D ．3004、在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布 N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 4135、已知X 的分布列为 X －1 0 1 P设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为 A. B. 4 C. －1 D. 16、设随机变量X ～B (8，p )，且D (X )＝1.28，则概率p 的值是 A ．0.2 B ．0.8 C ．0.2或0.8 D ．0.167、大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：，如果把这个数列排成如图形状，并记表示第m 行中从左向右第n 个数，试卷第3页，共8页则的值为A ．1200B ．1280C ．3528D ．36128、函数的单调递减区间是A ．B ．C ．，D ．9、某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀 16 2 18 总计 20 10 30 附表： P (K 2≥k 0) 0.15 0.10试卷第4页，共8页0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算的观测值为10，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响10、若复数满足，则A ．B ．C ．D ．11、下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是 x 3 4 5 6试卷第5页，共8页y 2.5 t 4 4.5A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t 的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨12、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（ ） A ．假设都是偶数 B ．假设都不是偶数C ．假设至多有一个偶数 D ．假设至多有两个偶数试卷第6页，共8页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、直线是曲线的一条切线，则实数的值为____________14、已知函数，如果存在，使得对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是__________.15、已知,则的值等于________.16、__________三、解答题（题型注释）17、已知函数存在两个极值点．（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设和分别是的两个极值点且，证明：．18、在6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．19、设正项数列的前项和为，且，(1)求，并猜想数列的通项公式(2)用数学归纳法证明你的猜想．试卷第7页，共8页20、对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.（1）试给出这个常数的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题：“存在一个常数，使得不等式对任意正数，，恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，相关的命题．21、为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.产卵数试卷第8页，共8页其中，，，， 附：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.22、某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？参考答案1、A2、B3、A4、B5、A6、C7、D8、A9、A10、C11、B12、B13、14、15、16、17、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.18、（1）第3项的系数为24＝240.（2）含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.19、(1) ;(2)详见解析.20、(1);(2)详见解析;(3)详见解析.21、(1)详见解析;(2)模型②的拟合效果更好.22、（1）详见解析；（2）从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大.【解析】1、设在上减函数，。
中山市2016-2017学年高二下期末统一考试数学试题(理)有答案AKwMlK (1)
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.2. 设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是A. 0.2B. 0.8C. 0.2或0.8D. 0.16【答案】C【解析】∵随机变量X～B（8，p），且D（X）=1.28，∴8P（1-p）=1.28，∴p=0.2或0.8故选：C3. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18总计20 10 30 附表：P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算的观测值为10，，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B...............................考点：命题的否定.5. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞）．令y′=2x﹣= ，解得，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性6. 已知X的分布列为X －1 0 1P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为A. B. 4 C. －1 D. 1【答案】A【解析】由条件中所给的随机变量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案为：A．7. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4)，∴p(A)=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4),∴P(AB)=∴ .本题选择B选项.8. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.A. 1 193B. 1 359C. 2 718D. 3 413【答案】B【解析】正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]= ×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．点睛：正态曲线的性质：（1）曲线在轴的上方，与轴不相交 .（2）曲线是单峰的，它关于直线=μ对称（由得）（3）曲线在=μ处达到峰值（4）曲线与轴之间的面积为19. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是( )x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意，故选：B．10. 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是A. 150B. 210C. 240D. 300【答案】A【解析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33=60种分法，分成2、2、1时，根据分组公式90种分法，所以共有60+90=150种分法，故选A．点睛：一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
广东省中山市2016-2017学年高二下学期期末统一考试数学(文)试题.docx
中山市高二级2016— 2017 学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共 4 页， 22 小题，满分150分．考试用时120 分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用 2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.抛物线 y1x2的焦点坐标为4A ． ( 1，0)B ． (1，0)C． (0， 1)D． (0，1)2.若复数 z 满足z 2i i z ，则zA ．1 i B．1 i C．1 i D．1 i3.命题“ x0R ，x02x0 1 0 ”的否定为A ．x0R ，x02x0 1 0B ．x0R，x02x0 1 0C．x R，x2x 1 0 D ．x R，x2x 1 04．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030附表：P(K2≥ k0) 0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828经计算 K 2的观测值为10，则下列选项正确的是 ()A ．有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．在犯错误的概率不超过0.001 的前提下认为使用智能手机对学习有影响D ．在犯错误的概率不超过0.001 的前提下认为使用智能手机对学习无影响5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2bx c 0(a 0) 有有理数根，那么 a,b, c 中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A ．假设a, b, c C．假设a, b, c 都是偶数；B．假设a,b, c至多有一个偶数D．假设a,b, c都不是偶数至多有两个偶数6．函数f ( x)x2ln x 的单调递减区间是A. 0,2B. 2 ,22C.,2， 0,2 D.2,2 22227.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为64，则判断框内应填入的条件是A．k3?B． k3?C．k4?D． k4?22x y1 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为8. 已知 F 为双曲线 C :33A ． 3B． 3C． 2 3D．69．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量x(吨 )与相应的生产能耗y(吨 )的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于 x 的线性回归方程为y ＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是x3456y[来源:学科网ZXXK] 2.5t4 4.5A.产品的生产能耗与产量呈正相关B． t 的值是 3.15C．回归直线一定过(4.5,3.5)D． A 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加0.7 吨10．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外. ”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表123456789纵式横式表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如 6613 用算筹表示就是： ，则 9117用算筹可表示为A.B ．C ．D ．11.x 2 y 2 1(a 0, b0) 的左右焦点，点 F 2 关于渐近线的对称点恰好落在设 F 1 ， F 2 分别为双曲线：b 2a 2以 F 1 为圆心 ,OF 1 为半径圆上 , 则双曲线的离心率为A ． 3B ． 3C ． 2D ． 212. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十 ”的推论．其前 10 项为： 0、2、 4、n 2 1 为奇数2 , n，如果把8、 12、 18、 24、32、 40、 50．通项公式： a nn 2 为偶数2这个数列 { a n } 排成如图形状，并记A （ m,n ）行中从左向右第n 个表示第 m 数，则 A （10,4 ）的值为A ．1200B ． 1280C ． 3528D ． 3612二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡相应横线上）13. 一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t 2+t ，则 t=2 时的瞬时速度为.14. 已知 x 3 是函数 y a ln x x 2 10 x 的一个极值点，则实数 a15. y 2x 2 3，那么点 P 与两个焦点所构 双曲线1上一点 P 到它的一个焦点的距离等于6436成的三角形的周长等于.16. 已知函数 fx2x a, g xln x 2x ，如果对任意的 x 1 , x 21, 2 ，都有 f x 1 g x 2 成立，2则实数 a 的取值范 围是.三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ）17. （本小题 满分 10 分）已知复数 z 3 bi ( b R )，且(1 3i ) z 为纯虚数 .（ 1）求复数 z ；（ 2）若z ，求复数 的模 .[来源 学科网 ZXXK]2 i18.（本小题满分 12 分）已知 a0 ，p：数 x 足x24ax3a20 ， q ：数x足( x 3)21．（ 1）若a 1 ，且 p q 真，求数x 的取范；（ 2）若p 是 q 的充分不必要条件，求数 a 的取范．19.（本小分12 分）了研究一种昆虫的卵数y 和温度x是否有关，收集了7数据列于下表中，并做出了散点，本点并没有分布在某个状区域内，两个量并不呈性相关关系，分用模型①y C1 x2C2与模型；②y e C3x C4作卵数y 和温度x的回方程来建立两个量之的关系.温度 x / C20222426283032卵数 y / 个610212464113322t x24004845766767849001024z ln y 1.79 2.30 3.04 3.18 4.16 4.73 5.77x t y z2669280 3.577777(x i x)( y i y)(t i t )( y i y)(z i z)( x i x)(z i z)(t i t )i 1i 1i1i 17777(x i x)2(t i t) 2( x i x) 2(t i t )2i 1i 1i 1i 11157.540.430.320.00012其中 t i x i2， t17t i， z i ln y i， z 1 7z i，7 i 17 i1附：于一数据(1, 1 ) ， (2 , 2 ) ，⋯⋯ (n ,n ) ，其回直v的斜率和截距的最小二乘估n(i)( i)分：i1n，)2i1(i（1）根据表中数据，分建立两个模型下y 关于x的回方程；并在两个模型下分估温度30 C的卵数.（C1 , C2 , C3,C4与估均精确到小数点后两位）（参考数据：e 4.65104.58, e 4.85 127.74, e 5.05 156.02 ）（ 2）若模型①、②的相关指数计算分别为R 1 20.82, R 2 2 0.96. ，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好 .[来源 学科网 ZXXK]20. （本小题满分 12 分）已 知 椭 圆 C ： x2y 2 1(a3) 的 右 焦 点 为 F ， 右 顶 点 为A ， 设 离 心 率 为 e ， 且 满 足a 231 1 3eO 为坐标原点．O FO A，其中A F（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆交于 M ， N 两点，求△ OMN 面积的最大值．21. （本小题满分 12 分）设函数 f xln xk R ., kx（ 1）若曲线 y f x 在点 e, f e 处的切线与直线 x 2 0 垂直，求 f x 的单调区间（其中e 为自然对数的底数） ；（ 2）若对任意 x 1 x 2 0, f x 1 f x 2 x 1 x 2 恒成立，求 k 的取值范围 .22. （本小题满分 12 分）对于命题 P ：存在一个常数M ，使得不等式a b a b 对任意正数 a ， b 恒bMa 2bb 2a2a 2b a成立 .（1）试给出这个常数M 的值；（2）在（ 1）所得结论的条件下证明命题P ；（ 3 ） 对 于 上 述 命 题 ， 某 同 学 正 确 地 猜 想 了 命 题 Q ： “存 在 一 个 常 数 M ， 使 得 不 等 式a b c Ma bc对任意正数 a ， b ， c 恒成立． ”观察命题 P 与命题 3a b 3 b c 3 c a a 3 b b3 c c3 aQ 的规律，请猜想与正数a ，b ，c ，d 相关的命题．中山市高二级 2016— 2017 学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷 （文科）答案一、 ： DCDABAAABA CD二、填空 ：13． 13； 15． 12；15． 42；16． (,ln 2 8] .三、解答 ：17．解 : (1)(1 3i ) z(1 3i) (3bi ) (3 3b) (9 b)i ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵ (1 3i ) z 虚数 ，∴3 3b 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分9b 0∴b，所以 z 3 i ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分1(2)3i 3 i 2 i7i 71i , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分2 i2 i2i5 5 5∴( 7 )2 ( 1 )22 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5 518. 解：（ ）由 x 24ax 3a 20 得(x a)( x 3a) 01当 a 1 ， 1 x 3 ，即 p 真 数 x 的取 范 是 1x 3 . ⋯⋯⋯⋯2 分由 ( x 3)2 1 ，得 2 x 4 ，即 q 真 数 x 的取 范 是 2x4 . ⋯⋯⋯4分因 pq 真，所以p 真且 q 真，所以 数 x 的取 范 是 2 x3 .⋯⋯⋯⋯6 分(2) 由 x 24ax 3a 20 得 (x a)(x 3a) 0 ，所以， p 真 数 x 的取 范 是 a x 3a .⋯⋯⋯⋯8 分因p 是 q 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件所以 a 2 且 4 3a⋯⋯⋯⋯ 10 分所以 数 a 的取 范 ：4,2 .⋯⋯⋯⋯ 12分319. 解：（ 1） 于模型①：tx 2 ， y C 1x 2 C 2 C 1tC 27(t i t)( y i y)其中 C1i 10.43 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分7i 1(t i t )2C2y C1t800.43692217.56⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以 y0.43 x2217.56 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分当 x30，估卵数y10.43302217.56169.44⋯⋯ 5 分于模型②：z ln y ， ln y C3 x C47( z i z)( x i x)其中 C3i 170.32 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x)2( x ii 1C4z C3 x 3.570.3226 4.75⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分所以 y e0.32 x 4.75 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分当 x 30 ，估卵数y2e0.3230 4.75e4.85127.74 ⋯⋯⋯⋯10分（2）因R12R2 2 ，所以模型②的合效果更好⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分20. 解：（ 1）的焦半距c， |OF | = c， |OA| = a， |AF| = a c．所以113e，其中 ec，又 b 23 a 2c2，立解得 a 2 ， c1．c a a c a所以 C 的方程是x2y2 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分43（2）由意直不能与x 垂直，否将无法构成三角形．⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分当直 l与 x 不垂直，其斜率k，那么 l 的方程 y kx 1 ．立 l 与 C 的方程，消去y，得 (4 k23) x28kx80 ．= (8k) 232(4 k 23) ，然大于 0．点 M ( x1 , y1 ) ， N (x2 , y2 ) ． x1x28k， x1 x28．⋯⋯⋯7 分224k34k3所以 MN1k 2x1x24 6 2k211k2，又 O 到 l 的距离 d1．4k 23 1 k2所以△ OMN 的面 S 1262k21262k21．⋯⋯⋯ 10 分d MN4k23(4 k23)22令 t 4k23 3 ，那么 S 2 3t1231126，当且当 t = 3 取等．t 2t 2t3所以△OMN面 的最大 是2 6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分321. 解：（ 1）由 fx ln xk 0 ，且 f 1 kx0 ， ⋯⋯ 1 分 [来源 学_科_网Z_X_X_K]，知 x xx 2xx因 曲 y f x 在点 e, fe的切 与直x 2 垂直，所以f e0 ，所以1 k0 ，得 ke ，⋯⋯ 3 分e e 2 1ex e所以fxx 0，[ 来源:]xx2x2令 f x 0 ，得 0 x e ， f x 在 0,e 上 减；令 f x0 ，得 x e ， f x 在e,上 增，上， fx 的 减区0,e , 增区e,.⋯⋯ 5 分（2）因 x 1x 20， fxf xxx 恒成立，1212有 f x 1 x 1 f x 2x 2 ，x 1 x 2 0 恒成立，⋯⋯ 7 分令 g x f xxln xk x x 0 ， g x在 0, 上 减，x1k所以 gx1 0 在 0,上恒成立，⋯⋯ 9 分xx 21 21所以 kx 2 xxx 0 恒成立，⋯⋯ 10 分241 21， k1 .令 h xxh x24max 4所以 k 的取 范 是1 ,.⋯⋯ 12 分422.解：（ ）令 a b 得： 2 M2 ，故 M 2 ； ⋯⋯ 3分1 333（2）先 明ab 22ab 2b a .3∵ a0 ， b0 ，要 上式，只要3a(2b a) 3b(2 a b)2(2a b)(2ba) ，即 a 2b 2 2ab 即 (a b)20 ， 然成立 .∴ab2⋯⋯ 6 分2b a.2a b 3再 明2ab .3 a 2bb 2a∵ a 0 ， b 0 ，要 上式， 只要 3a(2 a b) 3b(2 ba)2(a 2b)(b 2a) ，即 a 2 b 2 2ab 即 ( a b) 20 ， 然成立 .2ab⋯⋯ 9 分∴a 2b b.32a（3）猜想 ：存在一个常数M ，使得不等式abc dMa b c d 4a b 4bc 4cd 4d a 4bb 4cc 4dd 4aa 任意正数a ，b ，c ，d 恒 成立 .⋯⋯ 12 分。
广东省中山市高二数学下学期期末统一考试试题理
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科)本试卷共4页，22小题, 满分150分．考试用时120分钟．注意事项:1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1。
若复数z满足2-=-⋅,则z=z i i zA．1i---+ B．1i- C．1i+ D．1i2．设随机变量X～B(8,p)，且D（X)＝1.28，则概率p的值是A．0。
2 B．0。
8 C．0.2或0.8 D．0。
163．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表:附表：经计算2K A ．有99。
5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．在犯错误的概率不超过0。
001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D ．在犯错误的概率不超过0。
001的前提下认为使用智能手机对学习无影响4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A ．假设,,a b c 都是偶数；B ．假设,,a b c 都不是偶数C ．假设,,a b c 至多有一个偶数D ．假设,,a b c 至多有两个偶数 5．函数2()ln f x x x =-的单调递减区间是A. 0,2⎛ ⎝⎦ B 。
广东省中山市2016-2017学年高二下学期期末统一考试数学(文)试题-含解析
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为抛物线2=4y，所以p=2，所以抛物线2=4y的焦点坐标为（0，1）．故选D．2. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.3. 命题“R，”的否定为A. R ，B. R ，C.R ，D.R ，【答案】D 【解析】“R ，”的否定为R ，,故选D.4. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算的观测值为10，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A【解析】因为7.879＜2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响． 故选：A ．5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B.考点：命题的否定.6. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=2﹣ln的定义域为（0，+∞）．令y′=2﹣= ，解得，∴函数y=2﹣ln的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f()的定义域；(2)求导数y′＝f′()；(3)解不等式f′()>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′()<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f()的定义域；(2)求导数y′＝f′()，令f′()＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f()的间断点(即f()的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起，然后用这些点把函数f()的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′()在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为64，则判断框内应填入的条件是A. B. C. D ．【答案】A【解析】由题意得，模拟执行程序框图，可得：，满足条件，；满足条件，；满足条件，；满足条件，；由题意，此时应不满足套件，推出循环，输出的值为，结合选项可得判断框内填入的条件可以是，故选A.8. 已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A. B. 3 C. D.【答案】A【解析】双曲线的a= ，b= ，c= ，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=，则F到渐近线的距离为d==，故选A．9. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于的线性回归方程为＝0.7＋0.35，则下列结论错误的是A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意，故选：B．10. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则9117 用算筹可表示为A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由定义知千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A考点：新定义11. 设，分别为双曲线：的左右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心,为半径圆上,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y= ，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，即c=2a，e=2．故答案为：C ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 大衍数列，于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：，如果把这个数列排成如图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为A. 1200B. 1280C. 3528D. 3612【答案】D【解析】由题意，则A（10，4）为数列{a n}的第92+4=85项，∴A（10，4）的值为=3612，故选D ．点睛：本题取材于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，明确对应数列中的第几项，然后根据求出此项即可.本题的关键是正确理解树形图，明确项数.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13. 一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，则t=2时的瞬时速度为_________.【答案】13【解析】s=3t2+t的导函数s′=6t+1，∴s′（2）=6×2+1=13∴t=2时的瞬时速度为13故答案为1314. 已知是函数的一个极值点，则实数____________ 【答案】12【解析】f′（）= +2﹣10（＞0）．∵=3是函数f（）=aln+2﹣10的一个极值点，∴f′（3）= +6﹣10=0，解得a=12．∴f′（）=∴0＜＜2或＞3时，f′（）＞0，3＞＞2时，f′（）＜0，∴=3是函数f（）=12ln+2﹣10的一个极小值点，故答案为：12．15. 双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________.【答案】42【解析】双曲线的a=8，b=6，则c=10，设P到它的上焦点F的距离等于3，由于3＞c﹣a=2，3＜c+a=18，则P为上支上一点，则由双曲线的定义可得PF'﹣PF=2a=16，（F'为下焦点）．则有PF'=19．则点P与两个焦点所构成三角形的周长为PF+PF'+FF'=3+19+20=42．故答案为42．16. 已知函数，如果对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】求导函数，可得g′（）= ﹣2= ，∈[，2]，g′（）＜0，∴g（）min=g（2）=ln2﹣4，∵f（）=2+a，∴f（）在[，2]上单调递增，∴f（）ma=f（2）=4+a，∵如果存在，使得对任意的，都有f（1）≤g（2）成立，∴4+a≤ln2﹣4，∴a≤故答案为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：①根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；②若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;③若恒成立，可转化为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. 已知复数()，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）化为标准形式，根据纯虚数概念确定复数；（2）先化简，然后求模即可.试题解析：(1)∵为纯虚数，∴∴，所以(2),∴.点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：①复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．②复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．③利用复数相等求参数．．18. 已知，设：实数满足，：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）为真时实数的取值范围是，为真时实数的取值范围是，然后求交集即可；（2）是的充分不必要条件即即是的充分不必要条件，易得：且.试题解析：（1）由得当时，，即为真时实数的取值范围是.由，得，即为真时实数的取值范围是因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是.（2）由得，所以，为真时实数的取值范围是.因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件所以且所以实数的取值范围为：.19. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数和温度的回归方程建立两个变量之间的关系.温度个其中，，，，附：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.【答案】(1)详见解析;(2) 模型②的拟合效果更好.【解析】试题分析：（1）利用表中数据，建立两个模型下关于的回归方程；（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.试题解析：（1）对于模型①：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为对于模型②：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.点睛：求解回归方程问题的三个易误点：①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．20. 已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离心率为，且满足，其中为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据，解得c值，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）联立l与椭圆C的方程，得,得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积求最值即可.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| =．所以，其中，又，联立解得，．所以椭圆C的方程是．（Ⅱ）由题意直线不能与轴垂直，否则将无法构成三角形．当直线l与轴不垂直时，设其斜率为，那么l的方程为．联立l与椭圆C的方程，消去y，得．于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．设点，．由根与系数的关系得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积．，那么，当且仅当t = 3时取等．所以△OMN面积的最大值是．点睛本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 设函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调区间（其中为自然对数的底数）；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1) 的单调减区间为,单调增区间为;(2) .【解析】试题分析：（1）由，解不等式得到单调区间；（2）根据题意，构造，在上单调递减，转化为恒成立问题，求得的取值范围.试题解析：（1）由，知，且，……1分因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，所以，得，所以，令，得，在上单调递减；令，得，在上单调递增，综上，的单调减区间为,单调增区间为.（2）因为，恒成立，则有，对恒成立，令，则在上单调递减，所以在上恒成立，所以恒成立，令，则.所以的取值范围是.点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了化归转化的思想，属于难题.不等式恒成立，可以变量集中后构造新函数ｇ（ｘ），则此函数在上单调递减，进而转化为在上恒成立，最终变量分离求最值即可．....................................22. 对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.（1）试给出这个常数的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题：“存在一个常数，使得不等式对任意正数，，恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，相关的命题．【答案】(1) ;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】试题分析：（1）取特值，定常数的值；（2）利用分析法证明命题P;(3).猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立.试题解析：（1）令得：，故；（2）先证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.再证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.（3）猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立.。
广东省中山市高二数学下学期期末统一考试试题文(含解析)
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2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共4页,22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束,将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 抛物线的焦点坐标为A。
B。
C。
D.【答案】D【解析】因为抛物线x2=4y，所以p=2，所以抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1)．故选D．2。
若复数满足,则A。
B. C。
D。
【答案】C【解析】,故选C.3。
命题“R ，”的否定为A. R ,B. R ,C。
(精选)广东省中山市2016-2017学年高二下期末统一考试数学(文)试题(有答案)
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为抛物线x2=4y，所以p=2，所以抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．故选D．2. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.3. 命题“R，”的否定为A. R，B. R，C. R，D. R，【答案】D【解析】“R，”的否定为R，,故选D.4. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算的观测值为10，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B.考点：命题的否定.6. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞）．令y′=2x﹣= ，解得，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为64，则判断框内应填入的条件是A. B. C. D ．【答案】A【解析】由题意得，模拟执行程序框图，可得：，满足条件，；满足条件，；满足条件，；满足条件，；由题意，此时应不满足套件，推出循环，输出的值为，结合选项可得判断框内填入的条件可以是，故选A.8. 已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A. B. 3 C. D.【答案】A【解析】双曲线的a= ，b= ，c= ，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=x，则F到渐近线的距离为d==，故选A．9. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意，故选：B．10. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则9117用算筹可表示为A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由定义知: 千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A考点：新定义11. 设，分别为双曲线：的左右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心,为半径圆上,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y= x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，即c=2a，e=2．故答案为：C ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：，如果把这个数列排成如图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为A. 1200B. 1280C. 3528D. 3612【答案】D【解析】由题意，则A（10，4）为数列{a n}的第92+4=85项，∴A（10，4）的值为=3612，故选D ．点睛：本题取材于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，明确对应数列中的第几项，然后根据求出此项即可.本题的关键是正确理解树形图，明确项数.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13. 一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，则t=2时的瞬时速度为_________.【答案】13【解析】s=3t2+t的导函数s′=6t+1，∴s′（2）=6×2+1=13∴t=2时的瞬时速度为13故答案为1314. 已知是函数的一个极值点，则实数____________【答案】12【解析】f′（x）= +2x﹣10（x＞0）．∵x=3是函数f（x）=alnx+x2﹣10x的一个极值点，∴f′（3）= +6﹣10=0，解得a=12．∴f′（x）=∴0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，3＞x＞2时，f′（x）＜0，∴x=3是函数f（x）=12lnx+x2﹣10x的一个极小值点，故答案为：12．15. 双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________.【答案】42【解析】双曲线的a=8，b=6，则c=10，设P到它的上焦点F的距离等于3，由于3＞c﹣a=2，3＜c+a=18，则P为上支上一点，则由双曲线的定义可得PF'﹣PF=2a=16，（F'为下焦点）．则有PF'=19．则点P与两个焦点所构成三角形的周长为PF+PF'+FF'=3+19+20=42．故答案为42．16. 已知函数，如果对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】求导函数，可得g′（x）= ﹣2= ，x∈[，2]，g′（x）＜0，∴g（x）min=g（2）=ln2﹣4，∵f（x）=2x+a，∴f（x）在[，2]上单调递增，∴f（x）max=f（2）=4+a，∵如果存在，使得对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，∴4+a≤ln2﹣4，∴a≤故答案为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：①根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；②若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;③若恒成立，可转化为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. 已知复数()，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）化为标准形式，根据纯虚数概念确定复数z；（2）先化简，然后求模即可.试题解析：(1)∵为纯虚数，∴∴，所以(2),∴.点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：①复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．②复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．③利用复数相等求参数．．18. 已知，设：实数满足，：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）为真时实数的取值范围是，为真时实数x的取值范围是，然后求交集即可；（2）是的充分不必要条件即即是的充分不必要条件，易得：且. 试题解析：（1）由得当时，，即为真时实数的取值范围是.由，得，即为真时实数x的取值范围是因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是.（2）由得，所以，为真时实数的取值范围是.因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件所以且所以实数的取值范围为：.19. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度产卵数其中，，，，附：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.【答案】(1)详见解析;(2)模型②的拟合效果更好.【解析】试题分析：（1）利用表中数据，建立两个模型下关于的回归方程；（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.试题解析：（1）对于模型①：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为对于模型②：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.点睛：求解回归方程问题的三个易误点：①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(， )点，可能所有的样本数据点都不在直线上．③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．20. 已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离心率为，且满足，其中为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据，解得c值，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）联立l与椭圆C的方程，得,得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积求最值即可.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| =．所以，其中，又，联立解得，．所以椭圆C的方程是．（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形．当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为．联立l与椭圆C的方程，消去y，得．于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．设点，．由根与系数的关系得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积．，那么，当且仅当t = 3时取等．所以△OMN面积的最大值是．点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 设函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调区间（其中为自然对数的底数）；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1) 的单调减区间为,单调增区间为;(2) .【解析】试题分析：（1）由，解不等式得到单调区间；（2）根据题意，构造，在上单调递减，转化为恒成立问题，求得k的取值范围.试题解析：（1）由，知，且，……1分因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，所以，得，所以，令，得，在上单调递减；令，得，在上单调递增，综上，的单调减区间为,单调增区间为.（2）因为，恒成立，则有，对恒成立，令，则在上单调递减，所以在上恒成立，所以恒成立，令，则.所以的取值范围是.点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了化归转化的思想，属于难题.不等式恒成立，可以变量集中后构造新函数ｇ（ｘ），则此函数在上单调递减，进而转化为在上恒成立，最终变量分离求最值即可．....................................22. 对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.（1）试给出这个常数的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题：“存在一个常数，使得不等式对任意正数，，恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，相关的命题．【答案】(1);(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】试题分析：（1）取特值，定常数的值；（2）利用分析法证明命题P;(3).猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立.试题解析：（1）令得：，故；（2）先证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.再证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.（3）猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立.。
广东省中山市2016-2017学年高二数学下学期期末统一考试试题 文
中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共4页，22小题， 满分150分． 考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 抛物线214y x =的焦点坐标为 A ．(10)-，B ．(10)，C ．(01)-，D ．(01)，2. 若复数z 满足2z i i z -=-⋅，则z =A ．1i -+B ．1i -C ．1i +D ．1i -- 3. 命题“0x ∃∈R ，20010x x -+≤”的否定为A ． 0x ∃∈R ，20010x x -+≤B ． 0x ∃∈R ，20010x x -+>C ． x ∀∈R ，210x x -+≤D ． x ∀∈R ，210x x -+>4．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算K 的观测值为10，则下列选项正确的是 ( ) A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A ．假设,,a b c 都是偶数；B ．假设,,a b c 都不是偶数C ．假设,,a b c 至多有一个偶数D ．假设,,a b c 至多有两个偶数 6．函数2()ln f x x x =-的单调递减区间是A. 0,2⎛ ⎝⎦B.2⎫+∞⎪⎪⎣⎭C. ,2⎛-∞-⎝⎦，0,2⎛ ⎝⎦ D.22⎡-⎢⎣⎦7.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为64，则判断框内应填入的条件是A ．3?k ≤B ．3?k <C ．4?k ≤D ．4?k >8. 已知F 为双曲线22:133x y C -=的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为AB ．3C ．D ．69．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是A. B ．t 的值是3.15C ．回归直线一定过(4.5,3.5)D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进 行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位 数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位 用横式表示，以此类推， 例如6613用算筹表示就是： ，则9117用算筹可表示为A.B． C ．D．11. 设1F ，2F 分别为双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心,1OF 为半径圆上,则双曲线的离心率为A ．3BC ．2D12. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，如果把这个数列{}n a 排成如图形状，并记,A m n （）表示第m 行中从左向右第n 个数，则10,4A （）的值为 A ．1200 B ．1280 C ．3528D ． 3612二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上） 13. 一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s =3t 2+t ，则t =2时的瞬时速度为 .14. 已知3x =是函数2ln 10y a x x x =+-的一个极值点，则实数a =15. 双曲线2216436y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于3，那么点P 与两个焦点所构123456789纵式横式成的三角形的周长等于 .16. 已知函数()()2,ln 2f x x a g x x x =+=-，如果对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17. （本小题满分10分）已知复数3z bi =+(b R ∈)，且(13)i z +⋅为纯虚数. （1）求复数z ； （2）若2ziω=+，求复数ω的模.18.（本小题满分12分）已知0>a ，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足2(3)1x -<．（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分12分）为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①212y C x C =+与模型；②34C x C y e+=作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.其中2i i t x =，7117i i t t ==∑，ln i i z y =，7117i i z z ==∑，附：对于一组数据11(,)μν，22(,)μν，……(,)n n μν，其回归直线v βμα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii μμννβμμ==--=-∑∑，ανβμ=-（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30C 时的产卵数.（1234,,,C C C C 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：4.65 4.855.05104.58,127.74,156.02e e e ≈≈≈）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为22120.82,0.96.R R ==，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：2221(3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113eOF OA AF +=，其中O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,1)的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值． 21. （本小题满分12分） 设函数()ln ,kf x x k R x=+∈. （1）若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调区间（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任意()()1212120,x x f x f x x x >>-<-恒成立，求k 的取值范围.22. （本小题满分12分）对于命题P ：存在一个常数M ，使得不等式2222a b a bM a b b a a b b a+≤≤+++++对任意正数a ，b 恒成立.（1）试给出这个常数M 的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题P ；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q ：“存在一个常数M ，使得不等式333333a b c a b cM a b b c c a a b b c c a++≤≤++++++++对任意正数a ，b ，c 恒成立．”观察命题P 与命题Q 的规律，请猜想与正数a ，b ，c ，d 相关的命题．中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）答案一、选择题： DCDAB AAABA CD 二、填空题：13．13； 15． 12； 15．42； 16．(,ln 28]-∞-. 三、解答题：17．解: (1) (13)(13)(3)(33)(9)i z i bi b b i +⋅=+⋅+=-++ ………………… 2分∵(13)i z +⋅为纯虚数，∴33090b b -=⎧⎨+≠⎩………………… 2分∴1b =，所以3z i =+ ………………… 5分(2)()()()()3i 2i 3i 7i 71i 2i 2i 2i 555+⋅-+-ω====-++⋅-, ………………… 8分∴ω==………………… 10分 18.解：（1）由22430x ax a -+<得0)3)((<--a x a x当1=a 时，31<<x ，即p 为真时实数x 的取值范围是31<<x . …………2分 由2(3)1x -<，得42<<x ，即q 为真时实数x 的取值范围是42<<x .………4分 因为q p ∧为真，所以p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是32<<x . …………6分 (2) 由22430x ax a -+<得0)3)((<--a x a x ，所以，p 为真时实数x 的取值范围是a x a 3<<. …………8分 因为 p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件所以 2≤a 且a 34≤ …………10分 所以实数a 的取值范围为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34. …………12分19. 解：（1）对于模型①：设2t x =，则21212y C x C C t C =+=+其中711721()()0.43()ii i ii tt y y C tt ==--==-∑∑， ……………………… 1分21800.43692217.56C y C t =-=-⨯=- …………………… 3分所以20.43217.56y x =-， ………………… 4分当30x =时，估计产卵数为210.4330217.56169.44y =⨯-= …… 5分对于模型②：设ln z y =，则34ln y C x C =+其中713721()()0.32()ii i ii zz x x C x x ==--==-∑∑，………………………………… 6分43 3.570.3226 4.75C z C x =-=-⨯=- ……………………… 8分所以0.32 4.75x y e-=， ………………………………… 9分当30x =时，估计产卵数为0.3230 4.754.852127.74y ee ⨯-===………… 10分 （2）因为2212R R <，所以模型②的拟合效果更好 ………………………………… 12分20.解：（1）设椭圆的焦半距为c ，则|OF | = c ，|OA | = a ，|AF | =a c -． 所以113e c a a c+=-，其中c e a =，又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=． ………………………………………… 4分（2）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形． …………… 5分 当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+． 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得22(43)880k x kx ++-=． Δ=22(8)32(43)k k ++，显然大于0． 设点11(,)M x y ，22(,)N x y ．则122843k x x k +=-+，122843x x k =-+． ……… 7分所以12MN x -O 到l的距离d =． 所以△OMN的面积12S d MN === ……… 10分令2433t k =+≥，那么S =t = 3时取等． 所以△OMN． ………………………………… 12分21.解：（1）由()ln k f x x x =+，知0x >，且()()210kf x x x x'=->，……1分 因为曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线2x =垂直，所以()0f e '=， 所以210ke e -=，得k e =， ……3分所以()()2210e x ef x x x x x-'=-=>， 令()0f x '<，得0x e <<，()f x 在()0,e 上单调递减； 令()0f x '>，得x e >，()f x 在(),e +∞上单调递增，综上，()f x 的单调减区间为()0,e ,单调增区间为(),e +∞. ……5分 （2）因为120x x >>，()()1212f x f x x x -<-恒成立，则有()()1122f x x f x x -<-，对120x x ∀>>恒成立， ……7分 令()()()ln 0kg x f x x x x x x=-=+->，则()g x 在()0,+∞上单调递减， 所以()2110kg x x x '=--≤在()0,+∞上恒成立， ……9分 所以()2211024k x x x x ⎛⎫≥-+=--+> ⎪⎝⎭恒成立， ……10分令()21124h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，则()max14k h x ≥=⎡⎤⎣⎦. 所以k 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ……12分22. 解：（1）令a b =得：2233M ≤≤，故23M =； ……3分 （2）先证明2223a b a b b a +≤++. ∵0a >，0b >，要证上式，只要证3(2)3(2)2(2)(2)a b a b a b a b b a +++≤++， 即证222a b ab +≥ 即证2()0a b -≥，这显然成立. ∴2223a b a b b a +≤++. ……6分 再证明2322a ba b b a≤+++. ∵0a >，0b >，要证上式，只要证3(2)3(2)2(2)(2)a a b b b a a b b a +++≥++， 即证222a b ab +≥ 即证2()0a b -≥，这显然成立. ∴2322a ba b b a≤+++. ……9分 （3）猜想结论：存在一个常数M ，使得不等式44444444a b c d a b c dM a b b c c d d a a b b c c d d a+++≤≤+++++++++++ 对任意正数a ，b ，c ，d 恒成立. ……12分。
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中山市高中一年级2016—2017学年度第二学期期末统一考试数 学 试 卷本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时100分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．第I 卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．与向量a =（12，5）垂直的单位向量为（ ）A.（1213，513）B.（-1213，-513）C.（513-，1213）或（513，-1213）D.（±1213，513）2. 执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足（ ）A.x y 2=B.x y 3=C.x y 4=D.y 5=3. α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=( ) A.15 B.15- C.513 D.513- 4. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。
如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）A ．②③都不能为系统抽样B ．②④都不能为分层抽样C ．①④都可能为系统抽样D ．①③都可能为分层抽样5.已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足12OB OA OC 33=+，则|AB |:|BC |=( ) A.1：3 B.3：1 C. 1：2 D. 2：16. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ）A. x x <甲乙，m 甲>m 乙B. x x <甲乙，m 甲<m 乙C. x x >甲乙，m 甲>m 乙D. x x >甲乙，m 甲<m 乙7. 函数cos y x x =-的部分图象是（ ）8. 为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度9. 函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]6π-D ． [,0]3π- 10．在ABC ∆中，2BC AC AB AC AC ⋅-⋅=，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形11.已知锐角三角形的两个内角A,B 满足1tan tan sin 2A B A-=，则有( )A ．0cos 2sin =-B A B ．0cos 2sin =+B AC ．0sin 2sin =+B AD ．0sin 2sin =-B A12．已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的值是（ ）A ．23B ．2C ．23或2 D ．无法确定第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13. 已知,33)6cos(=-απ则)65cos(απ+＋)6(sin 2πα-=____ 14. 已知5432()412 3.5 2.6 1.70.8f x x x x x x =-+-+-，用秦九韶算法求这个多项式当5x =的值时，1v ＝ 15．直线1y kx =-与曲线y =k 的取值范围是16．已知圆22:12,C x y +=直线:4325l x y +=，圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ．三、解答题17．求下列各式的值：（1）1sin10cos10-； （2sin 5013tan10cos 20cos801cos 20+--．18. 为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），已知图中从左到右前三个小组的频率分别时0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.（1）求第四小组的频率？（2）问参加这次测试的学生人数是多少？（3）问在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？19、已知1OA =，3OB =，向量OA ，OB 的夹角为90,点C 在AB 上，且30AOC ∠=.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，求mn的值.B20．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图. （1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; （2）计算甲班的样本方差（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.21. 已知：以点2C t t（,(,0t R t ∈≠)为圆心的圆与x 轴交于点O , A ，与y 轴交于点O , B ，其中O 为原点． （1）求证：△OAB 的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M , N ，若OM = ON ，求圆C 的方程.22. 已知2(cos ,cos ),(cos ,3sin )a x x b x x ωωωω==（其中01ω<<），函数()f x a b =⋅，（1）若直线3x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，先列表再作出函数()f x 在区间[],ππ-上的图象．（2）求函数()y f x =，[],x ππ∈-的值域2019各大网校课程低价共享平台，添加微信youxiu9797，备注“文库”，免费送课程。
中山市高中一年级2016—2017学年度第二学期期末统一考数学参考答案12所以x x ωϕωϕsin cos sin cos =- 对任意x 都成立，且0>ω，所以得0cos =ϕ， 依题设πϕ≤≤0，所以解得2πϕ=.由)(x f 的图象关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ， 取,0=x 得),43()43(ππf f -=所以,0)43(=πf43cos)243sin()43(ωππωππ=+=f ， 2,1,0,243,0,043cos =+=>=∴k k ππωπωωπ得又…，,2,1,0),12(32=+=∴k k ω….当k =0时，]2,0[)232sin()(,32ππω在+==x x f 上是减函数；当k =1时，]2,0[)22sin()(,2ππω在+==x x f 上是减函数；当2≥k 时，]2,0[)2sin()(,310ππωω在+=≥x x f 上不是单调函数. 所以，综合得232==ωω或.二、填空题 13、23 14、8； 15 、10,3k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； 16、16 三、解答题17．解：（1）原式=()4cos 1060cos103sin104sin 204sin10cos10sin 20sin 20+-===（2）原式()2sin 50cos103sin10cos 20cos802sin 10+-()cos 402sin 1030cos 20⋅+-sin 80cos 20-=18. 解：（1）第四小组的频率＝1-（0.1+0.3+0.4）＝0.2 （2）n ＝第一小组的频数÷第一小组的频率＝5÷0.1＝50 （3）因为0.1×50＝5，0.3×50＝15，0.4×50＝20，0.2×50＝10， 所以第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5，15，20，10. 所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组.19、解法一：∵ 向量OA ，OB 的夹角为90，，1OA =，3OB = ∴ 在直角三角形ABC 中，30B ∠=又 ∵30AOC ∠=，则OCA ∆∽BCO ∆∽BOA ∆，∴OCA ∆、BCO ∆都是直角三角形， 则 1sin 302AC OA =⋅=，3cos30322BC OB =⋅== 过C 作//CE AO 交OB 于E ，过C 作//CF BO 交OA 于F ， 则33cos304BEBC =⋅=，44OE ==，14OE OB =1sin 304AF AC =⋅=，13144OF =-=，34OF OA = ∴ 3144OC OE OF OA OB =+=+∴ 34m =，14n =，3m n =解法二提示：在方程OC mOA nOB =+两边同乘以向量OA 、OB 得到两个关于m 、n 的方程组，解方程组可得34m =，14n =，3m n =20．解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于170180:之间。
因此B乙班平均身高高于甲班;(2) 15816216316816817017117917918217010x +++++++++==甲班的样本方差为()()()()222221[(158170)16217016317016817016817010-+-+-+-+-()()()()()22222170170171170179170179170182170]+-+-+-+-+-＝57.2 （3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件； ()42105P A ∴== ； 21. 解：（1）O C 过原点圆 ，2224t t OC +=∴． 设圆C 的方程是 22224)2()(tt t y t x +=-+-令0=x ，得ty y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021==4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即：OAB ∆的面积为定值．（2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=． t t 212=∴，解得：22-==t t 或当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离d =<，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d 圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去． ∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x ．22. 解：()()2()2cos ,cos cos ,2cos 2sin f x a b x x x x x x x ωωωωωωω=⋅=⋅=+1cos 2212sin(2)6x x x πωωω=+=++（1）直线3x π=为对称轴，∴2sin()136ωππ+=±，∴2()362k k Z ωππππ+=+∈ 3122k ω∴=+，111010332k k ωω<<∴-<<∴=∴=()12sin()6f x x π=++在[,]ππ-的图象如函数f （x ）图所示。