计数应用题解题策略
数学应用题答题技巧
数学应用题答题技巧
1. 嘿，仔细读题可是关键啊！就像你走路得看清路一样。
比如题目说小明有 5 个苹果，给了小红 2 个，问还剩几个。
你要是没看清数字，那不就答错啦！所以读题要认真仔细，可别马虎哟！
2. 画图解题超有用的呀！这就好比给你一团乱麻，你画个图不就理清啦。
像有道题是算几个图形的面积，你画个图出来，一目了然，答案不就轻松找到啦！
3. 找关键信息很重要呢！好比在一堆东西里找宝贝。
比如题目里说周末去公园，那这就是个重要提示呢，做题可得抓住这些关键啊，不然咋答对呢！
4. 大胆假设也不错呀！就像摸着石头过河。
比如算一个数除以另一个数是多少，你先假设一个数试试看，说不定就能找到规律呢！
5. 检查答案可不能忘啊！这就像出门前得照照镜子看看有没有问题。
做完题检查下步骤对不对，算的数对不对，这样才放心呀！
6. 多思考几种方法呀，别在一棵树上吊死！好比去一个地方可以走好几条路呢。
一道题可能有多种解法，都试试，说不定有更简单快捷的呢！
7. 不要死磕难题呀，该放就放！就像爬山遇到陡壁，先绕过去嘛。
要是一道题难住了，别一直纠结，先去做后面的，最后再回来看看，说不定就有灵感啦！
总之，掌握这些数学应用题答题技巧，做题就会又快又准，不信你试试呀！。
“计数问题”的解决策略
“计数问题”的解决策略摘要：计数问题是高中数学的重要内容之一，是学习概率的基础，在高考中几乎每年必考，由于它的重要性和解题特殊性，本文对此块问题的解题策略进行了总结。
关键词：计数排列组合策略计数问题是高中数学的重要内容之一，是学习概率的基础，纵观这几年高考数学试题，计数题在理科试题中基本上每年必考，特别是与概率或随机变量的分布结合在高考中占有相当大的比例，而解决计数问题的思考方法和解题方法都有它的特殊性：概念性强，抽象灵活，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”和“遗漏”的错误，并且结果数字往往较大，无法一一检验。
这些特征导致学生学习计数方法比较困难，笔者认为解决此困难的关键是加深概念的理解，特别是两个计数原理和排列组合公式，掌握知识的内在联系和区别，科学周全地思考分析问题。
一、计数题常见问题及解决策略由于排列组合问题的重要性，教师在平时的教学中，都会对于排列组合题中涉及的一些典型类型如：相邻和不相邻、先排和后排、分配和分组等问题进行策略性教学。
以下是笔者在平时教学中整理的排列组合问题常见的解题策略：学了这些策略后，学生可通过抓住关键字如相邻不相邻，分组分配等选择对应的策略来解题，至少学生觉得排列组合题没那么难入手，它其实也是有规律可循的，在一定程度上降低了学习排列组合的难度。
二、教学方法俗话说“师傅引进门，修行靠个人”，虽然学习的主要方在学生，但教师的“引”若引得好引得妙，可让学生的“修行”事半功倍，所以教师一定要“演”好自己的主导。
笔者在“引”上又有自己的两点建议：1、以上那么多的策略，学生如何掌握呢？而这些策略是一些技巧性较强或机械化的解题方法，如果单靠死记硬背，很难灵活运用。
笔者认为要引导学生从最本质的地方入手，理解好两个计数原理的本质，再用两个计数原理去理解它们。
只有理解透了，当遇到类似的题型时，就会“下笔如有神”了。
另一方面要让学生领悟到排列组合公式是简化复杂的排列组合问题的一个公式，它们适用于元素不同，且不能重复取的类型，若遇到不是这种题型的，就不能“A”或“C”了，而要能想到用最原始的方法穷举法或画树状图帮助理解突破少见题。
浅谈常见计数问题的解析策略
㊀㊀㊀解题技巧与方法１２３㊀数学学习与研究㊀２０２０ １３浅谈常见计数问题的解析策略浅谈常见计数问题的解析策略Һ郑有礼㊀（甘肃省天祝县第二中学，甘肃㊀武威㊀７３３２９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ计数问题是每年高考命题的热点，列式的思路是分类加法㊁分步乘法㊁有序排列㊁无序组合．解决此类问题，首先，要认真审题，抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个计数原理（分类加法计数原理与分步乘法计数原理）进行分类与分步，分类与分步是解析计数问题的最基本的步骤；其次，分类与分步之后，要考虑每一类㊁每一步的列式方案，分析是否存在类中有类㊁类中有步㊁步中有类㊁步中有步的情况；再次，求种数时，如果与顺序有关，那么用排列数列式；如果与顺序无关，那么用组合数列式．ʌ关键词ɔ计数问题；解析策略计数问题是每年高考命题的热点，列式的思路是分类加法㊁分步乘法㊁有序排列㊁无序组合．分类加法计数原理的特征是分类解决问题，分类必须满足类与类互斥，总类必须完备；分步乘法计数原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性．求种数时，与顺序有关，用排列数列式；与顺序无关，用组合数列式．相邻㊁相离㊁定序㊁选排㊁特殊位置㊁特殊元素㊁平均分组㊁相同元素分栏㊁至多至少等问题是一些常见的计数问题，现将它们的解析策略列举如下．一㊁相邻问题捆绑处理求解某几个元素必须相邻的排列问题时可按下面两个步骤进行：第一步，把相邻元素进行排列后捆绑成一个捆绑团；第二步，将捆绑团视为一个元素与其他元素进行全排列．例１㊀某校校庆期间，学校将８面不同颜色的彩旗并排插在教学楼的楼顶上，红色旗与黄色旗必须插在一起，一共有多少种不同的插法？解析㊀该问题中，红色旗与黄色旗必须插在一起是相邻问题，应分两步解决：第一步，将相邻的２个元素进行排列，有Ａ２２种排法，并将２个相邻元素捆绑成一个捆绑团；第二步，将捆绑团视为１个元素，连同其他６个元素一共７个元素进行全排列，有Ａ７７种排法．根据分步乘法计数原理，一共有Ａ２２㊃Ａ７７＝１００８０种不同的插法．二㊁相离问题插空处理相离问题是指排列时某些元素不能相邻，由其他元素将它们分开．解析此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻元素插入已排好元素的空隙及两端位置．例２㊀已知天祝县第二中学高三年级组的９名班主任站成一排照相，其中要求永强与志杰两个人必须站在一起，而海军和福学两个人不能站在一起，则有多少种站队方法？解析㊀该问题中永强与志杰相邻，海军和福学相离，是相邻与相离的综合问题，总体分三步解决：第一步，将相邻的永强与志杰两个人进行排列，有Ａ２２种排法，并将这两个人捆绑成一个捆绑团；第二步，将捆绑团视为１个元素，连同海军和福学除外的其他５个元素一共６个元素进行全排列，有Ａ６６种站法；第三步，将海军和福学插入已排好的班主任的空隙及两端位置，有Ａ２７种站法．根据分步乘法计数原理，一共有Ａ２２㊃Ａ６６㊃Ａ２７＝６０４８０种不同的站队方法．三㊁定序问题分次插空处理限定部分元素保持一定的顺序与其他元素进行排列的问题就是定序问题．解析定序问题可以先将定序的元素按要求排好，再将其他元素一次插入一个，分次插入已排好元素的空隙及两端位置，每插入一个元素就会增加一个插入位置．例３㊀ 六一 儿童节期间，武威市天祝师范附属小学的６名小朋友站队，其中有３名男性小朋友，他们分别是强强㊁军军与杰杰，站队时强强必须要站在军军与杰杰的后面，则有多少种不同的站法？解析㊀该问题中男性小朋友强强必须要站在军军与杰杰的后面属于定序问题，总体分两步解决：第一步，将３名男性小朋友按规定顺序排好队，有Ａ２２种排法；第二步，分次插空，先将第一名女性小朋友插入已排好的男性小朋友的空隙及两端位置，有４种插法，再将第二名女性小朋友插入已排好的４名小朋友的空隙及两端位置，有５种插法，最后将第三名女性小朋友插入已排好的５名小朋友的空隙及两端位置，有６种插法，完成第二步根据分步乘法计数原理有４ˑ５ˑ６＝１２０种插法．总体上依据分步乘法计数原理一共有Ａ２２㊃１２０＝２４０种不同的站队方法．四㊁选排问题先选排后分步处理先选出元素，再把选出的元素排列到位置上的排列组合的综合性问题就是选排问题．解析此类问题可以分步进行，先用组合选出元素，再用排列将选出的元素排到位置上．例４㊀在天祝县第二中学第十一届冬季球类运动会期间，学校团委组织了一个有７名志愿者参加的服务小组，其中２名老师担任正副组长，组员由５名学生组成．现有四项不同的任务需４名志愿者完成，有且只有１名组长参加，每名志愿者只完成一项任务，有多少种不同的安排方法？解析㊀该问题中需先选志愿者，再安排选出的志愿者完成四项不同的任务，属于选排问题，总体分两步解决：第一步，选出４名志愿者，先在２名组长中选出１人，有Ｃ１２种选法，再在５名学生志愿者中选出３人，有Ｃ３５种选法，完成第一步根据分步乘法计数原理有Ｃ１２㊃Ｃ３５＝２０种不同的选法；第二步，安排４名选出的志愿者完成四项不同的任务，有Ａ４４＝２４种排法．总体上依据分步乘法计数原理，一共有２０ˑ２４＝４８０种不同的安排方法．五㊁特殊元素（位置）优先处理在排列中，有时限定某元素必须排在某位置或某元素不能排在某位置，有时限定某位置只能排某元素或者某位置不能排某元素，这种问题就是特殊元素（位置）问题，解析此类问题可以先将特殊元素（位置）优先处理，再将其他元素进行排列．例５㊀安排甘肃省武威市天祝县某医院的６名护士上台表演节目，每人一个节目，其中要求丽丽的节目不能安排在最后位置，岚岚的节目不能安排在最前位置，则有多少种㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２０ １３不同的节目安排方法？解析㊀该问题中要求丽丽的节目不能安排在最后位置，岚岚的节目不能安排在最前位置．最前与最后是两个特殊位置，丽丽和岚岚是两个特殊的 元素 ，可以先将她们优先安排．总体上可以分为两类：第一类是将岚岚的节目安排在最后，有Ａ５５＝１２０种安排方法；第二类是将岚岚的节目不安排在最后，分三步完成，第一步把岚岚的节目安排好有４种方法，第二步把丽丽的节目安排好有４种方法，第三步将其他的节目安排好有Ａ４４＝２４种方法，根据分步乘法计数原理完成第二类有４ˑ４ˑ２４＝３８４种不同的安排方法．总体上依据分类加法计数原理一共有１２０＋３８４＝５０４种不同的安排方法．六㊁平均分组问题做除法处理各组的元素个数相等的分组就是平均分组，解析平均分组问题时，先分组（用组合），再做除法．平均分组的种数与组序无关，组序不同但组中元素相同的分组仍是同一分组．做除法是为了避免重复计数．若把ｎ个不同元素平均分成ｍ组，则有Ｃｍｎ㊃Ｃｍｎ－ｍ㊃Ｃｍｎ－２ｍ㊃ ㊃ＣｍｍＡｍｍ种分法．在有些分组中，有一部分组的元素个数相等，这种分组就是部分平均分组，解析部分平均分组问题可以分两个步骤进行，第一步依次用组合把元素个数不相等的组中的元素分别取出来，第二步把剩下的元素进行平均分组（此时也要做除法）．例６㊀２０２０年年初，新冠肺炎疫情暴发，人民生命安全受到严重威胁．疫情既是命令又是试金石，为了更好地防控新冠肺炎疫情，打好疫情防控阻击战，充分发挥共产党员的先锋模范带头作用，甘肃省武威市天祝县某单位的共产党员们争先恐后地提交到社区支援疫情防控工作的申请．若该单位决定将６名优秀共产党员平均分成三组安排到三个不同社区支援疫情防控，有多少种不同的安排方法？若该单位决定将７名优秀共产党员按３ʒ２ʒ２的比分成三组分别安排到三个不同社区支援疫情防控，又有多少种不同的安排方法？解析㊀第一问中，完成该工作分两步进行，第一步将６名优秀共产党员平均分成三组，有Ｃ２６㊃Ｃ２４㊃Ｃ２２Ａ３３＝１５种分法；第二步将分成的三组优秀共产党员安排到三个不同社区有Ａ３３＝６种安排方法．总体上按照分步乘法计数原理一共有１５ˑ６＝９０种不同的安排方法．第二问中，完成该工作也分两步进行，第一步将７名优秀共产党员按３ʒ２ʒ２的比分成三组，是部分平均分组，有Ｃ３７㊃Ｃ２４㊃Ｃ２２Ａ２２＝１０５种分法；第二步将分成的三组优秀共产党员安排到三个不同社区有Ａ３３＝６种安排方法．总体上按照分步乘法计数原理一共有１０５ˑ６＝６３０种不同的安排方法．七㊁相同元素分栏问题插板处理把相同的ｎ个元素分入ｍ（ｍɤｎ）个栏中就是相同元素的分栏问题，若满足所要分栏的元素必须完全相同且必须分完，不允许有剩余，参与分元素的每个栏至少分到１个元素且不能有分不到元素的栏，则可用插入挡板的方法处理．先将ｎ个分栏元素排成一行，再在元素间的（ｎ－１）个空隙中插入（ｍ－１）个挡板，一个空隙只能插入一个挡板，插入的挡板数等于栏数减一，有Ｃｍ－１ｎ－１种分法．例７㊀２０２０年春季，新冠肺炎疫情暴发，严重影响着人们的生命㊁生产㊁生活．在党中央的领导下，一场轰轰烈烈的抗击疫情的伟大的人民战争在中华大地全面展开，疫情防控取得阶段性胜利，经过科学研判论证，各地中小学先后有序开学．甘肃省武威市某中学自开学以来，认真贯彻执行疫情防控命令，为确保全校师生的生命安全和身体健康，学校的每个年级部都安排专人按时进行严格的消毒杀菌工作．现有爱心人士华某某给学校捐赠了１１瓶相同的８４消毒液和９条相同的毛巾，要求全部分发给６个年级部，每个年级部至少要分得１瓶８４消毒液，也至少要分得１条毛巾，则有多少种不同的分法？解析㊀给年级部分发８４消毒液和毛巾，分两步进行，第一步按要求将１１瓶８４消毒液分发给６个年级部，这是相同元素分栏问题，把１１瓶８４消毒液排成一行，在８４消毒液间的１０个空隙中插入５个挡板，有Ｃ５１０＝２５２种分法；第二步按要求将９条毛巾分发给６个年级部，这也是相同元素分栏问题，把９条毛巾排成一行，在毛巾间的８个空隙中插入５个挡板，有Ｃ５８＝５６种分法．总体上按照分步乘法计数原理一共有２５２ˑ５６＝１４１１２种不同的分法．八㊁至多至少问题正难则反间接处理从正面解析含 至多 至少 的排列组合问题是需要分类的，正面分类处理较烦琐时可间接处理．解析此类问题可以先求出它的反面，再从整体中排除反面的种数．例８㊀优先发展教育事业是实现中华民族伟大复兴的必由之路，教育兴则国兴，教师强则教育强．教师是立教之本，建设一支业务素质精良的教师队伍是时代发展的需要．到教育发达省份去交流学习是提高教师队伍综合素质的有效途径．２０１９年，甘肃省武威市天祝县第二中学的高三年级部有３０名教师，其中女教师有１６名，高考结束后，学校决定从中选派６名教师到天津市蓟州区某学校交流学习，则至少有２名女教师的选派方法有多少种？解析㊀从３０名教师中选派６名教师有Ｃ６３０＝５９３７７５种方法，至少有２名女教师的选派方法包含恰好选派２名女教师㊁恰好选派３名女教师㊁恰好选派４名女教师㊁恰好选派５名女教师㊁恰好选派６名女教师等５类情况，正面求解运算量较大．而其反面至多有１名女教师包含的情况只有２类，第一类是恰好选派１名女教师，有Ｃ１１６㊃Ｃ５１４＝３２０３２种选派方法；第二类是全部选派男教师，有Ｃ６１４＝３００３种选派方法．依据分类加法计数原理至多有１名女教师的选派方法有３２０３２＋３００３＝３５０３５种，故至少有２名女教师的选派方法有５９３７７５－３５０３５＝５５８７４０种．总之，计数问题的种类比较多，分类与分步是解决计数问题的最基本的策略．除了相邻㊁相离㊁定序㊁选排㊁特殊元素㊁特殊位置㊁平均分组㊁相同元素分栏及至多至少等问题，还有其他计数问题，是每年高考命题的热点．解决计数综合问题，首先，要加强阅读理解，认真审题，抓住问题的本质特征，总体上确定要分类解决还是分步解决．其次，如果总体上要分类解决，那么求出各类的种数之后用分类加法计数原理列式；如果总体上要分步解决，那么求出各步的种数之后用分步乘法计数原理列式．分类与分步之后，要考虑每一类㊁每一步的列式方案，分析是否存在类中有类㊁类中有步㊁步中有类㊁步中有步的情况，如果存在，那么用相应的计数原理给这一类或这一步求种数．求种数时，如果与顺序有关，那么用排列数列式；如果与顺序无关，那么用组合数列式．。
高中数学第一章计数原理1.4计数应用题排列组合难题二十一种方法素材苏教版选修2-3
轻松搞定摆列组合难题二十一种方法摆列合系生风趣，但型多，思路灵巧，所以解决摆列合，第一要真，弄清楚是摆列、合是摆列与合合；其次要抓住的本特色，采纳合理适合的方法来理。
复稳固1.分数原理 ( 加法原理 )达成一件事，有n 法，在第1法中有 m1种不一样的方法，在第 2 法中有m2种不一样的方法，⋯，在第n 法中有 m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2L m n种不一样的方法．2.分步数原理（乘法原理）达成一件事，需要分红n 个步，做第1步有 m1种不一样的方法，做第 2 步有m2种不一样的方法，⋯，做第n 步有 m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2L m n种不一样的方法．3.分数原理分步数原理区分数原理方法互相独立，任何一种方法都能够独立地达成件事。
分步数原理各步互相依存，每步中的方法达成事件的一个段，不可以达成整个事件．解决摆列合合性的一般程以下:1.真弄清要做什么事2.怎做才能达成所要做的事 , 即采纳分步是分 , 或是分步与分同行 , 确立分多少步及多少。
3.确立每一步或每一是摆列 ( 有序 ) 是合 ( 无序 ) , 元素数是多少及拿出多少个元素 .4.解决摆列合合性，常常与步交错，所以必掌握一些常用的解策略一 . 特别元素和特别地点先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5能够构成多少个没有重复数字五位奇数.解 : 因为末位和首位有特别要求 , 应当优先安排 , 免得不合要求的元素占了这两个地点 . 先排末位共有 C13而后排首位共有 C14C14A34C13最后排其余地点共有A43由分步计数原理得 C41C31 A43288地点剖析法和元素剖析法是解决摆列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素剖析为主 , 需先安排特别元素 , 再办理其余元素 . 若以地点剖析为主 , 需先知足特别地点的要求, 再办理其余位置。
如有多个拘束条件，常常是考虑一个拘束条件的同时还要兼备其余条件练习题 :7 种不一样的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两头的花盆里，问有多少不一样的种法？二 . 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排,此中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不一样的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一个复合元素，同时丙丁也当作一个复合元素，再与其余元素进行摆列，同时对相邻元素内部进行自排。
初中数学中的计数方法与思路
初中数学中的计数方法与思路数学是一门需要思考和解决问题的学科，而计数方法是数学中最基础、最常用的思维工具之一。
在初中数学中，计数方法涉及到了排列、组合、概率等概念，通过灵活运用计数方法，可以帮助我们解决各种问题。
一、排列排列是指从一组元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式。
在初中数学中，我们常常遇到的一个问题是“从n个元素中选取m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式？”。
这个问题可以通过排列的计数方法进行解决。
当n个元素中选取m个元素进行排列时，首先我们需要确定第一个元素的选择，有n种可能性；然后是第二个元素的选择，由于第一个元素已经被选取，所以剩下的元素只有n-1个可选，因此有n-1种可能性；以此类推，直到选取了m个元素，总的排列方式就是n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。
这个计算公式可以简写为n!/(n-m)!，其中“!”表示阶乘运算。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
在初中数学中，我们经常会遇到类似的问题：“从n个元素中选取m个元素进行组合，有多少种不同的组合方式？”这个问题可以通过组合的计数方法进行解决。
当n个元素中选取m个元素进行组合时，我们可以先进行排列，然后将相同的排列方式归为一组，因为这些排列方式实际上是属于同一个组合的。
所以，总的组合方式可以通过排列方式除以重复的排列数来计算，即C(n,m)=P(n,m)/m!，其中C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数。
三、概率概率是数学中一个非常重要的概念，它描述了某个事件发生的可能性大小。
在初中数学中，我们学习了一些基本的概率计算方法。
例如，当一个事件有n种可能的结果，而我们关心的结果有m种时，该事件发生的概率就是m/n。
在计算概率时，我们常常会遇到一些复杂的情况，这时候可以利用计数方法来辅助计算。
例如，当一个事件有多个步骤时，我们可以将每个步骤的可能结果数相乘，得到整个事件发生的总的可能结果数。
专题九__计数问题中的技巧方法
专题九 计数问题中的技巧方法例1 红色和白色的椅子各有5张，围成一个圆圈，共有多少种不同的排法？同色的椅子是没有区别的，经旋转后排列的顺序一致的排法只算1种．例2 一个7×7的棋盘的2个方格着黄色，其余的方格着绿色．如果一种着色法可从另一种着色法经过在棋盘的平面中的旋转而得到，那么这两种着色法看做同一种．可能有多少种不同的着色法？例3 一个150×324×375的长方体由1×1×1的单位立方体胶合在一起而做成的．这长方体的一条内对角线穿过多少个单位立方体的内部？例4 设集合A={1，2，…，10}．A 到A 的映射f 满足下列两个条件：（1）对任意X ∈A ，f (30)（x ）=x ；（2）对每个正整数k ，1≤k ≤29，至少存在一个a ∈A ，使得f (k)（a ）≠a ．其中f (1)（x ）=f （x ），f (2)（x ）=f （f （x ）），…，f(k+1)（x ）=f （f (k)（x ）），…．求这样的映射的总数，例5 正方形ABCD 的内部有1999个点，以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点，将它剪成一些三角形。
问：一共可以剪成多少个三角形？共需剪多少刀？例6 圆周上有100个等分点123100,,,,A A A A ，集合{|1100}i j k S A A A i j k =∆≤<<≤.（1）求集合S 中元素的个数；（2）若T S ⊆，集合T 满足：任意两个三角形都不全等且集合T 内元素个数最多，求集合T 中元素的个数.(3)求集合T 中锐角三角形的个数.例7 某人给六个不同的收信人写了六封信，并且准备了六个写有收信人地址的信封，有多少种投放信笺的方法，使每封信笺与信封上的收信人都不相符．例8 在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位.为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？例9 下图中将等边三角形每边3等分，过等分点作每边平行线，这样所形成的平行四边形个数，记为f （3），则f （3）=15．将等边三角形每边n 等分，过各分点作各边平行线，所形成的平行四边形个数记为f （n ），求f （n ）表达式．例10 设n 和k 是正整数，S 是平面上n 个点的集合，满足：（1）S 中任何三点不共线；（2）对S 中的每一个点P ，S 中至少存在k 个点与P 距离相等．求证：12k <+例11 有10个箱子，编号为1，2，…，10，各配一把钥匙，10把各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好，先撬开1，2号箱子，取出钥匙去开别的箱子，如果最终能把所有箱子的锁都打开，则说是一种好的放钥匙的方法.求好的方法的总数.例12 数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。
小学数学练习题应用题的解题方法与思路
小学数学练习题应用题的解题方法与思路小学数学练习题中，应用题是一种常见的题型，需要学生运用数学知识解决实际问题。
正确的解题方法和思路对于学生的数学素养和解决问题的能力都至关重要。
本文将介绍一些针对小学数学应用题的解题方法和思路，以帮助学生提高解题效率和准确性。
一、理解题意在解答应用题之前，首先要仔细阅读题目，并确保对题意充分理解。
有时候，一个关键的细节就能决定解题的方向。
在阅读题目时，可以使用划线、圈出重要信息的方式，帮助自己更好地理解题意。
例如，一道题目：“小明有20个苹果，他吃掉了5个，又买了10个，现在还剩下多少个苹果？”在阅读题目时，划线标出关键信息可以帮助学生更好地进行解题。
二、抽象建模应用题通常涉及到实际生活中的问题，需要将问题抽象化为数学模型。
在解决问题之前，学生可以思考如何用数学工具来描述问题，并建立相应的方程或公式。
例如，一个问题是“小明买了5本数学书，每本书的价格是15元，他花了多少钱？”学生可以用数学符号表示出问题中的关键信息：书的数量为5，价格为15元。
可以建立方程5×15=？三、分步解决针对复杂的应用题，学生可以采用分步解决的方法。
将问题分解为几个较为简单的步骤，逐个解决，最后将结果合并起来得出最终答案。
例如，一个问题是“小明爸爸的年龄是小明年龄的3倍，小明今年8岁，那么他爸爸今年几岁？”学生可以分步解决，首先计算出小明爸爸的年龄，即8×3=24岁。
四、实际操作对于某些应用题，仅仅通过思考可能不够，学生还可以通过实际操作来解决问题。
例如，使用实物模型、绘制图表或制作图形等方式，帮助自己更好地理解问题并找到解决方法。
例如，一个问题是“班级里有30个学生，其中男生占总数的三分之二，女生有多少人？”学生可以使用物理对象（如可乐瓶）来模拟，将30个学生以三分之二和三分之一的比例分别摆放出来，然后数一数剩下多少个女生。
五、反思总结在解决应用题之后，学生应该对自己的解题过程进行反思总结。
计数原理解题技巧
计数原理解题技巧计数原理是数学中的一个重要概念，它在解题过程中有着广泛的应用。
掌握计数原理解题技巧，可以帮助我们更好地理解和解决各种问题。
在这篇文档中，我将介绍一些计数原理解题的技巧，希望能够对大家有所帮助。
首先，我们来了解一下计数原理的基本概念。
计数原理是指在一定条件下，通过计数的方法求出某种可能性的总数。
在解题过程中，我们常常会遇到各种各样的计数问题，比如排列组合、概率统计等。
而计数原理正是帮助我们解决这些问题的重要工具。
在解决计数问题时，我们需要注意以下几点技巧。
首先，要明确问题所涉及的对象和条件。
只有明确了问题的对象和条件，我们才能有针对性地进行计数。
其次，要善于利用分类的方法。
有时候，一个复杂的计数问题可以通过将其分解成几个简单的子问题来解决。
再次，要善于利用排列组合的知识。
排列组合是计数原理中的重要内容，我们可以通过排列组合的方法来解决很多计数问题。
最后，要注意化繁为简，善于简化问题。
有些复杂的计数问题可以通过适当地简化来减少计算的复杂度。
除了以上提到的技巧外，我们在解决计数问题时还需要注意一些常见的误区。
首先，要避免重复计数。
有些问题中存在着重复计数的情况，我们需要特别注意避免这种情况的发生。
其次，要避免漏计。
有时候，我们在计数过程中会漏掉一些情况，导致最终结果不准确。
最后，要注意问题的合理性。
有些问题可能存在着一些隐含的条件，我们需要在计算过程中将这些条件考虑进去，以确保最终结果的准确性。
总的来说，掌握计数原理解题技巧对于我们解决各种计数问题至关重要。
通过灵活运用分类、排列组合等方法，我们可以更好地解决各种计数问题。
同时，我们也需要注意避免一些常见的误区，确保问题的解答准确性。
希望这些技巧能够对大家在解决计数问题时有所帮助。
在实际的学习和工作中，我们经常会遇到各种各样的计数问题。
掌握计数原理解题技巧，可以帮助我们更好地理解和解决这些问题。
希望大家能够通过不断的练习和思考，提高自己的计数解题能力，更好地应对各种挑战。
排列组合等计数题型的解题技巧
排列组合等计数题型的解题技巧教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。
5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
知识点拨：一、排列一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法；……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘。
解应用题的方法和技巧
解应用题的方法和技巧
1. 哎呀，解应用题的时候，一定要仔细读题呀！就像走路要看清脚下的路一样。
比如说这道题：小明有 5 个苹果，小红比小明多 3 个，那小红有
几个苹果？这不是一下就能算出来嘛！
2. 要学会找关键信息哦！这可是解应用题的绝招呀！比如那道：一个数加上
3 等于 10，这个数是多少？找到关键的“加上 3 等于10”就好解啦！
3. 大胆去假设呀！别不敢，有时候一假设问题就迎刃而解啦。
像那道：一个盒子里不知道有几个球，摸出来一个是红球，再摸一个还是红球，那能假设盒子里全是红球试试看嘛！
4. 画个图也不错哟，直观又清晰！比如有道题说几个小朋友站成一排，通过画图就能清楚看出他们的位置关系呀！
5. 别忘了从问题倒推回去呀！这就像你要去一个地方，从目的地往回找路一样。
比如问你一共花了多少钱，就从买的东西价格去推呀！
6. 多运用生活常识嘛！应用题很多都和生活相关呀。
像算买东西找零钱这种，平时买东西的经验就派上用场啦！
7. 公式要记牢哇！就跟记好朋友的电话号码一样重要。
比如算面积、体积的公式，记住了做题不就容易啦！
8. 跟伙伴讨论讨论呀，说不定别人的想法就能点亮你的灵感呢！一道难题大家一起想，多有意思呀！
9. 别害怕做错呀，错了才能找到问题嘛！就像学走路会摔跤一样，爬起来继续就好啦！所以呀，解应用题就是这么有趣又有挑战性，大家加油去攻克它们吧！
我的观点结论：解应用题有很多有趣的方法和技巧，关键是要大胆尝试和细心思考，相信自己能行！。
——解决计数问题的方法.ppt
加法法则
要数出分为两个集合的事物时，可以使用加法法则。 思考题： 在一副扑克牌中，有10张红桃数字牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、 10），3张红桃花牌（J、Q、K）。那么红桃共有多少张？ 答案： 数字牌10张，加上花牌3张，共有13张。
4
加法法则
加法法则就是将无“重复”元素的两个集合A、B相加，得到A U B的元素数。 A U B的元素数=A的元素数+B的元素数 |A U B|=|A|+|B| 注意： 加法法则只在集合中没有重复元素的条件下成立。有重复的情况下，必 须减去重复才能得到正确的数量。
5
容斥原理
思考题：控制亮灯的扑克牌 在一副扑克牌中，有13个级别（A、2、3、4、5、6、7、8、9、J、Q、 K）。我们将A、J、Q、K设为级数1、11、12、13。在你的面前有一个 装置，只要往里面放一张牌，它会根据牌的级数控制灯光的亮灭。 (1)若n是2的倍数，亮灯。 (2)若n是3的倍数，亮灯。 (3)若n不是2的倍数，也不是3的倍数，灭灯。 往这个装置依次放入13张牌，最后亮灯的有多少张牌？
9
8
乘法法则
假设A为扑克牌花色的集合，B为扑克牌级别的集合 集合A=｛红桃，黑桃，方片，梅花｝ 集合B=｛A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K｝ 而集合A×B列举如下： A×B= ｛
（红桃，A），（红桃，2），（红桃，3），……（红桃，K） （黑桃，A），（黑桃，2），（黑桃，3），……（黑桃，K） （方片，A），（方片，2），（方片，3），……（方片，K) （梅花，A），（梅花，2），（梅花，3），……（梅花，K) ｝ 共52张牌
答案： 在1-13中，2的倍数有2、4、6、8、10、12共6张。 在1-13中，3的倍数有3、6、9、12共4张。 在1-13中，既是2的倍数，又是3的倍数的有6、12共2张。 因此，亮灯的牌有6+4-2=8（张）
计数应用题解题策略
计数应用题解题策略————?数学?选修2-3§1.4?计数应用题?教学反思沛县体育中学 李锋计数应用题是排列组合中最常见的题型，由于其解法往往是构造性的, 因此方法灵活多样, 不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复〞和“遗漏〞的错误较难自检发现。
因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。
以下结合一些例题讲述了在解决计数应用题时的一般步骤和需要注意的细节。
一、把握分类计数原理、分步计数原理是根底例1．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。
现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?解：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，有种； 第二类：这两人有一个去当钳工，有种； 第三类：这两人都不去当钳工，有 种。
因而共有185种。
小结：把握了“分类的要求〞和“分步的合理性〞，解决排列组合问题就快速多了。
并能提高解题的准确度。
二、注意区别“恰好〞与“至少〞例2．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有_____。
解：通过合理的分步可以完成任务。
第一步从6双中选出一双同色的手套，有6种方法； 第二步从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法； 第三步从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法。
由于选取与顺序无关，因而第二步和第三步中的选法重复一次，因而共240A C C C 221811016 种。
小结：“恰好有一个〞是“只有一个〞的意思。
“至少有一个〞那么是“有一个或一个以上〞，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个〞的反面，故可用“排除法〞。
三、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑例3．六人站成一排，求：(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数解：〔1〕先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
一年级数学题目解答技巧与实际应用案例分享
一年级数学题目解答技巧与实际应用案例分享数学是一门基础学科，而数学题目解答技巧的掌握对于学生的数学学习至关重要。
在一年级数学学习阶段，学生们初步接触各类基础数学题目，因此掌握解答技巧可以帮助他们更好地理解和应用数学知识。
本文将分享一些一年级数学题目解答的技巧，并结合实际案例加深理解。
第一种题目类型：加法与减法运算题在一年级，学生们开始接触加法与减法运算，这是最基础的数学运算。
为了提高学生的计算效率和准确性，以下是几种解答技巧：1. 数字的排列顺序：在加法运算中，数字的排列对结果没有影响。
例如，计算15 + 6可以将数字重新排列为6 + 15，这样更容易计算。
而在减法运算中，减数、被减数和差的位置要分清楚，确保减法的操作正确。
2. 计算进位与退位：在加法中，当两个相加的数相加大于10时，就需要进位，将进位的数加到前一位。
例如，计算28 + 17，首先将个位数相加得到5，然后将十位数相加得到4，最后将进位的1加到4上，结果为45。
而在减法中，需要退位的情况也需要特别注意。
3. 分步计算：对于较长的加法或减法题目，可以采用分步计算的方法。
例如，计算364 + 278，可以首先计算个位数，然后再计算十位数和百位数，最后将结果合并得到答案。
案例分享：小明有5个橙子，他吃了3个，还剩下几个？解答过程：根据题目要求，我们需要进行减法运算。
首先，我们知道小明有5个橙子，然后他吃了3个，所以我们需要计算5-3。
通过减法技巧，我们从个位数开始计算，3减去5是不可能的，因此我们需要向十位数借位，将10加到个位数上，得到13减去5等于8。
所以小明还剩下8个橙子。
第二种题目类型：计数与比较题在一年级，学生需要学会进行计数和比较。
以下是一些解答技巧：1. 数字的对应关系：对于计数题，学生需要抓住数字之间的对应关系。
例如，计算2、4、6这几个数字中的最大值，通过比较可以发现6是最大的数字。
2. 使用图形或图表：在一些复杂的计数题目中，可以绘制图形或图表来帮助解答。
计数原理常用解题策略
由此可见，统计数原理在帮助我们解决特定统计问题时具有重要的作用，尤其是在数据收集、分析和推理方面都发挥了至关重要的作用。因此，在研究特定的统计问题时，使用统计数原理的解题策略是非常有效的，可以很好地开展以上研究。
计数原理常用解题策略
统计数原理是按照一定的统计方法对某种数量样模型的建立。
统计数原理一般涉及到实验设计、社会测量、人口统计、家政统计学、市场调查等。许多统计技术、估计方法和分析方法等，也是由统计数原理而发展而来的。
解决特定统计问题时，使用统计原理的解题策略往往是比较有效的，这也是用统计方法来研究和分析实验和抽样研究的重要方法之一。
首先，在解决特定的统计问题时，我们必须仔细研究它的背景信息，按照一定的方法收集、观察、描述和检验数据，然后采用合理的统计方法进行分析处理，以得到问题的有效解决方案。
其次，针对复杂的问题，使用对样本数据进行假设检验的方法，以确定某一性质是否存在或某一情况是否满足一定的条件。
在此基础上，使用统计分析方法就可以有效地进行统计，包括统计估计、统计分析和抽样等。
第三章 微专题1 计数问题的常用方法
微专题1计数问题的常用方法有关计数问题在考试中经常直接和间接的考查，其命题常以实际问题为背景，考查排列组合的综合应用，如均分或不均分问题，特殊元素或位置问题、相邻或不相邻问题等．求解的策略是先组合后排列，同时按元素的性质分类或按事情的发生过程分步，必要时可构造模型，或画树形图求解．一、“多面手”问题例1某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．方法一分两类．第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．第一类：甲入选．(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法．故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．第二类：甲不入选．可分两步．第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法．综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．反思感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．二、“相邻”与“不相邻”问题例2把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案36解析记其余两种产品为D，E.将A，B视为一个元素，先与D，E进行排列，有A22A33种方法，再将C插入，每种排列均只有3个空位可选，故不同的摆法共有A22A33×3＝2×6×3＝36(种)．反思感悟解排列组合问题时常以元素(或位置)为主体，即先考虑特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素进行排列．三、含“至多”“至少”的问题例3某校举办诗歌朗诵比赛，该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为()A．720 B．768 C．810 D．816答案 B解析根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有A47＝840(种)情况，其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A44＝24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816(种)；其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻的情况有C 14A 22A 33＝48(种)，则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)．故选B.反思感悟 求解含有附加条件的计数问题的两种方法通常选用直接法或间接法，解题时应注意对“至少”“至多”“恰好”等词的含义的理解．对于涉及“至少”“至多”等词的计数问题，既可以从反面情形考虑，即间接求解，也可以通过分类讨论直接求解．四、组数问题例4 有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解 方法一 (直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C 14种方法；0可在后两位，有C 12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C 13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C 14C 12C 13·22个． (2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C 24·22·A 33个． (3)0和1都不取，有不同的三位数C 34·23·A 33个．综上所述，共有不同的三位数C 14·C 12·C 13·22＋C 24·22·A 33＋C 34·23·A 33＝432(个)．方法二 (间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C 35·23·A 33个，其中0在百位的有C 24·22·A 22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数C 35·23·A 33－C 24·22·A 22＝432(个)． 五、分组分配问题例5 登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )A ．30B ．60C ．120D ．240答案 B解析 先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有C 24C 22A 22种，再将余下的6人平均分成两组，有C 36C 33A 22种，然后这四个组自由搭配还有A 22种，故最终分配方法有C 24C 36A 22＝60(种)． 反思感悟 本题属于局部均分问题，解题时需注意，若有m 组元素个数相等，则分组时应除以A m m，分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．例66个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)方法．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种方法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种方法，故共有C25C14＝40(种)方法．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C15种方法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个空盒子，如||00||0000|，有C23种方法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种方法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)方法．反思感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题．种方法，可描述为(n－1)个空中插(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1入(m－1)块板．六、涂色问题例7有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，若允许同一种颜色多次使用则不同的涂色方法共有()A．4 320种B．2 880种C．1 440种D．720种答案 A解析第1个区域有6种不同的涂色方法，第2个区域有5种不同的涂色方法，第3个区域有4种不同的涂色方法，第4个区域有3种不同的涂色方法，第5个区域有4种不同的涂色方法，第6个区域有3种不同的涂色方法，根据分步乘法计数原理知，共有6×5×4×3×4×3＝4 320(种)不同的涂色方法．。
数字计数题目解题过程
数字计数题目解题过程1. 首先，我们需要明确题目中要求计数的对象是什么。
具体到每个题目，我们要明确需要计数的是什么元素或者是集合。
2. 接下来，我们需要确定计数的范围。
这包括了确定计数的起始点和终止点，以及计数的方式是逐个数还是按一定的规律递增。
3. 然后，我们可以根据题目中的提示或者规律，使用合适的方法进行计数。
有时候需要分析规律，有时候需要使用数学公式，有时候需要进行逐个数数等。
4. 在解题的过程中，需要注意计数的准确性和全面性。
我们应当仔细检查是否有遗漏的元素没有被计数到，或者是否存在重复计数的情况。
5. 最后，我们需要验证计数的结果是否正确。
可以通过重新计算一遍，或者使用其他方法进行验证，确保计数结果的准确性。
以一个具体的案例来说明解题过程：题目：已知一个整数序列为1，3，5，7，9，......，99，请计算该序列的元素个数。
解题过程如下：1. 首先，我们明确题目要求计数的对象是整数序列。
2. 接下来，我们可以确定计数的范围是从1到99，计数的方式是逐个数。
3. 根据题目中给出的序列，我们可以看到该序列是由奇数组成，且每个奇数之间相差2。
4. 根据这个规律，我们可以使用数学公式进行计算：(99 - 1) / 2 + 1 = 50。
即该序列的元素个数为50。
5. 最后，我们可以验证计数结果的正确性。
重新数一遍可以得到相同的结果，说明计数是准确的。
通过以上案例的解题过程，我们可以总结出解题的一般步骤。
首先明确计数的对象和范围，然后选择合适的方法进行计数，确保计数的准确性和全面性，最后验证计数的结果。
在解题过程中，清晰的思路和严谨的逻辑是非常重要的。
我们需要遵循这些步骤，以达到高效解题的目的。
注意，以上仅为解题过程的一种示例，具体的解题方法和步骤可能因题目而异。
在实际解题过程中，需要根据题目要求灵活运用不同的方法和思路，以达到最终解答的准确性和完整性。
计数原理的十二个技巧的典型例题
计数原理的十二个技巧的典型例题摘要：一、引言二、计数原理概述1.分类计数原理2.分步计数原理三、典型例题解析1.分类计数问题a.例题1：颜色的分配b.例题2：排列组合问题2.分步计数问题a.例题3：组合数的计算b.例题4：事件的相互独立性四、解题技巧总结1.善于运用分类讨论思想2.掌握分步计数原理的应用3.利用数学公式和性质简化计算4.注意审题，挖掘题目信息五、结论正文：一、引言计数原理是高中数学中的一个重要知识点，它可以帮助我们解决各种计数问题。
掌握计数原理的十二个技巧，可以让我们在解决典型例题时更加游刃有余。
本文将详细解析这些技巧，并给出典型例题的解答。
二、计数原理概述计数原理主要包括分类计数原理和分步计数原理。
1.分类计数原理当我们面临一个问题时，可以将其分为若干个类别，然后分别计算每个类别的方案数，最后求和得到总方案数。
2.分步计数原理分步计数原理适用于一个问题可以分为多个步骤完成的情况。
我们可以按照每个步骤的方案数计算乘积，得到总方案数。
三、典型例题解析1.分类计数问题例题1：有5个不同的颜色，要将这些颜色分配给8个物体，问有多少种分配方法？解：可以将问题分为两类，一类是每个物体都分配到颜色，另一类是有一个物体没有颜色。
计算可得，第一类的分配方法有5^8种，第二类的分配方法有8种。
所以总的分配方法为5^8 + 8 = 391,729种。
例题2：从5个人中选出3个人参加比赛，问有几种不同的选法？解：这个问题可以采用组合数的计算公式解决。
根据组合数公式，C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，可得C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10种。
2.分步计数问题例题3：有一个盒子，可以装下1~4个球。
现在有5个球，问有多少种放法？解：可以将问题分为四个步骤：a.第一个球可以放入盒子，有4种放法；b.第二个球可以放入盒子，有4种放法；c.第三个球可以放入盒子，有4种放法；d.第四个球可以放入盒子，有4种放法。
计数原理10种解题策略
计数原理10种解题策略
1、规律分析：根据测试题要求确定相关规律，然后归纳出解题思
路来解决问题。
2、分析时序：从时序事件的先后顺序来分析，归纳出题目的解决思路。
3、构造模型：把复杂的问题用一种简单的形式来描述，并把复杂的问
题转化为简单的问题来求解。
4、枚举法：具备有限的可能性的时候，就可以采取枚举法，尝试所有
的可能性，来求解问题。
5、数学推理：根据数学推理规律，以及不同条件下运算求解原理，来
分析解决问题。
6、分析解法：分析问题，根据问题特点，采用合理的思路分析，归纳
出最优解法。
7、指代法：把不同的符号和数字用合适的象征替代，来简化原本复杂
的问题。
8、记忆技巧：记忆重要的信息，并在需要的时候根据记忆便于求解问题。
9、图解法：通过图形的表示和分析，来解决复杂的问题。
10、逻辑推理：根据逻辑推理把复杂的问题简单化，并发现新的解决思路来求解问题。
高考数学中的计数问题解决方法
高考数学中的计数问题解决方法高考数学中的计数问题是一个考查学生组合数学理解和应用能力的重要部分。
计数问题主要涉及到排列、组合和二项式定理等内容。
在考试中，很多同学会遇到一些难以理解和解决的计数问题，因此本文将从理论、方法和例题三个方面来探讨高考数学中的计数问题解决方法。
一、理论基础在学习计数问题时，需要掌握排列、组合和二项式定理这三个基本理论。
排列是指从n个不同的元素中取出m个元素按照一定顺序排列的方式，其排列数称为Permutation或P(n,m)。
组合是指从n个不同的元素中取出m个元素，不考虑顺序，其组合数称为Combination或C(n,m)。
二项式定理是指(x+y)^n展开式中，x的k 次项系数为C(n,k)。
二、解题方法1.分情况讨论法当需要求解的问题条件较多，不能直接计算时，可以采用分情况讨论法。
通过对每个条件进行分析和构思，将问题分解为多个子问题，最终得到解决问题的答案。
例如：从1,2,3,4,5中任选3个数，其中必须包含2和4，求可选数的方案数。
解：将问题分解为两个子问题：第一步选2和4，第二步从1,3,5中任选一个数。
根据乘法原理，得到方案数为：1*C(3,1) = 3。
2.递推法递推法是指通过前一步或前几步的结果来推导后一步的结果，从而得到最终的解决方案。
在计数问题中，递推法常常用来计算排列和组合的公式，具有相对较高的效率和准确性。
例如：有n个人，两两握手，求握手的方案数。
解：假设第一个人握手次数为k，则第一个人已握手n-1次，剩下的人两两握手的方案数可以看成握手次数为k-1时的方案数再乘以握手次数为1的方案数，即C(n-1,k-1)*P(k,2)。
因此，将握手次数分别取1,2,3...,n-1进行计算，最后将结果相加即可。
三、例题解析1.有6本不同的书，其中一本是数学书，另一本是英语书。
从这6本书中任选3本，不得选中这两本书。
求选法总数。
解：将问题分解为两个子问题：第一步从4本非数学书和英语书中任选2本，第二步从3本数学书中任选1本。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计数应用题解题策略 Last revision date: 13 December 2020.
计数应用题解题策略
————《数学》选修2-3§1.4《计数应用题》教学反思
沛县体育中学李锋
计数应用题是排列组合中最常见的题型，由于其解法往往是构造性的,因此方法灵活多样,不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。
因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。
以下结合一些例题讲述了在解决计数应用题时的一般步骤和需要注意的细节。
一、把握分类计数原理、分步计数原理是基础
例1．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。
现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法
解：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，有种；第二类：这两人有一个去当钳工，有种；第三类：这两人都不去当钳工，有种。
因而共有185种。
小结：把握了“分类的要求”和“分步的合理性”，解决排列组合问题就快速多了。
并能提高解题的准确度。
二、注意区别“恰好”与“至少”
例2．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有_____。
解：通过合理的分步可以完成任务。
第一步从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；第二步从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法；第三步从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法。
由于选取与顺序无关，因而第二步和第三步中的选法重复一次，因而共240A C C C 221
811016 种。
小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。
“至少有一个”则是“有一个或一个
以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。
三、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例3．六人站成一排，求：
(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数
(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
解：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，有种站法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，共504种站法
（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法；第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法；第三类：甲不在排尾,乙在排头，有种方法；第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。
共有312种方法。
小结：1、“在”与“不在”可以相互转化。
解决某些元素在某些位置上用“定位法”，解决某些元素不在某些位置上一般用“间接法”或转化为“在”的问题求解。
2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏”现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。
为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案
四、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
例4、7名学生排成一排，下列情况各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙必须站在一起；
（2）甲、乙互不相邻。
解：（1）将甲、乙二人看作一个元素，先排甲、乙有2
2A 种，然后再与其他5人构成6个
元素进行全排列，有1440A A 662
2=种方法。
（2）先排除甲、乙二人外的5人有5
5A 种，产生6个空，把甲、乙二人插空有
3600A A 265
5=种方法。
小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。
“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.
五、混合问题，先“组”后“排”
例5对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。
故有：
576A C C 44163
4=种可能
小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。
六、分清排列、组合、等分的算法区别
例6、有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、23本；
（2）分给甲、乙、丙三人,其中1人一本，1人二本、1人三本；
（3）分成三份,每份2本
解:(1)分三步：先选一本有1
6C 种选法；再从余下的5本中选2本有25C 种选法；最后余下
的3本全选有3
3C 种。
由分步计数原理知，分配方法共有：60C C C 332516=种。
（2）由于甲、乙、丙三人是不同的三个人，在（1）的基础上，还应考虑再分配问题，
因此，分配方法共有：360A C C C 3333251
6=种。
（3）先分三步：则应是222426
C C C 种方法，但是这里出现重复，不防记六本书为A 、B 、C 、
D 、
E 、
F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF 。
记该种分法为（AB 、CD 、
EF ）则222426
C C C 种分法中还有（AB 、EF 、C
D ）、(CD 、AB 、EF)、(CD 、EF 、AB)、（EF 、CD 、AB ）、(EF 、AB 、CD)、共3
3A 种情况，而且这33A 种情况是AB 、CD 、EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有：15A C C C 3
3
222426=种。
小结：平均分组问题：一般来说，km 个不同的元素分成k 组，每组m 个，则不同 的分法有：k
k m
m m 1)m -(k m k m A C C C 种。
七、分类组合,隔板处理
例7某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代队，参加中学生数学竞赛活动，使代表队中每班至少1人参加的选法有多少种？
解:问题相当于把个12相同球放入7个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法这类问可用
“隔板法”处理，把6块隔板插在11个间隔中，共有462C 611
=种。
小结：把n 个相同元素分成m 份每份,至少1个元素,问有多少种不同分法的问题可以采
用“隔板法”得出共有1-m
1-n C 种.。