高一数学必修一子集真子集例题汇总

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初高衔接9-必修一子集和真子集-答案

教师学生姓名教材版本人教版学科数学年级高一上课时间课题子集和真子集教学目标集合与集合的关系教学重点子集和真子集教学过程子集与真子集一、同步知识梳理 1、子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A记作:A B B A ⊇⊆或，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2、集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3、真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4、子集与真子集符号的方向不同与同义；与如B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆5、空集是任何集合的子集Φ⊆A空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆6、易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合如 Φ⊆{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}7、含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n2，所有真子集的个数是n2-1，非空真子集数为22-n子集和真子集的运算一、例题精讲例1、在下列各组中的集合M 与N 中，使M N =的是（ D ） A ．{(1,3)},{(3,1)}M N =-=- B ．,{0}M N =∅= C ．22{|1,},{(,)|1,}M y y x x R N x y y x x R ==+∈==+∈ D ．22{|1,},{|(1)1,}M y y x x R N t t y y R ==+∈==-+∈例2、设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠⊂B ，则实数a 的取值范围是（A ）A ．｛a ｜a ≥2｝B ．｛a ｜a ≤1｝ C.｛a ｜a ≥1｝． D.｛a ｜a ≤2｝．例3、满足{1，2，3} ≠⊂M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（C ）A ．8B ．7C ．6D ．5例4、集合A={x |x =2n ＋1，n ∈Z}， B={y |y =4k ±1，k ∈Z}，则A 与B 的关系为（ C ）A ．A ≠⊂B B ．A ≠⊃B C ．A=B D ．A ≠B例5、满足{}0,1,2{0,1,2,3,4,5}A ⊆的集合A 的个数是____答案：7例6、已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集. 解析：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为2,4,5，即{}2,4,5A =.∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.例7、P ＝{x|x2－2x －3＝0}，S ＝{x|ax ＋2＝0}，S ⊆P ，求a 取值？解：a ＝0,S ＝∅，∅⊆P 成立 a ≠0，S ≠∅，由S ⊆P ，P ＝{3，－1}得3a ＋2＝0，a ＝－23或－a ＋2＝0，a ＝2； ∴a 值为0或－23或2.例8、A ＝{－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A,求m 。

子集与真子集（含答案）

⼦集与真⼦集（含答案）⼦集与真⼦集⼀、单选题(共10道，每道10分)1.集合的⼦集个数是( )A.8B.7C.4D.3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集2.已知，，，则C 的真⼦集个数为( )A.2B.3C.7D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集3.集合的⼦集个数是( )A.8B.7C.4D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集4.已知集合M={0，1，2，3}，则集合M的不含元素0的⼦集的个数是( )A.16B.15C.8D.7答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集5.已知⾮空集合P⊆{3，4，6}，若P中⾄多有⼀个偶数，则满⾜条件的集合P共有( )A.2个B.4个C.5个D.6个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集6.满⾜{1，2}M{1，2，3，4，5}的集合M共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集7.已知集合，若集合A有且仅有2个⼦集，则a的值是( )A.1B.-1C.0或1D.-1，0或1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合关系中的参数取值问题8.已知集合，，则集合M的⼦集个数是( )A.8B.16C.32D.64答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集9.设集合，，若A B，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合间的基本关系10.集合，⾮空集合，若B⊆A，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合间的基本关系。

子集与真子集练习题

子集与真子集练习题一、基本概念集合论中的子集与真子集是非常基础的概念，它们在解决问题和证明定理时经常被用到。

首先，我们来回顾一下这两个概念的定义。

在集合论中，给定两个集合A和B，如果A的所有元素都是B的元素，则A是B的子集，用符号表示为A⊆B。

严格来说，空集是每个集合的子集。

如果A是B的子集但不等于B，则称A是B的真子集，用符号表示为A⊂B。

现在我们可以尝试解决一些与子集和真子集相关的练习题。

二、练习题1给定集合A={1,2,3,4}和B={3,4,5}，判断以下命题是否正确：(1)A⊆B；(2) A⊂B。

解析：(1) A={1,2,3,4}，B={3,4,5}。

由于A中的所有元素都是B中的元素，所以A是B的子集，命题(1)正确。

(2) A={1,2,3,4}，B={3,4,5}。

由于A是B的子集，并且A≠B，所以A是B的真子集，命题(2)正确。

三、练习题2给定集合C={a,b,c}，D={a,{a,b,c}}和E={{a,b,c}}，判断以下命题是否正确：(1) C⊆D；(2) D⊆E；(3) C⊂E。

解析：(1) C={a,b,c}，D={a,{a,b,c}}。

由于C中的元素"a"是D中的元素，且C中没有元素不是D中的元素，所以C是D的子集，命题(1)正确。

(2) D={a,{a,b,c}}，E={{a,b,c}}。

由于D中的元素"a"是E中的元素，但D中的元素{a,b,c}不是E中的元素，所以D不是E的子集，命题(2)错误。

(3) C={a,b,c}，E={{a,b,c}}。

由于C是E的子集，并且C≠E，所以C是E的真子集，命题(3)正确。

练习题通过判断给定集合之间的包含关系，考察了对子集和真子集的理解和运用。

在解题过程中，我们需要明确子集的定义，并注意区分子集和真子集的不同。

解题时可以通过对比集合中的元素来判断子集和真子集的关系。

通过这些练习题的解析，我们巩固了子集和真子集的概念，并加深了对其应用的理解。

真子集与子集的区别例题

真子集与子集的区别例题摘要：1.子集与真子集的定义及区别2.子集与真子集的实例解析3.子集与真子集在集合运算中的应用正文：在数学的集合论中，子集和真子集是两个重要的概念。

它们描述了集合之间的关系，帮助我们理解和分析集合的性质。

下面我们将详细探讨子集与真子集的区别，并通过实例进行解析。

首先，我们来了解一下子集和真子集的定义。

子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，可以用符号A B 表示。

而真子集则表示一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，且两个集合不相等，可以用符号A B 表示。

举个例子，全集I 为{1, 2, 3}，它的子集有{1, 2, 3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1}、{2}、{3}，以及空集。

而真子集则为{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1}、{2}、{3}，不包括空集。

接下来，我们来看一下子集和真子集在集合运算中的应用。

在集合运算中，子集和真子集的区别主要体现在它们在并集、交集和补集运算中的表现。

对于并集运算，子集的并集就是本身，例如{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}。

而真子集的并集则可能是空集，例如{1} ∪ {2, 3} = 。

对于交集运算，子集的交集就是本身，例如{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}。

而真子集的交集可能是空集，例如{1} ∩ {2, 3} = 。

对于补集运算，子集的补集是全集减去本身，例如CU {1, 2} = {3}。

而真子集的补集则可能是全集，例如CU {1} = {1, 2, 3}。

总之，子集和真子集在集合运算中的表现有所不同，掌握它们的区别有助于我们更好地理解和应用集合运算。

通过以上的解析，我们可以明确地知道，子集包含本身，而真子集不包含本身。

《子集、全集、补集》典型例题剖析

《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系：（1）{15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣；（2）{}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣；（3）{(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或；（4）{}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析（1）中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；（2）解集合A 中方程得到集合A ，再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ，进行判断；（3）可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；（4）将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式，再进行判断.答案（1）方法一：集合B 中的元素都在集合A 中，但集合A 中有些元素（比如00.5-，）不在集合B 中，故BA .方法二：利用数轴表示集合A ，B ，如下图所示，由图可知BA .（2）{}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中，当n 为奇数时,1(1)02nx +-==，当n 为偶数时，1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.（3）方法一：由00000xy x y x y >>><<得，或，；由000x y x >><，或，0y <得0xy >，从而A B =.方法二：集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标，集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A B =.（4）对于任意x A ∈，有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知，A B ⊆.设1B ∈，此时2451a a -+=，解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解，1A ∴∉. 综上所述，AB .名师点评对于（5），在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆，再进一步判断AB .判断A B 时，只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系：（1）{3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣；（2）1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案（1）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ，因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆.设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以BA . （2）方法一：取,0,1,2,3,4,5,k =，可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素，但B 中的有些元素不在集合A 中，A B .方法二：集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ，集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ，而21k +为奇数，2k +为整数，A B ∴.点拨判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围类型（一）有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣，若BA ，试求a 的值.解析：首先将集合A ，B 具体化，在对集合B 具体化时，要注意对参数a 进行讨论，然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣，且BA ，（1）当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；（2）当B ≠∅时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时，B A ；若13a =，即13a =时，B A . 综上可知，a 的值为：10,1,3-.易错提示特别要注意子集与真子集的区别，审清题意，由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅，这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣，那么满足A C B 的集合C 的个数是（）A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{123}，，，{124}，，.本题考查对元素个数及真子集的理解，一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为：已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，故答案为4.类型（二）无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣，若A B ，求实数a 的取值集合.解析将数集A 在数轴上表示出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可求出a 的取值范围.答案将数集A 表示在数轴上（如图），要满足AB ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示在解决取值范围问题时，一般借助数轴比较直观，但一定要注意端点的取舍问题，能取的用实心点，不能取的用空心点，此题易漏掉端点4，显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若AB ，求a 的取值范围.答案（1）,B A D ⊆∴=∅①时，满足要求. 则121a a +>-即2a <；②B ≠∅时，则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知：3a ≤. （2）121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩，，且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组，无解，a ∴∈∅，即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ，集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===，，则集合B =____________.解析因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==，所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =，所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5，，，变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===，则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为（）A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==，所以集合U M 和UN 共有的元素为6，组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣，集合{}15B x x =<<∣. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若RAB ，求实数a 的取值范围.解析（1）可借助数轴求解；（2）先根据集合B 求出共补集RB ，再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案（1）若A =∅，则21a a +≤，解得1a ≤-，满足题意；若A ≠∅，则21a a <+，解得1a >-.由A B ⊆，可得2151a a +≤≥且，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. （2）R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅，则211a a a +≤≤-，则，此时RAB ，满足题意；若A ≠∅，则1a >-. 又RAB ，所以5211a a ≥+≤或，所以510a a ≥-<≤或.综上，实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣，得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆，所以1a ≤，故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. （1）列举观察法.当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. （2）集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣，①若由()p x 可推出()q x ，则A B ⊆；②若由()q x 可推出()p x ，则B A ⊆；③若()p x ，()q x 可互相推出，则A B =；④若由力()p x 推不出()q x ，由()q x 也推不出()p x ，则集合A ，B 无包含关系.（3）数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.（1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn 图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错.（2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体，求参数的范围为任务，借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动，加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.分析易知集合{0,4}A =-，由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或，，进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或，. 当B =∅时，()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-；当{}0B =时，由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩，，解得1a =-. 当{}4B =-时，由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解；当{0,4}B =-时，由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知，实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。

高一数学：子集、全集、补集典型例题及讲解

【文库独家】子集、全集、补集典型例题及讲解例1 判定以下关系是否正确(1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠(4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．分析子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．解含有个元素的子集有：； 0∅含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ∅例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________．分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．答共3个．说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．例设为全集，集合、，且，则≠4 U M N U N M ⊂⊆[ ]分析作出4图形．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．点击思维例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是[ ]A AB B A BC A BD A B ．＝．．．≠≠⊇⊂⊃分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1，y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ．答选A ．说明：要注意集合中谁是元素．M 与P 的关系是[ ]A ．M ＝U PB ．M ＝PC M PD M P ．．≠⊃⊆分析可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法．说明：一题多解可以锻炼发散思维．例7 下列命题中正确的是[ ] A ．U (U A)＝{A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ⊆集有，，，，，，，，，，，，，而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素． ∴A ∈B ．答选D ．说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．分析逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．答 C ＝{4}或{7}或{4，7}．说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．分析本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于S M ＝{1，4}，且，≠M S ⊂ ∴M ＝{2，3}则由韦达定理可解．答 p ＝2×3＝6．说明：集合问题常常与方程问题相结合．例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值．S 这个集合是集合A 与集合S A的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．解由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．说明：分类要做到不重不漏．例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24x|x k Z}＝π＋π，∈则k 42[ ] A ．M ＝NB M NC M N．．≠≠⊃⊂D ．M 与N 没有相同元素分析分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得M {}N {}M N ＝…，－π，π，π，π，π，…，＝…，π，π，π，π，π，…易见，．≠44345474423454⊂ 答选C ．说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性。

子集与真子集__高中数学专项训练习题集

【精编】《高中数学知识点：子集与真子集》提分练习题高中数学知识点命题规律研究组一、单选题1.若集合P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则{x|x＜4}=（）A. Q∪PB. P∩QC. P∪C R QD. Q∪C R P2.若则就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A. 15B. 16C. 64D. 1283.设集合,则集合的子集个数为( )．A. 3B. 4C. 8D. 164.已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是( )A. 1B.C. 0，1D. ，0，15.若全集，则集合的非空真子集共有（）A. 16个B. 14个C. 32个D. 30个6.设集合，若A是B的真子集，则实数的取值集合为（）.A. B. C. D.7.若全集且，则集合的真子集共有（）个A. B. C. D.8.设全集，集合，若，则这样的集合的个数共有( )A. B. C. D.9.已知集合A={0，1}，若B∪A=A，则满足该条件的集合B的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 410.已知集合A＝{x∈Z | x2＋x－2＜0}，则集合A的一个真子集为( )A. {x | －2＜x＜0}B. {x | 0＜x＜2}C. {0}D. {Ø}11.若全集U-{0，1，2，3，4，5}，且∁U A={1，2，3}，则集合A的子集共有（）A. 3个B. 4个C. 7个D. 8个12.给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（）A. 16B. 17C. 18D. 1913.如果则集合A的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 814.集合的真子集的个数是（）A. 9B. 8C. 7D. 615.若则满足条件的集合A的个数是A. 6B. 7C. 8D. 916.集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的真子集个数为( )A. 7B. 8C. 15D. 1617.集合，若，则实数的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 2或318.已知集合，，定义，则集合的所有非空真子集的个数为（）A. 32B. 31C. 30D. 以上都不对19.集合A={y|y=﹣x2+4，x∈N，y∈N}的真子集的个数为（）A. 9B. 8C. 7D. 620.对于任意两个正整数，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时，；当不全为正奇数时，，则在此定义下，集合的真子集的个数是（）A. B. C. D.二、填空题21.若规定E={a1，a2，…，a10}的子集{a t1，a t2，…，a k}为E的第k个子集，其中，则E的第211个子集是________．22.设集合，若是的真子集，则的取值范围为________.（结果用区间表示）23.设集合A＝｛1，2｝，则的子集的个数为________，真子集的个数为________．24.已知集合，集合满足，则集合有________个．25.若规定集合的子集为M的第k个子集，其中,则M的第二十五个子集是________.26.集合，，若，则a的取值范围是________．27.已知集合0，，，若，则实数a的值为________．28.集合的真子集的个数为________29.满足条件的集合有________个．30.已知集合，且，则________．31.设集合，则满足的集合的个数是________．32.集合{a，b，c}共有________个子集．33.若集合A={x|（k﹣1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，则实数k的值是________．34.若全集U={0，1，2，3，4，5}且∁U A={x∈N*|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有________个．35.集合{1，2，3}的子集个数为________．36.设集合U={x|x2﹣3x+2=0，x∈R}，则集合U的子集的个数是________．37.设含有8个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为________．38.已知集合A={x|ax2﹣2x+1=0}至多有两个子集，则a的取值范围________．39.一个集合有8个元素，这个集合含有3个元素的子集有________个．40.满足集合{1，2}⊊M⊊{1，2，3，4，5}的集合M的个数是________．三、解答题41.已知集合，写出集合的所有子集42.已知集合1，，且，试写出集合A的子集．43.已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}．（1）写出集合M的子集、真子集；（2）求集合N的子集数、非空真子集数．44.写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.45.已知集合,又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集;若各元素都减去2后，则变为B的一个子集,求集合C.46.已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}，且﹣3∈A（1）求a．（2）写出集合A的所有子集．47.写出集合{2，3，4}的所有子集，并指出哪些是它的非空真子集．48.已知集合A={x|x2+2x+1=0}={a}，求集合B={x|x2+ax=0}的真子集．49.已知集合A={x|x2+（b+2）x+b+1=0}={a}，求集合B={x|x2+ax+b=0}的真子集．50.集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B⊆A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|ϕ|=0；表示对子集族D中所有成员A求和）；（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对∀A∈D，记k=max|A|，（其中max表示最大值），（ⅰ）求f（2）；（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．。

子集和真子集的习题及答案

子集和真子集的习题及答案子集和真子集的习题及答案在集合论中，子集和真子集是两个重要的概念。

子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素，而真子集则是指一个集合中的元素都是另一个集合的元素，且两个集合不相等。

接下来，我们将介绍一些与子集和真子集相关的习题，并提供答案。

习题一：给定两个集合A={1,2,3}和B={1,2,3,4}，判断以下命题是否成立：1. A是B的子集。

2. B是A的真子集。

解答：1. A是B的子集，因为A中的所有元素（1，2，3）都是B中的元素。

2. B不是A的真子集，因为A和B中的元素完全相同，即A=B。

习题二：给定集合A={x|x是一个正整数，1≤x≤10}和集合B={x|x是一个偶数，2≤x≤10}，判断以下命题是否成立：1. A是B的真子集。

2. B是A的子集。

解答：1. A不是B的真子集，因为A中的所有元素（2，4，6，8，10）都是B中的元素。

2. B是A的子集，因为B中的所有元素（2，4，6，8，10）都是A中的元素。

习题三：给定集合A={a,b,c}，判断以下命题是否成立：1. A是它自己的真子集。

2. A是它自己的子集。

解答：1. A不是它自己的真子集，因为A和它自己相等，不满足真子集的定义。

2. A是它自己的子集，因为A和它自己相等，满足子集的定义。

习题四：给定两个集合A={a,b,c}和B={a,b,c,d}，判断以下命题是否成立：1. A是B的真子集。

2. B是A的真子集。

解答：1. A是B的真子集，因为A中的所有元素（a，b，c）都是B中的元素，且A和B不相等。

2. B不是A的真子集，因为B中的所有元素（a，b，c，d）都是A中的元素，且A和B相等。

通过以上习题，我们可以更好地理解子集和真子集的概念。

子集和真子集的判断可以通过比较两个集合的元素来完成，只有当一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，才能称为子集；而真子集则要求两个集合不相等。

掌握了这些概念，我们可以更好地进行集合的运算和推理，为解决实际问题提供了基础。

人教版高中数学必修一集合知识总结例题

(每日一练)人教版高中数学必修一集合知识总结例题单选题1、已知集合M={(x,y)|x2+y2≤2,x∈Z,y∈Z}，则集合M的真子集的个数为（）A．29−1B．28−1C．25D．24+1答案：A解析：首先确定集合M的元素个数，接着根据公式求出集合M的所有子集个数，减掉集合M本身得出结果即可.因为集合M={(x,y)|x2+y2≤2,x∈Z,y∈Z}，画出如下示意图：由图可知集合M有9个元素，集合M的所以子集的个数为29，所以集合M的真子集的个数为29−1，故选：A.小提示：集合M有n个元素,则集合M的所有子集个数为2n，集合M的所有非空子集个数为2n−1，集合M的所有真子集个数为2n−1，集合M的所有非空真子集个数为2n−2；2、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B解析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值. 求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3、已知集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|x−1≥0}，则∁R(A∩B)=（）.A．(−∞,1)∪[3,+∞)B．(−∞,1]∪[3,+∞)C．(−∞,1)∪(3,+∞)D．(1,3)答案：A解析：算出集合A、B及A∩B，再求补集即可.由x2−2x−3<0，得−1<x<3，所以A={x|−1<x<3}，又B={x|x≥1}，所以A∩B={x|1≤x<3}，故∁R(A∩B)={x|x<1或x≥3}.故选：A.小提示：本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.填空题4、已知集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，则a=_________．答案：-3解析：由集合A={12，a2+4a，a−2}，且−3∈A，得a2+4a=−3或a−2=−3，由此能求出结果．解：∵集合A={12，a2+4a，a−2}，且−3∈A，∴a2+4a=−3或a−2=−3，解得a=−1，或a=−3，当a=−1时，A={12，−3，−3}，不合题意，当a=−3时，A={12，−3，−5}，符合题意．综上，a=−3．所以答案是：−3.5、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为_________答案：15解析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x= y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．所以答案是：15．。

2高中必修一子集、全集、补集知识点+例题全面

辅导讲义――子集、全集、补集
[例2] 已知集合A =｛1｝，B =｛-1，2m -1｝，且A B ，则m =_______.
[巩固]集合A =｛21≤<x x ｝，集合B =｛a x x <｝，满足A B ，则实数a 的取值范围是______________.
3、子集和真子集的关系：
（1）任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集；
（2）A ⊆B A B 或A =B .
（3）集合A =｛1，2｝，B =｛1，2，3｝，则A 是B 的子集，也是真子集，用符号A ⊆B 与A B 均可，但用A B 更
准确.
4、有限集合的子集个数
（1）由n 个元素构成的集合有2n 个子集（n ∈N*）；
（2）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个真子集；
（3）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个非空子集；
（4）由n 个元素构成的集合有（2n -2）个非空真子集.
[例]已知集合A =｛a ，b ，c ｝，则集合A 的非空真子集的个数是_____________.
[巩固]定义集合A -B =｛B x A x x ∉∈且｝，若M =｛1，2，3，4，5｝，N =｛0，2，3，6，7｝，则集合N -M 的真子集个数为__________.
1、全集和补集的概念
全集如果集合U 包含我们所要的各个集合，那么这时U 可以看作是一个全集，记作U
补集
设A ⊆U ，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做U 的子集A 的补集，
记作∁U A ，读作A 在U 中的补集符号
语言 ∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }
图示
语言
知识模块2全集、补集精典例题透析。

子集与真子集

• 所以空集是任意非空集合的真子集，即若A ,则 A
• ②传递性：若AB ，且BC ，则 AC
•
若A B ，B C，则 A C．
（3）集合相等
• 两个集合相等就是两个集合中元素都相同．从子集的角度考虑就是:
• AB且BA A B
集合A的所有子集是：∅，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2, 在上述子集中，除去集合A本身，即{2,3,4}，剩下的都是A的真子集
【例3】已知集合A＝{1，，y}，B＝{0，x＋y，|y|}，若A＝B，求实数x，y的值． [思路解析] 从集合相等的概念入手，转化为元素间的关系，再
例5已知 A { x 2 x 5 } ,B { x m 1 x 2 m ， 1 }
若
B A，求实数m的取值范围.
解得
2m1m1 m 2
时，由 B A 得
m 1 2m 1

m

1

2
2 m 1 5
图可发现A ⊆ B.
规律方法两集合间关系的判断：
断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若A是B ，则A⊆B，断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，
若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.
例2】已知集合A＝{x|1<x≤4，x∈N}，写出集合A的所有子集和真子解析： ∵A＝{2,3,4}，
子集与真子集
子集的性质
题型一子集、真子集的概念及运用
【例1】指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}； (2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)， (1,1)}； (3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}； (4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}； (5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}． [思路探索] 分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集和集合相等的概念进行判断．

子集全集补集典型例题

子集全集补集典型例题子集、全集、补集是集合论中的重要概念，理解和掌握它们对于解决集合相关的问题至关重要。

下面通过一些典型例题来深入探讨这些概念。

例 1：已知集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}，集合 B ＝｛1, 2, 3}，判断集合 B 是否为集合 A 的子集。

解：因为集合 B 中的所有元素 1、2、3 都在集合 A 中，所以集合 B 是集合 A 的子集。

这里要明确子集的定义，如果集合 B 的所有元素都是集合 A 的元素，那么集合 B 就是集合 A 的子集。

例 2：设全集 U ＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4}，求集合 A 的补集。

解：全集 U 中不属于集合 A 的元素为 5、6、7、8、9，所以集合 A 的补集为｛5, 6, 7, 8, 9}。

补集的概念就是在给定的全集中，除去某个集合中的元素，剩下的元素所组成的集合。

例 3：集合 M ＝｛x ｜ x ＜ 5}，集合 N ＝｛x ｜ x ＞ 2}，全集 U＝ R，求集合 M 的补集和集合 N 的补集。

解：集合 M 的补集是｛x ｜x ≥ 5}，集合 N 的补集是｛x ｜x ≤ 2}。

对于这种用不等式表示集合的情况，要注意理解实数轴上的范围来确定补集。

例 4：已知集合 A ＝｛x ｜－2 ＜ x ＜ 3}，集合 B ＝｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 5}，全集 U ＝ R，求（∁UA）∩（∁UB）。

解：∁UA ＝｛x ｜x ≤ －2 或x ≥ 3}，∁UB ＝｛x ｜x ≤ 1 或x ≥ 5}所以（∁UA）∩（∁UB）＝｛x ｜x ≤ －2 或x ≥ 5}这道题需要先分别求出两个集合的补集，然后再求交集。

例 5：集合 P ＝｛（x, y）｜ x ＋ y ＝ 2}，集合 Q ＝｛（x, y）｜x y ＝ 4}，全集 U 为平面直角坐标系中所有点组成的集合，求∁UP 和∁UQ。

解：对于集合 P，解方程组{x ＋ y ＝ 2}可得 y ＝ 2 x，所以集合 P 表示直线 y ＝ 2 x 上的点。

【新】高中必修一数学子集、全集、补集 (例题+练习题)

子集、全集、补集【经典例题】例1. （1）{}a A ,3,1=，{}1,12+-=a a B ，B A ⊇，求a 。

（2）已知{}01|=+=ax x A ，{}056|2=--=x x x B ，B A ⊆，求a 。

（3）已知{}04|2=+=x x x A ，{}01)1(2|22=-+++=a x a x x B ，若A B ⊆，求a 。

经典练习：已知{}52|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，若A B ⊆，求m 的范围例2.设全集{}32,3,22-+=a a U ，{}2,12-=a A 。

（1）若{}5=A C U ，求实数a 的值（2）若A B ⊆，集合{}3=B C A ，求集合B 与集合U 。

经典练习：1.设全集}3,5,31{--=U ,31-}053|{2=-+=∈px x x A 且31-}0103|{2=++=∈q x x x B ,求B C A C U U ,2. 已知全集{}{}222,4,3,2,2U x M x x =-=-+，}1{-=M C U ，求实数x 的值。

例3. },,14|{Z n n x x A ∈+==若},34|{Z n n x x B ∈-==},,18|{Z n n x x C ∈+==则A 、B 、C 之间的关系是什么？经典练习1、已知},312|{},,61|{Z n n x x N Z m m x x M ∈-==∈+==，的关系为则P N M Z p p x x P ,,},,612|{∈+==2、},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==设，的关系为则N M ,巩固练习：基础训练1．给出6个关系式：①{}{}(,)(,)a b b a =； ②{}{},,a b b a =； ③∅{}0； ④{}00∈； ⑤{}0∅∈； ⑥{}0∅=；其中正确的个数为（） A.6 B.5 C.4D.32．已知集合{}24A x x =<≤，则下列关系中正确的是（） A ．A π∉ B ．{}A π∈ C ．A π⊆ D ．{}A π⊆3．已知集合{}0,2,3,A =，则A 的子集的个数是（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．9 4．下列各组集合中相等的是（） A ．{}{}20,|10A B x x ==+= B ． {}3(,)|1,(,)|12y A x y y x B x y x -⎧⎫==+==⎨⎬-⎩⎭C ．A =｛n 条边都相等的多边形｝B =｛n 个内角都相等的多边形｝D ．{}{}|31,,|32,A x x n n Z B y y n n Z ==+∈==-∈5. 若集合},3,1{x A =,}1,{2x B =,且A B ⊆,则满足条件的实数x 的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.（1）满足{},a b A ⊆⊂≠{,,,}a b c d 的集合A 可以是；（2）满足{}1,23，⊂≠{}1,2,3,4,5A ⊆的集合A 可以是。