回溯算法解决0-1背包问题(DOC)

合集下载

01背包问题回溯法c语言

01背包问题是一个经典的动态规划问题，可以使用回溯法来解决。在C语言中，我们可以通过递归的方式来实现回溯法解决01背包问题。首先，让我们来看一下01背包问题的描述：

给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值。现在有一个背包，它能够容纳一定的重量，问如何选择装入背包的物品，使得背包中物品的总价值最大。

接下来，让我们来看一下如何使用回溯法来解决这个问题。我们可以定义一个递归函数来尝试将每个物品放入背包或者不放入背包，然后找出最优解。以下是一个简单的C语言代码示例：

#include 。

#define N 5 // 物品的数量。

#define W 10 // 背包的容量。

int weight[N] = {2, 2, 6, 5, 4}; // 每个物品的重量。

int value[N] = {6, 3, 5, 4, 6}; // 每个物品的价值。 int maxValue = 0; // 最大的总价值。

void backtrack(int index, int currentWeight, int totalValue) {。

if (index == N || currentWeight == W) {。

if (totalValue > maxValue) {。

maxValue = totalValue;

}。

return;

}。

// 不放入背包。

backtrack(index + 1, currentWeight, totalValue); // 放入背包。

if (currentWeight + weight[index] <= W) {。

0-1背包问题

0/1背包问题

一、问题描述

已知一个容量为M的背包和n件物品，物品编号为0～n-1，第i件物品的重量为w i,若将其装入背包将获益p i。这里w i＞0, p i ＞0(0≤i＜n)。所谓的0/1背包问题，是指在物品只能整件装入或不装入的情况下，求一种使得总效益最大的装载方案。

上述问题可形式化描述为：给定M＞0，w i＞0, p i＞0(0≤i＜n)，求一个n元向量x=(x0,x1,…,x n-1),x i∈{0,1}(0≤i＜n)使得

∑

<≤n

0w i x i≤M且∑

≤n

p i x i最大。为了叙述方便将该

问题简记为KNAP(0,n-1,M)。

二、递归法求解

1．分析

已知x i∈{0,1}，0≤i＜n，假定对x i 作决策的次序是x=(x n-1,x n-2,…,x0),在对x n-1作出决策时存在以下两种情况：

(1)x n-1=1，将编号为n-1的物品装入包中，接着求解子问题KNAP(0,n-2,M-w n-1);

(2)x n-1=0，不将编号为n-1的物品装入

包中，接着求解子问题KNAP(0,n-2,M)。

设f(j,X)是当背包容量为X ，可供选择的物品为0,1,…,j 时的最优解(即最大总效益)，那么f(n-1,M)可表示为：

f(n-1,M)=max{f(n-2,M),f(n-2,M-w n-1)+p n-1}

对于任意的j ，0≤j ＜n,有

f(j,X)=max{f(j-1,X),f(j-1,X-w j )+p j } 若将物品j 装入包中，则

f(j,X)= f(j-1,X-w j )+p j

背包问题回溯法

背包问题回溯法是一种用于解决背包问题的算法。背包问题是一个经典的组合优化问题，在许多领域都有广泛的应用。它的基本形式是在给定一组物品和一个容量为C的背包的情况下，选择将哪些物品放入背包中，以使得放入背包中物品的总价值最大。

回溯法是一种通过搜索所有可能的解空间来求解问题的算法。在背包问题中，回溯法通过递归地尝试将物品放入背包或不放入背包来寻找最优解。具体而言，回溯法从问题的初始状态开始，根据问题的约束条件和目标函数的要求，逐步生成问题的解空间，并通过剪枝策略来减少搜索空间的规模，直到找到问题的最优解或无解。

在使用回溯法解决背包问题时，需要定义一个递归函数来实现搜索过程。该函数的输入参数包括当前已选择的物品、当前已选择物品的总价值、当前已选择物品的总重量、剩余物品的可选范围、剩余背包容量等等。在函数的实现中，首先需要判断当前选择的物品是否满足约束条件，如果满足则继续递归地对剩余的物品进行选择；如果不满足，则进行剪枝操作，即回溯到上一层递归函数继续搜索其他可能的解。当递归函数搜索完所有可能的解空间时，返回问题的最优解或无解。

背包问题回溯法的关键是如何定义约束条件和剪枝策略。在背包问题中，约束条件包括物品的重量不能超过背包的容量，物品的总价值不能超过已选择的物品的总价值。而剪枝策略可以根据问题的具

体情况来进行设计，例如可以根据当前已选择物品的总价值和剩余

物品的可选范围来进行剪枝，减少搜索空间的规模，提高算法的效率。

背包问题回溯法的时间复杂度取决于问题的规模和剪枝策略的设计。由于回溯法需要搜索所有可能的解空间，所以在最坏情况下，时间

贪心算法-01背包问题

贪⼼算法-01背包问题

1、问题描述：

给定n种物品和⼀背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装⼊背包的物品，使得装⼊背包中物品的总价值最⼤?

形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找⼀n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∋ ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最⼤.即⼀个特殊的整数规划问题。

2、最优性原理：

设(y1,y2,…,yn)是 (3.4.1)的⼀个最优解.则(y2,…,yn)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解:

证明:使⽤反证法。若不然,设(z2,z3,…,zn)是上述⼦问题的⼀个最优解,⽽(y2,y3,…,yn)不是它的最优解。显然有

∑vizi > ∑viyi (i=2,…,n)

且 w1y1+ ∑wizi<= c

因此 v1y1+ ∑vizi (i=2,…,n) > ∑ viyi, (i=1,…,n)

说明(y1,z2, z3,…,zn)是(3.4.1)0-1背包问题的⼀个更优解,导出(y1,y2,…,yn)不是背包问题的最优解,⽭盾。

3、递推关系：

设所给0-1背包问题的⼦问题

的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优⼦结构性质，可以建⽴计算m(i，j)的递归式:

注:(3.4.3)式此时背包容量为j，可选择物品为i。此时在对xi作出决策之后,问题处于两种状态之⼀:

(1)背包剩余容量是j,没产⽣任何效益；

动态规划与回溯法解决0-1背包问题

0-1背包动态规划解决问题

一、问题描述：

有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

二、总体思路：

根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。

原理：

动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

过程：

a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；

b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；

c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn

d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；

e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：

0_1背包问题的多种解法

一、问题描述

0/1背包问题:

现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）

二、算法分析

根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：

)

2(max )1()1}(1,0{11

∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤n

i i i i

i i i x v n i x W

x w 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。

首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。

假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的

一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤n

i i i i

i i i x v n i x x w W x w 22

1max )

2}(1,0{。如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则

∑∑==>n i n

i i

i x

v y v 2

，且∑=≤+

i i

W y

w x w 2

11。因此，

∑∑∑====+>+n

i i i n i n i i i i i x v x v x v y v x v 1

1111，这说明),........,,,(321n y y y x 是所给的0-1背包问

算法设计与分析实验报告——基于回溯法的0-1背包等问题

实验报告. 基于回溯法的0-1背包等问题

实验内容

本实验要求基于算法设计与分析的一般过程（即待求解问题的描述、算法设计、算法描述、算法正确性证明、算法分析、算法实现与测试），通过回溯法的在实际问题求解实践中，加深理解其基本原理和思想以及求解步骤。求解的问题为0-1背包。作为挑战：可以考虑回溯法在如最大团、旅行商、图的m着色等问题中的应用。

实验目的

◆理解回溯法的核心思想以及求解过程（确定解的形式及解空间组织，分析出搜索过

程中的剪枝函数即约束函数与限界函数）；

◆掌握对几种解空间树（子集树、排列数、满m叉树）的回溯方法；

◆从算法分析与设计的角度，对0-1背包等问题的基于回溯法求解有进一步的理解。

环境要求

对于环境没有特别要求。对于算法实现，可以自由选择C, C++或Java，甚至于其他程序设计语言如Python等。

实验步骤

步骤1：理解问题，给出问题的描述。

步骤2：算法设计，包括策略与数据结构的选择。

步骤3：描述算法。希望采用源代码以外的形式，如伪代码或流程图等；

步骤4：算法的正确性证明。需要这个环节，在理解的基础上对算法的正确性给予证明；

步骤5：算法复杂性分析，包括时间复杂性和空间复杂性；

步骤6：算法实现与测试。附上代码或以附件的形式提交，同时贴上算法运行结果截图；

步骤7：技术上、分析过程中等各种心得体会与备忘，需要言之有物。

说明：步骤1-6在“实验结果”一节中描述，步骤7在“实验总结”一节中描述。

实验结果

步骤1：问题描述。

给定 n个物品，其中第 i 个物品的重量为w i ，价值为 v i 。有一容积为 W 的背包，要求选择一些物品放入背包，使得物品总体积不超过W的前提下，物品的价值总和最大。

用回溯和分支限界求解0-1背包

课程名称：算法分析与设计

设计题目：用回溯和分支限界求解0-1背包设计者：

一、题目分析

1.关于01背包

给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，0/1背包问题是如何选择装入背包的物品（物品不可分割），使得装入背包中物品的总价值最大。

2.回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。二、总体设计

0-1背包问题的形式化描述：

给定c>0, wi>0, vi>0, 0<=i<=n，要求找到一个n元的

0-1向量(x1, x2, ..., xn), 使得：

max sum_{i=1 to n} (vi*xi),且满足如下约束：

(1) sum_{i=1 to n} (wi*xi) <= c

(2) xi∈{0, 1}, 1<=i<=n

数据结构

递归法：

1.X={};

2.flag=false;

3.advance(1);

4.if(flag)输出解X;

回溯法解决01背包问题

回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中按照深度优先的策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一节点时，总是先判断该节点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该节点为根的子树的系统搜索，逐层向其原先节点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：

∙针对所给问题，定义问题的解空间；

∙确定易于搜索的解空间结构；

∙以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；

在0／1背包问题中，容量为M的背包装载。从n个物品中选取装入背包的物品，物品i的重量为Wi，价值为Pi。最佳装载指装入的物品价值最高，即∑PiXi(i=1..n)取最大值。约束条件为∑WiXi ≤M且Xi∈[0,1](1≤i≤n)。

在这个表达式中，需求出Xi的值。Xi=1表示物品i装入背包，Xi＝0表示物品i不装入背包。

∙即判断可行解的约束条件是：∑WiXi≤M（i=0..n），Wi>0,Xi∈[0,1](1≤i≤n)

∙目标最大值：max∑PiXi（i=0..n-1）,Pi>0,Xi=0或1（0≤i

0/1背包问题是一个自己选取问题，适合于用子集树表示0／1背包问题的解空间。在搜索解空间树时，只要左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树，在右子树中有可能包含最优解才进入右子树搜索，否则将右子树剪去。

程序分析：

将物品个数，每个物品体积／价值输入，计算总物品体积S，输入背包体积V，如果V<0或者V>S则前置条件错误，即背包体积输入错误，否则顺序将物品放入背包。假设放入前i件物品，背包没有装满，继续选取第i+1件物品，若该物品“太大”不能装入，则弃之继而选取下一件直到背包装满为止；如果剩余物品中找不到合适物品以填满背包，则说明“刚刚”装入的第i件

动态规划算法0-1背包问题课件PPT

02
计算时间复杂度：时间复杂度是指求解问题所需的时间与问题规模之间的关系。对于0-1背包问题，时间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被遍历，因此时间复杂度为O(2^n)，其中n是物品的数量。
03
空间复杂度：空间复杂度是指求解问题所需的空间与问题规模之间的关系。在0-1 背包问题中，空间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被存储，因此空间复杂度也为O(2^n)，其中n是物品的数量。
填充dp数组
从左到右、从上到下填充dp数组。在填充过程中，如果遇到相同的子问题，则直接使用之前计算的结果，避免重
复计算。
返回结果
dp数组的最后一个元素即为所求问题的解。
动态规划的优缺点
优点
通过存储子问题的解避免了重复计算，从而大大减少了计算量。适用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。
状态转移方程
状态转移方程
根据状态定义，我们可以得到状态转移方程。对于每个物品，我们有两个选择：要么不选它，要么选它。如果我们选择第i个物品，那么背包的总重量会增加w[i]，总价值会增加 v[i]，同时我们不能再选择第i+1个物品。因此，我们可以得到状态转移方程：dp[i][ j] = max(dp[i-1][ j], dp[i-1][ j-w[i]] + v[i])。
动态规划递推过程

回溯法（二）——0-1背包问题

回溯法（⼆）——0-1背包问题

问题1、给定背包容量w，物品数量n，以及每个物品的重量wi，求背包最多能装多少多重的物品。

问题2、给定背包容量w，物品数量n，以及每个物品的重量wi、价值vi，求背包最多能装多少价值的物品。

这是⼀个基本的0-1背包问题，每个物品有两种状态（0：不装、1：装），总共有n步，所以可以⽤回溯法来解决，复杂度是O(2^n)。C++版代码如下

#include <iostream>

#include <math.h>

#include <cstring>

using namespace std;

#define MAXSIZE 256

int maxWeight = -9999;

// 回溯法解决0-1背包问题（其实可以暴⼒(n层for循环)，回溯法也是n层for循环，即复杂度是O(2^n)）

void basePackage(int stuff[], int curState, int state, int curWeight, int weight){

// 如果装满了（其实应该是接近装满了）或者已经“⾛完”所有物品

if(curState == state || curWeight == weight){

if(curWeight > maxWeight)

maxWeight = curWeight;

return ;

}

// 不装

basePackage(stuff, curState + 1, state, curWeight + 0, weight);

蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题

一、实验内容：

分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。注：0/1背包问题：给定n 种物品和一个容量为C 的背包，物品i 的重量是i w ，其价值为i v ，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大。其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。

二、所用算法的基本思想及复杂度分析：

1.蛮力法求解0/1背包问题：

1）基本思想：

对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。

2）代码:

#include

using namespace std;

#define N 100 //最多可能物体数

struct goods //物品结构体

{

int sign; //物品序号

int w; //物品重量

int p; //物品价值

}a[N];

bool m(goods a,goods b)

{

return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);

}

int max(int a,int b)

{

return a

}

int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;

int X[N],cx[N];

/*蛮力法求解0/1背包问题*/

int Force(int i)

{

if(i>n-1){

if(bestP

for (int k=0;k

}

return bestP;

}

cw=cw+a[i].w;

用动态规划法与回溯法实现0-1背包问题的比较

对于所给０１背包问题的子问题： —
ｆ
图１１ｎ３时． — — ＝０１背包问题的解空间树
用回溯法求解Ｏ１包问题时，以按照物品的单位价值从大到－背可小排序。计算当前节点的上界，索左子树。只有当右子树包含可行搜
使用递归回溯法解决背包问题的优点在于它算用一个二维数组ｍｎ【来存储ｍ（，）【】］ｃｉ的相应值，中ｎ为物品种少包含问题的一个解。ｊ其法思想简单，而且它能完全遍历搜索空间，定能找到问题的最优解。肯类数，背包的最大容量。因此此算法的实践复杂度为Ｏ（ｃ。ｃ为ｎ）但是由于背包问题解的总组合数有２ｎ个，因此，着物件数ｎ的增大，随
ｍ ≯ “ ｆ
√ｆ）＝
ｉ
（）１．２
，时，时间复杂度为长Ｏ（ｎ＊数），长关系。此时的需要对于状态空间和决策间的维数的增呈指２增计算和存储量计算时间和存储量过大。空
回溯法：溯法需要为问题定义一个解空间，个解空间必须至回这

算法设计与分析课件--回溯法-0-1背包问题

*/ if bound(t+1,W-cw, cp, w, v) > bestp //搜索右子树
/*
*/
22
5.3 0-1背包问题
• 0-1背包问题的递归式回溯伪代码： backtrack-knapsack-01 (t, w, v, W) if w[t] <= W then //搜索左子树 x[t] 1； cw cw+w[t]； //当前背包中物品的总重量 cp cp+v[t]； //当前背包中物品的总价值 backtrack-knapsack-01(t+1,w,v,W-cw); cw cw - w[t]； //回溯，需要恢复原有结果 cp cp - v[t]；
cp为当前背包中物品的总价值
b cp；
while i <= n && w[i] <= cleft cleft cleft - w[i]； b b + v[i]； i ++；
if i <= n then
//装满背包，需要拆分求上界
b b + v[i]/ w[i]*cleft；
return b;
24
5.3 0-1背包问题
算法设计与分析
1
本章的要点及难点
• 要点:
• 搜索法：穷举搜索、深度优先搜索、回溯法； • 解空间树：子集树、排列树、满m叉树。 • 回溯法求解问题的方法与步骤

0-1背包问题(回溯法)

实验报告

姓名：

学号：

指导老师：

一．算法设计名称：

0-1背包问题（回溯法）

二.实验内容

问题描述:

给定n 种物品和一背包。物品i 的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为C 。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品装入背包多次，也不能只装入部分的物品。

三.实验目的

1.运用回溯思想，设计解决上述问题的算法，找出最大背包价值的装法。

2.掌握回溯法的应用

四．算法设计：

问题求解思路

1.由0-1背包问题的最优子结构性质，建立计算m[i][j]的递归式如下：

i i i w j w j j i m i v w j i m j i m j i m <≤≥⎩⎨⎧-+---=0],1[]}[],1[],,1[max{),(

2.查找装入背包物品的回溯函数：

从0-1二叉树的根开始搜索：若是叶子节点，则判断此时的价值是否比当前最优的价值大，否则将之替换，并获得最优解向量且返回；若不是叶子节点，则向左右子树搜索，先改变当前的数据状态，递归的调用自己，然后恢复数据状态表示回溯。

3.边界函数bound

主要是当还未搜索到叶子节点时，提前判断其子树是否存可能存在更优的解空间，否则进行回溯，即裁剪掉子树的解空间。

关键数据结构及函数模块：（Backtrack.h ）

#ifndef __BACKTRACK_H__

#define __BACKTRACK_H__

class BP_01_P

{

public:

01背包问题回溯法c语言

背包问题是一个很经典的动态规划问题，其中最常见的一种形式就是 01 背包

问题。在该问题中，给定一组物品的重量和价值，以及一个背包的容量限制，要求选择一些物品，使得在不超过背包容量的前提下，背包中物品的总价值最大。

这里我们将讨论如何使用回溯法解决01 背包问题，使用C 语言进行编程实现。

首先，我们需要定义问题的数据结构。我们可以使用一个数组来表示不同物品

的重量和价值，背包的容量可以通过一个常量来表示。

```c

#define N 5 // 物品的个数

#define MAX_WEIGHT 10 // 背包的容量

int weights[N] = {2, 3, 4, 5, 9}; // 物品的重量

int values[N] = {3, 4, 5, 8, 10}; // 物品的价值

int bestValue = 0; // 最优解的价值

int bestSelection[N]; // 最优解中物品的选择情况

```

接下来，我们可以定义一个递归函数来实现回溯法。该函数将遍历所有可能的

物品选择情况，并更新当前的最优解。

```c

void backtrack(int depth, int weight, int value, int selection[]) {

if (depth == N) {

if (weight <= MAX_WEIGHT && value > bestValue) {

bestValue = value;

for (int i = 0; i < N; i++) {